专题16 代数式-2025年小升初数学无忧衔接（北师大版2024）

专题16 代数式 预习目标 1 新课轻松学 1 新知速通 3 题型探究 4 题型1、用字母表示数 4 题型2、代数式的概念 5 题型3、代数式的书写规范 6 题型4、代数式的实际意义 7 题型5、列代数式 9 题型6、用代数式表示探究规律问题 11 基础通关 14 拓展提优 18 1. 会利用字母表示数表示简单的数量关系，体会字母表示数的优越性； 2. 掌握字母与数一起参与运算时的正确书写； 3. 了解代数式的概念；会用代数式表示简单的数量关系和数学规律； 4. 培养学生养成良好的习惯，适当地渗透特殊与一般的辩证关系的思想。 【思考1】港珠澳大桥建成通车，极大缩短香港、珠海和澳门三地间的时空距离；作为中国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作，该桥被业界誉为桥梁界的“珠穆朗玛峰”，被英国《卫报》称为“现代世界七大奇迹”之一。 （1）如果一辆汽车在港珠澳大桥上以90千米/小时（1.5千米/分钟）的速度行驶，那么2分钟行驶多少千米？3分钟行驶多少千米？t分钟行驶多少千米？ （2）如果用字母t表示时间，用v表示速度，那么汽车行驶的路程是多少呢？ 【思考2】智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一，某品牌苹果采摘机器人平均每秒可以识别范围内的苹果，并自动对成熟的苹果进行采摘，它的一个机械手平均可以采摘一个苹果，根据这些数据回答下列问题∶ (1)该机器人能识别多大范围内的苹果？呢？呢？ (2)该机器人识别范围内的苹果需要多少秒？ (3)若该机器人搭载了m个机械手，它与采摘工人同时工作，已知工人平均5s可以采摘一个苹果，则机器人可比工人多采摘多少个苹果？ 【代数式的发展历史】在古代，当算术里积累了大量的关于各种数量问题的解法后，为了寻求有系统的、更普遍的方法，古老的算术就必须进行改进和发展，未知数x等符号的引人，使算术学科变成了代数学科。有了符号体系，数学的书写比在算术阶段更紧凑、更有效、更抽象，也更能反映一般规律，于是，也就有了更广泛的应用。从算术到代数，经历了漫长的历史时代，许多国家、许多民族都做出过贡献。代数式概念的形式与发展经历了一个漫长的历史发展过程，13世纪，斐波那契（Fibonacci,L.）就开始采用字母表示运算对象，但尚未使用运算符号，韦达（Viete,F.）于 1584-1589年间，引入数学符号系统，使代数成为关于方程的理论，因而人们普遍认为他是代数式的创始人，笛卡儿（Descartes,R.）对韦达的字母用法作了改进，用拉丁字母表中前面的字母 a,b,c,... 表示已知数，用末尾的一些字母 x，y，z... 表示未知数，莱布尼茨（Leibniz,G,W.）对各种符号记法进行了系统研究，发展并完善了代数式的表示方法。 1.用字母表示数 字母可以像数一样参与运算，使问题中的数量关系和运算表示得更简明，更具有一般性。 例：加法交换律可用字母表示为：a＋b＝b＋a．乘法交换律可以用字母表示为：ab＝ba． 2.代数式 用基本的运算符号（加，减，乘，除，乘方，开方）把数和字母连接而成的式子就叫代数式。单独一个数或一个字母也是代数式。 如：10a ，8a+8b ， ，等。 注意： （1）含有等号或不等号的式子不是代数式，如，，等都不是代数式； （2）单独一个数或一个字母也是代数式。 （3）代数式中除含有数，字母和运算符号外，还可以有括号． 3. 代数式的实际意义 代数式的实际意义就是将代数式中的数字、字母及运算符号赋予具体的含义。 4.列代数式 在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来，即列出代数式，使问题变得简洁，更具一般性。 5.列代数式的一般步骤 （1）辨析词语意义：列代数式前应认真审题，仔细辨析语言叙述中的关键词语(如“除”与“除以”、“平方差”与“差的平方”等)所代表的意义． （2）分清数量关系：要正确地列出代数式，还需分清语言叙述中各数量之间的和、差、倍、分关系，不要见多就加，见少就减，见倍就乘． （3）明确运算顺序：一般可按照“先读先写”的原则来进行确定，即哪部分内容在语言叙述中先读到，这一部分就先写，若题目要求的运算与四则运算的先后顺序不一致，则需适当地添加括号． 6.代数式的书写规范 （1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“· ”或省略不写；数与数相乘必须写乘号； （2）除法运算一般以分数的形式表示； （3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面； （4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式； （5）如果字母前面的数字是1或-1，通常省略不写； （6）若代数式的最后结果含有加、减运算，则要将整个式子用括号括起来，再写单位。 题型1、用字母表示数 【解题技巧】用字母表示数，可以使问题中的数量关系表示得更简明，更具有一般性。 核心作用‌：简化复杂数量关系，为实际问题建立数学模型。 例1．（2024七年级上·山东青岛·专题练习）用字母表示： (1)加法结合律： ； (2)乘法结合律： ； (3)乘法对加法的分配律： ； (4)一个长方形的长为，宽是长的一半，它的周长是 ，面积是 ； (5)若，，分别表示梯形的上底、下底和高，则这个梯形的面积为 ； (6)一个平行四边形的一边长为，该边上的高是其长的，这个平行四边形的面积是 ． 例2．（24-25七年级上·甘肃平凉·期中）a为有理数，则下列说法正确的是（   ） A．a为正数 B．为负数 C．a与一定有一个表示负数 D．a与表示一对相反数 例3．（2025·河北邢台·三模）下列表示“x与1的和的相反数”的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（2024七年级·全国·专题练习）用字母表示数时需注意：（1）在同一问题中，同一字母只能表示 数量，不同的数量要用不同的字母表示；（2）用字母表示实际问题中某一数量时，字母的取值必须使这个问题 ，并且符合实际；（3）只要是学过的公式、法则，都可以用 表示；（4）字母“π”一般来说只表示一种量：圆周率；（5）对于用字母表示的数，如果没有特别说明，就应理解为它可以是任何一个数． 变式2．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）若b是有理数，则（　　） A．b一定是正数 B．b正数，负数，0均有可能 C．一定是负数 D．b一定是0 变式3．（24-25七年级上·山东青岛·期中）下列选项中，能用代数式表示的是（    ） A． B． C． D． 变式4．（24-25六年级上·上海普陀·期末）设甲数是，乙数是，甲、乙两数平方的差可以表示为（   ） A． B． C． D． 题型2、代数式的概念 【解题技巧】用基本的运算符号（加，减，乘，除，乘方，开方）把数和字母连接而成的式子就叫代数式。单独一个数或一个字母也是代数式。 例1．（24-25七年级下·全国·假期作业）下列式子中：①0；②；③；④；⑤；⑥；⑦．属于代数式的有（ ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 例2．（24-25七年级上·河南商丘·期中）在，，，，，0，中，代数式有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 例3．（2024七年级上·全国·专题练习）下列式子：．其中代数式有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 例4．（2024七年级上·全国·专题练习）下列叙述正确的是（   ） A．5不是代数式 B．一个字母不是代数式 C．是代数式 D．是代数式 变式1．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）下列各式中，代数式的个数是（   ） ①；②；③；④；⑤ A． B． C． D． 变式2．（2024七年级上·全国·专题练习）下列各式中，；；；；；；；；，代数式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 变式3．（2025七年级下·全国·专题练习）下列是代数式的有： ．（写序号） （1）；（2）；    （3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）0． 变式4．（2024七年级上·全国·专题练习）下列结论中正确的是（    ） A．字母表示任意数 B．是代数式 C．是代数式 D．不是代数式 题型3、代数式的书写规范 【解题技巧】（1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“· ”或省略不写；数与数相乘必须写乘号；（2）除法运算一般以分数的形式表示；（3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；（4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式；（5）如果字母前面的数字是1或-1，通常省略不写；（6）若代数式的最后结果含有加、减运算，则要将整个式子用括号括起来，再写单位。 例1．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）有下列各式：下列代数式中，符合代数式书写要求的有（     ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例2．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）下列单项式书写规范的有（   ）个 ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 例3．（24-25七年级上·河南南阳·期中）有下列各式：①；②；③米；④其中，符合代数式书写要求的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1．（24-25七年级上·上海宝山·期中）下列代数式中，符合代数式书写要求的有（） （1）；（2）；（3）；（4）；（5） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式2．（2024七年级上·全国·专题练习）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中不符合式子书写要求的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 变式3．（24-25七年级上·河南漯河·阶段练习）下列式子中，符合代数式书写格式的有（    ） ；；；天；． A．个 B．个 C．个 D．个 题型4、代数式的实际意义 【解题技巧】代数式的实际意义需通过语言表述，将字母和运算符号转化为具体情境中的对象与逻辑。 用字母表示数后，同一个代数式可以表示不同实际问题的数量或数量关系。 例1．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）代数式可以表示不同实际问题中的数量关系，下列赋予实际意义的例子中，错误的是（    ） A．一个两位数的十位数字为5，个位数字为x，则这个两位数可以表示为 B．一箱苹果的售价为x元，则5箱苹果的售价为元 C．一列动车的速度为x千米/小时，则这列动车5小时行驶了千米 D．一块长方形木板的宽为x，长是宽的倍，则长方形的周长为 例2．（24-25七年级上·福建泉州·期末）惠安科山上的小天台宛如一颗明珠镶嵌其间，成为众多游客的打卡圣地．国庆假期第一天游客人，第二天游客人数是第一天游客人数的倍还少人，则代数式“”表示的意义是（    ） A．第一天比第二天多的游客人数 B．第二天比第一天多的游客人数 C．这两天所有游客人数 D．第二天游客人数 例3．（24-25七年级上·河南南阳·期中）某文具用品商店将原价a元的笔记本进行促销，下列促销方式描述正确的是（   ） A．按的价格出售，促销方式是先打八折，再优惠6元 B．按的价格出售，促销方式是先涨6元，再打八折 C．按的价格出售，促销方式是先打八折，再优惠6元 D．按的价格出售，促销方式是先涨6元，再打二折 例4．（24-25七年级上·江苏南通·期末）下列代数式的意义叙述错误的是（    ） A．的意义是a的2倍与3的和 B．的意义是a与b的积的5倍 C．的意义是a与b的和的平方 D．的意义是a的平方与1的差 例5．（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）下列选项用文字叙述代数式的意义，表述正确的是（   ） A．的倒数与1的和 B．1除以的商与1的和 C．比的倒数小1的数 D．比的倒数大1的数 例6．（24-25七年级上·四川绵阳·开学考试）下列代数式用自然语言表示正确的是（   ） A．表示与平方的和 B．表示与和的平方 C．表示与的倒数和 D．表示除以，的积的商 变式1．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）钢笔每支m元，笔记本每本n元，则的实际意义可以是 ． 变式2．（24-25七年级上·山东菏泽·期中）关于代数式表示的意义，下列说法正确的是（   ） A．若表示一支铅笔的价格，表示一块橡皮的价格，则代数式表示买3支铅笔和8块橡皮共花了多少钱 B．若长方形的长为，宽为8，正方形的边长为，则代数式表示一个长方形的面积与3个正方形的面积差 C．汽车每小时行驶千米，火车每小时行驶千米，则代数式表示火车行驶3小时比汽车行驶8小时少行驶的路程数 D．小米每千克元，大米每千克元，则代数式表示买8千克大米比买3千克小米少花的钱数 变式3．（24-25七年级上·福建漳州·期中）商店对商品尾货进行亏本促销活动，促销的方法是将成本为元的商品提价后标价，再以元的促销价出售，则下列说法中，①标价减去30元后再打9折；②标价打9折后再减去30元；③标价减去50元后再打6折；④标价打6折后再减去30元．能正确表达该商店促销方法的是 ．（填序号） 变式4．（24-25七年级上·河北衡水·期中）下列代数式的意义表示错误的是（   ） A．表示与的和 B．表示与和的平方 C．表示9减去的所得的差 D．表示除以所得的商 变式5．（24-25七年级上·河北沧州·期末）对于代数式的意义，表述不正确的是（    ） A．比的倒数少2的数 B．比的倒数大的数 C．的倒数与的差 D．1除以的商与2的差 变式6．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）下列说法正确的是（     ） A．x减去y的相反数的差与y的积，用代数式表示为； B．x与y的和的5倍，用代数式表示为； C．x与y的平方差， 用代数式表示为； D．与的差的平方除的商， 用代数式表示为． 题型5、列代数式 【解题技巧】首先要弄清语句中各数量的意义及相互关系，用适当的字母表示各种数量，然后根据问题中数量关系，将数和字母用适当的运算符号连接起来，把文字语言转化为符号语言，使问题变得简洁，更具一般性．特别注意代数式的书写要规范。 例1．（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图是L形钢材的截面，5个同学分别列出它的截面面积的算式，你认为正确的有（   ） ①；②；③；④；⑤ A．①②③ B．②③⑤ C．③④⑤ D．①②③④⑤ 例2．（24-25九年级下·贵州毕节·阶段练习）若用，，分别表示一个三位数的百位、十位和个位上的数字，则这个三位数可以表示为（   ） A． B． C． D． 例3．（24-25八年级下·四川乐山·期中）若一辆汽车以60千米/时的速度行驶，从A城到B城需要t小时，如果汽车的速度每小时增加v千米，那么从A城到B城需要 小时． 例4．（24-25九年级下·安徽安庆·期中）据市科技局发布，2023年我市高新技术企业数量比2022年增长．假定2024年的年增长率保持不变，2022年和2024年我市高新技术企业数量分别为m家和n家，则（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·全国·假期作业）将一个正方形的边长增加，就得到一个新正方形．用含有字母的式子表示“增加的面积”，其中错误的是（　　） A． B． C． D． 变式2．（2025·吉林延边·模拟预测）几位同学合买一个篮球，每人出7元，还差5元，设同学的人数为人，则这个篮球的价格用代数式表示为 元． 变式3．（2025·安徽滁州·三模）某省2024年上半年的总值为a万亿元人民币，2024年下半年的总值比2024年上半年增长，预计2025年上半年的总值比2024年下半年增长．若2025年上半年该省的总值为b万亿元人民币，则a，b之间的关系是（  ） A． B． C． D． 变式4．（24-25七年级下·全国·假期作业）下面各项中，可以用表示的是（　　） A．线段的总长度： B．线段的总长度： C．靠墙围长方形所用木料长度： D．长方形的面积： 题型6、用代数式表示探究规律问题 【解题技巧】规探索律型问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律。它体现了“特殊到一般”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力。 例1．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）“中国结”寓意吉祥如意，中间的图案是一些小正方形．如图，将一定数量的“中国结”按某规律放置，得到中间小正方形的个数如下：第1个图形共有小正方形16个，第2个图形共有小正方形23个，第3个图形共有小正方形30个，…，依照此规律，第200个图形中共有小正方形（   ） A．1309个 B．1409个 C．1509个 D．1609个 例2．（24-25七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，将形状大小完全相同的梅花按以下规律进行摆放，其中第1个图形中有5朵梅花，第2个图形中有8朵梅花，第3个图形中有13朵梅花，第4个图形中有20朵梅花……依此规律，第n个图形中含有的梅花朵数是 ．（用含n的代数式表示） 例3．（24-25九年级下·重庆·期中）醇是一类由碳，氢，氧元素组成的有机化合物，其中一元醇是指一个分子中氧原子个数为1的醇类，下图所示的3种结构式均为一元醇，则当一元醇化学式中碳原子个数为10时，氢原子个数为（   ） A．20 B．21 C．22 D．23 例4．（24-25七年级下·全国·假期作业）学校报告厅第一排有a个座位，第二排有个座位，第三排有个座位，后面每一排比前面一排多2个座位．第n排有（　　）个座位． A． B． C． D． 例5．（2025·云南昆明·模拟预测）按一定规律排列的代数式：，第n个代数式是（   ） A． B． C． D． 例6．（24-25七年级上·山东日照·期中）根据图中数字的排列规律，在第⑩个图中，的值是 ． 例7．（2025·河南商丘·三模）中央电视台《为您服务》节目曾播放过骗子骗小学生钱的事件，骗子打着“开发智力的速算法”招牌对学生进行口算演示：               学生觉得这种计算方法真简单，比用计算器、还要算的快．这时骗子开始推销一种《速算法》的小册子，高喊：“要得发不离八，每本二十一块八．”小学生纷纷购买，其中一位小学生向他的邻居、七年级学生小刚宣传他得到的速算法，小刚告诉他这种方法只适合两个两位数乘法，并没有宣传的那么神通广大． (1)请你再举出两个类似上述运算式子的例子，并总结这些式子中左边两个两位数的特征．你知道小学生向小刚宣传他得到的速算法有怎样一种简便计算的规律？用自己的话叙述出来． (2)初中学习了“字母表示数”，你能用字母表示数的方法，写出宣传的这种速算法？ 变式1．（24-25七年级上·河南周口·期中）用边长相等的正方形和等边三角形按如图所示的规律摆放，其中第1个图案用了5个正方形，第2个图案用了7个正方形…，按此规律排列下去，则第2024个图案中用的正方形的个数是（   ）      A．4048 B．4049 C．4050 D．4051 变式2．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）把一个正三角形分成四个全等的三角形，第一次挖去中间的一个小三角形，对剩下的三个小正三角形再重复以上做法设第99次挖去后剩下的三角形个数为，第100次挖去后剩下的三角形个数为，那么 ；（结果用3为底数的幂表示） 变式3．（2025·山西长治·模拟预测）如图是一组有规律的图案，它们是由大小相同的“<>”组成的，第1个图案中有3个“”，第2个图案中有9个“”，第3个图案中有18个“”……按此规律，第n个图案中有 个“”．（用含n的代数式表示） 变式4．（2025·云南西双版纳·二模）按一定规律排列的代数式：，第个代数式是（   ） A． B． C． D． 变式5．（24-25七年级上·福建厦门·期末）图1中三条线段的长如图所示，用n个图1拼成图2的总长度 ．（用含n的代数式表示） 变式6．（24-25七年级上·福建厦门·期中）观察下面三行数： ，，，① ，，，② ，，，③ 设分别为第①②③行的第个数，则的值为（   ） A． B． C． D． 变式7．（24-25七年级上·福建厦门·期中）从2开始，连续的偶数相加，它们和的情况如下： (1)从2开始，连续6个偶数相加，则和为______； (2)根据上述规律，猜想从2开始，连续个偶数相加，和为____（用含的式子表示）； (3)根据上述规律求的值（要有计算过程） 1．（24-25七年级上·云南昆明·期中）下列各式：，，，，，，，中，代数式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 2．（23-24七年级上·河南洛阳·期中）有下列各式：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨.其中，代数式的个数为（    ） A．9 B．7 C．6 D．5 3．（24-25七年级上·湖北黄石·期中）在下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥中，符合代数式书写要求的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（24-25七年级上·四川自贡·期中）下列各式：，其中符合代数式书写要求的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（24-25七年级上·贵州黔南·期末）用字母表示的代数式是具有一定意义的，下列赋予实际意义的例子中，错误的是（   ） A．若汽车行驶的速度是 a千米/时，则表示这辆汽车行驶6小时的路程 B．若某水果的价格是6元/千克，则表示买 a 千克该水果的金额 C．若一个两位数十位上的数字是6，个位上的数字是a，则表示这个两位数 D．若一个圆柱的底面积为a，高为6，则表示这个圆柱的体积 6．（24-25七年级上·河南信阳·期中）下列语句中，不正确的是（  ） A．代数式的意义是与的平方差 B．代数式的意义是与的差的一半 C．的倍与的和的一半，用代数式表示是 D．的与的的差，用代数式表示是 7．（24-25七年级上·山东滨州·期末）下列代数式用语言叙述错误的是（   ） A．表示x与y和的平方 B．表示a与b的5倍的和 C．表示x，y两数的平方和减去它们乘积的2倍 D．表示x，y两数的和与差的积 8．（23-24七年级上·四川泸州·阶段练习）某密码的规则为，即在密码本中，把这个字母替换成该字母前第2个字母，现密码本为26个英文字母按顺序循环书写，．现电文如下，请破译出来．正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级下·全国·假期作业）一个三位数，它的个位上的数字是a，十位上的数字是b，百位上的数字是c．这个三位数是（　　） A． B． C． D． 10．（2025·湖南怀化·三模）近几年，国产新能源汽车在电池技术突破和智能科技提升方面取得了长足进步.同时，在国家购车补贴优惠政策的支持下，价格不断降低，销量增长迅速，市场占有率越来越高.某型号国产新能源汽车原售价为元，现打八折，再优惠元，那么该型号新能源汽车现在的售价为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 11．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）九连环作为一种中国传统民间玩具，由九个完全一样的圆环和中间的直杆连接而成（如图1），从上往下看，可以看成九个水平摆放且间距一样的圆环（如图2），若相邻两个圆环之间重叠部分的宽度均为，整个九连环的宽度为，则一个圆环的直径可以表示为 （用含、的代数式表示）． 12．（23-24七年级下·河南平顶山·月考）下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（　　） A． B． C． D． 13．（2025·河北唐山·三模）四位同学分别用不同的分割、剪拼方法计算下图的面积，得到以下四个代数式：I．；II．；Ⅲ．；IV．．则正确的对应关系是（   ） A．①-IV，②-II，③-I，④-Ⅲ B．①-II，②-Ⅲ，③-IV，④-I C．①-II，②-IV，③-Ⅲ，④-I D．①-IV，②-I，③-II，④-Ⅲ 14．（2025·贵州·二模）小海经过探究，发现从到这九个两位数中，任何两个数的积的一种计算方法．如计算，第一步：把第一个因数与第二个因数的个位数相加，得；第二步：把第一步的结果乘，得；第三步：把第一个因数的个位数乘第二个因数的个位数，得；第四步：把第二、三两步的结果相加，得，这就是要计算的结果，即．若有两个两位数分别为，，则这两个两位数的积是（   ） A． B． C． D． 15．（24-25七年级上·山东德州·期中）如图是一组有规律的图案．第1个图案中有7个六边形，第2个图案中有13个六边形，第3个图案中有19个六边形，……，按此规律，第2024个图案中六边形的个数为（    ） A．12144 B．12145 C．12146 D．12143 16．（2024七年级上·云南·专题练习）共享单车解决了城市居民出行采用公共交通出行还需要步行的主要问题，完成交通行业最后一块“拼图”，带动居民使用其他公共交通工具的热情，是一种新型绿色环保共享经济．如图，自行车每节链条的长度为，交叉重叠部分的圆的直径为． (1)4节链条长______； (2)n节链条长______； (3)如果一辆自行车的链条由50节这样的链条组成，那么这辆自行车上链条总长度是多少？ 17．（24-25七年级上·福建漳州·期中）如图，将第1个图中的正方形剪开得到第2个图，第2个图中共有4个正方形：将第2个图中一个正方形剪开得到第3个图，第3个图中共有7个正方形；将第3个图中一个正方形剪开得到第4个图，第4个图中共有10个正方形……如此下去，第2025个图中共有正方形的个数为 ． 18．（2025·云南·模拟预测）按一定规律排列的一组数：，，，…，，，…，则的值是（    ） A．172 B．182 C．200 D．242 19．（24-25九年级下·云南文山·阶段练习）按照一定规律排列的多项式：．则第个多项式是（　　） A． B． C． D． 20．（2025·山西运城·模拟预测）（代数推理）观察下列点阵： 第1个点阵对应的等式为； 第2个点阵对应的等式为； 第3个点阵对应的等式为； 第4个点阵对应的等式为；⋯ 请按以上规律写出第n个点阵对应的等式： （用含n的等式表示）． 1．（24-25七年级下·江苏南京·期中）某交易市场每玉米可兑换大米，小明用 玉米（含篮子重量）换了小红大米（含篮子重量），交换后谁吃亏（   ） A．都不吃亏 B．小明吃亏 C．小红吃亏 D．不确定 2．（23-24七年级下·浙江温州·期末）把两张正方形纸片按如图1所示分别裁剪成A和B两部分（B为长方形），再将裁好的四张纸片不重叠地放入图2所示的正方形中，记一张A纸片的面积为，一张B纸片的面积为，若，则图2中阴影部分面积为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 3．（2025·山东聊城·二模）对于一个四位自然数，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称为“天真数”．例如：四位数7311，是“天真数”；四位数不是“天真数”．则最小的“天真数”为 ． 4．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）三只猴子分桃，第一只猴子把桃分成数量相等的三份，多了一个自己吃掉，并把自己一份藏起来；第二只猴子把剩下的两份桃再次分成数量相等的三份，多了一个也自己吃掉，并把自己一份藏起来；第三只猴子也完成了同样的操作，则桃子至少有 个． 5．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，将周长相等的正方形 和长方形 放入一个大长方形内，大长方形未被覆盖部分为①和②，若已知①和②的周长之差为 6，则下列可求具体数值的选项是（     ） A． 与 的和 B． 与 的积 C． 与 的差 D． 与 的商 6．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图：第1个图案中，内部“△”的个数为个，外侧边上“•”的个数为个；第个图案中，内部“△”的个数为个，外侧边上“•”的个数为个；第个图案中，内部“△”的个数为个，外侧边上“•”的个数为个；依此类推，当内部“△”的个数是时，外侧边上“•”的个数为（　　） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·福建漳州·期末）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了这样一个“物不知数”的问题：“今有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，同物几何？”其意思是：有一个正整数除以3余2，除以5余3，除以7余2，则这个正整数可以是（   ） A．44 B．163 C．263 D．338 8．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）用若干黑白两色的正方形按如图所示的方式摆放，依此规律，第n个图形中小正方形的总个数是： ； 若第n个图形中白色正方形的个数记为，计算：＝ ． 9．（24-25七年级上·山东滨州·期末）小亮在元旦联欢会上给同学们表演纸牌魔术．他请一名同学随意洗乱一副不含大小王的扑克牌，然后从中任意抽取一张牌，再让这个同学将这张牌的点数乘5，再加上4，再乘2，再减去12，然后加上抽出纸牌花色的代号，其中黑桃的代号是1，梅花的代号是2，红桃的代号是3，方块的代号是4，最后这位同学说出运算结果是78．小亮迅速说出这位同学抽出的纸牌是梅花8．请你用所学的数学知识解释其中原因． 10．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）观察下面三行数： ，，，，，，…；① ，，，，，，…；② ，，，，，，…．③ (1)第①行数的第个数是______； (2)请将第②行数中的每一个数分别减去第①行数中对应位置的数，并找出规律，根据你得到的结论，直接写出第②行数的第n个数是______；同理直接写出第③行数的第n个数是______． (3)取每行的第个数，这三个数的和能否等于？如果能，请求出的值；如果不能，请说明理由． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16 代数式 预习目标 1 新课轻松学 1 新知速通 3 题型探究 4 题型1、用字母表示数 4 题型2、代数式的概念 8 题型3、代数式的书写规范 10 题型4、代数式的实际意义 14 题型5、列代数式 20 题型6、用代数式表示探究规律问题 24 基础通关 34 拓展提优 44 1. 会利用字母表示数表示简单的数量关系，体会字母表示数的优越性； 2. 掌握字母与数一起参与运算时的正确书写； 3. 了解代数式的概念；会用代数式表示简单的数量关系和数学规律； 4. 培养学生养成良好的习惯，适当地渗透特殊与一般的辩证关系的思想。 【思考1】港珠澳大桥建成通车，极大缩短香港、珠海和澳门三地间的时空距离；作为中国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作，该桥被业界誉为桥梁界的“珠穆朗玛峰”，被英国《卫报》称为“现代世界七大奇迹”之一。 （1）如果一辆汽车在港珠澳大桥上以90千米/小时（1.5千米/分钟）的速度行驶，那么2分钟行驶多少千米？3分钟行驶多少千米？t分钟行驶多少千米？ （2）如果用字母t表示时间，用v表示速度，那么汽车行驶的路程是多少呢？ 【思考2】智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一，某品牌苹果采摘机器人平均每秒可以识别范围内的苹果，并自动对成熟的苹果进行采摘，它的一个机械手平均可以采摘一个苹果，根据这些数据回答下列问题∶ (1)该机器人能识别多大范围内的苹果？呢？呢？ (2)该机器人识别范围内的苹果需要多少秒？ (3)若该机器人搭载了m个机械手，它与采摘工人同时工作，已知工人平均5s可以采摘一个苹果，则机器人可比工人多采摘多少个苹果？ 【代数式的发展历史】在古代，当算术里积累了大量的关于各种数量问题的解法后，为了寻求有系统的、更普遍的方法，古老的算术就必须进行改进和发展，未知数x等符号的引人，使算术学科变成了代数学科。有了符号体系，数学的书写比在算术阶段更紧凑、更有效、更抽象，也更能反映一般规律，于是，也就有了更广泛的应用。从算术到代数，经历了漫长的历史时代，许多国家、许多民族都做出过贡献。代数式概念的形式与发展经历了一个漫长的历史发展过程，13世纪，斐波那契（Fibonacci,L.）就开始采用字母表示运算对象，但尚未使用运算符号，韦达（Viete,F.）于 1584-1589年间，引入数学符号系统，使代数成为关于方程的理论，因而人们普遍认为他是代数式的创始人，笛卡儿（Descartes,R.）对韦达的字母用法作了改进，用拉丁字母表中前面的字母 a,b,c,... 表示已知数，用末尾的一些字母 x，y，z... 表示未知数，莱布尼茨（Leibniz,G,W.）对各种符号记法进行了系统研究，发展并完善了代数式的表示方法。 1.用字母表示数 字母可以像数一样参与运算，使问题中的数量关系和运算表示得更简明，更具有一般性。 例：加法交换律可用字母表示为：a＋b＝b＋a．乘法交换律可以用字母表示为：ab＝ba． 2.代数式 用基本的运算符号（加，减，乘，除，乘方，开方）把数和字母连接而成的式子就叫代数式。单独一个数或一个字母也是代数式。 如：10a ，8a+8b ， ，等。 注意： （1）含有等号或不等号的式子不是代数式，如，，等都不是代数式； （2）单独一个数或一个字母也是代数式。 （3）代数式中除含有数，字母和运算符号外，还可以有括号． 3. 代数式的实际意义 代数式的实际意义就是将代数式中的数字、字母及运算符号赋予具体的含义。 4.列代数式 在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来，即列出代数式，使问题变得简洁，更具一般性。 5.列代数式的一般步骤 （1）辨析词语意义：列代数式前应认真审题，仔细辨析语言叙述中的关键词语(如“除”与“除以”、“平方差”与“差的平方”等)所代表的意义． （2）分清数量关系：要正确地列出代数式，还需分清语言叙述中各数量之间的和、差、倍、分关系，不要见多就加，见少就减，见倍就乘． （3）明确运算顺序：一般可按照“先读先写”的原则来进行确定，即哪部分内容在语言叙述中先读到，这一部分就先写，若题目要求的运算与四则运算的先后顺序不一致，则需适当地添加括号． 6.代数式的书写规范 （1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“· ”或省略不写；数与数相乘必须写乘号； （2）除法运算一般以分数的形式表示； （3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面； （4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式； （5）如果字母前面的数字是1或-1，通常省略不写； （6）若代数式的最后结果含有加、减运算，则要将整个式子用括号括起来，再写单位。 题型1、用字母表示数 【解题技巧】用字母表示数，可以使问题中的数量关系表示得更简明，更具有一般性。 核心作用‌：简化复杂数量关系，为实际问题建立数学模型。 例1．（2024七年级上·山东青岛·专题练习）用字母表示： (1)加法结合律： ； (2)乘法结合律： ； (3)乘法对加法的分配律： ； (4)一个长方形的长为，宽是长的一半，它的周长是 ，面积是 ； (5)若，，分别表示梯形的上底、下底和高，则这个梯形的面积为 ； (6)一个平行四边形的一边长为，该边上的高是其长的，这个平行四边形的面积是 ． 【答案】(1) (2) (3) (4)， (5) (6) 【分析】（）根据加法结合律用字母表示出即可求解； （）根据乘法结合律用字母表示出即可求解； （）根据乘法对加法的分配律用字母表示出即可求解； （）用长方形的长除以计算出长方形的宽，再根据长方形的周长和面积公式即可解答； （）根据题意，可以用相应的代数式表示它的周长； （）先求出平行四边形的高，然后利用面积公式即可求解． 【详解】（1）解：加法结合律：， 故答案为：； （2）解：乘法结合律：， 故答案为：； （3）解：乘法对加法的分配律：， 故答案为：； （4）解：长方形的宽是：， 周长是：， 面积是：， 故答案为：，； （5）解：梯形的面积为：， 故答案为：； （6）解：该边上的高是， 则这个平行四边形的面积是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了用字母表示运算定律，长方形周长和面积公式，列代数式，平行四边形的面积公式，解题的关键是熟练掌握相关内容． 例2．（24-25七年级上·甘肃平凉·期中）a为有理数，则下列说法正确的是（   ） A．a为正数 B．为负数 C．a与一定有一个表示负数 D．a与表示一对相反数 【答案】D 【分析】根据有理数的分类即可求解,解题的关键是熟知有理数的性质. 根据字母表示数的任意性即可求解． 【详解】解：若a是有理数，则a可能是正数、负数、0；也可以是正数、负数或0， 故A和B的说法错误，均不符合题意； a与也可以都是0，故C说法错误，不符合题意； a与表示一对相反数，说法正确，故符合题意； 故选：D． 例3．（2025·河北邢台·三模）下列表示“x与1的和的相反数”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列代数式，相反数的定义，先表示出x与1的和，再根据相反数的定义可得答案． 【详解】解：∵x与1的和是， ∴x与1的和的相反数为， 故选B． 变式1．（2024七年级·全国·专题练习）用字母表示数时需注意：（1）在同一问题中，同一字母只能表示 数量，不同的数量要用不同的字母表示；（2）用字母表示实际问题中某一数量时，字母的取值必须使这个问题 ，并且符合实际；（3）只要是学过的公式、法则，都可以用 表示；（4）字母“π”一般来说只表示一种量：圆周率；（5）对于用字母表示的数，如果没有特别说明，就应理解为它可以是任何一个数． 【答案】 同一 有意义 字母 【分析】根据字母表示数的注意事项逐一填写即可． 【详解】解：用字母表示数时需注意：（1）在同一问题中，同一字母只能表示同一数量，不同的数量要用不同的字母表示；（2）用字母表示实际问题中某一数量时，字母的取值必须使这个问题有意义，并且符合实际；（3）只要是学过的公式、法则，都可以用字母表示；（4）字母“π”一般来说只表示一种量：圆周率；（5）对于用字母表示的数，如果没有特别说明，就应理解为它可以是任何一个数． 故答案为：同一；有意义；字母． 【点睛】本题考查字母表示数的注意事项，在理解的基础上记忆是解题的关键． 变式2．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）若b是有理数，则（　　） A．b一定是正数 B．b正数，负数，0均有可能 C．一定是负数 D．b一定是0 【答案】B 【分析】根据有理数，逐一进行判定，即可解答． 【详解】解：A、b一定是正数，错误；例如当b=0时，b不是正数； B、正确； C、一定是负数，错误；例如当b=0时，不是负数； D、因为有理数包括正数、负数、0，所以b不一定是0，错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了用字母表示数，一个用字母表示的数，既可以是正数、0，也可以是负数． 变式3．（24-25七年级上·山东青岛·期中）下列选项中，能用代数式表示的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式，代数式的意义，逐项列出代数式即可，找出等量关系是解题的关键． 【详解】解：、三角形的周长为，不符合题意； 、长方形的周长为，符合题意； 、梯形的面积为，不符合题意； 、长方体的体积为，不符合题意； 故选：． 变式4．（24-25六年级上·上海普陀·期末）设甲数是，乙数是，甲、乙两数平方的差可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列代数式，根据甲、乙两数平方的差，则用代数式可以表示为，即可作答． 【详解】解：依题意，甲、乙两数平方的差， ∴用代数式可以表示为， 故选：D． 题型2、代数式的概念 【解题技巧】用基本的运算符号（加，减，乘，除，乘方，开方）把数和字母连接而成的式子就叫代数式。单独一个数或一个字母也是代数式。 例1．（24-25七年级下·全国·假期作业）下列式子中：①0；②；③；④；⑤；⑥；⑦．属于代数式的有（ ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】A 【分析】本题考查代数式的判断．代数式是由数、字母和运算符号（加、减、乘、除、乘方等）组成的式子，单独的数或字母也是代数式，据此求解即可． 【详解】解：由代数式的定义可得①②④⑤都是代数式，③⑥⑦不是代数式， 故选：A． 例2．（24-25七年级上·河南商丘·期中）在，，，，，0，中，代数式有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了代数式，熟练掌握代数式的定义是解题的关键； 根据代数式的定义，逐个判断即可； 【详解】解：是单独的一个数，是代数式； 是由数、字母通过运算得到的式子，是代数式； 是等式，不是代数式； 是由字母通过乘法运算得到的式子，是代数式； 是不等式，不是代数式； 0是单独的一个数，是代数式； 是由数与字母通过除法运算得到的式子，是代数式 ． ∴代数式共5个， 故选：B． 例3．（2024七年级上·全国·专题练习）下列式子：．其中代数式有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了代数式的定义，利用代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子，单独的一个数或者一个字母也是代数式，进而得出答案． 【详解】解：中， 其中代数式有：，，m，，一共4个， 故选：C． 例4．（2024七年级上·全国·专题练习）下列叙述正确的是（   ） A．5不是代数式 B．一个字母不是代数式 C．是代数式 D．是代数式 【答案】C 【分析】本题考查代数式定义．根据代数式定义“单独的一个数或字母均为代数式”，方程不是代数式，即可选出本题答案． 【详解】解：∵单独的一个数或者字母为代数式， ∴A，B不正确，C正确， 故选：C． 变式1．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）下列各式中，代数式的个数是（   ） ①；②；③；④；⑤ A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了代数式定义，正确理解代数式的定义是解题的关键．利用代数式定义“代数式是用运算符号把数和字母连接而成的式子”逐个判定即可得到答案． 【详解】解：，，这个是代数式， 故选：B． 变式2．（2024七年级上·全国·专题练习）下列各式中，；；；；；；；；，代数式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的概念，根据代数式的概念，用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式．这样根据代数式的概念逐一仔细判断即可，正确理解代数式的概念是解题的关键． 【详解】解：根据代数式的概念可知，是代数式，共个， 故选：． 变式3．（2025七年级下·全国·专题练习）下列是代数式的有： ．（写序号） （1）；（2）；    （3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）0． 【答案】（1）（2）（3）（6）（8） 【分析】本题考查了代数式的概念：用运算符号把数与表示数的字母连接而成的式子叫做代数式，根据此概念判断即可． 【详解】解：；；；； 0是代数式，其它都不是代数式； 即（1）（2）（3）（6）（8）是代数式； 故答案为：（1）（2）（3）（6）（8）． 变式4．（2024七年级上·全国·专题练习）下列结论中正确的是（    ） A．字母表示任意数 B．是代数式 C．是代数式 D．不是代数式 【答案】A 【分析】本题考查代数式定义，熟记代数式定义“代数式是用运算符号把数和字母连接而成的式子”逐个判定即可得到答案． 【详解】解：A、字母表示任意数，结论正确，符合题意； B、是不等式，不是代数式，原结论错误，不符合题意； C、是等式，不是代数式，原结论错误，不符合题意； D、是代数式，原结论错误，不符合题意； 故选：A． 题型3、代数式的书写规范 【解题技巧】（1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“· ”或省略不写；数与数相乘必须写乘号；（2）除法运算一般以分数的形式表示；（3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；（4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式；（5）如果字母前面的数字是1或-1，通常省略不写；（6）若代数式的最后结果含有加、减运算，则要将整个式子用括号括起来，再写单位。 例1．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）有下列各式：下列代数式中，符合代数式书写要求的有（     ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查代数式的写法，根据在含有字母的式子中如果出现乘号“”，通常将乘号写作“”或省略不写，解题的关键是正确理解代数式的书写要求，数字与字母相乘时，数字写在字母前． 【详解】解：（1）应书写成，书写形式不规范，不符合题意； （2）应书写成，书写形式不规范，不符合题意； （3）书写形式规范，符合题意； （4）书写形式规范，符合题意； （5）应书写成，书写形式不规范，不符合题意； （6）应书写成，书写形式不规范，不符合题意； （7）应书写成，，书写形式不规范，不符合题意； ∴符合书写要求的有2个， 故选：B． 例2．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）下列单项式书写规范的有（   ）个 ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了代数式的规范书写要求，根据代数式的规范书写格式要求进行判断即可求解；理解要求是解题的关键． 【详解】解：①的正确书写格式为；②书写格式正确；③书写格式正确；④正确书写格式为； 书写规范的有②③， 故选：B． 例3．（24-25七年级上·河南南阳·期中）有下列各式：①；②；③米；④其中，符合代数式书写要求的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查代数式的书写，熟练掌握代数式的书写是解题的关键．根据代数式书写要求进行判断即可． 【详解】解：符合代数式书写要求； 应该写成，不符合代数式书写要求； 米应该写成米，不符合代数式书写要求； 符合代数式书写要求； 故选B． 变式1．（24-25七年级上·上海宝山·期中）下列代数式中，符合代数式书写要求的有（） （1）；（2）；（3）；（4）；（5） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查代数式的写法，根据在含有字母的式子中如果出现乘号“”，通常将乘号写作“”或省略不写，解题的关键是正确理解代数式的书写要求，数字与字母相乘时，数字写在字母前． 【详解】解：（1）应书写成，书写形式不规范，不符合题意； （2）应书写成，书写形式不规范，不符合题意； （3）书写形式规范，符合题意； （4）书写形式规范，符合题意； （5）应书写成，书写形式不规范，不符合题意； ∴符合书写要求的有2个， 故选：． 变式2．（2024七年级上·全国·专题练习）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中不符合式子书写要求的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】本题考查代数式的书写要求，根据代数式的书写规则：分数不能为带分数，不能出现除号，单位名称前面的代数式不是单项式要加括号，数与字母相乘，乘号省略或者用“．”表示，对各项代数式逐一判定即可． 【详解】①中分数不能为带分数； ②2•3中数与数相乘不能用“”，应该用“”； ③中不能出现除号； ④20%x，书写正确； ⑤书写正确； ⑥书写正确； 不符合代数式书写要求的有①②③共3个． 故选：C． 变式3．（24-25七年级上·河南漯河·阶段练习）下列式子中，符合代数式书写格式的有（    ） ；；；天；． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查代数式的写法，根据在含有字母的式子中数字与字母相乘时，数字写在字母前；如果出现乘号“”，通常将乘号写作“”或省略不写；在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写；带分数要写成假分数的形式；代数式为和差形式且带有单位时，应加上括号，逐一判断即可，解题的关键是正确理解代数式的书写要求． 【详解】解：应写成或，原式子不符合代数式书写格式； 应写成，原式子不符合代数式书写格式； 原式子符合代数式书写格式； 天应写成天，原式子不符合代数式书写格式； 原式子符合代数式书写格式； 综上共有个式子符合代数式书写格式， 故选：． 题型4、代数式的实际意义 【解题技巧】代数式的实际意义需通过语言表述，将字母和运算符号转化为具体情境中的对象与逻辑。 用字母表示数后，同一个代数式可以表示不同实际问题的数量或数量关系。 例1．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）代数式可以表示不同实际问题中的数量关系，下列赋予实际意义的例子中，错误的是（    ） A．一个两位数的十位数字为5，个位数字为x，则这个两位数可以表示为 B．一箱苹果的售价为x元，则5箱苹果的售价为元 C．一列动车的速度为x千米/小时，则这列动车5小时行驶了千米 D．一块长方形木板的宽为x，长是宽的倍，则长方形的周长为 【答案】A 【分析】本题考查了代数式的实际意义，掌握实际问题中数量间的关系是解答本题的关键．根据代数式表示的实际意义分别判断每个选项，从而得出答案． 【详解】解：由题意得： A、若一个两位数的十位数字为5，个位数字为x，则表示这个两位数，选项中说法不正确，故符合题意； B、若一箱苹果的售价为x元，则5箱苹果的售价为元，此说法正确，故不符合题意； C、一列动车的速度为x千米/小时，则这列动车5小时行驶了千米，此说法正确，故不符合题意； D、一块长方形木板的宽为x，长是宽的倍，则长方形的周长为，此说法正确，故不符合题意． 故选：A． 例2．（24-25七年级上·福建泉州·期末）惠安科山上的小天台宛如一颗明珠镶嵌其间，成为众多游客的打卡圣地．国庆假期第一天游客人，第二天游客人数是第一天游客人数的倍还少人，则代数式“”表示的意义是（    ） A．第一天比第二天多的游客人数 B．第二天比第一天多的游客人数 C．这两天所有游客人数 D．第二天游客人数 【答案】B 【分析】本题考查代数式的实际意义，熟练掌握代数式的实际意义是解题的关键． 用含的代数式将第二天游客人数表示出来，第二天游客人数减第一天游客人数即得代数式“”，从而可判断它的意义． 【详解】解：根据题意，第二天游客人数是人， 则第二天比第一天多的游客人数（人）， ∴代数式“”表示的意义是第二天比第一天多的游客人数． 故选：B． 例3．（24-25七年级上·河南南阳·期中）某文具用品商店将原价a元的笔记本进行促销，下列促销方式描述正确的是（   ） A．按的价格出售，促销方式是先打八折，再优惠6元 B．按的价格出售，促销方式是先涨6元，再打八折 C．按的价格出售，促销方式是先打八折，再优惠6元 D．按的价格出售，促销方式是先涨6元，再打二折 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式、代数式的意义，根据题意，逐项分析代数式的意义，即可得解，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：A、按的价格出售，促销方式是先打八折，再优惠6元，故原说法正确，符合题意； B、按的价格出售，促销方式是先打八折，再涨价6元，故原说法错误，不符合题意； C、按的价格出售，促销方式是先优惠6元，再打八折，故原说法错误，不符合题意； D、按的价格出售，促销方式是先涨价6元，再打八折，故原说法错误，不符合题意； 故选：A． 例4．（24-25七年级上·江苏南通·期末）下列代数式的意义叙述错误的是（    ） A．的意义是a的2倍与3的和 B．的意义是a与b的积的5倍 C．的意义是a与b的和的平方 D．的意义是a的平方与1的差 【答案】C 【分析】本题主要考查代数式的意义，熟练掌握代数式意义是解题的关键； 根据各代数式的意义逐一判断即可． 【详解】解：A． 的意义是的意义是a的2倍与3的和，故本选项说法正确，不符合题意； B． 的意义是a与b的积的5倍，故本选项说法正确，不符合题意； C． 的意义是a与b的平方的和，故本选项说法错误，符合题意； D． 的意义是a的平方与1的差，故本选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 例5．（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）下列选项用文字叙述代数式的意义，表述正确的是（   ） A．的倒数与1的和 B．1除以的商与1的和 C．比的倒数小1的数 D．比的倒数大1的数 【答案】C 【分析】本题考查代数式的意义，根据四个选项的文字描述写出相应代数式，并与题目验证即可得到答案，熟记代数式的表示方法是解决问题的关键． 【详解】解：A、由的倒数与1的和可得代数式，与题目代数式不符，原选项不符合题意； B、由1除以的商与1的和可得代数式，与题目代数式不符，原选项不符合题意； C、由比的倒数小1的数可得代数式，与题目代数式符合，原选项符合题意； D、由的倒数与1的和可得代数式，与题目代数式不符，原选项不符合题意； 故选：C． 例6．（24-25七年级上·四川绵阳·开学考试）下列代数式用自然语言表示正确的是（   ） A．表示与平方的和 B．表示与和的平方 C．表示与的倒数和 D．表示除以，的积的商 【答案】D 【分析】此题主要考查了列代数式，理解代数式中各个部分之间的运算关系是解答此题的关键． 根据题目中的四个选项逐一用自然语言进行表述即可得出答案． 【详解】解：A、表示x与y和的平方，故本选项不符合题意； B、表示x与y的平方和，故本选项不符合题意； C、表示a与b和的倒数，故本选项不符合题意； D、表示c与a，b的积的商，故本选项符合题意． 故选：D． 变式1．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）钢笔每支m元，笔记本每本n元，则的实际意义可以是 ． 【答案】小明带了100元去买文具，买了4支钢笔与8本笔记本，小明还剩的钱数 【分析】本题考查了代数式表示的实际意义，理解代数式中的每一部分的意义是解题关键．根据表示的是买4支钢笔的费用、表示的是买8本笔记本的费用，100表示的是原来的总钱数，由此即可得． 【详解】解：的实际意义可以是小明带了100元去买文具，买了4支钢笔与8本笔记本，请问小明还剩了多少钱？ 故答案为：小明带了100元去买文具，买了4支钢笔与8本笔记本，小明还剩的钱数 变式2．（24-25七年级上·山东菏泽·期中）关于代数式表示的意义，下列说法正确的是（   ） A．若表示一支铅笔的价格，表示一块橡皮的价格，则代数式表示买3支铅笔和8块橡皮共花了多少钱 B．若长方形的长为，宽为8，正方形的边长为，则代数式表示一个长方形的面积与3个正方形的面积差 C．汽车每小时行驶千米，火车每小时行驶千米，则代数式表示火车行驶3小时比汽车行驶8小时少行驶的路程数 D．小米每千克元，大米每千克元，则代数式表示买8千克大米比买3千克小米少花的钱数 【答案】C 【分析】本题考查代数式的意义，理解代数式的意义是解题关键．根据代数式表示实际意义的方法逐项判断即可． 【详解】解：A、若x表示一支铅笔的价格，y表示一块橡皮的价格，则代数式表示8只铅笔比3块橡皮多花了多少钱，故本选项错误； B、若x表示长方形的长，8表示长方形的宽，y表示正方形的边长，则代数式表示一个长方形的面积与1个正方形的三边长的差，故本选项错误； C、汽车每小时行驶x千米，火车每小时行驶y千米，则代数式表示火车行驶3小时比汽车行驶8小时少行驶的路程数，故本选项正确； D、小米每千克x元，大米每千克y元，则代数式表示为买8千克小米比买3千克大米多花的钱数，故本选项错误． 故选：C． 变式3．（24-25七年级上·福建漳州·期中）商店对商品尾货进行亏本促销活动，促销的方法是将成本为元的商品提价后标价，再以元的促销价出售，则下列说法中，①标价减去30元后再打9折；②标价打9折后再减去30元；③标价减去50元后再打6折；④标价打6折后再减去30元．能正确表达该商店促销方法的是 ．（填序号） 【答案】③④/④③ 【分析】此题主要考查了代数式，成本为元的商品提价后标价为，分别列出四个说法的促销价，再可判断即可． 【详解】解：成本为元的商品提价后标价为， ①标价减去30元后再打9折，则促销价为：， 故①不符合； ②标价打9折后再减去30元，则促销价为：， 故②不符合； ③标价减去50元后再打6折，则促销价为：， 故③符合； ④标价打6折后再减去30元，则促销价为：， 故④符合； 综上，能正确表达该商店促销方法的是③④． 故答案为：③④． 变式4．（24-25七年级上·河北衡水·期中）下列代数式的意义表示错误的是（   ） A．表示与的和 B．表示与和的平方 C．表示9减去的所得的差 D．表示除以所得的商 【答案】B 【分析】根据代数式的意义，判断解答即可． 本题考查了列代数式，代数式的意义，熟练掌握代数式的意义是解题的关键． 【详解】解：A. 表示与的和，本选项正确，不符合题意；     B. 表示的平方与的平方的和，本选项错误，符合题意； C. 表示9减去的所得的差，本选项正确，不符合题意；     D. 表示除以所得的商，本选项正确，不符合题意； 故选：B． 变式5．（24-25七年级上·河北沧州·期末）对于代数式的意义，表述不正确的是（    ） A．比的倒数少2的数 B．比的倒数大的数 C．的倒数与的差 D．1除以的商与2的差 【答案】C 【分析】本题考查代数式，把这个代数式按照运算顺序用语言叙述出来即可． 【详解】解：A．比的倒数少2的数，正确； B．比的倒数大的数，正确； C．的倒数与的差为，故不正确； D．1除以的商与2的差，正确； 故选C． 变式6．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）下列说法正确的是（     ） A．x减去y的相反数的差与y的积，用代数式表示为； B．x与y的和的5倍，用代数式表示为； C．x与y的平方差， 用代数式表示为； D．与的差的平方除的商， 用代数式表示为． 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式．熟练掌握代数式的定义，数量关系与运算顺序，是解题的关键． 根据数量关系，运算顺序，相反数，理清除与除以的关系，逐一列出代数式，判断即得． 【详解】A、x减去y的相反数的差与y的积，用代数式表示为，∴A不正确； B、x与y的和的5倍，用代数式表示为，∴B不正确； C、x与y的平方差， 用代数式表示为，∴C正确； D、与的差的平方除的商， 用代数式表示为，∴D正确． 故选：C． 题型5、列代数式 【解题技巧】首先要弄清语句中各数量的意义及相互关系，用适当的字母表示各种数量，然后根据问题中数量关系，将数和字母用适当的运算符号连接起来，把文字语言转化为符号语言，使问题变得简洁，更具一般性．特别注意代数式的书写要规范。 例1．（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图是L形钢材的截面，5个同学分别列出它的截面面积的算式，你认为正确的有（   ） ①；②；③；④；⑤ A．①②③ B．②③⑤ C．③④⑤ D．①②③④⑤ 【答案】B 【分析】本题主要考查了列代数式，分解析图中五种情况，分别列式求出L的面积即可得到答案． 【详解】解：①如图， 的面积左边竖着的长方形的面积下面横着的长方形的面积，故错误； 如图， 的面积上边竖着的长方形的面积下面横着的长方形的面积，故正确； 如图， 的面积两个长方形的面积小正方形面积， 故正确； 如图， 的面积竖着的长方形的面积横着的长方形的面积重叠部分的正方形的面积，故错误； 如图， 的面积长方形的面积由辅助线构成的小长方形的面积，故正确， 综上可得：正确， 故选：B． 例2．（24-25九年级下·贵州毕节·阶段练习）若用，，分别表示一个三位数的百位、十位和个位上的数字，则这个三位数可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，掌握三位数的表示方法是解题的关键．根据百位上的数字乘100，十位上的数字乘10，个位上数字乘1，然后把得到的数加起来，即为所表示的三位数． 【详解】解：这个三位数的百位，十位，个位上的数字分别位，，， 这个三位数为：． 故选：C． 例3．（24-25八年级下·四川乐山·期中）若一辆汽车以60千米/时的速度行驶，从A城到B城需要t小时，如果汽车的速度每小时增加v千米，那么从A城到B城需要 小时． 【答案】 【分析】此题考查了列代数式．根据题意求出全程，及后来行驶的速度，相除即可得到时间． 【详解】解：一辆汽车以60千米/时的速度行驶，从A城到B城需小时，故全程为千米， 该车的速度每小时增加千米后的速度为每小时千米， 则从A城到B城需要小时， 故答案为：． 例4．（24-25九年级下·安徽安庆·期中）据市科技局发布，2023年我市高新技术企业数量比2022年增长．假定2024年的年增长率保持不变，2022年和2024年我市高新技术企业数量分别为m家和n家，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．根据题意，2023年我市高新技术企业数量比2022年增长．可得2023年我市高新技术企业数量为，2024年我市高新技术企业数量为，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得，, 故选：B． 变式1．（24-25七年级下·全国·假期作业）将一个正方形的边长增加，就得到一个新正方形．用含有字母的式子表示“增加的面积”，其中错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列代数式，根据阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，等于两个长方形的面积加上一个边长为的小正方形的面积，等于一个长为，宽为的长方形的面积，进行判断即可． 【详解】解：由题意和图可知：增加的面积”可表示为：，，；不能表示为； 故选：D． 变式2．（2025·吉林延边·模拟预测）几位同学合买一个篮球，每人出7元，还差5元，设同学的人数为人，则这个篮球的价格用代数式表示为 元． 【答案】 【分析】本题考查列代数式，根据题意列代数式即可． 【详解】∵同学的人数为人，每人出7元， ∴共出元 ∵还差5元， ∴这个篮球的价格用代数式表示为元 故答案为：． 变式3．（2025·安徽滁州·三模）某省2024年上半年的总值为a万亿元人民币，2024年下半年的总值比2024年上半年增长，预计2025年上半年的总值比2024年下半年增长．若2025年上半年该省的总值为b万亿元人民币，则a，b之间的关系是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列代数式，解题的关键是理解增长率的含义进行推导．先利用2024年上半年的总值将2024年下半年的总值表示出来，再表示出2025年上半年的总值即可得到与的关系式． 【详解】解：年上半年的总值为万亿元人民币，2024年下半年的总值比2024年上半年增长， 年下半年的总值为万亿元人民币， 预计2025年上半年的总值比2024年下半年增长， 预计2025年上半年的总值为万亿元人民币， 年上半年该省的总值为万亿元人民币， ． 故选：． 变式4．（24-25七年级下·全国·假期作业）下面各项中，可以用表示的是（　　） A．线段的总长度： B．线段的总长度： C．靠墙围长方形所用木料长度： D．长方形的面积： 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，熟悉掌握代数式的列法是解题的关键． 根据选项的描述逐一列式即可． 【详解】：表示两个相加的和，再加上4，据此观察四个选项，解答此题． A．线段的长度：，故该选项不符合题意； B．线段的长度：，故该选项不符合题意； C．围长方形所用木料长度：，故该选项符合题意； D．长方形的面积是：，故该选项不符合题意． 故答案为：C． 题型6、用代数式表示探究规律问题 【解题技巧】规探索律型问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律。它体现了“特殊到一般”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力。 例1．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）“中国结”寓意吉祥如意，中间的图案是一些小正方形．如图，将一定数量的“中国结”按某规律放置，得到中间小正方形的个数如下：第1个图形共有小正方形16个，第2个图形共有小正方形23个，第3个图形共有小正方形30个，…，依照此规律，第200个图形中共有小正方形（   ） A．1309个 B．1409个 C．1509个 D．1609个 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形的规律探索，合理分析图形数量变化的规律是解题的关键．根据图形数量的变化寻找规律得出第n 图形中小正方形的个数，然后再求出时，代数式的值即可． 【详解】解：第一个图形可以看作是个正方形， 第二个图形可看作是个正方形， 第三个图形可看作是个正方形， ∴第个图形的小正方形数量为：； ∴时，， ∴第200个图形中共有小正方形1409个． 故选：B． 例2．（24-25七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，将形状大小完全相同的梅花按以下规律进行摆放，其中第1个图形中有5朵梅花，第2个图形中有8朵梅花，第3个图形中有13朵梅花，第4个图形中有20朵梅花……依此规律，第n个图形中含有的梅花朵数是 ．（用含n的代数式表示） 【答案】/ 【分析】本题考查了图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．根据题意可得第1个图形中有朵梅花，第2个图形中有朵梅花，第3个图形中有朵梅花，第4个图形中有朵梅花，据此归纳类推出一般规律即可得． 【详解】解：由图可知，第1个图形中含有的梅花朵数是， 第2个图形中含有的梅花朵数是， 第3个图形中含有的梅花朵数是， 第4个图形中含有的梅花朵数是， 归纳类推得：第个图形中含有的梅花朵数是，（其中为正整数） 故答案为：． 例3．（24-25九年级下·重庆·期中）醇是一类由碳，氢，氧元素组成的有机化合物，其中一元醇是指一个分子中氧原子个数为1的醇类，下图所示的3种结构式均为一元醇，则当一元醇化学式中碳原子个数为10时，氢原子个数为（   ） A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】C 【分析】本题考查了图形的规律，理解题意找到变化的规律是解题的关键．观察图形可知，当碳原子个数为时，氢原子个数为，据此即可求解． 【详解】解：当碳原子个数为1时，氢原子个数为， 当碳原子个数为2时，氢原子个数为， 当碳原子个数为3时，氢原子个数为， …… 当碳原子个数为时，氢原子个数为， 当碳原子个数为10时，氢原子个数为． 故选：C． 例4．（24-25七年级下·全国·假期作业）学校报告厅第一排有a个座位，第二排有个座位，第三排有个座位，后面每一排比前面一排多2个座位．第n排有（　　）个座位． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意，电影院第一排有a个座位，第排与第一排相差排，又后面每排比前排多2个座位，所以第排比第一排多的座位为：，即可作答；本题考查规律的使用，关键在规律的总结和巧妙使用，此处重在归纳总结； 【详解】解：由题知，电影院第一排有a个座位；又后面每排比前排多2个座位； 第排与第一排相差：排， ∴第排比第一排多的座位为：； ∴第排的座位为：； 故选：B 例5．（2025·云南昆明·模拟预测）按一定规律排列的代数式：，第n个代数式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的多项式中各单项式的特点，探索出一般规律是解题的关键． 通过观察各单项式的系数和次数，可得规律第个多项式为． 【详解】解：∵， ∴第个多项式为， 故选：B． 例6．（24-25七年级上·山东日照·期中）根据图中数字的排列规律，在第⑩个图中，的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查数字类规律探究，观察可知：三角形左上角的数字规律为，右上角的规律为，下方数字规律为：，进而求出的值，再进行计算即可． 【详解】解：观察所给图形可知， 左上角的数字依次为：，，，，…， 所以第n个图形中左上角的数字可表示为：． 右上角的数字比同一个图形中左上角的数字大2， 所以第n个图形中右上角的数字可表示为：． 下方的数字为同一个图形中左上角数字的， 所以第n个图形中下方的数字可表示为：． 当时， ， ， ， 所以． 故答案为：． 例7．（2025·河南商丘·三模）中央电视台《为您服务》节目曾播放过骗子骗小学生钱的事件，骗子打着“开发智力的速算法”招牌对学生进行口算演示：               学生觉得这种计算方法真简单，比用计算器、还要算的快．这时骗子开始推销一种《速算法》的小册子，高喊：“要得发不离八，每本二十一块八．”小学生纷纷购买，其中一位小学生向他的邻居、七年级学生小刚宣传他得到的速算法，小刚告诉他这种方法只适合两个两位数乘法，并没有宣传的那么神通广大． (1)请你再举出两个类似上述运算式子的例子，并总结这些式子中左边两个两位数的特征．你知道小学生向小刚宣传他得到的速算法有怎样一种简便计算的规律？用自己的话叙述出来． (2)初中学习了“字母表示数”，你能用字母表示数的方法，写出宣传的这种速算法？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了有理数的乘法，总结特殊两位数乘积的规律，列代数式，整式的乘法等内容，解题的关键是善于寻找规律并掌握整式的乘法法则． （1）根据给出的乘式，发现两因数的规律，并寻找两因数和乘积的关系即可； （2）列代数式，利用多项式乘多项式的运算法则进行整理即可． 【详解】（1）解：例子，； 特征：两个两位数的十位数字相同，个位数字之和为10； 规律：十位数字乘以比它大1的数作为积的前两位，两个个位数字相乘的积作为积的后两位． （2）解：设这两个两位数分别为和（为十位数字，），则． 证明如下： ． 变式1．（24-25七年级上·河南周口·期中）用边长相等的正方形和等边三角形按如图所示的规律摆放，其中第1个图案用了5个正方形，第2个图案用了7个正方形…，按此规律排列下去，则第2024个图案中用的正方形的个数是（   ）      A．4048 B．4049 C．4050 D．4051 【答案】D 【分析】本题考查图形变化的规律．根据所给图形，依次求出正方形的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由图可知，第1个图案用了5个正方形，， 第2个图案用了7个正方形，， 第3个图案用了9个正方形，， …… 以此类推，第n个图案用了个正方形， 因此第2024个图案中用的正方形的个数是， 故选D． 变式2．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）把一个正三角形分成四个全等的三角形，第一次挖去中间的一个小三角形，对剩下的三个小正三角形再重复以上做法设第99次挖去后剩下的三角形个数为，第100次挖去后剩下的三角形个数为，那么 ；（结果用3为底数的幂表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了图形变化规律，列代数式，有理数的乘方运算，观察出后一个图形剩下的三角形是前一个图形剩下的三角形的3倍是解题的关键，根据挖去的规律，每挖去一次，原来的一个三角形剩下3个，即后一个图形剩下的三角形是前一个图形剩下的三角形的3倍，根据此规律写出第个图形中剩下的三角形的个数，进而即可得解． 【详解】解：第一次挖去后剩下的三角形的个数为：3， 第二次挖去后剩下的三角形的个数为：， 第三次挖去后剩下的三角形的个数为：， 第四次挖去后剩下的三角形的个数为：， ， 第次挖去后剩下的三角形的个数为：， ∴第99次挖去后剩下的三角形个数为，第100次挖去后剩下的，三角形个数为， ∴， 故答案为：． 变式3．（2025·山西长治·模拟预测）如图是一组有规律的图案，它们是由大小相同的“<>”组成的，第1个图案中有3个“”，第2个图案中有9个“”，第3个图案中有18个“”……按此规律，第n个图案中有 个“”．（用含n的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查列代数式，根据图案规律，写出第n个图案中图形的个数是解题的关键．根据图案找出规律即可． 【详解】 解：第1个图案中有：个， 第2个图案中有：个， 第3个图案中有：个， 第4个图案中有：个， …… ∴第n个图案中有个； 故答案为： 变式4．（2025·云南西双版纳·二模）按一定规律排列的代数式：，第个代数式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字变化的规律，找到代数式的系数和指数规律是解题的关键．观察代数式的系数和指数，找到变化的规律即可解答． 【详解】解：第1个代数式是， 第2个代数式是， 第3个代数式是， 第4个代数式是， 第5个代数式是， …… 依此类推，第个代数式是． 故选：A． 变式5．（24-25七年级上·福建厦门·期末）图1中三条线段的长如图所示，用n个图1拼成图2的总长度 ．（用含n的代数式表示） 【答案】/ 【分析】本题考查了规律探究，根据图形得用1个图1的长度为：，用2个图1拼成的图形的长度为：，用3个图1拼成的图形的长度为：，依次即可求解，找出规律是解题的关键． 【详解】解：用1个图1的长度为：， 用2个图1拼成的图形的长度为：， 用3个图1拼成的图形的长度为： ， 用n个图1拼成的图形的长度为：， 故答案为∶． 变式6．（24-25七年级上·福建厦门·期中）观察下面三行数： ，，，① ，，，② ，，，③ 设分别为第①②③行的第个数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了代数式，根据每行所给数的规律可得，第①行的数的规律为，第②行数的规律为，第③行数的规律为，即可得即，，，再代入代数式计算即可求解，根据每行所给数找出规律是解题的关键． 【详解】解：由每行所给数的规律可得，第①行的数的规律为，第②行数的规律为，第③行数的规律为， ∴第①②③行的第个数分别为，，， 即，，， ∴ ， 故选：． 变式7．（24-25七年级上·福建厦门·期中）从2开始，连续的偶数相加，它们和的情况如下： (1)从2开始，连续6个偶数相加，则和为______； (2)根据上述规律，猜想从2开始，连续个偶数相加，和为____（用含的式子表示）； (3)根据上述规律求的值（要有计算过程） 【答案】(1)42 (2) (3) 【分析】本题考查了规律型中的数字的变化类，找出变化规律是关键． （1）根据表中的规律发现：第n个式子的和是，即可求出连续6个偶数相加的和； （2）第n个式子的和是； （3）将原式转化为，再利用上述规律求解． 【详解】（1）解：从2开始，连续6个偶数相加，则和为， 故答案为：42； （2）解：从2开始，连续个偶数相加，和为， 故答案为：； （3）解： ． 1．（24-25七年级上·云南昆明·期中）下列各式：，，，，，，，中，代数式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的定义，熟练掌握代数式的定义是解题的关键． 根据代数式的定义进行判断即可得出答案． 【详解】解：，，，，，，，中，代数式有：，，，，，共个， 故选：D． 2．（23-24七年级上·河南洛阳·期中）有下列各式：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨.其中，代数式的个数为（    ） A．9 B．7 C．6 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的概念及识别，掌握代数式的概念是解题的关键． 代数式：由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，或含有字母的数学表达式称为代数式，注意，单独的一个数或字母也是代数式，由此即可求解． 【详解】解：①，是代数式， ②，不是代数式， ③，是代数式， ④，是代数式， ⑤，不是代数式， ⑥，是代数式， ⑦，是代数式， ⑧，不是代数式， ⑨，不是代数式， ∴代数式的有①③④⑥⑦，共5个， 故选：D ． 3．（24-25七年级上·湖北黄石·期中）在下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥中，符合代数式书写要求的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查代数式的书写，根据代数式的书写规则，逐一进行判断即可． 【详解】解：应写出，故①错误； ，书写正确；故②正确； ，应写成：；故③错误； ，书写正确；故④正确； 应写成：；故⑤错误； 应写成：；故⑥错误； 故选A． 4．（24-25七年级上·四川自贡·期中）下列各式：，其中符合代数式书写要求的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查代数式的书写规则，根据代数式的书写规则：数字和字母的乘积的形式，用点乘或省略乘号，除号用分数线表示，带分数化为假分数，系数为1的数字1省略，逐一进行判断即可． 【详解】解：中，符合书写规则的有，共3个； 故选C． 5．（24-25七年级上·贵州黔南·期末）用字母表示的代数式是具有一定意义的，下列赋予实际意义的例子中，错误的是（   ） A．若汽车行驶的速度是 a千米/时，则表示这辆汽车行驶6小时的路程 B．若某水果的价格是6元/千克，则表示买 a 千克该水果的金额 C．若一个两位数十位上的数字是6，个位上的数字是a，则表示这个两位数 D．若一个圆柱的底面积为a，高为6，则表示这个圆柱的体积 【答案】C 【分析】本题主要考查了列代数式，熟练掌握相关概念是解题关键．根据速度、路程和时间的关系，圆柱的体积公式，总价和单价的关系，有理数的表示，判断即可. 【详解】解：A．若汽车行驶的速度是 a千米/时，则表示这辆汽车行驶6小时的路程，正确，不符合题意； B．若某水果的价格是6元/千克，则表示买 a 千克该水果的金额，正确，不符合题意； C．若一个两位数十位上的数字是6，个位上的数字是a，则表示这个两位数，错误，符合题意； D．若一个圆柱的底面积为a，高为6，则表示这个圆柱的体积，正确，不符合题意； 故选：C． 6．（24-25七年级上·河南信阳·期中）下列语句中，不正确的是（  ） A．代数式的意义是与的平方差 B．代数式的意义是与的差的一半 C．的倍与的和的一半，用代数式表示是 D．的与的的差，用代数式表示是 【答案】C 【分析】此题考查了列代数式的意义，以及代数式的表示方法，根据代数式的意义判断即可得到结果． 【详解】解：A、代数式的意义是与的平方差，故A选项说法正确，不符合题意； B、代数式的意义是与的差的一半，故B选项说法正确，不符合题意； C、的7倍与的和的一半，用代数式表示是，故C选项说法错误，符合题意； D、的与的的差，用代数式表示是，故D选项说法正确，不符合题意． 故选：C． 7．（24-25七年级上·山东滨州·期末）下列代数式用语言叙述错误的是（   ） A．表示x与y和的平方 B．表示a与b的5倍的和 C．表示x，y两数的平方和减去它们乘积的2倍 D．表示x，y两数的和与差的积 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式的知识，正确理解代数式的含义是解题的关键．逐项分析代数式的表达意义即可判断． 【详解】A、表示x与y的平方和，所以选项A错误，符合题意； B、C、D的语言叙述均正确． 故选：A． 8．（23-24七年级上·四川泸州·阶段练习）某密码的规则为，即在密码本中，把这个字母替换成该字母前第2个字母，现密码本为26个英文字母按顺序循环书写，．现电文如下，请破译出来．正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查代数式，根据密码规则找出电文中每个字母的对应字母，按顺序书写即可． 【详解】解：根据规定的密码规则，字母对应字母为i，字母对应字母为l，字母对应字母为k，字母对应字母为e，字母o对应字母为m，字母c对应字母为a，字母v对应字母为t，字母j对应字母为h， 可得电文破译后为：． 故选A． 9．（24-25七年级下·全国·假期作业）一个三位数，它的个位上的数字是a，十位上的数字是b，百位上的数字是c．这个三位数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列代数式，百位上的数字乘以100加上十位上的数字乘以10，再加上个位数字即可得到答案． 【详解】解：由题意得，这个三位数为， 故选：B． 10．（2025·湖南怀化·三模）近几年，国产新能源汽车在电池技术突破和智能科技提升方面取得了长足进步.同时，在国家购车补贴优惠政策的支持下，价格不断降低，销量增长迅速，市场占有率越来越高.某型号国产新能源汽车原售价为元，现打八折，再优惠元，那么该型号新能源汽车现在的售价为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，根据题意可得打八折后新能源汽车的价格为元，故再优惠元后，新能源汽车的售价为元． 【详解】解：由题意得：打八折后新能源汽车的价格为元， 再优惠元后，新能源汽车的售价为元 故选：C． 11．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）九连环作为一种中国传统民间玩具，由九个完全一样的圆环和中间的直杆连接而成（如图1），从上往下看，可以看成九个水平摆放且间距一样的圆环（如图2），若相邻两个圆环之间重叠部分的宽度均为，整个九连环的宽度为，则一个圆环的直径可以表示为 （用含、的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查图形规律类．熟练掌握重叠后长度，重叠部分长度，并排长度的关系，是解题的关键． b加的和除以9，即得． 【详解】． 故答案为：． 12．（23-24七年级下·河南平顶山·月考）下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列代数式，根据不同的方法表示出阴影部分的面积即可． 【详解】解：A、三个阴影部分的面积分别为、、，所以阴影部分面积为，故该选项符合题意； B、上半部分阴影面积为：，下半部分阴影面积为：，所以阴影部分面积为：，故该选项不符合题意； C、左半部分阴影面积为：，右半部分阴影面积为：，所以阴影部分面积为：，故该选项不符合题意； D、大长方形面积：，空白处小长方形面积：，所以阴影部分面积为：，故该选项不符合题意； 故选：A． 13．（2025·河北唐山·三模）四位同学分别用不同的分割、剪拼方法计算下图的面积，得到以下四个代数式：I．；II．；Ⅲ．；IV．．则正确的对应关系是（   ） A．①-IV，②-II，③-I，④-Ⅲ B．①-II，②-Ⅲ，③-IV，④-I C．①-II，②-IV，③-Ⅲ，④-I D．①-IV，②-I，③-II，④-Ⅲ 【答案】B 【分析】本题考查列代数式表示图形面积，解题的关键是理解图形分割，并能准确的用代数式表示图形面积．根据图形的不同分割方式分割成几个简单图形，然后计算每个部分的面积，用代数式表示，与题目中给出的代数式进行对应，即可找出正确的匹配关系． 【详解】解：图①分割成两个小长方形的面积，再求和，面积之和为，与II配对； 图②分割成两个小长方形和一个小正方形的面积，再求和，面积之和为，与Ⅲ配对； 图③用大长方形的面积减去左下角小长方形的面积，即，与IV配对； 图④计算大长方形的面积，即，与I配对． 故选B． 14．（2025·贵州·二模）小海经过探究，发现从到这九个两位数中，任何两个数的积的一种计算方法．如计算，第一步：把第一个因数与第二个因数的个位数相加，得；第二步：把第一步的结果乘，得；第三步：把第一个因数的个位数乘第二个因数的个位数，得；第四步：把第二、三两步的结果相加，得，这就是要计算的结果，即．若有两个两位数分别为，，则这两个两位数的积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了列代数式，根据题中例题进行求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：第一步：把第一个因数与第二个因数的个位数相加，得； 第二步：把第一步的结果乘，得； 第三步：把第一个因数的个位数乘第二个因数的个位数，得； 第四步：把第二、三两步的结果相加，得， 故选：． 15．（24-25七年级上·山东德州·期中）如图是一组有规律的图案．第1个图案中有7个六边形，第2个图案中有13个六边形，第3个图案中有19个六边形，……，按此规律，第2024个图案中六边形的个数为（    ） A．12144 B．12145 C．12146 D．12143 【答案】B 【分析】本题考查的是图形规律探索题．分别找出每个图形中六边形的个数，得到一般规律，即可得解． 【详解】解：第1个图案中六边形有个； 第2个图案中六边形有个； 第3个图案中六边形有个； 所以第个图案中六边形有个． 所以第2024个图案中六边形有个． 故选：B． 16．（2024七年级上·云南·专题练习）共享单车解决了城市居民出行采用公共交通出行还需要步行的主要问题，完成交通行业最后一块“拼图”，带动居民使用其他公共交通工具的热情，是一种新型绿色环保共享经济．如图，自行车每节链条的长度为，交叉重叠部分的圆的直径为． (1)4节链条长______； (2)n节链条长______； (3)如果一辆自行车的链条由50节这样的链条组成，那么这辆自行车上链条总长度是多少？ 【答案】(1)7.6 (2) (3) 【分析】此题主要考查了图形的变化类． （1）结合图形发现规律：每加一节链条增加，据此计算即可； （2）从特殊到一般，找到规律列式即可； （3）在（2）的基础上，注意到环型链条比直线型链条多一个连接的接头，因此长度要少一个圆的直径，即可求解． 【详解】（1）解：∵根据图形可得出： 2节链条的长度为：， 3节链条的长度为：， 4节链条的长度为：， 故答案为：； （2）解：由（1）可得n节链条长为：． 故答案为：； （3）解：因为自行车上的链条为环形，首尾环形相连，展直的长度减1个0.8，故这辆自行车链条的总长为． 