专题2.5 幂函数讲义+巩固训练-2026届高三数学一轮复习

专题2.5 幂函数 题型1 由幂函数求值 4 题型2 求幂函数的解析式 4 题型3 幂函数的定义域与值域 4 题型4 幂函数的单调性与奇偶性 5 题型5 幂函数的图像应用 5 题型6 利用幂函数的性质比较幂值大小 8 高考真题演练 8 知识点一 幂函数的概念 一般地，函数叫作幂函数，其中是自变量，是常数. 知识点二 五个常见幂函数的图像与性质 1．五个常见幂函数的图像 画函数图像一般方法是：列表、描点、连线.幂函数的图像也可以用此法画出. 当为，，，时，我们得到五个常见幂函数，在同一平面直角坐标系内的图像如图所示： 2.五个常见幂函数的性质 函数 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 增函数 在上单调递增 在上单调递减 增函数 增函数 在和上单调递减 定点 函数图像均过点 函数图像均过点 知识点三 一般幂函数的图像与性质 1.一般幂函数的图像 (1)当时，的图象是一条直线. (2)当时，的图象是一条不包括点的直线.零的零次方没有意义. (3)当为其他值时，相应幂函数的图象如下表： (、互质) 都是奇数 是偶数，是奇数 是奇数，是偶数 2.一般幂函数的性质 通过分析幂函数的图象特征，可以得到幂函数的以下性质： (1)所有的幂函数在上都有定义，并且图象都过点. (2)时，幂函数的图象过原点，并且在区间上是增函数. (3)时，幂函数在区间上是减函数.在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴. (4)任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限. (5)任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除，，，外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点. 拓展 幂函数的凸性 1.上凸函数、下凸函数的定义 设函数在上有定义，若对中任意不同的两点都成立，则称在上是上凸的函数，即上凸函数. 设函数在上有定义，若对中任意不同的两点都成立，则称在上是下凸的函数，即下凸函数. 从定义来看，其几何图形的呈现形式为：在函数图象上任取两个不同的点，若这两点连成的线段总在函数图象的下方，则该函数为凸函数；若这两点连成的线段总在函数图象的上方，则该函数为凹函数，如图所示. 2.幂函数图像的凹凸性 如图给出了幂函数在第一象限内的图象，可根据凸函数与凹函数的定义判断幂函数的凹凸性. 幂函数当时，函数在上是凸函数； 当与时，函数在上是凹函数. 题型1 由幂函数求值 1．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知幂函数的图象经过点，则的值为（   ） A． B． C．3 D．9 2．（2025·河北石家庄·一模）已知为幂函数，目，则 . 3．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数是幂函数，且在上单调递增，则 . 题型2 求幂函数的解析式 4．（2024·山东日照·二模）已知幂函数的图象过点，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知函数，且的图像恒过定点P，且P在幂函数的图像上，则 ． 6．（2025·新疆·模拟预测）幂函数在上单调递减，且经过点，请写出符合条件的一个函数解析式 ． 题型3 幂函数的定义域与值域 7．（2025·上海徐汇·二模）已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域是 ． 8．（2024·四川成都·模拟预测）若集合，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．下列函数中，与函数的值域相同的函数为（    ） A． B． C． D． 10．（2023·四川成都·一模）与有相同定义域的函数是（    ） A． B． C． D． 11．下列函数中，定义域、值域相同的函数是（    ） A． B． C． D． 题型4 幂函数的单调性与奇偶性 12．（2025·甘肃定西·模拟预测）已知幂函数的定义域为，其图象关于原点对称，且在上单调递增，则的值可以是 .（写出一个即可） 13．（2025·天津·二模）已知函数，则此函数是（   ） A．偶函数，且在区间上单调递减 B．偶函数，且在区间上单调递增 C．奇函数，且在区间上单调递减 D．奇函数，且在区间上单调递增 14．（2025·广东·三模）下列函数中，既是奇函数又在单调递增的是（    ） A． B． C． D． 15．（2025·湖北·模拟预测）已知幂函数，则下列结论正确的是（    ） A．为奇函数 B．在其定义域上单调递减 C． D． 题型5 幂函数的图像应用 16．(多选)现有4个幂函数的部分图象如图所示，则下列选项可能成立的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 17．（2024·上海长宁·一模）已知函数的大致图像如图所示，则 ． 18．