专题01 绝对值中的八类最值模型（几何模型讲义）数学北师大版2024七年级上册

专题01 绝对值中的八类最值模型 最值问题一直都是初中数学的最难点之一，但也是高分的必须突破点，而绝对值中的最值模型是初中学生第一次接触最值类问题，该类最值模型主要依据绝对值的几何意义或代数意义，考查分类讨论和数形结合的数学思想。需要牢记绝对值中的最值情况规律，解题时能达到事半功倍的效果。本专题就绝对值中的八类最值模型进行梳理及对应试题分析，方便大家掌握。 2 模型来源 2 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 4 模型1.的最小值模型 4 模型2.的最小值和最大值模型 7 模型3.的最小值模型 8 模型4.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 11 模型5.型或型最值模型 13 模型6.绝对值最值模型的实际应用 14 模型7.绝对值相关运算与最值问题 18 模型8.绝对值最值中的新定义问题 20 22 绝对值最值问题的历史发展脉络源于几何直观与代数研究的结合，其核心理论随数学分析的发展逐步完善。绝对值的概念源于物理学中的距离概念，表示一个数到原点的距离。在数学中，绝对值用于表示一个数到数轴原点的距离，因此绝对值总是非负的。这一性质使得绝对值在数学分析中有着广泛的应用，特别是在处理不等式和最值问题时显得尤为重要。在解决含绝对值的代数式最值问题时，可以利用绝对值的几何意义或零点分段法，整体来说绝对值的几何意义较为简单适用。 （2025·山东青岛·校考一模）【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值． 我们先看表示的点可能的3种情况，如图所示： 如图①，在1的左边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1． 如图②，在1，2之间（包括在1，2上），可以看出到1和2的距离之和等于1． 如图③，在2的右边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1.因此，我们可以得出结论：当在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】(1)的几何意义是 ，请你结合数轴研究：的最小值是 ； (2)请你结合图④探究的最小值是 ，由此可以得出a为 ； (3)的最小值是 ；(4)的最小值为 。 （2024·四川成都·三模）函数的最小值为3，则a的值为 ． 知识储备：①绝对值具有非负性，即； ②绝对值的几何意义：表示数轴上的有理数a所对应的点到原点的距离； 表示数轴上的有理数x所对应的点到有理数a所对应的点的距离。‌ 1.求的最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值。 结论：根据绝对值的几何意义知：在时，取得最小值为。 另解：也可用绝对值的代数意义（即分类讨论思想）完成绝对值的最值问题。 2.求的最大值或最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的取最大值或最小值： 结论：在时，取得最小值为；在时，取得最大值。（几何意义） 3.的最小值模型 结论：找到上述式子中的‬零点，按从小到大‬排序（不妨假设）‬，借助数轴容易得到： ‬当n‬奇数‬时‬‬，则x取‬中间数（）‬时‬取得‬最小值‬； ‬当n‬‬偶数时‬，‬则‬x取‬中间‬段（）‬时‬取得‬最小值‬。 规律可总结为：“奇中点，偶中段”。 4.型或型最值模型 1）：当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 2）：当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 5.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 ①绝对值系数不为“1”：如：｜x-1｜+2｜x-2｜+3｜x-3｜+4｜x-4｜+5｜x-5｜ 解题步骤：第1步：将x平铺展开；第2步：找到每个式子的零点，分别为：1、2、2、3、3、3、4、4、4、4、5、5、5、5、5、5共15个零点；第3步：根据“奇中点，偶中段”，在第八个数时，即x=4时，有最小值，带入x=4，最小值为15。 ②x系数不为“1”：如：求｜2x-4｜+｜5x+5｜的最小值。 解题步骤：第1步：x的系数不为1，所以首先‬第一步‬想办法把x的系数化为1，采用提取公因数的方法（或乘法分配律的逆用）；即：｜2x-4｜+｜5x+5｜=｜2（x-2）｜+｜5（x+1）｜=2｜x-2｜+5｜x+1｜。 第2步：进入①中的三个步骤即可。这时，x的系数已经变成了1，我们就可以展开‬，然后‬利用“奇中点‬，偶中段”来求了‬。解‬得‬当x=-1时‬取得‬最小值，最小值‬为‬6。 另解：上述两类问题也可以采用绝对值的代数意义（根据零点分区讨论）求解。 模型1.的最小值模型 例1（24-25七年级上·广东珠海·期中）代数式的最小值是（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 例2（24-25七年级上·四川成都·期末）数轴是一个非常重要的工具，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示5的点与原点（即表示O的点）之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离就可记作．利用数形结合思想，当取得最小值时，写出此时所有整数值x为 ． 例3（24-25七年级上·四川·期末）规定：，，例如：，．有下列结论：①；②若，则； ③不存在能使成立的x的值；④式子的最小值是2．其中正确的是 （填番号） 例4（24-25七年级上·四川·期中）数轴上表示整数的点称为整点．数轴上点M表示的数为a，点N表示的数为，其中a为负整数，如果在线段上有201个整点（包括M和N点），则代数式的最小值为 ． 例5（23-24七年级上·黑龙江鸡西·阶段练习）我国著名的数学家华罗庚曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．在中学数学中，体现数形结合思想的内容较多，本学期学习的“数轴”就是体现数形结合思想的一个有力工具，利用数轴常常可以使一些复杂问题变得容易解决． 例如，式子的几何意义是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离；再比如，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． 发现问题：的最小值是多少？ 探究问题：如图，点，，分别表示数，，，．    ∵的几何意义是线段，的长度之和， ∴当点在线段上时，；当点在的左侧或点的右侧时，，所以的最小值是． 解决问题：（1）表示数轴上所对应的点与数 所对应的点之间的距离，表示数轴上所对应的点与数 所对应的点之间的距离； （2）的最小值是多少？并利用数轴说明理由；    （3）填空：当为 时，的最小值是． 模型2.的最小值和最大值模型 例1（24-25七年级上·安徽六安·期中）若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离表示为（1）若，这样的数x为 ；（2）结合数轴探究：存在x的值，使式子有最大值，这个最大值是 ． 例2（24-25七年级上·四川成都·期中）若的最小值记为，的最大值记为，则 ． 例3（2024·湖北武汉·七年级期中）我们知道，的几何意义是数轴上表示数a的点与原点的距离，一般地，点A，B在数轴上分别表示数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a-b|，请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题： （1）数轴上的数x与1所对应的点的距离为__ ，数x与-1所对应的点的距离为__ ；（2）求的最大值；（3）直接写出的最大值为______． 模型3.的最小值模型 例1（24-25七年级上·福建南平·期中）【阅读】若点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为，则，即表示为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）点，表示的数分别为，2，则_______； （2）若，则_________； 【应用】（3）如图，数轴上表示数的点，问是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由． （4）由以上的探索猜想，对于任意有理数，是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并写出此时x的值；如果没有，说明理由． 例2（24-25七年级上·四川宜宾·期末）m是常数，若式子的最小值是7，则m的值为 ． 例3（24-25七年级上·上海浦东新·期中）阅读理解： 对于有理数a、b，的几何意义为：数轴上表示数a的点到原点的距离；的几何意义为：数轴上表示数a的点与表示数b的点之间的距离.如：的几何意义即数轴上表示数x的点与表示数2的点之间的距离，请根据你的理解解答下列问题： (1)我们知道，根据几何意义，若，那么x的值是 ． (2)利用数轴分析的几何意义，的最小值是 ． (3)的最小值是 ． 例4（24-25七年级上·江西·阶段练习）课本再现 课堂上，通过探究我们发现：在数轴上，若点A，B分别表示数a，b，则点A，B之间的距离等于． （1）的意义可理解为数轴上表示数x和_________这两点的距离． 继续探究：结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （2）数轴上表示x的点位于与2之间，则__________； （3）若数x满足，则__________； （4），则x的取值范围是__________； 结论：的最小值是__________，此时x的范围是__________． 拓展应用：（5）当__________时，的值最小，最小值是__________； （6）当x满足什么条件时，（其中且n为正整数）取得最小值？ 模型4.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 例1（23-24七年级上·福建泉州·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)表示和两点之间的距离是___________；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于如果，那么________． (2)若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为_________； (3)若，求；(4)求的最小值． 