第09讲 图形的位似变换 （知识清单+8大题型+好题必刷） 核心知识点与常见题型通关讲解练【暑假预习】2025-2026学年九年级上册数学（沪科版）

第09讲 图形的位似变换 （知识清单+8大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 题型二 求两个位似图形的相似比 题型三 判断位似中心 题型四 位似图形的识别 题型五 求位似图形的对应坐标 题型六 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 题型七 在坐标系中画位似图形 题型八 在坐标系中画位似中心 知识清单 知识点1．位似变换 （1）位似图形的定义： 如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 注意：①两个图形必须是相似形； ②对应点的连线都经过同一点； ③对应边平行． （2）位似图形与坐标 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 知识点2．作图-位似变换 （1）画位似图形的一般步骤为： ①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小． （2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的． 题型练习 【题型一】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【例1】（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）在如图所示的网格中，以为位似中心，把缩小到原来的，则点的对应点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【知识点】求位似图形的对应坐标、用勾股定理解三角形、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【分析】本题主要考查了位似变换，熟练掌握位似图形的特征是解题关键． 两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．作射线，根据位似中心的概念、三角形的位似比解答即可． 【详解】解：作射线，如下图， 射线经过点，且，故， ∴点的对应点为点． 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中： (1)将先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到； (2)以图中的点O为位似中心，将作位似变换且放大到原来的两倍，得到． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、平移(作图) 【分析】此题考查了作图-位似变换与平移变换，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）把、、三点先向右平移个单位，再向上平移个单位得到，顺次连接得到的各点即可； （2）延长到，使，同法得到其余各点，顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； 2．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的． (1)以点C为位似中心，在图中画出，使与的对应边之比为，且点在的延长线上． (2)在图中画出，使得，且点D在的下方，． 【答案】(1)图见详解； (2)图见详解． 【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了作图——位似变换我，熟练掌握位似的性质、相似三角形的判定与以静制动是正确解答此题的关键． （1）根据位似的性质作图即可； （2）由题意得，与的相似比为，结合相似三角形的判定与性质画图即可． 【详解】（1）解：因为与的对应边之比为，且点在的延长线上．如图，延长至，使，延长至，使，连接，即为所求； （2）解：，且点D在的下方，． ， ， 在下方作以为直角边的等腰直角，即为所求． 3．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，利用格点按要求完成下列作图．（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） (1)在图1中，以C为位似中心作，使它与的位似比为； (2)在图2中，在AC边上找一个点E，使． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【分析】本题主要考查了网络作图，熟练掌握位似三角形性质，相似三角形性质，是解题的关键． （1）在延长线取点，在延长线上取点，使，连接，即得； （2）根据，得，得，结合，即得． 【详解】（1）解：即为所求； （2）解：即为所求； 【题型二】求两个位似图形的相似比 【例2】（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，已知与位似，位似中心为，且与的周长之比是 ，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求两个位似图形的相似比 【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质与判定．根据位似图形的概念得到，，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的性质计算即可解题． 【详解】解：与位似，位似中心为， ，， 与的周长之比是， ， ， ， ． ∴的值为． 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）如图，AB与CD交于点，且．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求两个位似图形的相似比、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用平行线得到相似三角形，并根据相似三角形的性质求解． 先根据平行线证明与相似，再由已知条件得出相似比，最后根据相似三角形面积比等于相似比的平方求出的值． 【详解】， ， ， 已知，设，则， ， 与的相似比为， 根据相似三角形面积比等于相似比的平方， ． 故选：C． 2．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）若两个三角形是位似图形，且它们的面积比为1：9，它们的周长比为 ． 【答案】1:3 【知识点】求两个位似图形的相似比 【分析】本题考查了相似三角形的性质，主要从三角形其面积比等于周长比的平方来进行考查的． 相似三角形的周长比等于其对应边长比，而面积比等于对应边长比的平方． 【详解】已知两个相似三角形的面积比为1: 9，相似三角形的面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比，由此可得这两个三角形的周长比为1: 3， 故答案为1: 3． 3．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，在正方形网格中，点A、B、C都在格点上，利用格点按要求完成下列作图，（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） (1)在图1中，将点A向左移动1个格点单位，向上移动2个格点单位得到点M，在格点上画出，使得且相似比为． (2)在图2中，线段上作点M，利用格点作图使得． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【知识点】求两个位似图形的相似比、在网格中画与已知三角形相似的三角形 【分析】本题考查作图—位似变换，平行线分线段成比例定理． （1）将点A向左移动1个格点单位，向上移动2个格点单位得到点M，点、、三点共线，点B向右移动1个格点单位，向上移动1个格点单位得到点N，点、、三点共线，连接，，； （2）构建，为分成等份，其中点为等份点，过点的格线交于点 【详解】（1）如图，将点A向左移动1个格点单位，向上移动2个格点单位得到点M，点、、三点共线，点B向右移动1个格点单位，向上移动1个格点单位得到点N，点、、三点共线，连接连接，，，即为所作，使得且相似比为． 即为所作． （2）如图，取格点，连接、，取点为等份点，过点的格线交于点， ∴， ∵， ∴， 则点即为所作． 【题型三】判断位似中心 【例3】（九年级上·安徽阜阳·期末）如图，线段A1B1是线段AB以某个点为位似中心,放大2倍得到的，则这个点是（   ） A．C点 B．D点 C．E点 D．F点 【答案】B 【知识点】判断位似中心 【分析】连接AA1，BB1，则交点即为它们的位似中心． 【详解】如图，连接AA1，BB1，则交点即为它们的位似中心． ∴位似中心是点D. 故选B. 【点睛】本题考查了位似图形的性质，位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比.①位似图形对应线段的比等于相似比；②位似图形的对应角都相等；③位似图形对应点连线的交点是位似中心；④位似图形面积的比等于相似比的平方；⑤位似图形高、周长的比都等于相似比；⑥位似图形对应边互相平行或在同一直线上. 【举一反三】 1．如图所示，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1，（顶点均在格点上），它们是以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是（　　） A．（﹣4，﹣3） B．（﹣3，﹣3） C．（﹣4，﹣4） D．（﹣3，﹣4） 【答案】A 【知识点】判断位似中心 【分析】作直线AA1、BB1，这两条直线的交点即为位似中心． 【详解】由图中可知，点P的坐标为（﹣4，﹣3）． 故选A． 【点睛】用到的知识点为：两对对应点连线的交点为位似中心． 2．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)以原点为位似中心，在轴的右侧画出的位似，使它与的位似比为； (2)画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的； (3)判断和是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)是，见解析 【知识点】在坐标系中画位似图形、判断位似中心、位似图形的识别、平移(作图) 【分析】本题主要考查了作图-位似变换，平移变换． （1）根据位似变换的性质找出对应点即可求解； （2）根据平移变换的性质找出对应点即可求解； （3）连接，，，发现三条直线交于同一点，再根据位似图形的定义判断可得答案． 【详解】（1）解：如图，即为所作图形； （2）解：如图，即为所作图形； （3）解：和是位似图形，点M为所求位似中心，如图点M即为所求． 3．（九年级上·安徽亳州·阶段练习）在如图所示的方格中，每个小正方形的边长都是1，与是以点为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． （1）在图中标出位似中心的位置（请保留画图痕迹）； （2）以点为位似中心，在直线的左侧画出的另一个位似，使它与的位似比为，并直接写出与的面积之比是_____． 【答案】（1）如图所示见解析；（2）． 【知识点】判断位似中心、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比、在坐标系中画位似图形 【分析】（1）直接利用位似图形的性质连接对应点得出位似中心的位置； （2）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案． 【详解】解：（1）如图所示：点P即为所求； （2）如图所示：△OA2B2，即为所求，△OA2B2与△OAB的面积之比是：4：1． 故答案为：. 【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题的关键． 【题型四】位似图形的识别 【例4】（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）如图为用杭州亚运会吉祥物莲莲所作的图形改变，这种图形改变属于（    ）    A．平移 B．位似 C．旋转 D．轴对称 【答案】B 【知识点】位似图形的识别 【分析】本题考查了位似变换，理解图形的形状相同，大小不相同，属于位似变换，是解答本题的关键． 【详解】解：这种图形改变属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于位似变换． 故选B． 【举一反三】 1．（九年级上·安徽阜阳·阶段练习）下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】位似图形的识别 【分析】本题主要考查了位似的定义，如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线所在的直线相交于一点，对应边互相平行（或共线），像这样的两个图形叫做位似图形． 根据位似图形的定义进行判断即可解答． 【详解】根据位似图形的定义可知，图1，图2，图4中的与成位似图形， 图3中、不平行，即与不成位似图形， 综上分析可知：与成位似图形有3个． 故选：C． 2．（九年级上·安徽滁州·阶段练习）在如图所示的网格中，以点为位似中心，作四边形的位似图形，小明认为四边形的位似图形是四边形；小亮认为四边形的位似图形是四边形，你认为正确的是 ．（选填“小明”或“小亮”）． 【答案】小亮 【知识点】位似图形的识别 【分析】根据位似图形的概念画出图形，得到答案． 【详解】解：延长、、、分别到、、、， 则四边形是四边形的位似图形， 所以小亮正确． 故答案为：小亮． 【点睛】本题考查的是位似图形的概念，掌握位似的两个图形对应点的连线都经过同一点是解题的关键． 3．（九年级·全国·课后作业）如图所示，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，那么□ABCD与四边形EFGH是否是位似图形？为什么？ 【答案】是，理由见解析． 【知识点】位似图形的识别、判断位似中心 【分析】根据三角形中位线定理得到EF=HG，FE∥HG，根据平行四边形的判定定理证明四边形EFGH是平行四边形，再根据平行线的性质定理、相似多边形的判定定理证明即可． 【详解】是，理由如下： ∵E、F分别是OA、OB的中点， ∴FE=AB，FE∥AB， G、H分别是OC、OD的中点， ∴HG=CD，HG∥CD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD， ∴EF=HG，FE∥HG， ∴四边形EFGH是平行四边形； ∵FE∥AB， ∴∠OEF=∠OAB， 同理∠OEH=∠OAD， ∴∠HEF=∠DAB， 同理，∠EFG=∠ABC，∠FGH=∠BCD，∠GHE=∠CDA，， ∴平行四边形EFGH∽平行四边形ABCD， ∵各组对边对应点的连线相交于点O， ∴平行四边形ABCD与四边形EFGH是位似图形，O为位似中心． 