如图所示是函数（均为正整数且互质）的图象，则（    ） A．是奇数且 B．是偶数，是奇数，且 C．是偶数，是奇数，且 D．是奇数，且 19．（2024·天津·模拟预测）下列图象中，不可能成为函数的图象的是（    ） A． B． C． D． 20．（2023·新疆阿勒泰·三模）已知函数则函数，则函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 21．（2024·云南曲靖·一模）如图，在第一象限内，矩形的三个顶点，分别在函数的图象上，且矩形的边分别与两坐标轴平行，若A点的纵坐标是2，则D点的坐标是 ．    题型6 利用幂函数的性质比较幂值大小 22．（2025·江西·二模）已知函数，则不等式的解集是 . 23．（2025·北京朝阳·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 24．（2025·辽宁·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 25．（2025·天津北辰·三模）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 26．（2024·江西南昌·三模）若，，，则正数大小关系是（ ） A． B． C． D． 27．(多选)若实数，，满足，则下列不等关系可能成立的是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2019·全国II卷·高考真题）若a>b，则（   ） A．ln(a−b)>0 B．3a<3b C．a3−b3>0 D．│a│>│b│ 3．（2022·天津·高考真题）设，，，则的大小关系为（      ） A． B． C． D． 4．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2020·江苏·高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是 . 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.5 幂函数 基础巩固 一、单选题 1．若幂函数的图象经过第三象限，则的值可以是（    ） A．-2 B．2 C． D．3 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．已知幂函数是偶函数，且在上是增函数，则（    ） A． B． C．0 D．3 4．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 5．已知，点都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 6．已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A．－3 B．－6 C．13 D．1 7．探究幂函数当时的性质，若该函数在定义域内为奇函数，且在上单调递增，则（    ） A．2 B．3 C． D．-1 8．已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、多选题 9．幂函数，，则下列结论正确的有（    ）. A． B．函数在定义域内单调递减 C． D．函数的值域为 10．下列说法正确的是（    ） A．若幂函数的图象经过点，则解析式为 B．若函数，则在区间上单调递减 C．幂函数始终经过点和 D．若幂函数图象关于轴对称，则 11．已知幂函数的图像经过点，则下列命题正确的有（    ） A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．若，则 D．若，则 三、填空题 12．（2025·云南·模拟预测）已知幂函数，写出一个使得不等式成立的自然数的值 . 13．（2025·江西·一模）已知幂函数在上单调递增，若正数、满足，则的最小值为 ． 14．写出一个同时具有下列性质①②③的函数： ． ①； ②对于任意两个不同的正数，都有恒成立； ③对于任意两个不同的实数，都有． 四、解答题 15．已知幂函数()为偶函数，且在上单调递减． (1)求和的值； (2)求满足的实数的取值范围． 16．已知二次函数（，为实数） (1)若函数图象过点，对，恒成立，求实数的取值范围； (2)若函数图象过点，对，恒成立，求实数的取值范围； (3)对，时，恒成立，求的最小值. 能力提升 17．已知函数的值域为，且满足，若在（）上的值域为，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 18．（多选）若函数，且，则（    ） A． B． C． D． 19．函数是幂函数，对任意，且，满足，若，且，，则的值（   ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 20．幂函数，当a取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A(1，0)，B(0，1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数，的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，那么＝（ ） A．