1.6平面直角坐标系中的距离公式（题型专练）数学北师大版2019选择性必修第一册

1.6平面直角坐标系中的距离公式 题型一：点到直线的距离 1．点到直线的距离为（ ） A． B．2 C． D．1 2．已知点，点为直线上动点，则、两点间距离的最小值为（ ） A．1 B． C． D．2 3．已知直线的法向量为，且经过点，则原点到的距离为（ ） A． B． C． D． 4．（多选）已知点到直线的距离为，则点的坐标可以是（ ） A． B． C． D． 题型二：两平行线间的距离 1．直线与直线间的距离为（ ） A． B． C． D．1 2．两平行直线，之间的距离为（ ） A． B． C．1 D． 3．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ） A． B． C． D． 4．若直线与直线平行，那么这两条直线之间的距离为（ ） A． B． C． D． 题型三：两点到直线的距离相等 1．若点，到直线的距离相等，则（ ） A．4 B． C．4或 D．或 2．已知两点和到直线距离相等，则值为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．若点，到直线的距离相等，则（ ） A．1 B． C．1或 D．或2 4．（多选）过点且与两点距离相等的直线方程（ ） A． B． C． D． 题型四：点关于线对称 1．点关于直线的对称点的坐标是（ ） A． B． C． D． 2．点关于直线的对称点的坐标为（ ） A． B． C． D． 3．已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 4．（多选）若点和点关于直线对称，则（ ） A．的中点坐标为 B． C．直线的斜率为1 D． 题型五：线关于点对称 1．与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（ ） A． B． C． D． 2．已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（ ） A．2 B．6 C． D． 3．直线关于点对称的直线的方程为____________________． 4．直线关于点对称的直线方程是______________________． 题型六：线关于线对称 1．与直线关于x轴对称的直线的方程为（ ） A． B． C． D． 2．直线关于直线对称的直线方程是（ ） A． B． C． D． 3．直线关于直线：对称的直线方程为（ ） A． B． C． D． 4．已知直线与直线关于直线对称，则的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知点，直线. (1)求过点，且与直线平行的直线的方程； (2)光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，求反射光线所在直线的方程. 题型一：识别距离求距离 1．已知点为直线上任意一点，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 2．已知实数x，y满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D．1 3．实数满足，则的最小值为（ ） A．2 B．1 C．0 D． 4．已知实数满足，，则的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型二：点到直线距离最值 1．点到直线（为任意实数）距离的最大值为（ ） A． B．1 C． D．2 2．点到直线的距离的最大值为（ ） A． B． C． D． 3．（多选）已知直线，直线，则下列说法正确的为（ ） A．若，则 B．若两条平行直线与间的距离为，则 C．直线过定点 D．点到直线距离的最大值为 4．已知点和直线，则点P到直线l的距离最大值为_________________． 题型三：距离和（差）最值问题 1．在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（ ） A． B． C． D． 2．已知直线和两点，若直线上存在点P使得最小，则点P的坐标为（ ） A． B． C． D． 3．唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为______________. 4．已知点P在直线上，点，则的最小值为________________. 5．已知直线的方程为. (1)当时，求点到直线的距离； (2)当时，为直线上一动点，若，，求的最小值. 题型一：配凑两点距离问题 1．已知，，，均为实数，则的最小值为（ ） A．1 B． C． D．2 2．已知函数，则的最小值为___________________． 3．已知，，则的最小值为_____________________. 4．著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决．已知，则的最小值为______________________． 题型二：距离新定义问题 1．出租车几何，又称曼哈顿距离（ManhattanDistance），最早由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基在研究度量几何时提出，用以标明两点在各坐标轴上的绝对差之和.设点，，则A，B两点之间的曼哈顿距离为.