专题02 全等三角形模型之一线三等角（K字）模型（几何模型讲义）数学苏科版2024八年级上册

专题02 全等三角形模型之一线三等角（K字）模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（一线三等角（K字）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 4 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 10 13 “一线三等角”的概念最早可以追溯到古希腊数学家欧几里得的《几何原本》中。在这本经典的数学著作中，欧几里得系统地阐述了平面几何的基本原理和定理，其中就包括了关于角和线段关系的诸多论述。虽然“一线三等角”这一术语可能并非直接出自欧几里得之口，但其所涉及的原理和概念无疑在他的著作中得到了充分的体现和阐述。 在欧几里得之后，许多数学家都对“一线三等角”进行了深入的研究和探索。他们通过不同的方法和途径来证明这一结论的正确性，并寻找其在实际问题中的应用。这些数学家们的努力不仅推动了几何学的发展，也为后来的科学研究提供了宝贵的经验和启示。 随着时间的推移，“一线三等角”逐渐成为了中学数学教育中的重要内容之一。通过学习和掌握这一概念，学生们可以更加深入地理解角度和线段之间的关系，提高解决几何问题的能力。同时，这一概念也激发了学生们对数学的兴趣和热爱，为他们的未来学习和发展奠定了坚实的基础。 （2023·山东聊城·中考真题）如图，在四边形中，点E是边上一点，且，． (1)求证：；(2)若，时，求的面积．    （2023·重庆·中考真题）如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为 ．      “一线三等角”的应用四种情况： ①图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题； ②图形中存在“一线二等角”，再构造“一个等角”利用模型解题； ③图形中只有直线上一个角，再构造“两个等角”利用模型解题； ④.图形中只有斜45度角，斜直角或斜Rt∆，可构造“一线三等（直）角” 模型解题。 体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是全国各地的中考压轴题中，经常会有一个特殊角，通常需要常构造“一线三等角”来解题. 构造一线三等角的步骤：找角、定线、构全等。 1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：ΔABE≅ΔECD，AB+CD=BC. 证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE， ∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。 在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。 2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：，AB-CD=BC。 证明：∵，∴∠ECD=∠ABE， ∵，∠AED=∠AEB+∠CED，， ∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED， 在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 例1（24-25八年级上·江苏无锡·期中）小李用7块长为，宽为的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点B在上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为（    ） A．21 B．23 C．24 D．28 例2（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，中，，，点D在线段上运动（点D不与B、C重合），连接，作，交线段于E． (1)当时，______；(2)当时，求证：； (3)当能成为等腰三角形吗，求的度数． 例3（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）（1）已知：如图①，在中，，，直线m经过点A，直线m，直线m，垂足分别为D，E．求证：． （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线m上，并且有，其中为任意锐角或钝角：那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）应用，如图③，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是15，求与的面积之和． 例4（24-25八年级上·河南信阳·期中）（1）如图（1），已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．证明：． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图（3），、是、、三点所在直线上的两动点（、、三点互不重合），点为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接、，若，试判断的形状． 例5（24-25八年级上·北京海淀·期中）（1）【问题提出】如图，在和，已知，，三点在一条直线上，，，则的长度为 ． （2）【问题提出】如图，在中，，，过点作，且，求的面积． （3）【问题解决】某市打造国家级宜居城市，优化美化人居生态环境．