第03章 概率的进一步认识 章节（3知识点回顾+11题型练习） 核心知识点与常见题型通关讲解练【暑假预习】2025-2026学年九年级上册数学（北师大版）

第03章 概率的进一步认识 章节（3知识点回顾+11题型练习） 题型汇聚 题型一 几何概率 题型二 列举法求概率 题型三 列表法或树状图法求概率 题型四 游戏的公平性 题型五 利用概率计算随机事件发生的平均次数 题型六 概率在转盘抽奖中的应用 题型七 概率在比赛中的应用 题型八 概率的其他应用 题型九 求某事件的频率 题型十 由频率估计概率 题型十一 用频率估计概率的综合应用 知识清单 知识点1．概率公式 （1）随机事件A的概率P（A）＝． （2）P（必然事件）＝1． （3）P（不可能事件）＝0． 知识点2．列表法与树状图法 （1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率． （2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率． （3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图． （4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n． （5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举． 知识点3．利用频率估计概率 （1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 题型练习 题型一 几何概率 1．（24-25九年级上·辽宁本溪·期中）一个转盘上有红色、蓝色两种颜色，转动200次转盘，则指针指向红色区域的概率为（    ） A． B． C．1 D．不确定 【答案】D 【知识点】几何概率 【分析】本题主要考查了几何概率，掌握概率等于相应的面积与总面积之比成为解题的关键． 红色区域所占面积与转盘面积之比即为指针指向红色区域的概率，据此即可解答． 【详解】解：因红色区域面积未知，故指针指向红色区域的概率也未知． 故选D． 2．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）“七巧板”是我国古代的一种拼图玩具，由5块等腰直角三角形，1块正方形和1块平行四边形薄板组成．如图①是小明用正方形纸板制作的七巧板，图②是用该七巧板拼出的狐狸图案的飞镖盘，若小明每次扔飞镖时，飞镖都能掷在狐狸上，则随机投掷一次，掷在狐狸头部的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】几何概率 【分析】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．根据几何概率的求法：飞镖掷在狐狸头部的概率是就是狐狸头部的面积与总面积的比值． 【详解】解：∵七巧板的面积是8个空白正方形的面积，而狐狸头部是2个空白正方形的面积， ∴随机投掷一次，掷在狐狸头部的概率是． 故选：A． 3．（22-23九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，一个转盘被分成3个扇形，扇形、扇形、扇形的圆心角分别为，，，自由转动转盘1次，则指针落在扇形的概率是 ． 【答案】 【知识点】几何概率 【分析】此题考查几何概率的求法．求出A区域圆心角在整个圆中所占的比例，这个比例即为所求的概率． 【详解】解：∵转盘的A扇形、B扇形和C扇形的圆心角分别为、、， ∴让转盘自由转动1次，指针落在A区域的概率为：， 故答案为：． 4．（2024九年级上·全国·专题练习）如图所示，有一个转盘，转盘上有一个可转动的指针，已知指针转动一定的时间后停在红色部分、黄色部分、白色部分三者的概率之比为，转盘的半径为2个单位，则红色部分、黄色部分、白色部分面积各是多少？ 【答案】，， 【知识点】几何概率、根据概率公式计算概率 【分析】用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比，所以相应的面积总面积概率． 首先求出转盘的面积，然后根据“指针转动一定的时间后停在红色部分、黄色部分、白色部分三者的概率之比为”求出各个部分在转盘中所占的比例，从而得出各个部分的面积． 【详解】解：转盘的半径为2个单位， 转盘的面积为， 又指针转动一定的时间后停在红色部分、黄色部分、白色部分三者的概率之比为， 即红色部分、黄色部分、白色部分在转盘中占的比例分别为、、， 所以红色部分的面积为， 黄色部分的面积为， 白色部分的面积为． 题型二 列举法求概率 5．（24-25九年级上·江西吉安·期末）同时抛掷两枚面值相同的硬币，则至少有一枚硬币正面朝上的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列举法求概率 【分析】本题主要考查了概率公式，掌握运用列举法求概率成为解题的关键． 先列举出所有的情况，然后运用概率求得至少有一枚硬币正面朝上的概率即可． 【详解】解：同时抛掷两枚硬币得结果有：正正、正反、反正、反反四种情况， 则至少有一枚硬币正面朝上的概率为． 故选：C． 6．（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）如图，若随机用合开关中的两个，则能让两灯泡同时发光的概率（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列举法求概率 【分析】本题考查简单的概率计算，利用列举法得到所有的等可能性，再找出能让两灯泡同时发光的的结果数，进而利用概率公式求解即可． 【详解】解：由题意，随机用合开关中的两个，所有的等可能的结果有：和、和、和，共3种，其中能让两灯泡同时发光的有和， ∴能让两灯泡同时发光的的概率为， 故选：B． 7．（24-25九年级上·吉林松原·阶段练习）如图，电路图上有，，三个开关、一个灯泡和一节电池，当闭合开关或者同时闭合开关，时，灯泡发光．现任意闭合其中一个开关，则灯泡发光的概率等于 ． 【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率、列举法求概率 【分析】本题主要考查了用列举法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，熟练掌握列举法的概念以及用列举法求概率的基本步骤是解题的关键：在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率，这种方法称为列举法；用列举法求概率的基本步骤如下：列举出一次试验的所有可能结果，假设共种；数出满足要求的结果数，假设共种；根据概率公式计算概率：概率． 按照用列举法求概率的基本步骤求解即可． 【详解】解：现任意闭合其中一个开关，则一次试验的所有可能结果共有种，即： 闭合，闭合，闭合， 满足要求的结果数共有种，即： 闭合， （灯泡发光的概率）， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·河北唐山·期末）三张卡片正面分别写有，，，除正面的数字不同外，其余均相同． (1)将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，则抽到的数字是偶数的概率为_____________； (2)将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，记正面数字为点的横坐标，放回后重新洗匀，再随机抽取一张，记正面数字为点的纵坐标，请在表格中补全两次取出的卡片上数字所形成的点坐标所有可能的结果，并求出点在反比例函数的图象上的概率． 【答案】(1)； (2)补全表格见解析；点在反比例函数的图象上的概率为． 【知识点】列举法求概率 【分析】本题主要考查了随机事件的概率．先求出所有等可能出现的情况的数量，再求出要求出现的事件的数量，根据概率公计算即可． 