第09讲 圆周角 （知识清单+5大题型+好题必刷） 核心知识点与常见题型通关讲解练【暑假预习】2025-2026学年九年级上册数学（浙教版）

第09讲 圆周角 （知识清单+5大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 圆周角的概念辨析及简单运算 题型二 圆周角定理 题型三 同弧或等弧所对的圆周角相等 题型四 半圆（直径）所对的圆周角是直角 题型五 90度的圆周角所对的弦是直径 知识清单 知识点1．圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 知识点2．圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 知识点3．相交弦定理 （1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）． 几何语言：若弦AB、CD交于点P，则PA•PB＝PC•PD（相交弦定理）　　 （2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．　　 　　几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2＝PA•PB（相交弦定理推论）． 题型练习 【题型一】圆周角的概念辨析及简单运算 【例1】（九年级上·浙江湖州·期末）下列说法正确的是（    ） A．等弧所对的圆周角相等 B．平分弦的直径垂直于弦 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．过弦的中点的直线必过圆心 【举一反三】 1．（浙江温州·一模）如图，⊙O的两条弦AB⊥CD，已知∠ADC＝35°，则∠BAD的度数为（　　） A．55° B．70° C．110° D．130° 2．（九年级上·浙江绍兴·期中）如图，直线经过的圆心 ，且与交于两点，点在上，且 ，点是直线上的一个动点 (与圆心不重合)， 直线与相交于另一点，如果，则 . 3．把下面的语句还原成图形： 作图区域： (1)的半径为1cm，是的一条弦（不经过M），、分别是劣弧所对应的圆心角和圆周角； (2)是中的一条弧，且． 【题型二】圆周角定理 【例2】（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，为半圆的直径，已知，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，已知，为上一点，以为半径的圆经过点，且与、交于点、，设，，则（   ） A．若，则弧的度数为 B．若，则弧的度数为 C．若，则弧的度数为 D．若，则弧的度数为 2．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，有大、小两个量角器的零刻度线都在直线上，且小量角器的中心点恰好在大量角器的外边缘上．若它们外边缘上的公共点在大量角器上对应的度数为，则的度数为 ． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，是的直径，是弦，半径，连结． 求证：． 【题型三】同弧或等弧所对的圆周角相等 【例3】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，是的弦，点，都在上，若，则（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，点在优弧上，将弧沿折叠后刚好经过的三等分点，，若的半径为，，则的长是（   ） A．8 B． C．6 D． 2．（24-25九年级上·浙江宁波·开学考试）如图，是半圆O的直径，点C为半圆O上一动点（除点A，B外），若圆弧沿所在的直线折叠后与直径交于点D（D在O右侧），当，时，CD ． 3．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，是的直径，弦于点P，连结，，． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 【题型四】半圆（直径）所对的圆周角是直角 【例4】（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，是的直径，是的弦，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图，小温将三角板角的顶点落在圆上，量出另两个交点的距离，则的半径为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江·阶段练习）如图，为的直径，是上一点，以为圆心，适当长为半径作弧交直径所在的直线于点；分别以为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；连结并延长交于点，交于点；以为圆心，长为半径作弧交于点，连结．若，，则的半径长是 ． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图是一条弧形道路和两块三角形的空地组成的区块．，，三点在一条直线上，且，． (1)求证：； (2)若且点在弧所在的圆上，在劣弧上找一点，使得四边形的周长最大，并求出周长的最大值． 【题型五】90度的圆周角所对的弦是直径 【例5】（23-24九年级上·浙江金华·期中）下列四个命题中，真命题的是（　　） A．三点确定一个圆 B．相等的圆心角所对的弦相等 C．圆心角是圆周角的2倍 D．的圆周角所对的弦是直径 【举一反三】 1．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，点A、B均在上，将绕点B顺时针旋转得使得点D落在上，再将绕点D顺时针旋转得使得点G落在上，若点C恰在线段上，下列结论：①；②是直径；③点B、C、G三点共线；④．正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 2．