精品解析：上海市浦东新区六校2024-2025学年高一下学期6月期末联考数学试题

浦东六校2024-2025学年第二学期高一年级数学期末联考 一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分. 1. ______（弧度）． 【答案】 【解析】 【分析】利用角度与弧度的互化公式可得结果. 【详解】（弧度）. 故答案为：. 2. 如果复平面上的向量所对应的复数是，那么向量所对应的复数是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据相反向量及复数运算求解. 【详解】复平面上的向量所对应的复数是， 那么向量， 所以向量所对应的复数是. 故答案为： 3. 已知，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】设向量，得到，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解. 【详解】设向量，因为，可得， 因为，所以，解得，所以. 故答案为：. 4. 已知向量，且，则实数值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示可求. 【详解】，，解得. 故答案为：. 5. 已知，其中、，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数相等可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得解. 【详解】因为，其中、， 由复数相等可得，解得，因此，. 故答案为：. 6. 已知复数，其中为虚数单位，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】先利用复数除法运算化简复数，再利用共轭复数的定义与复数模的公式求解即可. 【详解】因为， 所以，则， 故答案为：. 7. 已知数列对任意正整数，均满足，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，分别令和，两式作商，即可求解. 【详解】由数列对任意正整数，均满足， 当时，可得；当时，可得， 所以. 故答案为：. 8. 已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用向量数量积的坐标运算，以及投影向量的概念与计算公式，即可求解. 【详解】由向量，，可得且， 所以向量在方向上的投影向量为. 故答案为：. 9. 等差数列中，则通项公式_________． 【答案】 【解析】 【分析】计算等差数列的基本量，利用等差数列通项公式即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，所以， 所以， 故答案为：. 10. 已知为正整数，为虚数单位，表示复数的共轭复数，且复数，又满足且，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到，得到，结合等差、等比数列的通项公式，求得和，进而求得的值，得到答案. 【详解】由复数，可得， 因为， 可得，所以， 又因为，可得，所以， 因为且，所以表示首项为，公差为的等差数列， 所以数列的通项公式为，所以， 又因为，即且， 所以数列表示首项为，公比为的等比数列， 所以数列的通项公式为，所以，可得， 所以. 故答案为：. 11. 已知不平行的两个向量满足，．若对任意的，都有成立，则的最小值等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】先由数量积的定义推得，再将问题转化为二次不等式恒成立的问题，从而得解. 【详解】依题意，设与的夹角为，， 因为，，所以，即， 则，所以， 因为对任意的，都有成立， 所以，即，即对于恒成立， 故，又，解得， 综上，，则的最小值为. 故答案为：. 12. 中，三边，，满足成等差数列，三角，，满足．且，若存在动点满足，且，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，由正弦定理得，由，利用两角和的正弦公式及诱导公式可得，结合前面条件及同角三角函数的基本关系可得，，由向量数量积的定义得到，可令，，，以为原点、、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，设，根据与得到与的等量关系，可求得的最大值为． 【详解】解：由中，三边，，满足成等差数列得，由正弦定理得， 由，所以，所以，即，因为，所以，所以，由，即，所以，代入可得，，由，所以，所以，令，，，以为原点、、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，如图： 则，，，设， 根据得，，， 由得，，，，， ，得，的最大值为，当且仅当时取等号． 故答案为：． 二、选择题（本大题共有4题，满分12分）． 13. 在中，下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】三角形的内角和为，结合诱导公式直接判断. 【详解】在中，有，故：和. 所以：，，，. 所以B正确. 故选：B 14. 已知数列的首项，且满足，则（ ） A. 63 B. 128 C. 255 D. 256 【答案】C 【解析】 【分析】根据递推公式可证明是等比数列，求得其通项公式可求. 【详解】由可得，且， 所以是以2为首项，2为公比的等比数列， 故，则. 故选：C 15. 已知关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，且，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次方程的韦达定理及完全平方公式即可得解. 【详解】因为方程有两个虚根和， 所以，则， 又由求根公式知两虚根为，， 所以，则，解得，满足要求， 所以. 故选：C. 16. 在中，点满足，过点的直线与，所在的直线分别交于点，，若，，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量加减的几何意义可得，结合已知有，根据三点共线知，应用基本不等式“1”的代换即可求最值，注意等号成立的条件. 【详解】由题设，如下图示：，又，， ∴，由三点共线，有， ∴，当且仅当时等号成立. 故选：A 【点睛】关键点点睛：利用向量线性运算的几何表示，得到、、的线性关系，根据三点共线有，再结合基本不等式求最值. 三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤. 17. 已知向量，满足，，． （1）求； （2）设，若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用数量积的定义求出，再利用数量积的运算律求解. （2）利用垂直关系的向量表示及数量积的运算律列式计算. 【小问1详解】 由，，，得， 所以. 【小问2详解】 由，得， 则，即，所以. 18. （1）是虚数单位，为何值时，复数为纯虚数？ （2）已知关于的实系数一元二次方程的一个根为，求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由纯虚数的概念即可列式求解； （2）由韦达定理即可求解. 【详解】（1）若复数为纯虚数， 则，解得； （2）关于的实系数一元二次方程的一个根为， 则另一个根为， 所以由韦达定理得，解得. 19. 