【题型五】求位似图形的对应坐标 【例5】（2024·安徽安庆·二模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．以点O为位似中心，在第四象限内作与的位似比为的位似图形，则点C坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】本题考查了位似变换，根据关于原点位似的关系，将点横纵坐标都乘以即可，熟练掌握位似变换的规律是解此题的关键． 【详解】解：∵以点O为位似中心，在第四象限内作与的位似比为的位似图形，， ∴点C坐标为，即， 故选：C． 【举一反三】 1．（2024九年级上·安徽·专题练习）如图，在直角坐标系中，每个小方格的边长均为1．与是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B都在格点上，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】本题主要考查了求关于原点成位似图形的点的坐标，解题的关键在于能够掌握两个图形关于原点位似，且相似比为k，那么它们对应的横纵坐标之比为．根据题意可知点B的坐标为，再由和 是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，可得将点B的横、纵坐标都乘以，得点的坐标． 【详解】解：∵与 是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为， ∴将点B的横、纵坐标都乘以，得点的坐标． 由B的坐标，得点的坐标为． 故选：A ． 2．（22-23九年级上·安徽宣城·期末）如图，线段的两个端点坐标分别为，，以原点O为位似中心，将线段放大后得到线段，若，则端点C的坐标为 ． 【答案】 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】根据点A、B的坐标，得到，根据，得到位似比为：，结合图形得出，则点A的对应点C的坐标是的坐标同时乘以2，因而得到的点C的坐标． 【详解】解：∵线段的两个端点坐标分别为，， ∴， ∵以原点O为位似中心，将线段放大后得到线段，， ∴两图形位似比为：， ∴点C的坐标为：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了图形的位似，熟练掌握以坐标原点为位似中心的位似图形的坐标特征是解题的关键． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在单位长度为1个单位的网格图中，与是位似图形，且点A的坐标为，点的坐标为． (1)将向上平移4个单位，再向左平移1个单位得，作出； (2)作出与的位似中心P，写出P的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求位似图形的对应坐标、平移(作图) 【分析】本题考查位似图形的性质，图形的平移以及平面直角坐标系中点的坐标变化，解题的关键是掌握位似中心的确定方法以及图形平移的规律． （1）根据平移规律确定平移后三角形各顶点的坐标，进而作出图形； （2）通过连接并延长对应顶点的连线，交点即为位似中心，再根据坐标系确定其坐标． 【详解】（1）解：已知中的坐标为，将向上平移4个单位，再向左平移1个单位．根据点在平面直角坐标系中的平移规律“上加下减纵坐标，左减右加横坐标”，则点平移后的坐标为，即，同理求出平移后的坐标，然后顺次连接三点，得到．如图所示： （2）解：如图所示： 连接并延长，连接并延长，连接并延长，这三条线的交点即为位似中心．在网格图中根据坐标系，可得出位似中心的坐标为． 【题型六】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【例6】（22-23九年级上·安徽安庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，以O为位似中心，与位似，若B点的对应点的坐标为，则A点的对应点坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求位似图形的对应坐标、在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【分析】根据已知对应点的坐标的变化，可求出与的位似比为，进而可求出点坐标． 【详解】∵，， ∴，． ∵与位似，且O为位似中心， ∴． ∵， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查坐标与图形的变化—位似变换．根据题意求出位似比是解题关键． 【举一反三】 1．（22-23九年级上·安徽滁州·期中）如图，与位似，点O为位似中心，位似比为．若的周长为4，则的周长是 ． 【答案】6 【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【分析】根据周长之比等于位似比计算即可． 【详解】设的周长是x， ∵ 与位似，相似比为，的周长为4， ∴， 解得：， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了位似的性质，熟练掌握位似图形的周长之比等于位似比是解题的关键． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点都在网格点上，按要求完成下列任务． (1)和关于y轴对称，画出； (2)若与（1）中的是关于原点为位似中心的位似图形，位似比为，且位于第四象限． ①画出； ②__________． 【答案】(1)见解析 (2)①图见解析；② 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、在坐标系中画位似图形、在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【分析】本题考查了作图-位似变换、作图-轴对称变换． （1）分别得出点A、B、C关于y轴的对称点，然后连线即可； （2）①由（1）及位似的性质进行作图即可； ②由（1）得，进而得． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：①如图，即为所求； ②∵和关于y轴对称， ∴， ∵与的位似比为， ∴， 即， 故答案为：． 3．（22-23九年级上·安徽六安·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点是格点，是格点三角形（顶点在网格线交点上），且点是点以点为位似中心得到的．    (1)画出以点为位似中心的位似图形； (2)与的相似比为___________； (3)与的面积之比为_____________． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】在坐标系中画位似图形、在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【分析】（1）直接利用A点对应点位置结合位似中心得出B，C点对应点; （2）利用所画图形，结合对应点与位似中心的距离得出位似比； （3）得出三角形面积即可得出答案. 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；    （2）解：∵由图可知，， ∴与的位似比为； （3）解：∵，， ∴与的面积比为． 【点睛】此题主要考查了位似变换以及勾股定理，正确得出对应点位置是解题关键. 