专题01 绝对值中的八类最值模型（几何模型讲义）数学苏科版2024七年级上册

专题01 绝对值中的八类最值模型 最值问题一直都是初中数学的最难点之一，但也是高分的必须突破点，而绝对值中的最值模型是初中学生第一次接触最值类问题，该类最值模型主要依据绝对值的几何意义或代数意义，考查分类讨论和数形结合的数学思想。需要牢记绝对值中的最值情况规律，解题时能达到事半功倍的效果。本专题就绝对值中的八类最值模型进行梳理及对应试题分析，方便大家掌握。 1 模型来源 2 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 4 模型1.的最小值模型 4 模型2.的最小值和最大值模型 6 模型3.的最小值模型 8 模型4.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 12 模型5.型或型最值模型 15 模型6.绝对值最值模型的实际应用 15 模型7.绝对值相关运算与最值问题 19 模型8.绝对值最值中的新定义问题 20 24 绝对值最值问题的历史发展脉络源于几何直观与代数研究的结合，其核心理论随数学分析的发展逐步完善。绝对值的概念源于物理学中的距离概念，表示一个数到原点的距离。在数学中，绝对值用于表示一个数到数轴原点的距离，因此绝对值总是非负的。这一性质使得绝对值在数学分析中有着广泛的应用，特别是在处理不等式和最值问题时显得尤为重要。在解决含绝对值的代数式最值问题时，可以利用绝对值的几何意义或零点分段法，整体来说绝对值的几何意义较为简单适用。 （2025·山东青岛·校考一模）【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值． 我们先看表示的点可能的3种情况，如图所示： 如图①，在1的左边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1． 如图②，在1，2之间（包括在1，2上），可以看出到1和2的距离之和等于1． 如图③，在2的右边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1.因此，我们可以得出结论：当在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】(1)的几何意义是 ，请你结合数轴研究：的最小值是 ； (2)请你结合图④探究的最小值是 ，由此可以得出a为 ； (3)的最小值是 ；(4)的最小值为 。 （2024·四川成都·三模）函数的最小值为3，则a的值为 ． 知识储备：①绝对值具有非负性，即； ②绝对值的几何意义：表示数轴上的有理数a所对应的点到原点的距离； 表示数轴上的有理数x所对应的点到有理数a所对应的点的距离。‌ 1.求的最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值。 结论：根据绝对值的几何意义知：在时，取得最小值为。 另解：也可用绝对值的代数意义（即分类讨论思想）完成绝对值的最值问题。 2.求的最大值或最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的取最大值或最小值： 结论：在时，取得最小值为；在时，取得最大值。（几何意义） 3.的最小值模型 结论：找到上述式子中的‬零点，按从小到大‬排序（不妨假设）‬，借助数轴容易得到： ‬当n‬奇数‬时‬‬，则x取‬中间数（）‬时‬取得‬最小值‬； ‬当n‬‬偶数时‬，‬则‬x取‬中间‬段（）‬时‬取得‬最小值‬。 规律可总结为：“奇中点，偶中段”。 4.型或型最值模型 1）：当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 2）：当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 5.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 ①绝对值系数不为“1”：如：｜x-1｜+2｜x-2｜+3｜x-3｜+4｜x-4｜+5｜x-5｜ 解题步骤：第1步：将x平铺展开；第2步：找到每个式子的零点，分别为：1、2、2、3、3、3、4、4、4、4、5、5、5、5、5、5共15个零点；第3步：根据“奇中点，偶中段”，在第八个数时，即x=4时，有最小值，带入x=4，最小值为15。 ②x系数不为“1”：如：求｜2x-4｜+｜5x+5｜的最小值。 解题步骤：第1步：x的系数不为1，所以首先‬第一步‬想办法把x的系数化为1，采用提取公因数的方法（或乘法分配律的逆用）；即：｜2x-4｜+｜5x+5｜=｜2（x-2）｜+｜5（x+1）｜=2｜x-2｜+5｜x+1｜。 第2步：进入①中的三个步骤即可。这时，x的系数已经变成了1，我们就可以展开‬，然后‬利用“奇中点‬，偶中段”来求了‬。解‬得‬当x=-1时‬取得‬最小值，最小值‬为‬6。 另解：上述两类问题也可以采用绝对值的代数意义（根据零点分区讨论）求解。 模型1.的最小值模型 例1（24-25七年级上·安徽滁州·期中）若x为有理数，已知． （1）当时，A的值为 ．（2）A的最小值为 ． 例2（24-25七年级上·重庆·阶段练习）当取最小值时，的取值范围是 ，最小值为 ． 例3（24-25七年级上·海南儋州·期中）规定，，例如，，下列结论中，正确的是（    ） ①若，则；②若，则； ③能使成立的的值不存在；④式子的最小值是． A．①② B．①②④ C．①④ D．①②③④ 例4（23-24七年级上·福建厦门·期中）在数轴上，点A、点B分别表示数a．b．则线段的长表示为，例如：在数轴上点A表示5，点B表示2，则线段的长表示为．数轴上的任意一点P表示的数是x．且的最小值为7，若，则b的值为（   ） A．或5 B．或9 C．或9 D．5或9 例5（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是“数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离”．请你根据上述材料，尝试解决下列问题：若的最小值是，则为 ． 模型2.的最小值和最大值模型 例1（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．在学习绝对值时，我们知道：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．请根据所学内容并结合数轴解答下列问题： (1)若数x在数轴上对应点的位置如图所示，在数轴上画出表示与的点； (2)题（1）中 ； ； ；（用代数式表示） (3)改变数x在数轴上对应点的位置，结合数轴回答下列问题： ①若表示数x的点在表示与1的两点之间，则 ； ②若表示数x的点在表示﹣3的点的左边，则 ； (4)根据以上探究直接写出的最大值是 ． 例2（2024·福建·七年级校考期中）若代数式的最大值为a，最小值为b，则ab的值_________． 例3（2024·广西·七年级专题练习）我们知道，的几何意义是数轴上表示数a的点与原点的距离，一般地，点A，B在数轴上分别表示数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a-b|，请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题：（1）数轴上的数x与1所对应的点的距离为____，数x与-1所对应的点的距离为____； （2）求的最大值； （3）直接写出的最大值为______． 模型3.的最小值模型 例1（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何意义，如表示，在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示，在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离一般地，点，在数轴上分别表示有理数，，那么，之间的距离可表示为． (1)点，，在数轴上分别表示有理数，，，那么到的距离与到的距离之和可表示为______（用含绝对值的式子表示）； (2)利用数轴探究：①的最小值是______；②求的最小值以及此时的值． 例2（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段练习）【阅读材料】若点在数轴上分别表示有理数两点之间的距离表示为，则，即表示为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）点表示的数分别为，则_______； （2）若，则_______；，则_______ 【应用】（3））已知a为常数，若存在最小值8，求a的值； （4）由以上的探索猜想，是否有最小值？如果有，求出最小值，并写出此时a的值；如果没有，说明理由． 例3（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）我们知道，可以理解为， 它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题：(1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离是_______； (2)数轴上点A用数a表示，若，那么a的值为_______； (3)数轴上点A用数a表示，探究以下几个问题： ①满足的整数a有______个；有最小值，则最小值是：_____； ②求的最小值； 例4（23-24七年级上·湖北黄石·阶段练习）在数学问题中，我们常用几何方法解决代数问题，借助数形结合的方法使复杂问题简单化． 材料一：我们知道的几何意义是：数轴上表示数a的点到原点的距离；的几何意义是：数轴上表示数a，b的两点之间的距离；的几何意义是：数轴上表示数a，的两点之间的距离；根据绝对值的几何意义，我们可以求出以下方程的解． （1） 解：由绝对值的几何意义知：在数轴上x表示的点到3的距离等于4，∴，； （2） 解：∵， ∴其绝对值的几何意义为：在数轴上x表示的点到的距离等于5． ∴，． 材料二：如何求的最小值． 