在一次招聘会上，应聘者小李被甲、乙两家公司同时意向录取.甲公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.2万元，以后每年的年薪比上一年增加6000元；乙公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.8万元，以后每年的年薪比上一年增加. （参考数据：） （1）若小李在乙公司连续工作5年，则他在第5年的年薪是多少万元？ （2）为了吸引小李的加盟，乙公司决定在原有工资的基础上每年固定增加交通补贴0.72万元.那么小李在甲公司至少要连续工作几年，他的工资总收入才不低于在乙公司工作10年的总收入？ 【答案】（1）约万元 （2）11年 【解析】 【分析】（1）利用乙公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.8万元，以后每年的年薪比上一年增加8%，即可求出他在第5年的年薪； （2）求出小李在甲公司工作连续工作n年工资总收入，小李在乙公司工作10年的总收入，建立不等式，即可得出结论． 【小问1详解】 小李在乙公司工作第年的年薪为, 小李在乙公司连续工作年，万元， 所以，小李在乙公司连续工作5年，他在第5年的年薪约是万元； 【小问2详解】 由题意，小李在甲公司工作连续工作年的工资总收入为， 小李在乙公司工作10年的总收入， 则， 即, ，， 小李在甲公司至少要连续工作11年，他的工资总收入才不低于在乙公司工作10年的总收入. 20. 函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式，并求出的单调减区间； （2）将函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，若关于的方程在上有解，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由函数的图象，根据三角函数的性质，即可求得函数的解析式，结合三角函数的性质，即可求得函数的单调递减区间； （2）根据三角函数的图象变换，求得，根据题意，转化为和的图象在上有公共点，由，求得函数的值域为，进而求得的范围. 【小问1详解】 解：由函数的图象，可得，且函数的周期为， 所以，即， 又由，即， 根据五点对应法，可得，即， 因为，所以，所以， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为. 【小问2详解】 解：将函数的图象向右平移个单位， 得到函数， 关于的方程在上有解，即在上有解， 即函数和的图象在上有公共点， 因为，可得， 当时，可得；当时，即时，可得， 所以函数的值域为，所以，解得， 所以实数的取值范围 21. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数． （1）若函数，求函数的伴随向量； （2）若函数的伴随向量为，且函数在上有且只有一个零点，求的最大值； （3）若函数的伴随向量为，若实数使得对任意实数恒成立，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用两角和的余弦公式结合伴随向量的定义即可得解； （2）根据题意可得，即，利用正切函数的性质即可得解； （3）根据题意可得对任意实数恒成立，则有，从而可得出答案. 【小问1详解】 ， 函数的伴随向量为； 【小问2详解】 ，即 函数在上有且只有一个零点，当时，， 当时，，函数在上有且只有一个零点，则的最大值为； 【小问3详解】 由题意可知： 因此： 所以 由已知条件，上式对任意恒成立，必有 若，由（1）知：，不满足（3）式，故， 由（2）知：，故或， 当时，则（1）（3）矛盾，故，则， 由（1）（3）知：综上，原式 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 浦东六校2024-2025学年第二学期高一年级数学期末联考 一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分. 1. ______（弧度）． 2. 如果复平面上的向量所对应的复数是，那么向量所对应的复数是_________． 3. 已知，则_________． 4. 已知向量，且，则实数的值为_________． 5. 已知，其中、，则_________． 6. 已知复数，其中为虚数单位，则_________． 7 已知数列对任意正整数，均满足，则_________． 8. 已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为______． 9 等差数列中，则通项公式_________． 10. 已知为正整数，为虚数单位，表示复数的共轭复数，且复数，又满足且，则_________． 11. 已知不平行两个向量满足，．若对任意的，都有成立，则的最小值等于__________． 12. 中，三边，，满足成等差数列，三角，，满足．且，若存在动点满足，且，则的最大值为______． 二、选择题（本大题共有4题，满分12分）． 13. 在中，下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 14. 已知数列的首项，且满足，则（ ） A. 63 B. 128 C. 255 D. 256 15. 已知关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，且，则的值为（ ） A 2 B. C. D. 16. 在中，点满足，过点的直线与，所在的直线分别交于点，，若，，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 1 D. 三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤. 17. 已知向量，满足，，． （1）求； （2）设，若，求值． 18. （1）是虚数单位，为何值时，复数为纯虚数？ （2）已知关于的实系数一元二次方程的一个根为，求的值. 19. 在一次招聘会上，应聘者小李被甲、乙两家公司同时意向录取.甲公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.2万元，以后每年的年薪比上一年增加6000元；乙公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.8万元，以后每年的年薪比上一年增加. （参考数据：） （1）若小李在乙公司连续工作5年，则他在第5年的年薪是多少万元？ （2）为了吸引小李的加盟，乙公司决定在原有工资的基础上每年固定增加交通补贴0.72万元.那么小李在甲公司至少要连续工作几年，他的工资总收入才不低于在乙公司工作10年的总收入？ 20. 函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式，并求出的单调减区间； （2）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若关于的方程在上有解，求实数的取值范围． 21. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数． （1）若函数，求函数的伴随向量； （2）若函数的伴随向量为，且函数在上有且只有一个零点，求的最大值； （3）若函数的伴随向量为，若实数使得对任意实数恒成立，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$