【题型七】在坐标系中画位似图形 【例7】（24-25九年级上·全国·单元测试）已知在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，．正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点B为位似中心，在网格中画出，使与位似，且相似比为，则坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】在坐标系中画位似图形、求位似图形的对应坐标 【分析】本题主要考查了位似的性质，根据，位似比为画出图形，得出点坐标即可． 【详解】解：延长到点，使得，延长到点，使得，如图所示：    根据作图可知：点的坐标为． 故选：B． 【举一反三】 1．（2022九年级上·全国·专题练习）平面直角坐标系中位似图形的作法： 位似图形与位似中心有两种情况∶①位似图形在位似中心 侧；②位似图形在位似中心 侧．若题中未指明位置关系，应该分两种情况讨论，防止漏解． 【答案】两；同 【知识点】在坐标系中画位似图形 【解析】略 2．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在网格图中，已知和点． (1)以点M为位似中心，在y轴右侧画出，使它与位似，且位似比为2； (2)写出各顶点的坐标． 【答案】(1)图见详解 (2) 【知识点】求位似图形的对应坐标、在坐标系中画位似图形 【分析】本题考查了位似图形的性质和位似比、画位似图形，掌握理解位似图形的性质和位似比是解题关键． （1）延长到使，则点为的对应点，同样方法作出、的对应点、，从而得到； （2）利用（1）所画图形可得到的各顶点坐标． 【详解】（1）解：延长到使，则点为的对应点，同样方法作出、的对应点、，连接，即为所求作的； （2）解：由图可得： 3．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在边长都为1的小正方形网格中，的顶点A，B，C均在格点上，O为平面直角坐标系的原点，点在x轴上，以原点O为位似中心在第一象限画一个，使它与位似，且相似比为（点A，B，C的对应点分别为）； (1)画出； (2) 坐标为 ，坐标为 ； (3)若内任意一点D的坐标为，则内的对应点的坐标为 ． 【答案】(1)见解析 (2)； (3) 【知识点】求位似图形的对应坐标、在坐标系中画位似图形 【分析】本题考查位似图形，掌握位似图形的性质是解题的关键． （1）由位似中心为点O，相似比为，可知连接并延长使得，连接并延长使得，连接并延长使得，再顺次连接，即可得到； （2）由在坐标系中的位置可直接得出答案； （3）由（2）中结论可得内任意一点的对应点的横、纵坐标均为该点横、纵坐标的2倍． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：坐标为，坐标为， 故答案为：，； （3）解：若内任意一点D的坐标为，则内的对应点的坐标为， 故答案为：． 【题型八】在坐标系中画位似中心 【例8】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，点是坐标原点，点坐标分别为，则位似中心的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】在坐标系中画位似中心 【分析】本题考查的是位似变换，连接对应点，连线的交点即为位似中心，根据坐标系写出点的坐标，即可求解． 【详解】解：如图所示，为位似中心， 故选：B． 【举一反三】 1．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，各顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】在坐标系中画位似中心 【分析】本题主要考查了位似中心、坐标与图形等知识．根据图示，对应点的连线都经过同一点，该点就是位似中心．据此进行解答即可． 【详解】如图所示：位似中心的坐标是． 故选：A． 2．如图，与是位似图形，则位似中心为点 ． 【答案】P 【知识点】在坐标系中画位似中心 【分析】本题考查确定位似中心，根据位似图形的概念，连接对应点，交点即是位似中心． 【详解】解：如图所示，连接，，，交于点， ∴点是位似中心， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）如图，在单位长度为1个单位的8×11网格图中，与，是位似图形，且点A的坐标为，点的坐标为， (1)将向上平移4个单位，再向左平移1个单位得，作出； (2)作出与的位似中心P，写出P的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析， 【知识点】在坐标系中画位似中心、平移(作图) 【分析】本题考查坐标与图形变换—平移作图，位似图形： （1）根据平移规则，画图即可； （2）根据点的坐标确定坐标系，根据位似图形的性质，确定点的位置，进而得到点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，点即为所求，由图可知：； 好题必刷 一、单选题 1．如图，与是位似三角形，点O为位似中心．，则与的位似比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求位似图形的相似比，根据已知得到即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是位似三角形， ∴与的位似比为， 故选：C． 2．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若A（﹣2，0），D（3，0），且BC＝3，则线段EF的长度为（    ） A．2 B．4 C． D．6 【答案】C 【解析】根据△ABC与△DEF是位似图形，以及A和D的坐标，求出△ABC与△DEF的相似比为2:3，即可求出线段EF的长． 【详解】△ABC与△DEF是以坐标原点O为位似中心的位似图形， ∵A（﹣2，0），D（3，0） 则△ABC与△DEF的相似比为2:3， ∵BC＝3， ∴BC:EF=2:3 解得EF=， 故选：C． 【点睛】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k. 3．如图，在正方形网格中，两个阴影格点三角形位似，则位似中心是（   ） A．点M B．点N C．点E D．点F 【答案】C 【分析】本题考查图形的位似、位似中心等知识，根据题意，结合位似中心的定义及作法：成位似关系的两个图形的对应点的连线交于位似中心，数形结合，作出图形即可得到答案，熟练掌握寻找位似中心的作图方法是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： ∵对应点的连线交于点， 点为位似中心， 故选：C． 4．如图，与位似，点O是它们的位似中心，其中，若，则DE的长为（    ） A．1 B．2 C．4 D．16 【答案】B 【分析】根据位似图形的性质得出位似比，进而得出DE的长． 【详解】解：∵△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OA：OD=2：1， ∴AB：DE=2：1， ∵AB=4， ∴DE的长为：2． 故选：B． 【点睛】本题考查的是位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键． 5． 如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上， OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B′的坐标是【 】 A．