17．（24-25七年级上·福建漳州·期中）如图，将第1个图中的正方形剪开得到第2个图，第2个图中共有4个正方形：将第2个图中一个正方形剪开得到第3个图，第3个图中共有7个正方形；将第3个图中一个正方形剪开得到第4个图，第4个图中共有10个正方形……如此下去，第2025个图中共有正方形的个数为 ． 【答案】6073 【分析】根据图形的变化，后一个图形的正方形的个数都比前一个图形的正方形的个数多3个，第n个图形的正方形的个数为即可求解． 本题考查了图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． 【详解】解：观察图形可知：第1个图中有1个正方形，即； 第2个图中有4个正方形，即； 第3个图中有7个正方形，即； 第4个图中有10个正方形，即； …… ∴第n个图中正方形的个数为； 当时， ， ∴第2025个图中共有正方形的个数为6073． 故答案为：6073． 18．（2025·云南·模拟预测）按一定规律排列的一组数：，，，…，，，…，则的值是（    ） A．172 B．182 C．200 D．242 【答案】B 【分析】本题考查找数式规律问题，观察各数据得到，，，，即每个分数的分母可以分解为两个连续正整数的积，由于，所以，，即可得到a与b的值．数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况是解决问题的关键． 【详解】解：∵，，，，…，， ∴，， ∴，， ∴． 故选：B． 19．（24-25九年级下·云南文山·阶段练习）按照一定规律排列的多项式：．则第个多项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式规律探究，理解题意、发现相关规律是解题的关键． 根据所给的多项式的项数、次数即可找到规律，然后运用规律求解即可． 【详解】解：由题意可知：所给的多项式为二项式，第一项a的系数都为连续奇数，指数为1；第二项b的系数为1，b的指数为连续正整数， 故在第个多项式中：a的为，指数为1，b的系数为1，指数为，即． 故选：A． 20．（2025·山西运城·模拟预测）（代数推理）观察下列点阵： 第1个点阵对应的等式为； 第2个点阵对应的等式为； 第3个点阵对应的等式为； 第4个点阵对应的等式为；⋯ 请按以上规律写出第n个点阵对应的等式： （用含n的等式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类：通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．根据前面的等式的规律得到第n个点阵图中点的个数共有个，它有从1开始的n个连续奇数的和，即可得出结论． 【详解】解：第n个点阵对应的等式：． 故答案为：． 1．（24-25七年级下·江苏南京·期中）某交易市场每玉米可兑换大米，小明用 玉米（含篮子重量）换了小红大米（含篮子重量），交换后谁吃亏（   ） A．都不吃亏 B．小明吃亏 C．小红吃亏 D．不确定 【答案】B 【分析】题目主要考查代数式的应用，理解题意，列出代数式比较即可 首先设篮子的重量为x千克，然后求出应换取的大米的千克数，然后与实际给的数量进行比较即可 【详解】解：设篮子重x千克，则玉米重千克， 则应换取的大米的重量为千克，实际得到的大米的重量为千克， ∵， ∴小明吃亏， 故选：B 2．（23-24七年级下·浙江温州·期末）把两张正方形纸片按如图1所示分别裁剪成A和B两部分（B为长方形），再将裁好的四张纸片不重叠地放入图2所示的正方形中，记一张A纸片的面积为，一张B纸片的面积为，若，则图2中阴影部分面积为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式混合运算的顺序和法则是解题的关键． 设图1正方形纸片边长为a，B部分的宽为b，长为c，根据图1和图2得出和，再利用得到，再表示出，代入计算即可． 【详解】解：将B向左推，可得如图， 设图1正方形纸片边长为a，B部分的宽为b，长为c， 根据图2是正方形，得， 即， 由图（2）两个A的位置，可得即， ∴图2正方形边长为 ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 故选：C． 3．（2025·山东聊城·二模）对于一个四位自然数，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称为“天真数”．例如：四位数7311，是“天真数”；四位数不是“天真数”．则最小的“天真数”为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，列代数式，根据“天真数”的定义进行分析，即可求解． 【详解】解：依题意，， 0是最小的自然数， 由“天真数”的定义可知，最小的“天真数”的个位数和十位数为0，即， 千位数为，百位数为， 最小的“天真数”为； 故答案为：． 4．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）三只猴子分桃，第一只猴子把桃分成数量相等的三份，多了一个自己吃掉，并把自己一份藏起来；第二只猴子把剩下的两份桃再次分成数量相等的三份，多了一个也自己吃掉，并把自己一份藏起来；第三只猴子也完成了同样的操作，则桃子至少有 个． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式，找出正确的等量关系是解题的关键．首先设第三只猴子分过后每份桃子有个，再根据题意分别表示出第二只猴子所分的桃子，第一只猴子所分的桃子，最后根据桃子的数量为正整数取值即可． 【详解】设第三只猴子分过后每份桃子有个，则第三只猴子所分的桃子有个， 第二只猴子所分的桃子有个，即个， 第一只猴子所分的桃子有个，即个， ， 且和均为正整数， 为正整数， 是的倍数， 的最小值为， 当时，， 桃子至少有个， 故答案为：． 5．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，将周长相等的正方形 和长方形 放入一个大长方形内，大长方形未被覆盖部分为①和②，若已知①和②的周长之差为 6，则下列可求具体数值的选项是（     ） A． 与 的和 B． 与 的积 C． 与 的差 D． 与 的商 【答案】C 【分析】本题主要考查了列代数式，正方形和长方形的周长公式，解题关键是通过利用正方形和长方形周长相等这一条件，建立等式关系，进行代数运算和推理的能力．设正方形的边长为，长方形的长为，宽为．中间四边形的周长为．然后根据①+③的周长和②+③的周长之差为6，列出等式，化简得到．再由正方形和长方形周长相等，即，变形为．最后通过和这两个式子，能够求出（即）与（即）的差，从而确定答案为C选项，而其他选项仅根据现有条件无法求出具体数值． 【详解】设正方形的边长为，长方形的长为，宽为．中间四边形的周长为③ ①+③的周长为：， ②+③的周长为：， 已知①和②的周长之差为6， ①+③的周长和②+③的周长之差为6， 即， 化简可得， 则， 因为正方形和长方形周长相等， 所以，可得， 又因为， 可通过这两个式子求出的值， 所以与的差可求． 与的和，与的积，与的商，仅根据现有条件无法求出具体数值． 答案选C． 6．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图：第1个图案中，内部“△”的个数为个，外侧边上“•”的个数为个；第个图案中，内部“△”的个数为个，外侧边上“•”的个数为个；第个图案中，内部“△”的个数为个，外侧边上“•”的个数为个；依此类推，当内部“△”的个数是时，外侧边上“•”的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形变化的规律、列代数式，解决本题的关键是根据所给图形发现图形内部“△”的个数和外侧边上“•”的个数变化规律，根据规律求出外侧边上“•”的个数． 【详解】解：由图可知， 第个图形内部“△”的个数为：，外侧边上“•”的个数为：， 第个图形内部“△”的个数为：，外侧边上“•”的个数为：， 第个图形内部“△”的个数为：，外侧边上“•”的个数为：， ， 第个图形内部“△”的个数为：个，外侧边上“•”的个数为个， 当时， 解得：，(不符合题意，舍去)， 外侧边上“•”的个数为． 故选：C． 7．（24-25七年级上·福建漳州·期末）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了这样一个“物不知数”的问题：“今有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，同物几何？”其意思是：有一个正整数除以3余2，除以5余3，除以7余2，则这个正整数可以是（   ） A．44 B．163 C．263 D．338 【答案】D 【分析】此题主要考查了列代数式，先确定出除以21余2的最小正整数为23，此时也满足除以5余3，再确定出3，5，7的最小公倍数，即可得出结论． 【详解】解：∵一个正整数，除以3余2，除以7余2， ∴这个正整数除以21也余2， ∴除以21余2的最小正整数为23， 而， ∴满足条件的最小正整数为23， ∵3，5，7的最小公倍数为， ∴满足条件的所有正整数为（k为自然数）， ∴当时，这个正整数是23， 当时，这个正整数是128， 当时，这个正整数是233， 当时，这个正整数是338， 故只有D选项符合． 故选：D． 8．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）用若干黑白两色的正方形按如图所示的方式摆放，依此规律，第n个图形中小正方形的总个数是： ； 若第n个图形中白色正方形的个数记为，计算：＝ ． 【答案】 【分析】本题考查了用代数式表示数、图形的规律，先结合图形，得出第n个图形中小正方形的总个数是：；结合第n个图形中白色正方形的个数记为，则故，即可作答． 【详解】解：第1个图形：小正方形的总个数是； 第2个图形：小正方形的总个数是； 第3个图形：小正方形的总个数是； 第4个图形：小正方形的总个数是； …… 以此类推：第n个图形中小正方形的总个数是：； ∵第n个图形中白色正方形的个数记为， ∴ …… 以此类推：第n个图形中白色正方形的个数记为， ∴ ． 故答案为：． 9．（24-25七年级上·山东滨州·期末）小亮在元旦联欢会上给同学们表演纸牌魔术．他请一名同学随意洗乱一副不含大小王的扑克牌，然后从中任意抽取一张牌，再让这个同学将这张牌的点数乘5，再加上4，再乘2，再减去12，然后加上抽出纸牌花色的代号，其中黑桃的代号是1，梅花的代号是2，红桃的代号是3，方块的代号是4，最后这位同学说出运算结果是78．小亮迅速说出这位同学抽出的纸牌是梅花8．请你用所学的数学知识解释其中原因． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了数字的变化—规律型，找到数字的变化规律是解题的关键． 设同学抽出点数字为，求出代数式，总结规律即可． 【详解】解：设同学抽出的牌的点数为， 则， ， 个位数字是就是黑桃， 个位数字是就是梅花， 个位数字是就是红桃， 个位数字是就是方块； 当抽出纸牌花色为黑桃、梅花、红桃时，十位数字加上就是牌的点数； 当抽出纸牌花色为方块时十位数字就是牌的点数. 10．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）观察下面三行数： ，，，，，，…；① ，，，，，，…；② ，，，，，，…．③ (1)第①行数的第个数是______； (2)请将第②行数中的每一个数分别减去第①行数中对应位置的数，并找出规律，根据你得到的结论，直接写出第②行数的第n个数是______；同理直接写出第③行数的第n个数是______． (3)取每行的第个数，这三个数的和能否等于？如果能，请求出的值；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题是对数字变化规律的考查，有理数乘方的应用； （1）观察可得，后一个数是前一个数字的倍解答即可； （2）观察可得，第②行数中的每一个数分别减去第①行数中对应位置的数的差都是，第③行数中的每一个数分别加上第①行数中对应位置的数的和都是，即可求解； （3）根据各行的第个数的表达式列出方程，然后解方程即可． 【详解】（1）第①行数的第个数是：， 故答案为； （2）由图中的数据可得， 第②行数中的每一个数分别减去第①行数中对应位置的数的差都是，则第②行数的第个数是， 第③行数中的每一个数分别加上第①行数中对应位置的数的和都是，则第③行数的第个数是， 故答案为：，； （3）解：取每行的第个数，这三个数的和能等于， 令， ∴ 解得，， 即取每行的第个数，这三个数的和能等于． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$