（24-25九年级上·浙江·期中）如图，在每个小正方形的边长均为1的网格图中，一段圆弧经过格点A，B，C，格点A，D的连线交圆弧于点E，则的长为 ． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，经过原点且与两坐标轴分别交于点和点，点的坐标为，点的坐标为，解答下列各题： (1)求线段的长； (2)求的半径及圆心的坐标． 好题必刷 一、单选题 1．如图所示，已知圆心角，则圆周角的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠CAB＝65°，则∠ADC的度数为（　　） A．25° B．35° C．45° D．65° 3．如图所示，A，D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D＝35°，则∠ACB的度数是（  ） A．35° B．55° C．65° D．70° 4．如图，AB、CD是⊙O的两条弦，连接AD、BC．若∠BAD=60°，则∠BCD的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 5．如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=56°，则∠BCD的度数是（    ） A．46° B．56° C．34° D．24° 6．下列图形的四个顶点在同一个圆上的是（    ） A．菱形、平行四边形 B．矩形、正方形 C．正方形、菱形 D．矩形、平行四边形 7．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则弦CD的长为（　　） A．2 B．3 C． D．4 8．如图，已知AC是⊙O的直径，点B在圆周上（不与A、C重合），点D在AC的延长线上，连接BD交⊙O于点E，若∠AOB=3∠ADB，则（　　） A．DE=EB B．DE=EB C．DE=DO D．DE=OB 9．如图，为半圆直径，、为圆周上两点，且，与交于点，则图中与相等的角有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 10．已知锐角，如图， （1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点，连接； （2）分别以点，为圆心，长为半径作弧，交于点； （3）连接． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的个数为的（    ） ①；②若．则；③；④；⑤； A．1个 B．2个 C．3 D．4个 二、填空题 11．图中圆心角∠AOB=30°，弦，延长CO与圆交于点D，则∠BOD= ． 12．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠ABD＝62°，则∠BCD＝ ． 13．如图，在⊙O中，CD是直径，弦ABCD，垂足为E，连接BC，若AB=cm，，则圆O的半径为 cm． 14．如图，在⊙O中，弦AC=2，点B是圆上一点，且∠ABC=45°，则⊙O的半径R= ． 15．如图，是的内接三角形．若，，则的半径是 ． 16．如图，是⊙的一条弦，点是⊙上一动点，且，点、分别是、的中点，直线与⊙交于、两点，若⊙的半径为，则的最大值为 三、解答题 17．的半径为1cm，为的内接三角形，且，求的度数. 18．判断下列图形中的角是不是圆周角，并说明理由： 19．如图，是上的两点，是的中点，求证；四边形是菱形． 20．如图所示，AB为半圆O的直径，OC⊥AB，OD平分∠BOC，交半圆于点D，AD交OC于点E，试求∠AEO的度数. 21．如图所示，∠BAC是⊙O的圆周角，且∠BAC=45°，BC=2，试求⊙O的半径大小． 22．已知圆O的直径AB=12，点C是圆上一点，且∠ABC=30°，点P是弦BC上一动点，过点P作PD⊥OP交圆O于点D． （1）如图1，当PD∥AB 时，求PD的长； （2）如图2，当BP平分∠OPD时，求PC的长． 23．如图，是等边三角形的外接圆，是上一点． (1)填空：______度，______度； (2)若的半径为4，求等边三角形的面积； (3)求证：． 24．请使用直尺和圆规，按照下列作法完成作图，保留作图痕迹，并证明． 已知：如图，为的直径． 求作：的内接正方形． 作法：（1）分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M； （2）作直线分别交于点B，点D； （3）连接，，，． ∴四边形就是所求作的的内接正方形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 圆周角 （知识清单+5大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 圆周角的概念辨析及简单运算 题型二 圆周角定理 题型三 同弧或等弧所对的圆周角相等 题型四 半圆（直径）所对的圆周角是直角 题型五 90度的圆周角所对的弦是直径 知识清单 知识点1．圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 知识点2．圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 知识点3．相交弦定理 （1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）． 几何语言：若弦AB、CD交于点P，则PA•PB＝PC•PD（相交弦定理）　　 （2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．　　 　　几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2＝PA•PB（相交弦定理推论）． 题型练习 【题型一】圆周角的概念辨析及简单运算 【例1】（九年级上·浙江湖州·期末）下列说法正确的是（    ） A．等弧所对的圆周角相等 B．平分弦的直径垂直于弦 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．