第08讲 图形的旋转 （知识清单+15大题型+好题必刷） 核心知识点与常见题型通关讲解练【暑假预习】2025-2026学年九年级上册数学（人教版）

第08讲 图形的旋转 （知识清单+15大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 判断生活中的旋转现象 题型二 判断由一个图形旋转而成的图案 题型三 找旋转中心、旋转角、对应点 题型四 根据旋转的性质求解 题型五 根据旋转的性质说明线段或角相等 题型六 旋转的性质及辨析 题型七 画旋转图形 题型八 求绕原点旋转90度的点的坐标 题型九 求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 题型十 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 题型十一 坐标与旋转规律问题 题型十二 线段问题(旋转综合题) 题型十三 面积问题(旋转综合题) 题型十四 角度问题(旋转综合题) 题型十五 其他问题(旋转综合题) 知识清单 知识点1．生活中的旋转现象 （1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点． （2）注意： ①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键． ②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向． ③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点． 知识点2．旋转的性质 （1）旋转的性质： 　　 　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　 　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　 　　③旋转前、后的图形全等．　　 （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　 　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 知识点3．旋转对称图形 （1）旋转对称图形 如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形． （2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等． 知识点4．坐标与图形变化-旋转 （1）关于原点对称的点的坐标 P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y） （2）旋转图形的坐标 图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°． 题型练习 【题型一】判断生活中的旋转现象 【例1】（24-25九年级上·广西防城港·阶段练习）下列现象属于旋转的是（   ） A．摩托车在急刹车时向前滑动 B．火箭冲向空中的时候 C．笔直的铁轨上飞驰而过的复兴号 D．幸运大转盘转动的过程 【答案】D 【知识点】判断生活中的旋转现象 【分析】本题考查了生活的旋转现象，关键是掌握旋转的定义．根据旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点旋转一个角度的图形变换叫做旋转可得答案． 【详解】解：A、摩托车在急刹车时向前滑动不是旋转，故此选项错误； B、火箭冲向空中的时候不是旋转，故此选项错误； C、笔直的铁轨上飞驰而过的复兴号不是旋转，故此选项错误； D、幸运大转盘转动的过程属于旋转，故此选项正确． 故选：D． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）下列物体的运动：①电梯上下迎送顾客；②风车的转动；③钟摆的摆动；④方向盘的转动．属于旋转的有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【知识点】判断生活中的旋转现象 【分析】本题考查了旋转的判断，根据旋转的概念解答即可．解题的关键是掌握旋转的概念：在平面内，将一个图形沿某一个定点转动一个角度，这样的图形运动称为旋转． 【详解】解：根据旋转的概念，可知： ①电梯上下迎送顾客属于平移； ②风车的转动属于旋转； ③钟摆的摆动属于旋转； ④方向盘的转动属于旋转． 故其中属于旋转的有3个． 故选：C． 2．（22-23九年级上·湖北恩施·阶段练习）钟表的分针匀速旋转一周需要60分钟，经过20分钟，分针旋转了 ． 【答案】/120度 【知识点】判断生活中的旋转现象 【分析】根据钟表一周为，分针匀速旋转一周需要60分钟，得到1分钟分针旋转，进而求出20分钟，分针旋转的度数即可． 【详解】解：∵钟表一周为，分针匀速旋转一周需要60分钟， ∴1分钟分针旋转， ∴经过20分钟，分针旋转了：； 故答案为：． 【点睛】本题考查钟表中的旋转．熟练掌握钟表一周为，分针旋转一分钟是，是解题的关键． 3．（九年级上·全国·课后作业）请你举出一些现实生活、生产中旋转的实例，并指出旋转中心和旋转角． 【答案】见解析 【知识点】判断生活中的旋转现象 【分析】根据旋转的性质举例． 【详解】解：生活中的旋转现象有很多，比如： 汽车开动时的车轮：旋转中心是轴心，旋转角是车轮上对应点与轴心连线的夹角； 钟表：旋转中心是三个指针重叠的表盘心；旋转角是表盘上指针上对应点与表盘心连线的夹角； 荡秋千：旋转中心是秋千固定的端点，旋转角是秋千上对应点与秋千固定点连线的夹角． 【点睛】本题考查的是旋转变换的概念和性质，掌握对应点与旋转中心连线的夹角是旋转角是解题的关键． 【题型二】判断由一个图形旋转而成的图案 【例2】（24-25九年级上·广西防城港·期中）如图，将该图按顺时针方向旋转后的图形是（   ）    A．    B．   C．   D．   【答案】B 【知识点】判断由一个图形旋转而成的图案 【分析】本题考查了判断由一个图形旋转而成的图形，发挥自身的空间想象能力是解题的关键．根据旋转的定义即可直接得出答案．注意，要看清是顺时针旋转还是逆时针旋转． 【详解】 解：根据旋转的定义，将  按顺时针方向旋转后的图形是  ， 故选：． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）将如图所示的图形绕其中心旋转某一角度后会与原图形重合，这个角度可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断由一个图形旋转而成的图案 【分析】本题考查图形旋转，分析出图中图形的构造方式即可求解． 【详解】解：此图形可看作由一个基本图形旋转组成的，故这个角度可以是或的整数倍， 故选C． 2．（2023·北京海淀·模拟预测）如图，平南直角坐标系中，可以看作是经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由得到过程 ．    【答案】将逆时针旋转，再向右平移2个单位长度（答案不唯一） 【知识点】判断由一个图形旋转而成的图案、图形的平移 【分析】根据平移、旋转的性质即可得到由得到的过程． 【详解】解：将逆时针旋转，再向右平移2个单位长度得到， 故答案为：将逆时针旋转，再向右平移2个单位长度（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，坐标与图形变化-平移，解题时需要注意：平移的距离等于对应点连线的长度． 3．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图是由14个全等的三角形组成的图案，是由阴影部分的三角形通过平移、轴对称或旋转而得到的，试分析这个图案形成的过程． 【答案】见解析 【知识点】 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案、判断由一个图形旋转而成的图案、成轴对称的两个图形的识别 【分析】本题主要考查了利用旋转变换、轴对称变换设计图案，利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案． 【详解】解：①如图1，将阴影部分三角形沿着翻折，得到； ②如图2，将分别绕着的中点和的中点旋转，得到，； ③如图3，将四边形沿着翻折，即可得到四边形； ④将图3绕着点旋转，即可得到图4． 【题型三】找旋转中心、旋转角、对应点 【例3】（24-25九年级上·湖南湘西·期中）中国传统的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，它蕴含着丰富的哲学思想和数学文化．从数学角度看，太极图可以看作是由一个圆形的一部分经过旋转等变换得到另一部分．如果把黑色部分看作是由白色部分绕着圆心旋转得到的，那么旋转的角度可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】本题主要考查了求旋转角，根据题意可得旋转的角度一定是180度的倍数，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，黑色部分看作是由白色部分绕着圆心旋转得到的，那么旋转的角度一定是180度的倍数， 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图，在正方形网格中，绕某点旋转一定的角度得到，则旋转中心为（    ） A．点O B．点P C．点Q D．点M 【答案】B 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质，对应点的连线的垂直平分线必过旋转中心，根据网格结构作的垂直平分线，交点即为旋转中心． 【详解】解：如图，的垂直平分线相交于点P， 则其旋转中心可能是点P． 故选：B． 2．（24-25九年级上·内蒙古通辽·阶段练习）如图，E是正方形中边上的点，以点A为中心，把顺时针旋转，得到，其中．那么旋转角的度数是 【答案】/90度 【知识点】根据正方形的性质求角度、找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】本题主要考查了正方形的性质，找旋转角等知识点，牢记旋转角的定义是解题的关键：旋转角是指对应线段的夹角． 根据正方形的性质可得，由旋转角的定义即可解答． 【详解】解：四边形是正方形， ， 以点为中心把顺时针旋转得到，而旋转角是指对应线段的夹角， 就是旋转角， 旋转角的度数是， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·广西河池·期中）如图，是绕着点P旋转得到的，点A、B、C的对应点分别是点D、E、F，请用尺规作图找出点P的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【知识点】作垂线(尺规作图)、找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】本题考查找旋转中心，根据旋转中心到对应点的距离相等，得到旋转中心在对应点所连线段的中垂线上，连接，尺规作两条线段的中垂线，交点即为点． 【详解】解：如图，点即为所求； 【题型四】根据旋转的性质求解 【例4】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，将绕点A顺时针旋转得到，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查了旋转的性质，结合旋转的性质得出是解题关键．由旋转的性质可得，然后由求解即可． 【详解】解：根据题意，将绕点顺时针旋转到， ， ， ， 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）如图，轩轩不小心将家中装垃圾的灰斗碰倒了，此时与地面的夹角为，，轩轩将其扶正后，点落在地面上，则绕点旋转的角度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查了旋转的性质，平角的定义，根据题意可求出左边图中，的度数，则可得到绕点A逆时针旋转的度数，据此可得答案． 【详解】解：如左边图所示，∵与地面的夹角为， ∴， ∵， ∴， ∴， 如右边图所示，∵点D落在地面上， ∴绕点A逆时针旋转了， ∴绕点旋转的角度为， 故选：C． 2．（24-25九年级上·重庆永川·期中）如图，把绕点顺时针旋转某个角度得到，,，则旋转角等于 ． 【答案】/20度 【知识点】根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查旋转的性质，由旋转的性质可得，继而根据可得． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转某个角度得到， ∴， 又∵ ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，已知是等腰直角三角形，为上一点，经过逆时针旋转到的位置，问： (1)旋转中心是 ，旋转了 度 (2)若已知，求的度数． 【答案】(1)， (2) 【知识点】等边对等角、根据旋转的性质求解 【分析】本题是关于旋转问题的题目，熟练掌握旋转的性质是解题的关键； （1）根据旋转中心的定义以及旋转角的定义解答即可； （2）由旋转的性质可知：，由此可得的度数． 【详解】（1）解：经过旋转到达的位置， ， 点为旋转中心， ， 和之间的夹角为旋转角， ， ∴旋转角为； （2）解：为等腰直角三角形，， ， ， ， ． 