从，，三个数中随机抽一个数，共有三种等可能的情况，因为只有是偶数，所以抽到偶数的可能性只有一种，所以抽到偶数的概率为； 列表把所有等可能出现的情况都列出来，共有种情况，其中在反比例函数上的情况只有种，所以点在反比例函数的图象上的概率为． 【详解】（1）解：，，中只有是偶数， 抽到的数字是偶数的概率为， 故答案为：； （2）解：补充表格如下 共有种结果，只有和在反比例函数上， 点在反比例函数的图象上的概率为． 题型三 列表法或树状图法求概率 9．（九年级上·江西吉安·期末）在如图所示的电路中，随机闭合开关、、中的两个，能让灯泡发光的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比，利用树状图求概率即可． 【详解】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，能让灯泡发光的有2种情况， ∴能让灯泡发光的概率为：． 故选：B． 10．（24-25九年级上·天津宁河·期末）两个人玩“石头、剪子、布”的游戏，随机出手一次，其中一人获胜的概率是 ． 【答案】 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意画出树状图如图所示：    共有9种等可能的结果，获胜的情况有3种， 获胜的概率是：， 故答案为：． 11．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）“天宫课堂”第四课在空间站演示了四个精彩实验：球形火焰；动量守恒；奇妙“乒乓球”；又见陀螺．为弘扬科学精神，传播航天知识，感悟榜样精神与力量，某中学要求学生课后观看“天宫课堂”，为了解本次学习情况，老师在四张完全相同的卡片上分别写了，，，，搅匀后背面朝上放置，让佳佳和皮皮各从代表这四个实验的卡片中随机选出一张在班会上分享观后感． (1)佳佳随机选出的卡片代表的实验是“动量守恒”的概率为 ； (2)佳佳先从这四张卡片中随机抽取一张，然后放回，皮皮再从这四张卡片中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法求佳佳和皮皮抽到相同卡片的概率． 【答案】(1) (2)． 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了用画树状图或列表法求概率，用公式法求概率，解题关系是正确画出树状图或列出表格． （1）直接利用概率公式求解； （2）利用画树状图或列表法求解． 【详解】（1）解：由题意得，在四张完全相同的卡片上分别写了，，，， 小斌抽到动量守恒实验的概率是． 故答案为：； （2）画树状图： 两人抽到卡片可能出现的情况共有16种，其中抽到相同卡牌的结果由4种， 所以· 题型四 游戏的公平性 12．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）小明和小亮做游戏，先是各自背着对方在纸上写一个正整数，然后都拿给对方看，他们约定，若两个人所写的数的和是偶数，则小明获胜，若两个人所写的数字和是奇数，则小亮获胜，这个游戏（    ） A．无法确定对谁有利 B．对小亮有利 C．对小明有利 D．游戏公平 【答案】D 【知识点】游戏的公平性 【分析】本题主要考查了游戏的公平性，根据游戏规则，总结果有4种，分别是奇偶，偶奇，偶偶，奇奇，而和为偶数的情况和和为奇数的情况都为两种，则和为偶数的概率和和为奇数的概率相同，故游戏公平，据此可得答案． 【详解】解：根据游戏规则，总结果有4种，分别是奇偶，偶奇，偶偶，奇奇； ∵奇数与奇数的和为偶数，偶数与偶数的和为偶数，奇数与偶数的和为奇数， ∴和为偶数的情况和和为奇数的情况都为两种， ∴和为偶数的概率和和为奇数的概率相同， ∴这个游戏是公平的， 故选：D． 13．（24-25九年级上·广东江门·期末）甲、乙两人玩扑克牌游戏，游戏规则是：从牌面数字分别为2，3，4的三张扑克牌中，随机抽取一张，放回后，再随机抽取一张，若所抽取的两张牌面数字的和为奇数，则甲获胜；若所抽取的两张牌面数字的和为偶数，则乙获胜．这个游戏 ．（填“公平”或“不公平”） 【答案】不公平 【知识点】游戏的公平性 【分析】本题考查利用概率判断游戏公平性，熟练掌握列举法求概率是解题的关键，利用列表法表示出所有可能，进而利用概率公式求出即可． 【详解】解：由题可列表如下： 2 3 4 2 4 5 6 3 5 6 7 4 6 7 8 由表知，共有9种等可能结结果，其中和为奇数的有4种结果，和为偶数的有5种结果， ∴甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， ∵， ∴这个游戏不公平， 故答案为：不公平． 14．（24-25九年级上·全国·期末）如图是两个可以自由转动的转盘，转盘A中数字1所在扇形区域的圆心角为90°，转盘B被分成面积相等的三个扇形．游戏规则：依次转动转盘A，B，当转盘停止后，若指针指向的两个区域的数字之和大于5，则甲获胜；否则乙获胜．(如果指针落在分割线上，则需要重新转动转盘) (1)转动转盘B，指针指向的数字为3的概率是 ； (2)这个游戏公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由． 【答案】(1) (2)不公平，见解析 【知识点】游戏的公平性、几何概率 【分析】本题考查了概率的定义，概率的统计方式，概率的计算公式，掌握概率的定义是解题的关键． （1）先求出盘的数字3扇形区域的圆心角，再利用概率公式即可解答； （2）先用列表法求出所有可能的结果及甲、乙获胜的概率即可解答． 【详解】（1）解：转盘被分成面积相等的三个扇形，盘中数字3所对扇形区域的圆心角为， 盘中数字3所对扇形区域占整体的， ∴转动转盘B，指向的数字为3的概率是， 故答案为：； （2）解：不公平 如图，将盘4等分，这样才是指向每个区域的可能性均等，用列表法表示所有等可能出现的结果如下： 这样指向每个区域的可能性相同 列表得 AB 1 2 2 2 3 4 5 5 5 4 5 6 6 6 5 6 7 7 7 共有12种等可能结果，其中指针指向的两个区域的数字之和大于5，即甲获胜的有7种， ∴， 所以游戏不公平． 题型五 利用概率计算随机事件发生的平均次数 15．（九年级上·陕西榆林·期末）在数学活动课上，张明运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量．他先取出粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出粒豆子，发现其中粒有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为（　　）粒． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式方程的其它实际问题、利用概率计算随机事件发生的平均次数 【分析】设瓶子中有豆子x粒，根据取出100粒刚好有记号的8粒列出算式，再进行计算即可． 【详解】设瓶子中有豆子粒豆子， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， 答：估计瓶子中豆子的数量约为粒． 故选：． 【点睛】本题考查了用样本的数据特征来估计总体的数据特征，利用样本中的数据对整体进行估算是统计学中最常用的估算方法． 16．（九年级上·全国·课后作业）事件发生的概率为，大量重复做这种试验，平均每100次实验，事件发生的次数是 【答案】25 【知识点】利用概率计算随机事件发生的平均次数 【分析】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果，可得答案． 【详解】解：事件A发生的概率为，大量重复做这种试验，事件A平均每100次发生的次数是25， 故答案为：25． 【点睛】本题考查了概率的意义，大量反复试验下频率稳定值即概率．注意随机事件发生的概率在0和1之间． 17．（九年级下·重庆·阶段练习）为了解两种分别含有甲、乙离子的待检药物在实验白鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只白鼠随机分成两组，每组100只，其中组白鼠给服甲离子溶液，组白鼠给服乙离子溶液．每只白鼠给服的溶液体积与浓度均相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在白鼠体内离子的百分比． 按离子残留百分比数据分段整理，描述这两组样本原始数据如下表：        离子残留百分比 分组 给服甲离子白鼠（只数 1 8 27 30 22 12 给服乙离子白鼠（只数） 5 a 15 b 20 15 （注：表中表示实验数据的范围为） 若记为事件：“乙离子残留在实验白鼠体内的百分比不低于5.5”，根据实验数据得到的估计值为0.70． （1）_______；_______． （2）实验室常用同一组中的数据用该组区间的中点值为代表来估计数据的平均值，如对甲离子残留百分比的平均值估计如下：，用上述方法估计乙离子残留百分比的平均值． （3）甲、乙离子如残留体内会对生物体产生一定不良副作用，对原始数据进一步分析得到两组数据的中位效、众数、方差如下表所示，请根据数据分析两种待检药物哪种相对更安全？请说明理由．          离子残留百分比 分组 中位数 众数 方差 给服甲离子白鼠的实验组 5.9 6.0 1.38 给服乙离子白鼠的实验组 6.3 6.2 1.8 【答案】（1）10；35；（2）；（3））由甲乙两种离子残留百分比的平均值估计均为6.00，甲中位数5.96.3，甲好，甲离子众数6.06.3，甲好，从方差看甲离子方差1.381.8，甲好． 【知识点】利用概率计算随机事件发生的平均次数、运用方差做决策、利用合适的统计量做决策、求一组数据的平均数 【分析】（1）根据题意可求a+b=45，由的估计值为0.70，则解方程求出b，再求a即可； （2）根据样例给定的方法求即可； （3）由甲离子中位数5.96.3，甲离子众数6.06.3，从甲离子方差看甲离子方差1.381.8做决策即可． 【详解】解：（1）根据题意a+b=100-5-15-20-15=45， 因为的估计值为0.70， 则， 解得b=35，a=45-b=45-35=10， 故答案为：10；35； （2）； （3））由甲乙两种离子残留百分比的平均值估计均为6.00，甲中位数5.96.3，甲好，甲离子众数6.06.3，甲离子残留体内会对生物体产生一定不良副作用小于乙离子，甲好，从方差看甲离子方差1.381.8说明甲离子残留体内会对生物体产生一定不良副作用稳定性好于乙离子甲好． 【点睛】本题考查用概率估计样本的数据，平均数，中位数，众数，方差，掌握概率估计样本的数据，平均数，利用中位数，众数，方差进行决策是解题关键． 题型六 概率在转盘抽奖中的应用 18．（九年级上·浙江湖州·期中）如图的四个转盘中，转盘3，4被分成8等分，若让转盘自由转动一次停止后，指针落在阴影区域内可能性从大到小排列为（　 　） A．①②④③ B．③②④① C．③④②① D．④③②① 【答案】A 【知识点】概率在转盘抽奖中的应用 【详解】解：图1阴影部分为270°，图2阴影部分为240°，图3每份为45°，阴影部分共4份为180°，图4每份为45°阴影部分共5份为225°，所以①②④③， 故选A． 19．（江苏盐城·二模）如图，一个转盘被分为了A，B，C三个区域，自由转动转盘一次，当转盘停止时，指针指向A区域的概率是 ． 【答案】 【知识点】概率在转盘抽奖中的应用 【分析】根据概率的求法，找准两点： ①全部情况的总数； ②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．依此即可求解． 【详解】解：∵A区域扇形的圆心角为90°， ∴自由转动转盘一次，当转盘停止时，指针指向A区域的概率是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）． 20．（22-23九年级上·河南平顶山·期末）某商场，为了吸引顾客，在“元旦”当天举办了商品有奖酬宾活动，凡购物满200元者，有两种奖励方案供选择： 方案一：是直接获得20元的礼金卷； 方案二：是得到一次播奖的机会．规则如下：已知如图是由转盘和箭头组成的两个转盘A、B，这两个转盘除了颜色不同外，其它构造完全相同，摇奖者同时转动两个转盘，指针分别指向一个区域（指针落在分割线上时重新转动转盘），根据指针指向的区域颜色（如表）决定送礼金券的多少． 指针指向 两红 一红一蓝 两蓝 礼金券（元） 27 9 27 (1)请你用列表法（或画树状图法）求两款转盘指针分别指向一红区和一蓝区的概率． (2)如果一名顾客当天在本店购物满200元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析选择哪种方案较为实惠． 【答案】(1) (2)方案一比较实惠 【知识点】概率在转盘抽奖中的应用、列表法或树状图法求概率 【分析】（1）根据题意列出表格，然后根据概率公式求出结果即可； （2）先分别算出指针指在两个红色区域，两个蓝色区域的概率，算出按方案二获得礼金券的平均值，最后进行比较即可得出答案． 【详解】（1）解：列表格如下： 蓝 蓝 红 蓝 （蓝，蓝） （蓝，蓝） （蓝，红） 红 （红，蓝） （红，蓝） （红，红） 红 （红，蓝） （红，蓝） （红，红） ∵由表格可知，共有9种等可能结果，其中转盘指针分别指向一红区和一蓝区的情况数有5种， ∴两款转盘指针分别指向一红区和一蓝区的概率． （2）解：∵， ∴如果选择方案二，获得礼金券的平均值为： （元）， ∵， ∴选择方案一比较实惠． 【点睛】本题主要考查了列表法或画树状图法求概率，解题的关键是根据题意列出表格或画出树状图，熟练掌握概率的基本公式． 21．（22-23九年级上·陕西西安·期中）九（1）班在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：顾客购物元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数 落在“手工”区域的次数 落在“手工”区域的频率 (1)求出的值； (2)请估计当很大时，频率将会接近______；假如你去转动该转盘一次，你获得“手工”奖品的概率约是______．（精确到） 【答案】(1)， (2)， 【知识点】概率在转盘抽奖中的应用 【分析】 (1)根据频率频数总数求解即可； (2)根据表格中的数据可以估计频率是多少以及转动该转盘一次，获得“手工”的概率． 【详解】（1） 解：∵转动转盘的次数为，落在“手工”区域的频率为， ∴， ∵转动转盘的次数为，落在“手工”区域的频率为， ∴， （2） 解：∵根据表格信息可知：落在“手工”区域的频率的平均数大约为：, ∴当n很大时，频率将会接近， ∴假如你去转动该转盘一次，你获得“手工”奖品的概率约是． 故答案为：，． 【点睛】 本题考查了利用频率估计概率，明确题意，利用数形结合的思想是解题的关键． 题型七 概率在比赛中的应用 22．（四川绵阳·一模）2018（第七届）绵阳之春国际车展将于2018年4月18日-22日在绵阳国际会展中心盛大举行．某品牌汽车为了推广宣传，特举行“趣味答题闯关赢大奖”活动，参与者需连续闯过三关方能获得终极大奖．已知闯过第一关的概率为，连续闯过两关的概率为，连续闯过三关的概率为，已经连续闯过两关的参与者获得终极大奖的概率为 （  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】概率在比赛中的应用 【分析】设已经连续闯过两关并获得终极大奖的概率为，由获得终极大奖是在连续闯过两关的基础上再闯过第三关，则存在概率关系：连续闯过两关的概率与过第三关的概率之积等于连续闯过三关的概率，由此等量关系可得方程，解方程即可． 【详解】设已经连续闯过两关并获得终极大奖的概率为，由题意得，， 解得：． 故选：D． 【点睛】本题考查了概率的求法，清楚连续闯两关的概率与过第三关的概率之积等于连续闯三关的概率是解答本题的关键． 23．