第十章 思维进阶15 概率、统计的交汇问题-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习学生用书word（基础版）

思维进阶15　概率、统计的交汇问题 典例1　解：(1)设一次性抛掷4枚均匀硬币得到正面向上的枚数为ξ，则ξ~B4，，P(ξ＜3)＝×4＋×4＋×4＝，则P(ξ3)＝1－P(ξ＜3)＝．用An－1表示事件“第(n－1)天王先生选择的是骑自行车出行”，An表示事件“第n天王先生选择的是骑自行车出行”，由全概率公式知：pn＝P(An)＝P(An|An－1)P(An－1)＋P(An|)P()＝pn－1·P(ξ＜3)＋(1－pn－1)·P(ξ3)＝pn－1＋(1－pn－1)＝pn－1＋，所以pn＝pn－1＋(n2)． (2)由(1)知，pn－pn－1－，n≥ 2，因为p1＝1，所以p1－，所以pn－≠0，所以，所以数列pn－是首项为，公比为的等比数列，从而pn－×n－1，于是pn＝×n－1＋． 典例2　解：(1)由频率分布直方图可知， 10×(0.01＋0.018＋0.022＋0.025＋0.020＋a)＝1，解得a＝0.005． 设“该学生每天平均运动时间不低于20分钟”为事件A，“该学生是‘运动族’”为事件B， 则P(A)＝0.72，P(AB)＝0.25， 所以在该学生每天平均运动时间不低于20分钟的条件下是“运动族”的概率为P(B|A)＝． (2)由题意可知，样本中共有“运动族”学生25人，运动时间在40~50分钟之间的学生有20人， 所以x＝0，1，2． P(x＝0)＝， P(x＝1)＝， P(x＝2)＝， x的分布列为 x 0 1 2 P E(x)＝0×＋1×＋2×． 典例3　解：(1)由题意，估计从该企业生产的产品中随机抽取1 000件钢管内径的平均数为≈185×0.2＝37， 所以μ＝37，σ＝s＝0.3， 则μ－σ＝37－0.3＝36.7，μ＋σ＝37＋0.3＝37.3，μ＋2σ＝37＋0.6＝37.6， 则一等品内径在[μ－σ，μ＋σ]内，即在[36.7，37.3]内， 二等品内径在[μ＋σ，μ＋2σ]内，即在[37.3，37.6]内， 所以该企业生产的产品为正品的概率P1＝P(36.7≤x≤37.6)＝(0.8＋1.1＋0.8＋0.65)×0.2＋0.4×0.1＝0.71． (2)①从n＋2件正品中任选2个，有种选法，其中等级相同的有()种选法， 所以某箱产品抽检被记为B的概率为p＝1－＝1－． ②由题意，一箱产品抽检被记为B的概率为p， 则5箱产品恰有3箱被记为B的概率为f (p)＝p3(1－p)2＝10p3(1－2p＋p2)＝10(p3－2p4＋p5)， f '(p)＝10(3p2－8p3＋5p4)＝10p2(3－8p＋5p2)＝10p2(p－1)(5p－3)， 所以当p∈时，f '(p)＞0，函数f (p)单调递增，当p∈时，f '(p)＜0，函数f (p)单调递减， 所以当p＝时，f (p)取得最大值为f＝， 此时，p＝， 解得n＝3或n＝(舍去)， 所以当n＝3时，f (p)取得最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 　概率、统计的交汇问题 　近几年高考特别注重对概率和统计结合、概率和其他知识(如数列与函数)结合的综合考查，通常以实际问题为背景，通过构建数学模型，突出考查统计与概率思想、数据处理能力和应用意识．复习备考时，要把基础知识理解透彻，在情境问题中能够发现考查的本质问题． (1)注重情境，注重审题 考查概率、统计的试题多以生产生活中的实际问题为背景，阅读量大，首先根据文字信息、图表信息了解考查的知识点，再结合考查目标，理解图文的内在含义，最后整合有效信息，明确数据关系．对题目的准确理解，找到数学模型是解答题目的关键． (2)关注素材，注重图表 图表语言具有直观、简洁、信息量大等特点，高考试题经常以图表作为情境材料呈现，准确读表(图)、识表(图)和用表(图)的能力至关重要，要从图表中获取有效信息，灵活运用图表信息作出统计推断和决策． (3)关注生活，注重应用 多关注生活背景、社会现实、经济建设、科技发展、体育精神等各个方面，培养和提升数据处理能力、数学建模能力，培养用数据说话的理性思维． (4)重视交汇，提升能力 统计与概率具有广泛应用性，一方面，统计和概率、计数原理等知识可以有机结合，即以统计知识为背景，以频率来估计概率或计数为基础，过渡到概率问题；另一方面，统计与概率可以和其他数学知识相结合，如可以和函数、数列、不等式等结合．