专题02 数轴中的九类动态模型（几何模型讲义）数学苏科版2024七年级上册

专题02 数轴中的九类动态模型 数轴中的动态问题属于（2024）苏科版七年级上册必考压轴题型，主要以数轴为载体，体现分类讨论和数形结合等思想，考查学生的分析与综合能力。解题时，一般遵循“点、线、式”三步策略。即：先根据题意中动点的出发位置，移动方向和速度，用含t的式子表示动点，然后根据题中要求提炼出线段，用动点的含t表达式表示线段，最后根据线段间的等量关系，列出式子，然后求解（要检验解是否符合动点的运动时间范围）。 2 模型来源 2 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 4 模型1.动态规律（左右跳跃）模型 4 模型2.动态中点与n等分点模型 6 模型3.单（多）动点匀速模型 8 模型4.单（多）动点变速模型 11 模型5.动点往返运动模型 14 模型6.动态定值（无参型）模型 17 模型7.动态定值（含参型）模型 20 模型8.数轴折叠（翻折）模型 23 模型9.数轴上的线段移动模型 26 32 数轴中的动态模型（如动点问题）的历史发展，本质上是数轴工具与运动数学思想结合的产物，其演变可分为三个阶段：工具创造‌（17世纪）→动态启蒙‌（19-20世纪）→教学定型‌（21世纪）。数轴动态模型是‌笛卡尔几何工具‌与‌运动数学思想‌在教育场景中的实践结晶，其发展映射了数学从抽象理论向应用建模的转化过程。 （2025·山东淄博·二模）在数轴上，点表示原点，现将点从点开始沿数轴按如下规律移动：第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，…，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是 个单位． 【答案】1013 【分析】根据前4个点的运动规律可得：第次移动到点，当n为奇数时，点表示的数是，当n为偶数时，点表示的数是，进而求解． 【详解】解：因为第一次点向左移动1个单位长度到达点，点表示的数是， 第二次将点向右移动2个单位长度到达点，点表示的数是1， 第三次将点向左移动3个单位长度到达点，点表示的数是， 第四次将点向右移动4个单位长度到达点，点表示的数是2，…， 所以第次移动到点，当n为奇数时，点表示的数是，当n为偶数时，点表示的数是， 所以当时，点表示的数是，与原点的距离是1013；故答案为：1013. （24-25七年级上·江苏泰州·期末）A，B，C三点在数轴上所表示的数为，，2，一根长为3个单位长度的木棒如图放置在数轴上（点P与点B重合），当木棒以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点M、N分别从A、C出发，分别以每秒1个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，记木棒运动后对应的位置为，M、N运动后对应的位置为、，若为常数，则 ． 【答案】 【详解】解：设运动时间为t，依题意得：所表示的数为，所表示的数为，所表示的数为，∴， 所表示的数为，所表示的数为，∴， ∴， 若为常数，则，解得：．故答案为． （24-25七年级上·湖南株洲·期中）【阅读材料】我们知道“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”，利用此规律，我们可以求数轴上两个点之间的距离，具体方法是：用右边的数减去左边的数的差就是表示这两个数的两点之间的距离．若点表示的数是，点表示的数是，点在点的右边（即），则点，之间的距离为（即）．例如：若点表示的数是，点表示的数是，则线段． 【理解应用】（1）已知在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，求线段的长； 【拓展应用】如图所示，点､､､在数轴上对应的数分别为､､､，其中是最大的负整数，､满足，且．（2） ； ； ； ． （3）若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点以每秒个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为秒，当､两点之间的距离为个单位长度时，求运动时间的值； 【答案】；；；；；秒或秒 【详解】解：，线段的长为； 是最大的负整数，， ､满足，，解得：，，， 又，；故答案为：；；；； 解：秒后点到达的位置是，点到达的位置是， 当､两点之间的距离为个单位长度时，可得：， 整理得：，解得：或， 答：当运动秒或秒时､两点之间的距离为个单位长度 ①若A、B两点在数轴上对应的数字是 a、b，则AB两点间的距离；AB中点对应的数字是：。 ②数轴动点问题主要步骤： 1）画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； 2）写点——写出所有点表示的数：常用含t的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“-”表示； 3）表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值； 4）列式求解——根据条件列方程或代数式，求值。 注意：要注意动点是否会来回往返运动，速度是否改变等。 ③分类讨论的思想： （1）数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，注意多种情况的分类讨论。 （2）对于两个动点P、Q，若点P、Q的左右位置关系不明确或有多种情况，可用p、q两数差的绝对值表示PQ 两点距离，从而避免复杂分类讨论。 模型1.动态规律（左右跳跃）模型 . 【解题技巧】‌运动规律性‌：动点按“左右交替”方向移动，步长呈现递增或周期性变化。 . ‌代数表达‌：动点位置需用含时间变量t的代数式表示。 . 例如，第n次移动后的位置可表示为：xn=xn−1±kn，其中k为步长基数，符号由移动方向决定。 . ‌分类讨论‌：根据移动次数、方向变化和步长规律进行分段分析，尤其注意动点是否跨越原点或特定临界点。 常见模型（1）：“1左1右”的等差数列式跳跃，两个一组根据规律计算即可； 常见模型（2）：“2左2右”的等差数列式跳跃，四个一组根据规律计算即可。 例1（24-25七年级上·辽宁丹东·期中）一个动点P从数轴上原点O出发开始移动，第1次向右移动1个单位长度到达点，第2次向右移动2个单位长度到达点，第3次向左移动3个单位长度到达点，第4次向左移动4个单位长度到达点，第5次向右移动5个单位长度到达点，…，点P按此规律移动，则移动第次后到达点在数轴上表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵表示的数为，表示的数为，表示的数为0，表示的数为，表示的数为，.....， ∴每移动四次相当于向左移动4个单位长度，∵，∴， ∴在数轴上表示的数为，故选：B． 例2（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）如图，一个动点从原点开始向左运动，每秒运动1个单位长度，并且规定：每向左运动3秒就向右运动2秒，则该动点运动到第2025秒时所对应的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：一个动点从原点开始向左运动，每秒运动1个单位长度，并且规定：每向左运动3秒就向右运动2秒，该点运动周期为5秒，每5秒向左运动一个单位， ，该点运动到2025秒时对应的数为，故选：A． 例3（2024·浙江·七年级期末）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长度，表示第n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．给出下列结论：①；②；③；④．其中，正确结论的序号是_______． 【答案】①②④ 【详解】根据题意可知：x1=1，x2=2，x3=3，x4=2，x5=1， x6=2，x7=3，x8=4，x9=3，x10=2，x11=3，x12=4，x13=5，x14=4，x15=3，…由上列举知①②正确，符合题意； 由上可知：第一个循环节结束的数即x5=1，第二个循环节结束的数即x10=2，第三个循环节结束的数即x15=3，…，即第m个循环节结束的数即x5m=m． ∵x100=20，∴x101=21，x102=22，x103=23，x104=22， ∵x105=21，∴x106=22，x107=23，x108=24故x108＞x104，故③错误，不合题意； ∵x2015=403，∴x2016=404，x2017=405，x2018=406，x2019=405，x2020=404， 故x2019＞x2020，故④正确．符合题意．故答案为：①②④． 例4（2024七年级上·山东·专题练习）如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点，，，…，（，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与的中点的距离是 ． 【答案】 【详解】解：由题意可得，点A1表示的数为，点A2表示的数为， 点A3表示的数为，…，点表示的数为， ∴点表示的数为. ∵的中点表示的数为，∴2023次跳动后的点与的中点的距离是：.故答案：． 模型2.动态中点与n等分点模型 【解题技巧】 1）动态中点模型：动态中点指两动点在数轴上运动时，其中点位置随动点运动而变化。设动点A和B在时间t的位置分别为xA（t）和xB（t），则动态中点M（t）的坐标：。 该公式适用于任意时刻动态中点计算。 2）动态n等分模型：将线段AB分为n等份时，第k个等分点的坐标为：。 若A和B为动点，则等分点位置随时间变化，需建立动态表达式。 例1（2024七年级上·江苏·专题练习）已知数轴上两点A、B对应的数分别是6，，M、N、P为数轴上三个动点，点M从A点出发速度为每秒2个单位，点N从点B出发速度为M点的3倍，点P从原点出发速度为每秒1个单位．（1）若点M向右运动，同时点N向左运动，经过 秒M与点N相距54个单位；（2）若点M、N、P同时都向右运动，经过 秒点P到点M，N的距离相等． 【答案】 5 或 【详解】解：（1）设经过x秒点M与点N相距54个单位． 依题意可列方程为：，解方程，得．故答案为：5． （2）设经过t秒点P到点M，N的距离相等． 或，或 或，故答案为：或． 例2（23-24七年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在数轴上，为原点，点对应的数为，点对应的数为．在数轴上有两动点和，它们同时向右运动，点从点出发，速度为每秒个单位长度，点从点出发，速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒，当点，，中，其中一点正好位于另外两点所确定线段的中点时，的值为 ． 【答案】或 【详解】解：根据题意得：经过秒后，点表示的数为：，点表示的数为：； 当点为中点时：，解得：， 当点为中点时：，解得：， 当点为中点时：，解得：（舍），故答案为：或． 例3（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）若A、、为数轴上三点，若点到A的距离是点到的距离2倍，我们就称点是【A，】的好点．例如，如图1，点A表示的数为，点表示的数为2．表示1的点到点A的距离是2，到点的距离是1，那么点是【A，】的好点；又如，表示0的点到点A的距离是1，到点的距离是2，那么点就不是【A，】的好点，但点是【，A】的好点． 知识运用：如图2，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为4． (1)数 所表示的点是【，】的好点；(2)如图3，A、为数轴上两点，点A所表示的数为，点所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁从点出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当为何值时，、A和中恰有一个点为其余两点的好点？ 【答案】(1)2或10(2)秒或20秒或15秒 【详解】（1）解：设点是【，】的好点，， 当在、之间时，，，，表示的数为， 当在右边时，设表示的数为，，，故答案为：2或10； （2）解：当是【A，】好点时，即，，； 当是【，A】好点时，即，，； 当是【A，】好点时，即，，， 当A是【，】好点时，即，，； 综上所述，当秒或20秒或15秒时，、A和中恰有一个点为其余两点的好点． 例4（24-25七年级上·湖南长沙·期中）【知识准备】若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为．（1）在一条数轴上，O为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点N所对应的数为_____． 【问题探究】（2）在（1）的条件下，若点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点D出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动．设运动时间为秒，为何值时，的中点所对应的数为1？ 【拓展延伸】（3）若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为靠近点A的三等分点，则我们有三等分点公式：点M对应的数为；若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点A的四等分点，则我们有四等分点公式：点M对应的数为． 填空：若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的等分点，则我们有等分点公式：点M对应的数为_____．（其中n为正整数） 【答案】（1）；（2）；（3）； 【详解】解：（1）∵，∴，，解得：，， ∴点对应的数为，点对应的数为，∴的中点N所对应的数为； （2）由（1）知，，，则点所对应的数为，点所对应的数为． 则中点所对应的数为，解得：． （3）∵数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的等分点， ∴点M对应的数为． 模型3.单（多）动点匀速模型 【解题技巧】 模型（1）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向右移动，t秒后，到达B点，B点对应的数是：a+vt。 模型（2）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向左移动，t秒后，到达C点，C点对应的数是：a-vt。 例1（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）定义：数轴上的三个点，若其中一个点与其它两个点的距离满足2倍关系，则称该点是其它两个点的“友好点”，这三点满足“友好关系”，已知数轴上点A，B表示的数分别为，2，点C从点B出发，沿数轴的负方向运动，在运动过程中，使A，B，C三点满足“友好关系”的点C表示的数值的和是 . 【答案】 【详解】解：设点C表示的数为x，当点C在点A和点B之间时， 若，则，解得； 若，则，解得； 若，则，解得； 当点C在点A的左侧时， 若，则，解得； 若，则，解得； 若，则，解得； ∴点C表示的数值的和是,故答案为：． 