0 B．1 C． D．2 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.5 幂函数 题型1 由幂函数求值 4 题型2 求幂函数的解析式 5 题型3 幂函数的定义域与值域 6 题型4 幂函数的单调性与奇偶性 8 题型5 幂函数的图像应用 10 题型6 利用幂函数的性质比较幂值大小 14 高考真题演练 18 知识点一 幂函数的概念 一般地，函数叫作幂函数，其中是自变量，是常数. 知识点二 五个常见幂函数的图像与性质 1．五个常见幂函数的图像 画函数图像一般方法是：列表、描点、连线.幂函数的图像也可以用此法画出. 当为，，，时，我们得到五个常见幂函数，在同一平面直角坐标系内的图像如图所示： 2.五个常见幂函数的性质 函数 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 增函数 在上单调递增 在上单调递减 增函数 增函数 在和上单调递减 定点 函数图像均过点 函数图像均过点 知识点三 一般幂函数的图像与性质 1.一般幂函数的图像 (1)当时，的图象是一条直线. (2)当时，的图象是一条不包括点的直线.零的零次方没有意义. (3)当为其他值时，相应幂函数的图象如下表： (、互质) 都是奇数 是偶数，是奇数 是奇数，是偶数 2.一般幂函数的性质 通过分析幂函数的图象特征，可以得到幂函数的以下性质： (1)所有的幂函数在上都有定义，并且图象都过点. (2)时，幂函数的图象过原点，并且在区间上是增函数. (3)时，幂函数在区间上是减函数.在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴. (4)任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限. (5)任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除，，，外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点. 拓展 幂函数的凸性 1.上凸函数、下凸函数的定义 设函数在上有定义，若对中任意不同的两点都成立，则称在上是上凸的函数，即上凸函数. 设函数在上有定义，若对中任意不同的两点都成立，则称在上是下凸的函数，即下凸函数. 从定义来看，其几何图形的呈现形式为：在函数图象上任取两个不同的点，若这两点连成的线段总在函数图象的下方，则该函数为凸函数；若这两点连成的线段总在函数图象的上方，则该函数为凹函数，如图所示. 2.幂函数图像的凹凸性 如图给出了幂函数在第一象限内的图象，可根据凸函数与凹函数的定义判断幂函数的凹凸性. 幂函数当时，函数在上是凸函数； 当与时，函数在上是凹函数. 题型1 由幂函数求值 1．已知幂函数的图象经过点，则的值为（   ） A． B． C．3 D．9 【答案】B 【知识点】求幂函数的值、求幂函数的解析式 【分析】根据给定条件，求出幂函数的解析式，进而求出函数值. 【详解】设，则即， 故选：B． 2．已知为幂函数，目，则 . 【答案】 【知识点】求幂函数的解析式、对数的运算 【分析】利用条件先求出的解析式，再代入求出对数值即得. 【详解】依题意，设， 由可得，解得，则， 于是. 故答案为：. 3．已知函数是幂函数，且在上单调递增，则 【答案】3 【知识点】求幂函数的解析式、由函数在区间上的单调性求参数、根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数 【分析】根据是幂函数求出，根据在上单调递增确定. 【详解】因为是幂函数，所以， 所以或，因为在上单调递增， 所以，所以. 故答案为：. 题型2 求幂函数的解析式 4．已知幂函数的图象过点，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求幂函数的解析式 【分析】先用待定系数法设出函数解析式，再代入点的坐标计算出参数，即可得到答案. 【详解】设幂函数的解析式为，由于函数过点，故，解得，该幂函数的解析式为； 故选：B 5．已知函数，且的图像恒过定点P，且P在幂函数的图像上，则 ． 【答案】 【知识点】求幂函数的解析式 【分析】通过与变量无关得到定点，设出解析式，求解变量即可. 【详解】当时，的值与无关，且，故，设 将代入，解得，故 故答案为： 6．幂函数在上单调递减，且经过点，请写出符合条件的一个函数解析式 ． 【答案】或(答案不唯一) 【知识点】求幂函数的解析式 【分析】设出幂函数解析式，将代入即可求得结果. 【详解】幂函数在上是减函数，设，则， 因为有很多解，如、、、等均符合题意. 故答案为：或(答案不唯一)． 题型3 幂函数的定义域与值域 7．已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域是 ． 【答案】 【知识点】求幂函数的解析式、求幂函数的值域 【分析】根据幂函数定义代入点可得，即可得函数值域. 【详解】设幂函数， 代入点可得，即， 可得， 因为，可得，所以该幂函数的值域是. 故答案为：. 