专题1.5（1） 一元二次方程（全章知识梳理与题型分类讲解）-2025-2026学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题1.5（1） 一元二次方程（全章知识梳理与题型分类讲解） 一、【学习目标】 1. 了解一元二次方程的有关概念，能准确识别一元二次方程的一般形式；明确各项系数； 2.熟练掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等解一元二次方程的方法，并能根据方程的特点灵活选用合适的解法； 3. 会根据根的判别式判断根的情况； 4.理解一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），并利用根与系数关系解决相关问题； 5.能够从实际问题中抽象出一元二次方程的数学模型，通过列方程、解方程来解决生活中的实际问题，如增长率问题、利润问题、面积问题等，体会数学在实际生活中的应用价值. 二、【知识梳理】 【知识点1】一元二次方程的一般形式 （其中是未知数，是已知数，）. 【知识点2】一元二次方程的解法 （1）一元二次方程的解法： 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法. （2）一元二次方程解法的选择顺序是：先特殊后一般，如没有要求，一般不用配方法. 【知识点3】一元二次方程的根的判别式： （1）当时方程有两个不相等的实数根； （2） 当时方程有两个相等的实数根； （3）当时方程没有实数根； （4）当时方程有两个实数根 【知识点4】一元二次方程根与系数的关系 若是一元二次方程的两个根，则, . 【知识点5】实际问题与一元二次方程 （1）列一元二次方程解应用题步骤： ① 审：审的目的找等量关系，注意找关键词； ② 设：有直接设法与间接设法，注意要带单位； ③ 列：由等量关系列出方程，注意方程两边单位要一致； ④ 解：用适当的方法解一元二次方程； ⑤ 检：一是检验是否正确，二是结合实际是否有意义； ⑥ 答：写出实际问题的答案。 （2） 常见实际问题的数量关系 ① 传播问题：传染源+第一轮传染+第二轮传染=两轮传染总数； ② 增长（降低）率问题：平均增长率公式；（x是平均增长率，n增长次数） ③ 几何问题：涉及三角形全等，勾股定理，各种规则图形面积公式，动点问题等等； ④ 数字问题：主要与数字与位数的关系；比如：两位数=十位数字10+个位数字； ⑤ 商品销售问题：利润=售价-进价；售价=进价（1+利润率）；总利润=总售价-总成本=单件利润总销量等等 三、【题型目录】 【夯实基础】 【题型一】一元二次方程定义及方程的解................................................2 【题型二】用指定方法解一元二次方程..................................................3 【题型三】一元二次方程根的判别式....................................................3 【题型四】一元二次方程根与系数关系（韦达定理）......................................3 【题型五】用一元二次方程解决问题....................................................4 【拓展提升】 【题型六】解可化为一元二次方程的分式方程............................................4 【题型七】一元二次方程的解与根与系数关系求代数式的值（整体思想）....................5 【题型八】根与系数关系与根的判别式综合..............................................5 【题型九】一元二次方程配方法的应用..................................................6 【题型十】一元二次方程与函数综合....................................................6 【题型十一】一元二次方程与几何综合..................................................7 【题型十二】一元二次方程解决销售与利润问题..........................................7 四、【题型展示与方法点拨】 【夯实基础】 【题型一】一元二次方程定义及方程的解 【例题1】（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）若a是方程的一个根，则的值为 ． 【变式1】．（24-25九年级上·河北邢台·期中）已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值是（   ） A． B．3 C．或3 D．都不对 【变式2】（24-25九年级上·福建泉州·期中）若关于的一元二次方程有一根为，则关于的一元二次方程必有一根为（  ） A． B． C． D． 【题型二】用指定方法解一元二次方程 【例题2】（24-25九年级上·河南新乡·开学考试）用指定方法解下列方程： （1）（直接开平方法） （2）．（配方法） （3）（用公式法） （4）（用因式分解法） 【变式1】（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）用指定方法解一元二次方程： （1）（配方法） （2）（公式法） 【变式2】（24-25九年级上·山东滨州·阶段练习）用指定方法解下列方程： （1）（配方法）； （2）（公式法）． 【题型三】一元二次方程根的判别式 【例题3】（24-25八年级下·广西百色·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若是一元二次方程的一个根．求方程的另一个根． 【变式1】（24-25八年级下·山东泰安·期中）若关于的方程有实数根，则的取值范围为 ． 【变式2】（2025·河南·一模）已知关于的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为________个．（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【题型四】一元二次方程根与系数关系（韦达定理） 【例题4】（24-25八年级下·安徽淮北·期中）设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值． （1） （2） 【变式1】（2025年河北省中考真题数学试题）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】（2025·重庆巴南·二模）若m，n为一元二次方程的两个根，则的值为 ． 【题型五】用一元二次方程解决问题 【例题5】（2025·广西贵港·一模）某小区新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽30米．阴影部分设计为停车位，停车位的地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知每层喷漆面积为1196平方米． （1）求通道的宽是多少米？ （2）据调查分析，小区停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出：当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 【变式1】（24-25九年级下·福建福州·期中）据国家文旅部统计，月日全国旅游收入为亿元，月日、月日和月日的全国旅游收入之和为亿元．若全国旅游收入日平均增长率为，则可以列出方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·山西晋中·期末）山西作为“小杂粮王国”誉满全国，小米尤为出名，素有“中国小米在山西，山西小米数第一”的美誉．某店铺销售一批箱装小米，每箱的进价为80元，售价为120元，每天可销售20箱．春节期间，为了让利于顾客，该店铺计划降价销售．根据销售经验，单价每降低1元，每天可多销售2箱．若要使顾客尽量得到实惠，且该店铺每天获得的利润为1050元，则每箱小米应降价（  ） A．5元 B．15元 C．20元 D．25元 【拓展提升】 【题型六】解可化为一元二次方程的分式方程 【例题6】（2025·上海嘉定·二模）已知分式方程．甲同学的解答过程如下： 解：（第①步）去分母，得：， （第②步）解这个整式方程，得：， （第③步）检验：当时，， （第④步）所以，原方程的根是． （1）甲同学的解答过程是从第　　步开始出现错误的，请简要说明错误的原因：_______ （2）请写出正确且完整的解答过程． 【变式1】（2025七年级下·浙江·专题练习）解方程：． 【变式2】（2025·上海浦东新·二模）解方程：． 【题型七】一元二次方程的解与根与系数关系求代数式的值（整体思想） 【例题7】（24-25九年级上·四川宜宾·期末）已知和是方程的两个解，则的值为（    ） A． B．2023 C． D．2021 【变式1】（24-25九年级上·四川眉山·期末）已知方程的两根分别为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·甘肃白银·二模）已知是一元二次方程的两个不相等的实数根，则代数式的值为 ． 【题型八】根与系数关系与根的判别式综合 【例题8】（2025·四川南充·一模）关于的方程为，其中为实数． （1）判断方程根的情况，并说明理由． （2）当原方程的两根满足时，求的值． 【变式1】（2025·江苏扬州·二模）已知关于的方程：，其中是常数． （1）求证：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是此方程的两个根，当时，求代数式的值． 【变式2】（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论m取何值，该方程都有两个不相等的实数根； （2）设方程的两个根分别为，且，若，求m的值． 【题型九】一元二次方程配方法的应用 【例题9】（2025·广东佛山·一模）如果正实数，满足，那么的最小值为（   ） A．0 B． C．41 D．1 【变式1】（24-25九年级上·四川内江·期中）若实数x，y满足，则的值是 ． 【变式2】（23-24九年级上·重庆忠县·期末）若关于x的方程有唯一解，则该解应在（    ） A．7和8之间 B．6和7之间 C．5和6之间 D．4和5之间 【题型十】一元二次方程与函数综合 【例题10】（2025·贵州贵阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A的坐标是． （1）分别求反比例函数和一次函数的表达式； （2）将一次函数的图象向下平移n个单位，平移后的图象与反比例函数 图象只有一个交点，求n的值． 【变式1】（2025·浙江·模拟预测）如图，反比例函数与一次函数（为常数，且）的图象相交于，两点．若将直线向上平移个单位长度后，与反比例函数的图象没有交点，则的取值范围是 ． 【变式2】（2025·河北唐山·二模）已知反比例函数与一次函数有两个交点坐标，，若，则 ． 【题型十一】一元二次方程与几何综合 【例题11】（24-25九年级上·山东临沂·期中）已知平行四边形的两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． （1）若的长为6，求m的值； （2）m为何值时，平行四边形是菱形？求出此时菱形的边长． 【变式1】（2025·安徽合肥·二模）如图，正方形和矩形的面积相等，反比例函数在第一象限的图象经过B、E两点，则的长为（   ） A．16 B．8 C． D． 【变式2】（2025·四川雅安·一模）如果一个三角形的两边长分别是方程的两个根，那么连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长可能是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【题型十二】一元二次方程解决销售与利润问题 【例题12】（21-22八年级下·广西崇左·期中）某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元时，平均每天能售出200双；经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量y（双）与降低价格x（元）之间存在如图所示的函数关系． （1）求出y与x的函数关系式； （2）公司希望平均每天获得的利润达到8910元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少？ （3）为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的50%，公司每天能否获得9000元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由． 【变式1】（23-24九年级上·山东·期末）某超市销售一种饮料，每瓶进价为6元．当每瓶售价为10元时，日均销售量为160瓶，经市场调查表明，每瓶售价每增加1元，日均销售量减少20瓶．若超市计划该饮料日均总利润为700元，且尽快减少库存，则每瓶该饮料售价为 ． 【变式2】（22-23九年级上·江苏无锡·期末）某超市销售一种可拆分式驱蚊器，一套驱蚊器由一个加热器和一瓶电热蚊香液组成，电热蚊香液作为易耗品可单独购买．一套驱蚊器的售价是一瓶电热蚊香液的5倍，已知一瓶电热蚊香液的利润率为20%，一套驱蚊器的利润率为25%．超市出售1套驱蚊器和4瓶电热蚊香液，共可获利10元．经过一段时间的销售发现，每天能销售50套驱蚊器和80瓶电热蚊香液，为了促进驱蚊器的销售，超市决定对驱蚊器降价处理，其中每降价1元，可多卖出5套．若超市每天销售驱蚊器要获得275元的利润，则每套需降价（  ） A．1元 B．2元 C．3元 D．4元 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.5（1） 一元二次方程（全章知识梳理与题型分类讲解） 一、【学习目标】 1. 了解一元二次方程的有关概念，能准确识别一元二次方程的一般形式；明确各项系数； 2.熟练掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等解一元二次方程的方法，并能根据方程的特点灵活选用合适的解法； 3. 会根据根的判别式判断根的情况； 4.理解一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），并利用根与系数关系解决相关问题； 5.能够从实际问题中抽象出一元二次方程的数学模型，通过列方程、解方程来解决生活中的实际问题，如增长率问题、利润问题、面积问题等，体会数学在实际生活中的应用价值. 二、【知识梳理】 【知识点1】一元二次方程的一般形式 （其中是未知数，是已知数，）. 【知识点2】一元二次方程的解法 （1）一元二次方程的解法： 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法. （2）一元二次方程解法的选择顺序是：先特殊后一般，如没有要求，一般不用配方法. 【知识点3】一元二次方程的根的判别式： （1）当时方程有两个不相等的实数根； （2） 当时方程有两个相等的实数根； （3）当时方程没有实数根； （4）当时方程有两个实数根 【知识点4】一元二次方程根与系数的关系 若是一元二次方程的两个根，则, . 【知识点5】实际问题与一元二次方程 （1）列一元二次方程解应用题步骤： ① 审：审的目的找等量关系，注意找关键词； ② 设：有直接设法与间接设法，注意要带单位； ③ 列：由等量关系列出方程，注意方程两边单位要一致； ④ 解：用适当的方法解一元二次方程； ⑤ 检：一是检验是否正确，二是结合实际是否有意义； ⑥ 答：写出实际问题的答案。 （2） 常见实际问题的数量关系 ① 传播问题：传染源+第一轮传染+第二轮传染=两轮传染总数； ② 增长（降低）率问题：平均增长率公式；（x是平均增长率，n增长次数） ③ 几何问题：涉及三角形全等，勾股定理，各种规则图形面积公式，动点问题等等； ④ 数字问题：主要与数字与位数的关系；比如：两位数=十位数字10+个位数字； ⑤ 商品销售问题：利润=售价-进价；售价=进价（1+利润率）；总利润=总售价-总成本=单件利润总销量等等 三、【题型目录】 【夯实基础】 【题型一】一元二次方程定义及方程的解................................................2 【题型二】用指定方法解一元二次方程..................................................4 【题型三】一元二次方程根的判别式....................................................6 【题型四】一元二次方程根与系数关系（韦达定理）......................................8 【题型五】用一元二次方程解决问题...................................................10 【拓展提升】 【题型六】解可化为一元二次方程的分式方程...........................................12 【题型七】一元二次方程的解与根与系数关系求代数式的值（整体思想）...................13 【题型八】根与系数关系与根的判别式综合.............................................15 【题型九】一元二次方程配方法的应用.................................................17 【题型十】一元二次方程与函数综合...................................................19 【题型十一】一元二次方程与几何综合.................................................22 【题型十二】一元二次方程解决销售与利润问题.........................................24 四、【题型展示与方法点拨】 【夯实基础】 【题型一】一元二次方程定义及方程的解 【例题1】（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）若a是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】2024 【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，根据题意，得到，进而得到，利用整体代入法，进行计算即可． 解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ； 故答案为：2024 【变式1】．（24-25九年级上·河北邢台·期中）已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值是（   ） A． B．3 C．或3 D．都不对 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义即可得到答案． 解：由题意得， 解得或3， 即， 故． 故选A． 【变式2】（24-25九年级上·福建泉州·期中）若关于的一元二次方程有一根为，则关于的一元二次方程必有一根为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义，属于中考常考题型． 因为满足方程，所以，两边同时除以即可确定所求方程的一个根． 解：把代入一元二次方程，得， 两边除以，得， ， 是一元二次方程的一根， 故选：C． 【题型二】用指定方法解一元二次方程 【例题2】（24-25九年级上·河南新乡·开学考试）用指定方法解下列方程： （1）（直接开平方法） （2）．（配方法） （3）（用公式法） （4）（用因式分解法） 【答案】（1），；（2），；（3），；（4），． 【分析】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的各种方法是解题的关键． （1）开平方得到，即可求出方程的解； （2）把原方程配方成，再利用开平方法解方程即可； （3）写出，求出，代入即可得到方程的解； （4）移项后因式分解得到，则或，即可得到方程的解． 解：（1）解：， 开平方得，， ∴或， 解得，； （2）解：， 原方程整理得． 配方，得：，即， 两边开平方，得， ∴，； （3）解：， ∵， ∴， ∴， ∴，； （4）解：， 移项得，， 因式分解得，， ∴或， 解得，． 【变式1】（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）用指定方法解一元二次方程： （1）（配方法） （2）（公式法） 【答案】（1），；（2）， 【分析】此题分别考查了利用配方法和公式法解一元二次方程，其中配方法的关键是方程两边同时加上一次项系数一半的平方，公式法的关键 熟练掌握求根公式． （1）首先移项，然后方程两边同时加上9即可完成配方，然后解方程即可求解； （2）利用求根公式即可求解． 解：（1）解： ∴， ∴， ∴， ∴， ，， （2）解： ∴ ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 【变式2】（24-25九年级上·山东滨州·阶段练习）用指定方法解下列方程： （1）（配方法）； （2）（公式法）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 解：（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解；∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 【题型三】一元二次方程根的判别式 【例题3】（24-25八年级下·广西百色·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若是一元二次方程的一个根．求方程的另一个根． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解与解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式进行证明即可； （2）把代入方程，求出m的值，进而解方程即可解答． 解：（1）证明：∵，，， ∴ ， ∴， ∴，即， ∴不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）解：∵是一元二次方程一个根， ∴， 解得， 此时，原一元二次方程为， 解得，， 所以方程的另一个根为． 【变式1】（24-25八年级下·山东泰安·期中）若关于的方程有实数根，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义．根据一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．及一元二次方程的定义即可得出结果． 解：当时，方程为一元二次方程，由题意得： ， 即， 解得：且， 当时，方程为，它是一元一次方程，有实数根， ∴关于x的方程有实数根，则m的取值范围是． 故答案为：． 【变式2】（2025·河南·一模）已知关于的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为________个．（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据判别式求出，据此判断两个函数分布和经过的象限，即可得到答案．熟练掌握两个函数的图象是解答本题的关键． 解：关于的一元二次方程无实数根， ， 解得， 则函数图象经过第二、四象限，函数的图象分布在第二、四象限， 故两个函数图象有2个交点． 故选：C． 【题型四】一元二次方程根与系数关系（韦达定理） 【例题4】（24-25八年级下·安徽淮北·期中）设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值． （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知根与系数的关系是解题的关键． （1）根据根与系数的关系可得，再由即可得到答案； （2）根据根与系数的关系可得，再由即可得到答案． 解：（1）解：∵是方程的两个根， ∴， ∴ ； （2）解：∵是方程的两个根， ∴， ∴ ． 【变式1】（2025年河北省中考真题数学试题）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点的坐标；将方程化为标准形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与积，再根据点的坐标判断所在象限． 解：原方程 展开并整理为标准形式： 其中 ，，． ∴，． ∴点即 的横、纵坐标均为负数，故位于平面直角坐标系的第三象限． 故选：C． 【变式2】（2025·重庆巴南·二模）若m，n为一元二次方程的两个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数关系、多项式乘以多项式法则和代数式求值．利用一元二次方程根与系数关系得到，再利用多项式的乘法则计算，整体代入计算即可． 解：∵m，n为一元二次方程的两个根， ∴， ∴， 故答案为： 【题型五】用一元二次方程解决问题 【例题5】（2025·广西贵港·一模）某小区新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽30米．阴影部分设计为停车位，停车位的地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知每层喷漆面积为1196平方米． （1）求通道的宽是多少米？ （2）据调查分析，小区停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出：当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 【答案】（1）通道的宽是2米；（2）40元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设通道的宽是米，根据题意列出方程，解出的值即可解答； （2）设每个车位的月租金上涨元，根据题意列出方程，解出的值，结合优惠大众选择较小的的值即可解答． 解：（1）解：设通道的宽是米， 由题意得，， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：通道的宽是2米． （2）解：设每个车位的月租金上涨元， 由题意得，， 解得：，， 又能优惠大众， ， 答：当每个车位的月租金上涨40元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元． 【变式1】（24-25九年级下·福建福州·期中）据国家文旅部统计，月日全国旅游收入为亿元，月日、月日和月日的全国旅游收入之和为亿元．若全国旅游收入日平均增长率为，则可以列出方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理清题意，正确列出一元二次方程是解答本题的关键． 根据“月日、月日和月日的全国旅游收入之和为亿元”，列出一元二次方程即可． 解：设全国旅游收入日平均增长率为，由题意得： ， 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·山西晋中·期末）山西作为“小杂粮王国”誉满全国，小米尤为出名，素有“中国小米在山西，山西小米数第一”的美誉．某店铺销售一批箱装小米，每箱的进价为80元，售价为120元，每天可销售20箱．春节期间，为了让利于顾客，该店铺计划降价销售．根据销售经验，单价每降低1元，每天可多销售2箱．若要使顾客尽量得到实惠，且该店铺每天获得的利润为1050元，则每箱小米应降价（  ） A．5元 B．15元 C．20元 D．25元 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，先设每箱小米应降价元．因为每箱的进价为80元，售价为120元，每天可销售20箱，单价每降低1元，每天可多销售2箱，则，再解出方程，即可作答． 解：设每箱小米应降价元， 根据题意，得， 解得，， ∵要使顾客尽量得到实惠， ∴不合题意，舍去， ∴每箱小米应降价25元． 故选：D 【拓展提升】 【题型六】解可化为一元二次方程的分式方程 【例题6】（2025·上海嘉定·二模）已知分式方程．甲同学的解答过程如下： 解：（第①步）去分母，得：， （第②步）解这个整式方程，得：， （第③步）检验：当时，， （第④步）所以，原方程的根是． （1）甲同学的解答过程是从第　　步开始出现错误的，请简要说明错误的原因：_______ （2）请写出正确且完整的解答过程． 【答案】（1）①，理由见分析；（2）见分析 【分析】本题主要考查了分式方程的求解及解一元二次方程，熟练掌握分式方程求解的步骤是解题的关键． （1）依据分式方程求解的步骤进行判断即可； （2）利用分式方程求解的步骤求解即可． 解：（1）解：甲同学在解答过程中第①步开始出错，错误原因为：方程右边的1没有乘； （2）解：去分母，得：， 整理，得：， 解得：， 检验：当时，；当时，， 可知是增根，舍去. 所以，原方程的根是． 【变式1】（2025七年级下·浙江·专题练习）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程是解题的关键． 先将分式方程两边同时乘以化为一元二次方程，再解一元二次方程，最后检验即可求解． 解：， ， ∴， ∴， ∴， 解得：，， 经检验：当时，，当时，， ∴原分式方程的解为． 【变式2】（2025·上海浦东新·二模）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了可化为一元二次方程的分式方程，去分母转化为一元二次方程是解题的关键；先去分母化为一元二次方程，再解一元二次方程并检验即可得解． 解：等式两边同乘以得， ， ， ， ，， 经检验：是原方程的增根，舍去； 所以原方程的解为． 【题型七】一元二次方程的解与根与系数关系求代数式的值（整体思想） 【例题7】（24-25九年级上·四川宜宾·期末）已知和是方程的两个解，则的值为（    ） A． B．2023 C． D．2021 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数的关系的运用，由根与系数的关系可以求出，，然后变形为，再整体代入可以求出其值． 解：∵和是方程的两个解， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：C． 【变式1】（24-25九年级上·四川眉山·期末）已知方程的两根分别为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根的定义及根与系数的关系由题意得，，将代数式变形后再代入求解即可． 解：∵方程的两根分别为、， ∴，，， ∴， ∴ ． 故选：A． 【变式2】（2025·甘肃白银·二模）已知是一元二次方程的两个不相等的实数根，则代数式的值为 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了方程的解，以及根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据方程的解得到，利用根与系数的关系得到，最后代入式子求解，即可解题． 解：∵是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：0． 【题型八】根与系数关系与根的判别式综合 【例题8】（2025·四川南充·一模）关于的方程为，其中为实数． （1）判断方程根的情况，并说明理由． （2）当原方程的两根满足时，求的值． 【答案】（1）方程总有两个不相等的实数根．理由见分析；（2）或 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数关系，解一元二次方程，熟知一元二次方程根与系数的关系，根的判别式是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式求解即可； （2）利用根与系数的关系得到，再根据已知条件得到关于k的方程，解方程即可． 解：（1）方程总有两个不相等的实数根． 理由： 原方程为一元二次方程． 方程总有两个不相等的实数根． （2）解：由根系关系，得． ， ． 配方，得． 整理，得 解得，或． 【变式1】（2025·江苏扬州·二模）已知关于的方程：，其中是常数． （1）求证：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是此方程的两个根，当时，求代数式的值． 【答案】（1）见分析；（2）2015 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系以及一元二次方程的解的定义，正确变形、灵活应用整体思想是解题关键； （1）证明方程的判别式大于0即可； （2）当时，原方程为，根据一元二次方程根与系数的关系和方程解的定义可得，然后把所求式子变形后再整体代入求解即可． 解：（1）证明：∵ ， ∴不论为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：当时，原方程为， ∵、是此方程的两个根， ∴， ∴ ∴ ． 【变式2】（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论m取何值，该方程都有两个不相等的实数根； （2）设方程的两个根分别为，且，若，求m的值． 【答案】（1）见分析；（2）或 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系， （为常数）的根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，，掌握以上知识是解题的关键． （1）计算一元二次方程根的判别式，即可得证； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，结合已知条件列出方程，得到，解方程即可求解． 解：（1）解： ∴ ． ∴不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根． （2）∵的两个根分别为，且， ∴， ∵ ∴ 即 ∴ 解得：或． 【题型九】一元二次方程配方法的应用 【例题9】（2025·广东佛山·一模）如果正实数，满足，那么的最小值为（   ） A．0 B． C．41 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了配方法的应用，由题意可得，再变形为，结合非负数的性质即可得解． 解：∵正实数，满足， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为1， 故选：D． 【变式1】（24-25九年级上·四川内江·期中）若实数x，y满足，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式．把方程配成关于的一元二次方程，利用根的判别式求得的值，再代入原方程求得的值，从而求解． 解：∵， ∴， ∵实数x满足， ∴ ， ∵， ∴， 解得， 把代入原方程，得， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（23-24九年级上·重庆忠县·期末）若关于x的方程有唯一解，则该解应在（    ） A．7和8之间 B．6和7之间 C．5和6之间 D．4和5之间 【答案】A 【分析】本题主要考查解一元二次方程-配方法、估算无理数的大小，由方程有唯一解知能配成完全平方式，利用配方法将方程配方得，再根据估算无理数大小的方法即可作出选择． 解：∵关于x的方程有唯一解， ∴能配成完全平方式， ∵， ， ∴， ∴关于x的方程的唯一解为， ， ∴该解在7和8之间． 故选：A． 【题型十】一元二次方程与函数综合 【例题10】（2025·贵州贵阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A的坐标是． （1）分别求反比例函数和一次函数的表达式； （2）将一次函数的图象向下平移n个单位，平移后的图象与反比例函数 图象只有一个交点，求n的值． 【答案】（1）和；（2） 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数图象的交点问题，涉及待定系数法求函数解析式，一元二次方程的根的判别式等，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）把平移后的一次函数解析式与反比例函数解析式联立整理得到，根据俩图象只有一个公共点，则，求解并检验即可． 解：（1）解：由题意得，将代入和 得：， 解得：， ∴反比例函数和一次函数的表达式分别为和； （2）解：由题意得，平移后的函数解析式为：， 与反比例函数解析式联立得：， 整理得：， ∵平移后的图象与反比例函数 图象只有一个交点， ∴， 解得：或， 当时，一次函数为，其图象经过第一、三、四象限，不会与相交，故舍；，符合题意， ∴． 【变式1】（2025·浙江·模拟预测）如图，反比例函数与一次函数（为常数，且）的图象相交于，两点．若将直线向上平移个单位长度后，与反比例函数的图象没有交点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及待定系数法求函数解析式，一次函数图象的平移问题，一元二次方程根的判别式等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 先求出，则则平移后的直线为，反比例函数解析式联立得到，根据求出，即可求解的取值范围． 解：将点，代入得：， ∴，， ∴， 解得：， ∴， 则平移后的直线为 则联立， 整理得：， ∴， 解得：或， ∴平移后的函数图象与反比例函数的图象没有交点，则的取值范围是：， 故答案为：． 【变式2】（2025·河北唐山·二模）已知反比例函数与一次函数有两个交点坐标，，若，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，一元二次方程根与系数的关系；把代入，整理得到方程，由根与系数的关系得到，得出，解得即可． 解：∵反比例函数与一次函数有两个交点， ∴联立方程得，， 整理得，， ∵是方程两根， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为：8． 【题型十一】一元二次方程与几何综合 【例题11】（24-25九年级上·山东临沂·期中）已知平行四边形的两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． （1）若的长为6，求m的值； （2）m为何值时，平行四边形是菱形？求出此时菱形的边长． 【答案】（1）12；（2），平行四边形是菱形，菱形的边长是4 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根的判别式，菱形的判定与性质，熟练掌握根的判别式和菱形的判定与性质是解题的关键． （1）将代入原方程可求出的值； （2）根据菱形的性质可得出，结合根的判别式，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，将其代入原方程，解之即可得出菱形的边长． 解：（1）解：的长是关于的一元二次方程的两个实数根，的长为6， 把代入， 得：， 解得：； （2）解：平行四边形是菱形， ， 方程有两个相等的实数根， ， ， 此时方程为， ， ，即菱形的边长为4； 答：，平行四边形是菱形，菱形的边长是4． 【变式1】（2025·安徽合肥·二模）如图，正方形和矩形的面积相等，反比例函数在第一象限的图象经过B、E两点，则的长为（   ） A．16 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，根据正方形的性质结合反比例函数的解析式，求出点坐标，设，根据两个图形的面积相等，求出点坐标，代入反比例函数解析式，求出的值即可． 解：∵正方形，反比例函数在第一象限的图象经过B、E两点， ∴， ∴， ∴， 设， ∵正方形和矩形的面积相等， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：或（舍去）； 经检验是原方程的解； ∴． 故选C． 【变式2】（2025·四川雅安·一模）如果一个三角形的两边长分别是方程的两个根，那么连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长可能是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，构成三角形的条件，三角形中位线定理，先利用因式分解法解方程得到这个三角形的两边长分别为2，9，再由构成三角形的条件得到这个三角形的周长，由三角形中位线定理推出新得到的三角形的周长，据此可得答案． 解：解方程得或， ∴这个三角形的两边长分别为2，9， ∴这个三角形第三边的长， ∴这个三角形的周长， 由三角形中位线可得，连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的每一边都等于与原三角形平行的边的长的一半，即所得三角形的周长为原三角形周长的一半， ∴新得到的三角形的周长， 故选：B． 【题型十二】一元二次方程解决销售与利润问题 【例题12】（21-22八年级下·广西崇左·期中）某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元时，平均每天能售出200双；经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量y（双）与降低价格x（元）之间存在如图所示的函数关系． （1）求出y与x的函数关系式； （2）公司希望平均每天获得的利润达到8910元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少？ （3）为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的50%，公司每天能否获得9000元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由． 【答案】（1）y与x的函数关系式为y=10x＋200；（2）当每双运动鞋的售价为87元时，企业每天获得的销售利润达到8910元并且优惠力度最大；（3）降价10元时，公司每天能获得9000元的利润，且每双运动鞋的利润不低于成本价的50%. 【分析】（1）由题意，设y与x的函数关系式为y＝kx＋b，然后由待定系数法求解析式，即可得到答案； （2）根据题意，列出一元二次方程，然后解方程，即可求出方程的解； （3）由题意，列出一元一次不等式，求出不等式的解集，然后列一元二次方程，即可求出答案． 解：（1）解：设y与x的函数关系式为y＝kx＋b （k≠0）， 由图可知其函数图象经过点（0 , 200）和（10 , 300）， 将其代入y=kx+b 得 解得 ∴ y与x的函数关系式为y=10x＋200； （2）解：由题意得 （10x＋200）（100－x－60）＝8910， 整理得 x2－20x＋91＝0， 解得：x1＝7, x2＝13； 当x＝7时，售价为100－7＝93（元）， 当x＝13时，售价为100－13＝87（元）， ∵优惠力度最大， ∴取x＝13， 答：当每双运动鞋的售价为87元时，企业每天获得的销售利润达到8910元并且优惠力度最大； （3）解：公司每天能获得9000元的利润，理由如下： ∵要保证每双运动鞋的利润率不低于成本价的50%， ∴100－60－x ≥ 60×50%, 解得：x≤10； 依题意，得 （100－60－x）（10x＋200）＝9000， 整理得 x2－20x＋100＝0， 解得：x1＝x2＝10； ∴降价10元时，公司每天能获得9000元的利润，且每双运动鞋的利润不低于成本价的50%. 【点拨】本题考查了一次函数的性质，一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练掌握题意，正确的列出方程，从而进行解题． 【变式1】（23-24九年级上·山东·期末）某超市销售一种饮料，每瓶进价为6元．当每瓶售价为10元时，日均销售量为160瓶，经市场调查表明，每瓶售价每增加1元，日均销售量减少20瓶．若超市计划该饮料日均总利润为700元，且尽快减少库存，则每瓶该饮料售价为 ． 【答案】11元 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，根据“总利润每瓶利润日均销售量”列方程求解可得． 解：设每瓶该饮料售价为元， 由题意可知，， 整理得，解得，， 当时，日均销售量为（瓶）， 当时，日均销售量为（瓶）， ，为尽快减少库存，每瓶该饮料售价为11元． 故答案为：11元． 【变式2】（22-23九年级上·江苏无锡·期末）某超市销售一种可拆分式驱蚊器，一套驱蚊器由一个加热器和一瓶电热蚊香液组成，电热蚊香液作为易耗品可单独购买．一套驱蚊器的售价是一瓶电热蚊香液的5倍，已知一瓶电热蚊香液的利润率为20%，一套驱蚊器的利润率为25%．超市出售1套驱蚊器和4瓶电热蚊香液，共可获利10元．经过一段时间的销售发现，每天能销售50套驱蚊器和80瓶电热蚊香液，为了促进驱蚊器的销售，超市决定对驱蚊器降价处理，其中每降价1元，可多卖出5套．若超市每天销售驱蚊器要获得275元的利润，则每套需降价（  ） A．1元 B．2元 C．3元 D．4元 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设一瓶电热蚊香液的进价为x元，则电热蚊香液的售价为元，则一套驱蚊器的售价为6x元，进价为元，列出方程解出即可； 解：设一瓶电热蚊香液的进价为x元，则电热蚊香液的售价为元，则一套驱蚊器的售价为6x元，进价为元，由题意得： ， 解得：x=5, 所以一套驱蚊器的售价为：5×6=30（元），一套驱蚊器的利润元 设每套驱蚊器降价a元，由题意得： ， 解得： , （舍去）， 故选：A. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$