例2（24-25七年级上·天津河东·期中）如图，数轴上有、两点（O为原点），两点距离为9个数轴单位长度，动点、分别从、两点同时出发，向右运动，点的速度为3个单位长度/，点的速度为1个单位长度，设运动时间为，若点、两点之间的距离为7个单位长度，则t为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：当点在点的左侧时，由题意得，解得； 当点在点的右侧时，由题意得，解得； ∴点、两点之间的距离为7个单位长度，则t为或；故选：D． 例3（23-24七年级上·广东广州·期末）在数轴上，点在原点的左侧，点在原点的右侧．点距离原点12个单位长度，点距离原点2个单位长度． (1)点表示的数为_____，点表示的数为_____，两点之间的距离为_____： (2)若点为数轴上一点，且点到点的距离是2，则点和点之间的距离为_____； (3)若点、、同时向数轴负方向运动，点从点出发，点从原点出发，点从点出发，且点的运动速度是每秒6个单位长度，点的运动速度是每秒8个单位长度，点的运动速度是每秒2个单位长度．运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，求这时三个点表示的数各是多少？ 【答案】(1)，，(2)或(3)点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为或点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为 【详解】（1）解：∵点A在原点O的左侧，距离原点12个单位长度；点B在原点O的右侧，距离原点2个单位长度，∴A点表示的数为，B点表示的数为2，∴A、B两点之间的距离为． （2）解：∵，B点表示的数为2，∴P点表示的数为或， 又∵A点表示的数为，∴或，即的值为12或16； （3）解：设运动时间为t，运动中对应的数为，对应的数为，对应的数为， ①当Q在P和M的中间；当点到点、两个点距离相等时， 可得：，解得．此时点表示的数为， 点表示的数为，点表示的数为． ②当P在Q和M的正中间；当点到、两个点距离相等时， 可得：，解得（舍）． ③当、重合时，即点到、两个点距离相等时，可得：，解得， 此时点表示的数为，点表示的数为．点表示的数为． 因此，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为或点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为． 模型4.单（多）动点变速模型 【解题技巧】 单个动点在数轴上运动时，速度随时间或位置发生改变，需分段描述其运动轨迹。 例如：动点先以速度v1运动t1秒，再以速度v2反向运动t2秒。 其‌位置表达式‌：分段表示为x(t)=x0+v1t（0≤t≤t1）和x(t)=x(t1)−v2(t−t1)（t1<t≤t1+t2）。 上式中为x0初始位置，x(t)为t时刻的位置。 多个动点以不同速度或方向变化协同运动，需分别建模后寻找关联条件（如相遇、距离等）。 动态关系式‌：分别表示各动点位置，再通过相遇条件xP(t)=xQ(t)或距离公式∣xP(t)−xQ(t)∣=L列方程。 上式中xP(t)为动点P在t时刻的位置；xQ(t)为动点Q在t时刻的位置。 数轴上的单（多）动点变速模型用于描述动点在运动中速度发生变化的场景，需结合分段分析（按时间或位置划分运动阶段，确保每个阶段内速度恒定）和动态方程构建解决问题，最后注意检查解是否在对应时间段内，排除超时或重复解。 例1（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，在数轴上，点，在原点的两侧，分别表示，，．点以每秒个单位的速度从点向右运动，同时，点以每秒个单位的速度从点向左运动，是线段的中点，设运动时间为． (1)求点与点之间的距离；(2)当为何值时，，并求出此时点表示的数； (3)在，两点开始运动时，点以每秒个单位的速度从点向左运动．点经过原点后，其速度变为原来的倍，点变速后，若线段的长度始终是一个定值，求的值． 【答案】(1)(2)的值为或，点表示的数为或(3) 【详解】（1）解：∵点表示的数为， ∴， ∵，∴， ∵点在原点的两侧，∴点表示的数为，∴ ； （2）解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 根据题意得，， 即或， 解得或， 当时，； 当时，； 答：当的值为或时，，此时点表示的数为或； （3）解：若，则， 当时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，∴， ∵点变速后，若线段的长度始终是一个定值，∴，∴． 例2（24-25七年级上·重庆·期中）点，在数轴上分别表示有理数，且满足．现将数轴在点，处剪断，再用绳子将它们连接，就可得到如图所示的“拱形数轴”，其中点为绳子上一点且满足．在此数轴上，我们定义任意两点的距离为它们之间折线段的长度之和，如图1，，两点的距离为线段的长，记为，记，两点的距离为． (1)请直接写出________，________； (2)若，点在数轴上表示有理数6，一动点从点出发以每秒3个单位长度沿“拱形数轴”向正方向运动，同时，另一动点从点出发以每秒1个单位长度沿“拱形数轴”向负方向运动，两个点运动到点处均停止，设运动时间为秒，请问取何值时，使得？ (3)如图2，已知，动点从点出发以每秒2个单位长度沿着“拱形数轴”向正方向运动，同时点从点出发，以每秒1个单位长度沿着“拱形数轴”向负方向运动；两点相遇后，点速度立即变为原来的一半并沿着“拱形数轴”向负方向运动，同时点保持速度不变并沿着“拱形数轴”向正方向运动．设运动时间为秒，是否存在使得？如果存在，请直接写出的值，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)，4(2)(3)存在， 【详解】（1）∵，∴，，∴，，故答案为：，4； （2）∵，∴点N在数轴上表示有理数4，∵点B在数轴上表示有理数6，∴B点位置如图所示， ∵，由题意知，，，，∵，∴， 当时，， ∴（舍去）， 当时，，∴时，使得； （3）存在，理由如下，∵，∴相遇时，两点各自运动的时间为（秒）， ∴由题意知，当时，，，∴，∴（舍去）， 当时，，，∴,∴， ∴当时，． 例3（24-25七年级上·四川乐山·期中）已知两点在数轴上，与互为相反数，点表示的数是，且．      (1)点表示的数为______；(2)如图1，当点位于原点的同侧时，动点分别从点处在数轴上同时相向而行，动点的速度是动点的速度的1.5倍，4秒后两动点相遇，当动点到达点时，运动停止．在整个运动过程中，当　　秒，使得两点的距离为5； (3)如图2，当点位于原点的异侧时，动点分别从点处在数轴上向右运动，动点比动点晚出发1秒；当动点运动2秒后，动点到达点处，此时动点立即掉头以原速向左运动3秒恰与动点相遇；相遇后动点又立即掉头以原速的2倍向右运动6秒，此时动点到达点处，动点到达点处，当时，求动点的原速和运动的速度． 【答案】(1)11或(2)的值为2或6；(3)动点运动的速度为；动点的原速为或 【详解】（1）解：与互为相反数，．设点表示的数为， 点表示的数是，且，，或．故答案为：11或； （2）解：在整个运动过程中，存在某个时刻（秒），使得，两点的距离为5，的值为2或6．理由： 当点、位于原点的同侧时，，．设动点的速度为，则动点的速度是， 秒后两动点相遇，，． ，两点运动（秒）后，使得，两点的距离为5，或，解得：或6． 在整个运动过程中，存在某个时刻（秒），使得，两点的距离为5，的值为2或6； （3）解：动点比动点晚出发1秒，当动点运动2秒后，动点到达点处，此时动点立即掉头以原速向左运动3秒恰与动点相遇， ，两点在点处相遇，此时点的运动时间为5秒，距离为10，运动的速度为； 设动点的原速为，则，， 由题意得：，，或．动点的原速为或． 模型5.动点往返运动模型 【解题技巧】 . 数轴上动点往返运动的位置计算需结合‌方向变化、分段累加‌和‌代数建模。 . 注意事项： . 1）‌时间范围验证‌：解方程后需检查时间是否在对应运动阶段内。 . 2）‌多解可能性‌：往返可能导致动点多次经过同一位置，需列绝对值方程并分情况讨论。 3）通过以上方法，可系统计算数轴动点往返后的位置，需重点关注‌方向符号处理‌和‌分段累加规则。‌ 例1（24-25七年级上·广东深圳·期中）已知多项式的次数为，常数项为，，分别对应着数轴上的A、两点．(1) ， ；(2)若点从点A出发，以每秒3个单位长度单位的速度向轴正半轴运动，求运动时间为多少时，点到点A的距离是点到点的距离的2倍； (3)数轴上还有一点所表示的数为30，点从点A出发，同时从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点运动，当到达点后，立即以同样的速度返回A点，以每秒1个单位长度的速度向数轴正方向运动，当重新运动到A时，，同时停止运动．当，两点之间的距离为6个单位长度时，此时点运动的时间为 秒．（直接写答案） 【答案】(1)4，16(2)运动秒或8秒，点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍 (3)点P和点Q运动3秒或秒时，P，Q两点之间的6 【详解】（1）解：∵多项式的次数为a，常数项为b，∴，故答案为：4，16； （2）解：设运动t秒，点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍，则点P表示的数为：， 根据题意得：，解得或， 答：运动秒或8秒，点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍； （3）解：当点P到达C时，时间为秒， 设运动x秒，P，Q两点之间的距离为6个单位长度， ①点P到达C之前，P，Q两点表示的数分别为：，， P，Q两点之间的距离为6个单位长度，，解得或（舍去）， ②点P到达C之后，P，Q两点表示的数分别为：，， P，Q两点之间的距离为6个单位长度，，解得或（舍去）， 综上所述，点P和点Q运动3秒或秒时，P，Q两点之间的6个单位长度． 例2（24-25七年级上·吉林长春·期末）已知数轴上A，B，C三个点表示的数分别是，b，c，且满足，动点P、Q都从点A出发，且点P以每秒1个单位长度的速度向终点C移动．P点运动时间为．(1)直接写出____，____；(2)若M为的中点，N为的中点，试判断在P点运动的过程中，线段的长度是否发生变化，请说明理由；(3)当点P运动到点B时，点Q再从点A出发，以每秒3个单位长度的速度在A，C之间往返运动，直至P点停止运动，Q点也停止运动．①当点Q是中点时，求出此时t的值．②当点P从点A开始运动后的时间____秒时，P，Q两点之间的距离为2． 【答案】(1)；9(2)不发生变化，理由见解析(3)①或；②2或8或10或或 【详解】（1）解：，，， ，．故答案为：；9． （2）解：由题意得，P点表示的数为，为的中点，点表示的数为， 为的中点，点表示的数为， ．在P点运动的过程中，线段的长度不发生变化，恒为定值． （3）解：由题意得，，，， 点P从点B运动到点C时间为，点P从点A运动到点B时间为,点Q从点A运动到点C时间为,即可知点Q的运动情况为：先是在点A静止，再开始由点A运动到点C，再由点C运动到点A，再由点A继续运动，即点Q在A与C之间运动了一个来回； P点表示的数为，点B表示的数为，中点表示的数为， ①当点Q静止时，即，在此过程点P和点B均在点Q的右侧，故点Q不会是中点； 当点Q从点A运动到点C时，即， 此时Q点表示的数为，，解得：； 当点Q从点C运动到点A时，即，此时Q点表示的数为， ，解得：； 当点Q再次到达点A时，还继续出发向点C运动，即运动了3个单位长度，在此过程点P和点B均在点Q的右侧，故此时点Q不会是中点；综上所述，t的值为或． ②当点Q静止时，即，此时Q点表示的数为， ，解得：； 当点Q从点A运动到点C时，即，此时Q点表示的数为， ，或，解得：或； 当点Q从点C运动到点A时，即，此时Q点表示的数为， ，或，解得：或； 当点Q再次到达点A时，还继续出发向点C运动，即， 此时Q点表示的数为，， 或，解得：（舍去）或（舍去）； 综上所述，当点P从点A开始运动后的时间秒时，P，Q两点之间的距离为2． 故答案为：2或8或10或或． 例3（24-25七年级上·广东广州·期中）如图，数轴上有、两个定点， (1)线段的中点表示的数为 ；若数轴上点，满足时，则点所表示的数为 ． (2)数轴上的动点、、按以下方式运动（速度单位：单位／秒）；、分别以 、的速度从点出发向右运动，同时以 的速度从点出发向左运动，当、相遇后，立即反向按原速运动，而当、相遇后，又立即反向按原速运动，依此类推，当、相遇时，点的运动路程是 个单位； (3)若点为线段的中点，点为线段的中点，点为线段的中点，依此类推，点为线段的中点，它们在数轴上表示的数分别为， 为正整数）． ①当时，求出的值；②记， 求当时，的值等于 ． 【答案】(1)；或(2)(3)①；② 【详解】（1）解：线段的中点表示的数为 设点所表示的数为根据题意得：，即（）或（），解得：或 点在数轴上所表示的数为或；故答案为：或； （2）设经过秒，点，相遇，根据题意得：解得： 点的运动路程是个单位．故答案为：； （3）①由题意得：表示的数为，表示的数为，表示的数为，…，表示的数为，表示的数为， ∴当时， ， 则当时，为定值为； ②由①得：当时，，， 同理得：，，…，， ∴，， ． 模型6.动态定值（无参型）模型 【解题技巧】 数轴上的动态定值（无参型）模型描述动点运动过程中某些量（如线段长度、距离差等）保持不变的场景，需通过代数表达和几何关系分析定值的存在性及数值。题目中不引入额外参数（如速度、时间变量），直接通过动点初始位置、运动规则或几何关系推导定值。 1）解题策略与步骤：‌ ‌步骤1‌：用代数式表示动点位置，例如动点A从x0​出发，以速度v移动，则t秒后位置为x0+vt。 ‌步骤2‌：根据题目条件（如中点、等分点）建立相关量的表达式（如线段长度、差值的绝对值）。 ‌步骤3‌：化简表达式，观察是否消去变量项，验证是否为定值。 2）常见定值类型： 线段长度定值‌：两动点或动点与定点间的距离保持恒定。 ‌代数式定值‌：如∣xA−xB∣±kxC的值为固定常数。 ‌位置关系定值‌：如动点始终为中点或特定分点，导致相关表达式不变。 例1（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在数轴上A点表示数，B点表示数b，C点表示数7，b是最小的正整数， (1)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则折痕与数轴交点对应的点是________，并且点B与数________对应的点重合；(2)若点A、B、C是数轴上的动点，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B以每秒2个单位向右运动，点C以4个单位长度的速度向右运动，点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，求的值. 【答案】(1)，4(2)12 【详解】（1）解：∵将数轴折叠，使得A点与C点重合，在数轴上A点表示数，C点表示数7， ∴，∴则折痕与数轴交点对应的点是， ∵B点表示数b，b是最小的正整数，∴，则， ∴点B与数4对应的点重合，故答案为：，4； （2）解：依题意，秒钟后，点表示，点表示，点表示， ，，， 故的值不变，其值为12． 