圆的弧长、阴影部分面积的计算-2025年中考数学总复习高频考点训练

圆的弧长、阴影部分面积的计算 2025年中考数学总复习高频考点训练 1．如图，是的直径，点是上的一点，点是延长线上的一点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若的直径是8，，求的长． 2．如图，为半径，点B在上，，连接交于点D，． (1)求证：是的切线； (2)若 ，求 的长． 3．如图，是的直径，为上一点，点在的延长线上，． (1)求证：是的切线； (2)若 ，的半径为，求的长度． 4．如图，在中，，点E在上，以为直径的经过上的点D，与交于点F，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 5．如图，在中，，以为直径的分别交边，于点，，过点作于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 6．如图，为的内接三角形，是的直径，平分，且交于点，与相切． (1)求证：． (2)已知，，求的长． 7．如图，是的直径，C、E是上两点，平分，于D，交于点F，垂足为M． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 8．已知：如图，四边形是的内接四边形，是的直径，过点作的切线，交延长线于点，连接． (1)求证：； (2)若，且，求的长． 9．如图，内接于，为直径，作交于点，且． (1)求证：直线是的切线． (2)若，求图中阴影部分的面积． 10．如图，为的直径，是上一点，过点的直线交的延长线于点，，垂足为，是与的交点，平分，连接． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，求图中阴影部分的面积． 11．如图，已知是的直径，点在上，，连接，，点是线段延长线上一点，且，连接并延长交射线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求阴影部分的面积． 12．如图，内接于，为的直径，点为上一点，，延长至，使得． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 13．如图，在中，，以为直径作，交于点F，点E在上，，连接交的延长线于点D， (1)求证：是的切线； (2)若，①求的半径，②求阴影部分的面积 14．如图，是的直径，是的切线，交于点 (1)如图，作的角平分线，交于点（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）； (2)在（1）的条件下，若，求的长（结果保留） 15．如图，等圆和相交于两点，经过的圆心，连接，作直径，延长到点，使，连接． (1)___________度； (2)求证：为的切线； (3)若，求上的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定，弧长公式，解直角三角形等知识，解题的关键是： （1）根据等边对等角并结合已知可得出，根据直径所对的圆周角是直角可得出，然后根据切线的判定即可得证； （2）在中，根据正切的定义和特殊角的三角函数值可求出，然后根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）证明：连， ， ， ， ， ， 即， 是直径， ， ， 是半径， 是的切线． （2）解：的直径是8， ， 在中，， ， ， 的长为． 2．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等边对等角得出，结合已知和圆周角定理可得，根据三角形内角和定理可求出，，根据平行线的性质可得，最后根据切线的判定即可得证； （2）根据等边对等角和平行线的性质可得出，结合由（1）中，可求出，根据圆周角定理求出，在中，根据勾股定理可求出，最后根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴的长为． 【点睛】本题考查了切线的判定，平行线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，弧长公式等知识，明确题意，添加合适辅助线，求出是解题的关键． 3．(1)见解析 (2)的长度为 【分析】本题主要考查了切线的证明，求弧长，解题的关键是掌握圆心角定理，切线的判定定理； （1）连接，根据是的直径，得出，易得，结合，推出，则，即可求证是的切线； （2）根据弧长公式进行计算即可求解． 【详解】（1）如图，连接 ∵是的直径，                                  ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即   ∴. ∵是的半径， ∴是的切线； （2）∵， ∴ ∵的半径为， ∴ ∴的长度为 4．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，证明，得到，即可证明解析； （2）设的半径为，由题意求出半径，再根据特殊角的三角函数值求出，再求出，再由弧长公式进行计算即可． 【详解】（1）证明：连接， 在和中， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：设的半径为， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查圆的切线长定理，全等三角形的判定和性质，三角函数的计算，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 5．(1)见解析 (2) 【分析】（）连接，由，则，通过等腰三角形的性质可得，，则，所以，由平行线的性质可得，从而求证； （2）如图，过点O作于点M，连接，证明出四边形是矩形，得到，，然后等量代换得到，设，，解直角三角形得到，然后列方程求出，半径，然后利用代数求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：如图，过点O作于点M，连接， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴，． ∵ ∴， ∴， ∴． 设 ∴， ∵在中， ∴ ∴，半径， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了切线的判定，求阴影面积，解直角三角形，矩形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 6．(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，求弧长，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）连接，切线的性质，得到，等边对等角，结合角平分线的定义，推出，进而得到，求出，即可得证； （2）解直角三角形求出的长，进而求出半径的长，求出所对的圆心角的度数，利用弧长公式进行计算即可． 【详解】（1）证明：如图，连接． 与相切于点， ． 平分， ． ， ， ， ． （2）解：是的直径， ． ，， ，， ． ， 对应的圆心角为， 的长为． 7．