（－2，3） B．（2，－3） C．（3，－2）或（－2，3） D．（－2，3）或（2，－3） 【答案】D 【详解】如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行或在一 条直线上，那么这两个图形叫做位似图形．把一个图形变换成与之位似的图形是位似变换．因此， ∵矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，∴矩形OA′B′C′∽矩形OABC． ∵矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，∴位似比为：． ∵点B的坐标为（－4，6），∴点B′的坐标是：（－2，3）或（2，－3）．故选D． 6．在平面直角坐标系中，已知，，以原点为位似中心，按位似比把缩小，则点的对应点的坐标为（ ） A．(3, 1) B．(-2, -1) C．(3, 1)或(-3, -1) D．(2, 1)或(-2, -1) 【答案】D 【分析】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，结合题意即可得出答案． 【详解】∵A（4，2），B（2，-2）两点，以坐标原点O为位似中心，相似比为， ∴对应点A′的坐标分别是：A′（2，1）或（-2，-1）． 故选D． 【点睛】此题主要考查了位似变换的性质，根据各点到位似中心的距离比也等于相似比是解决问题的关键． 7．下列说法正确的是（     ） A．若点C是线段AB的黄金分割点，AB=2，则AC= B．平面内，经过矩形对角线交点的直线，一定能平分它的面积 C．两个正六边形一定位似 D．菱形的两条对角线互相垂直且相等 【答案】B 【分析】A.根据黄金分割点的定义，AC可能是较长线段，也可能是较短线段,分情况讨论即可； B.矩形是中心对称图形，根据中心对称图形的性质，经过对称中心的任意一条直线都把它分成两个全等形，面积当然相等； C.按照相似与位似关系判断即可； D.利用菱形的性质判断即可. 【详解】A. 解：根据题意得： 当AC是较长线段时，, 当AC是较短线段时，,，故此项错误； B. 平面内，经过矩形对角线交点的直线，一定能平分它的面积，如图： ，故此项正确； C.位似图形一定相似，相似图形不一定位似，两个正六边形一定相似，但不一定位似，故此项错误； D. 菱形的两条对角线互相垂直，但不一定相等，对角线一定相等的是矩形,故此项错误. 故选B. 【点睛】此题考查了黄金分割、位似与相似的关系、矩形菱形的性质是解题的关键，特别注意A中应分类讨论，这里的AC可能是较长线段，也可能是较短线段． 8．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在第二象限，点B坐标为，点C坐标为，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形．若点A的对应点的坐标为，点B的对应点的坐标为，则点A坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作轴，轴，如图，利用相似三角形的性质求得和的长度，进而即可求解． 【详解】解：作轴，轴，如图    ∵， ， ， ∴，，， ∴，， ∵由题意可得： ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴点A坐标为 故选：C 【点睛】此题考查了位似的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握位似图形的性质． 9．如图，在四边形中，，．先将四边形以点为中心，按顺时针方向旋转，依次旋转7次，再将得到的图案以点为位似中心，按照的比例缩小，就得到了一个漂亮的花朵图案．现以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则图中点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了位似变换、等腰直角三角形的判定和性质、图形和坐标等知识．过点C作轴于点D，则，得到点C的坐标为，根据以点为位似中心，按照的比例缩小，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点C作轴于点D， 在中，，， ∴， ∴点C的坐标为， ∵以点为位似中心，按照的比例缩小， ∴点的坐标为， 故选：A 10．如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE关于原点O成位似关系，相似比为1：3，∠ACB＝∠CED＝90°，A、C、E是x轴正半轴上的点，B、D是第一象限的点，BC＝2，则点D的坐标是（　　） A．（9，6） B．（8，6） C．（6，9） D．（6，8） 【答案】A 【分析】根据位似变换的定义得到△ACB∽△CED，根据相似三角形的性质求出DE，根据等腰直角三角形的性质求出CE，根据△OCB∽△OED，列出比例式，代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE关于原点O成位似关系， ∴△ACB∽△CED， ∵相似比为1：3， ∴，即 ， 解得，DE＝6， ∵△CED为等腰直角三角形， ∴CE＝DE＝6， ∵BC∥DE， ∴△OCB∽△OED， ∴ ，即， 解得OC＝3， ∴OE＝OC+CE＝3+6＝9， ∴点D的坐标为（9，6）， 故选：A． 【点睛】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质、坐标与图形性质、等腰直角三角形的性质，掌握位似变换的两个图形是相似图形是解题的关键． 二、填空题 11．在平面直角坐标系中，△ABC顶点A的坐标为（2，4），若以原点O为位似中心，画△ABC的位似图形△A1B1C1，使△ABC与△A1B1C1的相似比等于2，则点A1的坐标为 ． 【答案】或 【分析】根据位似的概念即可完成． 【详解】∵以原点O为位似中心，画△ABC的位似图形△A1B1C1，使△ABC与△A1B1C1的相似比等于2，点A的坐标为（2，4）， ∴点A1的坐标为或，即（1，2）或（﹣1，﹣2）， 故答案为：（1，2）或（﹣1，﹣2）． 【点睛】本题考查的是位似变换的性质、坐标与图形性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 12．如图，与是位似图形，且位似比是，若AB=2cm，则 cm，并在图中画出位似中心O． 【答案】4，见解析 【详解】由位似关系可得，所以，而位似中心O是BB’和CC’的交点 13．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标分别是，已知矩形与矩形位似，位似中心是原点，且知形的面积等于矩形面积的，则点的对应点的坐标是 ．    【答案】或/或 【分析】根据位似图形的概念得到矩形矩形，根据相似多边形的性质求出相似比，根据位似图形与坐标的关系计算，得到答案． 【详解】解：∵矩形与矩形关于点O位似， ∴矩形矩形， ∵矩形的面积等于矩形面积的， ∴矩形与矩形的相似比为， ∵， ∴点的坐标为或，即或， 故答案为：或．    【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似图形是相似图形以及相似多边形的性质是解题的关键．相似图形面积比等于相似比的平方． 14．