8．若集合，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、求幂函数的值域 【分析】求出值域，得到，故A是B的真子集，得到答案. 【详解】由幂函数的性质可知，则A是B的真子集， 则是的充分不必要条件. 故选：A 9．下列函数中，与函数的值域相同的函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求指数型复合函数的值域、求幂函数的值域、求对数型复合函数的值域 【分析】利用指数函数、对数函数、幂函数与反比例函数的性质即可得解. 【详解】因为幂函数的值域为， 对于A，指数复合函数的值域为，故A错误； 对于B，对数复合函数的值域为，故B正确； 对于C，幂函数的值域为，故C错误； 对于D，反比例函数的值域为，故D错误. 故选：B. 10．与有相同定义域的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求对数函数的定义域、求幂函数的定义域、求对数型复合函数的定义域 【分析】求出各函数的定义域，即可得出合适的选项. 【详解】对于函数，有，即函数的定义域为， 对于A选项，函数的定义域为，A不满足； 对于B选项，函数的定义域为，B不满足； 对于C选项，对任意的，，即函数的定义域为，C不满足； 对于D选项，函数的定义域为，D满足. 故选：D. 11．下列函数中，定义域、值域相同的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求幂函数的值域、求幂函数的定义域、求对数函数在区间上的值域、求指数函数在区间内的值域 【分析】根据指数函数、对数函数和幂函数的性质，即可容易判断选择. 【详解】A：的定义域为，值域为，故错误； B：的定义域为，值域为，故错误； C：的定义域为，值域，故正确； D：的定义域为，值域为，故错误； 故选：. 【点睛】本题考查指对幂函数的定义域和值域，属综合简单题. 题型4 幂函数的单调性与奇偶性 12．已知幂函数的定义域为，其图象关于原点对称，且在上单调递增，则的值可以是 .（写出一个即可） 【答案】3（答案不唯一） 【知识点】判断五种常见幂函数的奇偶性、由幂函数的单调性求参数、函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据幂函数的性质确定出值作答. 【详解】举例，即，其定义域为R， 又，所以为奇函数，其图象关于原点对称， 且在上单调递增，所以满足题意. 故答案为：3.（答案不唯一） 13．已知函数，则此函数是（   ） A．偶函数，且在区间上单调递减 B．偶函数，且在区间上单调递增 C．奇函数，且在区间上单调递减 D．奇函数，且在区间上单调递增 【答案】C 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断一般幂函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据奇函数定义及幂函数单调性判断求解. 【详解】因为函数，定义域为， ，所以是奇函数， 因为在区间上单调递增，，所以函数在区间上单调递减， 故选：C. 14．下列函数中，既是奇函数又在单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断一般幂函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】利用奇偶性及单调性逐项判断即可. 【详解】对于A，函数是奇函数，在上单调递增，A是； 对于B，函数是偶函数，不是奇函数，B不是； 对于C，函数是偶函数，不是奇函数，C不是； 对于D，函数是偶函数，不是奇函数，D不是. 故选：A 15．已知幂函数，则下列结论正确的是（    ） A．为奇函数 B．在其定义域上单调递减 C． D． 【答案】C 【知识点】求幂函数的解析式、幂函数的奇偶性的应用、判断一般幂函数的单调性、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】由幂函数的定义求出，由函数奇偶性得到A错误，求出定义域，求导得到函数的单调性，从而判断BCD. 【详解】因为是幂函数，根据幂函数的定义可知， 当时，，等式成立， 因为在R上单调递增，故为唯一解. 此时，其定义域为. A选项，，所以是偶函数，A选项错误. B选项，对求导，可得. 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 所以在其定义域上不单调递减的，B错误； C选项，，在上单调递减. 因为，所以，即，C选项正确. D选项，，在上单调递增，， 所以，即，D错误. 故选：C. 题型5 幂函数的图像应用 16．(多选)现有4个幂函数的部分图象如图所示，则下列选项可能成立的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】AB 【知识点】幂函数图象的判断及应用 【分析】根据幂函数的图象和性质结合已知图象分析判断即可. 【详解】对于幂函数，若函数在上单调递增，则，若函数在上单调递减，则，所以，D选项错误； 当时，若的图象在的上方，则，若的图象在的下方，则， 所以，C选项错误； 因为当时，指数越大，图象越高，所以， 综上，，AB选项正确. 