【题型五】根据旋转的性质说明线段或角相等 【例5】（24-25九年级上·山西忻州·期中）如图，将绕点O按逆时针方向旋转一定的角度得到，其中点A，B，C的对应点分别是点D，E，F．在旋转过程中，与始终相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据旋转的性质说明线段或角相等 【分析】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 由旋转的性质可知，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，因而可得，进而可得，由此即可得出答案． 【详解】解：由旋转的性质可知，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角， ， ， ， 在旋转过程中，与始终相等的是， 故选：． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·全国·期末）如图，中，，将绕点顺时针旋转后，得到，且在边上，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据旋转的性质说明线段或角相等、等边对等角 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 利用旋转的性质可得，，由等边对等角可得，然后根据即可求出的度数． 【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转后，得到， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 2．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴上，，点A到x轴的距离为4，将绕点O逆时针旋转，得到，则点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质说明线段或角相等、求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，先求出，再证明，于是可得，，从而求出点的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ， ，点到轴的距离为4， ， ， 将绕点逆时针旋转，得到， ，， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化旋转，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 3．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，是由绕点按逆时针方向旋转得到的，连接、相交于点．求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据旋转的性质说明线段或角相等 【分析】本题主要考查的是旋转的性质、全等三角形的性质和判定，依据旋转的性质得到相等的边或角是解题的关键． 由旋转的性质可得到，，，依据等式的性质可得到，依据可证明，依据全等三角形的性质进行证明即可． 【详解】证明：是由绕点按逆时针方向旋转得到的， ∴，，， ∵ ， ，即． 在和中， ， ， ． 【题型六】旋转的性质及辨析 【例6】（22-23九年级上·北京大兴·期中）在图形的旋转过程中，下面有四种说法：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后图形的对应线段相等；④旋转前、后图形的位置一定会改变．上述四种说法正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】旋转的性质及辨析 【分析】根据旋转的性质即可得到结论． 【详解】解：①对应点到旋转中心的距离相等，故本说法符合题意； ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，故本说法符合题意； ③旋转前、后图形的对应线段相等，故本说法符合题意； ④旋转前、后图形的位置不一定会改变，也可能重合，故本说法不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【举一反三】 1．（九年级上·河北沧州·期中）在图形的旋转中，下列说法不正确的是（    ） A．旋转前和旋转后的图形一样 B．图形上的每一个点到旋转中心的距离都相等 C．图形上的每一个点旋转的角度都相同 D．图形上可能存在不动的点 【答案】B 【知识点】旋转的性质及辨析 【分析】根据旋转的性质对A、B、C进行判断；利用旋转中心为图形上一点的情况可 D进行判断． 【详解】解：A、旋转前和旋转后的图形全等，故A选项不符合题意； B、在图形上的对应点到旋转中心的距离相等，故B选项符合题意； C、图形上每一点移动的角度相同，都等于旋转角，故C选项不符合题意； D、图形上可能存在不动的点，故D选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 2．（2022九年级上·全国·专题练习）如图，将右边的图案变成左边的图案，是通过 变化得到的． 【答案】旋转 【知识点】旋转的性质及辨析 【分析】根据图形旋转的性质即可得出结论． 【详解】解：将右边的图案旋转90°即可得到左边的图案． 故答案为：旋转． 【点睛】本题考查的是几何变换的类型，熟知图形旋转的性质是解答此题的关键． 3．（23-24九年级上·北京·阶段练习）如图，在中，．将绕点逆时针旋转得到，在旋转过程中，当点落在的中点处时，求的度数．    【答案】 【知识点】旋转的性质及辨析、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查旋转的性质以及等边三角形的判定等知识，利用旋转的性质结合直角三角形的性质得出是等边三角形，进而得出答案，正确掌握直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到，    ∴，， ∵点可以恰好落在的中点处， ∴点是的中点， ∵， ∴，             ∴， 即是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 【题型七】画旋转图形 【例7】（24-25九年级上·广东中山·期中）将图中所示的图案以圆心为中心，旋转后得到的图案是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】画旋转图形 【分析】本题考查图形的旋转，根据旋转的性质，进行判断即可． 【详解】解：由题意，将图中所示的图案以圆心为中心，旋转后得到： 故选D． 【举一反三】 1．（2024·山西晋城·三模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，，将绕点按逆时针方向旋转，得到，则点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】画旋转图形 【分析】本题考查了旋转作图的知识及旋转后坐标的变化，解答本题的关键是根据题意所述的旋转三要素画出图形，然后结合直角坐标系解答． 【详解】根据题意作图如下：    则点的坐标为， 故选：A 2．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，，如果将绕点按逆时针方向旋转，得到，那么点，的对应点，的坐标分别是 ． 【答案】， 【知识点】画旋转图形 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转，根据题意画出旋转后的三角形即可解决问题，能根据题意画出旋转后的图形是解题的关键． 【详解】解：的绕点逆时针旋转后所得图形如图所示， 所以点的坐标为，点的坐标为． 故答案为：，． 3．（22-23九年级上·广西河池·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点），以边的中点O为旋转中心，将按逆时针方向旋转，得到，请画出． 【答案】见解析 【知识点】画旋转图形 【分析】本题主要考查了画旋转图形，连接并延长到使得，同理作出，再顺次连接即可． 【详解】解：如图所示，即为所求． 【题型八】求绕原点旋转90度的点的坐标 【例8】（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，，将绕点旋转后得到，则点的坐标是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【知识点】求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转．把绕点O逆时针或顺时针旋转后得到时，根据点的位置得出坐标． 【详解】解：∵在中，，，， ∴绕点O逆时针旋转后得到，点在第二象限， ∴； 当绕点O顺时针旋转后得到，点在第四象限， ∴． 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·广东惠州·期末）春节时人们爱用风车装饰景区．如图，风车由两种等腰直角三角形拼成．等腰的斜边，点绕点逆时针旋转后的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等腰三角形的性质和判定、求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】解题的关键是抓住旋转的三要素：旋转中心，旋转方逆时针，旋转角度，求坐标． 【详解】解：由已知，是等腰直角三角形，得点的坐标为，根据旋转中心，旋转方向逆时针，旋转角度，从而得坐标为． 2．（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点O逆时针旋转得到点B，则点B的坐标为 ． 【答案】 【知识点】求绕原点旋转90度的点的坐标、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查的是旋转的性质，图形与坐标，全等三角形的判定与性质，灵活运用以上知识解题是关键．根据题意画出示意图，结合旋转的性质及全等三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图：则， ∵， ∴， 由旋转得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意得得点在第二象限， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，将绕原点按逆时针方向旋转，得到（点A，，的对应点分别为点，，）． (1)求出顶点，的坐标； (2)在图中画出． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】画旋转图形、求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-旋转，根据旋转方式结合网格的特点找到A、B、C对应点的位置成为解题的关键． （1）先根据旋转方式结合网格的特点，确定的位置，然后写出点，的坐标即可； （2）顺次连接即可得到． 【详解】（1） 解：根据旋转方式结合网格的特点可得的位置如图：即为所求， ∴． （2）解：如图：即为所求． 【题型九】求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 【例9】（2024九年级·全国·竞赛）在平面直角坐标系中，将点绕点按顺时针方向旋转后得到的点为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 【分析】本题考查坐标与旋转，根据旋转的性质，利用数形结合的思想，进行求解即可． 【详解】解：由题意，如图：    由图可知：旋转后点的坐标为； 故选：C． 【举一反三】 1．（2024·山东青岛·一模）如图，已知点，，将线段绕点M 逆时针旋转到，点A与是对应点，点B 与是对应点，则点M的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 【分析】本题考查坐标与图形，旋转变换，根据“对应点连线的垂直平分线的交点为旋转中心”作图即可． 【详解】解：如图，连接、，作线段的垂直平分线，线段的垂直平分线，交点即为点M，旋转中心M即为所求． 由图可得点M的坐标是． 故选：C． 2．（24-25九年级上·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，以为旋转中心，将点按逆时针方向旋转得到点Q，则点Q的坐标是 ． 【答案】 【知识点】求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转，三角形全等的判定和性质，过点A作轴，过点P，作于点C，过点Q作于点B，根据，，得出，，证明，得出，，即可得出答案． 【详解】解：过点A作轴，过点P，作于点C，过点Q作于点B，如图所示： 则， ∵，， ∴，， 根据旋转可知：，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 即 故答案为：． 3．（24-25九年级上·北京海淀·期中）如图，点A，B的坐标分别为，将绕点A按逆时针方向旋转，得到， (1)画出旋转后的； (2)直接写出点的坐标为 ； (3)连接，直接写出的度数__________． 