例2（24-25七年级上·重庆·阶段练习）数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：点，在数轴上分别对应的数为，，则，两点间的距离表示为． 根据以上知识解题：(1)若，则能取到的最小值是__________，最大值是__________． (2)的最小值为___．(3)已知，求的最大值和最小值． 例3（24-25七年级上·福建泉州·阶段练习）阅读理解：小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题：“当式子取最小值时，相应的x取值范围是 ，最小值是 ”. 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单.” 小明说：“利用数轴可以解决这个问题.” 他们把数轴分为三段：，和，经研究发现，当时，值最小为3.请你根据他们的解题解决下面的问题：(1) (2)若，则就化简为 (3)解决问题：①当式子取最小值时，相应 ，最小值是 . ②已知，求相应的x的取值范围及y的最大值，写出解答过程. 模型5.型或型最值模型 例1（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）代数式有最小值是 ． 例2（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）当x为m时，有最大值n，则 ． 例3（24-25七年级上·浙江·期中）若，为有理数，下列判断正确的个数是（　　） （1）的最小值是；（2）的最小值是；（3）的最大值为；（4）的最大值是． A． B． C． D． 例4（24-25七年级上·江苏扬州·期中）当代数式取最小值时， ． 模型6.绝对值最值模型的实际应用 例1（23-24七年级上·福建宁德·阶段练习）【定义新知】我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．请根据数轴解决以下问题： （1）式子在数轴上的意义是_______；（2）当取最小值时，x可以取整数_______； （3）最大值为_______； 【解决问题】（4）如图，一条笔直的公路边有四个居民区A、B、C、D和市民广场O，居民区A、B、C、D分别位于市民广场左侧，左侧，右侧，右侧．现需要在该公路边上建一个便民服务点P，那么这个便民服务点P建在何处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短？最短路程是多少？试说明理由．    例2（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）阅读：已知点在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为．理解：（）数轴上表示数和的两点之间的距离是_______；（用含的式子表示）；（）当时，则的值为_____；（）当时，则的值为______； （）当代数式取最小值时，相应的的取值范围是______；最小值是_____． 应用：某环形道路上顺次排列有四家快递公司：，它们顺次有快递车辆，辆，辆，辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数． 例3（24-25七年级上·北京通州·期中）我们知道，式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数2的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离，若点P表示的有理数为x，请根据数轴解决以下问题： (1)式子在数轴上的几何意义是_________，若，则x的值为__________； (2)当取最小值时，x取整数的值是__________； (3)当的值最小时，x的取值为__________，最小值是__________． (4)一条笔直的公路边有三个居民小区A、B、C和一个市民广场O，居民小区A、B、C分别位于市民广场左侧5千米，左侧1千米，右侧4千米．现要在该公路上建一个居民生活服务站点P，满足三个小区的居民购物需求，站点P有一辆货车负责向三个小区的居民免费运送所购生活物资．根据小区居民居住人口数和购买力，站点P每天向A小区运送购买物资1次，向B小区运送购买物资2次，向C小区运送购买物资3次．物资运送车往返1千米路程需要花费5元，每次只运送一个小区的物资．为了全天运送购买物资的总运费最少，请你思考站点P建在何处才能使一天的总运送费用最少？最少费用是多少？写出你的解答过程． 模型7.绝对值相关运算与最值问题 例1（23-24九年级下·浙江温州·自主招生）已知，则的最小值为 ． 例2（24-25七年级上·四川成都·期中）材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如表示在数轴上对应的两点之间的距离；所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．综上，数轴上两点对应的数分别为，且两点之间的距离可以表示为，则（或）．(1)求________；若，则_____；(2)的最小值是_____；当_____时的最小值是______；(3)若，求的最大值和的最大值． 模型8.绝对值最值中的新定义问题 例1（23-24七年级上·重庆江北·阶段练习）有一台单功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只是不显示运算，接着再输入整数后则显示的结果，例如：依次输入1，2，则输出的结果是，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数2，a，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，且k的最大值为10，那么k的最小值为 例2（23-24七年级上·安徽滁州·阶段练习）对于有理数a，b，c，d，若，则称a和b关于n的“相对关系值”为d．例如：，则2和3关于1的“相对关系值”为3． （1）2和关于2的“相对关系值”为 ； （2）若m和n关于2的“相对关系值”为2，则的最大值为 ． 例3（23-24七年级上·北京海淀·期中）设有理数a，b在数轴上所对应的点为A，B，记为，，将称为点A，B的对称指标，记为，即．对于定点A，若动点B在线段上，将的最大值称为线段关于点A的对称指标，记为．(1)点，，，在数轴上，①__________，__________．②若，则__________． (2)点，，在数轴上，，，①当时，__________． ②当线段在数轴上运动时，直接写出的最小值及此时m的值． 1．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）设，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·四川宜宾·期中）下列说法正确的有（   ） ①若，则；    ②若，则有是正数； ③若代数式的值与x无关，则该代数式值为2021； ④代数式最大值是6 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024七年级上·江苏·专题练习）规定，，例如，，下列结论中，正确的是（    ）（填写正确选项的序号） ①若．则；②若，则； ③能使成立的的值不存在；④式子的最小值是． A．①④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 4．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）对于代数式，下列说法正确的是（      ） A．当时，最大值是2 B．当时，最小值是2 C．当时，最大值是2 D．当时，最小值是2 5．（23-24七年级上·重庆渝北·期末）阅读：如，表示与差的绝对值，也可以理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；，所以表示与在数轴上对应的两点之间的距离，点、在数轴上分别表示有理数、，那么、之间的距离可表示为，那么下列说法中： ①的最小值为，且当式子取得最小时，的值为或； ②的最小值为（为大于的奇数）； ③当，的取值范围是； ④的最大值为，且当式子取得最大时，的取值范围是． 其中正确的个数是（      ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·广东东莞·阶段练习）对于，当 时，它有最小值，且此时最小值 同理，对于有最大值，此时最大值 ． 6．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）用字母a表示一个有理数，则一定是非负数，也就是它的值为正数或0，所以的最小值为0，而一定是非正数，即它的值为负数或0，所以有最大值0．根据这个结论完成下列问题：(1)有最______值______；有最______值______； (2)当a为何值时，有最值，并求出这个最值；(3)若，求的值． 7．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）若x为有理数，则的最小值为 ． 8．（23-24七年级上·四川成都·期中）设，，，则的最小值是 ． 9．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）数轴上两点之间的距离等于这两个点所对应的数的差的绝对值，例如：点A、B在数轴上对应的数分别是a、b，则点A、B两点间的距离表示为，利用上述结论，回答以下问题：（1）若点A在数轴上表示，点B在数轴上表示1，那么 ； （2）对于任何有理数x，的最小值是 ； （3）对于任何有理数x，当 时，有最小值是 ． 10．（24-25七年级上·重庆巴南·阶段练习）已知，求的最大值与最小值的差是 ． 11．（23-24七年级上·安徽池州·期末）已知，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为a，b，c．其中点A在点B左侧，A，B两点间的距离为4，且a，b，c满足，则（1）c的值为 ． （2）数轴上任意一点P，点P对应的数为x，若存在x使的值最小，则x的值为 ． 12．（23-24七年级上·云南·阶段练习）（1）探索材料（填空）： 数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为； ①数轴上表示数3和的两点距离为 ；②则的意义可理解为数轴上表示数 和 这两点的距离． （2）实际应用（填空）：①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料 才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小； ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料 才能使P到A，B，C三点的距离之和最小； ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料 才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小． （3）结论应用（填空）；①代数式的最小值是 ；②代数式的最小值是 ； ③代数式的最小值是 ． 