（九年级上·全国·单元测试）抛掷两枚普通的正方体骰子，把两枚骰子的点数相加，若第一枚骰子的点数为1，第二枚骰子的点数为5，则是“和为6”的一种情况，我们按顺序记作（1，5），如果一个游戏规定掷出“和为6”时甲方赢，掷出“和为9”时乙方赢，则这个游戏 （填“公平”、“不公平”）． 【答案】不公平 【知识点】概率在比赛中的应用 【分析】列举出所有情况，看“和为6”及“和为9”情况数占所有情况数的多少即可． 【详解】解：如图所示： （1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6） （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5） （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4） （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3） （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2） （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1） 共有36种情况，和为6情况数是5种，所以甲赢的概率为；和为9的情况数有4种，所以概率为 ． ∵＞， ∴不公平． 故答案为不公平． 【点睛】此题考查用列表格的方法解决概率问题；得到“和为6”及“和为9”的情况数是解决本题的关键；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 24．（九年级上·河北廊坊·期末）甲、乙、丙三人玩捉迷藏游戏，一人为蒙眼人，捉另外两人，捉到一人，记为捉一次；被捉到的人成为新的蒙眼人，接着捉……一直这样玩（每次捉到一人）．请用树状图解决下列问题， (1)若甲为开始蒙眼人，捉两次，求第二次捉到丙的概率； (2)若捉三次，要使第三次捉到甲的概率最小，应该谁为开始蒙眼人？ 【答案】(1) (2)甲 【知识点】概率在比赛中的应用、列表法或树状图法求概率 【分析】（1）用树状图法列举出甲为开始蒙眼人，捉两次所有可能出现的情况，进而求出捉2次，捉到丙的概率； （2）用树状图法列举出甲为开始蒙眼人，捉三次所有可能出现的情况，通过甲、乙、丙被捉到的次数得出结论． 【详解】（1）解：如图1，甲为开始蒙眼人，捉两次，所有可能出现的结果如下：    共有4种可能出现的结果，其中第2次捉到丙的只有1种， 所以甲为开始蒙眼人，捉两次，第二次捉到丙的概率为． （2）如图2，若甲为开始蒙眼人，捉三次，所有可能出现的结果情况如下：    共有8种可能出现的结果，其中第3次提到甲的有2种，捉到乙的有3种，捉到丙的有3种， 根据所有结果出现的可能性都是相等的，所以要使第三次捉到甲的概率最小，应该甲为开始蒙眼人． 【点睛】本题考查用树状图法求随机事件发生的概率．列举出所有可能出现的结果是正确解答的关键． 25．（23-24九年级上·福建泉州·期末）贵州“村超”火出圈！所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”．“村超”的民族风、乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐．甲乙丙三人模仿“村超”进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判． (1)求第4局甲当裁判的概率； (2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】概率在比赛中的应用、列举法求概率、根据概率公式计算概率 【分析】（1）本题考查了概率的计算，逐局分析胜负计算概率即可解题． （2）本题考查了用列举法求概率，考虑前4局中乙恰好当1次裁判出现的局数，逐一计算概率，即可解题． 【详解】（1）解：要第4局甲当裁判，则第3局甲输， 第1局甲当裁判， 第2局甲为选手， 每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判， 第2局甲获胜， 第4局甲当裁判的概率； （2）解：第1局甲当裁判， 乙恰好当1次裁判出现在第2、3、4局， 当在第2局时的概率， 当在第3局时的概率， 当在第4局时的概率， 乙恰好当1次裁判的概率． 题型八 概率的其他应用 26．（2024·湖南长沙·模拟预测）“交通文明，让长沙与我一起白头偕老”．自长沙开展“文明城市创建”以来，我市学生更加自觉遵守交通规则．某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个路口，该路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到绿灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到红灯的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】概率的其他应用 【分析】本题主要考查了概率的应用．掌握事件的所有情况的概率之和为1成为解题的关键． 根据事件的所有情况的概率之和为1解答即可． 【详解】解：∵他在路口遇到绿灯的概率为，遇到黄灯的概率为， ∴他遇到绿灯的概率是：． 故选：C． 27．（2024·河北沧州·一模）某小区门口的电子显示屏上滚动显示的内容和停留时间如图所示，小明抬头看显示屏时，最大可能看到的内容是（    ） 内容 时间/秒 日期 4 星期 3 时间 6 天气 3 A．日期 B．星期 C．时间 D．天气 【答案】C 【知识点】概率的其他应用 【分析】本题考查概率的应用，计算出所有情况的概率直接比较判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ，，，， ∵， ∴大可能看到的内容是时间， 故选：C． 28．（22-23九年级上·广东·单元测试）某船队要对下月是否出海作出决策，若出海后是好天气，可得收益5000元；若出海后天气变坏，将要损失2000元；若不出海，无论天气好坏都要承担1000元的损失费，船队队长通过上网查询下月的天气情况后，预测下月好天气的机会是，坏天气的机会是，则作出决策为 （填“出海”、“不出海”）． 【答案】出海 【知识点】概率的其他应用 【分析】利用概率算出获得收益的平均值比较即可． 【详解】解：预测下月好天气的机会是，坏天气的机会是，， 下月是好天气的可能性坏天气的可能性； 又若出海后是好天气，可得收益5000元；若出海后天气变坏，将要损失2000元；若不出海，无论天气好坏都要承担1000元的损失费， 出海的话，获得平均收益（获得收益的数学期望）（元， 不出海：（元， ， 船队队长作出决策为：出海． 故答案为：出海． 【点睛】本题主要考查概率的实际应用，能够通过概率算出平均收获是解题关键． 29．（23-24九年级上·辽宁营口·阶段练习）某体育馆有A，B两个入口，每个入口有3个通道可同时通行，C，D，E三个出口，其中C、D出口有2个通道，E出口只有一个通道，每个通道在规定时间内可通行100人，规定：观众进馆时须持票任意从两个入口进入，出馆时只可任意从三个出口离开．甲、乙、丙三名观众分别从两个入口中随机选择一个入口进入． (1)求甲从A口进入，C口离开的概率； (2)求甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的概率． (3)学校有七、八、九三个年级的学生进场观看比赛，七年级80人，八年级150人，九年级160人，比赛结束后，为了能够在规定时间内使所有同学都能有序离开，请你合理安排七、八、九三个年级的学生从C、D、E三个出口（每个年级的学生走同一个出口）离开（安排一种即可），并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)七年级走E出口，八九年级走C、D出口，理由见解析 【知识点】列表法或树状图法求概率、概率的其他应用 【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．