故选：AB 17．已知函数的大致图像如图所示，则 ． 【答案】 【知识点】幂函数图象的判断及应用 【分析】根据图像的对称性，可得到函数的奇偶性；再由图像与坐标轴的关系，即可判断的取值. 【详解】因为图像关于轴对称，所以函数是偶函数； 又因为图像与坐标轴无交点，所以指数为负数.综上所述，. 故答案为：. 18．如图所示是函数（均为正整数且互质）的图象，则（    ） A．是奇数且 B．是偶数，是奇数，且 C．是偶数，是奇数，且 D．是奇数，且 【答案】B 【知识点】幂函数图象的判断及应用 【分析】由幂函数性质及时两图象的位置关系可知；由图象可知为偶函数，进而确定的特征. 【详解】由幂函数性质可知：与恒过点，即在第一象限的交点为， 当时，，则； 又图象关于轴对称，为偶函数，， 又互质，为偶数，为奇数. 故选：B. 19．下列图象中，不可能成为函数的图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数图像的识别、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、幂函数图象的判断及应用 【分析】先得到函数为奇函数，图象关于原点对称，讨论参数，再利用导数讨论函数的单调性和讨论函数值的正负得到答案. 【详解】由题意可知，，又， 所以为奇函数，图象关于原点对称， 当时，结合幂函数的性质可知，D选项符合； 当时，若，，A选项符合； 当时，，此时在和上单调递增， B选项符合； 结合选项可知，只有C.选项不可能. 故选：C. 20．已知函数则函数，则函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】幂函数图象的判断及应用、函数图象的变换、函数图像的识别 【分析】由可知 图像与的图像关于轴对称，由 的图像即可得出结果. 【详解】因为，所以 图像与的图像关于轴对称， 由解析式，作出的图像如图 从而可得图像为B选项. 故选：B. 21．如图，在第一象限内，矩形的三个顶点，分别在函数的图象上，且矩形的边分别与两坐标轴平行，若A点的纵坐标是2，则D点的坐标是 ．    【答案】 【知识点】指数函数图像应用、幂函数图象的判断及应用、对数函数图象的应用、指数函数的判定与求值 【分析】根据指对幂函数的图象及解析式求出A点的横坐标、点纵坐标，即可得D点的坐标. 【详解】由题意，纵坐标都为2，则点横坐标为8，即点横坐标为8， 所以A点的横坐标为，点纵坐标为， 由为矩形及题图知：D点的坐标是. 故答案为： 题型6 利用幂函数的性质比较幂值大小 22．已知函数，则不等式的解集是 . 【答案】 【知识点】判断一般幂函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据解析式判断函数的单调性和奇偶性，再应用单调性和奇偶性解不等式即可. 【详解】由，在R上都单调递减，且都是奇函数， 所以是单调递减的奇函数， 故，则，即， 所以不等式的解集为. 故答案为： 23．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较对数式的大小、由幂函数的单调性比较大小 【分析】根据对数函数的单调性及幂函数的单调性比较大小即可. 【详解】， 又在上为增函数， 所以， 综上，， 故选：D 24．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小 【分析】由幂函数与指数函数的单调性比较指数幂的大小即可. 【详解】对于，由于在单调递增，所以， 对于，由于单调递减，故. 所以. 故选：D 25．设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小 【分析】首先根据指数函数性质得到最大，再利用幂函数的单调性比较出大小关系即可. 【详解】因为，则，， ，即， ， 接下来比较和的大小关系，因为，而， 则，根据幂函数在上单调递增得， 即. 故. 故选：D. 26．若，，，则正数大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对数函数图象的应用、比较零点的大小关系、幂函数图象的判断及应用、指数函数图像应用 【分析】将问题转化为函数与函数的交点的横坐标，再数形结合即可判断. 【详解】由，则为与交点的横坐标， 由，则为与交点的横坐标， 由，即，则为与交点的横坐标， 作出，，，的图象如下所示， 由图可知，. 故选：B 27．(多选)若实数，，满足，则下列不等关系可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】幂函数图象的判断及应用、指数函数图像应用 【分析】将条件转化为，在同一平面直角坐标系中作出函数，，的函数图象，判断他们与有交点时横坐标的大小情况. 【详解】实数，，满足， ∴，， 如图在同一平面直角坐标系中作出函数，，的函数图象，再作直线， 变换的值发现，，，的大小关系可能为，，，，，，，故、、正确，错误． 故选：． 一、单选题 1．