精品解析：上海市延安中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

延安中学2024-2025学年第二学期高二年级数学期末 2025.6 一、填空题（本大题共有12题，满分36分，每题3分） 1. 已知随机事件、满足，，则________． 2. 从10名数学老师中选出3人安排在3天的假期中值班，每天有且只有一人值班．若老师甲必须参加且不安排在假期第一天值班，则不同的值班安排方法种数为______． 3. 已知某游戏玩家玩一款过关游戏，第一关通过的概率是0.9，第二关通过的概率是0.7，则该游戏玩家连续通过第一关和第二关的概率为________． 4. 某小组有男生4名，女生3名，若从这7人中任选3名代表，记选出的代表中男生人数为，则________． 5. 若随机变量服从二项分布，则________． 6. 在一次满分为100分的数学考试中，学生的数学成绩近似服从正态分布．已知，则从中任选一名学生的数学成绩不低于80分的概率为________． 7. 某校艺术节总汇演，已知高一，高二，高三分别选送了4，3，2个节目，若高一的节目彼此都不相邻，高三的节目必须相邻，共计有_________种出场顺序． 8. 在的展开式中，的系数是________． 9. 已知抽样统计甲、乙两位同学8次数学成绩，绘制成如图所示的茎叶图，则成绩更稳定的那位同学成绩的方差为________． 10. 某商店组织了一场盲盒抽奖活动，组织方共准备了20个盲盒，其中有5个盲盒内有奖品．抽奖者甲先拿起了一个盲盒，正在犹豫是否打开的时候，组织方拿走了一个没有奖品的盲盒，最终甲选择了另外一个盲盒打开，记甲中奖的概率为，则________． 11. 某公司招聘员工分笔试和面试两个环节，应聘者需从笔试备选题和面试备选题中分别随机抽取各10道题，并独立完成所抽取的20道题，每道题答对得10分，答错不得分．甲答对笔试每道题的概率为，答对面试每道题的概率为．假设每道题都是相互独立的，则甲得________分的概率最大． 12. 至少通过一个正方体3条棱中点的平面个数为______． 二、选择题（本大题共有5题，满分20分，每题4分）． 13. 设，它等于下式中的（ ） A. B. C. D. 14. 已知，，，则下列等式中恒成立是（ ） A. B. C. D. 15. 已知函数，其导函数的图象如图所示，则下列命题中错误的 是（ ）. A. 函数有2个驻点 B. 函数在处取得极小值 C. 函数有极大值，没有极小值 D. 函数在上是严格增函数 16. 已知有一组样本数据为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，若删掉其中的两个数据和，得到新的一组样本数据，则下列说法中一定错误的是（ ）. A 若，则极差不变 B. 若，则第75百分位数不变 C. 若，则平均数不变 D. 若，则中位数不变 17. 抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记事件“n次中既有正面朝上又有反面朝上”，“n次中至多有一次正面朝上”．下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 三、解答题（本大题共有4题，满分44分）． 18. 设，且． （1）求与的值； （2）求的值． 19. 图为某平台向100名观众征集某电影的评分结果的频率分布直方图． （1）求值； （2）估计这100名观众评分的平均数； （3）从评分在和的观众中按照分层抽样的方法随机抽取7人进行问卷调查，再从这7人中随机抽取3人进行访谈，求被抽到的3人中评分在的人数的分布、期望和方差． 20. 甲、乙两名同学最近50次的投篮情况如下： 甲 乙 投中 30 25 未投中 20 25 用频率估计概率，解答下列问题. （1）若从甲、乙两人中随机选择1人投篮1次，求投中的概率； （2）若甲、乙两人各投篮2次，甲、乙每次投中与否相互独立，求至少投中3次的概率； （3）设甲、乙进行投篮比赛，约定甲、乙轮流投篮，第一次由甲先投.规定：若其中一人比另一个人多投中2次，则停止比赛（例如：甲第一次投中，乙第一次未投中，甲第二次投中，则停止比赛，乙不再投第二次），投中次数多的赢得比赛；若甲、乙都投完了5次，则也停止比赛，投中次数多的获胜，次数相同则为平局.甲、乙每次投中与否相互独立.求甲投了第三次后停止比赛的概率. 21. 已知，． （1）若是函数的驻点，求的值； （2）当时，求函数的单调增区间； （3）当时，对于任意，是否存在，且，使得成立，若存在，求的取值范围？