由的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数1和两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在和1之间（包括这两个端点）取值． ∴的最小值是3；由此可求解方程，把数轴上表示x的点记为点P，由绝对值的几何意义知：当时，恒有最小值3，所以要使成立，则点P必在的左边或1的右边，且到表示数或1的点的距离均为0.5个单位． 故方程的解为：，． 阅读以上材料，解决以下问题：（1）填空：的最小值为_______； （2）已知有理数x满足：，有理数y使得的值最小，求的值． （3）试找到符合条件的x，使的值最小，并求出此时的最小值及x的取值范围． 模型4.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 例1（24-25七年级上·重庆江津·期中）【用数学的眼光观察现实世界】若点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为，则．即表示5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【用数学的思维思考现实世界】(1)点A、B表示的数分别为，2，则________，在数轴上可以理解为表示数x的点与表示数________的点的距离． (2)①求的最小值，并写出此时x的值． ②当x满足什么条件时，取得最小值，最小值是多少？ (3)当x取何值时，取得最小值，最小值是多少？ 例2（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）如图，点O为数轴上的原点，点A、B在数轴上对应的数分别为a，b满足． (1)若动点P从点O出发，以1个单位长度/秒的速度沿数轴正方向匀速运动，同时动点Q从点B出发以v个单位长度/秒的速度沿数轴负方向匀速运动，经过8秒时，．求v的值． (2)若动点P从O点出发，以个单位长度/秒的速度沿数轴正方向匀速运动，同时动点Q从点B出发以同样速度沿数轴负方向匀速运动，当P点运动到线段上，分别取、的中点E、F，若是定值（其中m，n为常数），试求m与n的等量关系； (3)若x是数轴上的任意数，代数式的最小值为c，其在数轴上对应点记为点C，动点P从点O出发向点B以1个单位长度/秒的速度运动，动点Q从点B出发以3个单位长度/秒的速度向点O运动，动点M从点C出发以5个单位长度/秒的速度向点B运动，经过多少秒点M是的中点． 例3（24-25七年级上·上海·期中）求的最小值． 模型5.型或型最值模型 例1（24-25七年级上·福建泉州·阶段练习）若a是有理数，则的最小值是（   ） A．0 B．5 C．2 D．3 例2（23-24七年级上·河南洛阳·期中）当 时，有最大值是 ． 例3（24-25七年级上·四川南充·期中）已知的最大值为 ． 例4（23-24七年级上·北京西城·期中）当式子取最小值时， ． 模型6.绝对值最值模型的实际应用 例1（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合，研究数轴我们发现了很多重要的规律．如数轴上点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离表示为如图1，数轴上点A表示为点表示为2． (1)线段的长度是 ；(2)x表示任意一个有理数，利用数轴回答下列问题： 则 ，取最小值是 ，取最小值是 ； (3)如图2，一条笔直的高速公路边有四个村庄A、B、C、D和某乡镇O，四个村庄A、B、C、D分别位于某乡镇左侧，左侧，右侧，右侧．现需要在该公路边上建一个便民服务点P，那么这个便民服务点P建在何处，能使服务点P到四个村庄A、B、C、D总路程最短？最短路程是多少？试说明理由． 例2（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）阅读下列材料并解决问题： 我们知道：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离，所以式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题：（1）若，则______；     （2）当x满足条件：_______时，式子有最小值，最小值是______； 应用：某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A、B、C、D，它们顺次有快递车16辆，8辆，4辆，12辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数． 例3（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数5 的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： （1）式子在数轴上的几何意义是 ，若，则x的值为 ； （2）当取最小值时，x可以取整数 ；（3）当x= 时，的值最小，最小值为 ； 【解决问题】（4）如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人．现因防疫需要，需要在该公路上建一个核酸检测实验室P，用于接收这3个小区的全员核酸样本．若核酸样本的运输和包装成本为每千米1 元/千份，那么实验室P建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？ 模型7.绝对值相关运算与最值问题 例1（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）已知式子，则的最大值是 ． 例2（23-24七年级上·广东深圳·期中）【问题背景】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：数轴上A点、B点表示的数为a、b，则A，B两点之间的距离，若，则可化简为． （1）已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为，8，那么A、B两点的距离为 　　； 【问题探究】为求代数式的最小值，可以把看作数轴上的分别表示的数为x和的距离，看作数轴上的分别表示的数为x和3的距离，并进行以下讨论： 当x在和3中间时，；当x在-1左边时有，； 当x在3右边时也有；综上所述，代数式最小值为4； （2）的最小值为 　　； 【方法应用】：（3）已知，则　　； 【迁移应用】：（4）若m，n为整数，且m，n满足，则当　　，　　，的最大值为 　　． 模型8.绝对值最值中的新定义问题 例1（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数，则显示的结果，如依次输入1，2，则输出的结果是．此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．若将2，3，6这3个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是（   ）； A．1 B．3 C．5 D．7 例2（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）对于有理数，，，，若，则称和关于的“相对关系值”为，例如，，则2和3关于1的“相对关系值”为． (1)和3关于1的“相对关系值”为________； (2)若和2关于1的“相对关系值”为，求的值； (3)若和关于1的“相对关系值”为1，和关于2的“相对关系值”为1，和关于3的“相对关系值”为1，…，和关于的“相对关系值”为1． ①的最大值为________；②的值为________（用含的式子表示）． 例3（23-24七年级上·北京昌平·期末）对于数轴上不同的三个点M，N，P．若满足（），则称点P是点M关于点N的“隔序点”，其中“k是隔序系数”“b是隔序常数”．例如，如图，在数轴上，点M，N表示的数分别是，1，当“隔序常数”时，原点O是点M关于点N的“隔序点”，可知“隔序系数”，原点O也是点N关于点M的“隔序点”，可知“隔序系数”．在数轴上已知点A表示的数是，点B表示的数是3．    (1)若点C在线段上，点C是点A关于B的“隔序点”， 时，点C表示的数是 ； (2)若点C在数轴上，，点C是点B关于A“隔序点”，隔序常数，求k的值； (3)在A，B，C三点中，点C表示的数是m，点C是另一点关于第三个点的“隔序点”，若k和b满足，当k取最小值时，b最大值时，直接写出m的值． 1．（23-24七年级上·河南·阶段练习）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（    ） A．2023 B．4046 C．20 D．0 2．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）已知是一个有理数，则关于的值的说法，正确的是（    ） A．有最小值2 B．有最大值2 C．有最小值3 D．有最大值3 3．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）若、有理数，下列判断： ①总是正数；②总是正数；③的最小值为9；④的最大值是0.其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2024七年级上·江苏·专题练习）若、、均为整数，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（23-24七年级上·四川绵阳·期中）已知数a，b，c的大小关系如图，下列说法：①；②；③；④；⑤若x为数轴上任意一点，则的最小值为．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）若取最小值时，代数式的值是 ． 7．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）规定：，，例如：，，下列结论中，①能使成立的的值为2或；②若，则；③若，则；④式子的最小值是4．正确的是 ．（填序号） 8．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）若，则的最小值为 ． 9．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：点在数轴上分别对应的数为，，则两点间的距离表示为，根据以上知识解题： ①当代数式取最小值时，的取值范围是 ，最小值为 ． ②求的最小值为 ． 10．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）有一个四位数，它的个位上的数是a，十位上的数是b，百位上的数是c，千位上的数是d．且有，则式子的最大值是 ． 11．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果，那么 ．请你结合数轴与绝对值的知识求得的最小值为 ． 12．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示和1两点之间的距离是______；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．(2)如果，那么______；(3)若，，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点，则A、B两点间的最大距离是__________． (4)若数轴上表示数的点位于与4之间，则____________ (5)当______时，的值最小，最小值是____________． 13．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行变化应用： 应用一：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和6的两点之间的距离表示为__________；数轴上表示和的两点之间的距离表示为__________． (2)若表示一个有理数，则的最小值__________，满足条件的所有整数的和为__________． (3)请写出当__________时，有最小值为__________． (4)规律应用 工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件相应该放在工作__________处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是__________米． 14．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）数学实验室： 阅读下面材料，回答问题：已知点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为．数轴上、两点的距离，如数轴上表示和的两点之间的距离是5，利用上述结论，回答以下问题： (1)数轴上表示2和6的两点之间的距离是____，数轴上表示1和的两点之间的距离是_____； (2)若表示数和的两点之间的距离是5，那么________； (3)若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为________； (4)若x表示一个有理数，且，则有理数的取值范围________； (5)若未知数x，y满足，求代数式的最小值和最大值． 解：对于代数式，数轴上，当在和之间时，表示的点到与的距离和最小，最小值为7，同理，对于，数轴上，当在和之间时，到和的距离和最小，最小值为4， 又∵， ∴ x的取值范围是________；y的取值范围是________． ∴的最大值为________；的最小值为________． 15．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）【阅读】：表示7与3差的绝对值，也可理解为7与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离：可以看作，表示7与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】：（1）如果，那么 ；（2）有最小值 ；（3）有最大值 ； 【应用】：（4）的最小值为 ； （5）的最大值为 ． 16．（23-24七年级上·江苏南通·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：一般地，数轴上表示m和n的两点之间的距离为．(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离为______； (2)当______时，的值最小，最小值为______． (3)当a满足______时，的值最小，最小值为______． (4)已知：关于x的代数式的最小值为2，则a的值为______． 17．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了，把数轴分为三段：和，经研究发现，当时，值最小为”． 小明说：“利用数形结合思想可以解决这个问题，若点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，则在数轴上、两点之间的距离．” 请你根据他们的解题解决下面的问题： (1)当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______． (2)已知，求的最大值和最小值及相应的的取值范围，并写出解答过程． (3)求为何值时，式子有最小值，并求出此最小值． 18．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）同学们都知道：表示与-之差的绝对值，实际上也可理解为与-两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：    (1)数轴上表示与-的两点之间的距离可以表示为 ． (2)同样的道理，表示数轴上有理数所对应的点到-和所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是 ． (3)根据数轴，若的最小值是，请直接写出的值． (4)由以上探索猜想是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并求出所有符合条件的整数的和；如果没有，说明理由． 19．（23-24七年级上·四川成都·期末）已知有理数a，b满足，请回答下列问题： (1)请直接写出a，b的值： ， ； (2)数轴上a，b，x三个数所对应的点分别为A、B、X，且点X是数轴上的任意点，点A与点X之间的距离用表示，点B与点X之间的距离用表示，请计算当x分别为，0，2025时，代数式的值，并指出当的值最小时，点X在数轴上的位置； (3)如果在数轴连续的整数点上依次有n个机器人，且相邻两个机器人之间的距离都是1个单位，同时数轴上有一个快递包裹分发点智能机器人，它能根据机器人的数量自动决策出快递包裹分发点的位置，使得每个机器人去取快递包裹的距离之和最小，请直接用含n的代数式表示这个最小值． 20．（24-25七年级上·福建漳州·期中）阅读理解：我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离．举例：数轴上表示数和的两点和之间的距离是． 问题探究：参考阅读材料，解答下列问题．(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是______； (2)若数轴上表示数的点位于与5之间，求的值是______； (3)当取最小值时，相应的数的取值范围是______；(4)求的最小值是______． 实际应用：(5)问题：某一直线沿街一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，，，，，…，，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在______，才能使这2023户居民到点的距离总和最小．（填住户标记字母） 拓展提升：(6)若数满足，求的最小值为______． 21．（24-25七年级上·广西玉林·期中）阅读下列材料并解决问题： 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义．若在数抽上有理数对应的点为，有理数对应的点为，则A，B两点之间的距离可表示为或，记为．如式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题：(1)与3的距离是______；(2)式子的最小值是______； (3)应用：如图，某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A，B，C，D，它们依次有快递车15辆，9辆，5辆，11辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 绝对值中的八类最值模型 最值问题一直都是初中数学的最难点之一，但也是高分的必须突破点，而绝对值中的最值模型是初中学生第一次接触最值类问题，该类最值模型主要依据绝对值的几何意义或代数意义，考查分类讨论和数形结合的数学思想。需要牢记绝对值中的最值情况规律，解题时能达到事半功倍的效果。本专题就绝对值中的八类最值模型进行梳理及对应试题分析，方便大家掌握。 1 模型来源 2 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 4 模型1.的最小值模型 4 模型2.的最小值和最大值模型 6 模型3.的最小值模型 8 模型4.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 12 模型5.型或型最值模型 15 模型6.绝对值最值模型的实际应用 15 模型7.绝对值相关运算与最值问题 19 模型8.绝对值最值中的新定义问题 20 24 绝对值最值问题的历史发展脉络源于几何直观与代数研究的结合，其核心理论随数学分析的发展逐步完善。绝对值的概念源于物理学中的距离概念，表示一个数到原点的距离。在数学中，绝对值用于表示一个数到数轴原点的距离，因此绝对值总是非负的。这一性质使得绝对值在数学分析中有着广泛的应用，特别是在处理不等式和最值问题时显得尤为重要。在解决含绝对值的代数式最值问题时，可以利用绝对值的几何意义或零点分段法，整体来说绝对值的几何意义较为简单适用。 （2025·山东青岛·校考一模）【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值． 我们先看表示的点可能的3种情况，如图所示： 如图①，在1的左边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1． 如图②，在1，2之间（包括在1，2上），可以看出到1和2的距离之和等于1． 如图③，在2的右边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1.因此，我们可以得出结论：当在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】(1)的几何意义是 ，请你结合数轴研究：的最小值是 ； (2)请你结合图④探究的最小值是 ，由此可以得出a为 ； (3)的最小值是 ；(4)的最小值为 。 【答案】(1)a在数轴上对应的点到4和7两个点的距离之和；3；(2)2；2；(3)6；(4)1025156。 【详解】（1）由题可知，的几何意义是a这个数在数轴上对应点到4和7两个点的距离之和 当a在4和7之间时（包括4，7上），a到4和7的距离之和等于3，此时取得最小值是3 故答案为：a在数轴上对应的点到3和6两个点的距离之和；3 （2）当a取中间数2时，绝对值最小；的最小值是1＋0＋1＝2故答案为：2；2 （3）当a取最中间数时，绝对值最小；的最小值是 ； （4）当a取中间数1013时，绝对值最小， 的最小值为： 故答案为：1025156. （2024·四川成都·三模）函数的最小值为3，则a的值为 ． 【答案】或 【详解】解：∵ ∴根据绝对值的意义，是指到和到的距离之和 ∵函数的最小值为3，∴此时在和的之间，且是和的之间的距离为3 即∴∴或故答案为：或． 知识储备：①绝对值具有非负性，即； ②绝对值的几何意义：表示数轴上的有理数a所对应的点到原点的距离； 表示数轴上的有理数x所对应的点到有理数a所对应的点的距离。‌ 1.求的最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值。 结论：根据绝对值的几何意义知：在时，取得最小值为。 另解：也可用绝对值的代数意义（即分类讨论思想）完成绝对值的最值问题。 2.求的最大值或最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的取最大值或最小值： 结论：在时，取得最小值为；在时，取得最大值。（几何意义） 3.的最小值模型 结论：找到上述式子中的‬零点，按从小到大‬排序（不妨假设）‬，借助数轴容易得到： ‬当n‬奇数‬时‬‬，则x取‬中间数（）‬时‬取得‬最小值‬； ‬当n‬‬偶数时‬，‬则‬x取‬中间‬段（）‬时‬取得‬最小值‬。 规律可总结为：“奇中点，偶中段”。 4.型或型最值模型 1）：当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 2）：当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 5.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 ①绝对值系数不为“1”：如：｜x-1｜+2｜x-2｜+3｜x-3｜+4｜x-4｜+5｜x-5｜ 解题步骤：第1步：将x平铺展开；第2步：找到每个式子的零点，分别为：1、2、2、3、3、3、4、4、4、4、5、5、5、5、5、5共15个零点；第3步：根据“奇中点，偶中段”，在第八个数时，即x=4时，有最小值，带入x=4，最小值为15。 ②x系数不为“1”：如：求｜2x-4｜+｜5x+5｜的最小值。 解题步骤：第1步：x的系数不为1，所以首先‬第一步‬想办法把x的系数化为1，采用提取公因数的方法（或乘法分配律的逆用）；即：｜2x-4｜+｜5x+5｜=｜2（x-2）｜+｜5（x+1）｜=2｜x-2｜+5｜x+1｜。 第2步：进入①中的三个步骤即可。这时，x的系数已经变成了1，我们就可以展开‬，然后‬利用“奇中点‬，偶中段”来求了‬。解‬得‬当x=-1时‬取得‬最小值，最小值‬为‬6。 另解：上述两类问题也可以采用绝对值的代数意义（根据零点分区讨论）求解。 模型1.的最小值模型 例1（24-25七年级上·安徽滁州·期中）若x为有理数，已知． （1）当时，A的值为 ．（2）A的最小值为 ． 【答案】 7 5 【详解】解：（1）当时，；故答案为：7； （2）当时，； 当时，； 当时，． ∴当时，A的值最小，最小值为5．故答案为：5 ． 例2（24-25七年级上·重庆·阶段练习）当取最小值时，的取值范围是 ，最小值为 ． 【答案】 【详解】解：当时，， ∴， ∵，∴，∴， 当时，，，∴， 当时，，∴， ∵，∴，∴的最小值为，取值范围是，故答案为：，． 例3（24-25七年级上·海南儋州·期中）规定，，例如，，下列结论中，正确的是（    ） ①若，则；②若，则； ③能使成立的的值不存在；④式子的最小值是． A．①② B．①②④ C．①④ D．①②③④ 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴当时，则：， ∴，∴；故①正确； 当时，则；故②错误； 当时，则：，解得：，故③错误； ， ∴当在和之间时，有最小值为：；故④正确；故选C． 例4（23-24七年级上·福建厦门·期中）在数轴上，点A、点B分别表示数a．b．则线段的长表示为，例如：在数轴上点A表示5，点B表示2，则线段的长表示为．数轴上的任意一点P表示的数是x．且的最小值为7，若，则b的值为（   ） A．或5 B．或9 C．或9 D．5或9 【答案】C 【详解】解：表示点P到点A的距离，表示点P到点B的距离， 当点P在点A、点B两点之间时，的值最小，∴， ∵，∴，∴或9．故选：C． 例5（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是“数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离”．请你根据上述材料，尝试解决下列问题：若的最小值是，则为 ． 【答案】或/8或 【详解】解：∵代数式的几何意义是“数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离”， ∴的几何意义是“数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离”与“数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离”之和为，如图所示， ∴当所对应的点在点左边时，，解得，； 当所对应的点在点右边时，，解得，；∴的值为或，故答案为：或． 模型2.的最小值和最大值模型 例1（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．在学习绝对值时，我们知道：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．请根据所学内容并结合数轴解答下列问题： (1)若数x在数轴上对应点的位置如图所示，在数轴上画出表示与的点； (2)题（1）中 ； ； ；（用代数式表示） (3)改变数x在数轴上对应点的位置，结合数轴回答下列问题： ①若表示数x的点在表示与1的两点之间，则 ； ②若表示数x的点在表示﹣3的点的左边，则 ； (4)根据以上探究直接写出的最大值是 ． 【答案】(1)见解析(2)，，(3)①；②4(4)4 【详解】（1）解：表示与的点如图所示： （2）∵，∴， ∴．故答案为：，，． （3）①∵，∴．故答案为：． ②∵，∴．故答案为：4． （4）根据以上探究，的最大值是4．故答案为：4． 例2（2024·福建·七年级校考期中）若代数式的最大值为a，最小值为b，则ab的值_________． 【答案】-25 【详解】法1：解：∵式子可看作是数轴上表示x的点到-3、2两点的距离之差， ∴当时，有最大值；当时，有最小值； ∵代数式的最大值为a，最小值为b，∴a=5，b=-5．∴ab=-25．故答案为：-25． 法2：解：当x≥2时，|x-2|-|x+3|=x-2-x-3=-5； 当-3＜x＜2时，|x-2|-|x+3|=-（x-2）-（x+3）=-2x-1； 当x≤-3时，|x-2|-|x+3|=-（x-2）+（x+3）=5． ∵代数式的最大值为a，最小值为b，∴a=5，b=-5．∴ab=-25．故答案为：-25． 例3（2024·广西·七年级专题练习）我们知道，的几何意义是数轴上表示数a的点与原点的距离，一般地，点A，B在数轴上分别表示数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a-b|，请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题：（1）数轴上的数x与1所对应的点的距离为____，数x与-1所对应的点的距离为____； （2）求的最大值； （3）直接写出的最大值为______． 【答案】（1）|x-1|，|x+1|；（2）2；（3）20 【详解】（1）由题意得到：数轴上的数x与1所对应的点的距离为， 数x与-1所对应的点的距离为，故答案为：， ； （2）表示x到1之间的距离，表示x到-1之间的距离， ①当x≤-1时，=1-x，=-1-x，∴=（-1-x）-（1-x）=-2； ②当-1≤x≤1时，=1-x，=x+1，∴=（x+1）-（1-x）=2x≤2； ③当x≥1时，=x-1，=x+1，∴=（x+1）-（x-1）=2，∴的最大值为2 （3）由（2）知：的最大值为2，由此可得： 的最大值为4， 的最大值是6，的最大值是8， ∴的最大值是2+4+6+8=20 模型3.的最小值模型 例1（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何意义，如表示，在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示，在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离一般地，点，在数轴上分别表示有理数，，那么，之间的距离可表示为． (1)点，，在数轴上分别表示有理数，，，那么到的距离与到的距离之和可表示为______（用含绝对值的式子表示）； (2)利用数轴探究：①的最小值是______；②求的最小值以及此时的值． 【答案】(1)(2)①；②最小值为， 【详解】（1）解：，， 点到点的距离与点到点的距离之和为，故答案为：； （2）①到数轴上两个点距离之和最小的点取在这两点之间，最小距离即是这两个点的距离， 的最小值是，故答案为：； ②到数轴上三个点距离之和最小的点即是中间那个点，最小值是左右两边二点之间的距离， 在时取最小值，最小值为． 例2（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段练习）【阅读材料】若点在数轴上分别表示有理数两点之间的距离表示为，则，即表示为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）点表示的数分别为，则_______； （2）若，则_______；，则_______ 【应用】（3））已知a为常数，若存在最小值8，求a的值； （4）由以上的探索猜想，是否有最小值？如果有，求出最小值，并写出此时a的值；如果没有，说明理由． 【答案】（1）9；（2）或；或；（3）或；（4）当时，有最小值，最小值为2500 【详解】解：（1），故答案为：9； （2）∴x到的距离为3，∴，， ∵，∴x到和x到5的距离和为10， 当时，，解得； 当时，，不符合题意； 当时，，解得 故答案为：或；或； （3）表示数轴上表示数x的点与1的距离，与的距离，与a的距离的和， ∵存在最小值8，∴， ①若，则当时，存在最小值8， ∴，解得（舍去）或； ②若，则当时，存在最小值8， ∴，无解，舍去； ③若，则当时，存在最小值8， ∴，解得（舍去）或； 综上，a的值为6或； （4）∵表示数轴上表示a的点与1，与2，与3，，与100的距离和，当时，有最小值为， 当时，有最小值为， 当时，有最小值为；， 当时，有最小值为， ∴当时，有最小值， 最小值为 例3（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）我们知道，可以理解为， 它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离是_______； (2)数轴上点A用数a表示，若，那么a的值为_______； (3)数轴上点A用数a表示，探究以下几个问题： ①满足的整数a有______个；有最小值，则最小值是：_____； ②求的最小值； 【答案】(1)(2)或(3)①，；② 【详解】（1）解：数的点和表示数3的点之间的距离是，故答案为：8． （2）解：∵，∴或，故答案为：或5． （3）解：①∵当时，，∴符合题意的整数有共有6个， ∵当时，取得最小值，此时； ②根据可得，中间的一个式子是， 故当时，取得最小值．且最小值为，计算得结果为，故最小值为． 例4（23-24七年级上·湖北黄石·阶段练习）在数学问题中，我们常用几何方法解决代数问题，借助数形结合的方法使复杂问题简单化． 材料一：我们知道的几何意义是：数轴上表示数a的点到原点的距离；的几何意义是：数轴上表示数a，b的两点之间的距离；的几何意义是：数轴上表示数a，的两点之间的距离；根据绝对值的几何意义，我们可以求出以下方程的解． （1） 解：由绝对值的几何意义知：在数轴上x表示的点到3的距离等于4，∴，； （2） 解：∵， ∴其绝对值的几何意义为：在数轴上x表示的点到的距离等于5． ∴，． 材料二：如何求的最小值． 由的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数1和两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在和1之间（包括这两个端点）取值． ∴的最小值是3；由此可求解方程，把数轴上表示x的点记为点P，由绝对值的几何意义知：当时，恒有最小值3，所以要使成立，则点P必在的左边或1的右边，且到表示数或1的点的距离均为0.5个单位． 故方程的解为：，． 阅读以上材料，解决以下问题：（1）填空：的最小值为_______； （2）已知有理数x满足：，有理数y使得的值最小，求的值． （3）试找到符合条件的x，使的值最小，并求出此时的最小值及x的取值范围． 【答案】（1）5（2）或9（3）当n是奇数，时，的最小值为；当n是偶数， 时，最的小值为 【详解】解：（1）由阅读材料二可得：的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数3和两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在和3之间（包括这两个端点）取值，即． ∴的最小值为5； （2）∵的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数10和两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在和10之间（包括这两个端点）取值，即． ∴的最小值为13， 又∵，∴或， ∵表示数轴上表示y到，3，6之间的距离和最小， ∴当时，有最小值7，∴或； （3）的值最小，表示数轴上点x到1，2，3，…，n之间的距离和最小， 当n是奇数时，中间的点为，所以当时， ； ∴当n是奇数，时，的最小值为． 当n是偶数时，中间的两个点相同为， 所以当时，． ∴当n是偶数， 时，最的小值为． 模型4.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 例1（24-25七年级上·重庆江津·期中）【用数学的眼光观察现实世界】若点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为，则．即表示5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【用数学的思维思考现实世界】(1)点A、B表示的数分别为，2，则________，在数轴上可以理解为表示数x的点与表示数________的点的距离． (2)①求的最小值，并写出此时x的值． ②当x满足什么条件时，取得最小值，最小值是多少？ (3)当x取何值时，取得最小值，最小值是多少？ 【答案】(1)， (2)①当时，取得最小值7；②当时，取得最小值9； (3)14 【详解】（1）解：，在数轴上可以理解为表示数x的点与表示数的点的距离； 故答案为：，； （2）解：①表示到的距离与到2的距离以及到3的距离之和， 所以当时，的值最小为； ②∵表示到的距离与到3的距离之和， ∴当时，的值最小为； （3）解：∵表示到的距离3倍的与到5的距离的2倍之和， ∴x越接近，的值越小， ∴当时，的值最小为． 例2（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）如图，点O为数轴上的原点，点A、B在数轴上对应的数分别为a，b满足． (1)若动点P从点O出发，以1个单位长度/秒的速度沿数轴正方向匀速运动，同时动点Q从点B出发以v个单位长度/秒的速度沿数轴负方向匀速运动，经过8秒时，．求v的值． (2)若动点P从O点出发，以个单位长度/秒的速度沿数轴正方向匀速运动，同时动点Q从点B出发以同样速度沿数轴负方向匀速运动，当P点运动到线段上，分别取、的中点E、F，若是定值（其中m，n为常数），试求m与n的等量关系； (3)若x是数轴上的任意数，代数式的最小值为c，其在数轴上对应点记为点C，动点P从点O出发向点B以1个单位长度/秒的速度运动，动点Q从点B出发以3个单位长度/秒的速度向点O运动，动点M从点C出发以5个单位长度/秒的速度向点B运动，经过多少秒点M是的中点． 【答案】(1)或6(2)(3) 【详解】（1）解：∵，∴，，解得：，， ∴A为10，B为40由题意可得：当时，P为，Q为， ∵，∴，即，解得或6． （2）解：由题意可得：、的中点E、F，，A为10， ∴P为，E为， Q为，F为，则，， ∴，设，∴， ∵k为定值，∴且，∴，综上，． （3）解：∵ 而， ∴总共25个零点，25为奇数，则在第13个零点取最小，此时．∴， ∵P为t，Q为，M为，而为的中点，∴，解得：； 例3（24-25七年级上·上海·期中）求的最小值． 【答案】 【详解】解：∵， ∴表示x到1的距离，2倍x到的距离，3倍x到的距离，，99倍x到的距离之和，∵（偶数）， ∴当为第2475、2476项所对应的数时，有最小值． 经计算：且，∴当取得最小值， 原式 ． 模型5.型或型最值模型 例1（24-25七年级上·福建泉州·阶段练习）若a是有理数，则的最小值是（   ） A．0 B．5 C．2 D．3 【答案】B 【详解】解：∵，∴ ，∴的最小值是5，故选：B． 例2（23-24七年级上·河南洛阳·期中）当 时，有最大值是 ． 【答案】 1 【详解】解：∵时最小，∴此时，则有最大值是．故答案为：1，． 例3（24-25七年级上·四川南充·期中）已知的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴∴， ∴的最大值为：；故答案为：． 例4（23-24七年级上·北京西城·期中）当式子取最小值时， ． 【答案】81 【详解】解：，，当式子取最小值时，， 解得，则，故答案为：81． 模型6.绝对值最值模型的实际应用 例1（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合，研究数轴我们发现了很多重要的规律．如数轴上点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离表示为如图1，数轴上点A表示为点表示为2． (1)线段的长度是 ；(2)x表示任意一个有理数，利用数轴回答下列问题： 则 ，取最小值是 ，取最小值是 ； (3)如图2，一条笔直的高速公路边有四个村庄A、B、C、D和某乡镇O，四个村庄A、B、C、D分别位于某乡镇左侧，左侧，右侧，右侧．现需要在该公路边上建一个便民服务点P，那么这个便民服务点P建在何处，能使服务点P到四个村庄A、B、C、D总路程最短？最短路程是多少？试说明理由． 【答案】(1)5(2)或3；5；5(3)便民服务点建在之间（包括点和点，能使到四个村庄、、、总路程最短，最短距离是14．理由见解析 【详解】（1）由题意知，，故答案为：5； （2）由题意知，当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，无解；或3； 由绝对值的意义可知，当时，取最小值5， 当时，取最小值是5，故答案为：或3；5；5； （3）便民服务点建在之间（包括点和点，能使到四个村庄、、、总路程最短，最短距离是14千米，理由如下：记点表示的有理数为0，则、、、表示的有理数分别为，，，，设便民服务点在数轴上表示的点处， 由题意可得便民服务点到四点的距离之和为：， 由绝对值的意义可知，当表示的点在表示和2的点的线段上时有最小值， 此时， 答：便民服务点建在之间（包括点和点，能使到四个村庄、、、总路程最短，最短距离是14． 例2（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）阅读下列材料并解决问题： 我们知道：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离，所以式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题：（1）若，则______；     （2）当x满足条件：_______时，式子有最小值，最小值是______； 应用：某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A、B、C、D，它们顺次有快递车16辆，8辆，4辆，12辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数． 【答案】（1）；（2），；（3）共有 5 种调配方案，辆． 【详解】解:（1）表示在数轴上x到和的距离相等，∴，故答案为： （2）∵线段上的点到线段的两端点的距离最小， ∴当时，式子有最小值，最小值是，故答案为：， 应用：根据题意，（辆），（辆），即共有40辆车，每个公司10辆， 共有 5 种调配方案，如下图所示： 由上可知，方案一的调出的车辆数为 辆． 方案二的调出的车辆数为 辆．方案三的调出的车辆数为 辆． 方案四的调出的车辆数为辆．方案五的调出的车辆数为 辆． ∴调出的最小车辆数为：辆． 例3（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数5 的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： （1）式子在数轴上的几何意义是 ，若，则x的值为 ； （2）当取最小值时，x可以取整数 ；（3）当x= 时，的值最小，最小值为 ； 【解决问题】（4）如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人．现因防疫需要，需要在该公路上建一个核酸检测实验室P，用于接收这3个小区的全员核酸样本．若核酸样本的运输和包装成本为每千米1 元/千份，那么实验室P建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？ 【答案】（1）数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离，或0；（2），，，0，1，2；（3），8；（4）实验室P建在点B处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是12元． 【详解】解：（1）由题意可知，式子在数轴上的几何意义是：数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离；表示数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离等于3，由数轴可知为：或0，故答案为：数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离，或0； （2）表示：数轴上表示有理数x的点到表示有理数的点的距离，与表示有理数x的点到表示有理数2的点的距离之和，所以x应该在表示有理数与2的点之两点间的线段上， 所以x可以取整数，，，0，1，2；故答案为，，，0，1，2； （3）表示数轴上x到、x到与x到2的距离之和，所以x应该在与2之间的线段上，且当时，x到、x到与x到2的距离之和最小， 最小值为到2的距离为8；故答案为：，8； （4）解：设市民广场O原点，建立数轴，实验室P所对应的数为x， A、B、C在数轴上分别表示，，1，3， 运输距离为：，其几何意义是数轴上表示有理数x的点分别与表示有理数的点、与表示有理数1的点和与表示有理数3的点之间的距离的和， 由（2）得，在之间才能取最小值， ∵A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人． ∴当时，取得最小值， 核酸样本的运输和包装成本为每千米1 元/千份， 所以x在1时最小，最小值为， ∴此时最低成本12元，实验室P建在点B，才能使总运输和包装成本最低，最低成本是12元． 模型7.绝对值相关运算与最值问题 例1（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）已知式子，则的最大值是 ． 【答案】8 【详解】解：由题意得：原式可化成：， 表示数轴上表示x的点与表示和2的点的距离和， 当时，有最小值3， 表示数轴上表示y的点与表示和4的点的距离和， 当时，有最小值7， ∵，∴，， ∴的最大值是，故答案为：8． 例2（23-24七年级上·广东深圳·期中）【问题背景】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：数轴上A点、B点表示的数为a、b，则A，B两点之间的距离，若，则可化简为． （1）已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为，8，那么A、B两点的距离为 　　； 【问题探究】为求代数式的最小值，可以把看作数轴上的分别表示的数为x和的距离，看作数轴上的分别表示的数为x和3的距离，并进行以下讨论： 当x在和3中间时，；当x在-1左边时有，； 当x在3右边时也有；综上所述，代数式最小值为4； （2）的最小值为 　　； 【方法应用】：（3）已知，则　　； 【迁移应用】：（4）若m，n为整数，且m，n满足，则当　　，　　，的最大值为 　　． 【答案】（1）18；（2）5；（3）5或；（4）、0、1、2；、、、0、1； 3 【详解】解：（1），故答案为：18； （2）当x在和3之间时，有最小值，为：，故答案为：5； （3）当时，方程化为：，解得：， 当时，方程化为：，解得：， 当时，方程化为：，无解，故答案为：5或； （4）根据题意，得，， ∵m，n为整数，∴、为整数， ∵，∴，， ∴m的值为：-、0、1、2；，n的值为：、、、0、1，∴的最大值为：3， 故答案为：、0、1、2；、、、0、1； 3． 模型8.绝对值最值中的新定义问题 例1（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数，则显示的结果，如依次输入1，2，则输出的结果是．此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．若将2，3，6这3个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是（   ）； A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【详解】解：根据题意，依次输入2，3，6，则； 依次输入2，6，3，则；依次输入3，2，6，则； 依次输入3，6，2，则；依次输入6，3，2，则； 依次输入6，2，3，则； 综上，全部输入完毕后显示的结果的最大值是5．故选：C． 例2（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）对于有理数，，，，若，则称和关于的“相对关系值”为，例如，，则2和3关于1的“相对关系值”为． (1)和3关于1的“相对关系值”为________； (2)若和2关于1的“相对关系值”为，求的值； (3)若和关于1的“相对关系值”为1，和关于2的“相对关系值”为1，和关于3的“相对关系值”为1，…，和关于的“相对关系值”为1． ①的最大值为________；②的值为________（用含的式子表示）． 【答案】(1)(2)或(3)①；②或或或 【详解】（1）解：， ∴和3关于1的“相对关系值”为，故答案为： （2）解：和关于的“相对关系值”为，， 当时，则，解得； 当时，则，解得；综上所述，的值为或； （3）解：①和关于的“相对关系值”为，； 分四种情况：当，时，，则； 当，时，，则，得到； 当，时，，则，得到； 当，时，，则，由此可知的最大值为；故答案为： ②分五种情况，当时，，解得， 由可得，，可得，； 当时，，，此种情形不存在； 当时，，，，；； 当时，，，，， ，，，，，即， ，即，同理可得：，，， ，，，，， ； 当，时，由可得， 即，此种情形不存在； 当，时，可得，，，，， ，，，，， ； 综上，的值为或或或； 故答案为：或或或 例3（23-24七年级上·北京昌平·期末）对于数轴上不同的三个点M，N，P．若满足（），则称点P是点M关于点N的“隔序点”，其中“k是隔序系数”“b是隔序常数”．例如，如图，在数轴上，点M，N表示的数分别是，1，当“隔序常数”时，原点O是点M关于点N的“隔序点”，可知“隔序系数”，原点O也是点N关于点M的“隔序点”，可知“隔序系数”．在数轴上已知点A表示的数是，点B表示的数是3．    (1)若点C在线段上，点C是点A关于B的“隔序点”， 时，点C表示的数是 ； (2)若点C在数轴上，，点C是点B关于A“隔序点”，隔序常数，求k的值； (3)在A，B，C三点中，点C表示的数是m，点C是另一点关于第三个点的“隔序点”，若k和b满足，当k取最小值时，b最大值时，直接写出m的值． 【答案】(1)1(2)或(3)7或或或 【详解】（1）解：设点C表示的数是， ∵点A表示的数是，点B表示的数是3，点C在线段上，∴， ∵点C是点A关于B的“隔序点”，且 ，∴，∴，解得， ∴点C表示的数是1，故答案为：1． （2）设点C表示的数是，∵，∴或， 当时，∴， ∵点C是点B关于A“隔序点”，隔序常数，∴，∴，解得； 当时，∴， ∵点C是点B关于A“隔序点”，隔序常数， ∴，∴，解得；综上所述，或． （3）设点C表示的数是m，则，∵k和b满足， 又：表示数轴上表示点的数到表示点的数的距离，以及到表示点3的数的距离之和， ∴当时，有最小值为，∴当k取最小值时，b最大值时，此时：， 当点C是点B关于A“隔序点”时，，，∴，解得：或； 当点C是点A关于B“隔序点”时，，，∴，解得：或； 综上所述m的值为7或或或． 1．（23-24七年级上·河南·阶段练习）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（    ） A．2023 B．4046 C．20 D．0 【答案】A 【详解】解：∵绝对值具有非负性∴， ∵有最大值，∴当时，式子有最大值，此时的值是2023，故A正确．故选：A. 2．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）已知是一个有理数，则关于的值的说法，正确的是（    ） A．有最小值2 B．有最大值2 C．有最小值3 D．有最大值3 【答案】D 【详解】解：∵，∴，∴，∴有最大值3，故选：D． 3．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）若、有理数，下列判断： ①总是正数；②总是正数；③的最小值为9；④的最大值是0.其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】① 总是非负数；故①错误；②总是正数，正确； ③的最小值为9，正确；④的最大值是1，故④错误；正确的是②③，共2个 故选B 4．（2024七年级上·江苏·专题练习）若、、均为整数，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：，，均为整数，且，，或，， ①当，时，，，； ②当，时，，； 综上，的值为2．故选：B． 5．（23-24七年级上·四川绵阳·期中）已知数a，b，c的大小关系如图，下列说法：①；②；③；④；⑤若x为数轴上任意一点，则的最小值为．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：由数轴得：，，所以：①，结论正确； ②，原结论错误；③，原结论错误； ④，原结论错误； ⑤∵的几何意义为表示x的点到表示数a、b、c的点的距离之和， ∴其最小值为表示数b、c的两点之间的距离，即，结论正确； 综上，正确结论的个数是2个，故选：B． 6．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）若取最小值时，代数式的值是 ． 【答案】3 【详解】解：∵当取最小值时，∴，则． 故答案为：3． 7．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）规定：，，例如：，，下列结论中，①能使成立的的值为2或；②若，则；③若，则；④式子的最小值是4．正确的是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【详解】解：∵，∴或，解得：或，故①正确； ∵，，，∴，， ∴，故②正确； ∵，∴+=0，∴且，解得：，， ∴，故③不正确； ∵， ∴表示数轴上表示x的点到表示和表示的点的距离的和， ∵时，数轴上表示x的点到表示和表示的点的距离的和最小， ∴的最小值为，故④正确， 综上所述：正确的结论有①②④，故答案为：①②④． 8．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）若，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：由绝对值的几何意义得的最小值为3，的最小值为3，的最小值为6，∵， ∴，，，∴， ∴当时，，答案：． 9．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：点在数轴上分别对应的数为，，则两点间的距离表示为，根据以上知识解题： ①当代数式取最小值时，的取值范围是 ，最小值为 ． ②求的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：①由题意得，表示的是数轴上表示数x的点到表示数1和数的点的距离之和， 设点A，点B，点C表示的数分别为，，x，则， 当点C在点A左侧时， ； 当点C在点A和点B之间时（包括A和B），则； 当点C在点B右侧时，则； 综上所述，当点C在点A和点B之间时（包括A和B），有最小值，最小值为的长； ∴当时，取最小值，最小值为，故答案为：；； ②同①可知当时，有最小值， 当时，有最小值，当时，有最小值，……， 当时，有最小值， 综上所述，当时，，，，…，能同时取得最小值，即当时，有最小值，最小值为，故答案为：． 10．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）有一个四位数，它的个位上的数是a，十位上的数是b，百位上的数是c，千位上的数是d．且有，则式子的最大值是 ． 【答案】 【详解】解：∵，且， ∴， ∴当，时，式子取最大值为，故答案为：． 11．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果，那么 ．请你结合数轴与绝对值的知识求得的最小值为 ． 【答案】 或 【详解】解：∵，∴，∴或， ∵， ∴式子表示到的距离与到的距离与到的距离的倍的和， 可知，当在的位置时，距离之和最小，最小值为， 故答案为：或，． 12．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示和1两点之间的距离是______；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．(2)如果，那么______；(3)若，，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点，则A、B两点间的最大距离是__________． (4)若数轴上表示数的点位于与4之间，则____________ (5)当______时，的值最小，最小值是____________． 【答案】(1)3；(2)或；(3)14；(4)；(5)2，7． 【详解】（1）解：由数轴得：表示和两点之间的距离是：； ∴数轴上表示和1两点之间的距离是3；故答案： ； （2）解：∵，∴，∴或，∴或，故答案：或． （3）解：由，，得，，， 所以表示与的距离为，与的距离为，所以或，或， 当，时，则A、B两点间的最大距离是，故答案：． （4）解： 所以表示与的距离加上与的距离的和， 因为表示数的点位于与4之间，所以，故答案：． （5）解：， 所以表示与、、的距离之和， ①当时，  ； ②当时，  ； ③当时，   ④当时，； 综上所述：当时，的值最小，最小值为7．故答案：2，7． 13．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行变化应用： 应用一：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和6的两点之间的距离表示为__________；数轴上表示和的两点之间的距离表示为__________． (2)若表示一个有理数，则的最小值__________，满足条件的所有整数的和为__________． (3)请写出当__________时，有最小值为__________． (4)规律应用 工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件相应该放在工作__________处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是__________米． 【答案】(1)；(2)5，(3)，8(4)E，40 【详解】（1）解：数轴上表示和6的两点之间的距离表示为； 数轴上表示和的两点之间的距离表示为，故答案为：； （2）解：当时，取最小值，其最小值为：， 满足条件的整数x的和为故答案为：5，； （3）解：表示数轴上有理数x所对应的点到所对应的点的距离之和，∴当时，有最小值，最小值为8，故答案为：，8； （4）以E点为原点，2米为一个单位长度，A、B、C、D、E、F、G、H、I依次在数轴上排列， 则A点表示的数为，B点表示的数为，C点表示的数为，D点表示的数为，F点表示的数为2，G点表示的数为4，H点表示的数为6，I点表示数为8，设配件箱应该放在数轴上表示x的数的位置， 当有最小值时，工作台上的工作人员取配件所走的路程最短， ∴当时，有最小值40， ∴配件箱应该放在工作台E处，最短路程为40米，故答案为：E，40； 14．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）数学实验室： 阅读下面材料，回答问题：已知点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为．数轴上、两点的距离，如数轴上表示和的两点之间的距离是5，利用上述结论，回答以下问题： (1)数轴上表示2和6的两点之间的距离是____，数轴上表示1和的两点之间的距离是_____； (2)若表示数和的两点之间的距离是5，那么________； (3)若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为________； (4)若x表示一个有理数，且，则有理数的取值范围________； (5)若未知数x，y满足，求代数式的最小值和最大值． 解：对于代数式，数轴上，当在和之间时，表示的点到与的距离和最小，最小值为7，同理，对于，数轴上，当在和之间时，到和的距离和最小，最小值为4， 又∵， ∴ x的取值范围是________；y的取值范围是________． ∴的最大值为________；的最小值为________． 【答案】(1)4，5(2)或(3)9(4)或(5)，，， 【详解】（1）解：由题意得，，故答案：，； （2）解：由题意得，或，解得：或；故答案：或； （3）解：数的点位于与之间，，，， ；故答案：； （4）解：由题意得 当时，， ∵，，，即：， 当时， ， 当时，， ∵，，，即：， 有理数x的取值范围是或；故答案：或； （5）解：对于代数式，数轴上，当在和之间时，表示的点到与的距离和最小，最小值为7，同理，对于，数轴上，当在和之间时，到和的距离和最小，最小值为4，又， 的取值范围是；y的取值范围是． 的最大值为；的最小值为． 故答案：，，，． 15．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）【阅读】：表示7与3差的绝对值，也可理解为7与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离：可以看作，表示7与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】：（1）如果，那么 ；（2）有最小值 ；（3）有最大值 ； 【应用】：（4）的最小值为 ； （5）的最大值为 ． 【答案】（1）0或；（2）1；（2）1；（4）；（5）1012． 【详解】（1）解：，∴或，解得或，故答案为：0或． （2）的意义即数轴上点x与1，2的距离和， 当时，距离和为；当时，距离和为；当时，距离和为； 故对于任何有理数，有最小值， 当时，即点x在1和2之间（包含1和2）时，最小值为1． （3）的意义即数轴上点x与1，2的距离差； 当时，；当时， ；当时， ； 故对于任何有理数，有最大值， 当时，即点x在2上或右边时，最大值为1． （4）表示数轴上点与1，2，……2024的距离和， 由（2）可知：当时，有最小值； 此时： =； （5）表示x到1的距离与x到2的距离的差、x到3距离与x到4距离的差 …x到2023距离与x到2024距离的差的和， 由（3）可知：当x在最大数右边（或最大数上）时有最大值； 即：时， ． 16．（23-24七年级上·江苏南通·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：一般地，数轴上表示m和n的两点之间的距离为． (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离为______； (2)当______时，的值最小，最小值为______． (3)当a满足______时，的值最小，最小值为______． (4)已知：关于x的代数式的最小值为2，则a的值为______． 【答案】(1)3(2)1；9(3)；24(4)3或 【详解】（1）解：数轴上表示4和1的两点之间的距离为：；故答案为：3； （2）解：∵表示数轴上表示a的点到的距离，到1的距离，到4的距离之和， ∴当时，的值最小，且最小值为：；故答案为：1；9． （3）解：当时，， ∵，∴此时； 当时，， ∴此时的值为24； 当时，， ∵，∴此时； 当时，， ∵，∴此时；∴当时，的值最小，且最小值为24； 故答案为：；24． （4）解：∵表示在数轴上表示x的点到1的距离与到表示a的点的距离之和， ∴当表示x的点在1和表示a的点之间时，的值最小，且最小值为， ∴，解得：或．故答案为：3或． 17．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了，把数轴分为三段：和，经研究发现，当时，值最小为”． 小明说：“利用数形结合思想可以解决这个问题，若点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，则在数轴上、两点之间的距离．” 请你根据他们的解题解决下面的问题： (1)当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______． (2)已知，求的最大值和最小值及相应的的取值范围，并写出解答过程． (3)求为何值时，式子有最小值，并求出此最小值． 【答案】(1)，(2)当最大值为；当最小值为(3)，最小值为 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴式子取最小值时，相应的的取值范围是，最小值是． 故答案为；． （2）解：当时，； 当时，此时； 当时，； ∴当最大值为；当最小值为； （3）解：， 表示在数轴上的对应点与、、、……、所对应点的距离之和， 当时，有最小值，最小值为 ． 18．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）同学们都知道：表示与-之差的绝对值，实际上也可理解为与-两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：    (1)数轴上表示与-的两点之间的距离可以表示为 ． (2)同样的道理，表示数轴上有理数所对应的点到-和所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是 ． (3)根据数轴，若的最小值是，请直接写出的值． (4)由以上探索猜想是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并求出所有符合条件的整数的和；如果没有，说明理由． 【答案】(1)(2)，，，(3)或(4)有，最小值为，和为 【详解】（1）数轴上表示与的两点之间的距离可以表示为，故答案为； （2）表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，， 为到之间的整数，这样的整数有、、、，故答案为、、、； （3）∵的最小值是，即表示到的和为 由于与之间的距离为，小于最小值，则或； ①当时，即，则在到之间时，最小值为 ∴∴ ②当时，即，∴ 综上所述，或 （4）有最小值，理由是|理解为：在数轴上表示到、、和的距离之和，∴当在和之间时，取得最小值， ∴最小值为∴符合条件的整数为 ∴所有符合条件的整数的和为 19．（23-24七年级上·四川成都·期末）已知有理数a，b满足，请回答下列问题： (1)请直接写出a，b的值： ， ； (2)数轴上a，b，x三个数所对应的点分别为A、B、X，且点X是数轴上的任意点，点A与点X之间的距离用表示，点B与点X之间的距离用表示，请计算当x分别为，0，2025时，代数式的值，并指出当的值最小时，点X在数轴上的位置； (3)如果在数轴连续的整数点上依次有n个机器人，且相邻两个机器人之间的距离都是1个单位，同时数轴上有一个快递包裹分发点智能机器人，它能根据机器人的数量自动决策出快递包裹分发点的位置，使得每个机器人去取快递包裹的距离之和最小，请直接用含n的代数式表示这个最小值． 【答案】(1)，2024 (2)当时，值为4051；当时，值为4047；当时，值为4049，当的值最小时，点X在数轴上的线段上； (3)当n为奇数时，最小值为，当n为偶数时，最小值为 【详解】（1）解：∵，∴， ∴；故答案为：，2024； （2）∵， ∴当时，原式； 当时，原式； 当时，原式； ∴当的值最小时，点X在数轴上的线段上； （3）当为奇数时，分包机器人在最中间的机器人处时，每个机器人去取快递包裹的距离之和最小，为： ； 当为偶数时，分包机器人在中间两个机器人之间时，每个机器人去取快递包裹的距离之和最小，为：． 20．（24-25七年级上·福建漳州·期中）阅读理解：我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离．举例：数轴上表示数和的两点和之间的距离是． 问题探究：参考阅读材料，解答下列问题．(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是______； (2)若数轴上表示数的点位于与5之间，求的值是______； (3)当取最小值时，相应的数的取值范围是______；(4)求的最小值是______． 实际应用：(5)问题：某一直线沿街一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，，，，，…，，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在______，才能使这2023户居民到点的距离总和最小．（填住户标记字母） 拓展提升：(6)若数满足，求的最小值为______． 【答案】(1)3(2)8(3)(4)2(5)(6) 【详解】（1）解：数轴上表示2和5的两点之间的距离为：，故答案为：3； （2）解：数轴上表示数a的点位于与5之间，， ，故答案为：8； （3）解：表示数a到点1与2的距离之和， 当时，取最小值，故答案为：； （4）解：表示数a到点1、2、3的距离之和， 当时，取得最小值，最小值为：，故答案为：2； （5）解：点，，，，，…，中，最中间的点是， 故点P选在紧靠居民家，才能使这2023户居民到点P的距离总和最小，故答案为：； （6）解：表示数a到点1与3的距离之和，当时，取得最小值； 表示数b到点4与的距离之和， 当时，取得最小值，此时， ∵a的最小值为1，b的最小值为，的最小值为：，故答案为：． 21．（24-25七年级上·广西玉林·期中）阅读下列材料并解决问题： 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义．若在数抽上有理数对应的点为，有理数对应的点为，则A，B两点之间的距离可表示为或，记为．如式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题：(1)与3的距离是______；(2)式子的最小值是______； (3)应用：如图，某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A，B，C，D，它们依次有快递车15辆，9辆，5辆，11辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数． 【答案】(1)(2)(3)有5种方案调运车辆数最小，都为10辆． 【详解】（1）解：与3的距离是； （2）解：∵表示在数轴上数对应的点与数，对应的点的距离之和， ∴当数在与之间时，即时，最小， ∴当时，式子有最小值，最小值是， （3）解：根据题意，（辆），（辆），即共有40辆车，每个公司10辆， ∴调运方案如下： ∴有5种方案调运车辆数最小，都为10辆． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$