【答案】(1)图见解析 (2) (3) 【知识点】求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标、根据旋转的性质求解、画旋转图形、等边对等角 【分析】本题考查坐标与旋转，熟练掌握旋转的性质，是解题的关键： （1）根据旋转的性质，画出即可； （2）根据点所在的位置，写出点的坐标即可； （3）根据旋转的性质，结合等边对等角进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）由图可知：； （3）由旋转可知：， ∴； 故答案为：． 【题型十】求绕原点旋转一定角度的点的坐标 【例10】（23-24九年级上·山东临沂·期中）将含有角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在轴上，若，将三角板绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求绕原点旋转一定角度的点的坐标 【分析】本题考查了坐标与图形变化和旋转求出旋转后与轴夹角为，然后求出点的横坐标与纵坐标，从而得解． 【详解】如图， 三角板绕原点顺时针旋转， 旋转后与轴夹角为， ， ， 点的横坐标为， 纵坐标为， 所以，点的坐标为． 故选：C． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·河南商丘·期中）如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，将绕点O按逆时针方向旋转得到，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求绕原点旋转一定角度的点的坐标 【分析】本题考查了旋转的性质，,根据旋转的性质，得到，计算选择即可． 【详解】∵,根据旋转的性质， ∴点的坐标为， 故选D． 2．（24-25九年级上·内蒙古兴安盟·期中）在平面直角坐标系中，点A坐标是，当把坐标系绕点O顺时针旋转时，点A在旋转后的坐标系中的坐标是 ． 【答案】 【知识点】求绕原点旋转一定角度的点的坐标 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转．根据题意画出图形，连接，作轴于点B，当把坐标系绕点O顺时针旋转时，相当于把绕点O逆时针旋转，可得点A在旋转后的坐标系中的坐标是． 【详解】解：如图所示：连接，作轴于点B， ∵点A坐标是． ∴，， ∴， ∴， 当把坐标系绕点O顺时针旋转时，相当于把绕点O逆时针旋转， ∴点A在旋转后的坐标系中的坐标是． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·天津河北·阶段练习）在平面直角坐标系中，点，点，把绕原点逆时针旋转，得，其中，点，分别为点A，旋转后的对应点，记旋转角为． (1)如图，当时，求点的坐标； (2)当轴时，求点D的坐标（直接写出结果即可）． 【答案】(1) (2)满足条件的点的坐标为或． 【知识点】求绕原点旋转一定角度的点的坐标 【分析】本题属于坐标与图形变化旋转，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）如图，过点作于．解直角三角形求出，即可． （2）分两种情形：在轴上方时，设交轴于，过点作轴于．求出，即可．当在轴下方时，同法可得． 【详解】（1）解：如图，过点作于． ， ， ， ， ； （2）解：如图，在轴上方时，设交轴于，过点作轴于． 轴， ， ，， ， ∵， ， ， ， 当在轴下方时，同法可得． 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 【题型十一】坐标与旋转规律问题 【例11】（2025·山东·二模）如图，将折线绕点顺时针旋转得到一段新的折线，再将新的折线绕点顺时针旋转……以此类推，得到一段连续的折线，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】坐标与旋转规律问题 【分析】本题考查坐标规律探究，观察图象可知，，的纵坐标以为一组进行循环，进而求出的坐标即可． 【详解】解：由题意，如图， 可知：在轴上，且，的纵坐标以为一组进行循环， ∴，即一个循环，横坐标增加5，且在一个循环内横坐标的变化为， ∴， ∴， ∵， ∴的纵坐标为，横坐标为：， ∴， 故选C． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点的坐标为，将线段绕点O按顺时针方向旋转，再将其长度伸长为的2倍，得到线段，又将线段绕点O按顺时针方向旋转长度伸长为的2倍，得到线段，如此进行下去，得到线段（n为正整数），则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】坐标与旋转规律问题 【分析】本题考查坐标与旋转的规律性问题．理解题意，掌握探究规律的方法是解题的关键． 根据题意得出，如此下去即可得出，即可求出的底和高．再利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：根据题意得出，…，． ∴的底为，高为． ∴． 故选：C 2．（24-25九年级上·山东济宁·期中）一段抛物线：，记为，它与x轴交于点O、；将绕点旋转得，交x轴于点；将绕点旋转得；交x轴于点；…若是其中某段抛物线上一点，则 ． 【答案】 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、坐标与旋转规律问题 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据平移规律得出的解析式是解题的关键． 求出抛物线与轴的交点坐标，然后得到，，，，求出，，，的解析式，然后找到规律，求出的解析式，然后把点P的横坐标代入计算即可得解． 【详解】解：∵一段抛物线：， ∴图象与x轴交点坐标为：，， ∵将绕点旋转得，交x轴于点；将绕点旋转得，交x轴于点； ∴，，， ∴的解析式为，的解析式为，的解析式为，的解析式为， ∵ ∴的解析式为， ∴当时，． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·河南商丘·期中）在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：将点M绕直线上某一点P顺时针旋转，再关于直线对称，得到点N，我们称点N为点M关于点P的二次关联点．已知点． (1)若点P的坐标是，如图1，记点A旋转后对应的点为，关于直线对称的点为，则点即为点A关于点P的二次关联点，求出的坐标； (2)若点A关于点P的二次关联点与点A重合，在图2中画出图形找出A旋转后对应的点和点P，并求点P的坐标； (3)若点A关于点P的二次关联点在直线上，直接写出此时点P的坐标． 【答案】(1)的坐标为 (2)点P的坐标为 (3)点P的坐标为 【知识点】坐标与旋转规律问题、坐标与图形变化——轴对称、一次函数与几何综合 【分析】（1）如图1，记旋转后对应的点为，关于直线对称的点为，过作轴于，证明，则，进而可得，； （2）如图2，记旋转后对应的点为，与直线的交点为，则垂直平分，，，由，，可得，，则，进而可得； （3）设，过作轴于，连接与直线的交点为，证明，得出，，进而可得，可得与的纵坐标相同，即点的纵坐标为，再由点在直线上，可求得a的值，即可求得答案． 【详解】（1）解：如图1，记旋转后对应的点为，关于直线对称的点为，过作轴于， 由旋转的性质可知，，， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴，； （2）解：如图2，记旋转后对应的点为，与直线的交点为，则垂直平分，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴； （3）解：如图3，设，过作轴于，连接与直线的交点为，    则， ∵将点A绕点P顺时针旋转得到点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵与关于直线对称， ∴与的纵坐标相同，即点的纵坐标为， ∵点在直线上， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等角对等边，一次函数的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【题型十二】线段问题(旋转综合题) 【例12】（22-23九年级上·天津武清·期中）如图，P为正方形内一点，，将绕点C逆时针旋转得到，则的长是（        ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】线段问题(旋转综合题)、根据正方形的性质证明 【分析】根据旋转的性质，旋转后的三角形是等腰直角三角形，由勾股定理可求得 【详解】∵绕点C逆时针旋转得到，其旋转中心是点C，旋转角度是 ∴, ∴是等腰直角三角形 ∴ 故选项是B． 【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握正方形和旋转的性质，得出三角形是等腰直角三角形是解决问题的关键 【举一反三】 1．（九年级上·河南安阳·期末）如图，在中，，，，，O为AC的中点，M为BC边上一动点，将绕点A逆时针旋转角得到，点M的对应点为，连接，在旋转过程中，线段的长度的最小值是（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】含30度角的直角三角形、线段问题(旋转综合题) 【分析】如图：由题意知当旋转到点在AC的延长线上且AC与 垂直时， 的长度最小；旋转的性质可得，再根据直角三角形的性质可求得，由中点的定义可求得OA,最后计算即可． 【详解】解：由题意知当旋转到点在AC的延长线上且AC与 垂直时，的长度最小； ∵将绕点A逆时针旋转角 ∴ ∵AC⊥， ∴ ∵O为AC的中点 ∴AO==3.5 ∴． 故选B． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质和直角三角形的性质，掌握30°所对的直角边是斜边的一半． 2．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，在菱形中，，，将菱形绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形，点E在上，与交于点P．（1）与的关系是 ，（2）的长为 ．    【答案】 相等且垂直 【知识点】线段问题(旋转综合题)、利用菱形的性质求线段长 【分析】（1）连接BD交AC于O，由菱形的性质得出，由直角三角形的性质求出，由直角三角形的性质得出，由旋转的性质得出，求出，证出，即可得出结论； （2）由直角三角形的性质得出，即可得出结果． 【详解】解：（1）连接BD交AC于O，如图所示：    ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质得：，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴EF与DC的关系是相等且垂直， 故答案为：相等且垂直； （2）∴，， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了菱形的性质、旋转的性质、含30°角的直角三角形的性质、平行线的性质等知识；熟练掌握旋转的性质和菱形的性质是解题的关键． 3．（23-24九年级上·山东日照·期末）如图1，在中，，，D，E分别为的中点，将绕点C逆时针方向旋转得到（如图2），使直线恰好过点B，连接． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)求的长； (3)若将绕点C逆时针方向旋转一周，当直线过的一个顶点时，请直接写出长的其它所有值． 【答案】(1)，见详解 (2) (3)或 【知识点】利用邻补角互补求角度、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、线段问题(旋转综合题) 【分析】（1）根据旋转的不变性证明，再由对应角相等及邻补角即可得证； （2）设，在中，由勾股定理得：，解方程即可； （3）分类讨论，分第一次经过点B，经过点A，再次经过点B讨论，根据变化中的不变性，不变的是基本图形关系即，以及位置关系，始终有垂直，继而设，运用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：与的位置关系为． ∵，D，E分别为的中点， ∴，即， ∵，即， ∴, ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 即：． （2）解：中，， ∴，同理可求， ∵， ∴， 设， 在中，由勾股定理得：， 解得：（舍负）， ∴． （3）解：①经过点B时，题（2）已求； ②经过点A时，如图所示， 同理可证：， ∴， ∵， ∴， 设， 在中，由勾股定理得：， 解得：（舍负）， 即：； ③再次经过点B时，如下图： 同理可证：，， 设， 在中，由勾股定理得：， 解得：（舍负）， 即：； 综上所述：或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等的应用，正确熟练掌握知识点是解题的关键． 【题型十三】面积问题(旋转综合题) 【例13】（九年级上·湖北武汉·期中）如图，∠MAN＝60°，点B、C分别在AM、AN上，AB＝AC，点D在∠MAN内部、△ABC外部，连接BD、CD、AD．下列结论：①DB+DC≥DA；②S△BDC≤BD•DC；③若DB＝m，DC＝n，则S△ADB≤+mn．其中错误的结论个数为（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【知识点】面积问题(旋转综合题)、等边三角形的判定和性质 【分析】①将△ACD绕点A逆时针旋转60°得到△ABC′，可证得△AC′D是等边三角形，再运用三角形三边关系即可判断①正确； ②过点C作CH⊥BD于H，则∠BHC＝90°，根据S△BDC＝BD•CH，由垂线段最短判断出②正确； ③把△BDC绕点B顺时针旋转60°得到△ABK，连接DK，由旋转的性质可证得△BDK是等边三角形，分K落在△ABD的边上、内部、外部讨论即可判断③正确． 【详解】解：①如图1，将△ACD绕点A逆时针旋转60°得到△ABC′， 则△ABC′≌△ACD， ∴AC′＝AD，BC′＝CD， ∵∠DAC′＝60°， ∴△AC′D是等边三角形， ∴C′D＝AD， 在△BC′D中，BC′+BD＞C′D， ∴CD+BD＞AD， 当∠ADC＝60°，即∠AC′B＝60°时，C′、B、D三点共线， ∴CD+BD＝AD， 故①正确； ②如图2，过点C作CH⊥BD于H， 则∠BHC＝90°， ∴S△BDC＝BD•CH， 由垂线段最短知，CH≤CD， ∴S△BDC≤BD•CD， 故②正确； ③把△BDC绕点B顺时针旋转60°得到△ABK，连接DK， 由旋转得：BD＝BK，∠DBK＝60°， ∴△BDK是等边三角形， （推导等边三角形的面积公式如下： S△ABC=） ∴S△BDK＝， ∵△ABK≌△BDC（根据旋转的性质）， 当K落在△ABD外部时，S△ABK＝S△BDC≤BD•CD， 即S△ABK≤mn， ∴S△ABD<S△ABK+S△BDK≤+mn， 当K落在AD边上时， S△ABD= S△ABK+S△BDK≤+mn， 当K落在△ABD内部时， 过点B、D分别作BN⊥AK于N，DM⊥AK于M，设AK与BD交于点O， S△ABD=S△BDK+S△ABK+S△ADK =m2+AK·BN+AK·DM=m2+AK（BN+DM） ∵BO≥BN，OD≥DM， ∴S△ABD≤m2+AK（OB+OD）=m2+mn 故③正确； 综上所述，正确的结论为3个，错误的结论为0个， 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转变换的性质，三角形面积等知识点，解题关键是利用旋转变换构造全等三角形． 【举一反三】 1．（湖南株洲·模拟预测）如图是某公司设计的一款酒杯的设计平面图，为求出酒杯平面图中的杯子这部分面积，小明找到了设计图纸上的部分数据：是抛物线与轴交于点A、B时的轴上方的部分，且点，将绕点B旋转得，与轴交于另一点C，将绕点C旋转得，且，则图中阴影部分的面积为（    ） A．24 B． C．28 D．32 【答案】D 【知识点】面积问题(旋转综合题)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】根据旋转可知，AB=BC=CD=4，得出点B的坐标，把点A、B的坐标代入函数关系式，得出二次函数关系式，从而求出二次函数的顶点坐标，即可求阴影部分的面积． 【详解】∵根据旋转可知，AB=BC=CD=4，点A的坐标为（-3，0）， ∴点B的坐标为（1，0）， 把点A、B的坐标代入得： ， 解得：， ∴函数关系式为： ， ∴顶点坐标为（-1，4）， ∵根据旋转可知，与x轴围成的图形面积等于与x轴围成的图形面积， ∴图中阴影部分的面积为：，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质和二次函数的性质，熟练掌握图形的变换是解题的关键． 2．（24-25九年级上·河南安阳·期中）如图，边长为1的正方形绕点顺时针旋转到正方形，图中阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【知识点】面积问题(旋转综合题)、根据旋转的性质求解、正方形性质理解、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，三角形的面积等知识点，能把不规则图形的面积转化成规则图形的面积是解此题的关键．连接，根据旋转的性质和正方形的性质得出，，， 三点共线，三点共线，根据勾股定理得求出长，再分别求出和的面积即可求出阴影面积． 【详解】解：如图，连接，， 正方形绕点顺时针旋转到正方形，， 点三点共线，三点共线，即点在对角线上，对角线过点， 在中，， ，， ， ， ， 的面积， 的面积正方形的面积， 阴影部分的面积的面积的面积 3．（24-25九年级上·广西钦州·期末）综合与实践． 【问题初探】（1）如图，在中，，，为边上的中线，求的取值范围．解答这个问题，我们可以将绕点旋转，得到，则的取值范围可解．请作出并直接写出的取值范围； 【问题解决】（2）如图，为等边三角形内一点，满足，，，试求的大小（提示：将绕点顺时针旋转）； 【问题拓展】（3）如图，在正方形中，，分别为，边上的点，且满足，，，求的面积． 【答案】（1）图见解析，；（2）；（3） 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、正方形性质理解、面积问题(旋转综合题)、角度问题(旋转综合题) 【分析】（1）如图，将绕点旋转，得到，连接，由旋转得到，，证明四边形是平行四边形，根据三角形三边的关系得到，从而得到的取值范围； （2）如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，由旋转可知，证明是等边三角形得，在中，运用勾股定理逆定理可得，求出，结合旋转可求解； （3）将绕点顺时针旋转得到，由旋转可知，，，，推出，证明，求出即可． 【详解】解：（1）如图，将绕点旋转，得到，连接， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， 又∵， ∴，即， ∴， ∴的取值范围为； （2）如图，将绕点顺时针旋转得到，连接， ∴，，，， ∴是等边三角形， ∴，， 在中，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴的大小为； （3）如图，将绕点顺时针旋转得到， ∴，，，， ∵四边形是正方形，，，， ∴，， ∴点在的延长线上， ∴， ， ∴， ∴． 在与中， ， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查旋转的综合应用，三角形三边之间的关系，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理逆定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点．解题的关键是旋转构造全等进行转换． 【题型十四】角度问题(旋转综合题) 【例14】（22-23九年级上·广东惠州·阶段练习）如图，将（其中，）绕点按顺时针方向旋转到的位置，使得点，，在同一条直线上，那么旋转角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】角度问题(旋转综合题) 【分析】在中，根据，可得然后旋转后AB与即可得出结论． 【详解】∵， ∴， ∵C，A，在一条直线上， ∴， ∵旋转后AB与重合， ∴旋转角为 故选：C． 【点睛】本题主要考查了旋转角度问题，正确理解题意是解题的关键． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，在正方形中，E为边上的点，连接，将绕点C顺时针方向旋转得到，连接，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】角度问题(旋转综合题)、等边对等角 【分析】根据正方形的性质及旋转的性质可得是等腰直角三角形，再根据，即得结果． 【详解】解：由旋转的性质得，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等． 2．（2024九年级·全国·竞赛）如图，和都为等腰直角三角形，点在上，点在的延长线上，，现将绕点旋转，得到，连接，过点作，垂足为点，直线交于点，则线段的长度为 ． 【答案】或 【知识点】角度问题(旋转综合题)、利用平行四边形的判定与性质求解、用勾股定理解三角形、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】分按顺时针旋转和逆时针旋转两种情况讨论，过点作，垂足为点，过点作交的延长线于点，连接，利用勾股定理，含30度角的直角三角形的特征求出，根据等面积法求出，证明，得到，易得四边形为平行四边形，利用平行四边形对角线互相平分的性质即可求解． 【详解】解：如图1和图2，过点作，垂足为点，过点作交的延长线于点，连接， 则有，得， ， 由等面积法有； ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 在图1中，， 在图2中，同理得：． 【点睛】本题考查几何变换综合应用，涉及等腰直角三角形的性质及应用，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，直角三角形的特征，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 3．（23-24九年级上·贵州黔东南·期末）如图，点E是正方形内一点，将绕点A顺时针旋转至，点E的对应点为点F． (1)若，，求的度数． (2)连接，若，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】角度问题(旋转综合题)、根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）证明即可求解； （2）先证明，再利用勾股定理求解即可 【详解】（1）解∶， ， 绕点顺时针旋转至， ， ； （2）绕点顺时针旋转至，点的对应点为点， 旋转至的位置，旋转角为， ， ． 【点睛】本题考查旋转的性质、正方形的性质、三角形的内角和定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题。 【题型十五】其他问题(旋转综合题) 【例15】（23-24九年级上·北京丰台·期中）两块完全相同的含角的直角三角板和重合在一起，将三角板绕直角顶点按逆时针方向旋转（），如图所示．以下结论错误的是（　　） A．当时，与的交点恰好为中点． B．当时，恰好经过点． C．在旋转过程中，存在某一时刻，使得． D．在旋转过程中，始终存在． 【答案】C 【知识点】其他问题(旋转综合题) 【分析】根据全等三角形的性质可得， ，再根据旋转角求出等边三角形，判断出正确，假设，则可推出，可得与已知矛盾，判断出错误，再根据四边形的内角和等于求出与 的夹角为，判断出正确． 【详解】解：∵直角三角板和重合在一起， ∴，， ：当时，°， 设与交点为，如图所示， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即与的交点为的中点， 故正确； ：当时，， ∵， ∴以点、、构成的三角形是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴恰好经过， 故正确； 在旋转过程中，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故错误； ：如图，设直线与直线交于， ∵，， ∴， 同理可得， 又∵， ∴， ∴， ∴在旋转过程中，始终存在， 故正确； 故选：． 【点睛】此题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 【举一反三】 1．（九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，每次旋转都以图中的A、B、C、D、E、F中不同的点为旋转中心，旋转角度为k•90°（k为整数），现在要将左边的阴影四边形正好通过n次旋转得到右边的阴影四边形，则n的值可以是（    ） A．n＝1可以，n＝2，3不可 B．n＝2可以，n＝1，3不可 C．n＝1，2可以，n＝3不可 D．n＝1，2，3均可 【答案】D 【知识点】其他问题(旋转综合题) 【分析】利用旋转变换的性质一一判断即可． 【详解】解：将左边的阴影四边形绕点E顺时针旋转90°得到右边的阴影四边形，此时n＝1． 左边的阴影四边形绕点A逆时针旋转90°，再将得到的四边形绕点C顺时针旋转180°可得右边的阴影四边形，此时n＝2． 左边的阴影四边形绕点B顺时针旋转90°，再将得到的四边形绕点E顺时针旋转90°，将得到的四边形绕点C逆时针旋转90°可得右边的阴影四边形，此时n＝3． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了旋转变换，理解题意、灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 2．（2023·河南洛阳·三模）如图，在和中，，，，连接，，点为的中点，连接．将绕点在平面内旋转．当时，的长为 ．    【答案】或/或 【知识点】其他问题(旋转综合题)、斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形 【分析】首先利用勾股定理可得， 然后分两种情况讨论：当点运动到线段上和点运动到线段的延长线上时，利用勾股定理求得的长，然后结合“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”即可获得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 分两种情况讨论： ①如下图，当点运动到线段上时，    ∵ ∴， 此时， ∴， ∵点为的中点， ∴； ②如下图，当点运动到线段的延长线上时，    此时，， ∴， ∵点为的中点， ∴． 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线的性质等知识，利用分类讨论的思想分析问题是解题关键． 3．（23-24九年级上·全国·期末）如图，操作：把正方形的对角线放在正方形的边的延长线上（），取线段的中点． 探究：线段、的关系，并加以证明．    (1)说明：如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）； (2)在你经历说明（1）的过程后，可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明． 注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得7分；选取③完成证明得5分． ①的延长线交于点，且；②将正方形绕点逆时针旋转（如图），其他条件不变；③在②的条件下，且． 附加题：将正方形绕点旋转任意角度后（如图），其他条件不变．探究：线段、的关系，并加以证明． 【答案】(1)，，证明见解析 (2)证明见解析；附加题：，，证明见解析 【知识点】其他问题(旋转综合题)、根据正方形的性质证明、斜边的中线等于斜边的一半、全等三角形综合问题 【分析】（1）线段、的关系：，．如图，延长交于点，连接、，证明，，，证明，得，，继而证明，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及等腰三角形的性质即可得证； （2）选取条件①，证明，得，证明，得，，继而证明，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及等腰三角形的性质即可得证； 选取条件②，如图，延长交于点，证明，得到，，继而得到，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及等腰三角形的性质即可得证； 选取条件③，如图，延长交于点，证明，得到，，继而得到，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及等腰三角形的性质即可得证； 附加题：证明，得到，，证明，得到，，继而得到，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及等腰三角形的性质即可得证． 【详解】（1）解：线段、的关系是：，． 证明：如图，延长交于点，连接、， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵是正方形的对角线， ∴，，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴为的中点， ∴， ∴，；    （2）选取条件①， 证明：如图， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是正方形的对角线， ∴，，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴为的中点， ∴， ∴，；    选取条件②， 证明：如图，延长交于点， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，，， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴点是线段的中点， ∴， ∴，；    选取条件③， 证明：如图，延长交于点， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，，， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴点是线段的中点， ∴， ∴，；    附加题：线段、的关系：，． 证明：如图，过点作的平行线分别交、的延长线于、，连接、， ∴，， ∵点是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，，， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴为的中点， ∴， ∴，．    【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形三线合一性质等知识点，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 好题必刷 一、单选题 1．有一个正n边形旋转后与自身重合，则n为（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【分析】根据选项求出每个选项对应的正多边形的中心角度数，与一致或有倍数关系的则符合题意． 【详解】如图所示，计算出每个正多边形的中心角，是的3倍，则可以旋转得到． A. B. C. D. 观察四个正多边形的中心角，可以发现正12边形旋转90°后能与自身重合 故选C． 【点睛】本题考查正多边形中心角与旋转的知识，解决本题的关键是求出中心角的度数并与旋转度数建立关系． 2．将图形  按顺时针方向旋转90°后的图形是(　　) A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据已知首先将固定任意一点，绕着这点按顺时针旋转90°，即可得到答案． 【详解】首先将图形的一端固定，按照顺时针旋转90°，即可得到B是正确答案．故选B． 【点睛】本题主要考查图形的旋转，关键点在于固定一定点，绕这个定点旋转即可，还要注意是顺时针． 3．如图，该图形围绕点O按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合． 【详解】解：由该图形类同正五边形，正五边形的圆心角是．根据旋转的性质，当该图形围绕点O旋转后，旋转角是72°的倍数时，与其自身重合，否则不能与其自身重合．由于108°不是72°的倍数，从而旋转角是108°时，不能与其自身重合． 故选B． 【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 4．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，连接BE，则BE的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】由勾股定理可求AB=5，由旋转的性质可得AB=AE=5，∠BAE=60°，即可求解． 【详解】解：∵∠C=90°，BC=3，AC=4， ∴AB=， ∵将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED， ∴AB=AE=5，∠BAE=60°， ∴△ABE是等边三角形， ∴BE=AB=5， 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 5．如图是一个旋转对称图形，以O为旋转中心，以下列哪一个角为旋转角旋转，能使旋转后的图形与原图形重合（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转对称图形．根据旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．据此即可解答． 【详解】解：O为圆心，连接三角形的三个顶点， 即可得到， 所以旋转或后与原图形重合． 故选：D． 6．如图所示是一个旋转对称图形，若将它绕自身中心旋转一定角度之后不能与原图重合，则这个角度可能是（　　） A．60° B．90° C．120° D．180° 【答案】B 【分析】如图，观察图形可知：∠AOB＝∠EOF＝60°，推出旋转角是60°的倍数时，旋转后可以与原来图形重合，由此即可判断． 【详解】解：如图，观察图形可知： ∴旋转角是60°的倍数时，旋转后可以与原来图形重合， 故性质90°不可能与原来图形重合， 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转对称图形，掌握旋转的性质是解题的关键． 7．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，且坐标原点为的中点，点的坐标为．将正方形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质、坐标与图形的性质、旋转的性质，正确的识别图形并找到规律是解题的关键． 找到前四次旋转后的图形即可找到规律，进而求解． 【详解】解：如图：正方形绕点每次顺时针旋转，前四次旋转后得到的正方形分别为、、、，    可以发现，第四次旋转后正方形回到起点，依此规律旋转下去，有 第次旋转后的正方形应为，其中点对应点， ∴此时．   故选：B ． 8．如图，在菱形中，顶点，，，在坐标轴上，且，，分别以点，为圆心，以的长为半径作弧，两弧交于点，连接，．将菱形与构成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转45°，则第2022次旋转结束时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将菱形与构成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转45°，即点E，绕点O，逆时针旋转，每次旋转45°，所以点E每8次一循环，又因为2022÷8=252…..6，所以E2022坐标与E6坐标相同，求出点E6的坐标即可求解． 【详解】解：如图，将菱形与构成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转45°，即点E，绕点O，逆时针旋转，每次旋转45°， 由图可得点E每8次一循环， ∵2022÷8=252…..6， ∴E2022坐标与E6坐标相同， ∵A（0，1）， ∴OA=1， ∵菱形，， ∴∠ABO=∠ADO=30°， ∴AD=AB=2OA=2， ∴OD=， ∵△ADE是等边三角形， ∴∠ADE=60°，DE=AD=2， ∴∠ODE=90°， ∴∠DOE+∠DEO=90°， 过点E6作E6F⊥x轴于F， ∴∠OFE6=∠ODE=90°， ∵∠E6OE=90°， ∴∠DOE+∠E6OF=90°， ∴∠∠DEO=∠E6OF， ∵OE=OE6， ∴△ODE≌△E6FO（AAS）， ∴OF=DE=2，E6F=OD=， ∴E6（2，-）， ∴E2022（2，-）， 故选：D． 【点睛】本题考查图形变换规律，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，本题属旋转规律型，坐标变换规律型问题，找出图形变换规律，即得出点E变换规律是解题的关键． 9．如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AEFG的位置，则图中阴影部分的面积为(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：作MH⊥DE于H，如图， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=AD=1，∠B=∠BAD=∠ADC=90°， ∵正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AEFG的位置， ∴AE=AB=1，∠1=30°，∠AEF=∠B=90°， ∴∠2=60°， ∴△AED为等边三角形， ∴∠3=∠4=60°，DE=AD=1， ∴∠5=∠6=30°， ∴△MDE为等腰三角形， ∴DH=EH=， 在Rt△MDH中，MH=DH=×=， ∴S△MDE=×1×=． 故选D． 10．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=4，△ABC绕点C顺时针旋转得△CEF，当E落在AB边上时，连接BF，取BF的中点D，连接ED，则ED的长是(    ) A．2 B．4 C．6 D．4 【答案】A 【分析】先证明△ACE，△BCF是等边三角形，可求BD，BE的长，由勾股定理可求解． 【详解】解：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=4， ∴∠A=90°∠ABC=60°，AB=8，BC=， ∵△ABC绕点C顺时针旋转得△CEF， ∴CA=CE，∠ACE=∠BCF，BC=CF， ∴△ACE是等边三角形，AE=AC=BE=EC=4， ∴∠BCF=∠ACE=60°， ∵CB=CF， ∴△BCF是等边三角形， ∴BF=BC=，∠CBF=60°， ∵点D是BF中点， ∴BD=，且BE=4，∠ABF=90°， ∴DE=； 故选：A． 【点睛】本题考查旋转的性质，30度角的直角三角形性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是证明△ACE，△BCF是等边三角形，属于中考常考题型． 二、填空题 11．将一图形绕点O顺时针旋转70°后，再绕点O逆时针旋转120°，这时如果要使图形回到原来的位置，需要将图形绕点O按顺时针方向旋转 度． 【答案】50 【分析】依据将一图形绕着O点顺时针旋转70°后，在绕O点逆时针旋转120°，等于逆时针旋转50°，即可求解． 【详解】根据旋转的定义，将一图形绕点O顺时针旋转70°后，再绕点O逆时针旋转120°等于等于逆时针旋转50°，要是图形回到原来的位置，只需要顺时针旋转50°，故答案为50. 【点睛】本题主要考查旋转的定义，关键在于顺逆时针的变化． 12．如图，三角形A′BC′是三角形ABC绕点B顺时针旋转后得到的，则图中与线段AB相等的线段是 ，图中能用字母表示出的旋转角有 ，这两个旋转角的关系是 ． 【答案】 A′B ∠ABA'和∠CBC' 相等 【分析】根据旋转的性质即可得到AB的对应线段和旋转角． 【详解】解：△A′BC′是△ABC绕点B顺时针旋转后得到的，则图中AB的对应线段是：A′B， 旋转角有∠ABA'和∠CBC'，且∠ABA'=∠CBC'．． 故答案为：A′B，∠ABA'和∠CBC'，相等． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等． 13．如图，是由绕A点旋转得到的，若，，，则旋转角的度数是 ． 【答案】/50度 【分析】根据旋转的性质可得旋转角为，即可求解． 【详解】解：∵是由绕A点旋转得到的， ∴旋转角为， ∵， ∴， 即旋转角的度数为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了图形的旋转，熟练掌握图形旋转的性质是解题的关键． 14．如图，已知点是正方形内的一点，连接，若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据题意，将绕点顺时针旋转得，可得是等腰直角三角形，再根据，可得，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，正方形，， ∴将绕点顺时针旋转，则与重合，得， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴，即，且， ∴在中，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查正方形，直角三角形，勾股定理，旋转的性质的综合，掌握旋转的性质，正方形的性质，直角三角形的勾股定理是解题的关键． 15．若将二次函数y＝x2﹣4x+3的图象绕着点(﹣1，0)旋转180°，得到新的二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)，那么c的值为 . 【答案】-15 【分析】由于图象绕定点旋转180°，得到顶点坐标改变，而抛物线开口方向相反，然后根据顶点式写出解析式. 【详解】解：∵抛物线y＝x2﹣4x+3＝(x﹣2)2﹣1的顶点坐标为(2，﹣1)， ∴绕(﹣1，0)旋转180°后的抛物线的顶点坐标为(﹣4，1)， ∴所得到的图象的解析式为y＝﹣(x+4)2+1＝﹣x2﹣8x﹣15 ∴c的值为﹣15. 故答案为﹣15 【点睛】本题考查了二次函数变换的知识点，应根据开口方向，开口度，对称轴，与y轴交点，顶点坐标几方面进行考虑． 16．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，连接．若，，则的长是 ． 【答案】 【分析】延长，交于点，作于点，根据旋转的性质可得，，可求，，因为旋转，可知，，易证四边形和四边形为矩形，则，，，，进而可求，，在中，勾股定理可求的长．本题考查了旋转的性质，矩形的性质和判定，勾股定理，添加恰当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，延长，交于点，作于点， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ，，，， 将线段绕着点顺时针旋转得到线段， ，， ， 在四边形中，，，， 四边形是矩形， ，，， 在四边形中，，，， 四边形为矩形， ，， ， ， 在中，由勾股定理得， ． 故答案为：． 17．如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A（﹣2，5）的对应点A′的坐标是 . 【答案】(5,2) 【详解】解：∵线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′， ∴△ABO≌△A′B′O′，∠AOA′=90°， ∴AO=A′O．作AC⊥y轴于C，A′C′⊥x轴于C′， ∴∠ACO=∠A′C′O=90°．∵∠COC′=90°， ∴∠AOA′﹣∠COA′=∠COC′﹣∠COA′， ∴∠AOC=∠A′OC′． 在△ACO和△A′C′O中， ∵∠ACO=∠A′C′O，∠AOC=∠A′OC′，AO=A′O， ∴△ACO≌△A′C′O（AAS）， ∴AC=A′C′，CO=C′O． ∵A（﹣2，5）， ∴AC=2，CO=5， ∴A′C′=2，OC′=5， ∴A′（5，2）．故答案为（5，2）． 考点：坐标与图形变化-旋转． 18．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，若为边上一动点，旋转后点的对应点为点，则线段长度的取值范围是 ． 【答案】 【分析】过点C作CH⊥AB于H，利用勾股定理求出AB，结合直角三角形的面积即可求出CH，由旋转易得为等腰直角三角形，从而得出，求出CP的取值范围即可求出结论． 【详解】解：过点C作CH⊥AB于H， ∵在中， ∴AB= ∵=AC·BC=AB·CH ∴×3×4=×5CH 解得CH= 由旋转易得为等腰直角三角形， 所以， ∵在线段上移动， 故当点P与点B重合时，最大值等于等于4；当点P与点H重合时，最小值等于CH等于， ∴ 则． 故答案为：． 【点睛】此题考查的是勾股定理、旋转的性质、等腰直角三角形的性质，掌握勾股定理、旋转的性质、等腰直角三角形的性质是解题关键． 三、解答题 19．将一个正三角形绕它的一个顶点按逆时针方向旋转，分别画出旋转下列角度后的图形： （1）；（2）；（3）；（4）． 【答案】见解析 【分析】按照旋转的性质，画出图形即可． 【详解】解：如图所示，，，，，分别是绕点A逆时针旋转、、、得到的三角形． 【点睛】本题考查了旋转的画法，解题关键是明确旋转的性质，准确进行画图． 20．找出图中扳手拧螺母时的旋转中心和旋转角． 【答案】见解析 【分析】根据旋转中心的定义以及旋转角的定义解答即可． 【详解】解：扳手拧螺母时的旋转中心为点O，旋转角为， 如图所示: 由旋转中心的定义：在平面内，一个图形绕着一个顶点旋转一定的角度得到另一个图形的变化较做旋转，定点O叫做旋转中心可知，图中用扳手拧螺母时，旋转中心为点O，旋转角为， 【点睛】本题考查了和旋转有关的概念：旋转中心和旋转角，属于基础性题目，对此知识点的考查重点在于对旋转的性质的掌握． 21．（1）如图，P是等边三角形内一点，将绕点B旋转到的位置，请确定的形状． （2）仿照（1），编一道类似有关旋转的试题。 【答案】（1）等边三角形；（2）见解析 【分析】第（1）题把旋转寓于等边三角形这个特殊图形之中，在这一旋转过程中，旋转中心是点B，旋转角等于等边三角形的一个内角．根据旋转的性质及等边三角形的性质；根据等边三角形的判定定理，可知所求三角形是等边三角形． 第（2）题的设计意图着眼于增强学生发现和提出问题的能力，促进学生发散性思维的发展． 【详解】解：（1）由于是旋转图形， ∴△PBC≌△P'BA ∴BP'=BP  ∠PBC=∠P'BA ∴∠PBP'=∠PBC+∠ABP=∠P'BA+∠ABP=60° ∴△PBP'为等边三角形； （2）学生所编的问题可能多种多样．下面两例供参考． 举例一：如图，在中，，．将绕点O旋转一定角度，使点A旋转到点．已知点在上，请确定的形状． 本例是旋转与特殊直角三角形的结合，需要运用旋转的性质、特殊直角三角形的特点，以及等腰三角形的性质、等边三角形的判定进行判断．在这一旋转过程中，旋转中心是点O，旋转角的度数未知．根据旋转的性质和题目所给直角三角形的特点，可知，；根据等腰三角形的性质，可知；根据等边三角形的判定定理，可知是等边三角形． 举例二：如图，P是正方形内一点，将绕点B旋转到的位置，请确定的形状． 本例是旋转与正方形的结合，需要运用旋转的性质、正方形的特点，以及直角三角形、等腰三角形的定义进行判断．在这一旋转过程中，旋转中心是点B，旋转角等于正方形的一个内角．根据旋转的性质及正方形的特点，可知，；根据等腰三角形的定义和直角三角形的定义，可知是等腰直角三角形． 【点睛】主要考查旋转的性质，同时还要综合运用等边三角形的性质与判定进行推理论证． 22．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．   （1）作出△ABC关于原点对称的图形△A1B1C1；     （2）写出点A1、B1、C1坐标。 【答案】（1）详见解析；（2）A1的坐标为（2，-3）；B1的坐标为（3，-2）；C1的坐标为（1，-1）. 【分析】（1）分别作出点A、B、C关于原点的对称点，再顺次连接即可得； （2）分别读出各点的坐标即可. 【详解】（1） （2）A1的坐标为（2，-3）；B1的坐标为（3，-2）；C1的坐标为（1，-1）. 【点睛】本题主要考查作图-旋转变换，解题的关键是根据旋转变换的定义和性质作出变换后的对应点. 23．、如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，点A、B的坐标分别为    （1）画出绕点O顺时针旋转后的； （2）点的坐标为_______； （3）四边形的面积为_______. 【答案】（1）正确画出、、（2）（3，2）（3）8 【分析】（1）让三角形的A、B顶点绕点O顺时针旋转90°后得到对应点，顺次连接即可； （2）从坐标系中读出点A1的坐标； （3）四边形AOA1B1的面积是通过计算三角形的面积来计算．把这个不规则的四边形分成三个三角形和一个正方形的面积来计算就简单了． 【详解】（1）所画图形如下所示：    （2）从图中可知点A1的坐标（3，2）． （3）    如图：把四边形分成以上几部分， 则面积=×2×3+×2×3+×1×2+1×1=8． 【点睛】本题综合考查了旋转变换作图及利用网格计算面积的能力，难度不大，掌握旋转作图的步骤是关键． 24．如图，已知，是等边三角形，点为射线上任意一点点与点不重合，连结，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结并延长交直线于点． （1）如图，猜想______ （2）如图，，若当是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想的度数，选取一种情况加以证明． （3）如图，若，，且，则______请直接写出结果 【答案】（1） ；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质得出解答即可； （2）以是锐角为例进行证明，根据等边三角形的性质得，，再根据旋转的性质得，，则，根据“”可证明≌，得到，然后利用三角形内角和定理可得到； （3）作于，与一样可证明≌，则，由，，易得，，则可判断为等腰直角三角形，所以，在中，根据含度的直角三角形三边的关系得，于是可计算出，所以． 【详解】解：（1）； 证明：如图，与相交于点， ，且， 则和中， ， ≌， ， 又因为和中，， ． 故答案为：； （2）以是锐角为例． 证明：如图， 是等边三角形， ，， 线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， ， 即， 在和中， ， ≌， ， ， ；   （3）作于，如图， 与一样可证明≌， ， ，， ，， 为等腰直角三角形， ， 在中，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质． 25．是等边三角形，D是BC上一点，经旋转后到达的位置． 问：（1）旋转中心是哪一点？ （2）旋转了多少度？ （3）若M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了什么位置？ 【答案】（1）点A；（2）60°；（3）点M到了AC的中点处． 【详解】分析：（1）观察图形，由于△ABC是等边三角形，D是BC上一点，△ABD经旋转后到达△ACE的位置，可得出旋转中心； （2）观察图形，线段AB旋转后，对应边是AC，∠BAC就是旋转角，可得出旋转角； （3）因为旋转前后AB、AC是对应边，故AB的中点M，旋转后就是AC的中点了． 详解：（1）∵△ABD经旋转后到达△ACE，它们的公共顶点为A， ∴旋转中心是点A； （2）线段AB旋转后，对应边是AC，∠BAC就是旋转角，也是等边三角形的内角，是60°， ∴旋转了60°； （3）∵旋转前后AB，AC是对应边，故AB的中点M，旋转后就是AC的中点了， ∴点M转到了AC的中点． 点睛：本题考查了图形的旋转变化，学生要看清是顺时针还是逆时针旋转，旋转多少度，难度不大，但易错． 26．【性质探究】 （1）如图1，在中，，AB＝AC，点D在斜边BC上，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACE． ①直线BD与CE的位置关系为______； ②若点F为BE的中点，连接AF，请探究线段AF与CD的数量关系，并给予证明． 【拓展应用】 （2）如图2，已知点E是正方形ABCD的边BC上任意一点，以AE为边作正方形AEFG，连接BG，点H为BG的中点，连接AH．若AB＝4，BE＝3，求AH的长． 【答案】（1）①；②，证明见解析；（2） 【分析】（1）①先证明∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ACB=45°， 再证明△BAD≌△CAE，利用全等三角形的性质可得结论；② 延长BA至点G，使AG＝AB，连接GE，证明△ADC≌△AEG，可得CD＝GE．延长FA至点Q，使AQ＝AF，连接GQ，证明△ABF≌△AGQ，可得∠BFA＝∠GQA，BF＝GQ，证明四边形EFQG是平行四边形，可得QF＝GE．从而可得结论； （2）如图，连接DE､DG，证明△BAE≌△DAG，△DAG可以由△BAE绕点A逆时针旋转90°得到．