例2（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，线段，点A在点B的左边． (1)点C在直线上，，则 ．(2)点D在线段上，．点P从点D出发，以每秒4个单位长度的速度沿直线向右运动，设运动时间为t秒． ①点M是线段的中点，点N是线段的中点．当t为何值时，？ ②若点P从点D出发时，以每秒4个单位长度的速度沿直线向右运动，点Q从点B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿直线向右运动．点P与点Q相遇后，点P保持原来运动方向不变，速度变为2个单位长度/秒，点Q改变原来的运动方向沿直线向左运动，且速度变为3个单位长度/秒．在整个运动过程中，当时， ． 【答案】(1)12或24(2)①2.5或3.5；②2或 【详解】（1）解：∵，∴①当点C在点B左侧时，， ②当点C在点B右侧时，， ∴，∴；故答案为：12或24； （2）解：①令点A表示的数为0，则点B表示的数为16，点D表示的数为4，点M表示的数为，点N表示的数为， ∵不确定点P在点B左侧还是右侧，∴，∴， 解得：或，答：当t为秒或秒时，； ②当点P与点Q相遇时，，即，解得：， 分两种情况：Ⅰ．点P与点Q相遇前即时，，，， 当时，，解得：或（不合题意，舍去）； Ⅱ．点P与点Q相遇后即时，，， ， 当时，，解得：，故答案为：2或． 例3（24-25七年级上·湖北武汉·期中）已知点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，关于，的多项式是六次多项式，且常数项为． (1)点到点的距离为_________；(2)已知点是数轴上一点，且点到点的距离是点到点的距离的3倍（即），求点在数轴上对应的数；(3)如图，点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿数轴负方向运动（点在点，之间运动，点在点，之间运动），运动时间为，为点，之间的一点，且点到点的距离是点到点的距离的一半（即），若点，运动过程中点到点的距离（即的值）为一个固定的值，求的值． 【答案】(1)8(2)3或9(3) 【详解】（1）解：∵关于，的多项式是六次多项式，且常数项为， ∴，∴,∴点到点的距离为，故答案为：8； （2）解：由（1）知，点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为5，点到点的距离为8， 设点在数轴上对应的数为， ①若点在点与点之间，则，∴，∴点在数轴上对应的数为3； ②若点在的延长线上，则，∴，∴点在数轴上对应的数为9； ③若点在的延长线上，则，，∴，故此种情况不符合题意； 综上，点在数轴上对应的数是3或9； （3）解：由题意，得，，∴，， ∴，∴， ∵点，运动过程中点到点的距离（即的值）为一个固定的值， ∴的值与无关，∴，∴． 模型7.动态定值（含参型）模型 【解题技巧】 数轴上动态定值（含参型）模型需分析含参数（如速度、距离比例等）的动点运动过程中某些量的恒定性，通过代数建模和参数消去法验证定值存在性及数值。 ‌线段和差定值‌：如PA+PB或∣PA−PB∣恒为常数，需结合参数化简表达式。 ‌代数式定值‌：如kxA+mxB的值与时间无关，需分离含时项并令其系数为零。 速度参数‌：多个动点以不同速度运动，需联立方程消去时间变量，验证定值。 ‌比例参数‌：如线段比例或代数式含系数m（如mAB−2BC），需通过参数约束条件确定定值。 通过参数化建模、代数式分离与含时项消去，可系统解决含参型动态定值问题，需特别注意参数解的适用范围及多解可能性。 例1（24-25七年级上·湖北黄石·期末）【问题背景】数轴上A、B两点表示的数分别为a，b，则A、B两点之间的距离，线段的中点M表示的数为． 【情境应用】已知数轴上有A、B两点，点A、B表示的数分别为和1． （1）填空：线段两点之间的距离为 ；线段的中点M表示的数为 ； （2）若数轴上点C表示的数是9，将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 表示的点重合； 【情境拓展】在数轴上A点表示数，B点表示数1，C点表示数9，若点A、点B和点C分别以每秒2个单位、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动． （1）若t秒钟过后，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点，求t值； （2）当点C在B点右侧时，是否存在常数m，使的值为定值，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】[情境应用]（1）4，；（2）5；[情境拓展]（1）1或4或16；（2）存在， 【详解】[情境应用]（1）, 线段的中点M表示的数，故答案为：4，； （2）∵点C表示的数是9，将数轴折叠，使得A点与C点重合， ∴折痕为中点，表示的数为：，∴B点与折痕距离 ∴与点B的点表示的数故答案为：5 [情境拓展]（1）t秒时，A点所在的数为： B点所在的数为： C点所在的数为： 当B点为的中点时，即∴ 当C点为的中点时，即∴ 当A点为的中点时，即∴ ∴或4或16时，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点； （2）假设存在，∵点C在B点右侧∴， ∵∴∴ ∴ 当，即时， ∴存在常数m，使的值为定值，． 例2（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知：数轴上有，，三点 (位置如图所示) ，点和点相距个单位长度且点，表示的有理数互为相反数，点A和点C相距个单位长度，数轴上有一动点从点出发，以2个单位秒的速度向右沿数轴运动，设运动时间为秒． (1)点表示的有理数是 ，点表示的有理数是 ，点表示的数是 （用含的式子表示）． (2)当、两点之间相距10个单位长度时，求t的值． (3)若点A、点和点与点同时在数轴上运动，点以1个单位秒的速度向左运动，点和点分别以3个单位秒和4个单位秒的速度向右运动，若两点间的距离用表示两点的大写字母表示，如： 点 A，P两点间的距离表示为，是否存在常数，使得为一个定值，若存在，请求出值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，(2)或(3)存在，，定值为 【详解】（1）解：设点表示的数为，则点表示的数为， 点和点间距个单位长度，，解得， 点表示的有理数是；点表示的有理数是， ，点表示的有理数是， 动点从点出发，以2个单位长度秒的速度向右沿数轴运动，运动时间为秒， 点表示的数是，故答案为：，，； （2）解：当点在点左边时，， 、两点之间相距个单位长度，，解得， 当点在点右边时，， 、两点之间相距个单位长度，，解得， 当或秒时，、两点之间相距个单位长度， （3）解：存在常数，使得为一个定值， 理由如下：由题意可知，点表示的数为；点表示的数为；点表示的数为， ，，， ， 要使得为一个定值，，解得， ，，这个定值为． 例3（24-25七年级上·四川成都·期中）阅读材料：在数轴上，点表示的有理数为，点表示的有理数为，当时，点，之间的距离记作：；当时，点，之间的距离记作：．例如：，，则． 根据以上知识解决下列问题：如图，已知数轴上两点，表示的数分别为，12，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)__________，点表示的数为__________．（用含的式子表示） (2)动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，点，，同时出发． ①若点，两点到原点的距离相等，求的值； ②在某个时间段内，的值不随的变化而变化，求出该时段，应满足的数量关系． 【答案】(1)(2)①当或时，点，两点到原点的距离相等；②的值不随的变化而变化，该时段，应满足的数量关系为：或 【详解】（1）解：数轴上两点，表示的数分别为，12，∴， ∵动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒， ∴点表示的数为，故答案为：； （2）解：①动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，∴点表示的数为：， ∴点到原点的距离为，点到原点的距离为：， ∵点，两点到原点的距离相等，∴， 当时，，解得，；当时，，解得，； 综上所述，当或时，点，两点到原点的距离相等； ②根据题意，点表示的数为，点表示的数为：，点表示的数为， 如图所示，点在店左边， ∴，，∴ ， ∵的值不随的变化而变化，∴；如图所示，点在店右边， ∴，， ∴， ∵的值不随的变化而变化，∴； 综上所述，的值不随的变化而变化，该时段，应满足的数量关系为：或． 模型8.数轴折叠（翻折）模型 【解题技巧】 数轴折叠模型通过几何对称性分析折叠前后点的对应关系，解决折痕位置、对称点等问题。 1）若折叠后点a与点b重合，则折痕对应的点m为两点的中点，满足：或b=2m−a 2）折叠后，对称点到折痕的距离相等，折痕位置可通过线段比例或代数方程求解。 3）若折叠后动点继续运动，需分段分析折叠前后的位置变化及运动轨迹。 例1（24-25七年级上·重庆石柱·期中）已知，、、三点在数轴上的位置如图所示，这三点对应的数分别、、，点为原点，如果，与是同类项，线段的中点是． (1)直接写出、、的值，则有：_______，_________，_______． (2)动点、分别从点、同时出发，点以每秒3个单位长度向右运动，点以每秒2个单位长度向左运动，运动时间为秒，当和相距5个单位长度时，求的值． (3)点、从各自的位置出发在数轴上运动，若点以每秒2个单位长度的速度向左运动，点以每秒4个单位长度的速度向右运动，在运动过程中，若将线段沿着原点向右翻折，使点落在数轴的正半轴上的点处，若线段和线段的其中一段为另一段的2倍，请求出这时点表示的数． 【答案】(1)；1；18(2)或(3) 【详解】（1）解：∵，∴或，∵点A在原点左侧，∴，∴， ∵与是同类项，∴，∴，∵线段的中点是，∴，∴； （2）解：∵点以每秒3个单位长度向右运动，点以每秒2个单位长度向左运动，运动时间为秒， ∴点P表示的数为，点Q表示的数为， 根据题意得：或解得：或， 即当和相距5个单位长度时，的值为或． （3）解：设运动时间为x秒，则x秒后，点A表示的数为，点表示的数为，点B表示的数为， 当时，，解得：,（负数不符合题意舍去）， 此时点A表示的数为：；当时，， 解得：，不符合题意舍去； 综上分析可知：线段和线段的其中一段为另一段的2倍时，点表示的数为． 例2（2024·江苏·七年级期中）平移和翻折是初中数学中两种重要的图形变化，阅读并回答下列问题： （一）平移：在平面内，讲一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移． （1）把笔尖放在数轴的原点处，先向左移动3个单位长度，再向右移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数是 ； （2）一个机器人从数轴上原点出发，并在数轴上移动2次，每次移动2个单位后到达B点，则B点表示的数是 ； （3）如图，数轴上点A表示的数为−1，点B表示的数为1，点P从5出发，若P，A两点的距离是A，B两点距离的2倍，则需将点P向左移动 个单位． （二）翻折：将一个图形沿着某一条直线折叠的运动． （4）若折叠纸条，表示−3的点与表示1的点重合，则表示−4的点与表示 的点重合； （5）若数轴上A，B两点之间的距离为10，点A在点B的左侧，A，B两点经折叠后重合，折痕与数轴相交于表示−1的点，则A点表示的数为 ； （6）在数轴上，点M表示是的数为4，点N表示的数为x，将点M，N两点重合后折叠，得折痕①，折痕①与数轴交于P点；将点M与点P重合后折叠，得折痕②，折痕②与数轴交于Q点．若此时点M与点Q的距离为2，则x＝ ． 【答案】（1）；（2）或或；（3）2或10；（4）2；（5）-6；（6）或 【详解】解：（1）笔尖的位置表示的数为故答案为； （2）机器人向右移动两次，则B点表示的数为 机器人向左移动两次，则B点表示的数为 机器人向右移动一次，再向左移动一次，则B点表示的数为 故答案为或或 （3）设点P向左移动个单位，则点P表示的数为，，， 由题意可得：，解得或即向左平移2或10个单位长度 故答案为2或10 （4）由题意可得：对称中心为，则表示−4的点与表示2的点重合 故答案为2 （5）由题意可得，A点在表示−1的点的左侧5个单位长度，则A点表示的数为 故答案为-6 （6）由题意可得：，则， 即之间的距离为8 当在左侧时，，点N表示的数为-4 当在右侧时，，点N表示的数为12 故答案为或 例3（23-24七年级上·河南平顶山·期末）综合与探究 数轴可以将数与形完美结合．请借助数轴，结合具体情境解答下列问题： (1)平移运动：一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳完5次时，落在数轴上的点表示的数是 ；当它跳完2024次时，落在数轴上的点表示的数是 ． (2)翻折变换：①若折叠数轴所在纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示5的点与表示 的点重合． ②若数轴上D、E两点经折叠后重合，两点之间的距离为2024（D在E的左侧，且折痕与①折痕相同），则D点表示 ，E点表示 ．③一条数轴上有点M、N、P，其中点M、N表示的数分别是、8，现以点P为折点，将数轴向右对折，若点M对应的点落在点N的右边，并且线段的长度为3，请直接写出点P表示的数 ． 【答案】(1)；1012 (2)①；②；1013；③ 【详解】（1）解：根据机器人的运动方式可知，它跳完第1次时，落在数轴上的点表示的数是：； 它跳完第2次时，落在数轴上的点表示的数是：1；它跳完第3次时，落在数轴上的点表示的数是：； 它跳完第4次时，落在数轴上的点表示的数是：2；它跳完第5次时，落在数轴上的点表示的数是：； 它跳完第6次时，落在数轴上的点表示的数是：3；…， 由此可见，它跳完第次时，落在数轴上的点表示的数是n， 它跳完第次时，落在数轴上的点表示的数是； 当，即 时，，所以它跳完第5次时，落在数轴上的点表示的数是； 当，即时，可得它跳完第2024次时，落在数轴上的点表示的数是1012； 故答案为： ，1012． （2）①由表示的点与表示3的点重合可知，，则折点所表示的数为1． 因为，所以表示5的点与表示的点重合．故答案为：． ②因为折痕与①的折痕相同，所以这次折叠的折点所表示的数也为1． 又因为， 所以点D表示的数为，点E表示的数为1013．故答案为：，1013． ③由折叠可知，，因为点M、N表示的数分别是、8，所以 ． 又因为点落在点N的右边，并且线段的长度为3，所以． 因为，，所以点P表示的数为．故答案为：． 模型9.数轴上的线段移动模型 【解题技巧】 数轴上的线段移动模型研究线段整体平移的动态变化规律，需结合代数表达与几何关系分析线段长度、覆盖范围等核心问题。 线段沿数轴以固定速度单向或往返移动，需用代数式表示端点位置变化（如左移减速度，右移加速度）；动态过程中需关注线段覆盖区域，及与其他线段的交互（如重叠）。部分模型中，线段长度或端点间的代数差保持恒定（如平移速度对称时，两动线段差为定值）。 例1（24-25七年级上·吉林延边·期末）如图，数轴的单位长度为1cm，数轴上的三点表示的数分别为，线段在线段上，且．