(1)答案见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质、垂径定理、切线的判定和等边对等角的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）连接，根据等边对等角和角平分线的性质可得，在通过平行线的判定可得，求得，然后即可求解； （2）根据垂径定理可求得，在中，通过勾股定理求得，然后求得，在通过弧长公式即可求解； 【详解】（1）证明：连接，即，如图： ∴， ∵于D，交于点F，垂足为，平分， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，即为的半径， ∴是的切线； （2）解：∵是的直径，交于点F，垂足为M，， ∴，， ∵， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴， ∴且， ∴ ∴， ∴， ∴； 8．(1)见解析 (2)的长为． 【分析】（1）根据等边对等角和平行线的性质，推出，求得根据切线性质知道，据此即可证明； （2）设，根据平行线的性质，求得，再根据三角形内角和，推出，根据圆内接四边形的性质，推出，据此列式，求得，再根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴； （2）解：设， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴的长． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角、弧、弦三者的关系，圆周角的定理及推论，等腰三角形的性质，平行线的性质，圆的内接四边形的性质，弧长公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 9．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，可得，然后推导，即可解题； （2）先根据正弦得到，即可求出，然后根据解题即可． 【详解】（1）证明：连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴为的切线； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的判定，等边三角形的判定和性质，扇形的面积，等腰三角形的性质，解直角三角形，掌握切线的判定和性质是解题的关键． 10．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定，扇形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）根据等边对等角和角平分线的定义可得出，则可判断，根据平行线的性质可得出，最后根据切线的判定即可得证； （2）根据勾股定理求出，然后根据求解即可． 【详解】（1）证明：， ． 平分， ． ． ． ． ， ． 即． 是的切线． （2）解：在中， ，， ，． ． ． 11．(1)证明见解析 (2) 【分析】（）连接，可证，又由垂径定理可得，即得，即可求证； （）由切线的性质得，设半径长为，则，，利用勾股定理可得，，进而由锐角三角函数得，即可得，再根据解答即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：∵是的切线， ∴， ∴， 设半径长为，则，， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 过点作于，则，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，垂径定理，切线的判定和性质，圆周角定理，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形的面积，正确作出辅助线是解题的关键． 12．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，易得，圆周角定理得到，进而得到，证明，推出，进而得到，即可得证； （2）根据，得出，证明是等边三角形得出，，进而求得根据阴影部分面积，求解即可． 【详解】（1）解：连接，则：， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）∵， ∴ ∴ 又∵ ∴是等边三角形， ∴， 由（1）知： ∴ ∴， ∴ ∴ ∴阴影部分的面积为 ． 【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定，求扇形面积，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 13．(1)见解析 (2)①3② 【分析】（1）连接，由，根据“”证明，则，即可证明是的切线； （2）①连接，由，得，则，由勾股定理得，求得，则的半径为3； ②求得，，则，由，求得，则，所以，则，所以，即可由求得． 【详解】（1）证明：连接，则， ∵，点O在上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的半径，且于点E， ∴是的切线． （2）解：①连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴的半径为3． ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 【点睛】本题重点考查全等三角形的判定与性质、切线的判定、勾股定理、解直角三角形、扇形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 14．(1)图见解析 (2) 【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法，作图即可； （2）连接，证明，解直角三角形求出的度数，利用弧长公式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）连接， 是的切线， ， ， ，，， ， ，， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ， 的长 【点睛】本题考查尺规作图—作角平分线，圆周角定理，切线的性质，求弧长，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 15．(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）如图，连接，，，证明，四边形是菱形，，是等边三角形，可得，进一步可得结论； （2）如图，连接，由（1）得：，是等边三角形，可得，证明为等边三角形，可得，，证明，可得，再进一步证明即可； （3）由，，，可得，结合，再利用弧长公式计算即可. 【详解】（1）解：如图，连接，，， ∵和相交于两点，且经过的圆心， ∴，， ∴四边形是菱形，，是等边三角形， ∴， ∴． （2）证明：如图，连接， 由（1）得：，是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为半径， ∴为的切线； （3）解：∵，，， ∴， ∵， ∴上的长. 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，切线的判定，等腰三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，弧长的计算，作出合适的辅助线是解本题的关键. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$