过弦的中点的直线必过圆心 【答案】A 【知识点】垂径定理的推论、圆周角的概念辨析及简单运算、同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】根据圆周角定理，垂径定理的推论，圆心角、弧、弦的关系，对称轴的定义逐项排查即可． 【详解】解：A. 同弧或等弧所对的圆周角相等，所以A选项正确； B.平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，所以B选项错误； C、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所以C选项错误； D.圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以D选项错误. 故选A. 【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系,轴对称图形，垂径定理，圆周角定理等知识点．灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 【举一反三】 1．（浙江温州·一模）如图，⊙O的两条弦AB⊥CD，已知∠ADC＝35°，则∠BAD的度数为（　　） A．55° B．70° C．110° D．130° 【答案】A 【知识点】圆周角的概念辨析及简单运算 【分析】根据垂直定义和三角形的两锐角互余进行解答即可． 【详解】解：∵AB⊥CD， ∴∠ADC+∠BAD=90°， ∵∠ADC=35°， ∴∠BAD=90°﹣35°=55°， 故选：A． 【点睛】本题考查垂直定义、直角三角形的两锐角互余，熟练掌握直角三角形的两锐角互余是解答的关键． 2．（九年级上·浙江绍兴·期中）如图，直线经过的圆心 ，且与交于两点，点在上，且 ，点是直线上的一个动点 (与圆心不重合)， 直线与相交于另一点，如果，则 . 【答案】40°、20°、100° 【知识点】等边对等角、圆周角的概念辨析及简单运算 【分析】点P是直线l上的一个动点，因而点P与线段AO有三种位置关系，在线段上，点P在延长线上，点P在的延长线上．分这三种情况进行讨论即可． 【详解】解：①根据题意，画出图1， 在中，， ∴， 在中， ∴ 又∵ ∴ 在中， 即 整理得， ∴ ． ②当P在线段的延长线上，如图2 在中， 把①②代入③得 则 ∴ ③当P在线段的反向延长线上，如图3， ①②③④联立得 故答案为：40°、20°、100°． 【点睛】本题主要考查了圆的认识及等腰三角形等边对等角的性质，画出图形，进行分类讨论是解题的关键． 3．把下面的语句还原成图形： 作图区域： (1)的半径为1cm，是的一条弦（不经过M），、分别是劣弧所对应的圆心角和圆周角； (2)是中的一条弧，且． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、圆心角概念辨析及简单运算、圆周角的概念辨析及简单运算、画圆(尺规作图) 【分析】（1）画非直径的弦，在优弧上取点C，连接，，即可解答； （2）在上取一点D，以为半径画弧，交于点E，即可． 【详解】（1）解：如图，和为所作； 作图区域：        （2）解：如图，在上取一点D，以为半径画弧，交于点E，根据等弦对等弧，可得，即为所作， 作图区域：    【点睛】本题考查了作图-复杂作图，熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解乘基本作图，逐步操作即可． 【题型二】圆周角定理 【例2】（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，为半圆的直径，已知，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】圆周角定理、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】此题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系．利用圆周角定理求得，推出，由，得到，据此计算求得答案即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，已知，为上一点，以为半径的圆经过点，且与、交于点、，设，，则（   ） A．若，则弧的度数为 B．若，则弧的度数为 C．若，则弧的度数为 D．若，则弧的度数为 【答案】D 【知识点】圆周角定理、三角形的外角的定义及性质 【详解】本题考查了圆周角定理，外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．连接，根据圆周角定理求出，求出，再根据三角形外角性质得出，求出的度数是，再逐个判断即可． 【解答】解：连接， 设的度数是， 则， 过， ， ， ， ，， ， 解得：， 即的度数是， 当，即时， ∴的度数是或， 故选项，C不符合题意； 当时，的度数是， 故选项B错误，选项D正确； 故选：D． 2．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，有大、小两个量角器的零刻度线都在直线上，且小量角器的中心点恰好在大量角器的外边缘上．若它们外边缘上的公共点在大量角器上对应的度数为，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、圆周角定理、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形外角性质，等腰三角形的性质，连接，由圆周角定理得，，进而由三角形外角性质得，即得，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，是的直径，是弦，半径，连结． 求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】利用垂径定理求值、圆周角定理 【分析】本题考查了垂径定理和圆周角定理，延长交于点E，得，由垂径定理得，故可得，由 的度数，的度数，可得结论． 【详解】证明：延长交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵的度数，的度数， ∴． 【题型三】同弧或等弧所对的圆周角相等 【例3】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，是的弦，点，都在上，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】本题考查了同弧所对圆周角相等，根据，可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，点在优弧上，将弧沿折叠后刚好经过的三等分点，，若的半径为，，则的长是（   ） A．8 B． C．6 D． 【答案】A 【知识点】利用垂径定理求值、利用弧、弦、圆心角的关系求解、同弧或等弧所对的圆周角相等、折叠问题 【分析】连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点，首先根据题意可知，，结合垂径定理可知，进而由勾股定理可解得的值；再结合折叠的性质可知弧和弧所在的圆为等圆，进而可得，易知，由等腰三角形的性质可得，证明四边形为矩形，由矩形的性质可得，，在中，由勾股定理解得的值，然后解得，最后在中由勾股定理计算的长即可． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点， ∵的半径为，，点为的三等分点，且， ∴，，， ∴， ∵将弧沿折叠， ∴弧和弧所在的圆为等圆， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴在中，， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，弧、弦、圆周角的关系，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题关键． 2．（24-25九年级上·浙江宁波·开学考试）如图，是半圆O的直径，点C为半圆O上一动点（除点A，B外），若圆弧沿所在的直线折叠后与直径交于点D（D在O右侧），当，时，CD ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系和折叠的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，得到，则是解答的关键．过C作于H，连接，，先根据圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系求得，，则，再根据等腰三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：解：过C作于H，连接，， ∵是半圆O的直径，，， ∴，，又， ∴， ∵圆弧沿所在的直线折叠后与直径交于点D， ∴和所在的圆是等圆，又和所对的圆周角都是， ∴，则， ∵， ∴，则， 在中，， 在中， ∴． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，是的直径，弦于点P，连结，，． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】本题主要考查了等弧所对的圆周角相等，垂径定理，勾股定理等知识点，熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）由垂径定理可得，再由等弧所对的圆周角相等即可得出结论； （2）由垂径定理可得，设的半径为，利用勾股定理列方程求解即可得出答案． 【详解】（1）证明：是的直径，， ∴， ； （2）解：是的直径，， ∴， 设的半径为， 根据勾股定理可得：， 即：， 解得：， ∴的半径为． 【题型四】半圆（直径）所对的圆周角是直角 【例4】（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，是的直径，是的弦，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、直角三角形的两个锐角互余 【分析】根据是的直径，得到，根据，得到，解答即可． 本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图，小温将三角板角的顶点落在圆上，量出另两个交点的距离，则的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】含30度角的直角三角形、同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】本题考查了直径所对的圆周角等于，圆周角定理，含的直角三角形，掌握以上知识点是解答本题的关键． 作直径，连接，得到，根据圆周角定理得到，进而可求出直径的长度，最后可求出半径． 【详解】解：作直径，连接，如图： 为直径， ， ， ， 的半径为， 故选：C． 2．（24-25九年级上·浙江·阶段练习）如图，为的直径，是上一点，以为圆心，适当长为半径作弧交直径所在的直线于点；分别以为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；连结并延长交于点，交于点；以为圆心，长为半径作弧交于点，连结．若，，则的半径长是 ． 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】根据题意可得，如图所示，连接，设的半径为，，则，在中运用勾股定理可得，则有，由为的直径，得到，在中，运用勾股定理列式，再因式分解求一元二次方程即可求解． 【详解】解：根据作图可得， ∴， 如图所示，连接， 设的半径为， ∴，则， ∴， 在中，， ∴， ∵以为圆心，长为半径作弧交于点， ∴， ∵为的直径， ∴， 在中，， ∴，整理得，， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴的半径长是， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了垂直作图，垂径定理，勾股定理的运用，因式分解求一元二次方程，掌握垂径定理与勾股定理的综合，解一元二次方程的方法是解题的关键． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图是一条弧形道路和两块三角形的空地组成的区块．，，三点在一条直线上，且，． (1)求证：； (2)若且点在弧所在的圆上，在劣弧上找一点，使得四边形的周长最大，并求出周长的最大值． 【答案】(1)见解析； (2)见解析， 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、垂径定理的推论、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）由已知条件得出，即可证明； （2）连接，过点作于点，交于点，即为所求点，用垂径定理、勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：， 在中，，， ， ，， ； （2）解：由（1）知，， ， ， 连接，过点作于点，交于点，即为所求点， 点在所在的圆上， 是直径，是弦， ， ，， ， ， 在中， 设，则， 由勾股定理得， 解得，， ， 最大值为， 综上所述，周长最大值为． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定、勾股定理、垂径定理的推论及角三角形的性质，熟知相关性质定理、正确作出辅助线是正确解答此题的关键． 【题型五】90度的圆周角所对的弦是直径 【例5】（23-24九年级上·浙江金华·期中）下列四个命题中，真命题的是（　　） A．三点确定一个圆 B．相等的圆心角所对的弦相等 C．圆心角是圆周角的2倍 D．的圆周角所对的弦是直径 【答案】D 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求证、90度的圆周角所对的弦是直径、判断命题真假 【分析】本题考查判断命题的真假，圆的确定，弧，弦，角之间的关系，圆周角定理．根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、不共线的三点确定一个圆，故A不符合题意； B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故B不符合题意； C、同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，故C不符合题意； D、的圆周角所对的弦是直径，正确，故D符合题意． 故选：D． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，点A、B均在上，将绕点B顺时针旋转得使得点D落在上，再将绕点D顺时针旋转得使得点G落在上，若点C恰在线段上，下列结论：①；②是直径；③点B、C、G三点共线；④．正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【知识点】等边对等角、90度的圆周角所对的弦是直径、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，90度圆周角对的弦为直径等知识；由旋转的性质可判断①；连接，设，则可得，从而可求得，计算出，由此则可判断②；延长交圆于点，由为直角即可判断③；根据旋转角度的大小即可判断④；最后可确定答案． 【详解】解：由旋转性质知：，且它们等于旋转角，故正确； 如图，连接，设，则； 由旋转性质知：， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴ ∴为的直径； 故②正确； 延长交圆于点，如图， ∵为直角， ∴为圆的直径； ∵为的直径， ∴必重合， 即点B、C、G三点共线； 故③正确； ∵为旋转角， ∴当旋转角为时，有， 否则； 故④错误； 综上，正确的有①②③三个； 故选：A． 2．（24-25九年级上·浙江·期中）如图，在每个小正方形的边长均为1的网格图中，一段圆弧经过格点A，B，C，格点A，D的连线交圆弧于点E，则的长为 ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形、90度的圆周角所对的弦是直径 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的判定和性质、圆周角定理等，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．连接，根据勾股定理的逆定理和等腰三角形的判定可得是等腰直角三角形，再根据圆周角定理和弧长的计算公式进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴是圆的直径， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，经过原点且与两坐标轴分别交于点和点，点的坐标为，点的坐标为，解答下列各题： (1)求线段的长； (2)求的半径及圆心的坐标． 【答案】(1) (2)的半径为，圆心的坐标为 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、90度的圆周角所对的弦是直径、坐标与图形综合 【分析】（）连接，利用勾股定理即可求得线段的长； （）过点作于点，过点作于点，由垂径定理可求得点的坐标，然后由圆周角定理可得是直径，即可求得的半径． 【详解】（1）解：连接， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∵， ∴； （2）解：过点作于点，过点作于点， ∴，， ∴圆心的坐标为； ∵， ∴是的直径， ∴的半径为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理，坐标与图形，正确作出辅助线是解题的关键． 好题必刷 一、单选题 1．如图所示，已知圆心角，则圆周角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】是同弧所对的圆周角和圆心角，，因为圆心角∠BOC=100°，所以圆周角∠BAC=50° 【点睛】本题考查圆周角和圆心角，解本题的关键是掌握同弧所对的圆周角和圆心角关系，然后根据题意来解答 2．