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】充分条件的判定及性质、必要条件的判定及性质、比较指数幂的大小、判断一般幂函数的单调性 【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件. 【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件. 故选：C. 2．（2019·全国II卷·高考真题）若a>b，则（   ） A．ln(a−b)>0 B．3a<3b C．a3−b3>0 D．│a│>│b│ 【答案】C 【知识点】比较指数幂的大小、对数函数单调性的应用、幂函数的单调性的其他应用、由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】本题也可用直接法，因为，所以，当时，，知A错，因为是增函数，所以，故B错；因为幂函数是增函数，，所以，知C正确；取，满足，，知D错． 【详解】取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以，故选C． 【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断． 3．（2022·天津·高考真题）设，，，则的大小关系为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较对数式的大小、由幂函数的单调性比较大小 【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系. 【详解】因为，故. 故选：D. 4．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小 【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可. 【详解】由在R上递增，则， 由在上递增，则. 所以. 故选：D 5．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小、判断零点所在的区间 【分析】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可. 【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增， 所以在定义域上单调递减， 显然， 所以根据零点存在性定理可知的零点位于. 故选：B 二、填空题 6．（2020·江苏·高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是 . 【答案】 【知识点】求幂函数的值、幂函数的奇偶性的应用 【分析】先求，再根据奇函数求 【详解】，因为为奇函数，所以 故答案为： 【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.5 幂函数 基础巩固 一、单选题 1．若幂函数的图象经过第三象限，则的值可以是（    ） A．-2 B．2 C． D．3 【答案】D 【知识点】幂函数图象的判断及应用 【分析】由幂函数的函数图像逐一确定即可. 【详解】A：当时，，图像为：    故A错误； B：当时，，图像为：    故B错误； C：当时，，图像为：    故C错误； D：当时，，图像为：    故D正确； 故选：D 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由幂函数的单调性比较大小、比较指数幂的大小 【分析】根据函数及的单调性即可判断大小关系. 【详解】因为，函数在上单调递增， 所以，即， 又因为，即， 所以. 故选：A. 3．已知幂函数是偶函数，且在上是增函数，则（    ） A． B． C．0 D．3 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的应用、由幂函数的单调性求参数 【分析】由函数是偶函数且在上是增函数，可知函数在上单调递减，由幂函数的性质可得，结合，即可解出或或，分别代入函数，结合是偶函数即可得出答案. 【详解】因为函数是偶函数且在上是增函数， 所以函数在上单调递减， 所以，即，解得， 又因为，所以或或， 当或时，，此时为奇函数，不满足题意； 当时，，此时为偶函数，满足题意； 所以. 故选：B 4．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】具体函数的定义域、复合函数的单调性、与二次函数相关的复合函数问题 【分析】先求出函数的定义域，再确定在上单调递增，结合复合函数单调性，即可求得答案. 【详解】由可得， 解得或， 由图象的对称轴为， 则在上单调递增， 故的单调递减区间为， 故选：C 5．已知，点都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断二次函数的单调性和求解单调区间、比较函数值的大小关系、函数对称性的应用 【分析】利用二次函数的对称性和单调性求解即可. 【详解】二次函数，其图象的对称轴方程为， 而，所以，即， 当时，是单调增函数， 因为，所以，所以，即， 综上，． 故选：D． 6．已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A．