（1）画树状图，共有6种等可能的结果，其中甲从A口进入，C口离开的结果有1种，再由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的结果有2种，再由概率公式求解即可；（3）满足题意的方案即可． 【详解】（1）解：（1）画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中甲从A口进入，C口离开的结果有1种，    ∴甲从A口进入，C口离开的概率为； （2）画树状图如下：共有8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的结果有2种，    ∴甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的概率为． （3）七年级走E出口，八九年级走C、D出口． 理由：因为七年级80人，八年级150人，九年级160人，又因为C、D出口有2个通道，E出口只有一个通道，且每个通道在规定时间内可通行100人，所以按七年级走E出口，八九年级走C、D出口方案，能够在规定时间内使所有同学都能有序离开． 题型九 求某事件的频率 30．（23-24九年级上·全国·课后作业）林业局将一批树苗移栽到林区，已知这批树苗的成活率接近0.95，已知移栽的树苗为2000棵，那么移栽后未成活的树苗约有（　　） A．75棵 B．100棵 C．150棵 D．1900棵 【答案】B 【知识点】求某事件的频率 【分析】本题主要考查频率的应用，根据成活率求出未成活率，再乘以2000即可得出结果． 【详解】解：（棵）， 故选：B 31．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）两个同学在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现3点朝上的频率 B．小华去看电影，他买的电影票座位号是2的倍数的频率 C．从分别标有、3、0、2、、的6张纸条中，随机抽出一张，抽到负数的频率 D．从一道单项选择题的四个备选答案中，随机选一个答案，选中正确答案的频率 【答案】C 【知识点】求某事件的频率 【分析】本题考查频率的计算，根据频数、频率的定义，确定各选项中，符合条件的对象的频率，作出判断． 【详解】解：根据统计图可知，试验结果在附近波动， A．掷一枚质地均匀的骰子，出现3点朝上的频率约为，不合题意； B．小华去看电影，他买的电影票座位号是2的倍数的频率为，不合题意； C．从分别标有、3、0、2、、的6张纸条中，随机抽出一张，抽到负数的频率约为，符合题意； D．从一道单项选择题的四个备选答案中，随机选一个答案，选中正确答案的频率约为，不合题意； 故选：C． 32．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）每逢中秋佳节，赏月吃月饼是中国人的传统．有关部门对某食品生产企业生产的某一批次月饼进行抽样检测，结果如下表： 抽取月饼数量 50 100 200 500 1000 2000 优等品数量 45 92 194 474 951 1900 若从这批月饼中任取一个，则检测结果为优等品的概率约为 ．（精确到） 【答案】 【知识点】由频率估计概率、求某事件的频率 【分析】本题考查用频率估计概率，随着抽取球数目的增加，频率值都在常数的附近摆动，由此能求出任意抽取一个乒乓球检测时，其为优等品的概率．其做法是取多次试验发生的频率稳定值来估计概率．掌握用频率估计概率是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得， 抽取月饼数量 50 100 200 500 1000 2000 优等品数量 45 92 194 474 951 1900 优等品频率 0.900 0.920 0.970 0.948 0.951 0.950 随着抽取球数目的增加，计算得到的频率值虽然不同，但都在常数的附近摆动， ∴任意抽取一个乒乓球检测时，其为优等品的概率约为． 答案为：． 33．（24-25九年级上·山东泰安·期末）一个不透明的袋子中共装有五个小球，其中2个红球，2个黄球，1个白球，这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，记作随机摸球一次． (1)随机摸球10次，其中摸出红球3次，则这10次摸球中，摸出红球的频率是多少？ (2)随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是黄球的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】列表法或树状图法求概率、求某事件的频率 【分析】本题考查求频率、画树状图或列表法求概率、概率公式，熟练掌握画树状图或列表法求概率的方法是解题的关键． （1）根据“频数除以总数等于频率”求解即可； （2）画出树状图可得，共有25种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是红球有4种结果，再利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，摸出红球的频率是， （2）画树状图得， ， 共有25种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是黄球有4种结果， 两次摸出的小球都是黄球的概率为． 题型十 由频率估计概率 34．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）临潼石榴集中国石榴之优，名居中国五大名榴之冠，被列为果中珍品．某研究院跟踪调查了一批石榴树的移栽成活情况，得到如图所示的统计图，由此可估计这批石榴树移栽成活的概率约为（   ） A．0.85 B．0.90 C．0.95 D．0.98 【答案】B 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题考查了由频率估计概率，由图可得，这批石榴树移栽成活的频率稳定在0.90，由此即可得解． 【详解】解：由图可得，这批石榴树移栽成活的频率稳定在0.90， 故这批石榴树移栽成活的概率约为0.90， 故选：B． 35．（24-25九年级上·广东深圳·期中）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（   ） 射击次数 100 200 400 800 1000 “射中九环以上”的次数 87 172 336 679 850 “射中九环以上”的频率 0.87 0.86 0.84 0.85 0.85 A．0.84 B．0.85 C．0.86 D．0.87 【答案】B 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题主要考查的是利用频率估计概率，根据大量的试验结果稳定在0.85即可得出结论． 【详解】解：根据表格知，从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.85， 则该运动员“射中九环以上”的概率是0.85． 故选：B． 36．（24-25九年级上·福建莆田·期末）体育课篮球项目中，“投篮命中率”是一项重要的考核指标．如图是小强在平时运动过程中的投篮记录，请结合图示，估计现阶段小强随机投篮一次正好命中的概率约为 ． 【答案】 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题考查了用频率估计概率，熟练掌握用频率估计概率的方法是解题的关键． 由图知小强投篮命中的频率是，得到现阶段小强随机投篮一次正好命中的概率约为． 【详解】解：由图知小强投篮命中的频率是， 现阶段小强随机投篮一次正好命中的概率约为， 故答案为：． 37．