专题1.2 二次函数与一元二次方程（高效培优讲义）数学沪科版九年级上册

专题1.2 二次函数与一元二次方程 教学目标 1.理解一元二次方程根的几何意义（抛物线与X轴交点的横坐标），知道二次函数与一元二次方程的对应关系。 2.理解抛物线与X轴的三种位置关系对应着一元二次方程根的三种情况，会灵活运用一元二次方程根的判别式解决二次函数图像与X轴的交点问题。 3.会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解，能根据二次函数的图像解决有关方程和不等式的问题，在求解过程中体会转化及数形结合思想。 教学重难点 重点：二次函数与一元二次方程关系的理解。 难点：二次函数与一元二次方程关系的应用。 知识点01 二次函数与一元二次方程之间的关系 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 【即学即练】已知抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有且只有一个交点，则m＝　　． 知识点02 图象法求一元二次方程的近似解 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 【即学即练】二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，自变量x与函数y的对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … m﹣4.5 m﹣2 m﹣0.5 m m﹣0.5 m﹣2 m﹣4.5 … 若1＜m＜1.5，则下面叙述正确的是（　　） A．该函数图象开口向上 B．该函数图象与y轴的交点在x轴的下方 C．对称轴是直线x＝m D．若x1是方程ax2+bx+c＝0的正数解，则2＜x1＜3 知识点03 二次函数与一元二次不等式之间的关系 图像 有两个交点 或 或 【即学即练】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)直接写出关于x的不等式的解集． 题型01 交点坐标 【例1】（求二次函数的图象与坐标轴的交点坐标） （23-24九年级上·安徽六安·期末）二次函数与y轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【例2】（求二次函数的图象与直线的交点坐标） 92．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于A，B两点（点A在点B的左侧）．    求A，B两点的坐标． 【变式1】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知抛物线的解析式为，求该抛物线与轴的两个交点的坐标． 【变式2】（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求该抛物线的顶点坐标． (2)求该抛物线与x轴的交点坐标． 题型02 二次函数的图象与x轴交点个数问题 【例1】（判断二次函数的图象与x轴有无交点） （24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）已知关于x的二次函数． (1)当时，求该二次函数的对称轴和顶点坐标； (2)求证：对于任意实数k，二次函数的图象与x轴总有两个不同的交点． 【例2】（判断二次函数的图象与x轴有几个交点） （24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）二次函数的图象与坐标轴的交点个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例3】利用函数图象与x轴交点情况求字母参数的取值（范围） （24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知抛物线和点、，其中、的坐标分别为，． （1）若抛物线与轴只有一个交点，则的值为 ． （2）若抛物线与线段有两个不同的交点，则的取值范围是 ． 【变式1】（24-25九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）抛物线与x轴的交点个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知函数的图象与轴有交点，则的取值范围为 ． 【变式3】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）已知抛物线（是常数） (1)当时，求该抛物线的顶点坐标； (2)证明：不论为何值，该抛物线与轴没有交点． 【变式4】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知关于的二次函数（为常数），求证：无论为何值时，函数图象与轴总有两个不同交点． 【变式5】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数． (1)若该函数图象与轴有两个不同交点，求范围． (2)若，求当时，该函数的范围． 【变式6】（24-25九年级上·安徽安庆·期中）已知二次函数，点A的坐标为，点B的坐标为． （1）该二次函数图象的对称轴为直线 ； （2）若该函数图象与线段只有一个交点，则a的取值范围是 ． 【变式7】（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知二次函数（m是常数）． (1)求证：无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点； (2)已知该二次函数的图象与x轴交于A，B两点，且，求m的值． 【变式8】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知抛物线与轴交于点和点表示点与点之间的距离，解答下列问题： (1)填表： 函数 点坐标 点坐标 1 (2)若是一元二次方程的两个根，则，请根据这个结论解答问题：已知抛物线与轴交于点，且，求的值． 题型03 利用二次函数图象解方程、不等式 【例】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系． (1)在坐标系中画出抛物线与直线． (2)根据（1）中所作图象，直接写出方程的根． 【例2】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，二次函数的图象的顶点 C 的坐标为，与 x 轴交于、，根据图象回答下列问题： (1)写出方程的根； (2)写出不等式的解集； (3)若方程有实数根，写出实数 k 的取值范围． (4)当 时，求 y 的取值范围． 【变式1】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数的图像过点，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)已知二次函数与直线交于A、B两点，请结合图像直接写出不等式的解集． 【变式2】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）二次函数的图象如图所示，图象经过，最高点，对称轴是．根据图象解答下列问题： (1)方程的两个根是？ (2)不等式的解集是？ (3)若方程有两个实数根，则的取值范围是？ 题型04 二次函数与几何问题的综合应用 【例】（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）抛物线与轴交于，两点，与轴交于，求的面积． 【变式1】（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）当一个函数的图像关于轴成轴对称图形时，我们称这个函数为偶函数．若二次函数是偶函数，该函数的图像与轴交于点，（点在点的左边），顶点为，则的面积是 ． 【变式2】（2023九年级·安徽·专题练习）如图，拋物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为，求的面积．    【变式3】（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与轴交于点，如图所示． (1)求点A、B、C的坐标； (2)求的面积． 题型05 二次函数与一次函数、一元二次方程的综合应用 【例】（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于A，B两点（点A在点B的左侧）．    (1)求A，B两点的坐标． (2)将直线向上平移个单位长度后，平移后的直线与抛物线仅有1个公共点，求m的值． (3)将直线绕点B顺时针旋转90°，得到直线，C为旋转后的直线与抛物线的交点，求点C的坐标． 【变式1】（2024·安徽安庆·二模）已知，如图，抛物线与x轴的交点分别为A，B（A在B的左侧），顶点为C，与y轴的交点为D．顺次连接A、B、C三点，构成等腰直角三角形． (1)求m的值； (2)如图，连接、，判断的形状，并求出其面积； (3)将抛物线在x轴下方部分图象向上翻折，在x轴上方部分图象保持不变，若直线与图象恰有3个交点时，求出k的值． 【变式2】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图1，点A，B的坐标分别为，，抛物线的两个端点分别为A，B． (1)求h的值． (2)若抛物线与x轴只有一个交点，求抛物线L的解析式． (3)如图2，当时，经过点的一条直线与抛物线只有一个交点，请直接写出n的取值范围． 1．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）二次函数的图象如图，对称轴为直线，若关于的一元二次方程（为实数）在这一范围内有解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）如图所示，已知抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论错误的是（    ） A． B． C．当时，的取值范围是 D． 3．（24-25九年级上·安徽亳州·自主招生）如图，已知抛物线与直线交于、两点，与x轴交于，当时，x的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 4.下表给出了二次函数与自变量的部分对应值： 0 1 2 5 6 5 2 则关于的一元二次方程的解为　　 A．， B．， C．， D．， 5．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）若抛物线和轴有交点，则的取值范围是 ． 6．（24-25九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知关于x的函数的图像与x轴只有一个交点，则m的取值范围是 ． 7．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）已知抛物线的顶点为C，与x轴交于A，B两点（设点A在B的左侧），其中B点的横坐标为4，一次函数经过A、C两点，若，则x的取值范围是 ． 8．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）已知关于x的方程的根为，，关于x的方程的根为，，其中．则将，，，从小到大排列应为 ． 9．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）已知抛物线开口朝上． （1）该抛物线对称轴为 ； （2）若该抛物线与轴交于，两点，且，则的取值范围是 ． 10．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知关于 x 的 函数 的图象与 x 轴只有一个公共点，求 m 的值． 11．（24-25九年级上·安徽淮北·阶段练习）已知抛物线经过点． (1)求该抛物线的表达式； (2)判断该抛物线与x轴是否有交点，并说明理由． 12．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）已知一抛物线的顶点是，且过原点． (1)求该抛物线的表达式； (2)求抛物线与轴的另一个交点坐标． 13.（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点、是二次函数图象上一对对称点，一次函数的图象过点、． (1)直接写出点、的坐标； (2)求二次函数的解析式； (3)根据图象求的解集． 14．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）已知二次函数与x轴交于，． (1)若，求该二次函数的对称轴； (2)若点在该抛物线上，且，当时，求m的范围； (3)若，求的值． 15．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）定义：在平面直角坐标系中，横、纵坐标相等的点为“完美点”，顶点是“完美点”的二次函数为“完美函数”． (1)若点是“完美点”，求a的值． (2)已知某“完美函数”的顶点在直线上，且与y轴的交点到原点的距离为4，求该“完美函数”的解析式． 16．（24-25九年级上·安徽淮北·期中）已知抛物线． (1)当时，求抛物线与坐标轴的交点坐标． (2)若抛物线与x轴有两个交点，将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图像的其余部分保持不变，得到一个新的图像．经过点且与y轴垂直的直线l与新的图像恰好有三个公共点，求此时m的值： (3)当时，抛物线的最大值与最小值的差是3，求m的值． 17．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）已知点是抛物线上的一个动点，点的坐标为． 【特例探究】 （1）如图1，直线过点且平行于轴，过点作，垂足为点，连接． ①当时，______，______； ②当时，______，______． 【猜想验证】 （2）对于取任意一实数，猜想与的大小关系，并证明你的猜想． 【拓展应用】 （3）请利用（2）的结论解决下面的问题：如图2，点的坐标为，连接，问是否存在最小值？如果存在，请说明理由，并求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 18．（24-25九年级上·安徽淮北·期中）定义：在平面直角坐标系中，抛物线与y轴的交点坐标为，那么我们把经过点且平行于轴的直线称为这条抛物线的极限分割线． 【特例感知】 （1）抛物线的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为 ． 【深入探究】 （2）经过点和的抛物线与y轴交于点，它的极限分割线与该抛物线另一个交点为，请用含的代数式表示点的坐标． 【拓展运用】 （3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为，直线垂直平分，垂足为，交该抛物线的对称轴于点．，求点的坐标． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2 二次函数与一元二次方程 教学目标 1.理解一元二次方程根的几何意义（抛物线与X轴交点的横坐标），知道二次函数与一元二次方程的对应关系。 2.理解抛物线与X轴的三种位置关系对应着一元二次方程根的三种情况，会灵活运用一元二次方程根的判别式解决二次函数图像与X轴的交点问题。 3.会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解，能根据二次函数的图像解决有关方程和不等式的问题，在求解过程中体会转化及数形结合思想。 教学重难点 重点：二次函数与一元二次方程关系的理解。 难点：二次函数与一元二次方程关系的应用。 知识点01 二次函数与一元二次方程之间的关系 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 【即学即练】已知抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有且只有一个交点，则m＝　　． 【分析】利用判别式Δ＝b2﹣4ac＝0即可得出结论． 【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有且只有一个交点， ∴方程x2﹣6x+m＝0有唯一解． 即Δ＝b2﹣4ac＝36﹣4m＝0， 解得：m＝9． 故答案为：9． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点知识，明确Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数是解题的关键． 知识点02 图象法求一元二次方程的近似解 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 【即学即练】二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，自变量x与函数y的对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … m﹣4.5 m﹣2 m﹣0.5 m m﹣0.5 m﹣2 m﹣4.5 … 若1＜m＜1.5，则下面叙述正确的是（　　） A．该函数图象开口向上 B．该函数图象与y轴的交点在x轴的下方 C．对称轴是直线x＝m D．若x1是方程ax2+bx+c＝0的正数解，则2＜x1＜3 【分析】根据表格中的数据和二次函数图象具有对称性即可判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：∵二次函数过（﹣1．，m﹣2），（3，m﹣2），∴对称轴为直线x＝＝1，故C错误，不合题意； 由表格可得，当x＞1时，y随x的值增大而减小， ∴该函数开口向下，故选项A错误，不符合题意； ∵图象过点（0，m﹣0.5），1＜m＜1.5， ∴1﹣0.5＜m﹣0.5＜1.5﹣0.5，即0.5＜m﹣0.5＜1， ∴该函数图象与y轴的交点在x轴的上方，故B错误，不合题意； 由表中数据可知：y＝0在y＝m﹣2与y＝m﹣0.5之间， 故对应的x的值在﹣1与0之间， 故对应的x的值在2与3之间，即2＜x1＜3，故D正确，符合题意． 故选：D． 【点评】此题主要考查了图象法求一元二次方程的近似值，掌握函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点与方程ax2+bx+c＝0的根的关系是解决此题的关键所在． 知识点03 二次函数与一元二次不等式之间的关系 图像 有两个交点 或 或 【即学即练】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与不等式的关系． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据抛物线与x轴交点坐标可得抛物线在x轴上和上方时x的取值范围即可解决问题． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，， ∴设抛物线的函数表达式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：∵抛物线与x轴交于点，， ∴当时，， ∴不等式的解集为． 题型01 交点坐标 【例1】（求二次函数的图象与坐标轴的交点坐标） （23-24九年级上·安徽六安·期末）二次函数与y轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】本题考查了求二次函数与轴的交点坐标，令求出的值即可得解． 【详解】解：在中，当时，， 故二次函数与y轴的交点坐标是， 故选：D． 【例2】（求二次函数的图象与直线的交点坐标） 92．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于A，B两点（点A在点B的左侧）．    求A，B两点的坐标． 【答案】点A的坐标为，点B的坐标为 【详解】联立， 得， 整理，得，解得，． ∵当时，， 当时，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为． 【变式1】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知抛物线的解析式为，求该抛物线与轴的两个交点的坐标． 【答案】 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题主要考查了求抛物线与x轴的交点，把代入，解关于x的方程即可． 【详解】解：当时，， 整理得：， 解得：， 抛物线与轴的两个交点的坐标分别为和． 【变式2】（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求该抛物线的顶点坐标． (2)求该抛物线与x轴的交点坐标． 【答案】(1) (2)， 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】（1）按照配方法把化为，即可求出顶点坐标； （2）由列出一元二次方程，解方程即可求得抛物线与轴的交点坐标． 本题考查二次函数与轴的交点，二次函数的性质，解题的关键是熟记二次函数的性质和熟练解一元二次方程． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故顶点坐标为； （2）解：∵， 当时，， ，， 故该抛物线与x轴的交点坐标分别为，． 题型02 二次函数的图象与x轴交点个数问题 【例1】（判断二次函数的图象与x轴有无交点） （24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）已知关于x的二次函数． (1)当时，求该二次函数的对称轴和顶点坐标； (2)求证：对于任意实数k，二次函数的图象与x轴总有两个不同的交点． 【答案】(1)对称轴为直线，顶点为 (2)见解析 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系： （1）将代入函数解析式，然后配方成顶点式进行求解即可； （2）根据根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：当时，，   对称轴为直线，顶点为， （2）证明：， 故对于任意实数k，二次函数的图象与x轴总有两个不同的交点． 【例2】（判断二次函数的图象与x轴有几个交点） （24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）二次函数的图象与坐标轴的交点个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】当时，，与y轴有一个交点；当时，，解得，故抛物线与x轴有2个交点，解答即可． 本题考查了抛物线的性质，熟练掌握抛物线与坐标轴的交点是解题的关键． 【详解】解：当时，，与y轴有一个交点； 当时，， 解得， 故抛物线与x轴有2个交点， 故抛物线与坐标轴有3个交点． 故选：D． 【例3】利用函数图象与x轴交点情况求字母参数的取值（范围） （24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知抛物线和点、，其中、的坐标分别为，． （1）若抛物线与轴只有一个交点，则的值为 ． （2）若抛物线与线段有两个不同的交点，则的取值范围是 ． 【答案】 或 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、y=ax²+bx+c的图象与性质、列一次函数解析式并求值 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，与轴的交点问题，一次函数的图象性质，二次函数的图象上的点的特征，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合抛物线与轴只有一个交点，得出，代入数值进行计算，即可作答． （2）理解题意，然后进行分类讨论，然后作图，求出直线的解析式为，再结合进行列方程组，得，再运用判别式进行列式计算，即可作答． 【详解】解：（1）∵抛物线与轴只有一个交点， ∴， 解得， 故答案为：． （2）∵抛物线的解析式为． 观察图象可知，当时，时，时，且，满足条件， 可得； 当时，时，，且抛物线与直线有交点，且满足条件， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入，得 ， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立①②得 并整理得： ， ∵， ∴， ∴满足条件， 综上所述，满足条件的a的值为或， 故答案为：或． 【变式1】（24-25九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）抛物线与x轴的交点个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题主要考查二次函数与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数与x轴的交点问题是解题的关键；因此此题可根据“时，二次函数与x轴交两个点；当时，二次函数与x轴交一个点；当时，二次函数与x轴没有交点”，进而问题可求解． 【详解】解：由可知：， ∴该抛物线与x轴的交点个数是2个； 故选C． 【变式2】（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知函数的图象与轴有交点，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查一次函数与二次函数的性质，先分情况讨论确定是一次函数还是二次函数，再求解即可． 【详解】解：当即时，是一次函数，与轴有交点； 当即时，是二次函数， ∵的图象与轴有交点， ∴一元二次方程有实数根， ∴， 解得， 此时且， 综上所述，， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）已知抛物线（是常数） (1)当时，求该抛物线的顶点坐标； (2)证明：不论为何值，该抛物线与轴没有交点． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与x轴的交点等知识，解题的关键是： （1）把代入函数解析式，然后把函数解析式化为顶点式即可求解； （2）证明即可． 【详解】（1）解：当时，， 该抛物线的顶点坐标为； （2）解：， 不论为何值，该抛物线与轴没有交点． 【变式4】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知关于的二次函数（为常数），求证：无论为何值时，函数图象与轴总有两个不同交点． 【知识点】抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题主要考查二次函数与x轴的交点问题．根据二次函数与一元二次方程的关系及根的判别式进行证明即可． 【详解】解：∵二次函数与轴的交点，， 即， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴无论k为何值，该函数的图象与x轴总有两个不同交点． 【变式5】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数． (1)若该函数图象与轴有两个不同交点，求范围． (2)若，求当时，该函数的范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，与与轴的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据二次函数与轴有两个不同交点，则，代入数值计算，即可作答． （2）先由得，分析函数的图象性质得开口向上，在对称轴处，有最小值，即，再结合，即可作答． 【详解】（1）解：∵二次函数与轴有两个不同交点， ∴， 解得； （2）解：依题意，把代入， 得， ∴对称轴为直线， ∵， ∴开口向上， 在对称轴处，有最小值，即， 把代入， 把代入， ∴当时，该函数的范围为． 【变式6】（24-25九年级上·安徽安庆·期中）已知二次函数，点A的坐标为，点B的坐标为． （1）该二次函数图象的对称轴为直线 ； （2）若该函数图象与线段只有一个交点，则a的取值范围是 ． 【答案】 或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质等知识点， （1）化为顶点式，即可求解； （2）根据抛物线顶点坐标，通过数形结合求解． 熟练掌握二次函数性质是解决此题的关键． 【详解】（1）∵二次函数， ∴ ∴对称轴为直线：，顶点为 故答案为：． （2）①当顶点在线段上时，， 解得：； ②∵对称轴为直线，，抛物线开口向下， ∵时，当时，， ∵当函数图象与线段只有一个交点， ∴， 解得：， 故答案为：或． 【变式7】（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知二次函数（m是常数）． (1)求证：无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点； (2)已知该二次函数的图象与x轴交于A，B两点，且，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、求x轴与抛物线的截线长 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法，二次函数性质； （1）令，可得关于的一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式可证得结论； （2）令，可得关于的一元二次方程，表示出方程的根，即可得到、两点的横坐标值，然后根据，列方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ， ∴一元二次方程有实数根， ∴无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点； （2）解：当时，， 得， ，， ， 或． 【变式8】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知抛物线与轴交于点和点表示点与点之间的距离，解答下列问题： (1)填表： 函数 点坐标 点坐标 1 (2)若是一元二次方程的两个根，则，请根据这个结论解答问题：已知抛物线与轴交于点，且，求的值． 【答案】(1)第2行：；第3行：；第4行：（；第6行： (2)或 【知识点】无理方程、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、抛物线与x轴的交点问题 【分析】此题考查了二次函数图象与的交点问题、解无理方程、一元二次方程根与系数关系、解一元二次方程等知识． （1）把代入二次函数解析式，求出交点坐标，再求出即可； （2）根据题意得到，由，得到，解方程并检验即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，，解得，， ∴点坐标为， ， 当时，，解得，， ∴点坐标为， ， 当时，，解得，， ∴点坐标为， ， 与轴交于点和点 ， 故答案为：第2行：；第3行：；第4行：；第6行： （2）当时，的两根为，， 则， ∵， ∴ 整理得， 解得， 经检验是方程的根且符合题意， 即或. 题型03 利用二次函数图象解方程、不等式 【例】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系． (1)在坐标系中画出抛物线与直线． (2)根据（1）中所作图象，直接写出方程的根． 【答案】(1)图见详解 (2) 【知识点】画一次函数图象、画y=ax²+bx+c的图象、图象法确定一元二次方程的近似根 【分析】本题考查二次函数和一次函数图象即性质， （1）根据二次函数和一次函数的解析式画图即可； （2）找出两个图象的交点即可得到答案． 【详解】（1）解：， ∴二次函数的对称轴为：，顶点为， 当时，，， ∴二次函数过点，，， 一次函数过点，， ∴二次函数和一次函数的图象如下图所示， （2）解：的解为两个图像的交点，即，， ∴． 【例2】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，二次函数的图象的顶点 C 的坐标为，与 x 轴交于、，根据图象回答下列问题： (1)写出方程的根； (2)写出不等式的解集； (3)若方程有实数根，写出实数 k 的取值范围． (4)当 时，求 y 的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3) (4) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数图象确定相应方程根的情况、利用不等式求自变量或函数值的范围、根据交点确定不等式的解集 【分析】本题主要考查二次函数的性质和对应的方程，以及不等式的求解， （1）根据二次函数与x的交点即可求得方程的解： （2）结合二次函数的开口和x轴的交点即可求得不等式的解集； （3）结合二次函数的顶点和开口方向即可判定方程有实数根对应的取值范围； （4）结合二次函数的图象和与x轴的交点即可求得y的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与 x 轴交于、， ∴的根为，； （2）解：∵，且二次函数的图象与 x 轴交于、， ∴不等式的解集为或； （3）解：∵，且二次函数的图象的顶点 C 的坐标为， ∴方程有实数根， 则； （4）解：∵，且二次函数的图象与 x 轴交于、， ∴当 时，则 【变式1】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数的图像过点，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)已知二次函数与直线交于A、B两点，请结合图像直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查了二次函数解析式，二次函数与不等式．熟练掌握二次函数解析式，二次函数与不等式是解题的关键． （1）待定系数法求解析式即可； （2）由，可得，然后结合图像作答即可． 【详解】（1）解：将，代入得，， 解得，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴不等式的解集为二次函数图像在一次函数图像上方部分所对应的的取值范围， 由图像可知，不等式的解集为或． 【变式2】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）二次函数的图象如图所示，图象经过，最高点，对称轴是．根据图象解答下列问题： (1)方程的两个根是？ (2)不等式的解集是？ (3)若方程有两个实数根，则的取值范围是？ 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，与轴的交点问题，一元二次方程与二次函数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据抛物线的对称性得二次函数与轴的另一个交点坐标是，即可作答． （2）运用数形结合思想，得出当时，则的取值范围为，即可作答． （3）结合图象的开口方向以及最高点的纵坐标，即可作答． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过，对称轴是， 则， ∴二次函数与轴的另一个交点坐标是， ∴方程的两个根是，； （2）解：由图课得出二次函数图象的开口向下， 由（1）得二次函数与轴的交点坐标是和， ∴当时，则的取值范围为， ∴不等式的解集是． （3）解：∵二次函数的图象的最高点，且图象开口向下 ∴当方程有两个实数根，则的取值范围是． 题型04 二次函数与几何问题的综合应用 【例】（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）抛物线与轴交于，两点，与轴交于，求的面积． 【答案】 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】此题考查抛物线与坐标轴的交点问题．先令，分别求出点A，B，C的坐标，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：当时，， 解得：，， ∴， 当时，， ∴， ∴． 【变式1】（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）当一个函数的图像关于轴成轴对称图形时，我们称这个函数为偶函数．若二次函数是偶函数，该函数的图像与轴交于点，（点在点的左边），顶点为，则的面积是 ． 【答案】8 【知识点】y=ax²+k的图象和性质、求抛物线与y轴的交点坐标、求x轴与抛物线的截线长 【分析】本题考查了二次函数的性质，与坐标轴的交点问题，正确求出与坐标轴交点是解题的关键．根据题意先确定，求出，，即可求解面积． 【详解】解：由题意得：， ∴， 当，则， ∴， 当，则， 解得：或， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8． 【变式2】（2023九年级·安徽·专题练习）如图，拋物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为，求的面积．    【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、求抛物线与x轴的交点坐标、求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，先求出抛物线与坐标轴的交点以及顶点坐标，利用割补法求出三角形的面积即可． 【详解】解：过点作轴于点E， 令，则，解得：，， ∴， 当时，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴．      【变式3】（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与轴交于点，如图所示． (1)求点A、B、C的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)，， (2)10 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】本题考查了二次函数的性质，求三角形的面积，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）令可求二次函数图象与y轴交点坐标，令可求二次函数图象与x轴交点坐标，据此求解即可； （2）根据A，B，C的坐标，分别求出，，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ， 当时，， 解得：，， A在B左边， ，， （2）解：连接，，如图， ，， ， ， ， ． 题型05 二次函数与一次函数、一元二次方程的综合应用 【例】（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于A，B两点（点A在点B的左侧）．    (1)求A，B两点的坐标． (2)将直线向上平移个单位长度后，平移后的直线与抛物线仅有1个公共点，求m的值． (3)将直线绕点B顺时针旋转90°，得到直线，C为旋转后的直线与抛物线的交点，求点C的坐标． 【答案】(1)点A的坐标为，点B的坐标为 (2) (3) 【知识点】一次函数图象与旋转问题、其他问题(二次函数综合)、一次函数图象平移问题 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，函数图象的平移变换，直线的旋转以及一元二次方程根的判别式等知识点，解题的关键是熟练掌握函数交点坐标的求解方法，灵活运用平移和旋转的性质，结合一元二次方程的相关知识进行计算． （1）联立直线与抛物线的方程，得到一个一元二次方程．通过求解该方程的根，再将根代入直线方程，从而得到A，B两点的坐标．这是利用函数交点坐标满足两个函数方程的性质来求解． （2）先写出直线向上平移个单位长度后的直线方程，因为平移后的直线与抛物线仅有1个公共点，所以联立它们的方程得到的一元二次方程的根的判别式为0．通过求解这个关于的方程，得出的值． （2）先求出直线与坐标轴的交点D，E的坐标，进而得到一些线段长度和角度关系．利用直线是由直线绕点顺时针旋转得到的这—条件，求出直线与坐标轴的交点F，G的坐标，从而确定直线的解析式，最后联立直线与抛物线的方程，求解得到点的坐标． 【详解】（1）联立， 得， 整理，得，解得，． ∵当时，， 当时，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为． （2）直线向上平移个单位长度后为直线， 当直线与抛物线仅有1个公共点时， 即关于x的方程的根的判别式为0． 将方程化为一般式得， 即， 解得． （3）如图，设直线：与x轴、y轴分别交于点D，E，直线与x轴、y轴分别交于点F，G． 易求得点D，E的坐标分别为，    ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 设点G的坐标为，，则点F的坐标为， 设直线的解析式为，将，代入 得， 解得或（舍去）， ∴直线的解析式为， 联立得， 整理，得， 解得，． 当时，， ∴点C的坐标为． 【变式1】（2024·安徽安庆·二模）已知，如图，抛物线与x轴的交点分别为A，B（A在B的左侧），顶点为C，与y轴的交点为D．顺次连接A、B、C三点，构成等腰直角三角形． (1)求m的值； (2)如图，连接、，判断的形状，并求出其面积； (3)将抛物线在x轴下方部分图象向上翻折，在x轴上方部分图象保持不变，若直线与图象恰有3个交点时，求出k的值． 【答案】(1) (2)为直角三角形， (3)或 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况、求x轴与抛物线的截线长、已知两点坐标求两点距离、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的综合，函数图象翻折变换等知识； （1）先求出顶点坐标和点A、B坐标（用m表示），再根据等腰直角三角形性质列方程即可； （2）由（1）可得抛物线解析式为，求出，，三点坐标，再由两点距离公式和勾股定理判定为直角三角形即可求解； （3）由题意作出函数图象，分当直线与新图形抛物线相切时和直线经过点B时两种情况分别求出的b值即可； 【详解】（1）解:∵抛物线对称轴为直线，顶点为点C， ∴顶点 ∵为等腰直角三角形．过点C作， ∴， ∴ 当时， 解得：；， ∴； ∴，解得：； （2）由（1）得：抛物线 ∴当时，，解得：， ∵已知抛物线与x轴的交点分别为A，B（A在B的左侧） ∴， ∵时，， ∴ ∵，， ∴ ∴为直角三角形；， ∴ （3）∵抛物线在x轴下方部分图象向上翻折， ∴得到新函数关系式为 ∵直线与新的函数图象恰有3个交点 分类讨论： ①当直线与抛物线相切时，故联立得 整理得： ∵直线与抛物线相切 ∴方程有两个相等实数根 即： 解得：，（舍）， ②当当直线经过点时，，解得，故联立得 整理得：，解得，．满足题意． 综上所述：或． 【变式2】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图1，点A，B的坐标分别为，，抛物线的两个端点分别为A，B． (1)求h的值． (2)若抛物线与x轴只有一个交点，求抛物线L的解析式． (3)如图2，当时，经过点的一条直线与抛物线只有一个交点，请直接写出n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，一次函数的图象与性质． （1）利用对称性得到抛物线的对称轴为直线，利用二次函数的性质解答即可； （2）根据抛物线L与x轴只有一个交点，得到抛物线L的顶点在x轴上，则，再利用待定系数法解答即可； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况解答：①当直线从（含）位置旋转到（不含）位置时，直线与抛物线只有一个交点，利用待定系数法分别求得直线，的解析式解答即可；②当直线经过抛物线L的顶点时，利用平行于x轴的直线的特征解答即可． 【详解】（1）解：点，的纵坐标相等， 点A，B关于抛物线L的对称轴对称， 抛物线L的对称轴为直线， 抛物线的对称轴为直线， ； （2）解：抛物线L与x轴只有一个交点， 抛物线L的顶点在x轴上，顶点纵坐标为0， 由（1）可知，抛物线L的对称轴为直线， 顶点的横坐标为1， 顶点的坐标为， 设抛物线L的解析式为， 将代入，得， 解得， 抛物线L的解析式为； （3）解：将直线看作绕点旋转的一条直线，有两种情况： ①如图1，当直线从（含）位置旋转到（不含）位置时，直线与抛物线只有一个交点， 把，代入得，解得，即直线的解析式为， 同理由，，得直线的解析式为， 故n的取值范围为； ②如图2，当直线经过抛物线L的顶点时， 抛物线的顶点为，与点的纵坐标相等， 直线与x轴平行，与抛物线L只有顶点这一个交点， 此时，即，． 综上所述，n的取值范围为或． 1．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）二次函数的图象如图，对称轴为直线，若关于的一元二次方程（为实数）在这一范围内有解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，数形结合是解答本题的关键． 先利用抛物线的对称轴求出m得到抛物线解析式为，再计算出自变量为1和5对应的函数值，然后利用函数图象写出直线与抛物线在时有公共点时t的范围即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， 解得， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， 当时，； 当时，， 当直线与抛物线在时有公共点时，，如图． 所以关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，t的取值范围为． 故选C． 2．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）如图所示，已知抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论错误的是（    ） A． B． C．当时，的取值范围是 D． 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由抛物线开口向下，与轴相交于正半轴上，可得，，再根据对称轴可得，即可判断；由抛物线与轴由两个的交点可判断；由对称轴和抛物线与轴的一个交点坐标为，可得抛物线与轴的另一个交点坐标为，又由图象可知时，抛物线位于轴上方，，据此可判断；由对称轴可判断，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与轴相交于正半轴上， ∴，， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故正确，不符合题意； ∵抛物线与轴由两个的交点， ∴，故正确，不合题意； ∵对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∵时，抛物线位于轴上方， ∴当时，，故错误，符合题意； ∵， ∴，故正确，不合题意； 故选：C． 3．（24-25九年级上·安徽亳州·自主招生）如图，已知抛物线与直线交于、两点，与x轴交于，当时，x的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【知识点】根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握利用函数交点求不等式的解集是解题的关键．结合函数图象，找到二次函数图象在一次函数图象上方时自变量x的取值范围即可解答． 【详解】解：结合图象得，当时，x的取值范围是或． 故选：B． 4.下表给出了二次函数与自变量的部分对应值： 0 1 2 5 6 5 2 则关于的一元二次方程的解为　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】根据图表信息找出该二次函数图象的对称轴即可解答． 【解答】解：从表格知道，当时，所对应的值分别为和0， 由二次函数的对称性知，该二次函数图象的对称轴； 设一元二次方程的解分别为和 因为当时，表格所对应的的值为1， 所以， 解得， 所以关于的一元二次方程的解为， 故选：． 5．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）若抛物线和轴有交点，则的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查二次函数与轴交点问题，根据抛物线和轴有交点，则方程的列不等式求解即可． 【详解】解：∵抛物线和轴有交点， ∴方程的，且， ∴，且， 解得且， 故答案为：且． 6．（24-25九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知关于x的函数的图像与x轴只有一个交点，则m的取值范围是 ． 【答案】或 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，一次函数，熟知二次函数与x轴只有一个交点，则，根据二次函数的图像与x轴只有一个交点可得，求解即可，同时需要分类讨论． 【详解】解：当函数为二次函数时，则， 解得：， ∵二次函数的图像与x轴只有一个交点， ∴， ， 解得：，， ， 当函数为一次函数时，则且 解得：且， ， 故答案为：或． 7．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）已知抛物线的顶点为C，与x轴交于A，B两点（设点A在B的左侧），其中B点的横坐标为4，一次函数经过A、C两点，若，则x的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数与不等式组，数形结合是解题的关键．根据抛物线的顶点式即可求得点的坐标，利用抛物线的对称性求得点的坐标，然后根据图象即可求解． 【详解】解：抛物线， 抛物线的对称轴为直线，顶点为， 抛物线与轴交于，两点在的左侧，其中点的横坐标为， ， 如图， 由图可得：，则的取值范围是． 故答案为： 8．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）已知关于x的方程的根为，，关于x的方程的根为，，其中．则将，，，从小到大排列应为 ． 【答案】 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，正确把一元二次方程的解转换成直线与抛物线交点的横坐标是解题的关键．把看做是直线与抛物线交点的横坐标，把看作是直线与抛物线交点的横坐标，画出对应的函数图象即可得到答案． 【详解】解：如图所示，设直线与抛物线交于、两点，直线与抛物线交于、两点， ∵，关于x的方程的解为，关于x的方程的解为， ∴分别是、、、的横坐标， ∴， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）已知抛物线开口朝上． （1）该抛物线对称轴为 ； （2）若该抛物线与轴交于，两点，且，则的取值范围是 ． 【答案】 直线 【知识点】利用二次根式的性质化简、y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，一元二次方程根与系数的关系，解不等式，二次根式的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）利用一般式的对称轴公式为直线求解即可； （2）设，两点的横坐标分别为，，利用根与系数的关系得出，，再利用得出关于的式子，再解不等式即可． 【详解】解：（1）抛物线对称轴为直线； 故答案为：直线； （2）∵该抛物线与轴交于，两点， ∴设，两点的横坐标分别为，， ，是一元二次方程的解， ∴，， ∴， ∵抛物线开口朝上， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知关于 x 的 函数 的图象与 x 轴只有一个公共点，求 m 的值． 【答案】1或3 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题主要考查二次函数与一元二次方程的应用，根据关于 x 的 函数 的图象与 x 轴只有一个公共点， 利用分类讨论的方法可以求得m的值． 【详解】解∶当即时， ①时，原函数解析式为，此时图象与 x 轴只有一个公共点， ②时，原函数解析式为，此时图象与 x 轴没有交点，不符合题意，舍去； 当即时， ∵关于 x 的 函数 的图象与 x 轴只有一个公共点， ∴， 解得，（舍去）， 综上，m 的值1或3． 11．（24-25九年级上·安徽淮北·阶段练习）已知抛物线经过点． (1)求该抛物线的表达式； (2)判断该抛物线与x轴是否有交点，并说明理由． 【答案】(1) (2)没有交点，理由见解析 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查的是抛物线与x轴交点，二次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法确定函数解析式，二次函数的交点与一元二次方程根之间的关系．决定抛物线与x轴的交点个数． （1）利用待定系数法确定抛物线解析式即可； （2）根据根的判别式符号来判断该抛物线与x轴的交点个数． 【详解】（1）解：把代入二次函数， 得， 解得． ∴该抛物线的解析式为； （2）解：该抛物线与x轴没有交点，理由如下： 当时，则， ∵， ∴该抛物线与x轴没有交点． 12．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）已知一抛物线的顶点是，且过原点． (1)求该抛物线的表达式； (2)求抛物线与轴的另一个交点坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】此题主要考查了顶点式求二次函数解析式以及二次函数的图象与x轴的交点坐标，利用顶点式求出函数解析式是解题关键． （1）设该抛物线的表达式为，直接利用顶点式代入函数解析式求出即可； （2）令，得，求解方程，即可求出抛物线与轴的另一个交点． 【详解】（1）设该抛物线的表达式为， 抛物线的顶点是， 该抛物线的表达式为， 抛物线过原点，即过， ， ， 该抛物线的表达式为，即：， 故抛物线的表达式为：； （2）令，得， 解得：， 抛物线与轴的另一个交点坐标为． 13.（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点、是二次函数图象上一对对称点，一次函数的图象过点、． (1)直接写出点、的坐标； (2)求二次函数的解析式； (3)根据图象求的解集． 【答案】(1)点坐标为，点坐标为 (2)二次函数的解析式为 (3)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、已知抛物线上对称的两点求对称轴、根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查了二次函数的对称性，待定系数法求抛物线的解析式，根据交点确定不等式的解集． （1）先根据二次函数的对称性求出抛物线的对称轴为，求出点的坐标，根据二次函数的对称性即可求出点的坐标； （2）将、代入，解方程组即可求出抛物线的解析式； （3）根据抛物线与一次函数的交点横坐标，结合图象，即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于、两点， ∴的对称轴为直线， 令，得， 故点的坐标为， ∵点、是二次函数图象上一对对称点， 故点的坐标为． （2）解：将、代入，得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为． （3）解：∵二次函数的图象与一次函数的图象过点、．且，， ∴的解集为：或． 14．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）已知二次函数与x轴交于，． (1)若，求该二次函数的对称轴； (2)若点在该抛物线上，且，当时，求m的范围； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题 【分析】此题考查了二次函数的性质，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）将代入得到，然后根据对称轴公式求解即可； （2）将点代入抛物线得到，然后根据根与系数的关系得到，结合得到，进而求解即可； （3）首先由得到，然后将代入二次函数得，进而求解即可． 【详解】（1）当时， ∴ ∴对称轴为直线； （2）将点代入抛物线中 ∵ ∴ ，，是方程的两个根， ； （3） 将代入二次函数得， ∴， ∴． 15．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）定义：在平面直角坐标系中，横、纵坐标相等的点为“完美点”，顶点是“完美点”的二次函数为“完美函数”． (1)若点是“完美点”，求a的值． (2)已知某“完美函数”的顶点在直线上，且与y轴的交点到原点的距离为4，求该“完美函数”的解析式． 【答案】(1) (2)或 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况、待定系数法求二次函数解析式、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，正确理解“完美函数”的定义是解题关键． （1）根据“完美点”的定义解答即可； （2）先根据顶点的位置设点的坐标，再根据“完美点”的定义求出顶点，可设顶点式，再令得出关于a的方程，求出解即可． 【详解】（1）解：∵点是“完美点”， ∴，即， 解得 ； （2）∵某“完美函数”的顶点在直线上， ∴设函数的顶点为． ∵该函数为“完美函数”， ∴， 解得， ∴， ∴该函数的顶点为． 设二次函数的解析式为， 令，则． ∵该函数图象与y轴的交点到原点的距离为4， ∴， 解得或， ∴或， ∴该“完美函数”的解析式为或． 16．（24-25九年级上·安徽淮北·期中）已知抛物线． (1)当时，求抛物线与坐标轴的交点坐标． (2)若抛物线与x轴有两个交点，将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图像的其余部分保持不变，得到一个新的图像．经过点且与y轴垂直的直线l与新的图像恰好有三个公共点，求此时m的值： (3)当时，抛物线的最大值与最小值的差是3，求m的值． 【答案】(1)轴交点，轴交点 (2) (3) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、求抛物线与y轴的交点坐标、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点问题，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）分别令，解方程即可； （2）顶点为，由抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，得顶点翻折至，由于经过点且与y轴垂直的直线l与新的图像恰好有三个公共点，则直线经过点即可，则，解方程即可； （3）当时，，当时，，由，得，故当时，，而当时，，则，解方程即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 时，， 解得：， ∴与轴交点为：，与轴交点为； （2）解：， ∴顶点为， ∵抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折， ∴顶点翻折至 ∵经过点且与y轴垂直的直线l与新的图像恰好有三个公共点， 则直线经过点即可，如图： ∴， ∴； （3）解：如图： 当时，， 当时，， ∵， ∴， ∴当时， ∵，抛物线的对称轴为直线，且， ∴当时，， ∴， 解得：． 17．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）已知点是抛物线上的一个动点，点的坐标为． 【特例探究】 （1）如图1，直线过点且平行于轴，过点作，垂足为点，连接． ①当时，______，______； ②当时，______，______． 【猜想验证】 （2）对于取任意一实数，猜想与的大小关系，并证明你的猜想． 【拓展应用】 （3）请利用（2）的结论解决下面的问题：如图2，点的坐标为，连接，问是否存在最小值？如果存在，请说明理由，并求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）①1,1 ②2,2 （2）相等，理由见解析 （3）存在，，理由见解析 【知识点】用勾股定理解三角形、垂线段最短、已知二次函数的函数值求自变量的值 【分析】本题主要考查了求二次函数的自变量或函数值，垂线段最短，勾股定理， 对于（1）①，令求出点P的坐标，可得，同理解答②； 对于（2），设点，表示点，进而得出，，再验证； 对于（3），先作轴，作，根据（2），得，可知，接下来得出当点P，B，C共线时，最小，此时，点P的横坐标是2，然后代入关系式求出答案． 【详解】（1）①当时，则， 将点P代入，得， ∴， ∴点B与点Q重合． ∵点，点，点， ∴； ②当时，则， 将点P代入，得， ∴． ∵点，点， ∴； 故答案为：1，1，2，2； （2）与相等，理由如下： 设点，则点， ∵， ， ∴； （3）过点Q作轴，过点P作于点B， 由（2），得，则． 当点P，B，C共线时，最小，此时，点P的横坐标是2， 当时，， 所以点． 18．（24-25九年级上·安徽淮北·期中）定义：在平面直角坐标系中，抛物线与y轴的交点坐标为，那么我们把经过点且平行于轴的直线称为这条抛物线的极限分割线． 【特例感知】 （1）抛物线的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为 ． 【深入探究】 （2）经过点和的抛物线与y轴交于点，它的极限分割线与该抛物线另一个交点为，请用含的代数式表示点的坐标． 【拓展运用】 （3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为，直线垂直平分，垂足为，交该抛物线的对称轴于点．，求点的坐标． 【答案】（1）和；（2）；（3）或； 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、根据二次函数的对称性求函数值、求抛物线与x轴的交点坐标、求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】本题主要考查了抛物线的图象性质，抛物线与坐标轴的交点坐标和直线与抛物线的交点问题．熟练掌握抛物线与一元二次方程的关系是解题的关键． （1）由抛物线与y轴的交点可知其极限分割线，求得抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性可得极限分割线与这条抛物线的另一个交点坐标； （2）由抛物线经过点，代入抛物线的解析式，可用m表示出n，将函数解析式中的n用m表示，再对解析式配方，则可得抛物线的对称轴，然后由抛物线的对称性可得点D的坐标； （3）①设与对称轴交于点G，若，则，由此可得关于m的绝对值方程，解得m的值，再求得相应的y值即可得出答案． 【详解】解：（1）∵抛物线的极限分割线为， ∴， ∴，， ∴极限分割线与这条抛物线的一个交点坐标为，则另一个交点坐标为， 故答案为：和； （2）∵抛物线经过点， ∴， ∴， 令，则， ∴， ∴， 又∵抛物线的极限分割线与该抛物线另一个交点为， ∴点D的纵坐标为， ∵ ， ∴， ∴，， ∴点D的坐标为； （3）①由（2）知：， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点P坐标为，点， 设与对称轴交于点G，如图， ∵， ∴， ∴， ∵抛物线的极限分割线与该抛物线另一个交点为， ∴ ∴ ∵直线垂直平分， ∴， ∴， 解得：或． ∴当时， ，点P的坐标为； 当时， ，点P的坐标为， ∴点P的坐标为或． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$