13．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）【阅读】：表示7与3差的绝对值，也可理解为7与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离：可以看作，表示7与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】：（1）如果，那么 ；（2）有最小值 ；（3）有最大值 ； 【应用】：（4）的最小值为 ； （5）的最大值为 ． 14．（23-24七年级上·江苏南通·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：一般地，数轴上表示m和n的两点之间的距离为．(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离为______； (2)当______时，的值最小，最小值为______． (3)当a满足______时，的值最小，最小值为______． (4)已知：关于x的代数式的最小值为2，则a的值为______． 15．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了，把数轴分为三段：和，经研究发现，当时，值最小为”． 小明说：“利用数形结合思想可以解决这个问题，若点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，则在数轴上、两点之间的距离．” 请你根据他们的解题解决下面的问题： (1)当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______． (2)已知，求的最大值和最小值及相应的的取值范围，并写出解答过程． (3)求为何值时，式子有最小值，并求出此最小值． 16．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）同学们都知道：表示与-之差的绝对值，实际上也可理解为与-两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：    (1)数轴上表示与-的两点之间的距离可以表示为 ． (2)同样的道理，表示数轴上有理数所对应的点到-和所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是 ． (3)根据数轴，若的最小值是，请直接写出的值． (4)由以上探索猜想是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并求出所有符合条件的整数的和；如果没有，说明理由． 17．（23-24七年级上·四川成都·期末）已知有理数a，b满足，请回答下列问题： (1)请直接写出a，b的值： ， ； (2)数轴上a，b，x三个数所对应的点分别为A、B、X，且点X是数轴上的任意点，点A与点X之间的距离用表示，点B与点X之间的距离用表示，请计算当x分别为，0，2025时，代数式的值，并指出当的值最小时，点X在数轴上的位置； (3)如果在数轴连续的整数点上依次有n个机器人，且相邻两个机器人之间的距离都是1个单位，同时数轴上有一个快递包裹分发点智能机器人，它能根据机器人的数量自动决策出快递包裹分发点的位置，使得每个机器人去取快递包裹的距离之和最小，请直接用含n的代数式表示这个最小值． 18．（24-25七年级上·福建漳州·期中）阅读理解：我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离．举例：数轴上表示数和的两点和之间的距离是． 问题探究：参考阅读材料，解答下列问题．(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是______； (2)若数轴上表示数的点位于与5之间，求的值是______； (3)当取最小值时，相应的数的取值范围是______；(4)求的最小值是______． 实际应用：(5)问题：某一直线沿街一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，，，，，…，，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在______，才能使这2023户居民到点的距离总和最小．（填住户标记字母） 拓展提升：(6)若数满足，求的最小值为______． 19．（24-25七年级上·广西玉林·期中）阅读下列材料并解决问题： 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义．若在数抽上有理数对应的点为，有理数对应的点为，则A，B两点之间的距离可表示为或，记为．如式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题：(1)与3的距离是______；(2)式子的最小值是______； (3)应用：如图，某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A，B，C，D，它们依次有快递车15辆，9辆，5辆，11辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数． 20．（2024·浙江·七年级专题练习）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为﹣5，b，4．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度1.8cm，点C对齐刻度5.4cm．（1）求数轴上点B所对应的数b；（2）点P是图1数轴上一点，P到A的距离是到B的距离的两倍，求点P所表示的数；（3）若点Q在数轴上表示的数为x，则|x+5|+|x﹣4|的最小值为 　 　，|x+5|﹣|x﹣4|的最大值为 　 　． 21．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，请回答问题： (1)点B表示的数是 　　，点C表示的数是 　　． (2)折叠数轴，使数轴上的点B和点C重合，则点A与数字 　　重合． (3)m、n两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为|m﹣n|，如5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为|5﹣（﹣2）|，从而很容易就得出在数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是7． ①若x表示一个有理数，则|x﹣3|+|x﹣6|的最小值＝　　． ②若x表示一个有理数，且|x﹣4|+|x+3|＝7，则满足条件的所有整数x的和是 　　． ③当x＝　　时，2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|取最小值． ④当x取何值时，2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|取最小值？最小值为多少？ 22．（23-24七年级上·江苏连云港·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离，因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离． 回答下列问题：(1)①数轴上表示x和2的两点A和B之间的距离是______； ②在①的情况下，如果，那么x为______． (2)探究问题：代数式的最小值是多少？ 如图，点A、B、P分别表示数、2、x，， ∵的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点P在线段上时，，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，， ∴的最小值是3， 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： 解决问题：①直接写出式子的最小值是______； ②工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着5个工作台A、B、C、D、E，一只配件箱应该放在工作 处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是______米． (3)若点A、B、C在数轴上分别表示数、1、5，点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 绝对值中的八类最值模型 最值问题一直都是初中数学的最难点之一，但也是高分的必须突破点，而绝对值中的最值模型是初中学生第一次接触最值类问题，该类最值模型主要依据绝对值的几何意义或代数意义，考查分类讨论和数形结合的数学思想。需要牢记绝对值中的最值情况规律，解题时能达到事半功倍的效果。本专题就绝对值中的八类最值模型进行梳理及对应试题分析，方便大家掌握。 2 模型来源 2 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 4 模型1.的最小值模型 4 模型2.的最小值和最大值模型 7 模型3.的最小值模型 8 模型4.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 11 模型5.型或型最值模型 13 模型6.绝对值最值模型的实际应用 14 模型7.绝对值相关运算与最值问题 18 模型8.绝对值最值中的新定义问题 20 22 绝对值最值问题的历史发展脉络源于几何直观与代数研究的结合，其核心理论随数学分析的发展逐步完善。绝对值的概念源于物理学中的距离概念，表示一个数到原点的距离。在数学中，绝对值用于表示一个数到数轴原点的距离，因此绝对值总是非负的。这一性质使得绝对值在数学分析中有着广泛的应用，特别是在处理不等式和最值问题时显得尤为重要。在解决含绝对值的代数式最值问题时，可以利用绝对值的几何意义或零点分段法，整体来说绝对值的几何意义较为简单适用。 （2025·山东青岛·校考一模）【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值． 我们先看表示的点可能的3种情况，如图所示： 如图①，在1的左边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1． 如图②，在1，2之间（包括在1，2上），可以看出到1和2的距离之和等于1． 如图③，在2的右边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1.因此，我们可以得出结论：当在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】(1)的几何意义是 ，请你结合数轴研究：的最小值是 ； (2)请你结合图④探究的最小值是 ，由此可以得出a为 ； (3)的最小值是 ；(4)的最小值为 。 【答案】(1)a在数轴上对应的点到4和7两个点的距离之和；3；(2)2；2；(3)6；(4)1025156。 【详解】（1）由题可知，的几何意义是a这个数在数轴上对应点到4和7两个点的距离之和 当a在4和7之间时（包括4，7上），a到4和7的距离之和等于3，此时取得最小值是3 故答案为：a在数轴上对应的点到3和6两个点的距离之和；3 （2）当a取中间数2时，绝对值最小；的最小值是1＋0＋1＝2故答案为：2；2 （3）当a取最中间数时，绝对值最小；的最小值是 ； （4）当a取中间数1013时，绝对值最小， 的最小值为： 故答案为：1025156. （2024·四川成都·三模）函数的最小值为3，则a的值为 ． 【答案】或 【详解】解：∵ ∴根据绝对值的意义，是指到和到的距离之和 ∵函数的最小值为3，∴此时在和的之间，且是和的之间的距离为3 即∴∴或故答案为：或． 知识储备：①绝对值具有非负性，即； ②绝对值的几何意义：表示数轴上的有理数a所对应的点到原点的距离； 表示数轴上的有理数x所对应的点到有理数a所对应的点的距离。‌ 1.求的最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值。 结论：根据绝对值的几何意义知：在时，取得最小值为。 另解：也可用绝对值的代数意义（即分类讨论思想）完成绝对值的最值问题。 2.求的最大值或最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的取最大值或最小值： 结论：在时，取得最小值为；在时，取得最大值。（几何意义） 3.的最小值模型 结论：找到上述式子中的‬零点，按从小到大‬排序（不妨假设）‬，借助数轴容易得到： ‬当n‬奇数‬时‬‬，则x取‬中间数（）‬时‬取得‬最小值‬； ‬当n‬‬偶数时‬，‬则‬x取‬中间‬段（）‬时‬取得‬最小值‬。 规律可总结为：“奇中点，偶中段”。 4.型或型最值模型 1）：当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 2）：当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 5.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 ①绝对值系数不为“1”：如：｜x-1｜+2｜x-2｜+3｜x-3｜+4｜x-4｜+5｜x-5｜ 解题步骤：第1步：将x平铺展开；第2步：找到每个式子的零点，分别为：1、2、2、3、3、3、4、4、4、4、5、5、5、5、5、5共15个零点；第3步：根据“奇中点，偶中段”，在第八个数时，即x=4时，有最小值，带入x=4，最小值为15。 ②x系数不为“1”：如：求｜2x-4｜+｜5x+5｜的最小值。 解题步骤：第1步：x的系数不为1，所以首先‬第一步‬想办法把x的系数化为1，采用提取公因数的方法（或乘法分配律的逆用）；即：｜2x-4｜+｜5x+5｜=｜2（x-2）｜+｜5（x+1）｜=2｜x-2｜+5｜x+1｜。 第2步：进入①中的三个步骤即可。这时，x的系数已经变成了1，我们就可以展开‬，然后‬利用“奇中点‬，偶中段”来求了‬。解‬得‬当x=-1时‬取得‬最小值，最小值‬为‬6。 另解：上述两类问题也可以采用绝对值的代数意义（根据零点分区讨论）求解。 模型1.的最小值模型 例1（24-25七年级上·广东珠海·期中）代数式的最小值是（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】D 【详解】解：∵表示到，的距离和∴当时，有最小值， ∴当时，故选：D． 例2（24-25七年级上·四川成都·期末）数轴是一个非常重要的工具，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示5的点与原点（即表示O的点）之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离就可记作．利用数形结合思想，当取得最小值时，写出此时所有整数值x为 ． 【答案】1，2，3，4 【详解】解：∵表示数轴上x与1之间的距离，表示数轴上x与4之间的距离， ∴时，表示数x的点到表示数1和4的点之间的距离最小， ∴整数x为1，2，3，4，故答案为：1，2，3，4 例3（24-25七年级上·四川·期末）规定：，，例如：，．有下列结论：①；②若，则； ③不存在能使成立的x的值；④式子的最小值是2．其中正确的是 （填番号） 【答案】①② 【详解】解：①，故①正确； ②若，则，解得，， ，故②正确； ③若，则，即或，解得， 即能使成立的的值存在，故③不正确； ④式子的最小值是，故④不正确； 正确的有①②，故答案为：①②． 例4（24-25七年级上·四川·期中）数轴上表示整数的点称为整点．数轴上点M表示的数为a，点N表示的数为，其中a为负整数，如果在线段上有201个整点（包括M和N点），则代数式的最小值为 ． 【答案】192 【详解】解：由题可得，故或， ∵a为负整数，∴，∴代数式， ∵表示数轴上表示x的点到96和两点的距离之和， ∴当时，最小，且最小值为：．故答案为：192． 例5（23-24七年级上·黑龙江鸡西·阶段练习）我国著名的数学家华罗庚曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．在中学数学中，体现数形结合思想的内容较多，本学期学习的“数轴”就是体现数形结合思想的一个有力工具，利用数轴常常可以使一些复杂问题变得容易解决． 例如，式子的几何意义是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离；再比如，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． 发现问题：的最小值是多少？ 探究问题：如图，点，，分别表示数，，，．    ∵的几何意义是线段，的长度之和， ∴当点在线段上时，；当点在的左侧或点的右侧时，，所以的最小值是． 解决问题：（1）表示数轴上所对应的点与数 所对应的点之间的距离，表示数轴上所对应的点与数 所对应的点之间的距离； （2）的最小值是多少？并利用数轴说明理由；    （3）填空：当为 时，的最小值是． 【答案】（1），；（2），图见解析；（3）或． 【详解】（1）根据绝对值的几何意义，表示数轴上所对应的点与数所对应的点之间的距离，表示数轴上所对应的点与数所对应的点之间的距离，故答案为：， （2）如图，点，，分别表示，，，．    ∵的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点在线段上时，；当点在点A的左侧或点B的右侧时，． ∴的最小值是． （3）根据绝对值的几何意义，最小值为：， ∴或，解得：或，故答案为：或． 模型2.的最小值和最大值模型 例1（24-25七年级上·安徽六安·期中）若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离表示为（1）若，这样的数x为 ；（2）结合数轴探究：存在x的值，使式子有最大值，这个最大值是 ． 【答案】 5或1 6 【详解】（1）由绝对值的几何意义知：表示在数轴上x表示的点到3的距离等于2， ∴，或，∴或1；故答案为：5或1； （2）当时，即表求x的点在的左侧时， 当时，即表求x的点在和5之间时， ∴， 当时，即表求x的点在5的右侧时， ∴的最大值为6，故答案为：6． 例2（24-25七年级上·四川成都·期中）若的最小值记为，的最大值记为，则 ． 【答案】 【详解】解：∵当时，， 当时，， 当时，，∴， ∵当时，； 当时，，； 当时，，∴，∴，故答案为：． 例3（2024·湖北武汉·七年级期中）我们知道，的几何意义是数轴上表示数a的点与原点的距离，一般地，点A，B在数轴上分别表示数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a-b|，请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题： （1）数轴上的数x与1所对应的点的距离为__ ，数x与-1所对应的点的距离为__ ；（2）求的最大值；（3）直接写出的最大值为______． 【答案】（1）|x-1|，|x+1|；（2）2；（3）20 【详解】（1）由题意得到：数轴上的数x与1所对应的点的距离为， 数x与-1所对应的点的距离为，故答案为：， ； （2）表示x到1之间的距离，表示x到-1之间的距离， ①当x≤-1时，=1-x，=-1-x，∴=（-1-x）-（1-x）=-2； ②当-1≤x≤1时，=1-x，=x+1，∴=（x+1）-（1-x）=2x≤2； ③当x≥1时，=x-1，=x+1，∴=（x+1）-（x-1）=2，∴的最大值为2 （3）由（2）知：的最大值为2，由此可得： 的最大值为4， 的最大值是6，的最大值是8， ∴的最大值是2+4+6+8=20 模型3.的最小值模型 例1（24-25七年级上·福建南平·期中）【阅读】若点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为，则，即表示为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）点，表示的数分别为，2，则_______； （2）若，则_________； 【应用】（3）如图，数轴上表示数的点，问是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由． （4）由以上的探索猜想，对于任意有理数，是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并写出此时x的值；如果没有，说明理由． 【答案】（1）9；（2）1或；（3）有，5；（4）有，最小值为7， 【详解】解：（1）点，表示的数分别为，2，则，故答案为：9； （2）数轴上与表示的点相距3个单位的点表示的数为1或， 若，则或，故答案为：1或； （3）有最小值，理由如下：表示数轴上有理数所对的点到和2所对的两点距离之和， 当时，有最小值，此时最小值为； （4）有最小值，理由如下：若表示一个有理数，则有最小值，表示到，和1距离的和， 若想和的值最小，则当表示时，到三点的距离和最小， 当时，的最小值为7． 例2（24-25七年级上·四川宜宾·期末）m是常数，若式子的最小值是7，则m的值为 ． 【答案】或8 【详解】∵可以看作数轴上表示x的点距离表示的点的距离之和，且的最小值是7， ①当时，即，则时，原式有最小值，此时，解得： ②当时，即，则时，原式有最小值，此时，故不合题意； ③当时，即，则时，原式有最小值，此时，解得：； 综上，m的值为或8，故答案为：或8． 例3（24-25七年级上·上海浦东新·期中）阅读理解： 对于有理数a、b，的几何意义为：数轴上表示数a的点到原点的距离；的几何意义为：数轴上表示数a的点与表示数b的点之间的距离.如：的几何意义即数轴上表示数x的点与表示数2的点之间的距离，请根据你的理解解答下列问题： (1)我们知道，根据几何意义，若，那么x的值是 ． (2)利用数轴分析的几何意义，的最小值是 ． (3)的最小值是 ． 【答案】(1)1或(2)5(3)169 【详解】（1）解：的几何意义：数轴上表示x的点与表示的点之间的距离， 若，向右3个单位是1，向左三个单位是，故答案为：1或； （2）解：的几何意义：数轴上表示x的点与表示的点之间的距离与数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离之和， 当时，的最小值是为，故答案为：5； （3）解：∵表示x到，0，1，2，3，…24的点的距离的和， ∴当，最小， 最小值为，故答案为：169． 例4（24-25七年级上·江西·阶段练习）课本再现 课堂上，通过探究我们发现：在数轴上，若点A，B分别表示数a，b，则点A，B之间的距离等于． （1）的意义可理解为数轴上表示数x和_________这两点的距离． 继续探究：结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （2）数轴上表示x的点位于与2之间，则__________； （3）若数x满足，则__________； （4），则x的取值范围是__________； 结论：的最小值是__________，此时x的范围是__________． 拓展应用：（5）当__________时，的值最小，最小值是__________； （6）当x满足什么条件时，（其中且n为正整数）取得最小值？ 【答案】（1）；（2）7；（3）或3；（4）或；结论：7，；（5）1，7；（6）若n为偶数，当时，取得最小值；若n为奇数，当时，取得最小值． 【详解】解：（1），即、两点的距离等于，两数之差的绝对值， 的意义可理解为数轴上有理数和-5这两点的距离．故答案为：-5． （2）数轴上表示的点位于与2之间，， ，，．故答案为：7． （3）若，分三种情况： ①当时， ，； ②当，，此时方程无解； ③当时，，．故答案为：或3． （4）表示数轴上-5与2的点的距离和大于7的数，或． 表示数轴上有理数和-5这两点的距离，表示数轴上有理数和2这两点的距离， 表示数轴上有理数的到-5及与2的距离之和， 当时，最小值为7．故答案为：或；结论：7，． （5）表示数轴上表示的点到-5，-2，1三点的距离之和， 当时，有最小值，最小值为7．故答案为：1，7． （6）当为奇数时，中间的点为， 则当时，有最小值； 当为偶数时，中间的点为和， 则当或时，有最小值． 模型4.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 例1（23-24七年级上·福建泉州·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)表示和两点之间的距离是___________；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于如果，那么________． (2)若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为_________； (3)若，求；(4)求的最小值． 【答案】(1)；或(2)(3)或(4) 【详解】（1）解：数轴上表示和的两点之间的距离是：， ，或，或．故答案为：；或． （2）数轴上表示数的点位于与之间，，故答案为：． （3），数的点位于的左边或的右边，或； （4）表示一点到，，三点的距离的和， 当时，，当时，取得最小值为； 当时，，当时，取得最小值为； 当时，， 当接近时，取得最小值接近为； 当时，， 当接近时，取得最小值接近；综上可得，式子的最小值为．故答案为：． 例2（24-25七年级上·重庆·阶段练习）数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：点，在数轴上分别对应的数为，，则，两点间的距离表示为． 根据以上知识解题：(1)若，则能取到的最小值是__________，最大值是__________． (2)的最小值为___．(3)已知，求的最大值和最小值． 【答案】(1)，3(2)(3)10， 【详解】（1）解：将化简为， 根据绝对值的几何意义可得，x到3的距离与x到的距离的和为4， ∵3到的距离为4，∴x位于3到，则能取到的最小值是，最大值是3； （2）解：可表示为x到的距离与x到的距离和， 则当时，最小值为2， ∵的占比为，的占比为，∴当越大时，越小． 则当时取得最大值，； （3）解：根据题意得，且， ∵，∴当，时，符合题意， 此时，的最小值为3，的最小值为9， ∴的最大值为：，的最小值为：． 例3（24-25七年级上·福建泉州·阶段练习）阅读理解：小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题：“当式子取最小值时，相应的x取值范围是 ，最小值是 ”. 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单.” 小明说：“利用数轴可以解决这个问题.” 他们把数轴分为三段：，和，经研究发现，当时，值最小为3.请你根据他们的解题解决下面的问题：(1) (2)若，则就化简为 (3)解决问题：①当式子取最小值时，相应 ，最小值是 . ②已知，求相应的x的取值范围及y的最大值，写出解答过程. 【答案】(1)5(2)(3)①4，4；②时，有最大值 【详解】（1）故答案为5； （2）∵，∴∴故答案为： （3）①当式子取最小值时，相应的，最小值是4；故答案为4，4； ②当时，当时，最大； 当时，，当时，最大； 当，时，当时，最大，所以时，有最大值． 模型5.型或型最值模型 例1（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）代数式有最小值是 ． 【答案】3 【详解】解：∵，∴，∴代数式的最小值是3．故答案为：3． 例2（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）当x为m时，有最大值n，则 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴，∴， ∴当时，的最大值，∴；故答案为： 例3（24-25七年级上·浙江·期中）若，为有理数，下列判断正确的个数是（　　） （1）的最小值是；（2）的最小值是；（3）的最大值为；（4）的最大值是． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，，即的最小值是，故（1）正确； ，，当，即时，，故的最小值不是； 当时，则，即，即，故最小值不是；故（2）不正确； 的最小值为，故（3）错误；的最大值是，故（4）正确；．故选：B． 例4（24-25七年级上·江苏扬州·期中）当代数式取最小值时， ． 【答案】 【详解】解：∵，∴当时，有最小值， ∴，∴，∴，故答案为：． 模型6.绝对值最值模型的实际应用 例1（23-24七年级上·福建宁德·阶段练习）【定义新知】我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．请根据数轴解决以下问题： （1）式子在数轴上的意义是_______；（2）当取最小值时，x可以取整数_______； （3）最大值为_______； 【解决问题】（4）如图，一条笔直的公路边有四个居民区A、B、C、D和市民广场O，居民区A、B、C、D分别位于市民广场左侧，左侧，右侧，右侧．现需要在该公路边上建一个便民服务点P，那么这个便民服务点P建在何处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短？最短路程是多少？试说明理由．    【答案】（1）数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离；（2），0，1，2，3；（3）4；（4）便民服务点P建在点B或点C处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短，最短距离是 【详解】（1）解：由题意可知，式子在数轴上的意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离；故答案为：数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离． （2）解：根据题意可得，的几何意义是数轴上表示有理数x到的距离与x到3的距离之和， ∴当时，取最小值，即当x可以取整数，0，1，2，3； 故答案为：，0，1，2，3． （3）解：的几何意义是表示x的点到的点的距离减去表示x的点到表示3的点的距离， 时取得最大值，的最大值是：． （4）解：设便民服务点P在数轴上表示x的点处， 根据题意可得，便民服务点到四点的距离为， 当表示x的点在表示的点到表示1的点的线段上，有最小值，即， 当时，取得最小值，此时， 答：便民服务点P建在点B或点C处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短，最短距离是． 例2（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）阅读：已知点在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为． 理解：（）数轴上表示数和的两点之间的距离是_______；（用含的式子表示） （）当时，则的值为_____； （）当时，则的值为______； （）当代数式取最小值时，相应的的取值范围是______；最小值是_____． 应用：某环形道路上顺次排列有四家快递公司：，它们顺次有快递车辆，辆，辆，辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数． 【答案】理解：（）；（）或；（）或；（），；应用：种调配方案，调出的最少车辆数为辆． 【详解】解：理解：（）由题意得，数轴上表示数和的两点之间的距离是，故答案为：； （）∵，∴或，∴或，故答案为：或； （）当时，，解得； 当时，，此时方程无解； 当时，，解得； 综上，的值为或，故答案为：或； （）∵， ∴代数式表示到和的距离之和，当在和之间，即时，和最小，最小值为，故答案为：，； 应用：根据题意，画图如下，共有种调配方案： 由图可得，调出的最少车辆数为辆． 例3（24-25七年级上·北京通州·期中）我们知道，式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数2的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离，若点P表示的有理数为x，请根据数轴解决以下问题： (1)式子在数轴上的几何意义是_________，若，则x的值为__________； (2)当取最小值时，x取整数的值是__________； (3)当的值最小时，x的取值为__________，最小值是__________． (4)一条笔直的公路边有三个居民小区A、B、C和一个市民广场O，居民小区A、B、C分别位于市民广场左侧5千米，左侧1千米，右侧4千米．现要在该公路上建一个居民生活服务站点P，满足三个小区的居民购物需求，站点P有一辆货车负责向三个小区的居民免费运送所购生活物资．根据小区居民居住人口数和购买力，站点P每天向A小区运送购买物资1次，向B小区运送购买物资2次，向C小区运送购买物资3次．物资运送车往返1千米路程需要花费5元，每次只运送一个小区的物资．为了全天运送购买物资的总运费最少，请你思考站点P建在何处才能使一天的总运送费用最少？最少费用是多少？写出你的解答过程． 【答案】(1)数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离，或2(2)，，，0，1(3)，7(4)站点P建在B和C之间，才能使总运送费用最少，最少费用是95元 【详解】（1）解：由题意可知，式子在数轴上的几何意义是：数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离； 表示数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离等于5，由数轴可知为：或2， 故答案为：数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离，或2； （2）解：表示：数轴上表示有理数x的点到表示有理数的点的距离，与表示有理数x的点到表示有理数1的点的距离之和，所以x应该在表示有理数与1的两点之间的线段上， 所以x可以取整数，，，0，1；故答案为：，，，0，1； （3）解：表示数轴上x到、x到与x到1的距离之和，所以x应该在与1之间的线段上，且当时，x到、x到与x到1的距离之和最小， 最小值为到1的距离7；故答案为：，7； （4）解：以市民广场O为原点，原点右侧为正方向，1千米为单位长度，建立数轴，设居民生活服务站点P所对应的数为x，由题意可知，，，4， ∴物资的往返总运送费用为：元，如图， ∵表示x到的距离与x到4的距离之和，x到的距离与x到4的距离之和的2倍的总和， 当时，取得最小值， 当时，取得最小值， ∴当时，取得最小值， ∵物资运送车往返1千米路程需要花费5元，∴（元）． ∴站点P建在B和C之间，才能使总运送费用最少，最少费用是95元． 模型7.绝对值相关运算与最值问题 例1（23-24九年级下·浙江温州·自主招生）已知，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴， ∵要使的最小，∴取最小值，取最大值， ∴当时，最小值为，最小为 当时， 的最小值为，最大为 ∴的最小值为 故答案为：． 例2（24-25七年级上·四川成都·期中）材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如表示在数轴上对应的两点之间的距离；所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．综上，数轴上两点对应的数分别为，且两点之间的距离可以表示为，则（或）．(1)求________；若，则_____；(2)的最小值是_____；当_____时的最小值是______；(3)若，求的最大值和的最大值． 【答案】(1)，或；(2)，，；(3)的最大值为，的最大值为． 【详解】（1）解：，∵，∴，解得:或，故答案为：，或； （2）解：可以看作表示的点到和的距离之和， ∴当点在与之间的线段上，即时，， ∴有最小值，最小值为：， 可以看作表示的点到的距离与到的距离以及到的距离之和， 当时，； 当时，； 当时，； ∴当时，的最小值为，故答案为：，，； （3）解：当时，； 当时，，∴， 当时，，∴， 当时，，∴， ∴当时，有最小值，为； 当时，∴， 当时，∴， 当时，； 当时，，∴， 当时，，∴， ∴当时，有最小值为， ∵， ∴， ∴，，∴，，∴的最大值为，的最大值为． 模型8.绝对值最值中的新定义问题 例1（23-24七年级上·重庆江北·阶段练习）有一台单功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只是不显示运算，接着再输入整数后则显示的结果，例如：依次输入1，2，则输出的结果是，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数2，a，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，且k的最大值为10，那么k的最小值为 【答案】6 【详解】解：∵随意地一个一个的输入三个互不相等的正整数2，a，b，，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，k的最大值为10，∴设b为较大数字，当时，，解得：， 故此时任意输入后得到的最小数为：， 设b为较大数字，当时，，则，即，则， 故此时任意输入后得到的最小数为：， 综上所述：k的最小值为6．故答案为：6 例2（23-24七年级上·安徽滁州·阶段练习）对于有理数a，b，c，d，若，则称a和b关于n的“相对关系值”为d．例如：，则2和3关于1的“相对关系值”为3． （1）2和关于2的“相对关系值”为 ； （2）若m和n关于2的“相对关系值”为2，则的最大值为 ． 【答案】 7 6 【详解】解：（1）由题意得，．故答案为：7． （2）由题意得，．根据绝对值的几何意义：点到2的距离之和为2， 所以当所表示的数同为大于及等于2的时候，取最大值， 当，解得：，则，解得：或（舍去）的最大值为6．故答案为：6． 例3（23-24七年级上·北京海淀·期中）设有理数a，b在数轴上所对应的点为A，B，记为，，将称为点A，B的对称指标，记为，即．对于定点A，若动点B在线段上，将的最大值称为线段关于点A的对称指标，记为．(1)点，，，在数轴上，①__________，__________．②若，则__________． (2)点，，在数轴上，，，①当时，__________． ②当线段在数轴上运动时，直接写出的最小值及此时m的值． 【答案】(1)①0，2；②或(2)①4；②的最小值为2，此时或． 【详解】（1）解：①， 故答案为：0，2； ②∵，∴，即，∴，解得：或， ∴或，故答案为：或； （2）解：①∵，，，∴，解得：， 设B为上一点，记为，∴，∴， ∴当时，即时，有最大值4，∴， ②根据题意，得， 当5位于线段的中点时，的值最小， 当时，，∴，∴； 当时，，，此时无法取最小值，故舍去； 当时，，∴， 综上， 的最小值为2，此时或． 1．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）设，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵表示在数轴上，数到，，的距离之和，且设该值为a， 结合数轴可知：当数x在1的左侧，此时a的值必然大于2；当数x在3的右侧，此时a的值也必然大于2；当数x在1和3之间时，此时数x到1和3距离之和为定值2，此时若数x与数2重合，即数x到数2距离为0，则a的值取最小，为2；即当时，取得最小值，为， ∴，∴，∴， 即，∴的最大值为．故选：． 2．（23-24七年级上·四川宜宾·期中）下列说法正确的有（   ） ①若，则；    ②若，则有是正数； ③若代数式的值与x无关，则该代数式值为2021； ④代数式最大值是6 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：∵若，则，故①错误，不合题意， ∵若则或或或 当时，则有是正数，当时，则有是正数， 当时，则有是正数，当时，则有是正数， 由上可得，是正数；故②正确， ∵若代数式的值与x无关，则 ．故③错误， 只有当时，的最大值是6， ∵，x不存在，故④错误，故选A． 3．（2024七年级上·江苏·专题练习）规定，，例如，，下列结论中，正确的是（    ）（填写正确选项的序号） ①若．则；②若，则； ③能使成立的的值不存在；④式子的最小值是． A．①④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】A 【详解】解：①∵，即， ∴，，∴，，∴，∴①正确； ②∵，∴，∴②不正确； ③，即，当时，得，无解； 当时，得，解得：；当时，得，无解； ∴当时成立，∴③不正确； ④，它的几何意义是数轴上表示的点到表示的点与到表示的点的距离之和，∴当表示x的点位于表示的点与表示的点之间时，其距离之和最小，最小值为， ∴④正确．综上，①④正确．故选：A． 4．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）对于代数式，下列说法正确的是（      ） A．当时，最大值是2 B．当时，最小值是2 C．当时，最大值是2 D．当时，最小值是2 【答案】B 【详解】解：∵，∴，∴当x=1时，y有最小值为2．故选：B． 5．（23-24七年级上·重庆渝北·期末）阅读：如，表示与差的绝对值，也可以理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；，所以表示与在数轴上对应的两点之间的距离，点、在数轴上分别表示有理数、，那么、之间的距离可表示为，那么下列说法中： ①的最小值为，且当式子取得最小时，的值为或； ②的最小值为（为大于的奇数）； ③当，的取值范围是； ④的最大值为，且当式子取得最大时，的取值范围是． 其中正确的个数是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意得： ①表示：数轴上表示的点，到表示的点和表示的点距离之和，当在与之间时，这个距离之和最小，最小值为，此时的取值范围为，故①不正确； ②当时，取最小值，（为大于的奇数）， 即 ，故②正确； ③表示的意义：数轴上表示的点，到表示和点的距离之和大于， 根据图像法，可得或，故③不正确； ④表示的意义：数轴上表示的点，到表示和点的距离之差，当在左边取得最大值为，即，故④正确，综上正确的是②④，故选：． 6．（24-25七年级上·广东东莞·阶段练习）对于，当 时，它有最小值，且此时最小值 同理，对于有最大值，此时最大值 ． 【答案】 0 【详解】解：由题意知，，∴当时，有最小值，最小值为， 当时，有最大值，最大值为，故答案为：0，，． 6．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）用字母a表示一个有理数，则一定是非负数，也就是它的值为正数或0，所以的最小值为0，而一定是非正数，即它的值为负数或0，所以有最大值0．根据这个结论完成下列问题： (1)有最______值______；有最______值______； (2)当a为何值时，有最值，并求出这个最值； (3)若，求的值． 【答案】(1)小, , 大, (2)当时,有最小值(3) 【详解】（1）∵有最小值为,有最大值为, ∴有最小值,有最大值,故答案为: 小, , 大, ； （2）∵当, 即时, 有最小值，∴当时,有最小值； （3）由题意得, ,∴且,解得,. 7．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）若x为有理数，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：∵表示在数轴上表示数的点与表示数，，，的距离之和， 当时，， 此时最小值为：； 当时，， 此时最小值为， 当时，， 当时，，此时最小值大于， 当时，，此时最小值， 综上：的最小值为故答案为：15． 8．（23-24七年级上·四川成都·期中）设，，，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解： 因为表示到1，的距离以及到3的距离的3倍之和， 所以当时，它们的距离之和最小，此时；故答案为: . 9．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）数轴上两点之间的距离等于这两个点所对应的数的差的绝对值，例如：点A、B在数轴上对应的数分别是a、b，则点A、B两点间的距离表示为，利用上述结论，回答以下问题：（1）若点A在数轴上表示，点B在数轴上表示1，那么 ； （2）对于任何有理数x，的最小值是 ； （3）对于任何有理数x，当 时，有最小值是 ． 【答案】 3 5 2 4 【详解】解：（1）点A在数轴上表示，点B在数轴上表示1，，故答案为：； （2）根据绝对值的意义知是到和的距离之和， 当有理数x的范围在和之间时，取到最小值为：5；故答案为：5； （3）的几何意义是：数轴上表示数的点到表示、2、3的三点的距离之和，只有当时，距离之和才是最小为：4．故答案为：2，4． 10．（24-25七年级上·重庆巴南·阶段练习）已知，求的最大值与最小值的差是 ． 【答案】 【详解】解：表示数轴上表示x的点到表示和2的两个点的距离之和， ∴．同理，，， 而，∴，，． ∴．∴． ∴的最大值为14，最小值为，∴的最大值与最小值的差为． 故答案为：． 11．（23-24七年级上·安徽池州·期末）已知，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为a，b，c．其中点A在点B左侧，A，B两点间的距离为4，且a，b，c满足，则（1）c的值为 ． （2）数轴上任意一点P，点P对应的数为x，若存在x使的值最小，则x的值为 ． 【答案】 2024 2 【详解】（1）∵，，， ∴，，即，，故答案为：2024； （2）∵点A在点B左侧，A，B两点间的距离为4，∴，， ∵表示x与，2和2024三个数的距离之和， ∴当x取中间值2时，和为最小值为2024；故答案为：2． 12．（23-24七年级上·云南·阶段练习）（1）探索材料（填空）： 数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为； ①数轴上表示数3和的两点距离为 ； ②则的意义可理解为数轴上表示数 和 这两点的距离． （2）实际应用（填空）： ①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料 才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小； ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料 才能使P到A，B，C三点的距离之和最小； ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料 才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小． （3）结论应用（填空）；①代数式的最小值是 ；②代数式的最小值是 ； ③代数式的最小值是 ． 【答案】（1）①4；②x，；（2）①点A、点B之间；②点B；③点B、点C之间；（3）①7；②8；③18 【详解】解：（1）①；故答案为：4； ②，的意义可理解为数轴上表示数和这两点的距离；故答案为：，； （2）①点可能在点的左边，点和点之间，点的右边； 当点在点的左边或点的右边时，的长度均大于的长度； 当点在点和点之间时，的长度等于的长度． 当材料供应点在点和点之间时，到的距离与到的距离之和最小． 故答案为：点、点之间； ②当点在点处时，到，，三点的距离之和为的长度； 当点在除点外的任意位置时，到，，三点的距离之和均大于的长度． 材料供应点应设在点，才能使到，，三点的距离之和最小；故答案为：点； ③当点在点、之间时，到，，，四点的距离之和为的长度； 当点在除点、之间的任意位置时，到，，，四点的距离之和均大于的长度； 材料供应点应设在点、之间，才能使到，，，四点的距离之和最小； 故答案为：点、点之间； （3）①， 在点和4之间．代数式的最小值；故答案为：7； ②， 时．代数式的最小值；故答案为：8； ③， 在2和之间，代数式的最小值；故答案：18． 13．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）【阅读】：表示7与3差的绝对值，也可理解为7与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离：可以看作，表示7与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】：（1）如果，那么 ；（2）有最小值 ；（3）有最大值 ； 【应用】：（4）的最小值为 ； （5）的最大值为 ． 【答案】（1）0或；（2）1；（2）1；（4）；（5）1012． 【详解】（1）解：，∴或，解得或，故答案为：0或． （2）的意义即数轴上点x与1，2的距离和， 当时，距离和为；当时，距离和为；当时，距离和为； 故对于任何有理数，有最小值， 当时，即点x在1和2之间（包含1和2）时，最小值为1． （3）的意义即数轴上点x与1，2的距离差； 当时，；当时， ；当时， ； 故对于任何有理数，有最大值， 当时，即点x在2上或右边时，最大值为1． （4）表示数轴上点与1，2，……2024的距离和， 由（2）可知：当时，有最小值； 此时： =； （5）表示x到1的距离与x到2的距离的差、x到3距离与x到4距离的差 …x到2023距离与x到2024距离的差的和， 由（3）可知：当x在最大数右边（或最大数上）时有最大值； 即：时， ． 14．（23-24七年级上·江苏南通·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：一般地，数轴上表示m和n的两点之间的距离为． (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离为______； (2)当______时，的值最小，最小值为______． (3)当a满足______时，的值最小，最小值为______． (4)已知：关于x的代数式的最小值为2，则a的值为______． 【答案】(1)3(2)1；9(3)；24(4)3或 【详解】（1）解：数轴上表示4和1的两点之间的距离为：；故答案为：3； （2）解：∵表示数轴上表示a的点到的距离，到1的距离，到4的距离之和， ∴当时，的值最小，且最小值为：；故答案为：1；9． （3）解：当时，， ∵，∴此时； 当时，， ∴此时的值为24； 当时，， ∵，∴此时； 当时，， ∵，∴此时；∴当时，的值最小，且最小值为24； 故答案为：；24． （4）解：∵表示在数轴上表示x的点到1的距离与到表示a的点的距离之和， ∴当表示x的点在1和表示a的点之间时，的值最小，且最小值为， ∴，解得：或．故答案为：3或． 15．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了，把数轴分为三段：和，经研究发现，当时，值最小为”． 小明说：“利用数形结合思想可以解决这个问题，若点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，则在数轴上、两点之间的距离．” 请你根据他们的解题解决下面的问题： (1)当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______． (2)已知，求的最大值和最小值及相应的的取值范围，并写出解答过程． (3)求为何值时，式子有最小值，并求出此最小值． 【答案】(1)，(2)当最大值为；当最小值为(3)，最小值为 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴式子取最小值时，相应的的取值范围是，最小值是． 故答案为；． （2）解：当时，； 当时，此时； 当时，； ∴当最大值为；当最小值为； （3）解：， 表示在数轴上的对应点与、、、……、所对应点的距离之和， 当时，有最小值，最小值为 ． 16．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）同学们都知道：表示与-之差的绝对值，实际上也可理解为与-两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：    (1)数轴上表示与-的两点之间的距离可以表示为 ． (2)同样的道理，表示数轴上有理数所对应的点到-和所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是 ． (3)根据数轴，若的最小值是，请直接写出的值． (4)由以上探索猜想是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并求出所有符合条件的整数的和；如果没有，说明理由． 【答案】(1)(2)，，，(3)或(4)有，最小值为，和为 【详解】（1）数轴上表示与的两点之间的距离可以表示为，故答案为； （2）表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，， 为到之间的整数，这样的整数有、、、，故答案为、、、； （3）∵的最小值是，即表示到的和为 由于与之间的距离为，小于最小值，则或； ①当时，即，则在到之间时，最小值为 ∴∴ ②当时，即，∴ 综上所述，或 （4）有最小值，理由是|理解为：在数轴上表示到、、和的距离之和，∴当在和之间时，取得最小值， ∴最小值为∴符合条件的整数为 ∴所有符合条件的整数的和为 17．（23-24七年级上·四川成都·期末）已知有理数a，b满足，请回答下列问题： (1)请直接写出a，b的值： ， ； (2)数轴上a，b，x三个数所对应的点分别为A、B、X，且点X是数轴上的任意点，点A与点X之间的距离用表示，点B与点X之间的距离用表示，请计算当x分别为，0，2025时，代数式的值，并指出当的值最小时，点X在数轴上的位置； (3)如果在数轴连续的整数点上依次有n个机器人，且相邻两个机器人之间的距离都是1个单位，同时数轴上有一个快递包裹分发点智能机器人，它能根据机器人的数量自动决策出快递包裹分发点的位置，使得每个机器人去取快递包裹的距离之和最小，请直接用含n的代数式表示这个最小值． 【答案】(1)，2024 (2)当时，值为4051；当时，值为4047；当时，值为4049，当的值最小时，点X在数轴上的线段上； (3)当n为奇数时，最小值为，当n为偶数时，最小值为 【详解】（1）解：∵，∴， ∴；故答案为：，2024； （2）∵， ∴当时，原式； 当时，原式； 当时，原式； ∴当的值最小时，点X在数轴上的线段上； （3）当为奇数时，分包机器人在最中间的机器人处时，每个机器人去取快递包裹的距离之和最小，为： ； 当为偶数时，分包机器人在中间两个机器人之间时，每个机器人去取快递包裹的距离之和最小，为：． 18．（24-25七年级上·福建漳州·期中）阅读理解：我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离．举例：数轴上表示数和的两点和之间的距离是． 问题探究：参考阅读材料，解答下列问题．(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是______； (2)若数轴上表示数的点位于与5之间，求的值是______； (3)当取最小值时，相应的数的取值范围是______；(4)求的最小值是______． 实际应用：(5)问题：某一直线沿街一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，，，，，…，，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在______，才能使这2023户居民到点的距离总和最小．（填住户标记字母） 拓展提升：(6)若数满足，求的最小值为______． 【答案】(1)3(2)8(3)(4)2(5)(6) 【详解】（1）解：数轴上表示2和5的两点之间的距离为：，故答案为：3； （2）解：数轴上表示数a的点位于与5之间，， ，故答案为：8； （3）解：表示数a到点1与2的距离之和， 当时，取最小值，故答案为：； （4）解：表示数a到点1、2、3的距离之和， 当时，取得最小值，最小值为：，故答案为：2； （5）解：点，，，，，…，中，最中间的点是， 故点P选在紧靠居民家，才能使这2023户居民到点P的距离总和最小，故答案为：； （6）解：表示数a到点1与3的距离之和，当时，取得最小值； 表示数b到点4与的距离之和， 当时，取得最小值，此时， ∵a的最小值为1，b的最小值为，的最小值为：，故答案为：． 19．（24-25七年级上·广西玉林·期中）阅读下列材料并解决问题： 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义．若在数抽上有理数对应的点为，有理数对应的点为，则A，B两点之间的距离可表示为或，记为．如式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题：(1)与3的距离是______；(2)式子的最小值是______； (3)应用：如图，某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A，B，C，D，它们依次有快递车15辆，9辆，5辆，11辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数． 【答案】(1)(2)(3)有5种方案调运车辆数最小，都为10辆． 【详解】（1）解：与3的距离是； （2）解：∵表示在数轴上数对应的点与数，对应的点的距离之和， ∴当数在与之间时，即时，最小， ∴当时，式子有最小值，最小值是， （3）解：根据题意，（辆），（辆），即共有40辆车，每个公司10辆， ∴调运方案如下： ∴有5种方案调运车辆数最小，都为10辆． 20．（2024·浙江·七年级专题练习）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为﹣5，b，4．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度1.8cm，点C对齐刻度5.4cm．（1）求数轴上点B所对应的数b；（2）点P是图1数轴上一点，P到A的距离是到B的距离的两倍，求点P所表示的数；（3）若点Q在数轴上表示的数为x，则|x+5|+|x﹣4|的最小值为 　 　，|x+5|﹣|x﹣4|的最大值为 　 　． 【答案】（1）；（2）或；（3）， 【详解】解：（1）根据题意得的距离为，的长度为，的长度为 由此可知一个单位长度为 则的距离为 在的右边，∴数轴上点B所对应的数为； （2）设点表示的数为，则P到A的距离为，P到B的距离为 由题意可得：，即或 解得或 故答案为或 （3）当时，，∴ 当时，，∴ 当时，，∴ 综上所述的最小值为，的最大值为故答案为， 21．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，请回答问题： (1)点B表示的数是 　　，点C表示的数是 　　． (2)折叠数轴，使数轴上的点B和点C重合，则点A与数字 　　重合． (3)m、n两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为|m﹣n|，如5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为|5﹣（﹣2）|，从而很容易就得出在数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是7． ①若x表示一个有理数，则|x﹣3|+|x﹣6|的最小值＝　　． ②若x表示一个有理数，且|x﹣4|+|x+3|＝7，则满足条件的所有整数x的和是 　　． ③当x＝　　时，2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|取最小值． ④当x取何值时，2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|取最小值？最小值为多少？ 【答案】(1)﹣2，6(2)9(3)①3；②4；③4；④x＝，最小值为 【详解】（1）解：由图可得，点B表示的数是﹣2，点C表示的数是6，故答案为：﹣2，6； （2）解：∵折叠后点B和点C重合，∴BC的中点为折痕点， ∴折痕点对应的数是2，∴点A与数字9重合，故答案为：9； （3）解：①|x﹣3|+|x﹣6|表示数轴上表示x的点到表示3的点和6的点的距离之和， ∴当3≤x≤6时，|x﹣3|+|x﹣6|的值最小，∴|x﹣3|+|x﹣6|的最小值为3，故答案为：3； ②|x﹣4|+|x+3|表示数轴上表示x的点到表示﹣3的点和4的点的距离之和， ∴当﹣3≤x≤4时，|x﹣4|+|x+3|的值最小，最小值为7， ∵|x﹣4|+|x+3|＝7，∴x的整数值为﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4， ∴，∴满足条件的所有整数x的和是4，故答案为：4； ③2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|表示2倍的x到2的距离，2倍的x到3的距离，5倍的x到4的距离之和， ∴2，2，3，3，4，4，4，4，4的中间数是4， ∴当x＝4时，2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|的最小值；故答案为：4； ④2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|＝4|x﹣|+3|x﹣|+|x﹣|+2|x﹣|+3|x﹣3|， 表示4倍的x到的距离，3倍x到的距离，x到的距离，2倍x到的距离，3倍x到3的距离之和， ∴4个，3个，1个，2个，3个3的中间数是， ∴当x＝时，2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|的值最小，最小值为． 22．（23-24七年级上·江苏连云港·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离，因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离． 回答下列问题：(1)①数轴上表示x和2的两点A和B之间的距离是______； ②在①的情况下，如果，那么x为______． (2)探究问题：代数式的最小值是多少？ 如图，点A、B、P分别表示数、2、x，， ∵的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点P在线段上时，，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，， ∴的最小值是3， 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： 解决问题：①直接写出式子的最小值是______； ②工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着5个工作台A、B、C、D、E，一只配件箱应该放在工作 处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是______米． (3)若点A、B、C在数轴上分别表示数、1、5，点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)；或5(2)2．C，12(3)的值是不随着时间t的变化而改变，其值为2 【详解】（1）①数轴上表示x和2的两点A和B之间的距离是； ②∵，∴，∴， ∴或，∴或5．故答案为：；或5． （2）①当时，则有：，∴的最小值是 2； ②设C点为原点，2米为一个单位长度，A、B、C、D、E依次在数轴上排列，则工作人员取配件所走的路程为，当时，有最小值12， 即：一只配件箱应该放在工作C处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是 12米． 故答案为：2．C，12． （3）根据题意得：，，∴． ∴的值是不随着时间t的变化而改变，其值为2． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$