可得CE＝1，CD＝4． 延长AB至N，使AN=AB，连接NG，延长HA至Q，使AQ=AH，连接NQ，同理：由（1）中②可知，从而可得答案． 【详解】解：（1）①∵将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACE， ∴∠DAE＝∠BAC＝90°，AE＝AD，AC＝AB ∴∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ACB=45°， 在△BAD和△CAE中，， ∴△BAD≌△CAE， ∴∠ABC=∠ACE=45°， ∴∠BCE=45°+45°=90°， 即 ②，理由如下： 延长BA至点G，使AG＝AB，连接GE， ∵将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACE， ∴∠DAE＝∠BAC＝90°，AE＝AD，AC＝AB＝AG， 又∠DAC=90°－∠CAE=∠GAE， ∴△ADC≌△AEG， ∴CD＝GE． 延长FA至点Q，使AQ＝AF，连接GQ， ∵AG＝AB，∠BAF＝∠GAQ， ∴△ABF≌△AGQ， ∴∠BFA＝∠GQA，BF＝GQ， ∴，即． ∵点F为BE的中点， ∴EF＝BF＝GQ， ∴四边形EFQG是平行四边形， ∴QF＝GE． ∵，CD＝GE， ∴． （2）如图，连接DE､DG， ∵四边形ABCD和四边形AEFG为正方形， ∴AB＝AD=BC=CD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°， 又∠BAE＝90°－∠EAD＝∠DAG， ∴△BAE≌△DAG， ∴△DAG可以由△BAE绕点A逆时针旋转90°得到． ∵AB＝4，BE＝3， ∴CE＝1，CD＝4． 延长AB至N，使AN=AB，连接NG，延长HA至Q，使AQ=AH，连接NQ， 同理：由（1）中②可知， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理的应用，旋转的性质，作出合适的辅助线，构建全等三角形与平行四边形是解本题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 图形的旋转 （知识清单+15大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 判断生活中的旋转现象 题型二 判断由一个图形旋转而成的图案 题型三 找旋转中心、旋转角、对应点 题型四 根据旋转的性质求解 题型五 根据旋转的性质说明线段或角相等 题型六 旋转的性质及辨析 题型七 画旋转图形 题型八 求绕原点旋转90度的点的坐标 题型九 求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 题型十 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 题型十一 坐标与旋转规律问题 题型十二 线段问题(旋转综合题) 题型十三 面积问题(旋转综合题) 题型十四 角度问题(旋转综合题) 题型十五 其他问题(旋转综合题) 知识清单 知识点1．生活中的旋转现象 （1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点． （2）注意： ①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键． ②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向． ③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点． 知识点2．旋转的性质 （1）旋转的性质： 　　 　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　 　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　 　　③旋转前、后的图形全等．　　 （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　 　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 知识点3．旋转对称图形 （1）旋转对称图形 如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形． （2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等． 知识点4．坐标与图形变化-旋转 （1）关于原点对称的点的坐标 P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y） （2）旋转图形的坐标 图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°． 题型练习 【题型一】判断生活中的旋转现象 【例1】（24-25九年级上·广西防城港·阶段练习）下列现象属于旋转的是（   ） A．摩托车在急刹车时向前滑动 B．火箭冲向空中的时候 C．笔直的铁轨上飞驰而过的复兴号 D．幸运大转盘转动的过程 【举一反三】 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）下列物体的运动：①电梯上下迎送顾客；②风车的转动；③钟摆的摆动；④方向盘的转动．属于旋转的有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 2．（22-23九年级上·湖北恩施·阶段练习）钟表的分针匀速旋转一周需要60分钟，经过20分钟，分针旋转了 ． 3．（九年级上·全国·课后作业）请你举出一些现实生活、生产中旋转的实例，并指出旋转中心和旋转角． 【题型二】判断由一个图形旋转而成的图案 【例2】（24-25九年级上·广西防城港·期中）如图，将该图按顺时针方向旋转后的图形是（   ）    A．    B．   C．   D．   【举一反三】 1．（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）将如图所示的图形绕其中心旋转某一角度后会与原图形重合，这个角度可以是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·北京海淀·模拟预测）如图，平南直角坐标系中，可以看作是经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由得到过程 ．    3．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图是由14个全等的三角形组成的图案，是由阴影部分的三角形通过平移、轴对称或旋转而得到的，试分析这个图案形成的过程． 【题型三】找旋转中心、旋转角、对应点 【例3】（24-25九年级上·湖南湘西·期中）中国传统的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，它蕴含着丰富的哲学思想和数学文化．从数学角度看，太极图可以看作是由一个圆形的一部分经过旋转等变换得到另一部分．如果把黑色部分看作是由白色部分绕着圆心旋转得到的，那么旋转的角度可能是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图，在正方形网格中，绕某点旋转一定的角度得到，则旋转中心为（    ） A．点O B．点P C．点Q D．点M 2．（24-25九年级上·内蒙古通辽·阶段练习）如图，E是正方形中边上的点，以点A为中心，把顺时针旋转，得到，其中．那么旋转角的度数是 3．（23-24九年级上·广西河池·期中）如图，是绕着点P旋转得到的，点A、B、C的对应点分别是点D、E、F，请用尺规作图找出点P的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【题型四】根据旋转的性质求解 【例4】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，将绕点A顺时针旋转得到，若，则（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）如图，轩轩不小心将家中装垃圾的灰斗碰倒了，此时与地面的夹角为，，轩轩将其扶正后，点落在地面上，则绕点旋转的角度为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·重庆永川·期中）如图，把绕点顺时针旋转某个角度得到，,，则旋转角等于 ． 3．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，已知是等腰直角三角形，为上一点，经过逆时针旋转到的位置，问： (1)旋转中心是 ，旋转了 度 (2)若已知，求的度数． 【题型五】根据旋转的性质说明线段或角相等 【例5】（24-25九年级上·山西忻州·期中）如图，将绕点O按逆时针方向旋转一定的角度得到，其中点A，B，C的对应点分别是点D，E，F．在旋转过程中，与始终相等的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·全国·期末）如图，中，，将绕点顺时针旋转后，得到，且在边上，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴上，，点A到x轴的距离为4，将绕点O逆时针旋转，得到，则点的坐标是 ． 3．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，是由绕点按逆时针方向旋转得到的，连接、相交于点．求证：． 【题型六】旋转的性质及辨析 【例6】（22-23九年级上·北京大兴·期中）在图形的旋转过程中，下面有四种说法：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后图形的对应线段相等；④旋转前、后图形的位置一定会改变．上述四种说法正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【举一反三】 1．（九年级上·河北沧州·期中）在图形的旋转中，下列说法不正确的是（    ） A．旋转前和旋转后的图形一样 B．图形上的每一个点到旋转中心的距离都相等 C．图形上的每一个点旋转的角度都相同 D．图形上可能存在不动的点 2．（2022九年级上·全国·专题练习）如图，将右边的图案变成左边的图案，是通过 变化得到的． 3．（23-24九年级上·北京·阶段练习）如图，在中，．将绕点逆时针旋转得到，在旋转过程中，当点落在的中点处时，求的度数．    【题型七】画旋转图形 【例7】（24-25九年级上·广东中山·期中）将图中所示的图案以圆心为中心，旋转后得到的图案是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（2024·山西晋城·三模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，，将绕点按逆时针方向旋转，得到，则点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，，如果将绕点按逆时针方向旋转，得到，那么点，的对应点，的坐标分别是 ． 3．（22-23九年级上·广西河池·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点），以边的中点O为旋转中心，将按逆时针方向旋转，得到，请画出． 【题型八】求绕原点旋转90度的点的坐标 【例8】（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，，将绕点旋转后得到，则点的坐标是（   ） A． B．或 C． D．或 【举一反三】 1．（24-25九年级上·广东惠州·期末）春节时人们爱用风车装饰景区．如图，风车由两种等腰直角三角形拼成．等腰的斜边，点绕点逆时针旋转后的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点O逆时针旋转得到点B，则点B的坐标为 ． 3．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，将绕原点按逆时针方向旋转，得到（点A，，的对应点分别为点，，）． (1)求出顶点，的坐标； (2)在图中画出． 【题型九】求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 【例9】（2024九年级·全国·竞赛）在平面直角坐标系中，将点绕点按顺时针方向旋转后得到的点为（    ）． A． B． C． D． 【举一反三】 1．（2024·山东青岛·一模）如图，已知点，，将线段绕点M 逆时针旋转到，点A与是对应点，点B 与是对应点，则点M的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，以为旋转中心，将点按逆时针方向旋转得到点Q，则点Q的坐标是 ． 3．（24-25九年级上·北京海淀·期中）如图，点A，B的坐标分别为，将绕点A按逆时针方向旋转，得到， (1)画出旋转后的； (2)直接写出点的坐标为 ； (3)连接，直接写出的度数__________． 