（24-25九年级上·内蒙古乌海·期末）某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，在一个不透明的布袋中装有除颜色外完全相同的红球和白球共5个，组员小华做摸球试验，他将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再放回布袋中，不断重复上述过程．下表是试验中的部分统计数据． 摸球次数 10 20 40 60 100 150 200 红球出现次数 5 9 18 26 41 61 81 红球出现的频率 0.5 0.45 0.45 0.433 0.41 0.407 0.405 (1)从这个布袋中随机摸出一个球，估计这个球恰好是红球的概率约为________（保留一位小数）； (2)从这个布袋中随机摸出一个球，不放回，再摸出一个球，请用画树状图法或列表法求摸出的两个球恰好是“一红一白”的概率． 【答案】(1)0.4 (2) 【知识点】由频率估计概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了利用频率估计概率的方法，列表法与树状图法求概率，理解频率和概率的意义以及用频率估计概率的方法是解决问题的关键． （1）根据大量的试验结果稳定在0.4左右即可得出结论； （2）先求出袋中红白球的个数，再列表得出所有等可能的结果，继而利用概率公式求解即可． 【详解】（1）从这个布袋中随机摸出一个球，这个球恰好是红球的概率为0.4， 故答案为：0.4； （2）∵袋子中红球的个数约为（个）， ∴袋子中白球有3个， 列表如下： 红 红 白 白 白 红 （红，红） （白，红） （白，红） （白，红） 红 （红，红） （白，红） （白，红） （白，红） 白 （红，白） （红，白） （白，白） （白，白） 白 （红，白） （红，白） （白，白） （白，白） 白 （红，白） （红，白） （白，白） （白，白） 由表可知共有20种等可能结果，其中摸出的两个球恰好“一红一白”的有12种结果， ∴摸出的两个球恰好“一红一白”的概率为： 题型十一 用频率估计概率的综合应用 38．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）某植物研究院培育的新品植株的成活率约为，若在相同条件下培育50棵同种植株，则成活的植株约为（   ） A．45棵 B．5棵 C．20棵 D．40棵 【答案】A 【知识点】用频率估计概率的综合应用 【分析】本题主要考查百分率的知识．利用“总数×成活率=成活棵树”计算求解． 【详解】解：（棵）， 故选：A． 39．（24-25九年级上·广东茂名·阶段练习）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到白色球的频率稳定在，则口袋中白色球的个数可能是 ． 【答案】24个 【知识点】用频率估计概率的综合应用 【分析】本题考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键．根据题意可知摸到白色球的概率为，据此可得出结论． 【详解】解：∵ 在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，通过多次摸球试验后发现其中摸到白色球的频率稳定在， ∴ 摸到白色球的概率为， ∴ 口袋中白色球的个数可能是 （个）． 故答案为：24个． 40．（24-25九年级上·北京·期中）某商场有一个可以自由转动的圆形转盘（如图）．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．表格是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”的次数 68 111 136 345 546 701 落在“铅笔”的频率 （结果保留小数点后两位） 0.68 0.74 0.68 0.69 0.68 0.70    (1)转动该转盘一次，获得铅笔的概率约为_________；（结果保留小数点后一位） (2)铅笔每只0.5元，饮料每瓶3元，经统计该商场每天约有4000名顾客参加抽奖活动，请计算该商场每天需要支出的奖品费用． 【答案】(1) (2)5000元 【知识点】用频率估计概率的综合应用 【分析】本题考査了频率估计概率、概率公式,掌握根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是关键． （1）利用频率估计概率求解； （2）利用（1）得到获得铅笔的概率为0.7和获得饮料的概率为0.3，然后计算即可． 【详解】（1）转动该转盘一次,获得铅笔的概率约为， 故答案为：； （2）元， 所以该商场每天大致需要支出的奖品费用为5000元. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$第03章 概率的进一步认识 章节(3知识点回顾+11题型练习) 题型汇聚 题型一 几何概率 题型二 列举法求概率 题型三 列表法或树状图法求概率 题型四 游戏的公平性 题型五 利用概率计算随机事件发生的平均次数 题型六 概率在转盘抽奖中的应用 题型七 概率在比赛中的应用 题型八 概率的其他应用 题型九 求某事件的频率 题型十 由频率估计概率 题型十一 用频率估计概率的综合应用 知识清单 知识点1.概率公式 (1)随机事件A的概率P(A)=. (2)P(必然事件)=1. (3)P(不可能事件)=0. 知识点2.列表法与树状图法 (1)当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时,我们常用列表的方式,列出所有可能的结果,再求出概率. (2)列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,求出概率. (3)列举法(树形图法)求概率的关键在于列举出所有可能的结果,列表法是一种,但当一个事件涉及三个或更多元素时,为不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用树形图. (4)树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合,依次列出,象树的枝丫形式,最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n. (5)当有两个元素时,可用树形图列举,也可以列表列举. 知识点3.利用频率估计概率 (1)大量重复实验时,事件发生的频率在某个固定位置左右摆动,并且摆动的幅度越来越小,根据这个频率稳定性定理,可以用频率的集中趋势来估计概率,这个固定的近似值就是这个事件的概率. (2)用频率估计概率得到的是近似值,随实验次数的增多,值越来越精确. (3)当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多,或各种可能结果发生的可能性不相等时,一般通过统计频率来估计概率. 题型练习 题型一 几何概率 1.(24-25九年级上 辽宁本溪 期中)一个转盘上有红色、蓝色两种颜色,转动200次转盘,则指针指向红色区域的概率为( ) A. B. C.1 D.不确定 2.(24-25九年级上 甘肃兰州 期中)“七巧板”是我国古代的一种拼图玩具,由5块等腰直角三角形,1块正方形和1块平行四边形薄板组成.如图①是小明用正方形纸板制作的七巧板,图②是用该七巧板拼出的狐狸图案的飞镖盘,若小明每次扔飞镖时,飞镖都能掷在狐狸上,则随机投掷一次,掷在狐狸头部的概率是( ) A. B. C. D. 3.(22-23九年级上 湖北武汉 阶段练习)如图,一个转盘被分成3个扇形,扇形、扇形、扇形的圆心角分别为,,,自由转动转盘1次,则指针落在扇形的概率是 . 4.(2024九年级上 全国 专题练习)如图所示,有一个转盘,转盘上有一个可转动的指针,已知指针转动一定的时间后停在红色部分、黄色部分、白色部分三者的概率之比为,转盘的半径为2个单位,则红色部分、黄色部分、白色部分面积各是多少? 题型二 列举法求概率 5.