已知点，，动点P满足，Q是直线：上的动点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 2．（多选）．在平面直角坐标系内，定义任意两点“新距离”为：，在此距离定义下，点到直线的“新距离”就是点与直线上所有点的“新距离”的最小值，记作符号.已知点，，直线.（ ） A． B．到点C“新距离”等于1的点所围成的图形的面积为4 C． D． 3．“曼哈顿距离”是人工智能中常用的一种测距方式．定义平面上两点，之间的“曼哈顿距离”为．对于平面上两定点，，若动点满足．记的轨迹为，则的面积为__________________． 4．人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为 (1)若，，求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离； (2)已知，、，，若，，求M、P之间的曼哈顿距离. 8 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.6平面直角坐标系中的距离公式 题型一：点到直线的距离 1．点到直线的距离为（ ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】由点到直线距离公式直接计算即可求解. 【详解】由题点到直线的距离为. 故选：D. 2．已知点，点为直线上动点，则、两点间距离的最小值为（ ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据点到直线的距离公式计算即可. 【详解】由题意可知，当直线与直线垂直时，、两点间距离最小， 点到直线的距离， 故、两点间距离的最小值为. 故选：B. 3．已知直线的法向量为，且经过点，则原点到的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线点法式得直线方程，结合点到直线的距离公式即可求解. 【详解】根据题意，直线的法向量为， 所以直线的方程为， 即， 则原点到的距离. 所以选：C. 4．（多选）已知点到直线的距离为，则点的坐标可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据题意结合点到直线的距离公式运算求解即可. 【详解】直线l：可化为， 依题意得，整理得，所以或． 当时，点的坐标为； 当时，点的坐标为． 综上所述：点的坐标为或. 故选：AB． 题型二：两平行线间的距离 1．直线与直线间的距离为（ ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据平行直线间的距离公式计算即可. 【详解】可变为，则两条平行直线间的距离为． 故选：C. 2．两平行直线，之间的距离为（ ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据两平行直线的距离公式来求得正确答案. 【详解】由题意可知可以化为， 所以两平行直线，之间的距离. 故选：B. 3．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，然后由平行线之间的距离求解即可. 【详解】直线即直线，与直线平行，则， 故所求即为平行直线与之间的距离， 即所求为. 故选：B. 4．若直线与直线平行，那么这两条直线之间的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两直线平行可得参数，进而确定平行线间距离. 【详解】有已知直线与直线平行， 则，即， 此时直线与直线，即满足平行， 则两直线间距离， 故选：D. 题型三：两点到直线的距离相等 1．若点，到直线的距离相等，则（ ） A．4 B． C．4或 D．或 【答案】C 【分析】分在直线的同侧和分别在直线的两侧两种情况分析即可求解. 【详解】若，在直线的同侧，则，解得； 若，分别在直线的两侧，则直线经过的中点， 则，解得． 故选：C 2．已知两点和到直线距离相等，则值为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】根据点到直线的距离公式列出等式，由此能求出． 【解答】两点和到直线距离相等， ，解得，或． 故选：B． 3．若点，到直线的距离相等，则（ ） A．1 B． C．1或 D．或2 【答案】C 【分析】根据斜率公式以及中点坐标即可求解. 【详解】若，在直线的同侧，则，解得． 若，分别在直线的两侧，则直线经过的中点，则，解得． 故选：C 4．（多选）过点且与两点距离相等的直线方程（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】先设直线方程，再根据点到直线距离公式列方程解得结果. 【详解】由题意得：满足条件的直线斜率存在， 可设所求直线方程为，即， 因为与点距离相等， 则，可得，解得或， 所以所求直线方程为或. 故选：BC 题型四：点关于线对称 1．点关于直线的对称点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】使用待定系数法结合直线对称的几何关系求解即可. 【详解】设对称点的坐标为则解得： 故选：B. 2．点关于直线的对称点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出垂直于直线且过点的表达式，求出交点坐标，即可得出关于直线的对称点． 【详解】由题意， 在直线中，斜率为， 垂直于直线且过点的直线方程为，即， 设两直线交点为， 由，解得：， ， 点关于直线的对称点的坐标为， 即． 故选：D． 3．已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知，直线为线段的垂直平分线，求出线段的垂直平分线方程，即为所求. 【详解】由题意可知，直线为线段的垂直平分线，且， 所以直线的斜率为， 又因为线段的中点为，所以直线的方程为， 整理可得. 故选：C. 4．（多选）若点和点关于直线对称，则（ ） A．的中点坐标为 B． C．直线的斜率为1 D． 【答案】ABD 【分析】根据题意可知直线为的垂直平分线，由两直线垂直的关系表式计算可判断得出结论. 【详解】易知的中点坐标为，则点在直线上， 所以，解得， 所以直线的斜率为. 又因为，所以， 解得. 故选：ABD 题型五：线关于点对称 1．与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于原点的对称点坐标，代入已知直线方程，即可. 【详解】设直线上一点关于坐标原点对称的点为， 则，，解得，， 代入，得， 即所求直线的方程为． 故选：D． 2．已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（ ） A．2 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】根据线关于点对称即可得两直线平行，进而根据点的对称代入求解即可. 【详解】由于直线与直线关于点对称， 所以两直线平行，故，则， 由于点在直线上，关于点的对称点为， 故在上，代入可得，故， 故选：A 3．直线关于点对称的直线的方程为____________________． 【答案】 【分析】根据直线关于点对称，设上的点坐标，写出关于对称的点坐标，根据点在已知直线上求直线方程. 【详解】设为上任意一点，则关于点的对称点为， 因为在直线l上，所以，即直线的方程为． 故答案为： 4．直线关于点对称的直线方程是______________________． 【答案】 【分析】由直线关于点对称的直线与已知直线平行，设出所求直线方程，再根据点到两条直线的距离相等可解出答案. 【详解】设对称直线为， 则有， 解这个方程得（舍）或. 所以对称直线的方程中 故答案为： 题型六：线关于线对称 1．与直线关于x轴对称的直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由在直线上，则点在该直线关于x轴对称的直线上，即可确定所求的直线. 【详解】若在直线上，则点在该直线关于x轴对称的直线上， 显然在A中的直线上，但不在B、C、D中的直线上. 故选：A 2．直线关于直线对称的直线方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设所求直线上任意一点的坐标为，利用对称的性质得到点P关于直线对称的点为代入直线即可求得结果. 【详解】设所求直线上任意一点的坐标为，该点关于直线对称的点的坐标为， 则,故对称点坐标为，代入直线上，， 故选：D 3．直线关于直线：对称的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求两直线的交点，再在直线取点，求点关于直线的对称点，依据两点，，可得所求直线的方程. 【详解】联立，解得.则交点坐标为. 取直线上一点，设点关于直线：的对称点为， 则由，且线段的中点在直线上， 得，解得. 故所求直线过点，. 所以所求直线方程为：，即. 故选：B 4．已知直线与直线关于直线对称，则的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】分析可得三条直线互相平行，根据两平行的距离公式计算可得结果. 【详解】由题意得，直线， ∴两直线与直线间的距离相等， ∵方程可化为：，， ∴，解得. 故选：C. 5．已知点，直线. (1)求过点，且与直线平行的直线的方程； (2)光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，求反射光线所在直线的方程. 【答案】(1);(2) 【分析】（1）根据平行设出直线方程，再根据点在线上求参即可； （2）设点关于直线的对称点为，再根据斜率及中点在直线上求出，最后应用两点式写出直线方程. 【详解】（1）因为直线与直线平行，直线的方程为， 故可设直线的方程为， 因为点在直线上， 所以， 所以， 所以直线的方程为 （2）设点关于直线的对称点为． 由题意得， 解得，所以点的坐标为， 所以反射光线所在直线斜率为， 直线方程为． 题型一：识别距离求距离 1．已知点为直线上任意一点，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点点距离，结合点到直线的距离公式即可求解. 【详解】表示点到点的距离， 故的最小值为点到直线的距离 故选：C 2．已知实数x，y满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】为直线上的点到原点距离的平方，利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】为直线上的点到原点距离的平方， 所以的最小值为原点到直线的距离的平方， 又原点到直线的距离， 所以的最小值为1． 故选：D. 3．实数满足，则的最小值为（ ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】由点到线的距离公式求解最小值，即可求解. 【详解】， 其中为两点与距离的平方， 所以其最小值即为到直线距离的平方，即， 所以的最小值为1， 故选：B 4．已知实数满足，，则的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据题意，结合两平行直线距离公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，是直线上的点， 是直线上的点，则两直线平行， 的最小值是平行直线之间的距离的平方， 可得最小值为. 故选：D 题型二：点到直线距离最值 1．点到直线（为任意实数）距离的最大值为（ ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】法一：写出点到直线的距离的表达式，换元，利用对勾函数的性质即可求解；法二：利用几何法即可求出最值. 【详解】法一：点到直线的距离为， ， 令，当时，， 当时，，由对勾函数的性质可知， 所以，所以， 所以. 法二：易知直线过定点，则点到直线的距离最大值为定点到的距离，即. 故选：C. 2．点到直线的距离的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析得直线过定点，当与直线垂直时距离有最大值，利用两点间距离公式计算可得结果. 【详解】 由得， 由得，故直线过定点. 记点为点，当与直线垂直时，点到直线的距离有最大值， 最大值为. 故选：D. 3．（多选）已知直线，直线，则下列说法正确的为（ ） A．若，则 B．若两条平行直线与间的距离为，则 C．直线过定点 D．点到直线距离的最大值为 【答案】AC 【分析】结合题设直线方程得两直线斜率为，，对于A，由直线垂直的关系列式即可求出m；对于B，根据直线平行和斜率的关系求出m，再结合直线平行间的距离公式即可求解；对于C，根据直线过定点问题的方法直接计算即可得解；对于D，由题设得点到直线距离的最大时，再结合两点间距离即可求解. 【详解】由题，斜率为， ，斜率为， 对于A，若，则，即，故A正确； 对于B，因为，所以，即，且即， 又两条平行直线与间的距离为， 所以或，故B错误； 对于C，对，令， 所以直线过定点，故C正确； 对于D，由C可知直线过定点， 所以要使点到直线距离最大，则， 则点到直线距离的最大值为，故D错误. 故选：AC. 4．已知点和直线，则点P到直线l的距离最大值为_________________． 【答案】 【分析】先求得直线的定点，分析可得时，点到直线的距离最大，进而求解即可. 【详解】由， 即， 令，解得，则直线恒过定点， 当时，点到直线的距离最大， 此时最大距离为. 故答案为：. 题型三：距离和（差）最值问题 1．在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立直角坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点的坐标， 和P关于y轴的对称点的坐标，由四点共线可得直线的方程， 由于过三角形的重心，代入可得关于a的方程，解得P的坐标， 即可求得PB的长和直线方程，进而求得面积. 【详解】 建立直角坐标系，可得,故直线BC的方程为， 则三角形的重心为，即， 设,其中，则点P关于直线BC的对称点， 满足，解得，即， 易得P关于y轴的对称点，由光的反射原理可知四点共线， 直线的斜率为，故直线的方程为， 由于直线过三角形的重心，代入得， 化简得或（舍去），故,,,直线的方程为, 联立,解得,即点Q的坐标为, 则三角形的面积， 故选：A 2．已知直线和两点，若直线上存在点P使得最小，则点P的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断与直线的位置关系为在直线同侧，故先求出点关于直线的对称点的坐标，此时求出直线的方程，则直线与的交点即为点位置. 【详解】 由图可判断在直线的同侧，设点关于的对称点的坐标为， 则有，解得. 所以直线的方程为，直线与的交点即为， 由平面几何知识可知此时最小. 故选：B. 3．唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为______________. 【答案】 【分析】求出点关于直线对称点的坐标，再利用两点间距离公式计算得解. 【详解】设点关于对称点，则，解得， 即，所以“将军饮马”的最短总路程为. 故答案为： 4．已知点P在直线上，点，则的最小值为________________. 【答案】 【知识点】求点关于直线的对称点后可求线段差的最小值. 【详解】如图，设关于直线的对称点为，则， 解得，则， 于是， 结合图形知，当三点共线时，此时取得最小值， 即取得最小值为 故答案为： 5．已知直线的方程为. (1)当时，求点到直线的距离； (2)当时，为直线上一动点，若，，求的最小值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）运用点到线的距离公式求解即可. （2）设点关于直线的对称点，求出坐标，结合求解即可. 【详解】（1）当时，直线的方程为， 所以点到直线的距离为. （2）当时，直线的方程为， 设点关于直线的对称点，如图所示， 则，解得，即， 所以， 故的最小值为. 题型一：配凑两点距离问题 1．