若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 延安中学2024-2025学年第二学期高二年级数学期末 2025.6 一、填空题（本大题共有12题，满分36分，每题3分） 1 已知随机事件、满足，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用条件概率计算公式即得. 【详解】因. 故答案为：. 2. 从10名数学老师中选出3人安排在3天的假期中值班，每天有且只有一人值班．若老师甲必须参加且不安排在假期第一天值班，则不同的值班安排方法种数为______． 【答案】144 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理及排列应用问题列式计算得解. 【详解】依题意，安排老师甲有种，从除甲外9名老师中任选2人并安排值班有种， 所以不同的值班安排方法种数为（种）. 故答案为：144 3. 已知某游戏玩家玩一款过关游戏，第一关通过的概率是0.9，第二关通过的概率是0.7，则该游戏玩家连续通过第一关和第二关的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据独立事件的概率相乘即可得到结果. 【详解】因为游戏玩家第一关通过的概率为0.9，第二关通过的概率为0.7， 所以游戏玩家连续通过第一关和第二关的概率为： . 故答案为：0.63. 4. 某小组有男生4名，女生3名，若从这7人中任选3名代表，记选出的代表中男生人数为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意知，从7人选3名代表，求选出男生人数至少为1人的概率，可以通过求对立事件：选中男生为0人的概率，进而得出答案.. 【详解】表示3个女生，0个男生，故, 所以. 故答案为：. 5. 若随机变量服从二项分布，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二项分布概率公式计算即得. 【详解】依题意，. 故答案为：. 6. 在一次满分为100分的数学考试中，学生的数学成绩近似服从正态分布．已知，则从中任选一名学生的数学成绩不低于80分的概率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性和性质可求得某区间的概率. 【详解】因为学生的数学成绩近似服从正态分布，， 所以根据正态分布的对称性. 所以. 故答案为：0.2. 7. 某校艺术节总汇演，已知高一，高二，高三分别选送了4，3，2个节目，若高一的节目彼此都不相邻，高三的节目必须相邻，共计有_________种出场顺序． 【答案】 【解析】 【分析】根据相邻问题捆绑，再把不相邻问题应用插空计算求解. 【详解】高三2个节目视作1个节目，与高二3个节目全排列， 再把高一的4个节目插入所成的5个空中的4个，所以共有 . 故答案为：. 8. 在的展开式中，的系数是________． 【答案】 【解析】 【分析】首先将式子展开得，再利用二项式展开通项分别求得对应的系数，则得到问题所要求的的系数． 【详解】因为， 而，所以的系数是. 故答案为：. 9. 已知抽样统计甲、乙两位同学8次数学成绩，绘制成如图所示的茎叶图，则成绩更稳定的那位同学成绩的方差为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由茎叶图分析读出甲乙的成绩，再由方差公式分别计算甲、乙的方差，结合方差的意义分析可得答案． 【详解】根据题意，甲同学的8次成绩依次为：76、77、77、87、89、90、91、93， 其平均数为, 其方差为 乙同学的8次成绩依次为：78、79、88、89、90、91、92、93， . 则乙同学的成绩较稳定，其方差为. 故答案是：． 10. 某商店组织了一场盲盒抽奖活动，组织方共准备了20个盲盒，其中有5个盲盒内有奖品．抽奖者甲先拿起了一个盲盒，正在犹豫是否打开的时候，组织方拿走了一个没有奖品的盲盒，最终甲选择了另外一个盲盒打开，记甲中奖的概率为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先计算甲第一次拿的盲盒有奖情况下，选择另外一个盲盒有奖的概率，再计算甲第一次拿的盲盒没有奖情况下，选择另外一个盲盒有奖的概率，然后根据全概率公式即可求得结果. 【详解】设表示甲第一次拿的盲盒有奖，表示甲第一次拿的盲盒无奖，表示甲最终中奖. 因为共有20个盲盒，其中5个盲盒有奖， 所以，. 若发生，此时组织方拿走一个没有奖品的盲盒后，还剩19个盲盒，其中4个有奖， 甲再选另一个盲盒打开，则； 若发生，此时组织方拿走一个没有奖品的盲盒后，还剩19个盲盒，其中5个有奖， 甲再选另一个盲盒打开，则； 根据全概率公式得： . 故答案为：. 11. 某公司招聘员工分笔试和面试两个环节，应聘者需从笔试备选题和面试备选题中分别随机抽取各10道题，并独立完成所抽取的20道题，每道题答对得10分，答错不得分．