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠CAB＝65°，则∠ADC的度数为（　　） A．25° B．35° C．45° D．65° 【答案】A 【分析】首先利用直径所对的圆周角是直角确定∠ACB=90°，然后根据∠CAB=65°求得∠ABC的度数，利用同弧所对的圆周角相等确定答案即可． 【详解】解：∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠CAB=65°， ∴∠ABC=90°-∠CAB=25°， ∴∠ADC=∠ABC=25°， 故选：A． 【点睛】本题考查了圆周角定理的知识，解题的关键是了解直径所对的圆周角为直角，难度不大． 3．如图所示，A，D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D＝35°，则∠ACB的度数是（  ） A．35° B．55° C．65° D．70° 【答案】B 【分析】连接AB，由圆周角定理可得∠ABC＝∠D＝35°，再由直径所对的圆周角是90度可得∠BAC＝90°，由此求解即可． 【详解】解：连接AB， 由同弧所对的圆周角相等得∠ABC＝∠D＝35°， ∵BC是⊙O的直径， ∴∠BAC＝90°， ∴∠ACB＝90°－35°＝55°． 故选B． 【点睛】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是90度，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握圆周角定理． 4．如图，AB、CD是⊙O的两条弦，连接AD、BC．若∠BAD=60°，则∠BCD的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【答案】C 【详解】试题分析：圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等，均等于所对圆心角的一半. ∵ ∴= 故选C. 考点：圆周角定理 点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握圆周角定理，即可完成. 5．如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=56°，则∠BCD的度数是（    ） A．46° B．56° C．34° D．24° 【答案】C 【分析】先判断出，从而可得，再根据同弧所对的圆周角相等可得答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴ ， ∴ ， 故选C 【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 6．下列图形的四个顶点在同一个圆上的是（    ） A．菱形、平行四边形 B．矩形、正方形 C．正方形、菱形 D．矩形、平行四边形 【答案】B 【分析】菱形、矩形、正方形都是平行四边形，平行四边形的对称中心是两条对角线的交点O，在平行四边形中四个顶点到点O距离都相等的只有矩形和正方形，所以平行四边形中只有矩形和正方形有外接圆，所以所给的图形中四个顶点在同一个圆上的是矩形和正方形． 【详解】解：∵菱形、矩形、正方形都是平行四边形， ∴平行四边形的对称中心是两条对角线的交点O，在平行四边形中四个顶点到点O距离都相等的只有矩形和正方形， ∴平行四边形中只有矩形和正方形有外接圆， ∴所给的图形中四个顶点在同一个圆上的是矩形和正方形 故选B． 【点睛】本题主要考查了矩形和正方形的共同的性质，即对角线相等且四个角都是直角． 7．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则弦CD的长为（　　） A．2 B．3 C． D．4 【答案】A 【详解】【分析】先求出∠BOC=2∠A＝30°，再根据垂径定理得CD=2BC，同时利用含有30〫角直角三角形的性质得BC=OC，可求得结果. 【详解】因为∠A＝15°，所以，∠BOC=2∠A＝30°， 因为，⊙O的直径AB垂直于弦CD，所以，∠ABC=90〫,CD=2BC， 又BC=OC=×2=1,所以，CD=2BC=2 故选A 【点睛】本题考核知识点：垂径定理，圆心角和圆周角，直角三角形. 解题关键点：推出含有30〫角的直角三角形，并运用垂径定理. 8．如图，已知AC是⊙O的直径，点B在圆周上（不与A、C重合），点D在AC的延长线上，连接BD交⊙O于点E，若∠AOB=3∠ADB，则（　　） A．DE=EB B．DE=EB C．DE=DO D．DE=OB 【答案】D 【详解】解：连接EO. ∴∠B=∠OEB， ∵∠OEB=∠D+∠DOE，∠AOB=3∠D， ∴∠B+∠D=3∠D， ∴∠D+∠DOE+∠D=3∠D， ∴∠DOE=∠D， ∴ED=EO=OB， 故选D. 9．如图，为半圆直径，、为圆周上两点，且，与交于点，则图中与相等的角有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】首先与∠BCE相等的角有对顶角∠DCA．由于AB是圆 O的直径，可得∠ADB=90°；已知AD=DE，根据垂径定理可知OD⊥AE；根据等角余角相等，可得出∠DCA=∠ADO=∠DAO；易证得△OAD≌△OED，因此∠DAB=∠ADO=∠ODE=∠DEO；因此与∠BCE相等的角有5个：∠DCA、∠OAD、∠ODA、∠ODE、∠OED． 【详解】解：∵在△ADO和△DOE中 ∴△OAD≌△ODE(SSS), ∴∠DAB=∠EDO，∠ADO=∠DEO， ∵AO=DO， ∴∠DAB=∠ADO， ∴∠DAB=∠ADO=∠ODE=∠DEO； ∵AB是直径， ∴ ∵AD=DE， ∴∠ABD=∠DBE， ∴ ∴∠DAB=∠BCE， ∵∠DCA=∠BCE（对顶角相等） ∴∠DCA=∠DAB=∠ADO=∠ODE=∠DEO， 则与∠ECB相等的角有5个． 故选D． 