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，作的位似，则线段的对应线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解答本题的关键． 根据位似变换的性质得到，再根据、两点的坐标得到，所以． 【详解】解：，， ， 与是以原点为位似中心，位似比为的位似图形， ， 故答案为：． 三、解答题 15．(1)如图所示，作山四边形ABCD的位似图形A＇B＇C＇D＇，使四边形ABCD与四边形A＇B＇C＇D＇的相似比为2∶1； (2)若已知AB=2cm，BC=cm，∠A=60°，AB⊥BC，CD⊥DA，求四边形A＇B＇C＇D＇的面积. 【答案】(1)见解析；.(2). 【分析】（1）连结AC、BD，它们相交于点O，再分别取OA、OB、OC、OD的中点A′、B′、C′、D′，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的相似比为2：1； （2）延长AB和DC，它们相交于点E，如图，先利用互余计算出∠E=30°，再根据含30度的直角三角形三边的关系，在Rt△BCE中可计算出CE=2BC=2，BE=BC=3，在Rt△ADE中可计算出AD= AE=，DE=AD=，则可利用S四边形ABCD=S△ADE-S△BCE计算出四边形ABCD的面积，然后根据相似的性质可计算出四边形A′B′C′D′的面积． 【详解】（1）如图，四边形A′B′C′D′为所求； （2）延长AB和DC，它们相交于点E，如图， ∵AB⊥BC，CD⊥DA， ∴∠ADE=∠EBC=90°， ∵∠A=60°， ∴∠E=30°， 在Rt△BCE中，CE=2BC=2，BE=BC=3， ∴AE=BE+AB=5， 在Rt△ADE中，AD= AE=，DE=AD=， ∴S四边形ABCD=S△ADE-S△BCE=， ∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的相似比为2：1， ∴， ∴. 故答案为(1)见解析；.(2). 【点睛】本题考查位似图形的性质，作图-位似变换，熟练掌握作位似图形的步骤是解题的关键. 16．如图，如果虚线图形与实线图形是位似图形，求它们的相似比并找出位似中心． 【答案】位似中心见解析，位似比分别是；； 【分析】利用位似图形的性质，连接对应点得出位似中心，进而得出相似比． 【详解】解：如图所示：P点是三个图形的位似中心， 相似比分别为：；；． 【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，利用对应边关系得出相似比是解题关键． 17．如图，把缩小后得到，求与的相似比． 【答案】 【分析】求出OD与OB的长，再求出相似比即可． 【详解】由平面直角坐标系可知，OD=2，OB=5， 所以，与的相似比为． 【点睛】本题考查了位似图形的相似比，解题关键是求出对应边的长． 18．如图，△EFD和△CFB是以点F为位似中心的位似图形，EF：FC＝1：2，若S△EFD＝1，求四边形EBCD的面积． 【答案】9 【分析】利用位似的定义和相似的性质得△DEF∽△BCF，所以＝（）2＝，则S△BCF＝4，再利用高相同，面积比等于底边之比，可计算出S△DCF＝2，S△BEF＝2，然后把所有三角形的面积相加可得到四边形EBCD的面积． 【详解】解：∵△EFD和△CFB是以点F为位似中心的位似图形， ∴△DEF∽△BCF， ∴＝（）2＝， ∴S△BCF＝4S△DEF＝4×1＝4， ∵EF：FC＝1：2， ∴S△DCF＝2S△DEF＝2，S△BCF＝2S△BEF， ∴S△BEF＝2， ∴四边形EBCD的面积＝1+4+2+2＝9． 【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．也考查了三角形面积公式． 19．如图，图中的小方格都是边长为的正方形，的顶点都在小正方形的顶点上．若点的坐标为，点的坐标为    （1）则点的坐标是________．点的坐标是________． （2）画出关于点为位似中心的一个位似，且与的相似比为；并写出下面三个点的坐标．点的坐标是________，的坐标是________，点的坐标是________． 【答案】（1），；（2）见解析，，，． 【分析】（1）先根据点P、B的坐标建立平面直角坐标系，然后即可写出点A、C的坐标； （2）连接、、，分别取各边中点为、、，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系即可写出各点的坐标． 【详解】解：（1）建立平面直角坐标系如图，，； （2）如图所示，，，． 故答案为：，，． 【点睛】本题主要考查了位似作图，属于常见题型，熟练掌握网格特点和位似变换的性质、正确确定出对应点的位置是解题关键． 20．如图，在中，点、、分别是边、、的中点，与是否位似？如果位似，找出位似中心？ 【答案】与是位似图形，位似中心是点，理由详见解析. 【分析】直接利用位似图形的定义分析得出即可． 【详解】与是位似图形，位似中心是点， 理由：∵点、、分别是边、、的中点， ∴， ∴， ∵连接、、交于一点， 故与是位似图形． 【点睛】此题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的定义是解题关键． 21．如图，在网格图中，每个小正方形边长均为，点和的顶点均在小正方形的格点上． (1)以为位似中心，在网格图中作，使和位似，且相似比为； (2)连接（1）中的、，求四边形的周长．（结果保留根号） 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题考查位似变换，勾股定理的应用， （1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用勾股定理得出各线段长，进而得出答案； 正确得出对应点位置是解题的关键． 【详解】（1）解：∵在网格图中，每个小正方形边长均为，和位似，且相似比为， ∴，，，，， ∴，， 即，， ∴，，， 连接，， 则即为所作； （2）∵在网格图中，每个小正方形边长均为， ∴，，，， ∴四边形的周长： ． ∴四边形的周长为． 22．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点在格点上，且，， 画出，并求出的面积. 以点O为位似中心，画出的位似图形，使之与的相似比为1：2．    【答案】(1)见解析；的面积为14；(2)见解析. 【分析】直接利用各点坐标得出各点位置进而得出答案； 利用位似比得出对应点位置进而得出答案． 【详解】解：如图所示：   ，即为所求， 的面积为：； 如图所示： 和 即为所求．    【点睛】本题主要考查了位似变换，解决本题的关键是要熟练掌握作位似图形的方法． 23．已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)在图中画出沿x轴翻折后的； (2)在第一象限方格纸中，以点为位似中心，画，使它与位似，且相似比为2； (3)填空：点坐标______；与的周长比是______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)， 【分析】（1）利用关于轴对称的点的坐标特征得到、、的坐标，然后描点即可； （2）延长到使，延长到使，延长到使，从而得到； （3）先利用轴对称的性质得到，再根据位似的性质得到与的相似比为，所以与的相似比为，然后根据相似三角形的性质解决问题． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）解：如图，为所作； （3）解：点的坐标为， 沿轴翻折后的， ， 按放大后的位似图形， 与的相似比为， 与的相似比为， 与的周长的比为． 