如图所示，在河流的周边规划一个四边形巨无霸森林公园，按设计要求，在四边形中，，，面积为，且的长为，则河流另一边森林公园的面积为 ． 例6（24-25八年级上·江苏盐城·期末）【探索发现】如图1，在等腰直角三角形中，，，直线l经过点C，过点A作直线l，垂足为点D．过B作，垂足为点E，易证，我们称这种全等模型为“k型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】已知：直线的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点． （1）如图2．当时，在第一象限构造等腰直角，，则点E的坐标为______； （2）如图3，当点A在x轴负半轴上运动时，在y轴左侧过点B作，并且，连接，试问的面积是否为定值？若是请求出这个定值，若不是请说明理由； 【拓展提高】（3）如图4，在平面直角坐标系内，直线与y轴交于点N，与x轴交于点Q，将直线绕N点沿顺时针方向旋转后，所得的直线交x轴于点M．求直线的函数关系式． 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 例1（24-25八年级上·山西吕梁·期末）如图，在中，，垂足分别为D，E，，求的长． 例2（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）在中，，，直线经过点，且于，于． (1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：①；②； (2)当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：； (3)当直线绕点旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 例3（23-24八年级上·辽宁鞍山·期中）问题情境：如图1，在直角三角形中，，于点，可知：（不需要证明）； (1)特例探究：如图2，，射线在这个角的内部，点、在的边、上，且，于点，于点．证明：； (2)归纳证明：如图3，点、在的边、上，点，在内部的射线上，、分别是、的外角．已知，．求证：； (3)拓展应用：如图4，在中，，．点在边上，，点，在线段上，．若的面积为3，则与的面积之和为__________． 1．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，小虎用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点在上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离的长度为（   ）    A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·浙江台州·开学考试）如图所示框架，其中，，足够长，于点，点从出发向运动，同时点从出发向运动，点，运动的速度之比为，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点，使与全等，则线段的长为（        ） A．或 B． C．或 D． 3．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，点是等腰的边上的一点，过点作于点，连接，若，则的值是（　　） A．4 B．5 C．8 D．16 4．（24-25·浙江·八年级假期作业）如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（　　） A．3 B．2 C． D． 5．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，点在边上，，分别是射线上的两点，且，，，．则的值是 ；若，的面积为，则的面积是 ． 6．（24-25七年级上·山东·期末）如图把一块等腰直角三角形零件（）放置在一凹槽内，顶点、、分别落在凹槽内壁上，，测得，则该零件中为 ． 7．（2024八年级上·山东·专题练习）如图1，，，，P，Q分别为线段AB，BD上任意一点． (1)若为的中点，点与点重合，试说明与全等； (2)如图2，若，，求，，之间的数量关系； (3)如图3，将“，”改为“（为锐角）”，其他条件不变．若，，判断（2）中的数量关系是否会改变？并说明理由． 8．（24-25八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，在中，，，点在线段上运动（点不与点重合），连接，作，交线段于点． (1)当时，_____，______．(2)若，试说用． 9．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）如图，在中，，垂足分别为D，E，，求的长． 10．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）（1）如图，已知：在中，，，直线经过点A，直线，直线，垂足分别为点，．直接写出，和之间满足的数量关系； （2）爱动脑筋的小华同学提出问题：当直线绕点A旋转到如图位置时，（1）中的结论是否发生改变？若不变，请给出证明；若改变，请写出新的结论并说明理由； （3）经过小华的提问，琪琪也提出新的想法：如图，将（1）中的条件改为：“在中，，，A ，三点都在直线上，并且有．则（1）中的结论是否仍成立？”若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 11．（23-24八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）在中，，直线经过点C，且于点D，于点E. (1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，猜想线段与有怎样的数量关系？请写出这个关系，并加以证明；(2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：；(3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系不必证明. 12．（24-25八年级上·海南海口·期末）探究题：    (1)问题发现：在中，，，直线经过点，且于，于．①当直线绕点旋转到图1的位置时，请直接写出，，之间的等量关系．（不用证明） ②当直线绕点旋转到图2的位置时，，，之间的等量关系是否发生变化？若发生变化，请写出结论并证明，若无变化，请说明理由． (2)拓展探究：如图3：，，，求的面积； (3)解决问题：如图4：在等边中，，分别为、边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当点从点向点运动（不与点重合）时，的度数变化吗？如不变请求出它的度数，如变化，请说明它是怎样变化的？ 13．（24-25八年级上·云南文山·阶段练习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：；（2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题提出】（3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 14．（24-25八年级上·河南新乡·期中）综合与实践 在学习三角形全等的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“一线三等角模型”进行研究． 直接猜想（1）如图1，在中，，，点在直线上，分别过点作直线的垂线，垂足分别为．直接写出，与之间的数量关系：______． 深入探究（2）如图2，在中，，，，三点都在直线上，且有（为任意锐角或钝角），此时（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 问题解决（3）如图3，，，，连接，且于点，与直线交于点，试判断与的数量关系，并给出证明过程． 15．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）综合与实践 【问题初探】如图（1），直线上任取一点，在直线的上方作，且．过点作，，垂足分别为，．则线段，，之间的数量关系为___________； 【问题迁移】如图（2），点在的边上，是内部的一条射线，点是射线上的点，连接分别是的外角，且．则线段之间有怎样的数量关系？请说明理由． 【问题拓展】如图（3），直线上有依次互不重合的三点，在直线上方作，且满足．点是角平分线上一点，且，连接，．请判断的形状；并说明理由． 16．（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）（1）课本习题回放：“如图①，，，，，垂足分别为D，E，，．求的长”．请直接写出此题答案：的长为_______cm． （2）探索证明：如图②，点B，C在的边、上，，点E，F在内部的射线上，且．求证：． （3）拓展应用：如图③，在中，，．点D在边上，点E在线段上，．若，则_______．（图中画出分析思路；直接填写结果） 17．（23-24八年级上·安徽亳州·阶段练习）（1）理解证明：如图1，，射线AE在这个角的内部，点B，C在的边AM，AN上，且，于点F，于点D．求证：； （2）类比探究：如图2，点B，C在的边AM，AN上，点E，F在内部的射线AD上，，分别是，的外角．已知，．求证：； （3）拓展应用：如图3，在中，，，点D在边BC上，，点E，F在线段AD上，．若的面积为21，求与的面积之和．    18．（23-24八年级上·福建莆田·阶段练习）已知是经过顶点C的一条直线，．E、F分别是直线上两点，且． (1)若直线经过的内部，且E、F在射线上，请解决下面两个问题： ①如图1，若，，则 ； （填“＞”，“＜”或“=”）； ②如图2，若，请添加一个关于与关系的条件 ，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立；(2)如图3，若直线经过的外部，，请写出三条线段、、的数量关系的合理猜想 （不要求证明）． (3)拓展应用：如图④，在中，，．点D在边上，，点E、F在线段上，．若的面积为，与的面积之和是 ． 19．（24-25八年级上·广东深圳·开学考试）（1）如图（1），已知：在中，，，直线m经过点A，直线，直线m，垂足分别为点D、E．猜测、、三条线段之间的数量关系（直接写出结果即可）． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线m上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问第（1）题中、、之间的关系是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接、，若，试判断线段、的数量关系，并说明理由． 20．（24-25八年级上·河南信阳·期中）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形如图1，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、猜想线段，，之间的数量关系是______． （2）组员小明想，如果三个角不是直角，那（1）的结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，、A、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角请问（1）的结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）常老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，若，点为线段的三等分点，则的面积为______． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 全等三角形模型之一线三等角（K字）模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（一线三等角（K字）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 4 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 10 13 “一线三等角”的概念最早可以追溯到古希腊数学家欧几里得的《几何原本》中。在这本经典的数学著作中，欧几里得系统地阐述了平面几何的基本原理和定理，其中就包括了关于角和线段关系的诸多论述。虽然“一线三等角”这一术语可能并非直接出自欧几里得之口，但其所涉及的原理和概念无疑在他的著作中得到了充分的体现和阐述。 在欧几里得之后，许多数学家都对“一线三等角”进行了深入的研究和探索。他们通过不同的方法和途径来证明这一结论的正确性，并寻找其在实际问题中的应用。这些数学家们的努力不仅推动了几何学的发展，也为后来的科学研究提供了宝贵的经验和启示。 随着时间的推移，“一线三等角”逐渐成为了中学数学教育中的重要内容之一。通过学习和掌握这一概念，学生们可以更加深入地理解角度和线段之间的关系，提高解决几何问题的能力。同时，这一概念也激发了学生们对数学的兴趣和热爱，为他们的未来学习和发展奠定了坚实的基础。 （2023·山东聊城·中考真题）如图，在四边形中，点E是边上一点，且，． (1)求证：；(2)若，时，求的面积．    【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵，∴， 即，∴， 在和中，，∴，∴，∴； （2）解：过点E作于F，由（1）知， ∵，∴，∵，∴， ∴，，∴．    （2023·重庆·中考真题）如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为 ．      【答案】3 【详解】解： ∵，∴， ∵，，∴，∴，∴， 在和中：，∴， ∴，∴，故答案为：3． “一线三等角”的应用四种情况： ①图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题； ②图形中存在“一线二等角”，再构造“一个等角”利用模型解题； ③图形中只有直线上一个角，再构造“两个等角”利用模型解题； ④.图形中只有斜45度角，斜直角或斜Rt∆，可构造“一线三等（直）角” 模型解题。 体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是全国各地的中考压轴题中，经常会有一个特殊角，通常需要常构造“一线三等角”来解题. 构造一线三等角的步骤：找角、定线、构全等。 1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：ΔABE≅ΔECD，AB+CD=BC. 证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE， ∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。 在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。 2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：，AB-CD=BC。 证明：∵，∴∠ECD=∠ABE， ∵，∠AED=∠AEB+∠CED，， ∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED， 在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 例1（24-25八年级上·江苏无锡·期中）小李用7块长为，宽为的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点B在上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为（    ） A．21 B．23 C．24 D．28 【答案】B 【详解】解：由题意可得， ，， ，， 在和中，， ，．故选：B． 例2（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，中，，，点D在线段上运动（点D不与B、C重合），连接，作，交线段于E． (1)当时，______；(2)当时，求证：； (3)当能成为等腰三角形吗，求的度数． 【答案】(1)(2)见解析(3)能，或 【详解】（1）解：∵为的一个外角，∴， ∵，∴；故答案为：； （2）由（1）知， 在和中，，∴； （3）能；∵，∴， 当为等腰三角形时，分三种情况讨论， ①当时，则：，∴； ②当时，此时点与点重合，不符合题意； ③当时，则：，∴； 综上：或． 例3（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）（1）已知：如图①，在中，，，直线m经过点A，直线m，直线m，垂足分别为D，E．求证：． （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线m上，并且有，其中为任意锐角或钝角：那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）应用，如图③，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是15，求与的面积之和． 【答案】（1）见解析（2）成立，理由见解析；（3） 【详解】证明：（1）∵直线m，直线m，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵在和中，∴， ∴，∴； （2）结论仍然成立，理由是：∵， ∴，∴， ∵在和中，∴， ∴，∴． （3）∵，∴， 在和中，，∴，∴， 设的底边上的高为h，则的底边上的高为h， ∴，，∵，∴， ∵，∴与的面积之和为． 例4（24-25八年级上·河南信阳·期中）（1）如图（1），已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．证明：． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图（3），、是、、三点所在直线上的两动点（、、三点互不重合），点为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接、，若，试判断的形状． 【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析；（3）等边三角形，理由见解析 【详解】（1）证明：∵，直线，直线， ∴，∴， ∵，，∴，∴，， ∵，∴． （2）解：仍然成立，理由如下：∵， 又∵，，∴， ∵，∴，∴，，∴． （3）解：∵同理可得：，∴，， 又∵与都是等边三角形，∴，∴， 又∵，∴，∴，， ∵，∴．∴是等边三角形． 例5（24-25八年级上·北京海淀·期中）（1）【问题提出】如图，在和，已知，，三点在一条直线上，，，则的长度为 ． （2）【问题提出】如图，在中，，，过点作，且，求的面积． （3）【问题解决】某市打造国家级宜居城市，优化美化人居生态环境．如图所示，在河流的周边规划一个四边形巨无霸森林公园，按设计要求，在四边形中，，，面积为，且的长为，则河流另一边森林公园的面积为 ． 【答案】（）；（）；（）． 【详解】解：（）∵，∴， 在和中，，∴， ∴，，∴，故答案为：； （）如图，过作交延长线于， ∵，∴，∴， 在和中，，∴，∴，∴； （）如图，过作于，过作交延长线于， ∵面积为，且的长为，∴，∴， ∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∴， ∵，∴，，∴， 在和中，，∴，∴， ∴，∴河流另一边森林公园的面积为，故答案为：． 例6（24-25八年级上·江苏盐城·期末）【探索发现】如图1，在等腰直角三角形中，，，直线l经过点C，过点A作直线l，垂足为点D．过B作，垂足为点E，易证，我们称这种全等模型为“k型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】已知：直线的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点． （1）如图2．当时，在第一象限构造等腰直角，，则点E的坐标为______； （2）如图3，当点A在x轴负半轴上运动时，在y轴左侧过点B作，并且，连接，试问的面积是否为定值？若是请求出这个定值，若不是请说明理由； 【拓展提高】（3）如图4，在平面直角坐标系内，直线与y轴交于点N，与x轴交于点Q，将直线绕N点沿顺时针方向旋转后，所得的直线交x轴于点M．求直线的函数关系式． 【答案】（1）；（2）的面积是定值，详见解析；（3） 【详解】解：（1）过点作轴，则：， ∵等腰直角，∴，， ∴，∴，∴， ∵，，∴，∴当时，，当时，， ∴，∴，∴，∴； （2）的面积是定值．理由如下：过点Q作轴，垂足为点H， ，， ，，，， 在和中，，，． 当时，，∴，． ，的面积是定值，定值为； （3）过点Q作交于点G，过点G作轴，垂足为点H． ．，，． 在中，由题意，，．． 在和中，，，． 由题意知，直线与y轴交于点N，与x轴交于点Q， 当时，；当时，，， ．，．，点． 设，将点代入得：，， ∴直线的函数关系式为：． 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 例1（24-25八年级上·山西吕梁·期末）如图，在中，，垂足分别为D，E，，求的长． 【答案】1.2 【详解】解：，， ，，，， 在和中，，∴， ，， ，． 例2（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）在中，，，直线经过点，且于，于． (1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：①；②； (2)当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：； (3)当直线绕点旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 【答案】(1)①见解析；②见解析；(2)见解析；(3)，理由见解析． 【详解】（1）证明：①于，于，， ，，， ，； ②，，，； （2）证明：， ，，， 在和中，， ，，； （3）解：，理由如下：同（2）可证， ，，. 例3（23-24八年级上·辽宁鞍山·期中）问题情境：如图1，在直角三角形中，，于点，可知：（不需要证明）； (1)特例探究：如图2，，射线在这个角的内部，点、在的边、上，且，于点，于点．证明：； (2)归纳证明：如图3，点、在的边、上，点，在内部的射线上，、分别是、的外角．已知，．求证：； (3)拓展应用：如图4，在中，，．点在边上，，点，在线段上，．若的面积为3，则与的面积之和为__________． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)1 【详解】（1）证明：如图②，∵，，， ∴，∴，，∴， 在和中，，∴； （2）证明：如图③，∵，，，∴， ∵，，，∴， 在和中，，∴； （3）解：∵，∴，∴，由（2）同理可得：， ∴，∴，故答案为∶1． 1．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，小虎用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点在上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离的长度为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意得：，，，， ∴，∴，，∴， 在和中，，∴，∴，， 由题意得：，，∴，， ∴，答：两堵木墙之间的距离为．故选：A． 2．（23-24八年级上·浙江台州·开学考试）如图所示框架，其中，，足够长，于点，点从出发向运动，同时点从出发向运动，点，运动的速度之比为，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点，使与全等，则线段的长为（        ） A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【详解】解：点，运动的速度之比为，设，则， ，与全等， 可分两种情况：情况一：当，时， ，，，，解得：， ； 情况二：当，时，，，，解得：， ，综上所述，或， 故选：C． 3．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，点是等腰的边上的一点，过点作于点，连接，若，则的值是（　　） A．4 B．5 C．8 D．16 【答案】C 【详解】解：如图，过作于， ∵是等腰直角三角形，∴，， ∵，∴，∴， ∵，，∴， ∴，∴．故选：C． 4．（24-25·浙江·八年级假期作业）如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（　　） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵AB＝AC＝9，∴∠B＝∠C， ∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB， ∴∠BAD＝∠CDE，∵AE的中垂线交BC于点D，∴AD＝ED， 在△ABD与△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（AAS），∴CD＝AB＝9，BD＝CE， ∵CD＝3BD，∴CE＝BD＝3故选：A． 5．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，点在边上，，分别是射线上的两点，且，，，．则的值是 ；若，的面积为，则的面积是 ． 【答案】 【详解】解：且 由外角定理可得，又，∴∠CAF＝∠BCE， 在和中， ．，， ，， ，的面积为，， ， ，∴的面积是 故答案为：， ． 6．（24-25七年级上·山东·期末）如图把一块等腰直角三角形零件（）放置在一凹槽内，顶点、、分别落在凹槽内壁上，，测得，则该零件中为 ． 【答案】 【详解】解：∵等腰直角三角形，，∴， ∵，∴，∴， 又∵，∴，∴， ∴故答案为：． 7．（2024八年级上·山东·专题练习）如图1，，，，P，Q分别为线段AB，BD上任意一点． (1)若为的中点，点与点重合，试说明与全等； (2)如图2，若，，求，，之间的数量关系； (3)如图3，将“，”改为“（为锐角）”，其他条件不变．若，，判断（2）中的数量关系是否会改变？并说明理由． 【答案】(1)证明见解析(2)(3)不会改变，理由见解析； 【详解】（1）解：由题意可知． ∵，，∴，，∴． 又∵为的中点，∴，∴； （2）解：由（1）可知． ∵，，∴． 又∵，∴，∴，， ∴，即，，之间的数量关系为； （3）解：不会改变；  理由：∵， ，∴． 又∵，，∴，∴，， ∴，即（2）中的数量关系不会改变； 8．（24-25八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，在中，，，点在线段上运动（点不与点重合），连接，作，交线段于点． (1)当时，_____，______．(2)若，试说用． 【答案】(1)，；(2)证明见解析． 【详解】（1）解：∵，，∴， ∵，∴，∴，故答案为：，； （2）证明：∵，，∴， ∵，，∴，， 在和中，，∴． 9．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）如图，在中，，垂足分别为D，E，，求的长． 【答案】1.2 【详解】解：，， ，，，， 在和中，，∴， ，， ，． 10．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）（1）如图，已知：在中，，，直线经过点A，直线，直线，垂足分别为点，．直接写出，和之间满足的数量关系； （2）爱动脑筋的小华同学提出问题：当直线绕点A旋转到如图位置时，（1）中的结论是否发生改变？若不变，请给出证明；若改变，请写出新的结论并说明理由； （3）经过小华的提问，琪琪也提出新的想法：如图，将（1）中的条件改为：“在中，，，A ，三点都在直线上，并且有．则（1）中的结论是否仍成立？”若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）；（2）改变；，理由见解析；（3）成立，理由见解析 【详解】（1） 证明：直线，直线，， ，，，， 在和中，，， ，，． （2）不成立；，理由如下： 直线，直线，，，， ，， 在和中，，， ，，． （3）成立；理由如下： ， ，， 在和中，，， ，，． 11．（23-24八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）在中，，直线经过点C，且于点D，于点E. (1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，猜想线段与有怎样的数量关系？请写出这个关系，并加以证明； (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：； (3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系不必证明. 【答案】(1)，证明见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）解：， 证明如下：∵，，∴，∴； ∵，∴； 在与中，，∴，∴； ∵，∴； （2）证明：∵，，∴，∴； ∵，∴； 在与中，，∴，∴； ∵，∴； （3）解：，证明如下：∵，， ∴，∴； ∵，∴； 在与中，，∴，∴； ∵，∴． 12．（24-25八年级上·海南海口·期末）探究题：    (1)问题发现：在中，，，直线经过点，且于，于．①当直线绕点旋转到图1的位置时，请直接写出，，之间的等量关系．（不用证明） ②当直线绕点旋转到图2的位置时，，，之间的等量关系是否发生变化？若发生变化，请写出结论并证明，若无变化，请说明理由． (2)拓展探究：如图3：，，，求的面积； (3)解决问题：如图4：在等边中，，分别为、边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当点从点向点运动（不与点重合）时，的度数变化吗？如不变请求出它的度数，如变化，请说明它是怎样变化的？ 【答案】(1)①；②发生变化，，证明见详解 (2)(3)的度数不变，为 【详解】（1）解：①，理由如下，∵，于，于． ∴，，，∴， 在与中，，∴；      ∴，， ∵，∴； ②发生变化，，理由如下，∵，∴， 又∵于，于，∴，，∴， 在和中，，∴， ∴，，∴，∴； （2）解：如图，过点作交的延长线于点，∴，    ∵，∴，，， ∴，在与中，，∴， ∴，∴； （3）解：的度数不变，为，理由如下，如图，在上取一点，使得，    ∵，都是等边三角形，∴，，， ∵，，∴， ∵，∴， 在和中，，∴；∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴． 13．（24-25八年级上·云南文山·阶段练习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：；（2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题提出】（3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3） 【详解】（1）证明：，， 又，，，，， 在和中，，∴， （2）解：，理由如下： ，，， 又，∴，，， ，即； （3）解：由（2）得且，，∴，∴ ，∴，则，∴． 14．（24-25八年级上·河南新乡·期中）综合与实践 在学习三角形全等的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“一线三等角模型”进行研究． 直接猜想（1）如图1，在中，，，点在直线上，分别过点作直线的垂线，垂足分别为．直接写出，与之间的数量关系：______． 深入探究（2）如图2，在中，，，，三点都在直线上，且有（为任意锐角或钝角），此时（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 问题解决（3）如图3，，，，连接，且于点，与直线交于点，试判断与的数量关系，并给出证明过程． 【答案】（1）；（2）成立，证明见解析（3），证明见解析 【详解】解：（1），， ，，， 在和中，，， ，，；故答案为：； （2）解：结论成立；理由如下： ，，， 在和中，， ， ，，； （3）．理由如下，如图，过D作于点D，交直线于点F， ∵，，∴，同理， ∵，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∴． 15．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）综合与实践 【问题初探】如图（1），直线上任取一点，在直线的上方作，且．过点作，，垂足分别为，．则线段，，之间的数量关系为___________； 【问题迁移】如图（2），点在的边上，是内部的一条射线，点是射线上的点，连接分别是的外角，且．则线段之间有怎样的数量关系？请说明理由． 【问题拓展】如图（3），直线上有依次互不重合的三点，在直线上方作，且满足．点是角平分线上一点，且，连接，．请判断的形状；并说明理由． 【答案】【问题初探】；【问题迁移】，理由见解析；【问题拓展】是等边三角形，理由见解析 【详解】解：[问题初探] ， ∵，，∴，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴； [问题迁移]，理由如下， ∵在中，是外角，∴， ∵，，∴， ∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴； [问题拓展] 是等边三角形，理由如下，∵， ∴，，∴， 又∵，∴，∴，如图所示，连接， ∵平分，∴， ∵，∴是等边三角形，∴， ∴，即， 在和中，，∴，∴， ∵，∴，∴是等边三角形． 16．（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）（1）课本习题回放：“如图①，，，，，垂足分别为D，E，，．求的长”．请直接写出此题答案：的长为_______cm． （2）探索证明：如图②，点B，C在的边、上，，点E，F在内部的射线上，且．求证：． （3）拓展应用：如图③，在中，，．点D在边上，点E在线段上，．若，则_______．（图中画出分析思路；直接填写结果） 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【详解】（1）解：，，，． ，． 在和中，，，，． ，，，；故答案为：； （2）证明：如图，，，，， ，， 在和中，，； （3）解：在线段上截取，连接， ∵，∴， ∵，∴，∵， ∴设，则，，，设，∴，∴， ∵，∴，∴．故答案为：． 17．（23-24八年级上·安徽亳州·阶段练习）（1）理解证明：如图1，，射线AE在这个角的内部，点B，C在的边AM，AN上，且，于点F，于点D．求证：； （2）类比探究：如图2，点B，C在的边AM，AN上，点E，F在内部的射线AD上，，分别是，的外角．已知，．求证：； （3）拓展应用：如图3，在中，，，点D在边BC上，，点E，F在线段AD上，．若的面积为21，求与的面积之和．    【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）14 【详解】解：（1）∵，，∴，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴． （2）∵，，，∴， ∵，，，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵，∴； （3）如图，∵在等腰三角形ABC中，，， ∴与等高，底边比值为：．∴与面积比为：．    ∵的面积为21，∴与面积分别为：7，14．∵，∴． ∵，，，∴．∴． ∵，，．∴．∴与面积相等， ∴与的面积之和为的面积．∴与的面积之和为14． 18．（23-24八年级上·福建莆田·阶段练习）已知是经过顶点C的一条直线，．E、F分别是直线上两点，且． (1)若直线经过的内部，且E、F在射线上，请解决下面两个问题： ①如图1，若，，则 ； （填“＞”，“＜”或“=”）； ②如图2，若，请添加一个关于与关系的条件 ，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立；(2)如图3，若直线经过的外部，，请写出三条线段、、的数量关系的合理猜想 （不要求证明）． (3)拓展应用：如图④，在中，，．点D在边上，，点E、F在线段上，．若的面积为，与的面积之和是 ． 【答案】(1)①=，=；②(2)(3)6 【详解】（1）解：①∵，， ∴，，∴， 在和中，，∴， ∴，，∴，故答案为：=，=； ②添加一个关于与关系的条件：，理由如下： 在中，， ∵，∴，∵，∴， 在和中，，∴， ∴，，∴，故答案为：； （2）解：三条线段、、的数量关系的合理猜想为：，理由如下： ∵，，，，∴，在和中，，∴ ∴，，∴，故答案为：； （3）解：∵的面积为，，∴ ∵，，，， ∴，， 在和中，，∴，即， ∴，故答案为：6． 19．（24-25八年级上·广东深圳·开学考试）（1）如图（1），已知：在中，，，直线m经过点A，直线，直线m，垂足分别为点D、E．猜测、、三条线段之间的数量关系（直接写出结果即可）． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线m上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问第（1）题中、、之间的关系是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接、，若，试判断线段、的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）成立，证明见解析；（3），理由见解析 【详解】解：（1）．理由：如图1， 直线，直线，， ，，，， 在和中，，， ，，； （2）（1）中结论成立，理由如下：如图2，， ，， 在和中，，， ，，； （3）结论：，理由如下：如图3，由（2）可知，，，， 和均为等边三角形，，， ，即， 在和中，，，． 20．（24-25八年级上·河南信阳·期中）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形如图1，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、猜想线段，，之间的数量关系是______． （2）组员小明想，如果三个角不是直角，那（1）的结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，、A、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角请问（1）的结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）常老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，若，点为线段的三等分点，则的面积为______． 【答案】（1）；（2）成立，证明见解析；（3）8 【详解】解：直线，直线，， ，，，， 在和中，，， ，，．故答案为：． （2）仍然成立，证明如下：，，， 在和中，，， ，，． （3）证明：如图，过点作于，的延长线于． 同（1）可得，， ，，， 在和中，，，， 点A为线段的三等分点，，设，， ，，， 的面积． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$