(24-25九年级上 江西吉安 期末)同时抛掷两枚面值相同的硬币,则至少有一枚硬币正面朝上的概率是( ) A. B. C. D. 6.(24-25九年级上 河南安阳 阶段练习)如图,若随机用合开关中的两个,则能让两灯泡同时发光的概率( ) A. B. C. D. 7.(24-25九年级上 吉林松原 阶段练习)如图,电路图上有,,三个开关、一个灯泡和一节电池,当闭合开关或者同时闭合开关,时,灯泡发光.现任意闭合其中一个开关,则灯泡发光的概率等于 . 8.(24-25九年级上 河北唐山 期末)三张卡片正面分别写有,,,除正面的数字不同外,其余均相同. (1)将三张卡片背面向上并洗匀,从中随机抽取一张,则抽到的数字是偶数的概率为_; (2)将三张卡片背面向上并洗匀,从中随机抽取一张,记正面数字为点的横坐标,放回后重新洗匀,再随机抽取一张,记正面数字为点的纵坐标,请在表格中补全两次取出的卡片上数字所形成的点坐标所有可能的结果,并求出点在反比例函数的图象上的概率. 题型三 列表法或树状图法求概率 9.(九年级上 江西吉安 期末)在如图所示的电路中,随机闭合开关、、中的两个,能让灯泡发光的概率是( ) A. B. C. D. 10.(24-25九年级上 天津宁河 期末)两个人玩“石头、剪子、布”的游戏,随机出手一次,其中一人获胜的概率是 . 11.(24-25九年级上 湖北十堰 期末)“天宫课堂”第四课在空间站演示了四个精彩实验:球形火焰;动量守恒;奇妙“乒乓球”;又见陀螺.为弘扬科学精神,传播航天知识,感悟榜样精神与力量,某中学要求学生课后观看“天宫课堂”,为了解本次学习情况,老师在四张完全相同的卡片上分别写了,,,,搅匀后背面朝上放置,让佳佳和皮皮各从代表这四个实验的卡片中随机选出一张在班会上分享观后感. (1)佳佳随机选出的卡片代表的实验是“动量守恒”的概率为 ; (2)佳佳先从这四张卡片中随机抽取一张,然后放回,皮皮再从这四张卡片中随机抽取一张,请用画树状图或列表的方法求佳佳和皮皮抽到相同卡片的概率. 题型四 游戏的公平性 12.(24-25九年级上 辽宁沈阳 期中)小明和小亮做游戏,先是各自背着对方在纸上写一个正整数,然后都拿给对方看,他们约定,若两个人所写的数的和是偶数,则小明获胜,若两个人所写的数字和是奇数,则小亮获胜,这个游戏( ) A.无法确定对谁有利 B.对小亮有利 C.对小明有利 D.游戏公平 13.(24-25九年级上 广东江门 期末)甲、乙两人玩扑克牌游戏,游戏规则是:从牌面数字分别为2,3,4的三张扑克牌中,随机抽取一张,放回后,再随机抽取一张,若所抽取的两张牌面数字的和为奇数,则甲获胜;若所抽取的两张牌面数字的和为偶数,则乙获胜.这个游戏 .(填“公平”或“不公平”) 14.(24-25九年级上 全国 期末)如图是两个可以自由转动的转盘,转盘A中数字1所在扇形区域的圆心角为90 ,转盘B被分成面积相等的三个扇形.游戏规则:依次转动转盘A,B,当转盘停止后,若指针指向的两个区域的数字之和大于5,则甲获胜;否则乙获胜.(如果指针落在分割线上,则需要重新转动转盘) (1)转动转盘B,指针指向的数字为3的概率是 ; (2)这个游戏公平吗?请用列表或画树状图的方法说明理由. 题型五 利用概率计算随机事件发生的平均次数 15.(九年级上 陕西榆林 期末)在数学活动课上,张明运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量.他先取出粒豆子,给这些豆子做上记号,然后放回瓶子中,充分摇匀之后再取出粒豆子,发现其中粒有刚才做的记号,利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为( )粒. A. B. C. D. 16.(九年级上 全国 课后作业)事件发生的概率为,大量重复做这种试验,平均每100次实验,事件发生的次数是 17.(九年级下 重庆 阶段练习)为了解两种分别含有甲、乙离子的待检药物在实验白鼠体内的残留程度,进行如下试验:将200只白鼠随机分成两组,每组100只,其中组白鼠给服甲离子溶液,组白鼠给服乙离子溶液.每只白鼠给服的溶液体积与浓度均相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在白鼠体内离子的百分比. 按离子残留百分比数据分段整理,描述这两组样本原始数据如下表: 离子残留百分比 分组 给服甲离子白鼠(只数 1 8 27 30 22 12 给服乙离子白鼠(只数) 5 a 15 b 20 15 (注:表中表示实验数据的范围为) 若记为事件:“乙离子残留在实验白鼠体内的百分比不低于5.5”,根据实验数据得到的估计值为0.70. (1)_;_. (2)实验室常用同一组中的数据用该组区间的中点值为代表来估计数据的平均值,如对甲离子残留百分比的平均值估计如下:,用上述方法估计乙离子残留百分比的平均值. (3)甲、乙离子如残留体内会对生物体产生一定不良副作用,对原始数据进一步分析得到两组数据的中位效、众数、方差如下表所示,请根据数据分析两种待检药物哪种相对更安全?请说明理由. 离子残留百分比 分组 中位数 众数 方差 给服甲离子白鼠的实验组 5.9 6.0 1.38 给服乙离子白鼠的实验组 6.3 6.2 1.8 题型六 概率在转盘抽奖中的应用 18.(九年级上 浙江湖州 期中)如图的四个转盘中,转盘3,4被分成8等分,若让转盘自由转动一次停止后,指针落在阴影区域内可能性从大到小排列为( ) A.①②④③ B.③②④① C.③④②① D.④③②① 19.(江苏盐城 二模)如图,一个转盘被分为了A,B,C三个区域,自由转动转盘一次,当转盘停止时,指针指向A区域的概率是 . 20.(22-23九年级上 河南平顶山 期末)某商场,为了吸引顾客,在“元旦”当天举办了商品有奖酬宾活动,凡购物满200元者,有两种奖励方案供选择: 方案一:是直接获得20元的礼金卷; 方案二:是得到一次播奖的机会.规则如下:已知如图是由转盘和箭头组成的两个转盘A、B,这两个转盘除了颜色不同外,其它构造完全相同,摇奖者同时转动两个转盘,指针分别指向一个区域(指针落在分割线上时重新转动转盘),根据指针指向的区域颜色(如表)决定送礼金券的多少. 指针指向 两红 一红一蓝 两蓝 礼金券(元) 27 9 27 (1)请你用列表法(或画树状图法)求两款转盘指针分别指向一红区和一蓝区的概率. (2)如果一名顾客当天在本店购物满200元,若只考虑获得最多的礼品券,请你帮助分析选择哪种方案较为实惠. 21.(22-23九年级上 陕西西安 期中)九(1)班在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘,规定:顾客购物元以上就能获得一次转动转盘的机会,当转盘停止时,指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品,下表是此次活动中的一组统计数据: 转动转盘的次数 落在“手工”区域的次数 落在“手工”区域的频率 (1)求出的值; (2)请估计当很大时,频率将会接近_;假如你去转动该转盘一次,你获得“手工”奖品的概率约是_.(精确到) 题型七 概率在比赛中的应用 22.(四川绵阳 一模)2018(第七届)绵阳之春国际车展将于2018年4月18日-22日在绵阳国际会展中心盛大举行.某品牌汽车为了推广宣传,特举行“趣味答题闯关赢大奖”活动,参与者需连续闯过三关方能获得终极大奖.已知闯过第一关的概率为,连续闯过两关的概率为,连续闯过三关的概率为,已经连续闯过两关的参与者获得终极大奖的概率为 ( ) A. B. C. D. 23.(九年级上 全国 单元测试)抛掷两枚普通的正方体骰子,把两枚骰子的点数相加,若第一枚骰子的点数为1,第二枚骰子的点数为5,则是“和为6”的一种情况,我们按顺序记作(1,5),如果一个游戏规定掷出“和为6”时甲方赢,掷出“和为9”时乙方赢,则这个游戏 (填“公平”、“不公平”). 24.(九年级上 河北廊坊 期末)甲、乙、丙三人玩捉迷藏游戏,一人为蒙眼人,捉另外两人,捉到一人,记为捉一次;被捉到的人成为新的蒙眼人,接着捉……一直这样玩(每次捉到一人).