因此在复习备考中，有必要针对统计与概率和其他知识相结合的问题进行训练． 题型一　概率中递推关系的应用——马尔科夫链 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，Xt－2，Xt－1，Xt，Xt＋1，…，那么Xt＋1时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态Xt，即P(Xt＋1|…，Xt－2，Xt－1，Xt)＝P(Xt＋1|Xt)． [典例1]　(2024·无锡江阴期初)王先生准备每天从骑自行车和开车两种出行方式中随机选择一种出行．从即日起出行方式选择规则自定如下：第一天选择骑自行车出行，随后每天用“一次性抛掷4枚均匀硬币”的方法确定出行方式，若得到的正面朝上的枚数小于3，则该天出行方式与前一天相同，否则选择另一种出行方式．设pn(n∈N*)表示事件“第n天王先生选择骑自行车出行”的概率． (1)用pn－1表示pn(n≥2)； (2)求pn(n≥2)． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　概率中的数列问题解题步骤 (1)弄清初始事件的概率p1(或p0)． (2)利用事件关系寻求第n步的概率pn与第(n＋1)步的概率pn＋1之间的关系，即递推关系pn＋1＝f (pn)． (3)利用数列的相关知识，由已知p1与pn＋1＝f (pn)求出通项公式pn． 题型二　以统计图表为载体的概率统计问题 [典例2]　为了解某高校学生每天的运动时间，随机抽取了100名学生进行调查．下面是根据调查结果绘制的学生每天平均运动时间(单位：分钟)的频率分布直方图，将每天平均运动时间不低于40分钟的学生称为“运动族”． (1)用样本估计总体，已知某学生每天平均运动时间不低于20分钟，求该学生是“运动族”的概率； (2)从样本里的“运动族”学生中随机选取两位同学，用随机变量X表示每天平均运动时间在40～50分钟之间的学生数，求X的分布列及期望． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　高考题常将频率分布直方图与概率、统计等交汇在一起进行考查，解题时要正确理解频率分布直方图，能利用频率分布直方图正确计算出各组数据，概率问题以计算为主，往往和实际问题相结合，要注意理解实际问题的意义，使之和相应的概率计算对应起来． 题型三　概率、统计与函数的交汇问题 [典例3]　根据以往大量的测量知某加工厂生产的钢管内径尺寸X(单位：mm)服从正态分布N(μ，σ2)，并把钢管内径在[μ－σ，μ＋σ]内的产品称为一等品，钢管内径在[μ＋σ，μ＋2σ]内的产品称为二等品，一等品与二等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品回收．现从该企业生产的产品中随机抽取1 000件，测得钢管内径的样本数据的频率分布直方图如图． (1)通过检测得样本数据的标准差s＝0.3，用样本平均数x作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值，根据所给数据求该企业生产的产品为正品的概率P1；(同一组中的数据用该区间的中点值代表) (2)假如企业包装时要求把2个一等品和n(n≥2，n∈N)个二等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同，则该箱产品记为A，否则该箱产品记为B． ①试用含n的代数式表示某箱产品抽检被记为B的概率p； ②设抽检5箱产品恰有3箱被记为B的概率为f (p)，求当n为何值时，f (p)取得最大值，并求出最大值． 参考数据：36.2×0.2＋36.4×0.25＋36.6×0.7＋36.8×0.8＋37×1.1＋37.2×0.8＋37.4×0.65＋37.6×0.4＋37.8×0.1≈185． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　通过设置变量，利用数学期望、方差或概率的计算公式构造函数，是概率与函数问题结合最常用的方式．解决此类问题，应注意两个问题： (1)准确构造函数，利用公式搭建函数模型时，由于随机变量的数学期望、方差，随机事件概率的计算中涉及变量较多，式子较为复杂，所以准确运算化简是关键； (2)注意变量的取值范围，一是题中给出的范围，二是实际问题中变量自身取值的限制． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $$