专题1.5（2） 一元二次方程（专项练习）（夯实基础篇）-2025-2026学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题1.5（2） 一元二次方程（专项练习）（夯实基础篇） 【试题信息】专项分层练习（夯实基础篇）分为选择题10题，填空题8题，解答题6题，满分120分. 1、 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25八年级下·山东济南·期末）下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·新疆·模拟预测）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（   ） A．2 B．1 C． D．0 3．（24-25九年级下·全国·假期作业）已知关于的方程，（，，均为常数，且）的两个解是和，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．（24-25八年级下·山东淄博·期中）若可以表示某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·安徽六安·三模）已知菱形的边长是一元二次方程的一个根，且两条对角线长的和为，则菱形的边长为（   ） A． B． C． D．或 6．（24-25九年级上·河北保定·期末）对于实数a，b定义新运算：，若关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 7．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知，是方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 8．（2025·河北邯郸·二模）定义一种运算：，如：．若，则所有满足条件的实数的和为（    ） A． B．2 C． D． 9．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，小球悬浮于液体中，若，小球质量为，则的值为（    ） A．1 B．4 C．或1 D．或4 10．（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）数学课上，数学老师在黑板上写出了一个一元二次方程，让第一学习小组的四位同学以接力的方式用配方法解方程，每人负责完成一个步骤（如图），他完成一步解答后接着第二位同学上黑板计算，…，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一名同学的计算结果．接力计算中，出现错误的同学是（   ） A．张 B．王 C．李 D．陈 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级下·广西百色·期中）若方程是一元二次方程，则k的值是 ． 12．（21-22九年级上·湖北武汉·期末）“降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解高次方程x3－x＝0，它的解是 ． 13．（2024·山东菏泽·一模）已知一次函数的图像不过第三象限，则方程的根的个数为 ． 14．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）已知a，b为常数，若方程的两个根与方程的两个根相同，则 ． 15．（2025·江苏泰州·三模）关于的方程有两个实数根，则的最大值为 ． 16．（2025·吉林长春·三模）若a是方程的一个根，则的值为 ． 17．（2025·山西朔州·一模）如图，平遥推光漆器是山西省著名的传统手工艺品，距今已有千年历史．某商家销售一款平遥推光漆器，原价为100元，为清理库存，商家推出“折上折”活动，即连续两次打折，折扣相同，打折后的售价为81元，则商家每次打 折． 18．（24-25九年级下·全国·假期作业）根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级下·浙江杭州·期中）解下列一元二次方程 （1） （2） 20．（本小题满分8分）（24-25八年级下·广西梧州·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 21．（本小题满分10分）（22-23七年级下·浙江金华·期末）对于，同学们展开了探究：当时，该等式成立；当时，该等式成立． （1）当时，b等于多少时，该等式成立？ （2）要满足该等式，a，b之间有什么永恒关系？请计算说明； （3）拓展应用：如果一分式方程满足，且解是．我们称之为友好方程．请解方程：． 22．（本小题满分10分）（2025·辽宁沈阳·模拟预测）2025年哈尔滨第九届亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”以东北虎为原型设计，寓意“哈尔滨欢迎您”，深受市民和游客喜爱．某特许商品零售店推出吉祥物毛绒玩偶，每件进价35元．根据市场调研，若售价定为50元时，每天可售出200件，售价每下降1元，销量增加20件． （1）若商家决定降价销售，设每件降价x元，求每日销量y（件）与x（元）的函数关系式； （2）在（1）条件下，若商家要想获利3080元，且让顾客获得更大实惠，则这种玩偶每件应降价多少元？ 23．（本小题满分10分）（2024九年级上·山东济南·专题练习）在初中阶段，我们学过的数无论是有理数还是无理数，都统称实数．在高中阶段，我们将认识一种全新的数：虚数．一般的，每一个数都可以表示成：的形式．其中a叫做这个数的实部，叫作虚部，则顾名思义，i便是虚数．当时，这个数叫作纯虚数，当时，这个数叫作实数．例如：6可以表示为：的形式．据此回答下列问题： （1）请用的形式表示； （2）已知，请猜想的值； （3）从以下2个条件中任选一个，猜想的产生： 条件一：该方程无解；条件二：数轴在平面直角坐标系中只相当于x轴． 24．（本小题满分12分）（23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习）数学老师在讲一元二次方程的解法的时候，没有看讲义，不假思索地在黑板上写出了一组题目： ①；②；③；④；⑤；⑥. 然后让同学们解这些方程.说来也奇怪，没有出现一个方程无实数根的情况. （1）请仔细观察上述方程的特征，想一想为什么数学老师能“不看讲义”，又“不假思索”地写出了这组一定有实数根的一元二次方程； （2）请你也学着老师写几个这样的方程来． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.5（2） 一元二次方程（专项练习）（夯实基础篇） 【试题信息】专项分层练习（夯实基础篇）分为选择题10题，填空题8题，解答题6题，满分120分. 1、 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25八年级下·山东济南·期末）下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（整式方程、一个未知数、未知数最高次数为2）逐一判断选项． 解：选项A：，方程两边均为整式，仅含一个未知数，且的最高次数为2，符合一元二次方程的定义． 选项B：，方程中含分式项，不是整式方程，不符合要求． 选项C：， 含两个未知数和，不满足“一元”条件． 选项D：，当时是二次方程，但题目未明确的取值范围，若则变为一次方程，无法确定． 综上，只有选项A符合一元二次方程的定义． 故选：A． 2．（2025·新疆·模拟预测）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（   ） A．2 B．1 C． D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了根的判别式，解题的关键是牢记“当时，方程有两个相等的实数根”． 根据方程的二次项系数不等于0结合根的判别式，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的取值范围，对照四个选项即可得出结论． 解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，， 解得：， 故选：A． 3．（24-25九年级下·全国·假期作业）已知关于的方程，（，，均为常数，且）的两个解是和，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根据题意把看做一个整体，根据方程的解，可得或，解方程即可得到答案． 解：∵关于的方程，（，，均为常数，且）的两个解是和， ∴方程的解满足或， 解得，， 故选：A． 4．（24-25八年级下·山东淄博·期中）若可以表示某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，由求根公式得出，，，即可得解，熟练掌握求根公式是解此题的关键． 解：∵可以表示某个一元二次方程的根， ∴，，， ∴这个一元二次方程为， 故选：D． 5．（2025·安徽六安·三模）已知菱形的边长是一元二次方程的一个根，且两条对角线长的和为，则菱形的边长为（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程，菱形的性质，三角形的三边关系，能熟记菱形的性质和解一元二次方程是解此题的关键．先根据菱形的性质得出，求出方程的解，利用三角形的三边关系确定解即可． 解：如图， 由题意得， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 解， 解得：或， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 6．（24-25九年级上·河北保定·期末）对于实数a，b定义新运算：，若关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式∶一元二次方程的根与有如下关系∶当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 先利用新定义得到，再把方程化为一般式，然后根据根的判别式的意义得到，再解不等式即可． 解：， ， 方程化为一般式为， 方程有两个实数根， ， 解得． 故选：C． 7．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知，是方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据，是方程的两根，可得，，把去括号，可得：原式，再利用整体代入求值即可． 解：，是方程的两根， ，， ． 故选：A． 8．（2025·河北邯郸·二模）定义一种运算：，如：．若，则所有满足条件的实数的和为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，根据定义可得，即，再利用判别式可证明原方程有两个不相等的实数根，则由根与系数的关系可得答案． 解：∵， ∴， ∴， ∵ ∴原方程有两个不相等的实数根， ∴． 故选：B． 9．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，小球悬浮于液体中，若，小球质量为，则的值为（    ） A．1 B．4 C．或1 D．或4 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是能正确列出方程，先根据题意列出方程，再求解即可． 解：， ， ， ， 解得：， 故选：C 10．（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）数学课上，数学老师在黑板上写出了一个一元二次方程，让第一学习小组的四位同学以接力的方式用配方法解方程，每人负责完成一个步骤（如图），他完成一步解答后接着第二位同学上黑板计算，…，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一名同学的计算结果．接力计算中，出现错误的同学是（   ） A．张 B．王 C．李 D．陈 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用配方法解一元二次方程成为解题的关键． 根据配方法解老师出示的一元二次方程即可判断出错的同学． 解：， 移项得：，故小张正确； 方程左右两边同时除以2可得：，故小王错误； 故小王负责的式子出现错误； 故选：B． 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级下·广西百色·期中）若方程是一元二次方程，则k的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 根据一元二次方程的定义得到且，然后解不等式和方程得到满足条件的k的值． 解：根据题意得且， 解得． 故答案为：． 12．（21-22九年级上·湖北武汉·期末）“降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解高次方程x3－x＝0，它的解是 ． 【答案】 【分析】先把方程的左边分解因式，再化为三个一次方程进行降次，再解一次方程即可. 解： 则或或 解得： 故答案为： 【点拨】本题考查的是利用因式分解的方法把高次方程转化为一次方程，掌握“因式分解的方法与应用”是解本题的关键. 13．（2024·山东菏泽·一模）已知一次函数的图像不过第三象限，则方程的根的个数为 ． 【答案】1或2 【分析】本题考查了一次函数的图像，一元二次方程根的情况，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 由一次函数的图像不过第三象限，得，分类讨论，当时，方程为一元一次方程，有1个根；当时，方程为一元二次方程，根据判断即可． 解：∵一次函数的图像不过第三象限， ∴， 当时，，方程为一元一次方程，所以方程根的个数为1个； 当时，，由于， ∴， ∴方程有2个不相等的实数根， 综上，方程根的个数为1或2． 故答案为：1或2． 14．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）已知a，b为常数，若方程的两个根与方程的两个根相同，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程-因式分解法，先求出方程的解，进而可求出的值，据此可解决问题．熟知因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 解：由方程得， ，． 因为方程的两个根与方程的两个根相同， 则将代入得， ， 解方程得， ，， 所以． 故答案为：． 15．（2025·江苏泰州·三模）关于的方程有两个实数根，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．由题意知，，解得，即可得解． 解：由题意知，， 解得， ∴的最大值为， 故答案为：． 16．（2025·吉林长春·三模）若a是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】2024 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，求代数式的值，利用整体代入思想解答是解题的关键． 根据一元二次方程的解的定义可得，，然后代入计算，即可求解． 解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴，， ∴ 故答案为：2024． 17．（2025·山西朔州·一模）如图，平遥推光漆器是山西省著名的传统手工艺品，距今已有千年历史．某商家销售一款平遥推光漆器，原价为100元，为清理库存，商家推出“折上折”活动，即连续两次打折，折扣相同，打折后的售价为81元，则商家每次打 折． 【答案】/九 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，设商家每次打折，根据“折上折”可得，再解方程即可． 解：设商家每次打折，则 ， 解得：（舍去）， 故答案为： 18．（24-25九年级下·全国·假期作业）根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据表格数据解答即可求解，看懂表格数据是解题的关键． 解：由表可知，时，；当时，， ∴当时，必有一个解， ∴的取值范围是， 故答案为：． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级下·浙江杭州·期中）解下列一元二次方程 （1） （2） 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程， （1）先配方，再开方，可得解； （2）根据因式分解法求解即可． 解：（1）解：， 配方，得， 即， 解得，； （2）解：， 因式分解，得， 即或， 解得，． 20．（本小题满分8分）（24-25八年级下·广西梧州·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2）3 【分析】本题主要查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系： （1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 解：（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； （2）解：∵方程有两个不相等的实数根，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴． 21．（本小题满分10分）（22-23七年级下·浙江金华·期末）对于，同学们展开了探究：当时，该等式成立；当时，该等式成立． （1）当时，b等于多少时，该等式成立？ （2）要满足该等式，a，b之间有什么永恒关系？请计算说明； （3）拓展应用：如果一分式方程满足，且解是．我们称之为友好方程．请解方程：． 【答案】（1）；（2），说明见分析；（3）． 【分析】本题考查新定义下的整式运算计算，熟练掌握整式的因式分解是解决问题的关键． （1）把代入求解即可． （2）直接计算求出a，b的关系式即可． （3）因式分解化简求值即可． 解：（1）解：把代入得 ， 解得． （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ， ， 令， 上式为：， ， 解得， ． 22．（本小题满分10分）（2025·辽宁沈阳·模拟预测）2025年哈尔滨第九届亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”以东北虎为原型设计，寓意“哈尔滨欢迎您”，深受市民和游客喜爱．某特许商品零售店推出吉祥物毛绒玩偶，每件进价35元．根据市场调研，若售价定为50元时，每天可售出200件，售价每下降1元，销量增加20件． （1）若商家决定降价销售，设每件降价x元，求每日销量y（件）与x（元）的函数关系式； （2）在（1）条件下，若商家要想获利3080元，且让顾客获得更大实惠，则这种玩偶每件应降价多少元？ 【答案】（1）；（2）这种玩偶每件应降价元 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一元二次方程的应用，根据题意列一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意列函数解析式即可； （2）设这种玩偶每件应降价元，根据题意列方程得，解得或，为了让顾客获得更大实惠，则这种玩偶每件应降价元． 解：（1）解：根据题意：每件降价x元， 每日销量y（件）与x（元）的函数关系式为； （2）解：设这种玩偶每件应降价元， 根据题意列方程得， 解得：或， 为了让顾客获得更大实惠， 这种玩偶每件应降价元． 23．（本小题满分10分）（2024九年级上·山东济南·专题练习）在初中阶段，我们学过的数无论是有理数还是无理数，都统称实数．在高中阶段，我们将认识一种全新的数：虚数．一般的，每一个数都可以表示成：的形式．其中a叫做这个数的实部，叫作虚部，则顾名思义，i便是虚数．当时，这个数叫作纯虚数，当时，这个数叫作实数．例如：6可以表示为：的形式．据此回答下列问题： （1）请用的形式表示； （2）已知，请猜想的值； （3）从以下2个条件中任选一个，猜想的产生： 条件一：该方程无解；条件二：数轴在平面直角坐标系中只相当于x轴． 【答案】（1）；（2）；（3）见分析 【分析】本题主要考查了新定义，解一元二次方程： （1）根据新定义求解即可； （2）根据进行求解即可； （3）选择条件一，根据原方程无解，则需要定义新的数来使得原方程有解，故有虚数的产生；选择条件二，根据数轴只能表示横轴，则实数只能在横轴上表示，那么二维平面内其他不在横轴上的点无法表示，因此需要虚数作为纵轴，进而可表示出整个二维平面内的点，故由虚数的产生． 解：（1）解：由题意得，； （2）解：∵， ∴； （3）解：选择条件一，∵， ∴， ∵在实数范围内没有一个实数的平方是负数， ∴原方程无解， ∴需要定义新的数来使得原方程有解，故有虚数的产生． 选择条件二，根据数轴只能表示横轴，则实数只能在横轴上表示，那么二维平面内其他不在横轴上的点无法表示，因此需要虚数作为纵轴，进而可表示出整个二维平面内的点，故由虚数的产生． 24．（本小题满分12分）（23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习）数学老师在讲一元二次方程的解法的时候，没有看讲义，不假思索地在黑板上写出了一组题目： ①；②；③；④；⑤；⑥. 然后让同学们解这些方程.说来也奇怪，没有出现一个方程无实数根的情况. （1）请仔细观察上述方程的特征，想一想为什么数学老师能“不看讲义”，又“不假思索”地写出了这组一定有实数根的一元二次方程； （2）请你也学着老师写几个这样的方程来． 【答案】（1）见分析；（2），，……（答案不唯一） 【分析】（1）题干一元二次方程中二次项系数和常数项系数异号，根的判别式，方程有实数根； （2）根据（1）写出两个二次项系数和常数项系数异号的一元二次方程即可． 解：（1）解：∵在一元二次方程中只要方程就有根， ∴在一元二次方程中二次项系数和常数项互为异号即可， ∵老师写的这些一元二次方程中都是二次项系数和常数项相乘得负数， ∴数学老师能“不看讲义”，由“不假思索”地写出了这组一定有实数根的一元二次方程； （2）解：还可以写出许多符合这一特点的方程，如：，，…… 【点拨】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是要熟练掌握根的判别式，方程有两个的实数根，此题难度不大． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$