－3 B．－6 C．13 D．1 【答案】C 【知识点】函数图像的识别、二次函数的图象分析与判断 【分析】由图可得方程的两根为2和4，利用根与系数的关系结合列式求得的值，则答案可求. 【详解】由直线，，知， 又由二次函数的对称性和图象知顶点为， 所以，解得， 由的两根为，，得，， 则． 故选：C. 7．探究幂函数当时的性质，若该函数在定义域内为奇函数，且在上单调递增，则（    ） A．2 B．3 C． D．-1 【答案】B 【知识点】幂函数的奇偶性的应用、由幂函数的单调性求参数 【分析】根据幂函数的性质即可得解. 【详解】由题意可得且为奇数， 所以. 故选：B. 8．已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断五种常见幂函数的奇偶性、已知二次函数单调区间求参数值或范围、根据函数是幂函数求参数值 【分析】根据幂函数的定义与奇偶性求出的值，可得出函数的解析式，再利用二次函数的单调性可得出关于实数的不等式，从而得解. 【详解】因为幂函数是上的偶函数， 则，解得或， 当时，，该函数是定义域为的奇函数，不合乎题意； 当时，，该函数是定义域为的偶函数，合乎题意. 所以，则，其对称轴方程为， 因为在区间上单调递减，则，解得.故选：C． 二、多选题 9．幂函数，，则下列结论正确的有（    ）. A． B．函数在定义域内单调递减 C． D．函数的值域为 【答案】AD 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、求幂函数的值域、判断一般幂函数的单调性、由幂函数的单调性比较大小 【分析】根据幂函数的性质可得，进而可得，由幂函数的性质即可结合选项逐一求解. 【详解】由为幂函数可得，解得或， 又，所以.所以，故A正确； 因为函数的定义域为，关于原点对称， 由，知函数为偶函数， 由于，故在区间上单调递减， 根据偶函数性质知在区间上单调递增，故B错误； ，故C错误； 因为的定义域为，则，所以的值域为，故D正确. 故选：AD. 10．下列说法正确的是（    ） A．若幂函数的图象经过点，则解析式为 B．若函数，则在区间上单调递减 C．幂函数始终经过点和 D．若幂函数图象关于轴对称，则 【答案】ACD 【知识点】判断一般幂函数的单调性、幂函数的奇偶性的应用、求幂函数的解析式、根据函数是幂函数求参数值 【分析】设出幂函数解析式，代入点的坐标即可判断A项；根据幂指数与0的关系以及函数的性质，可判断B项；代入即可判断C项；根据已知可求出，根据函数的奇偶性以及单调性，即可判断D项. 【详解】对于A项，设幂函数解析式为，代入点，可得，所以，解得，所以解析式为，故A项正确； 对于B项，由已知为幂函数，且，所以在区间上单调递减. 又，所以为偶函数， 根据偶函数的性质可得，在区间上单调递增，故B项错误； 对于C项，因为，所以，，故C项正确； 对于D项，由已知可得，，解得或.又幂函数图象关于轴对称，所以，.所以有，又在区间上单调递增，且，所以，故D项正确. 故选：ACD. 11．已知幂函数的图像经过点，则下列命题正确的有（    ） A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求幂函数的解析式、幂函数图象的判断及应用、判断一般幂函数的单调性 【分析】根据已知条件求出函数解析式，根据解析式即可判断函数的单调性判断A选项；利用判断函数为偶函数判断B选项；根据函数单调性判断C选项，根据与的意义，结合函数图像，判断D选项. 【详解】设幂函数，函数的图像经过点，则，， ，，所以，即； 由，所以函数为偶函数，所以B正确； 分析函数解析式可知：时，随着的增大，也增大，也增大， 所以时，单调递增； 又为偶函数，所以时，单调递减，所以A错误； 时，单调递增，又，所以时，，C正确； 大致画出函数图像如下， 为点与点两点中点的纵坐标， 为时的函数值， 观察图象可知选项D正确. 故选：BCD 三、填空题 12．（2025·云南·模拟预测）已知幂函数，写出一个使得不等式成立的自然数的值 . 【答案】3或4（写对一个即可） 【知识点】分式不等式、根据函数是幂函数求参数值 【分析】根据为幂函数，得到，再解不等式即可. 【详解】因为为幂函数， 所以，解得，则， 不等式可化为， 解得，所以符合条件的自然数可以是3或4. 故答案为：3或4（写对一个即可） 13．（2025·江西·一模）已知幂函数在上单调递增，若正数、满足，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、基本不等式“1”的妙用求最值、由幂函数的单调性求参数 【分析】由幂函数的定义与单调性可得出关于实数的等式或不等式，解出，可得出，将代数式与代数式相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为幂函数在上单调递增， 则，解得， 正数、满足，则 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故答案为：. 14．写出一个同时具有下列性质①②③的函数： ． ①； ②对于任意两个不同的正数，都有恒成立； ③对于任意两个不同的实数，都有． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】幂函数的单调性的其他应用 【分析】取，再逐一验证即可. 