【点睛】本题考查了作图位似变换、轴对称变换，解题的关键是掌握在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$第09讲 图形的位似变换 (知识清单+8大题型+好题必刷) 题型汇聚 题型一 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 题型二 求两个位似图形的相似比 题型三 判断位似中心 题型四 位似图形的识别 题型五 求位似图形的对应坐标 题型六 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 题型七 在坐标系中画位似图形 题型八 在坐标系中画位似中心 知识清单 知识点1.位似变换 (1)位似图形的定义: 如果两个图形不仅是相似图形,而且对应顶点的连线相交于一点,对应边互相平行,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心. 注意:①两个图形必须是相似形; ②对应点的连线都经过同一点; ③对应边平行. (2)位似图形与坐标 在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k. 知识点2.作图-位似变换 (1)画位似图形的一般步骤为: ①确定位似中心;②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点;③根据位似比,确定能代表所作的位似图形的关键点;④顺次连接上述各点,得到放大或缩小的图形. 借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小,借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小. (2)注意:①画一个图形的位似图形时,位似中心的选择是任意的,这个点可以在图形的内部或外部或在图形上,对于具体问题要考虑画图方便且符合要求.②由于位似中心选择的任意性,因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的. 题型练习 【题型一】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【例1】(24-25九年级上 安徽安庆 阶段练习)在如图所示的网格中,以为位似中心,把缩小到原来的,则点的对应点是( ) A.点 B.点 C.点 D.点 【举一反三】 1.(24-25九年级上 安徽宿州 期末)如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中: (1)将先向右平移4个单位,再向上平移1个单位,得到; (2)以图中的点O为位似中心,将作位似变换且放大到原来的两倍,得到. 2.(23-24九年级上 安徽合肥 期末)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中,给出了以格点(网格线的交点)为顶点的. (1)以点C为位似中心,在图中画出,使与的对应边之比为,且点在的延长线上. (2)在图中画出,使得,且点D在的下方,. 3.(24-25九年级上 安徽安庆 期末)如图,在正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,的顶点都在格点上,利用格点按要求完成下列作图.(要求仅用无刻度的直尺,不要求写画法,保留必要的作图痕迹) (1)在图1中,以C为位似中心作,使它与的位似比为; (2)在图2中,在AC边上找一个点E,使. 【题型二】求两个位似图形的相似比 【例2】(23-24九年级上 安徽六安 期末)如图,已知与位似,位似中心为,且与的周长之比是 ,则的值为( ) A. B. C. D. 【举一反三】 1.(24-25九年级上 安徽滁州 期末)如图,AB与CD交于点,且.若,则的值为( ) A. B. C. D. 2.(24-25九年级上 安徽滁州 期中)若两个三角形是位似图形,且它们的面积比为1:9,它们的周长比为 . 3.(23-24九年级上 安徽安庆 期中)如图,在正方形网格中,点A、B、C都在格点上,利用格点按要求完成下列作图,(要求仅用无刻度的直尺,不要求写画法,保留必要的作图痕迹) (1)在图1中,将点A向左移动1个格点单位,向上移动2个格点单位得到点M,在格点上画出,使得且相似比为. (2)在图2中,线段上作点M,利用格点作图使得. 【题型三】判断位似中心 【例3】(九年级上 安徽阜阳 期末)如图,线段A1B1是线段AB以某个点为位似中心,放大2倍得到的,则这个点是( ) A.C点 B.D点 C.E点 D.F点 【举一反三】 1.如图所示,将 ABC的三边分别扩大一倍得到 A1B1C1,(顶点均在格点上),它们是以P点为位似中心的位似图形,则P点的坐标是( ) A.(﹣4,﹣3) B.(﹣3,﹣3) C.(﹣4,﹣4) D.(﹣3,﹣4) 2.(24-25九年级上 安徽六安 期中)如图,在平面直角坐标系中,的顶点坐标分别为,,. (1)以原点为位似中心,在轴的右侧画出的位似,使它与的位似比为; (2)画出将向左平移2个单位,再向上平移1个单位后得到的; (3)判断和是位似图形吗?若是,请在图中标出位似中心点. 3.(九年级上 安徽亳州 阶段练习)在如图所示的方格中,每个小正方形的边长都是1,与是以点为位似中心的位似图形,它们的顶点都在小正方形的顶点上. (1)在图中标出位似中心的位置(请保留画图痕迹); (2)以点为位似中心,在直线的左侧画出的另一个位似,使它与的位似比为,并直接写出与的面积之比是_. 【题型四】位似图形的识别 【例4】(23-24九年级上 安徽阜阳 期中)如图为用杭州亚运会吉祥物莲莲所作的图形改变,这种图形改变属于( ) A.平移 B.位似 C.旋转 D.轴对称 【举一反三】 1.(九年级上 安徽阜阳 阶段练习)下面四个图中,均与相似,且对应点交于一点;则与成位似图形有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.(九年级上 安徽滁州 阶段练习)在如图所示的网格中,以点为位似中心,作四边形的位似图形,小明认为四边形的位似图形是四边形;小亮认为四边形的位似图形是四边形,你认为正确的是 .(选填“小明”或“小亮”). 3.(九年级 全国 课后作业)如图所示, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点,那么 ABCD与四边形EFGH是否是位似图形?为什么? 【题型五】求位似图形的对应坐标 【例5】(2024 安徽安庆 二模)如图,在平面直角坐标系中,的三个顶点坐标分别为,,.以点O为位似中心,在第四象限内作与的位似比为的位似图形,则点C坐标为( ) A. B. C. D. 【举一反三】 1.(2024九年级上 安徽 专题练习)如图,在直角坐标系中,每个小方格的边长均为1.与是以原点O为位似中心的位似图形,且相似比为,点A,B都在格点上,则点的坐标是( ) A. B. C. D. 2.(22-23九年级上 安徽宣城 期末)如图,线段的两个端点坐标分别为,,以原点O为位似中心,将线段放大后得到线段,若,则端点C的坐标为 . 3.(24-25九年级上 安徽合肥 期末)如图,在单位长度为1个单位的网格图中,与是位似图形,且点A的坐标为,点的坐标为. (1)将向上平移4个单位,再向左平移1个单位得,作出; (2)作出与的位似中心P,写出P的坐标. 【题型六】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【例6】(22-23九年级上 安徽安庆 阶段练习)在平面直角坐标系中,各顶点的坐标分别为:,以O为位似中心,与位似,若B点的对应点的坐标为,则A点的对应点坐标为( ) A. B. C. D. 