【点睛】考查全等三角形的判定与性质，圆周角定理，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 10．已知锐角，如图， （1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点，连接； （2）分别以点，为圆心，长为半径作弧，交于点； （3）连接． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的个数为的（    ） ①；②若．则；③；④；⑤； A．1个 B．2个 C．3 D．4个 【答案】C 【分析】由作图知，OM=OC=OD，再利用对称的性质逐一判断可得． 【详解】由作图知CM=CD=DN， ∴∠COM=∠COD，故①正确； ∵OM=ON=MN， ∴△OMN是等边三角形， ∴∠MON=60°， ∵CM=CD=DN， ∴∠MOA=∠AOB=∠BON=∠MON=20°，故②正确； ∵所对的圆心角是，所对的圆周角是 ∴，故③不正确； ∵∠MOA=∠AOB=∠BON， ∴∠OCD=∠OCM= ∴∠MCD=180°-∠COD， 又∠CMN=∠AON=∠COD， ∴∠MCD+∠CMN=180°， ∴MN∥CD，故④正确； ∵MC+CD+DN＞MN，且CM=CD=DN， ∴3CD＞MN，故⑤错误； ①②④正确 故选C 【点睛】本题考查作图-复杂作图，弧、圆心角和弦之间的关系，平行线的判定，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 二、填空题 11．图中圆心角∠AOB=30°，弦，延长CO与圆交于点D，则∠BOD= ． 【答案】30°/30度 【分析】根据平行线的性质由，得到∠CAO=∠AOB=30°，利用半径相等得到∠C=∠OAC=30°，然后根据圆周角定理得到∠AOD=2∠C=60°，则∠BOD=60°－30°=30°． 【详解】∵，∠AOB=30°， ∴∠CAO=∠AOB=30°． ∵OA=OC， ∴∠C=∠OAC=30°． ∵∠C和∠AOD是同弧所对的圆周角和圆心角， ∴∠AOD=2∠C=60°． ∴∠BOD=60°－30°=30°． 故答案为：30°． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角的度数等于它所对应的圆心角度数的一半，也考察了平行线的性质． 12．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠ABD＝62°，则∠BCD＝ ． 【答案】28° 【详解】∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠ABD=62°， ∴∠ACD=∠ABD=62°， ∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=28°． 故答案为28°． 点睛：本题考查圆周角定理的推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等；②半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 13．如图，在⊙O中，CD是直径，弦ABCD，垂足为E，连接BC，若AB=cm，，则圆O的半径为 cm． 【答案】2 【详解】解：如图，连接OB ∵ ∴ ∵在⊙O中，CD是直径，弦ABCD ∴AE=BE，且△OBE是等腰直角三角形 ∵AB=cm ∴BE=cm ∴OB=2 cm 故答案为：2． 【点睛】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理和等腰直角三角形的性质，熟练掌握运用这些性质定理是解题关键． 14．如图，在⊙O中，弦AC=2，点B是圆上一点，且∠ABC=45°，则⊙O的半径R= ． 【答案】 【分析】通过∠ABC=45°，可得出∠AOC=90°，根据OA=OC就可以结合勾股定理求出AC的长了． 【详解】∵∠ABC=45°， ∴∠AOC=90°， ∴OA2+OC2=AC2． ∴OA2+OA2=（2）2． ∴OA=． 故⊙O的半径为． 故答案为：． 15．如图，是的内接三角形．若，，则的半径是 ． 【答案】1 【分析】连接、，根据圆周角定理得到，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：连接、， ， ， ，即， 解得：， 故答案为：1． 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、勾股定理是解题的关键． 16．如图，是⊙的一条弦，点是⊙上一动点，且，点、分别是、的中点，直线与⊙交于、两点，若⊙的半径为，则的最大值为 【答案】 【分析】连接，，根据圆周角定理，求出，进而判断为等边三角形，然后根据⊙的半径为，可得，再根据三角形的中位线定理，求出的长度，最后判断出当弦是圆的直径时，弦长度有最大值，进而求出的最大值． 【详解】如图，连接，． ， ， ， 为等边三角形， ⊙的半径为， 点、分别是、的中点， ， 要求的最大值，即求的最大值，也就是弦长度的最大值， 当弦是⊙的直径时，弦的长度有最大值， 弦的长度最大值为：， 的最大值为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形中位线定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握作辅助线解题，学会转化的思想． 三、解答题 17．的半径为1cm，为的内接三角形，且，求的度数. 【答案】或. 【分析】连接OB、OC，易证△OBC是直角三角形，然后分当圆心在内部和当圆心在外部两种情况，分别利用圆周角定理计算． 【详解】解：此题有两种情况. ①当圆心在内部时；如图所示. ，， . . ； ②当圆心在外部时，如图所示. 同理，，∠D=45°， ∵∠A+∠D=180°， ∴ . 综上所述，或. 故答案为或. 【点睛】本题考查圆周角定理，正确理解应分两种情况进行讨论是关键． 18．判断下列图形中的角是不是圆周角，并说明理由： 【答案】图（3）是圆周角．图（1）（2）的顶点没有在圆上，图（4）（5）中角的两边没有都与圆相交，都不是圆周角． 【分析】根据圆周角的定义对各图进行判断即可． 【详解】解：图（3）顶点在圆上，并且两边都与圆相交，是圆周角．图（1）（2）的顶点没有在圆上，图（4）（5）中角的两边没有都与圆相交，都不是圆周角． 【点睛】本题考查了圆周角定义，解题关键是明确顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 19．如图，是上的两点，是的中点，求证；四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】连接OC，证明 再证明为等边三角形，结合菱形的判定，从而可得结论. 【详解】证明：连接OC，∵C是的中点， ∴＝，又∵∠AOB＝120°， ∴∠AOC＝∠BOC＝×120°＝60°， 又∵OA＝OC＝OB， ∴△AOC与△BOC均是等边三角形， ∴OA＝AC＝OC，BO＝OC＝BC， ∴OA＝AC＝BC＝OB， ∴四边形OACB是菱形． 【点睛】本题考查的是圆的基本性质，圆周角定理的应用，等边三角形的判定与性质，菱形的判定，熟练运用等边三角形与菱形的判定是解题的关键. 20．如图所示，AB为半圆O的直径，OC⊥AB，OD平分∠BOC，交半圆于点D，AD交OC于点E，试求∠AEO的度数. 【答案】67.5°. 【分析】由圆周角定理可得∠A=∠DOB，根据角平分线性质进行计算即可得到答案. 【详解】∵圆周角∠A与圆心角∠BOD所对的弧是同一条弧， .∴∠A=∠DOB. ∵OC⊥AB，OD平分∠BOC， ∴∠DOB=∠COB=45° ∴∠A=22.5° 又∵OC⊥AB ∴∠AOE=90° ∴∠AEO=90°-22.5°=67.5°. 【点睛】本题考查圆周角定理和角平分线性质，解题的关键是掌握圆周角定理和角平分线性质. 21．如图所示，∠BAC是⊙O的圆周角，且∠BAC=45°，BC=2，试求⊙O的半径大小． 【答案】2. 【详解】试题分析：由∠BAC=45°可得∠BOC=90°，由OB=OC可求出∠OCB=45°，已知BC的长度，利用锐角三角函数不难求出OB长度. 试题解析： ∵∠BAC=45°， ∴∠BOC=90°， ∵OB=OC， ∴∠OCB=45°， ∵BC=2， ∴sin45°===, ∴OB=2． 即⊙O的半径为2． 点睛：熟练运用圆周角定理. 22．已知圆O的直径AB=12，点C是圆上一点，且∠ABC=30°，点P是弦BC上一动点，过点P作PD⊥OP交圆O于点D． （1）如图1，当PD∥AB 时，求PD的长； （2）如图2，当BP平分∠OPD时，求PC的长． 【答案】（1）PD=;(2)PC=3 【分析】（1）先判断出∠POB=90°，进而求出OP＝OB•tan30°＝2 最后用勾股定理即可得出结论； （2）先求出OH＝OB＝3，BH＝OB•cos30°＝3，进而求出CH＝BH＝3，即可得出结论． 【详解】解：如图1，连接OD . ∵直径AB=12 ∴OB=OD=6 ∵PD⊥OP ∴∠DPO=90° ∵PD∥AB ∴∠DPO+∠POB=180° ∴∠POB=90° 又∵∠ABC=30°，OB=6 ∴， ∵在Rt△POD 中，PO2+PD2=OD2 ∴, ∴; （2）如图2，过点O 作OH⊥BC，垂足为H ∵OH⊥BC ∴∠OHB=∠OHP=90° ∵∠ABC=30°，OB=6 ∴，， ∵在⊙O 中，OH⊥BC ∴. ∵BP 平分∠OPD ∴∠BPO=∠DPO=45°， ∴PH=OH•cot45°=3 ∴PC=CH-PH=． 【点睛】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，锐角三角函数，利用锐角三角函数求出线段是解本题的关键． 23．如图，是等边三角形的外接圆，是上一点． (1)填空：______度，______度； (2)若的半径为4，求等边三角形的面积； (3)求证：． 【答案】(1)60；60 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据等边三角形性质得出，然后根据圆周角定理即可得出答案； （2）连接，并延长交于点D，连接，先证明，，根据直角三角形性质，求出，根据勾股定理求出，根据三角形面积公式求出结果即可； （3）在上截取，连接，证明为等边三角形，得出，，证明即可得出结论． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴，， ∴，； 故答案为：60；60． （2）解：连接，并延长交于点D，连接，如图所示： ∵是等边三角形的外接圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． （3）解：在上截取，连接，如图所示： ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，能够熟练运用相似三角形的判定与性质是解题关键． 24．请使用直尺和圆规，按照下列作法完成作图，保留作图痕迹，并证明． 已知：如图，为的直径． 求作：的内接正方形． 作法：（1）分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M； （2）作直线分别交于点B，点D； （3）连接，，，． ∴四边形就是所求作的的内接正方形． 【答案】见解析 【分析】根据作法画出对应的几何图形，根据作图过程可得是的垂直平分线，然后根据圆心角、弧、弦定理证明四边形是菱形，再根据直径所对圆周角是直角可判断四边形是正方形． 【详解】解：如图所示： 证明：由作图可知：∵是的垂直平分线， ∴． ∴．（同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等）， ∴四边形是菱形． 又∵是的直径， ∴．（直径所对圆周角是直角）， ∴四边形是正方形． 【点睛】本题考查了作图—复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理和正方形的判定方法. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$