请用树状图解决下列问题, (1)若甲为开始蒙眼人,捉两次,求第二次捉到丙的概率; (2)若捉三次,要使第三次捉到甲的概率最小,应该谁为开始蒙眼人? 25.(23-24九年级上 福建泉州 期末)贵州“村超”火出圈!所谓“村超”,其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕江(三宝侗寨)和美乡村足球超级联赛,被大家简称为“村超”.“村超”的民族风、乡土味、欢乐感,让每个人尽情享受着足球带来的快乐.甲乙丙三人模仿“村超”进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判,设各局中双方获胜的概率均,各局比赛的结果相互独立,第1局甲当裁判. (1)求第4局甲当裁判的概率; (2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率. 题型八 概率的其他应用 26.(2024 湖南长沙 模拟预测)“交通文明,让长沙与我一起白头偕老”.自长沙开展“文明城市创建”以来,我市学生更加自觉遵守交通规则.某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个路口,该路口有红、黄、绿三色交通信号灯,他在路口遇到绿灯的概率为,遇到黄灯的概率为,那么他遇到红灯的概率为( ) A. B. C. D. 27.(2024 河北沧州 一模)某小区门口的电子显示屏上滚动显示的内容和停留时间如图所示,小明抬头看显示屏时,最大可能看到的内容是( ) 内容 时间/秒 日期 4 星期 3 时间 6 天气 3 A.日期 B.星期 C.时间 D.天气 28.(22-23九年级上 广东 单元测试)某船队要对下月是否出海作出决策,若出海后是好天气,可得收益5000元;若出海后天气变坏,将要损失2000元;若不出海,无论天气好坏都要承担1000元的损失费,船队队长通过上网查询下月的天气情况后,预测下月好天气的机会是,坏天气的机会是,则作出决策为 (填“出海”、“不出海”). 29.(23-24九年级上 辽宁营口 阶段练习)某体育馆有A,B两个入口,每个入口有3个通道可同时通行,C,D,E三个出口,其中C、D出口有2个通道,E出口只有一个通道,每个通道在规定时间内可通行100人,规定:观众进馆时须持票任意从两个入口进入,出馆时只可任意从三个出口离开.甲、乙、丙三名观众分别从两个入口中随机选择一个入口进入. (1)求甲从A口进入,C口离开的概率; (2)求甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的概率. (3)学校有七、八、九三个年级的学生进场观看比赛,七年级80人,八年级150人,九年级160人,比赛结束后,为了能够在规定时间内使所有同学都能有序离开,请你合理安排七、八、九三个年级的学生从C、D、E三个出口(每个年级的学生走同一个出口)离开(安排一种即可),并说明理由. 题型九 求某事件的频率 30.(23-24九年级上 全国 课后作业)林业局将一批树苗移栽到林区,已知这批树苗的成活率接近0.95,已知移栽的树苗为2000棵,那么移栽后未成活的树苗约有( ) A.75棵 B.100棵 C.150棵 D.1900棵 31.(23-24九年级上 河南周口 阶段练习)两个同学在一次大量重复试验中,统计了某一结果出现的频率,绘制出如图所示的统计图,符合这一结果的试验可能是( ) A.掷一枚质地均匀的骰子,出现3点朝上的频率 B.小华去看电影,他买的电影票座位号是2的倍数的频率 C.从分别标有、3、0、2、、的6张纸条中,随机抽出一张,抽到负数的频率 D.从一道单项选择题的四个备选答案中,随机选一个答案,选中正确答案的频率 32.(23-24九年级上 北京海淀 阶段练习)每逢中秋佳节,赏月吃月饼是中国人的传统.有关部门对某食品生产企业生产的某一批次月饼进行抽样检测,结果如下表: 抽取月饼数量 50 100 200 500 1000 2000 优等品数量 45 92 194 474 951 1900 若从这批月饼中任取一个,则检测结果为优等品的概率约为 .(精确到) 33.(24-25九年级上 山东泰安 期末)一个不透明的袋子中共装有五个小球,其中2个红球,2个黄球,1个白球,这些小球除颜色外都相同.将袋中小球摇匀,从中随机摸出一个小球记下颜色后放回,记作随机摸球一次. (1)随机摸球10次,其中摸出红球3次,则这10次摸球中,摸出红球的频率是多少? (2)随机摸球2次,用画树状图或列表的方法,求这两次摸出的小球都是黄球的概率. 题型十 由频率估计概率 34.(24-25九年级上 陕西咸阳 阶段练习)临潼石榴集中国石榴之优,名居中国五大名榴之冠,被列为果中珍品.某研究院跟踪调查了一批石榴树的移栽成活情况,得到如图所示的统计图,由此可估计这批石榴树移栽成活的概率约为( ) A.0.85 B.0.90 C.0.95 D.0.98 35.(24-25九年级上 广东深圳 期中)某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下:根据频率的稳定性,估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是( ) 射击次数 100 200 400 800 1000 “射中九环以上”的次数 87 172 336 679 850 “射中九环以上”的频率 0.87 0.86 0.84 0.85 0.85 A.0.84 B.0.85 C.0.86 D.0.87 36.(24-25九年级上 福建莆田 期末)体育课篮球项目中,“投篮命中率”是一项重要的考核指标.如图是小强在平时运动过程中的投篮记录,请结合图示,估计现阶段小强随机投篮一次正好命中的概率约为 . 37.(24-25九年级上 内蒙古乌海 期末)某学习小组做“用频率估计概率”的试验时,在一个不透明的布袋中装有除颜色外完全相同的红球和白球共5个,组员小华做摸球试验,他将球搅匀后从中随机摸出一个球,记下颜色,再放回布袋中,不断重复上述过程.下表是试验中的部分统计数据. 摸球次数 10 20 40 60 100 150 200 红球出现次数 5 9 18 26 41 61 81 红球出现的频率 0.5 0.45 0.45 0.433 0.41 0.407 0.405 (1)从这个布袋中随机摸出一个球,估计这个球恰好是红球的概率约为_(保留一位小数); (2)从这个布袋中随机摸出一个球,不放回,再摸出一个球,请用画树状图法或列表法求摸出的两个球恰好是“一红一白”的概率. 题型十一 用频率估计概率的综合应用 38.(24-25九年级上 陕西榆林 期末)某植物研究院培育的新品植株的成活率约为,若在相同条件下培育50棵同种植株,则成活的植株约为( ) A.45棵 B.5棵 C.20棵 D.40棵 39.(24-25九年级上 广东茂名 阶段练习)在一个不透明的布袋中,红色、黑色、白色的玻璃球共有40个,除颜色外其他完全相同,小明通过多次摸球试验后发现其中摸到白色球的频率稳定在,则口袋中白色球的个数可能是 . 40.(24-25九年级上 北京 期中)某商场有一个可以自由转动的圆形转盘(如图).规定:顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会,当转盘停止时,指针落在哪一个区域就获得相应的奖品(指针指向两个扇形的交线时,当作指向右边的扇形).表格是活动进行中的一组统计数据: 转动转盘的次数 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”的次数 68 111 136 345 546 701 落在“铅笔”的频率 (结果保留小数点后两位) 0.68 0.74 0.68 0.69 0.68 0.70 (1)转动该转盘一次,获得铅笔的概率约为_;(结果保留小数点后一位) (2)铅笔每只0.5元,饮料每瓶3元,经统计该商场每天约有4000名顾客参加抽奖活动,请计算该商场每天需要支出的奖品费用. 1 学科网(北京)股份有限公司 $$