甲答对笔试每道题的概率为，答对面试每道题的概率为．假设每道题都是相互独立的，则甲得________分的概率最大． 【答案】 【解析】 【分析】设应聘者答对笔试和面试备选题分别道的概率最大，先利用二项分布概率公式列出概率表达式，依题列出不等式组求得，根据，求得，继而得出答案. 【详解】设应聘者答对笔试和面试备选题分别道的概率最大， 则， 依题意，，解得 又因为，所以，易知时，最大， 故甲得分为的概率最大． 故答案为：120. 12. 至少通过一个正方体的3条棱中点的平面个数为______． 【答案】81 【解析】 【分析】利用间接法，根据共面的条件，分析出重复的平面，即可求解. 【详解】共有12条棱，即有12个中点，根据任意3点不共线，故可得个平面， 其中，过4个中点的平面有：正方体的6个面，正方体的3个中截面，与面对角线和棱平行的面有个，共有个， 过6个中点的平面有4个， 所以重复的有个平面， 所以满足条件的平面有个. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用空间想象能力，将过4个点和过6个点的平面中与过3个点的平面重复的找出来. 二、选择题（本大题共有5题，满分20分，每题4分）． 13. 设，它等于下式中的（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式展开式的特征即可求解. 【详解】， 故选：C 14. 已知，，，则下列等式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据排列数公式、组合数公式对选项逐一进行分析. 【详解】，A错误；，B错误； ，C错误； ，D正确. 故选：D 15. 已知函数，其导函数的图象如图所示，则下列命题中错误的 是（ ）. A. 函数有2个驻点 B. 函数在处取得极小值 C. 函数有极大值，没有极小值 D. 函数在上是严格增函数 【答案】B 【解析】 【分析】导函数为0的点有两个可判断A；函数在左右两边单调性相同，所以不是极小值点，B错误；根据极大值、极小值的定义进行判断，C正确；由当时且导数的零点不连续可判断D正确. 【详解】由导函数的图像知，和时，，所以函数有两个驻点，A选项正确； 函数在，上单调递增，所以不是极小值点，B错误； 函数在，上单调递增，在右侧单调递减，则为极大值点，所以函数有极大值，没有极小值，C正确； 当时，（仅在处，不影响整体单调性），所以函数在上是严格增函数，D正确. 故选：B 16. 已知有一组样本数据为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，若删掉其中的两个数据和，得到新的一组样本数据，则下列说法中一定错误的是（ ）. A. 若，则极差不变 B. 若，则第75百分位数不变 C. 若，则平均数不变 D. 若，则中位数不变 【答案】B 【解析】 【分析】利用极差、百分位数、平均数和中位数的概念和性质对选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A： 极差表示的是数据中最大值与最小值之差， 因为删掉的两个数据满足，所以一定不是1和10. 所以此时极差仍为，保持不变，所以A正确； 对于选项B： 删除两个数据前，因为，所以第75百分位数为第8个数：8. 删除两个数据后，因为，所以可能是2和9，3和6. 因为，所以第75百分位数为第6个数和第7个数的平均值. 当是2和9时，第75百分位数为； 当是3和6时，第75百分位数为； 可以发现，第75百分位数变了，所以B错误； 对于选项C： 删除数据前，平均数为. 删除数据后，因为，所以平均数为，保持不变，C正确； 对于选项D： 删除数据前，中位数为. 删除数据后，因为，所以可能是. 此时中位数为5.5，保持不变，所以D正确. 故选：B. 17. 抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记事件“n次中既有正面朝上又有反面朝上”，“n次中至多有一次正面朝上”．下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】根据对立事件结合独立事件概率乘法公式求.对于AB：代入，分析判断即可；对于CD：代入，结合事件的运算分析判断. 【详解】由题意可知：抛掷一枚质地均匀的硬币，正面、反面向上的概率均为， 且事件“n次中均为正面朝上或均为反面朝上”，则， 则，， 且事件“n次中仅有一次正面朝上”，则. 对于选项AB：若，则，，， 可得，，故AB错误； 对于选项CD：若，则，，， 可得，， 即，故C正确，D错误； 故选：C. 【点睛】关键点点睛：对于事件A，利用对立事件可求其概率；对于事件B：利用独立事件概率方差公式可求其概率. 