若线段以速度在数轴上向左运动，当点运动到与点重合时，线段立即以原速返回，当点运动到与点重合时，停止运动，线段的运动时间为． (1)点表示的数为_______，线段整个运动过程中所需要的时间_______s． (2)线段向左运动时，若，求t的值．(3)若，直接写出t的值． 【答案】(1)(2)或(3) 【详解】（1）解：，点表示的数为， ，点在点左侧，点表示的数为， 点运动到点时，所用时间为s，此时点表示的数为， 返回后，当点运动到与点重合时，所需时间为s， 线段整个运动过程中所需要的时间s，故答案为：； （2）解：由题意得点表示的数为，点表示的数为， 当线段在线段上时，，， ，，解得，点到点需要s，符合题意； 当在上时，，， ，，， 点运动到点时，所用时间为10s，，符合题意； 线段向左运动时，若，t的值为或； （3）解：线段向左运动时，当在上时，，， ，，（舍去）， 当在上时，，，，，； 当点运动到与点重合时，线段立即以原速返回，则点表示的数为， 点表示的数为； 当在上时，，， ，； 当在上时，，， ，，，综上，的值为． 例2（24-25七年级上·天津河北·期中）在一条光滑的轨道上，滑块，可在轨道上进行无摩擦的滑动，，分别从点，同时出发，以相同的速度相向运动．沿着轨道建立数轴，规定向右为正方向，，两点表示的数分别为，，且，b满足． (1)则______，______；(2)若，的速度均为个单位/秒，运动时间为（秒）．，滑块碰撞后会相互弹开，并分别以原来速度的和原路返回，问：经过多长时间，两滑块在轨道上相距个单位长度？（不考虑滑块的尺寸大小） (3)拓展应用：已知数轴上两点，对应的数分别是，，，，为数轴上三个动点，点从点出发速度为每秒个单位，点从点出发速度为点的倍，点从原点出发速度为每秒个单位．若点，，同时都向右运动，求多长时间点到点，的距离相等？ 【答案】(1)；(2)经过或秒，两滑块在轨道上相距个单位长度 (3)或秒时，点到点，的距离相等 【详解】（1）解：，，， ，，故答案为：，； （2）解：还未碰撞时，，解得：， ，解得：，相撞时，，在数轴上处； 碰撞后，的速度为个单位秒，的速度为个单位秒，，解得：， ，经过或秒，两滑块在轨道上相距个单位长度； （3）解：当点还未追上点时，，解得：， 当点追上点时，，解得：，或秒时，点到点，的距离相等． 例3（24-25七年级上·广东深圳·期末）如图1，点C是线段上一点，若，我们称为点在线段上的“分割值”，记为．例如点在上，，则；反之当，则． (1)如图2，数轴、两点对应的数为、，且分别满足和． ①求出 ； ；②请在图2的数轴上画出、两点． (2)为数轴上一个动点，从点向终点匀速运动．①若点表示的数为，则 ． ②如图，数轴上另一个点从点出发向点运动，到达点后立即以原速返回点，当点到达点B时，，都停止运动．若点和点的运动速度分别为每秒个单位和每秒个单位，且点和点同时出发，运动秒后，是否存在，若存在，求出的值；不存在，请说明理由． (3)如图4，在四边形中，，，，，点，同时从点出发向终点匀速运动，点沿折线运动，点沿线段运动．设点，的速度分别为和且满足，若，当点运动到线段上时，则 ．（用含有的代数式表示） 【答案】(1)①；；②见解析；(2)①；②或；(3) 【详解】（1）①，， ，，，，故答案为：，； ②点和点如图所示， （2）解：①由（1）可得， 点表示的数为，，，，故答案为：； ②第一种情况：当点到达点之前时， 此时，，，，，，解得； 第二种情况：当点到达点后，返回点时，此时，， ，，，解得；综上，的值为或； （3）解：，∴设点速度为，点速度为， 设运动时间为，则，，即，， （点的运动路程）， ．故答案为：． 1．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图A、B两点之间相距4个单位长度，B、C两点之间相距6个单位长度，现有一动点P从点A开始沿数轴的正方向运动到达点C停止，点P到A、B、C三点的距离之和的最大值为m，最小值为n．则的值是（        ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【详解】解：点在线段上，， ； 点在线段上， ， ，，综上： ∴最大值为，最小值为，∴，故选：B． 2．（2024七年级上·江苏·专题练习）如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，，且，点P从点B开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点P开始运动时，点A、B分别以每秒5个单位和每秒2个单位的速度同时向右运动，设运动时间为t秒，若的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则m的值为（　　） A．5 B．5或7 C．3或5 D．3或7 【答案】B 【详解】解：∵，，，， ∴点对应的数为，点对应的数是5，设经过秒，则，，， 若时，， 当，即时，的值在某段时间内不随着的变化而变化； 若时，， 当，即时，的值在某段时间内不随着的变化而变化； 综上所述，当或时的值在某段时间内不随着的变化而变化．故选：B． 2．（2024·广东·七年级专题练习）如图，A、O、B两点在数轴上对应的数分别为﹣20、0、40，C点在A、B之间，在A、B两点处各放一个挡板，M、N两个小球同时从C处出发，M以2个单位/秒的速度向数轴负方向运动，N以4个单位/秒的速度向数轴正方向运动，碰到挡板后则反方向运动，速度大小不变．设两个小球运动的时间为t秒钟（0＜t＜40），当M小球第一次碰到A挡板时，N小球刚好第一次碰到B挡板．则：①C点在数轴上对应的数为0；②当10＜t＜25时，N在数轴上对应的数可以表示为80﹣4t；③当25＜t＜40时，2MA+NB始终为定值160；④只存在唯一的t值，使3MO＝NO，以上结论正确的有（　　） A．①②③④ B．①③ C．②③ D．①②④ 【答案】D 【详解】解：设C点在数轴上对应的数为，则， 当M小球第一次碰到A挡板时，N小球刚好第一次碰到B挡板，则 解得，即C点在数轴上对应的数为0，①正确； 当时，N小球运动的距离为，刚好到达点， 当时，N小球运动的距离为，刚好到达点，M小球运动的距离为 当10＜t＜25时，N小球从点向点开始运动，此时， 点表示数的为，②正确； 当时，N小球运动的距离为，M小球运动的距离为 当25＜t＜40时，N小球从点向点开始运动，M小球向点运动 则，，，③错误； 当时，，，由题意得，，解得，不符题意； 当时，，， 由题意得，，解得，不符题意； 当时，，当时，， 由题意得，，解得，此时三点重合，成立； 当时，，由题意得，，解得，不符题意； 当时，，由题意得，，解得，不符题意； ④正确 故选：D 3．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1厘米）．若数轴上点A和点B刚好对着刻度尺上的刻度2和刻度8，且这两点到原点的距离相等．则数轴上原点对着直尺上的刻度是 ；现有动点P、Q分别从A、B两点向右沿正半轴运动，速度分别为4和2（单位长度/秒），当P、Q两点相距2个单位长度时，时间为 ． 【答案】 秒或秒 【详解】解：∵数轴上点A和点B刚好对着刻度尺上的刻度2和刻度8，且这两点到原点的距离相等， ∴数轴的原点对应的刻度为，∴点A在数轴上对应的数是，点B在数轴上对应的数是， ∵点P从点A向右移动，速度为4个单位长度/秒，点Q从点B向右移动，速度为2个单位长度/秒，设运动时间为t秒，∴点P表示的数为，点Q表示的数为， 当P在点Q左边时，，解得，； 当点P在点Q右边时，，解得，； 综上所述，当P、Q两点相距2个单位长度时，时间为秒或秒。故答案为：①；② 秒或秒． 4．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）数轴上有A、B、C三个动点，其中点A，点B在起始位置所表示的数分别为6和，点C在A、B两点之间．点A以每秒1个单位长度的速度向左运动；点B以每秒2个单位长度的速度向右运动；点C以每秒3个单位长度的速度先向右运动，当其与点A相遇后立即返回向左运动，与点B相遇后又立即返回向右运动，依此方式在A、B两点之间往返运动；若三个点同时开始运动，当三点恰好相遇同一点时，都停止运动，则相遇点所表示的数为 ． 【答案】 【详解】解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为， 根据题意得：，解得：，，相遇点所表示的数为．故答案为：． 5．（24-25七年级上·河北唐山·期中）已知在数轴上，对应的数是，点在的右边，且距点4个单位长度，点是数轴上两个动点；如果分别从点出发，均沿数轴向左运动，点每秒走2个单位长度，先出发5秒钟，点每秒走3个单位长度，当、两点相距2个单位长度时，点对应的数为 ． 【答案】或 【详解】解：由题意得，点N表示的数为，设点Q运动的时间为t秒， 当点P在点Q左边时，则，解得，∴点P表示的数为； 当点P在点Q右边时，则，解得，∴点P表示的数为； 综上所述，点P对应的数为或，故答案为：或． 6．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）已知点、、、在数轴上，它们表示的数分别为数，，，，且，满足，点在点的右侧且到点的距离为8个单位长度，点表示的数是12；动点从点出发以4单位/秒的速度向右运动．同时点从点出发，以2个单位/秒速度向左运动，、两点之间为“变速区”，规则为从点运动到点期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，假设运动时间为秒． (1)则_____________；_____________； (2)从运动到的过程中，点表示的数是_____________；从运动到的过程中，点表示的数是_____________；（用含的式子表示） (3)从运动到的过程中，点表示的数是_____________；从运动到的过程中，点表示的数是_____________．（用含的式子表示） 【答案】(1)；(2)；(3)； 【详解】（1）解：∵，∴， 解得：；故答案为：；； （2）解：由（1）得点A所表示的数为，点B所表示的数为， ∵点C在点B的右侧且到点B的距离为8个单位长度，∴点C所表示的数为4， 又∵点D所表示的数为12，∴从运动到的过程中，点表示的数是；从运动到的过程中，点表示的数是；故答案为：；； （3）解：∵点C在点B的右侧且到点B的距离为8个单位长度， ∴点C所表示的数，点B，C之间的距离， ∵动点P从点A出发以4单位/秒的速度向右运动， ∴点P从点A运动到点B所用的时间为：（秒）， 又∵点P在线段上的运动速度为（个单位/秒）， ∴点P从点B运动到点C所用的时间为（秒）， ∴点P从B运动到C的过程中，点P表示的数是：； ∴点Q从点D运动到点C所用的时间为：（秒）， ∵点Q从点C运动到点B期间速度变为原来的一半， ∴点Q从点C运动到点B期间的速度为：（个单位/秒）， ∴点Q从点C运动到点B所用的时间为：秒）， ∴点Q从C运动到B的过程中，点Q表示的数是：．故答案为：；． 7．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t（秒）．    (1)当时，求点Q表示的数；(2)当时，求点Q表示的数； (3)当点Q到原点O的距离为4时，求点P表示的数． 【答案】(1)6(2)2(3)或 【详解】（1）解：当时，点Q表示的数为； （2）解：当时，点Q运动的路程为，点Q表示的数为 （3）解：①点还没达到原点时，点运动的路程为， 秒，点表示的数为； ②点达到原点时，点运动的路程为， 秒，点表示的数为，故点P表示的数为或． 8．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“形数轴”．图中点A表示，点表示，点表示，我们称点和点在“形数轴”上相距个长度单位．动点，同时出发，点从点出发，以单位秒的速度沿着“形数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复到原来的速度；动点从点出发，以单位秒的速度沿着“形数轴”的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复到原来的速度．设运动的时间为秒．请根据以上条件回答：(1)动点从点运动至点需要多少时间？(2)当，两点相遇时，求值；(3)当，两点在“形数轴”上相距的长度与，两点在“形数轴”上相距的长度相等时，则的值为______(直接写出结果)． 【答案】(1)(2)(3)或或或 【详解】（1）解：点表示，点表示，点表示，，，， ，动点从点运动至点需要； （2）从到需要，从到需要， 在上运动时，表示的数为，表示的数为， ，解得，当，两点相遇时，的值为； （3）①当时，在上，在上，表示的数为表示的数为 ，解得， ②当时，在上，在上，表示的数为，表示的数为 ，解得； ③当时，在上，在上，表示的数为，表示的数为， ，解得； ④当时，在上，在上，表示的数为，表示的数为， ，方程无解； ⑤当时，在上，在上，表示的数为，表示的数为， ，解得； 综上所述，的值为或或或．故答案为：或或或． 9．（2024·江苏·七年级期中）已知数轴上有A、B、C三点，分别对应有理数－26、－10、10，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，同时，动点Q从A出发，以每秒3个单位的速度向终点C移动，设点P的移动时间为t秒．（1）当t＝5秒时，数轴上点P对应的数为 ，点Q对应的数为 ；P、Q两点间的距离为 ．（2）用含t的代数式表示数轴上点P对应的数为 ．（3）在点P运动到C点的过程中（点Q运动到C点后停止运动），请用含t的代数式表示P、Q两点间的距离． 【答案】（1）-5，－11；6．（2）－10＋t．（3）当0≤t≤8时，PQ＝－2t＋16；当8＜t≤12时，PQ＝2t－16；当12＜t≤20时，PQ＝20－t． 【详解】解：（1）由题意可得当t＝5秒时，数轴上点P对应的数为：， 点Q对应的数为：，P、Q两点间的距离为：，故答案为：－5, －11；     6． （2）用含t的代数式表示数轴上点P对应的数为：－10＋t．故答案为：－10＋t． （3）当0≤t≤8时，PQ＝(－10＋t)－(－26＋3t) ＝－2t＋16； 当8＜t≤12时，PQ＝(－26＋3t)－(－10＋t)＝2t－16；    当12＜t≤20时，PQ＝10－(－10＋t) ＝20－t． 10．（2024·广东·七年级期末）已知数轴上两点A、B对应的数分别为、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．(1)若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数； (2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；(3)点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？ 【答案】(1)1(2)或4(3)点P所经过的总路程是个单位长度 【详解】（1）∵，2的绝对值是2，，的绝对值是2，∴点P对应的数是1． （2）当P在之间，（不可能有） 当P在A的左侧，，得 当P在B的右侧，，得 故点P对应的数为或4； （3）设经过a分钟点A与点B重合，根据题意得：，解得．则． 答：点P所经过的总路程是个单位长度． 11．（2024·广东·七年级专题练习）如图，已知点，，是数轴上三点，点对应的数为，，．(1)求点，对应的数；(2)动点，同时从，出发，分别以每秒个单位和个单位的速度沿数轴正方向运动，为的中点，在上，且，设运动时间为。 ①求点，对应的数用含的式子表示；②为何值时， 【答案】(1)A对应的数为-10，B对应的数为2(2)①表示的数是，表示的数是； ②当秒或秒时． 【详解】（1）∵点C对应的数为，∴OC=6，∵，∴OB=OC-BC=6-4=2，∴点B表示的数是2， ∵，∴OA=AB-OB=12-2=10， ∴根据点A在O点左侧，可得点A表示的数是-10，即A对应的数为-10，B对应的数为2； （2）①∵动点P、Q分别同时从A、C出发，分别以每秒个单位和个单位的速度，时间是， ∴，， ∵M为的中点，在上，且，∴，， ∵A对应的数为-10，C表示的数是6，∴表示的数是，表示的数是； ②∵表示的数是，∴，∵表示的数是，∴， ∵B对应的数为2，∴OB=2，∴， ∵，∴， 当时，得，当时，得， 故当秒或秒时． 12．（2024·江苏扬州·七年级期末）已知在数轴上A，B两点对应数分别为﹣2，6． (1)请画出数轴，并在数轴上标出点A、点B； (2)若同一时间点M从点A出发以1个单位长度/秒的速度在数轴上向右运动，点N从点B出发以3个单位长度/秒的速度在数轴上向左运动，点P从原点出发以2个单位长度/秒的速度在数轴上运动． ①若点P向右运动，几秒后点P到点M、点N的距离相等？ ②若点P到A的距离是点P到B的距离的三倍，我们就称点P是【A，B】的三倍点．当点P是【B，A】的三倍点时，求此时P对应的数． 【答案】(1)见解析；(2)①秒或2秒后点P到点M、点N的距离相等，②P对应数-6或0． 【解析】(1)解：如图所示： (2)解：①MP=2t+2－t=t+2．当点P在点N左侧时，NP=6－5t；当点P在点N左右侧时，NP=5t－6 ∴t+2 =6－5t，得：t=；或t+2 =5t－6，得：t=2．即秒或2秒后点P到点M、点N的距离相等， ②∵点P是【B，A】的三倍点，∴PB=3PA． 当点P在A点左侧时，AB=2PA=8，∴PA=4，点P对应数-6； 当点P在A、B之间时，AB=4PA=8，∴PA=2，点P对应数0， 综上可知点P对应数-6或0． 13．（2024·安徽滁州·七年级校考阶段练习）在数轴上，若点、点表示的数分别是、，则、两点间的距离可以表示为，例如，在数轴上，表示数和数的两点间的距离是，表示数和数的两点间的距离是，利用上述结论，解决问题： (1)若，则=_____；(2)若有一个半径为的圆上有一点，与数轴上表示的点重合，将圆沿数轴无滑动的滚动周，点到达点的位置，则点表示的数为______用含有的代数式表示； (3)，为数轴上的两个动点，点表示的数为，点表示的数为，且，点C表示的数为，若点、、、三点中的某一点到另外两点的距离相等，求、的值． 【答案】(1)10或-4；(2)或；(3)，或，或，． 【详解】（1）解：∵，∴在数轴上，表示数的点与数的点之间的距离为， 或，解得或．故答案为：或； （2）解：∵圆的半径为，此圆的周长，当圆向左滚动时点表示的数是； 当圆向右滚动时点表示的数是．故答案为：或； （3）解：∵，∴在数轴上，点与点之间的距离为，且点在点的右侧． ①当点为线段的中点时，． 点表示的数为，，． ②当点为线段的中点时，． 点表示的数为，，． ③当点为线段的中点时，． 点表示的数为，，． 综上所述，，或，或，． 14．（2024·江苏·七年级统考期末）点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a，b满足：|a＋3|＋(b－2)2=0（1）求线段AB的长；（2）如图①，点C在数轴上对应的数为x，且是方程的根，在数轴上是否存在点M使MA＋MB＝BC＋AB？若存在，求出点M对应的数；若不存在，说明理由； （3）如图②，若N点是B点右侧一点，NA的中点为Q，P为NB的三等分点且靠近于B点，当N在B的右侧运动时，请直接判断的值是不变的还是变的，如果不变请直接写出其值，如果是变的请说明理由． 【答案】（1）线段AB的长为5；（2）存在，当点M表示的数为﹣5或4时，MA+MB＝BC+AB；（3）的值不变，为. 【详解】（1）∵|a+3|+（b﹣2）2=0，∴a+3=0，b﹣2=0，∴a=﹣3，b=2， ∴AB=|﹣3﹣2|=5．答：线段AB的长为5； （2）存在，∵x+1＝x﹣2，∴x=﹣6，∴BC=8．设点M在数轴上对应的数是m， ∵MA+MB＝BC+AB，∴|m+3|+|m﹣2|＝×8+5， 令m+3=0，m﹣2=0，∴m=﹣3或m=2． ①当m≤﹣3时，﹣m﹣3+2﹣m=9，   m=﹣5； ②当﹣3＜m≤2时，m+3+2﹣m=9（舍去）； ③当m＞2时，m+3+m﹣2=9，m=4． ∴当点M表示的数为﹣5或4时，MA+MB＝BC+AB； （3）设N点所表示的数为n，∴NA=n+3，NB=n﹣2． ∵NA的中点为Q，∴NQ＝NA＝， P为NB的三等分点且靠近于B点，∴BP＝NB＝（n﹣2）， ∴×-×(n-2)=，故的值是不变的． 15.（2024·江苏苏州·七年级期末）如图，射线上有三点，满足cm，cm，cm.点从点出发，沿方向以2cm/秒的速度匀速运动，点从点出发在线段上向点匀速运动，两点同时出发，当点运动到点时，点停止运动.(1)若点运动速度为3cm/秒，经过多长时间两点相遇?(2)当时，点运动到的位置恰好是线段的中点，求点的运动速度;(3)自点运动到线段上时，分别取和的中点，求的值. 【答案】（1）18秒相遇；(2)Q的运动速度为11cm/s或者cm/s；(3)2. 【详解】（1）设运动时间为t秒，此时OP=2t，OQ=3t， ∵cm，cm，cm，∴OC=OA+AB+BC=90cm， ∴2t+3t=90，t=18，∴经过18秒两点相遇； （2）∵点运动到的位置恰好是线段的中点，OB=40+30=70， ∴点Q表示的数是35，此时CQ=90-35=55，由，可分两种情况： ①当点P在OA上时，得PA=AB=30，此时OP=OA-PA=10， 点P运动的时间为s，∴点Q的运动速度=cm/s； ②当点P在AB上时，AB=3PA，∴PA=10，此时OP=OA+PA=50， 点P的运动时间是s，∴点Q的运动速度=cm/s， 综上，点的运动速度是11cm/s或者cm/s； （3）设运动时间是a秒，此时OP=2a，AP=2a-40， ∵点E是OP的中点，∴OE=a，∵点F是AB的中点，AB=30，∴BF=15， ∴EF=OB-OE-BF=70-a-15=55-a，∴=. 16．（2024·江苏·七年级期末）数形结合是数学解题中的一种重要思想，利用数轴可以将数与形完美结合．一般地，数轴上越往右边的点表示的数越大，例如：若数轴上点M表示数m，则点M向右移动n个单位到达的点N表示的数为m+n，若点M向左移动n个单位到达的点表示的数为m-n．如图1，已知数轴上点A表示的数为10，点B与点A距离18个单位，且在点A的左边，动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）数轴上点B表示的数为　 　，点P表示的数为　 　．（用含t的式子表示）； （2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发． ①求点P运动多少秒追上点Q？②求点P运动多少秒时与点Q相距6个单位？并求出此时点P表示的数； （3）如图2，若点P，Q以（2）中的速度同时分别从点A，B向右运动，同时点R从原点O以每秒4个单位的速度向右运动，是否存在常数m，使得QR-OP+mOR为定值，若存在，请求出m的值以及这个定值；若不存在，请说明理由．（其中QR表示数轴上点Q与点R之间的距离，OP表示数轴上点O与点P的距离，OR表示数轴上点O与点R的距离．） 【答案】（1），；（2）①9秒；②点P运动6秒或12秒时与点Q相距6个单位，此时点P表示的数分别为，；（3）当时，为定值，定值为： 【详解】（1）∵已知数轴上点A表示的数为10，点B与点A距离18个单位，且在点A的左边 ∴B表示的数为：； ∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒 ∴点P表示的数为： 故答案为：，； （2）①根据题意，得： ∴，即点P运动9秒时追上点Q； ②分相遇前相距6个单位长度和相遇后相距6个单位长度两种情况分析； 相遇前相距6个单位长度，依题意得： ∴ ∴此时点P表示的数为：； 相遇后相距6个单位长度，依题意得： ∴ ∴此时点P表示的数为：； ∴点P运动6秒或12秒时与点Q相距6个单位，此时点P表示的数分别为，； （3）运动时间为t秒时，Q，R，P表示的数分别为：，，； 根据题意得：＜＜∴，， ∴ 当，即时，为定值，定值为：． 17．（2024·江苏连云港·七年级校考期中）已知M、N两点在数轴上所装示的数分别为m、n，且m、n满足：(1)则m =  _________ ，n =  _________ ；(2)①情境：有一个玩具汽车如图所示，放置在数轴上，将汽车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B所对应的数为m，当点B移动到点A时，点A所对应的数为n．则玩具汽车的长为 _________ 个单位长度； ②应用：一天，小阳问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了!”小阳心想：爷爷的年龄到底是多少岁呢?聪明的你能帮小阳求出来吗? (3)在（2）①的条件下，当汽车以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点P和点Q从N、M出发，分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向左和向右运动．记汽车运动后对应的位置为．是否存在常数使得的值与它们的运动时间无关?若存在，请直接写出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)10，(2)①4；②64岁(3)存在，使得的值与它们的运动时间无关 【详解】（1）解：∵，， ∴，∴，∴，故答案为：10，； （2）解：①由题意得：， ∴，∴玩具火车的长为4个单位长度，故答案为：4； ②同①可知爷爷比小阳大岁，设爷爷的年龄为x岁，则小阳的年龄为岁， 由题意得，解得，∴爷爷的年龄是64岁； （3）解：由题意可得， ， ∴， ∵的值与它们的运动时间无关∴，∴， ∴存在，使得的值与它们的运动时间无关； 18．（23-24七年级上·湖北十堰·阶段练习）已知数轴上有A，B，C三点，它们分别表示数a，b，c，且|a+6|+（b+3）2=0，又b，c互为相反数．    （1）求a，b，c的值．（2）若电子蚂蚁从B点开始连续移动，第1次向右移动1个单位长度；第2次向右移动2个单位长度；第3次向左移动3个单位长度；第4次向左移动4个单位长度；第5次向右移动5个单位长度；第6次向右移动6个单位长度；第7次向左移动7个单位长度；第8次向左移动8个单位长度…依次操作第2019次移动后到达点P，求P点表示的数． 【答案】（1）a=-6，b=-3，c=3；（2）-2.4；（3）-3 【详解】解：（1）∵|a+6|+（b+3）2=0，b，c互为相反数，∴a+6=0，b+3=0，∴a=-6，b=-3，c=3； （2）由题意可得：每4次运动为一组，电子蚂蚁向左移动了4个单位长度， ∵2019÷4=504…3，可得：第2019次： -3+（1+2-3-4）+（5+6-7-8）+…+（2013+2014-2015-2016）+2017+2018-2019=-3+（-4）×504+2017+2018-2019=-3 19．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图1，数轴上的点表示数，点表示数，点在点的右侧，已知，，若动点、分别从点、处同时向右移动，点的速度为个单位长度秒，点的速度为个单位长度秒，设运动时间为秒．则： (1)当为何值时，、两点重合？(2)当为何值时，、两点相距个单位长度？(3)如图2，点是的中点，在点、同时间右移动的过程中，试判断的值是否为定值？并说明理由． 【答案】(1)(2)或(3)是定值，理由见解析 【详解】（1）∵，∴，由题意，得：，解得：； （2）由题意，点表示的数为，点表示的数为，∴，∴或； （3）是定值，理由如下：∵点表示的数为，为的中点， ∴表示的数为，∴， ∵，∴，∴为定值． 20．（24-25七年级上·江苏常州·期中）在数轴上，点A和B表示的数分别为a、b，可以用绝对值表示点A和B两点间距离，即．请回答下列问题： (1)在数轴上点A、B、C分别表示数．① ___，②若，则x的值为_____； ③若，且x为整数，则x的值为 _____． (2)在数轴上，点D、E、F分别表示数．动点P沿数轴从点D开始运动，到达F点后立刻返回，再回到D点时停止运动，设P点在数轴上表示的数为P．在此过程中，点P的运动速度始终保持每秒2个单位长度．设点P的运动时间为t秒．①当________时，；②在整个运动过程中，请用含t的代数式表示． 【答案】(1)①4；②或；③或或或0或1(2)①或7.5；②当时，；当时，；当时，；当时， 【详解】（1）解：①；故答案为：4； ②∵，∴，∴或，∴或；故答案为：或； ③∵，∴，∵和1之间的距离为4，∴， ∵x为整数，∴x为或或或0或1；故答案为：或或或0或1； （2）解：①由题意得：，∵点P的运动速度始终保持每秒2个单位长度， ∴当点P运动到点F时，时间为5秒，返回点D时，时间为10秒， Ⅰ、当时，点P表示的数为：， ∵，∴，解得：（取正值）， Ⅱ、当时，点P表示的数为：， ∵，∴，即，∴或， 解得：（不合题意，舍去），，综上：或7.5；故答案为：或7.5； ②当时，；当时，； 当时，；当时，． 21．（23-24七年级上·吉林·期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后，再立即以同样的速度返回点，当点到达终点后，两点都停止运动，设运动时间为秒． 【综合运用】(1)填空：两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； (2)当为何值时，两点间距离为3；(3)若点为的中点，点为的中点，当点到达点之前，在运动过程中，探索线段和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)10，1(2)当或或时，P，Q两点间距离为3(3)，理由见详解 【详解】（1）解：∵点表示的数为，点表示的数为6， ∴，线段的中点表示的数为∶，故答案为：10，1 （2）当点P与点B重合时，； 当点Q与点A重合时，；当点Q返回到点B时，， 当时，点P表示的数是，点Q表示的数是， ∵，∴或，解得：或， 当时，点P表示的数是，点Q表示的数是， ∵，∴或，解得或 (不符合题意，舍去)， 综上所述，当或或时，P，Q两点间距离为3． （3），理由如下： ∵点为的中点，点为的中点，∴，， 当点到达点之前，即当时，点M表示的数是，点N表示的数是， ∵，∴，∴． 22．（23-24七年级上·天津津南·期中）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化．请思考下列问题： (1)平移运动：①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数为 ． A．  C． B．  D． ②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳2023次时，落在数轴上的点表示的数是 ． (2)翻折变换：①若折叠纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示的点与表示 的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为2018（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示 ，B点表示 ． ③若数轴上折叠后重合的两点分别表示数a，b，则折叠中间点表示的数为 （用含有a，b的式子表示） 【答案】(1)①D；②(2)①2019；②，1010；③． 【详解】（1）①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数为，故选：D． ②一机器人从数轴原点处开始，第1次向左跳一个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，，依此规律跳，当它跳2023次时，落在数轴上的点表示的数是，故答案为：． （2）①对称中心是1，表示的点与表示2019的点重合，故答案为：2019； ②对称中心是1，，则点表示，点表示1010，故答案为：，1010； ③若数轴上折叠重合的两点的数分别为，，折叠中间点表示的数为；故答案为：． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 数轴中的九类动态模型 数轴中的动态问题属于（2024）苏科版七年级上册必考压轴题型，主要以数轴为载体，体现分类讨论和数形结合等思想，考查学生的分析与综合能力。解题时，一般遵循“点、线、式”三步策略。即：先根据题意中动点的出发位置，移动方向和速度，用含t的式子表示动点，然后根据题中要求提炼出线段，用动点的含t表达式表示线段，最后根据线段间的等量关系，列出式子，然后求解（要检验解是否符合动点的运动时间范围）。 2 模型来源 2 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 4 模型1.动态规律（左右跳跃）模型 4 模型2.动态中点与n等分点模型 6 模型3.单（多）动点匀速模型 8 模型4.单（多）动点变速模型 11 模型5.动点往返运动模型 14 模型6.动态定值（无参型）模型 17 模型7.动态定值（含参型）模型 20 模型8.数轴折叠（翻折）模型 23 模型9.数轴上的线段移动模型 26 32 数轴中的动态模型（如动点问题）的历史发展，本质上是数轴工具与运动数学思想结合的产物，其演变可分为三个阶段：工具创造‌（17世纪）→动态启蒙‌（19-20世纪）→教学定型‌（21世纪）。数轴动态模型是‌笛卡尔几何工具‌与‌运动数学思想‌在教育场景中的实践结晶，其发展映射了数学从抽象理论向应用建模的转化过程。 （2025·山东淄博·二模）在数轴上，点表示原点，现将点从点开始沿数轴按如下规律移动：第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，…，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是 个单位． （24-25七年级上·江苏泰州·期末）A，B，C三点在数轴上所表示的数为，，2，一根长为3个单位长度的木棒如图放置在数轴上（点P与点B重合），当木棒以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点M、N分别从A、C出发，分别以每秒1个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，记木棒运动后对应的位置为，M、N运动后对应的位置为、，若为常数，则 ． （24-25七年级上·湖南株洲·期中）【阅读材料】我们知道“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”，利用此规律，我们可以求数轴上两个点之间的距离，具体方法是：用右边的数减去左边的数的差就是表示这两个数的两点之间的距离．若点表示的数是，点表示的数是，点在点的右边（即），则点，之间的距离为（即）．例如：若点表示的数是，点表示的数是，则线段． 【理解应用】（1）已知在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，求线段的长； 【拓展应用】如图所示，点､､､在数轴上对应的数分别为､､､，其中是最大的负整数，､满足，且．（2） ； ； ； ． （3）若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点以每秒个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为秒，当､两点之间的距离为个单位长度时，求运动时间的值； ①若A、B两点在数轴上对应的数字是 a、b，则AB两点间的距离；AB中点对应的数字是：。 ②数轴动点问题主要步骤： 1）画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； 2）写点——写出所有点表示的数：常用含t的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“-”表示； 3）表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值； 4）列式求解——根据条件列方程或代数式，求值。 注意：要注意动点是否会来回往返运动，速度是否改变等。 ③分类讨论的思想： （1）数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，注意多种情况的分类讨论。 （2）对于两个动点P、Q，若点P、Q的左右位置关系不明确或有多种情况，可用p、q两数差的绝对值表示PQ 两点距离，从而避免复杂分类讨论。 模型1.动态规律（左右跳跃）模型 . 【解题技巧】‌运动规律性‌：动点按“左右交替”方向移动，步长呈现递增或周期性变化。 . ‌代数表达‌：动点位置需用含时间变量t的代数式表示。 . 例如，第n次移动后的位置可表示为：xn=xn−1±kn，其中k为步长基数，符号由移动方向决定。 . ‌分类讨论‌：根据移动次数、方向变化和步长规律进行分段分析，尤其注意动点是否跨越原点或特定临界点。 常见模型（1）：“1左1右”的等差数列式跳跃，两个一组根据规律计算即可； 常见模型（2）：“2左2右”的等差数列式跳跃，四个一组根据规律计算即可。 例1（24-25七年级上·辽宁丹东·期中）一个动点P从数轴上原点O出发开始移动，第1次向右移动1个单位长度到达点，第2次向右移动2个单位长度到达点，第3次向左移动3个单位长度到达点，第4次向左移动4个单位长度到达点，第5次向右移动5个单位长度到达点，…，点P按此规律移动，则移动第次后到达点在数轴上表示的数为（    ） A． B． C． D． 例2（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）如图，一个动点从原点开始向左运动，每秒运动1个单位长度，并且规定：每向左运动3秒就向右运动2秒，则该动点运动到第2025秒时所对应的数是（    ） A． B． C． D． 例3（2024·浙江·七年级期末）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长度，表示第n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．给出下列结论：①；②；③；④．其中，正确结论的序号是_______． 例4（2024七年级上·山东·专题练习）如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点，，，…，（，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与的中点的距离是 ． 模型2.动态中点与n等分点模型 【解题技巧】 1）动态中点模型：动态中点指两动点在数轴上运动时，其中点位置随动点运动而变化。设动点A和B在时间t的位置分别为xA（t）和xB（t），则动态中点M（t）的坐标：。 该公式适用于任意时刻动态中点计算。 2）动态n等分模型：将线段AB分为n等份时，第k个等分点的坐标为：。 若A和B为动点，则等分点位置随时间变化，需建立动态表达式。 例1（2024七年级上·江苏·专题练习）已知数轴上两点A、B对应的数分别是6，，M、N、P为数轴上三个动点，点M从A点出发速度为每秒2个单位，点N从点B出发速度为M点的3倍，点P从原点出发速度为每秒1个单位．（1）若点M向右运动，同时点N向左运动，经过 秒M与点N相距54个单位；（2）若点M、N、P同时都向右运动，经过 秒点P到点M，N的距离相等． 例2（23-24七年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在数轴上，为原点，点对应的数为，点对应的数为．在数轴上有两动点和，它们同时向右运动，点从点出发，速度为每秒个单位长度，点从点出发，速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒，当点，，中，其中一点正好位于另外两点所确定线段的中点时，的值为 ． 例3（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）若A、、为数轴上三点，若点到A的距离是点到的距离2倍，我们就称点是【A，】的好点．例如，如图1，点A表示的数为，点表示的数为2．表示1的点到点A的距离是2，到点的距离是1，那么点是【A，】的好点；又如，表示0的点到点A的距离是1，到点的距离是2，那么点就不是【A，】的好点，但点是【，A】的好点． 知识运用：如图2，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为4． (1)数 所表示的点是【，】的好点；(2)如图3，A、为数轴上两点，点A所表示的数为，点所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁从点出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当为何值时，、A和中恰有一个点为其余两点的好点？ 例4（24-25七年级上·湖南长沙·期中）【知识准备】若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为．（1）在一条数轴上，O为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点N所对应的数为_____． 【问题探究】（2）在（1）的条件下，若点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点D出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动．设运动时间为秒，为何值时，的中点所对应的数为1？ 【拓展延伸】（3）若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为靠近点A的三等分点，则我们有三等分点公式：点M对应的数为；若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点A的四等分点，则我们有四等分点公式：点M对应的数为． 填空：若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的等分点，则我们有等分点公式：点M对应的数为_____．（其中n为正整数） 模型3.单（多）动点匀速模型 【解题技巧】 模型（1）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向右移动，t秒后，到达B点，B点对应的数是：a+vt。 模型（2）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向左移动，t秒后，到达C点，C点对应的数是：a-vt。 例1（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）定义：数轴上的三个点，若其中一个点与其它两个点的距离满足2倍关系，则称该点是其它两个点的“友好点”，这三点满足“友好关系”，已知数轴上点A，B表示的数分别为，2，点C从点B出发，沿数轴的负方向运动，在运动过程中，使A，B，C三点满足“友好关系”的点C表示的数值的和是 . 例2（24-25七年级上·天津河东·期中）如图，数轴上有、两点（O为原点），两点距离为9个数轴单位长度，动点、分别从、两点同时出发，向右运动，点的速度为3个单位长度/，点的速度为1个单位长度，设运动时间为，若点、两点之间的距离为7个单位长度，则t为（   ） A． B． C．或 D．或 例3（23-24七年级上·广东广州·期末）在数轴上，点在原点的左侧，点在原点的右侧．点距离原点12个单位长度，点距离原点2个单位长度． (1)点表示的数为_____，点表示的数为_____，两点之间的距离为_____： (2)若点为数轴上一点，且点到点的距离是2，则点和点之间的距离为_____； (3)若点、、同时向数轴负方向运动，点从点出发，点从原点出发，点从点出发，且点的运动速度是每秒6个单位长度，点的运动速度是每秒8个单位长度，点的运动速度是每秒2个单位长度．运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，求这时三个点表示的数各是多少？ 模型4.单（多）动点变速模型 【解题技巧】 单个动点在数轴上运动时，速度随时间或位置发生改变，需分段描述其运动轨迹。 例如：动点先以速度v1运动t1秒，再以速度v2反向运动t2秒。 其‌位置表达式‌：分段表示为x(t)=x0+v1t（0≤t≤t1）和x(t)=x(t1)−v2(t−t1)（t1<t≤t1+t2）。 上式中为x0初始位置，x(t)为t时刻的位置。 多个动点以不同速度或方向变化协同运动，需分别建模后寻找关联条件（如相遇、距离等）。 动态关系式‌：分别表示各动点位置，再通过相遇条件xP(t)=xQ(t)或距离公式∣xP(t)−xQ(t)∣=L列方程。 上式中xP(t)为动点P在t时刻的位置；xQ(t)为动点Q在t时刻的位置。 数轴上的单（多）动点变速模型用于描述动点在运动中速度发生变化的场景，需结合分段分析（按时间或位置划分运动阶段，确保每个阶段内速度恒定）和动态方程构建解决问题，最后注意检查解是否在对应时间段内，排除超时或重复解。 例1（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，在数轴上，点，在原点的两侧，分别表示，，．点以每秒个单位的速度从点向右运动，同时，点以每秒个单位的速度从点向左运动，是线段的中点，设运动时间为． (1)求点与点之间的距离；(2)当为何值时，，并求出此时点表示的数； (3)在，两点开始运动时，点以每秒个单位的速度从点向左运动．点经过原点后，其速度变为原来的倍，点变速后，若线段的长度始终是一个定值，求的值． 例2（24-25七年级上·重庆·期中）点，在数轴上分别表示有理数，且满足．现将数轴在点，处剪断，再用绳子将它们连接，就可得到如图所示的“拱形数轴”，其中点为绳子上一点且满足．在此数轴上，我们定义任意两点的距离为它们之间折线段的长度之和，如图1，，两点的距离为线段的长，记为，记，两点的距离为． (1)请直接写出________，________； (2)若，点在数轴上表示有理数6，一动点从点出发以每秒3个单位长度沿“拱形数轴”向正方向运动，同时，另一动点从点出发以每秒1个单位长度沿“拱形数轴”向负方向运动，两个点运动到点处均停止，设运动时间为秒，请问取何值时，使得？ (3)如图2，已知，动点从点出发以每秒2个单位长度沿着“拱形数轴”向正方向运动，同时点从点出发，以每秒1个单位长度沿着“拱形数轴”向负方向运动；两点相遇后，点速度立即变为原来的一半并沿着“拱形数轴”向负方向运动，同时点保持速度不变并沿着“拱形数轴”向正方向运动．设运动时间为秒，是否存在使得？如果存在，请直接写出的值，如果不存在，请说明理由． 例3（24-25七年级上·四川乐山·期中）已知两点在数轴上，与互为相反数，点表示的数是，且．      (1)点表示的数为______；(2)如图1，当点位于原点的同侧时，动点分别从点处在数轴上同时相向而行，动点的速度是动点的速度的1.5倍，4秒后两动点相遇，当动点到达点时，运动停止．在整个运动过程中，当　　秒，使得两点的距离为5； (3)如图2，当点位于原点的异侧时，动点分别从点处在数轴上向右运动，动点比动点晚出发1秒；当动点运动2秒后，动点到达点处，此时动点立即掉头以原速向左运动3秒恰与动点相遇；相遇后动点又立即掉头以原速的2倍向右运动6秒，此时动点到达点处，动点到达点处，当时，求动点的原速和运动的速度． 模型5.动点往返运动模型 【解题技巧】 . 数轴上动点往返运动的位置计算需结合‌方向变化、分段累加‌和‌代数建模。 . 注意事项： . 1）‌时间范围验证‌：解方程后需检查时间是否在对应运动阶段内。 . 2）‌多解可能性‌：往返可能导致动点多次经过同一位置，需列绝对值方程并分情况讨论。 3）通过以上方法，可系统计算数轴动点往返后的位置，需重点关注‌方向符号处理‌和‌分段累加规则。‌ 例1（24-25七年级上·广东深圳·期中）已知多项式的次数为，常数项为，，分别对应着数轴上的A、两点．(1) ， ；(2)若点从点A出发，以每秒3个单位长度单位的速度向轴正半轴运动，求运动时间为多少时，点到点A的距离是点到点的距离的2倍； (3)数轴上还有一点所表示的数为30，点从点A出发，同时从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点运动，当到达点后，立即以同样的速度返回A点，以每秒1个单位长度的速度向数轴正方向运动，当重新运动到A时，，同时停止运动．当，两点之间的距离为6个单位长度时，此时点运动的时间为 秒．（直接写答案） 例2（24-25七年级上·吉林长春·期末）已知数轴上A，B，C三个点表示的数分别是，b，c，且满足，动点P、Q都从点A出发，且点P以每秒1个单位长度的速度向终点C移动．P点运动时间为．(1)直接写出____，____；(2)若M为的中点，N为的中点，试判断在P点运动的过程中，线段的长度是否发生变化，请说明理由；(3)当点P运动到点B时，点Q再从点A出发，以每秒3个单位长度的速度在A，C之间往返运动，直至P点停止运动，Q点也停止运动．①当点Q是中点时，求出此时t的值．②当点P从点A开始运动后的时间____秒时，P，Q两点之间的距离为2． 例3（24-25七年级上·广东广州·期中）如图，数轴上有、两个定点， (1)线段的中点表示的数为 ；若数轴上点，满足时，则点所表示的数为 ． (2)数轴上的动点、、按以下方式运动（速度单位：单位／秒）；、分别以 、的速度从点出发向右运动，同时以 的速度从点出发向左运动，当、相遇后，立即反向按原速运动，而当、相遇后，又立即反向按原速运动，依此类推，当、相遇时，点的运动路程是 个单位； (3)若点为线段的中点，点为线段的中点，点为线段的中点，依此类推，点为线段的中点，它们在数轴上表示的数分别为， 为正整数）． ①当时，求出的值；②记， 求当时，的值等于 ． 模型6.动态定值（无参型）模型 【解题技巧】 数轴上的动态定值（无参型）模型描述动点运动过程中某些量（如线段长度、距离差等）保持不变的场景，需通过代数表达和几何关系分析定值的存在性及数值。题目中不引入额外参数（如速度、时间变量），直接通过动点初始位置、运动规则或几何关系推导定值。 1）解题策略与步骤：‌ ‌步骤1‌：用代数式表示动点位置，例如动点A从x0​出发，以速度v移动，则t秒后位置为x0+vt。 ‌步骤2‌：根据题目条件（如中点、等分点）建立相关量的表达式（如线段长度、差值的绝对值）。 ‌步骤3‌：化简表达式，观察是否消去变量项，验证是否为定值。 2）常见定值类型： 线段长度定值‌：两动点或动点与定点间的距离保持恒定。 ‌代数式定值‌：如∣xA−xB∣±kxC的值为固定常数。 ‌位置关系定值‌：如动点始终为中点或特定分点，导致相关表达式不变。 例1（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在数轴上A点表示数，B点表示数b，C点表示数7，b是最小的正整数， (1)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则折痕与数轴交点对应的点是________，并且点B与数________对应的点重合；(2)若点A、B、C是数轴上的动点，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B以每秒2个单位向右运动，点C以4个单位长度的速度向右运动，点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，求的值. 例2（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，线段，点A在点B的左边． (1)点C在直线上，，则 ．(2)点D在线段上，．点P从点D出发，以每秒4个单位长度的速度沿直线向右运动，设运动时间为t秒． ①点M是线段的中点，点N是线段的中点．当t为何值时，？ ②若点P从点D出发时，以每秒4个单位长度的速度沿直线向右运动，点Q从点B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿直线向右运动．点P与点Q相遇后，点P保持原来运动方向不变，速度变为2个单位长度/秒，点Q改变原来的运动方向沿直线向左运动，且速度变为3个单位长度/秒．在整个运动过程中，当时， ． 例3（24-25七年级上·湖北武汉·期中）已知点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，关于，的多项式是六次多项式，且常数项为． (1)点到点的距离为_________；(2)已知点是数轴上一点，且点到点的距离是点到点的距离的3倍（即），求点在数轴上对应的数；(3)如图，点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿数轴负方向运动（点在点，之间运动，点在点，之间运动），运动时间为，为点，之间的一点，且点到点的距离是点到点的距离的一半（即），若点，运动过程中点到点的距离（即的值）为一个固定的值，求的值． 模型7.动态定值（含参型）模型 【解题技巧】 数轴上动态定值（含参型）模型需分析含参数（如速度、距离比例等）的动点运动过程中某些量的恒定性，通过代数建模和参数消去法验证定值存在性及数值。 ‌线段和差定值‌：如PA+PB或∣PA−PB∣恒为常数，需结合参数化简表达式。 ‌代数式定值‌：如kxA+mxB的值与时间无关，需分离含时项并令其系数为零。 速度参数‌：多个动点以不同速度运动，需联立方程消去时间变量，验证定值。 ‌比例参数‌：如线段比例或代数式含系数m（如mAB−2BC），需通过参数约束条件确定定值。 通过参数化建模、代数式分离与含时项消去，可系统解决含参型动态定值问题，需特别注意参数解的适用范围及多解可能性。 例1（24-25七年级上·湖北黄石·期末）【问题背景】数轴上A、B两点表示的数分别为a，b，则A、B两点之间的距离，线段的中点M表示的数为． 【情境应用】已知数轴上有A、B两点，点A、B表示的数分别为和1． （1）填空：线段两点之间的距离为 ；线段的中点M表示的数为 ； （2）若数轴上点C表示的数是9，将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 表示的点重合； 【情境拓展】在数轴上A点表示数，B点表示数1，C点表示数9，若点A、点B和点C分别以每秒2个单位、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动． （1）若t秒钟过后，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点，求t值； （2）当点C在B点右侧时，是否存在常数m，使的值为定值，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由． 例2（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知：数轴上有，，三点 (位置如图所示) ，点和点相距个单位长度且点，表示的有理数互为相反数，点A和点C相距个单位长度，数轴上有一动点从点出发，以2个单位秒的速度向右沿数轴运动，设运动时间为秒． (1)点表示的有理数是 ，点表示的有理数是 ，点表示的数是 （用含的式子表示）． (2)当、两点之间相距10个单位长度时，求t的值． (3)若点A、点和点与点同时在数轴上运动，点以1个单位秒的速度向左运动，点和点分别以3个单位秒和4个单位秒的速度向右运动，若两点间的距离用表示两点的大写字母表示，如： 点 A，P两点间的距离表示为，是否存在常数，使得为一个定值，若存在，请求出值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 例3（24-25七年级上·四川成都·期中）阅读材料：在数轴上，点表示的有理数为，点表示的有理数为，当时，点，之间的距离记作：；当时，点，之间的距离记作：．例如：，，则． 根据以上知识解决下列问题：如图，已知数轴上两点，表示的数分别为，12，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)__________，点表示的数为__________．（用含的式子表示） (2)动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，点，，同时出发．①若点，两点到原点的距离相等，求的值； ②在某个时间段内，的值不随的变化而变化，求出该时段，应满足的数量关系． 模型8.数轴折叠（翻折）模型 【解题技巧】 数轴折叠模型通过几何对称性分析折叠前后点的对应关系，解决折痕位置、对称点等问题。 1）若折叠后点a与点b重合，则折痕对应的点m为两点的中点，满足：或b=2m−a 2）折叠后，对称点到折痕的距离相等，折痕位置可通过线段比例或代数方程求解。 3）若折叠后动点继续运动，需分段分析折叠前后的位置变化及运动轨迹。 例1（24-25七年级上·重庆石柱·期中）已知，、、三点在数轴上的位置如图所示，这三点对应的数分别、、，点为原点，如果，与是同类项，线段的中点是． (1)直接写出、、的值，则有：_______，_________，_______． (2)动点、分别从点、同时出发，点以每秒3个单位长度向右运动，点以每秒2个单位长度向左运动，运动时间为秒，当和相距5个单位长度时，求的值． (3)点、从各自的位置出发在数轴上运动，若点以每秒2个单位长度的速度向左运动，点以每秒4个单位长度的速度向右运动，在运动过程中，若将线段沿着原点向右翻折，使点落在数轴的正半轴上的点处，若线段和线段的其中一段为另一段的2倍，请求出这时点表示的数． 例2（2024·江苏·七年级期中）平移和翻折是初中数学中两种重要的图形变化，阅读并回答下列问题： （一）平移：在平面内，讲一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移． （1）把笔尖放在数轴的原点处，先向左移动3个单位长度，再向右移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数是 ； （2）一个机器人从数轴上原点出发，并在数轴上移动2次，每次移动2个单位后到达B点，则B点表示的数是 ； （3）如图，数轴上点A表示的数为−1，点B表示的数为1，点P从5出发，若P，A两点的距离是A，B两点距离的2倍，则需将点P向左移动 个单位． （二）翻折：将一个图形沿着某一条直线折叠的运动． （4）若折叠纸条，表示−3的点与表示1的点重合，则表示−4的点与表示 的点重合； （5）若数轴上A，B两点之间的距离为10，点A在点B的左侧，A，B两点经折叠后重合，折痕与数轴相交于表示−1的点，则A点表示的数为 ； （6）在数轴上，点M表示是的数为4，点N表示的数为x，将点M，N两点重合后折叠，得折痕①，折痕①与数轴交于P点；将点M与点P重合后折叠，得折痕②，折痕②与数轴交于Q点．若此时点M与点Q的距离为2，则x＝ ． 例3（23-24七年级上·河南平顶山·期末）综合与探究 数轴可以将数与形完美结合．请借助数轴，结合具体情境解答下列问题： (1)平移运动：一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳完5次时，落在数轴上的点表示的数是 ；当它跳完2024次时，落在数轴上的点表示的数是 ． (2)翻折变换：①若折叠数轴所在纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示5的点与表示 的点重合． ②若数轴上D、E两点经折叠后重合，两点之间的距离为2024（D在E的左侧，且折痕与①折痕相同），则D点表示 ，E点表示 ．③一条数轴上有点M、N、P，其中点M、N表示的数分别是、8，现以点P为折点，将数轴向右对折，若点M对应的点落在点N的右边，并且线段的长度为3，请直接写出点P表示的数 ． 模型9.数轴上的线段移动模型 【解题技巧】 数轴上的线段移动模型研究线段整体平移的动态变化规律，需结合代数表达与几何关系分析线段长度、覆盖范围等核心问题。 线段沿数轴以固定速度单向或往返移动，需用代数式表示端点位置变化（如左移减速度，右移加速度）；动态过程中需关注线段覆盖区域，及与其他线段的交互（如重叠）。部分模型中，线段长度或端点间的代数差保持恒定（如平移速度对称时，两动线段差为定值）。 例1（24-25七年级上·吉林延边·期末）如图，数轴的单位长度为1cm，数轴上的三点表示的数分别为，线段在线段上，且．若线段以速度在数轴上向左运动，当点运动到与点重合时，线段立即以原速返回，当点运动到与点重合时，停止运动，线段的运动时间为． (1)点表示的数为_______，线段整个运动过程中所需要的时间_______s． (2)线段向左运动时，若，求t的值．(3)若，直接写出t的值． 例2（24-25七年级上·天津河北·期中）在一条光滑的轨道上，滑块，可在轨道上进行无摩擦的滑动，，分别从点，同时出发，以相同的速度相向运动．沿着轨道建立数轴，规定向右为正方向，，两点表示的数分别为，，且，b满足． (1)则______，______；(2)若，的速度均为个单位/秒，运动时间为（秒）．，滑块碰撞后会相互弹开，并分别以原来速度的和原路返回，问：经过多长时间，两滑块在轨道上相距个单位长度？（不考虑滑块的尺寸大小） (3)拓展应用：已知数轴上两点，对应的数分别是，，，，为数轴上三个动点，点从点出发速度为每秒个单位，点从点出发速度为点的倍，点从原点出发速度为每秒个单位．若点，，同时都向右运动，求多长时间点到点，的距离相等？ 例3（24-25七年级上·广东深圳·期末）如图1，点C是线段上一点，若，我们称为点在线段上的“分割值”，记为．例如点在上，，则；反之当，则． (1)如图2，数轴、两点对应的数为、，且分别满足和． ①求出 ； ；②请在图2的数轴上画出、两点． (2)为数轴上一个动点，从点向终点匀速运动．①若点表示的数为，则 ． ②如图，数轴上另一个点从点出发向点运动，到达点后立即以原速返回点，当点到达点B时，，都停止运动．若点和点的运动速度分别为每秒个单位和每秒个单位，且点和点同时出发，运动秒后，是否存在，若存在，求出的值；不存在，请说明理由． (3)如图4，在四边形中，，，，，点，同时从点出发向终点匀速运动，点沿折线运动，点沿线段运动．设点，的速度分别为和且满足，若，当点运动到线段上时，则 ．（用含有的代数式表示） 1．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图A、B两点之间相距4个单位长度，B、C两点之间相距6个单位长度，现有一动点P从点A开始沿数轴的正方向运动到达点C停止，点P到A、B、C三点的距离之和的最大值为m，最小值为n．则的值是（        ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．（2024七年级上·江苏·专题练习）如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，，且，点P从点B开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点P开始运动时，点A、B分别以每秒5个单位和每秒2个单位的速度同时向右运动，设运动时间为t秒，若的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则m的值为（　　） A．5 B．5或7 C．3或5 D．3或7 2．（2024·广东·七年级专题练习）如图，A、O、B两点在数轴上对应的数分别为﹣20、0、40，C点在A、B之间，在A、B两点处各放一个挡板，M、N两个小球同时从C处出发，M以2个单位/秒的速度向数轴负方向运动，N以4个单位/秒的速度向数轴正方向运动，碰到挡板后则反方向运动，速度大小不变．设两个小球运动的时间为t秒钟（0＜t＜40），当M小球第一次碰到A挡板时，N小球刚好第一次碰到B挡板．则：①C点在数轴上对应的数为0；②当10＜t＜25时，N在数轴上对应的数可以表示为80﹣4t；③当25＜t＜40时，2MA+NB始终为定值160；④只存在唯一的t值，使3MO＝NO，以上结论正确的有（　　） A．①②③④ B．①③ C．②③ D．①②④ 3．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1厘米）．若数轴上点A和点B刚好对着刻度尺上的刻度2和刻度8，且这两点到原点的距离相等．则数轴上原点对着直尺上的刻度是 ；现有动点P、Q分别从A、B两点向右沿正半轴运动，速度分别为4和2（单位长度/秒），当P、Q两点相距2个单位长度时，时间为 ． 4．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）数轴上有A、B、C三个动点，其中点A，点B在起始位置所表示的数分别为6和，点C在A、B两点之间．点A以每秒1个单位长度的速度向左运动；点B以每秒2个单位长度的速度向右运动；点C以每秒3个单位长度的速度先向右运动，当其与点A相遇后立即返回向左运动，与点B相遇后又立即返回向右运动，依此方式在A、B两点之间往返运动；若三个点同时开始运动，当三点恰好相遇同一点时，都停止运动，则相遇点所表示的数为 ． 5．（24-25七年级上·河北唐山·期中）已知在数轴上，对应的数是，点在的右边，且距点4个单位长度，点是数轴上两个动点；如果分别从点出发，均沿数轴向左运动，点每秒走2个单位长度，先出发5秒钟，点每秒走3个单位长度，当、两点相距2个单位长度时，点对应的数为 ． 6．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）已知点、、、在数轴上，它们表示的数分别为数，，，，且，满足，点在点的右侧且到点的距离为8个单位长度，点表示的数是12；动点从点出发以4单位/秒的速度向右运动．同时点从点出发，以2个单位/秒速度向左运动，、两点之间为“变速区”，规则为从点运动到点期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，假设运动时间为秒． (1)则_____________；_____________； (2)从运动到的过程中，点表示的数是_____________；从运动到的过程中，点表示的数是_____________；（用含的式子表示） (3)从运动到的过程中，点表示的数是_____________；从运动到的过程中，点表示的数是_____________．（用含的式子表示） 7．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t（秒）．    (1)当时，求点Q表示的数；(2)当时，求点Q表示的数； (3)当点Q到原点O的距离为4时，求点P表示的数． 8．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“形数轴”．图中点A表示，点表示，点表示，我们称点和点在“形数轴”上相距个长度单位．动点，同时出发，点从点出发，以单位秒的速度沿着“形数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复到原来的速度；动点从点出发，以单位秒的速度沿着“形数轴”的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复到原来的速度．设运动的时间为秒．请根据以上条件回答：(1)动点从点运动至点需要多少时间？(2)当，两点相遇时，求值；(3)当，两点在“形数轴”上相距的长度与，两点在“形数轴”上相距的长度相等时，则的值为______(直接写出结果)． 9．（2024·江苏·七年级期中）已知数轴上有A、B、C三点，分别对应有理数－26、－10、10，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，同时，动点Q从A出发，以每秒3个单位的速度向终点C移动，设点P的移动时间为t秒．（1）当t＝5秒时，数轴上点P对应的数为 ，点Q对应的数为 ；P、Q两点间的距离为 ．（2）用含t的代数式表示数轴上点P对应的数为 ．（3）在点P运动到C点的过程中（点Q运动到C点后停止运动），请用含t的代数式表示P、Q两点间的距离． 10．（2024·广东·七年级期末）已知数轴上两点A、B对应的数分别为、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．(1)若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数； (2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；(3)点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？ 11．（2024·广东·七年级专题练习）如图，已知点，，是数轴上三点，点对应的数为，，．(1)求点，对应的数；(2)动点，同时从，出发，分别以每秒个单位和个单位的速度沿数轴正方向运动，为的中点，在上，且，设运动时间为。 ①求点，对应的数用含的式子表示；②为何值时， 12．（2024·江苏扬州·七年级期末）已知在数轴上A，B两点对应数分别为﹣2，6． (1)请画出数轴，并在数轴上标出点A、点B； (2)若同一时间点M从点A出发以1个单位长度/秒的速度在数轴上向右运动，点N从点B出发以3个单位长度/秒的速度在数轴上向左运动，点P从原点出发以2个单位长度/秒的速度在数轴上运动． ①若点P向右运动，几秒后点P到点M、点N的距离相等？ ②若点P到A的距离是点P到B的距离的三倍，我们就称点P是【A，B】的三倍点．当点P是【B，A】的三倍点时，求此时P对应的数． 13．（2024·安徽滁州·七年级校考阶段练习）在数轴上，若点、点表示的数分别是、，则、两点间的距离可以表示为，例如，在数轴上，表示数和数的两点间的距离是，表示数和数的两点间的距离是，利用上述结论，解决问题： (1)若，则=_____；(2)若有一个半径为的圆上有一点，与数轴上表示的点重合，将圆沿数轴无滑动的滚动周，点到达点的位置，则点表示的数为______用含有的代数式表示； (3)，为数轴上的两个动点，点表示的数为，点表示的数为，且，点C表示的数为，若点、、、三点中的某一点到另外两点的距离相等，求、的值． 14．（2024·江苏·七年级统考期末）点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a，b满足：|a＋3|＋(b－2)2=0（1）求线段AB的长；（2）如图①，点C在数轴上对应的数为x，且是方程的根，在数轴上是否存在点M使MA＋MB＝BC＋AB？若存在，求出点M对应的数；若不存在，说明理由； （3）如图②，若N点是B点右侧一点，NA的中点为Q，P为NB的三等分点且靠近于B点，当N在B的右侧运动时，请直接判断的值是不变的还是变的，如果不变请直接写出其值，如果是变的请说明理由． 15.（2024·江苏苏州·七年级期末）如图，射线上有三点，满足cm，cm，cm.点从点出发，沿方向以2cm/秒的速度匀速运动，点从点出发在线段上向点匀速运动，两点同时出发，当点运动到点时，点停止运动.(1)若点运动速度为3cm/秒，经过多长时间两点相遇?(2)当时，点运动到的位置恰好是线段的中点，求点的运动速度;(3)自点运动到线段上时，分别取和的中点，求的值. 16．（2024·江苏·七年级期末）数形结合是数学解题中的一种重要思想，利用数轴可以将数与形完美结合．一般地，数轴上越往右边的点表示的数越大，例如：若数轴上点M表示数m，则点M向右移动n个单位到达的点N表示的数为m+n，若点M向左移动n个单位到达的点表示的数为m-n．如图1，已知数轴上点A表示的数为10，点B与点A距离18个单位，且在点A的左边，动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）数轴上点B表示的数为　 　，点P表示的数为　 　．（用含t的式子表示）； （2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发． ①求点P运动多少秒追上点Q？②求点P运动多少秒时与点Q相距6个单位？并求出此时点P表示的数； （3）如图2，若点P，Q以（2）中的速度同时分别从点A，B向右运动，同时点R从原点O以每秒4个单位的速度向右运动，是否存在常数m，使得QR-OP+mOR为定值，若存在，请求出m的值以及这个定值；若不存在，请说明理由．（其中QR表示数轴上点Q与点R之间的距离，OP表示数轴上点O与点P的距离，OR表示数轴上点O与点R的距离．） 17．（2024·江苏连云港·七年级校考期中）已知M、N两点在数轴上所装示的数分别为m、n，且m、n满足：(1)则m =  _________ ，n =  _________ ；(2)①情境：有一个玩具汽车如图所示，放置在数轴上，将汽车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B所对应的数为m，当点B移动到点A时，点A所对应的数为n．则玩具汽车的长为 _________ 个单位长度； ②应用：一天，小阳问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了!”小阳心想：爷爷的年龄到底是多少岁呢?聪明的你能帮小阳求出来吗? (3)在（2）①的条件下，当汽车以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点P和点Q从N、M出发，分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向左和向右运动．记汽车运动后对应的位置为．是否存在常数使得的值与它们的运动时间无关?若存在，请直接写出k的值；若不存在，请说明理由． 18．（23-24七年级上·湖北十堰·阶段练习）已知数轴上有A，B，C三点，它们分别表示数a，b，c，且|a+6|+（b+3）2=0，又b，c互为相反数．    （1）求a，b，c的值．（2）若电子蚂蚁从B点开始连续移动，第1次向右移动1个单位长度；第2次向右移动2个单位长度；第3次向左移动3个单位长度；第4次向左移动4个单位长度；第5次向右移动5个单位长度；第6次向右移动6个单位长度；第7次向左移动7个单位长度；第8次向左移动8个单位长度…依次操作第2019次移动后到达点P，求P点表示的数． 19．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图1，数轴上的点表示数，点表示数，点在点的右侧，已知，，若动点、分别从点、处同时向右移动，点的速度为个单位长度秒，点的速度为个单位长度秒，设运动时间为秒．则： (1)当为何值时，、两点重合？(2)当为何值时，、两点相距个单位长度？(3)如图2，点是的中点，在点、同时间右移动的过程中，试判断的值是否为定值？并说明理由． 20．（24-25七年级上·江苏常州·期中）在数轴上，点A和B表示的数分别为a、b，可以用绝对值表示点A和B两点间距离，即．请回答下列问题： (1)在数轴上点A、B、C分别表示数．① ___，②若，则x的值为_____； ③若，且x为整数，则x的值为 _____． (2)在数轴上，点D、E、F分别表示数．动点P沿数轴从点D开始运动，到达F点后立刻返回，再回到D点时停止运动，设P点在数轴上表示的数为P．在此过程中，点P的运动速度始终保持每秒2个单位长度．设点P的运动时间为t秒．①当________时，；②在整个运动过程中，请用含t的代数式表示． 21．（23-24七年级上·吉林·期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后，再立即以同样的速度返回点，当点到达终点后，两点都停止运动，设运动时间为秒． 【综合运用】(1)填空：两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； (2)当为何值时，两点间距离为3；(3)若点为的中点，点为的中点，当点到达点之前，在运动过程中，探索线段和的数量关系，并说明理由． 22．（23-24七年级上·天津津南·期中）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化．请思考下列问题： (1)平移运动：①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数为 ． A．  C． B．  D． ②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳2023次时，落在数轴上的点表示的数是 ． (2)翻折变换：①若折叠纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示的点与表示 的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为2018（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示 ，B点表示 ． ③若数轴上折叠后重合的两点分别表示数a，b，则折叠中间点表示的数为 （用含有a，b的式子表示） 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$