【举一反三】 1.(22-23九年级上 安徽滁州 期中)如图,与位似,点O为位似中心,位似比为.若的周长为4,则的周长是 . 2.(24-25九年级上 安徽合肥 阶段练习)如图,在平面直角坐标系中,已知的顶点都在网格点上,按要求完成下列任务. (1)和关于y轴对称,画出; (2)若与(1)中的是关于原点为位似中心的位似图形,位似比为,且位于第四象限. ①画出; ②_. 3.(22-23九年级上 安徽六安 期末)如图,在的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,点是格点,是格点三角形(顶点在网格线交点上),且点是点以点为位似中心得到的. (1)画出以点为位似中心的位似图形; (2)与的相似比为_; (3)与的面积之比为_. 【题型七】在坐标系中画位似图形 【例7】(24-25九年级上 全国 单元测试)已知在坐标平面内,三个顶点的坐标分别为,,.正方形网格中,每个小正方形的边长是1个单位长度,以点B为位似中心,在网格中画出,使与位似,且相似比为,则坐标为( ) A. B. C. D. 【举一反三】 1. (九年级上 全国 专题练习)平面直角坐标系中位似图形的作法: 位似图形与位似中心有两种情况∶①位似图形在位似中心 侧;②位似图形在位似中心 侧.若题中未指明位置关系,应该分两种情况讨论,防止漏解. 2.(24-25九年级上 安徽合肥 期中)如图,在网格图中,已知和点. (1)以点M为位似中心,在y轴右侧画出,使它与位似,且位似比为2; (2)写出各顶点的坐标. 3.(24-25九年级上 安徽合肥 期末)如图,在边长都为1的小正方形网格中,的顶点A,B,C均在格点上,O为平面直角坐标系的原点,点在x轴上,以原点O为位似中心在第一象限画一个,使它与位似,且相似比为(点A,B,C的对应点分别为); (1)画出; (2) 坐标为 ,坐标为 ; (3)若内任意一点D的坐标为,则内的对应点的坐标为 . 【题型八】在坐标系中画位似中心 【例8】(2024九年级上 全国 专题练习)如图,在平面直角坐标系中,与是位似图形,点是坐标原点,点坐标分别为,则位似中心的坐标为( ) A. B. C. D. 【举一反三】 1.如图,在平面直角坐标系中,与是位似图形,各顶点都在格点上,则位似中心的坐标是( ) A. B. C. D. 2.如图,与是位似图形,则位似中心为点 . 3.(24-25九年级上 安徽淮南 期末)如图,在单位长度为1个单位的8 11网格图中,与,是位似图形,且点A的坐标为,点的坐标为, (1)将向上平移4个单位,再向左平移1个单位得,作出; (2)作出与的位似中心P,写出P的坐标. 好题必刷 一、单选题 1.如图,与是位似三角形,点O为位似中心.,则与的位似比为( ) A. B. C. D. 2.如图,在平面直角坐标系中, ABC与 DEF是以坐标原点O为位似中心的位似图形,若A(﹣2,0),D(3,0),且BC=3,则线段EF的长度为( ) A.2 B.4 C. D.6 3.如图,在正方形网格中,两个阴影格点三角形位似,则位似中心是( ) A.点M B.点N C.点E D.点F 4.如图,与位似,点O是它们的位似中心,其中,若,则DE的长为( ) A.1 B.2 C.4 D.16 5. 如图,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点O在坐标原点,边OA在x轴上, OC在y轴上,如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似,且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的,那么点B′的坐标是【 】 A.(-2,3) B.(2,-3) C.(3,-2)或(-2,3) D.(-2,3)或(2,-3) 6.在平面直角坐标系中,已知,,以原点为位似中心,按位似比把缩小,则点的对应点的坐标为( ) A.(3, 1) B.(-2, -1) C.(3, 1)或(-3, -1) D.(2, 1)或(-2, -1) 7.下列说法正确的是( ) A.若点C是线段AB的黄金分割点,AB=2,则AC= B.平面内,经过矩形对角线交点的直线,一定能平分它的面积 C.两个正六边形一定位似 D.菱形的两条对角线互相垂直且相等 8.如图,在平面直角坐标系中,的顶点A在第二象限,点B坐标为,点C坐标为,以点C为位似中心,在x轴的下方作的位似图形.若点A的对应点的坐标为,点B的对应点的坐标为,则点A坐标为( ) A. B. C. D. 9.如图,在四边形中,,.先将四边形以点为中心,按顺时针方向旋转,依次旋转7次,再将得到的图案以点为位似中心,按照的比例缩小,就得到了一个漂亮的花朵图案.现以为原点,所在直线为轴建立平面直角坐标系,则图中点的坐标为( ) A. B. C. D. 10.如图,在平面直角坐标系中,等腰Rt ABC与等腰Rt CDE关于原点O成位似关系,相似比为1:3,∠ACB=∠CED=90 ,A、C、E是x轴正半轴上的点,B、D是第一象限的点,BC=2,则点D的坐标是( ) A.(9,6) B.(8,6) C.(6,9) D.(6,8) 二、填空题 11.在平面直角坐标系中, ABC顶点A的坐标为(2,4),若以原点O为位似中心,画 ABC的位似图形 A1B1C1,使 ABC与 A1B1C1的相似比等于2,则点A1的坐标为 . 12.如图,与是位似图形,且位似比是,若AB=2cm,则 cm,并在图中画出位似中心O. 13.如图,在平面直角坐标系中,矩形的顶点坐标分别是,已知矩形与矩形位似,位似中心是原点,且知形的面积等于矩形面积的,则点的对应点的坐标是 . 14.如图,在平面直角坐标系中,已知点,,以原点为位似中心,相似比为,作的位似,则线段的对应线段的长为 . 三、解答题 15.(1)如图所示,作山四边形ABCD的位似图形A'B'C'D',使四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的相似比为2∶1; (2)若已知AB=2cm,BC=cm,∠A=60 ,AB⊥BC,CD⊥DA,求四边形A'B'C'D'的面积. 16.如图,如果虚线图形与实线图形是位似图形,求它们的相似比并找出位似中心. 17.如图,把缩小后得到,求与的相似比. 18.如图, EFD和 CFB是以点F为位似中心的位似图形,EF:FC=1:2,若S EFD=1,求四边形EBCD的面积. 19.如图,图中的小方格都是边长为的正方形,的顶点都在小正方形的顶点上.若点的坐标为,点的坐标为 (1)则点的坐标是_.点的坐标是_. (2)画出关于点为位似中心的一个位似,且与的相似比为;并写出下面三个点的坐标.点的坐标是_,的坐标是_,点的坐标是_. 20.如图,在中,点、、分别是边、、的中点,与是否位似?如果位似,找出位似中心? 21.如图,在网格图中,每个小正方形边长均为,点和的顶点均在小正方形的格点上. (1)以为位似中心,在网格图中作,使和位似,且相似比为; (2)连接(1)中的、,求四边形的周长.(结果保留根号) 22.如图,方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,在建立平面直角坐标系后,的顶点在格点上,且,, 画出,并求出的面积. 以点O为位似中心,画出的位似图形,使之与的相似比为1:2. 23.已知在平面直角坐标系中的位置如图所示. (1)在图中画出沿x轴翻折后的; (2)在第一象限方格纸中,以点为位似中心,画,使它与位似,且相似比为2; (3)填空:点坐标_;与的周长比是_. 1 学科网(北京)股份有限公司 $$