【题型十】求绕原点旋转一定角度的点的坐标 【例10】（23-24九年级上·山东临沂·期中）将含有角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在轴上，若，将三角板绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·河南商丘·期中）如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，将绕点O按逆时针方向旋转得到，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·内蒙古兴安盟·期中）在平面直角坐标系中，点A坐标是，当把坐标系绕点O顺时针旋转时，点A在旋转后的坐标系中的坐标是 ． 3．（24-25九年级上·天津河北·阶段练习）在平面直角坐标系中，点，点，把绕原点逆时针旋转，得，其中，点，分别为点A，旋转后的对应点，记旋转角为． (1)如图，当时，求点的坐标； (2)当轴时，求点D的坐标（直接写出结果即可）． 【题型十一】坐标与旋转规律问题 【例11】（2025·山东·二模）如图，将折线绕点顺时针旋转得到一段新的折线，再将新的折线绕点顺时针旋转……以此类推，得到一段连续的折线，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点的坐标为，将线段绕点O按顺时针方向旋转，再将其长度伸长为的2倍，得到线段，又将线段绕点O按顺时针方向旋转长度伸长为的2倍，得到线段，如此进行下去，得到线段（n为正整数），则的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东济宁·期中）一段抛物线：，记为，它与x轴交于点O、；将绕点旋转得，交x轴于点；将绕点旋转得；交x轴于点；…若是其中某段抛物线上一点，则 ． 3．（24-25九年级上·河南商丘·期中）在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：将点M绕直线上某一点P顺时针旋转，再关于直线对称，得到点N，我们称点N为点M关于点P的二次关联点．已知点． (1)若点P的坐标是，如图1，记点A旋转后对应的点为，关于直线对称的点为，则点即为点A关于点P的二次关联点，求出的坐标； (2)若点A关于点P的二次关联点与点A重合，在图2中画出图形找出A旋转后对应的点和点P，并求点P的坐标； (3)若点A关于点P的二次关联点在直线上，直接写出此时点P的坐标． 【题型十二】线段问题(旋转综合题) 【例12】（22-23九年级上·天津武清·期中）如图，P为正方形内一点，，将绕点C逆时针旋转得到，则的长是（        ） A．1 B． C．2 D． 【举一反三】 1．（九年级上·河南安阳·期末）如图，在中，，，，，O为AC的中点，M为BC边上一动点，将绕点A逆时针旋转角得到，点M的对应点为，连接，在旋转过程中，线段的长度的最小值是（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．3 2．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，在菱形中，，，将菱形绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形，点E在上，与交于点P．（1）与的关系是 ，（2）的长为 ．    3．（23-24九年级上·山东日照·期末）如图1，在中，，，D，E分别为的中点，将绕点C逆时针方向旋转得到（如图2），使直线恰好过点B，连接． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)求的长； (3)若将绕点C逆时针方向旋转一周，当直线过的一个顶点时，请直接写出长的其它所有值． 【题型十三】面积问题(旋转综合题) 【例13】（九年级上·湖北武汉·期中）如图，∠MAN＝60°，点B、C分别在AM、AN上，AB＝AC，点D在∠MAN内部、△ABC外部，连接BD、CD、AD．下列结论：①DB+DC≥DA；②S△BDC≤BD•DC；③若DB＝m，DC＝n，则S△ADB≤+mn．其中错误的结论个数为（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【举一反三】 1．（湖南株洲·模拟预测）如图是某公司设计的一款酒杯的设计平面图，为求出酒杯平面图中的杯子这部分面积，小明找到了设计图纸上的部分数据：是抛物线与轴交于点A、B时的轴上方的部分，且点，将绕点B旋转得，与轴交于另一点C，将绕点C旋转得，且，则图中阴影部分的面积为（    ） A．24 B． C．28 D．32 2．（24-25九年级上·河南安阳·期中）如图，边长为1的正方形绕点顺时针旋转到正方形，图中阴影部分的面积为 ． 3．（24-25九年级上·广西钦州·期末）综合与实践． 【问题初探】（1）如图，在中，，，为边上的中线，求的取值范围．解答这个问题，我们可以将绕点旋转，得到，则的取值范围可解．请作出并直接写出的取值范围； 【问题解决】（2）如图，为等边三角形内一点，满足，，，试求的大小（提示：将绕点顺时针旋转）； 【问题拓展】（3）如图，在正方形中，，分别为，边上的点，且满足，，，求的面积． 【题型十四】角度问题(旋转综合题) 【例14】（22-23九年级上·广东惠州·阶段练习）如图，将（其中，）绕点按顺时针方向旋转到的位置，使得点，，在同一条直线上，那么旋转角等于（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，在正方形中，E为边上的点，连接，将绕点C顺时针方向旋转得到，连接，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．（2024九年级·全国·竞赛）如图，和都为等腰直角三角形，点在上，点在的延长线上，，现将绕点旋转，得到，连接，过点作，垂足为点，直线交于点，则线段的长度为 ． 3．（23-24九年级上·贵州黔东南·期末）如图，点E是正方形内一点，将绕点A顺时针旋转至，点E的对应点为点F． (1)若，，求的度数． (2)连接，若，求线段的长． 【题型十五】其他问题(旋转综合题) 【例15】（23-24九年级上·北京丰台·期中）两块完全相同的含角的直角三角板和重合在一起，将三角板绕直角顶点按逆时针方向旋转（），如图所示．以下结论错误的是（　　） A．当时，与的交点恰好为中点． B．当时，恰好经过点． C．在旋转过程中，存在某一时刻，使得． D．在旋转过程中，始终存在． 【举一反三】 1．（九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，每次旋转都以图中的A、B、C、D、E、F中不同的点为旋转中心，旋转角度为k•90°（k为整数），现在要将左边的阴影四边形正好通过n次旋转得到右边的阴影四边形，则n的值可以是（    ） A．n＝1可以，n＝2，3不可 B．n＝2可以，n＝1，3不可 C．n＝1，2可以，n＝3不可 D．n＝1，2，3均可 2．（2023·河南洛阳·三模）如图，在和中，，，，连接，，点为的中点，连接．将绕点在平面内旋转．当时，的长为 ．    3．（23-24九年级上·全国·期末）如图，操作：把正方形的对角线放在正方形的边的延长线上（），取线段的中点． 探究：线段、的关系，并加以证明．    (1)说明：如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）； (2)在你经历说明（1）的过程后，可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明． 注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得7分；选取③完成证明得5分． ①的延长线交于点，且；②将正方形绕点逆时针旋转（如图），其他条件不变；③在②的条件下，且． 附加题：将正方形绕点旋转任意角度后（如图），其他条件不变．探究：线段、的关系，并加以证明． 好题必刷 一、单选题 1．有一个正n边形旋转后与自身重合，则n为（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 2．将图形  按顺时针方向旋转90°后的图形是(　　) A．   B．   C．   D．   3．如图，该图形围绕点O按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是(    ) A． B． C． D． 4．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，连接BE，则BE的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 5．如图是一个旋转对称图形，以O为旋转中心，以下列哪一个角为旋转角旋转，能使旋转后的图形与原图形重合（ ） A． B． C． D． 6．如图所示是一个旋转对称图形，若将它绕自身中心旋转一定角度之后不能与原图重合，则这个角度可能是（　　） A．60° B．90° C．120° D．180° 7．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，且坐标原点为的中点，点的坐标为．将正方形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 8．如图，在菱形中，顶点，，，在坐标轴上，且，，分别以点，为圆心，以的长为半径作弧，两弧交于点，连接，．将菱形与构成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转45°，则第2022次旋转结束时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AEFG的位置，则图中阴影部分的面积为(   ) A． B． C． D． 10．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=4，△ABC绕点C顺时针旋转得△CEF，当E落在AB边上时，连接BF，取BF的中点D，连接ED，则ED的长是(    ) A．2 B．4 C．6 D．4 二、填空题 11．将一图形绕点O顺时针旋转70°后，再绕点O逆时针旋转120°，这时如果要使图形回到原来的位置，需要将图形绕点O按顺时针方向旋转 度． 12．如图，三角形A′BC′是三角形ABC绕点B顺时针旋转后得到的，则图中与线段AB相等的线段是 ，图中能用字母表示出的旋转角有 ，这两个旋转角的关系是 ． 13．如图，是由绕A点旋转得到的，若，，，则旋转角的度数是 ． 14．如图，已知点是正方形内的一点，连接，若，，，则的长为 ． 15．若将二次函数y＝x2﹣4x+3的图象绕着点(﹣1，0)旋转180°，得到新的二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)，那么c的值为 . 16．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，连接．若，，则的长是 ． 17．如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A（﹣2，5）的对应点A′的坐标是 . 18．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，若为边上一动点，旋转后点的对应点为点，则线段长度的取值范围是 ． 三、解答题 19．将一个正三角形绕它的一个顶点按逆时针方向旋转，分别画出旋转下列角度后的图形： （1）；（2）；（3）；（4）． 20．找出图中扳手拧螺母时的旋转中心和旋转角． 21．（1）如图，P是等边三角形内一点，将绕点B旋转到的位置，请确定的形状． （2）仿照（1），编一道类似有关旋转的试题。 22．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．   （1）作出△ABC关于原点对称的图形△A1B1C1；     （2）写出点A1、B1、C1坐标。 23．、如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，点A、B的坐标分别为    （1）画出绕点O顺时针旋转后的； （2）点的坐标为_______； （3）四边形的面积为_______. 24．如图，已知，是等边三角形，点为射线上任意一点点与点不重合，连结，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结并延长交直线于点． （1）如图，猜想______ （2）如图，，若当是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想的度数，选取一种情况加以证明． （3）如图，若，，且，则______请直接写出结果 25．是等边三角形，D是BC上一点，经旋转后到达的位置． 问：（1）旋转中心是哪一点？ （2）旋转了多少度？ （3）若M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了什么位置？ 26．【性质探究】 （1）如图1，在中，，AB＝AC，点D在斜边BC上，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACE． ①直线BD与CE的位置关系为______； ②若点F为BE的中点，连接AF，请探究线段AF与CD的数量关系，并给予证明． 【拓展应用】 （2）如图2，已知点E是正方形ABCD的边BC上任意一点，以AE为边作正方形AEFG，连接BG，点H为BG的中点，连接AH．若AB＝4，BE＝3，求AH的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$