【详解】当时， 对于①，，故满足①； 对于②，由对于任意两个不同的正数，都有恒成立， 得函数在上单调递增， 而函数在上单调递增，故满足②； 对于③，任取， 则， 因为，所以， 即， 所以，故满足③. 故答案为：（答案不唯一）. 四、解答题 15．已知幂函数()为偶函数，且在上单调递减． (1)求和的值； (2)求满足的实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性解不等式、由幂函数的单调性求参数 【分析】（1）根据幂函数以及奇偶性等知识求得. （2）根据函数的单调性以及对分类讨论来求得的取值范围. 【详解】（1）由函数为幂函数， 则，解得； 由()在上单调递减， 得，解得，而，故或， 当时，，定义域为，且为偶函数，符合题意. 当时，，定义域为，函数为奇函数，不符合题意； 故. （2）由（1）得，则，即. 故或或， 解得或或，. 故实数的取值范围为. 16．已知二次函数（，为实数） (1)若函数图象过点，对，恒成立，求实数的取值范围； (2)若函数图象过点，对，恒成立，求实数的取值范围； (3)对，时，恒成立，求的最小值. 【答案】(1)； (2)； (3)1. 【知识点】一次函数的图像和性质、解不含参数的一元二次不等式、基本不等式求和的最小值、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】（1）由已知可得，由，恒成立列出不等式求解即得. （2）由对恒成立，结合一次函数的性质求出答案即可. （3）由已知可得，再利用不等式性质，结合基本不等式求解即得. 【详解】（1）依题意，，即，由，恒成立，得， 即，整理得，解得， 所以实数的取值范围是. （2）由（1）知，，由，得，即， 依题意，对恒成立，令， 则对，恒成立，于是，解得， 所以实数的取值范围是． （3）由对时，恒成立，得，则，而， 因此，当且仅当时取等号， 显然，当且仅当，即时取等号，由且，得， 所以当时，取得最小值． 能力提升 17．已知函数的值域为，且满足，若在（）上的值域为，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、根据二次函数的最值或值域求参数、求二次函数的值域或最值 【分析】由，求出对称轴，由二次函数对称轴可以求出 的值，再有函数值域可以求出，所以即可得函数的解析式， 在由在（）上的值域为， 所以令求出的最值即可得 的最值. 【详解】由，可得函数的对称轴为； 由函数得：，， 所以．因为的值域为， 所以，可得， 故． 若在（）上的值域为， 令，解得或． 所以m最小为，n最大为3， 则的最大值为4． 故选：D. 18．（多选）若函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】由幂函数的单调性比较大小、比较函数值的大小关系、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】利用幂函数的性质及函数的单调性的性质，结合特殊值法及构造函数法即可求解. 【详解】由幂函数的性质知， 在上单调递增. 因为,所以，即，， 所以．故A正确； 令，则，故B错误； 令，则 由函数单调性的性质知，在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 因为，所以，即，于是有，故C正确； 令，则， 所以因为，故D错误． 故选：AC. 19．函数是幂函数，对任意，且，满足，若，且，，则的值（   ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】A 【知识点】幂函数的单调性的其他应用 【详解】∵函数f（x）=（m2-m-1）x4m+3是幂函数，对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，满足， ∵a，b∈R，且a+b＞0，ab＜0． ∴f（a）+f（b）=a11+b11＞0． 故选A． 点睛：本题考查函数值和的符号的判断，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用． 20．幂函数，当a取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A(1，0)，B(0，1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数，的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，那么＝（ ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【知识点】幂函数图象的判断及应用、运用换底公式化简计算、指数式与对数式的互化 【分析】由题意得，代入函数解析式，进而利用指对互化即可得解. 【详解】BM＝MN＝NA，点A(1，0)，B(0，1)， 所以， 将两点坐标分别代入y＝xa，y＝xb，得 所以， 所以. 故选：A. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$