三、解答题（本大题共有4题，满分44分）． 18. 设，且． （1）求与的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用组合数的性质求出，取求出. （2）利用赋值法，结合（1）的结论求出的值. 【小问1详解】 由，得， 取，得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 当时，， 当时，， 因此， 所以. 19. 图为某平台向100名观众征集某电影的评分结果的频率分布直方图． （1）求的值； （2）估计这100名观众评分的平均数； （3）从评分在和的观众中按照分层抽样的方法随机抽取7人进行问卷调查，再从这7人中随机抽取3人进行访谈，求被抽到的3人中评分在的人数的分布、期望和方差． 【答案】（1） （2） （3）分布列见解析，， 【解析】 【分析】（1）利用所有小长方形的面积和为1可得答案. （2）将每个矩形的中点乘以每个矩形的高再乘以10后相加可估计平均数. （3）求出的可能取值及对应的概率可得分布列，再由期望公式计算可得答案. 【小问1详解】 由题意可得：， 解得：. 【小问2详解】 估计这100名观众评分的平均数为： . 【小问3详解】 评分在的观众人数为：， 评分在的观众人数为：. 按照分层抽样的方法，从评分在和的观众中抽取7人，则评分在的观众人数为3人，在的观众人数为4人. 所以的值可能为：0,1,2,3. 且，，，. 所以的分布列如下： 0 1 2 3 所以：. . 20. 甲、乙两名同学最近50次的投篮情况如下： 甲 乙 投中 30 25 未投中 20 25 用频率估计概率，解答下列问题. （1）若从甲、乙两人中随机选择1人投篮1次，求投中的概率； （2）若甲、乙两人各投篮2次，甲、乙每次投中与否相互独立，求至少投中3次概率； （3）设甲、乙进行投篮比赛，约定甲、乙轮流投篮，第一次由甲先投.规定：若其中一人比另一个人多投中2次，则停止比赛（例如：甲第一次投中，乙第一次未投中，甲第二次投中，则停止比赛，乙不再投第二次），投中次数多的赢得比赛；若甲、乙都投完了5次，则也停止比赛，投中次数多的获胜，次数相同则为平局.甲、乙每次投中与否相互独立.求甲投了第三次后停止比赛的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出甲、乙投篮的命中率，再由全概率公式计算可得； （2）根据相互独立事件的概率公式计算可得； （3）依题意甲投了3次，则乙投了2次，又甲比乙多投中2次，则有2种情况，第一种情况：甲投中了3次，乙投中了1次，第二种情况，甲投中了2次，乙投中了0次，根据相互独立事件概率公式计算可得. 【小问1详解】 甲同学的投篮命中率为， 乙同学的投篮命中率为， 从甲、乙中随机选择人投篮次，投中的概率为. 【小问2详解】 由题意：至少投中3次的概率为 ； 【小问3详解】 由题意得：甲投了3次，则乙投了2次，又甲比乙多投中2次，则有2种情况， 第一种情况：甲投中了3次，乙投中了1次， 即甲每次投篮都投中，乙第一次投篮投中，第二次投篮没投中，其概率为， 第二种情况，甲投中了2次，乙投中了0次， 即甲第一、三次投篮都投中，第二次投篮没投中，乙每次投篮都没投中；或甲第二、三次投篮投中，第一次投篮没投中，乙每次投篮都没投中. 其概率为， 甲投了第三次后停止比赛的概率为. 21. 已知，． （1）若是函数的驻点，求的值； （2）当时，求函数的单调增区间； （3）当时，对于任意的，是否存在，且，使得成立，若存在，求的取值范围？若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）当时，单调增区间是；当时，单调增区间是和. （3）存在， 【解析】 【分析】（1）驻点处导数为0，对求导，将代入导函数使其为0，解方程即可得； （2）对求导并因式分解，令导函数为0得极值点，根据的范围分情况讨论，由导函数大于0确定单调增区间； （3）求时在的最大值，对求导并判断单调性，寻找使大于等于最大值的的取值范围即可. 【小问1详解】 函数，求导得：， 由是函数的驻点得，即，解得. 【小问2详解】 ， 令，则，解得，， ①当时，，则恒成立，在上单调调增； 当时，，在区间和上，，单调递增， 在区间上，，单调递减. 综上，当时，单调增区间是；当时，单调增区间是和. 【小问3详解】 当时，，， ， 令，则，解得（舍去）， 当时，，单调递减；当时，，单调递增，，， 因此， 设，，且， ，根据余弦函数的性质，，且时，恒成立， 则在，且上单调递增，要使对于任意的，存在，且，使得成立， 则，即，，且， 又有，，则， 综上，存在，且，使得成立， 即的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$