已知，，，均为实数，则的最小值为（ ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】表示两点与之间的距离，表示两点与之间的距离，进而可得点的轨迹方程为两平行直线，可求最小值. 【详解】表示两点与之间的距离， 表示两点与之间的距离， 又点是直线上的动点，点是直线上的动点， 且直线与直线平行， 所以的最小值即为直线与直线之间的距离， 所以的最小值为. 故选：B. 2．已知函数，则的最小值为___________________． 【答案】5 【分析】整理函数解析式，可转化为到点的距离之和，结合图象，可得答案. 【详解】， 转化为x轴上的动点到两定点，的距离之和最小， 由图可知，距离之和的最小值为5． 故答案为：. 3．已知，，则的最小值为_____________________. 【答案】 【分析】利用平面上两点间线段最短和两点间距离公式的几何意义即可求解. 【详解】 . 记点、点、点和点， 因为，， 所以的几何意义为：表示正方形内的点到点、点、点和点四点的距离之和. 因为的几何意义为：正方形内的点到点和点的距离之和. 所以当点在线段（不包含点和点）上时，点到点和点的距离之和最小，即取得最小值，为. 因为的几何意义为：正方形内的点到点和点的距离之和. 所以当点在线段（不包含点和点）上时，点到点和点的距离之和最小，即取得最小值，为. 综上可得：当点是线段与的交点时，和同时取得最小值，均为. 所以的最小值为. 故答案为：. 4．著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决．已知，则的最小值为______________________． 【答案】 【分析】依题意转化为动点到的距离之和，结合图象得到为矩形对角线交点时距离最小，进而得到答案. 【详解】 相当于动点到的距离之和， 因为四边形为矩形，所以， 所以当为矩形对角线交点时，， 此时最小，最小为， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据几何意义，转化为动点到的距离之和问题，画出图象，，当为矩形对角线交点时，距离最小. 题型二：距离新定义问题 1．出租车几何，又称曼哈顿距离（ManhattanDistance），最早由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基在研究度量几何时提出，用以标明两点在各坐标轴上的绝对差之和.设点，，则A，B两点之间的曼哈顿距离为.已知点，，动点P满足，Q是直线：上的动点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意根据新定义画出点的运动轨迹，然后由点到直线的距离公式即可求解. 【详解】由题意可知，的轨迹关于x轴对称，也关于y轴对称. 当，时，， 即 画出此函数的图象，并结合对称性可得点P的轨迹是如图所示的六边形. 由图可知，的最小值为图中点到直线的距离. 故选：B. 2．（多选）．在平面直角坐标系内，定义任意两点“新距离”为：，在此距离定义下，点到直线的“新距离”就是点与直线上所有点的“新距离”的最小值，记作符号.已知点，，直线.（ ） A． B．到点C“新距离”等于1的点所围成的图形的面积为4 C． D． 【答案】ACD 【分析】由新距离定义求解判断A；由新距离定义，分类讨论求出点P的轨迹判断B；设M为直线上的动点，由新距离定义，分情况讨论判断C；由新距离定义，结合绝对值的几何意义推理判断D. 【详解】对于A，，，则，A正确； 对于B，，即， 当且时，有，即； 当目时，有，即； 当且时，有，即； 当目时，有，即； 因此点P的轨迹围成的图形是以为顶点的正方形， 边长为，面积为，B错误； 对于C，令M为直线上的动点，设， 则与点的“新距离”， 当时，， 当时，， 当时，， 因此点D到直线的“新距离”，C正确； 对于D，由绝对值的几何意义得，， 则，， 将两式相加得：， 即，D正确. 故选：ACD 3．“曼哈顿距离”是人工智能中常用的一种测距方式．定义平面上两点，之间的“曼哈顿距离”为．对于平面上两定点，，若动点满足．记的轨迹为，则的面积为__________________． 【答案】10 【分析】根据题意可得，结合对称性只研究，，作出图形即可得面积. 【详解】由可得，即， 将代换，方程不变，可知曲线关于轴对称； 将代换，方程不变，可知曲线关于轴对称； 根据，对称性可知，只需讨论，即可． 此时，所以， 可得轨迹在第一象限内与轴和轴所围成的面积为， 所以的面积为． 故答案为：10. 4．人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为 (1)若，，求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离； (2)已知，、，，若，，求M、P之间的曼哈顿距离. 【答案】(1)，余弦距离为； (2). 【分析】（1）根据题设中距离的定义求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离即可； （2）根据已知可得、，再结合及正余弦和差公式、平方关系求得、，进而求出M、P的坐标，再由曼哈顿距离的定义求结果. 【详解】（1）由题设定义知：， ，则余弦距离为； （2），又，则， ，则， 所以，结合，， 所以，可得或， 由，即，故，则， ， ， 所以，，则 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $$