1.3.2 空间向量运算的坐标表示（导学案）数学人教A版2019选择性必修第一册

1.3.2 空间向量运算的坐标表示 导学案 （1）会用坐标表示空间向量的线性运算及数量积运算. （2）会利用空间向量运算的坐标表示解决一些简单的立体几何问题. 第一环节 问题引入 回顾平面向量运算之加法与减法的坐标表示： 要求1：已知，类比以上方法，求的坐标 要求2：直接写出的坐标 要求3：已知类比以上方法，求的坐标 第二环节 合作探究 探究1：根据同学们刚刚的回顾与类比，即可完成下列表格 平面向量坐标运算 空间向量的坐标运算 线性运算 加法 减法 数乘 数量积运算 直线方向向量 ， 则 要求：下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示. 牛刀小试： 练1：已知点，若向量，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 练2：若，，则（    ） A． B． C． D． 练3：若，，则（     ） A． B． C． D． 练4：已知，，则的值为（     ） A．4 B．0 C． D． 练5：若，，则等于（     ） A． B． C．5 D．7 探究2：我们知道平面向量的坐标运算，可以帮助我们解决平行、垂直等位置关系以及距离、夹角等度量问题.那么，空间向量的坐标运算是否也可以解决空间中平行、垂直等位置关系以及距离、夹角等度量问题？ 思考：如何用平面向量的坐标运算刻画平面向量的平行和垂直？类比平面向量，完成下列表格： 平面向量的特殊位置之平行 空间向量的特殊位置之平行 思考：设，当时：能否表示为？ 思考：如何用平面向量的坐标运算刻画平面向量的平行和垂直？类比平面向量，完成下列表格： 平面向量的特殊位置之垂直 空间向量的特殊位置之垂直 牛刀小试： 练8：已知两个向量，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 练9：已知向量，若，则（    ） A． B．4 C． D．5 练10：已知，若，则实数的值为（     ） A． B． C． D．2 练11：已知空间向量，，其中，若，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 思考：如何用空间向量的坐标表示长度和夹角？ 平面向量的长度和夹角 空间向量的长度和夹角 ， 思考：你能证明空间两点间的距离公式吗？ 牛刀小试： 练12：设，，则 ； ． 练13：已知向量，，，则 . 练14：已知，，为原点，则与的夹角是（    ） A．0 B． C． D． 练15：若向量且与的夹角余弦为，则等于（     ） A．2 B． C．或 D． 例2： 如图1.3-8，在正方体中，，分别是，的中点．求证． 分析：要证明，只要证明，即证．我们只要用坐标表示，，并进行数量积即可．证明垂直和利用空间向量的坐标运算求夹角的问题，并通过向量及其坐标的运算求解问题. 例3：如图1.3-9，在棱长为1的正方体中，为的中点，，分别在棱，上，，． （1）求的长． （2）求与所成角的余弦值． 分析：（1）利用条件建立适当的空间直角坐标系，写出点，的坐标，利用空间两点间的距离公式求出的长．（2）与所成的角就是，所成的角或它的补角．因此，可以通过，的坐标运算得到结果．根据条件建立适当的空间直角坐标系,用向量表示相关元素，并通过向量及其坐标的运算求解问题. 方法总结： 1．利用向量数量积的坐标公式求异面直线所成角的步骤 (1)根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系； (2)利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标； (3)利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角，并将它转化为异面直线所成的角． 2．利用向量坐标求空间中线段的长度的一般步骤 (1)建立适当的空间直角坐标系； (2)求出线段端点的坐标； (3)利用两点间的距离公式求出线段的长． 题型一：空间向量的坐标运算之根据平行关系求参 1. 已知空间三点，，，设，． （1）若，，求； （2）若向量与平行，求． 方法小结：根据平行关系求参的步骤 (1)向量化：将空间中的平行关系转化为向量的平行关系； (2)向量关系代数化：写出向量的坐标； (3)对于a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，根据x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)或＝＝(x2，y2，z2都不为0) 建立关于参数的方程（组）． (4)解方程(组)即可得解． 题型二：空间向量的坐标运算之根据垂直关系求参 2.已知空间三点，，，设，． 若与互相垂直，求； 小结：根据垂直关系求参的步骤 (1)向量化：将空间中的垂直关系转化为向量的垂直关系； (2)向量关系代数化：写出向量的坐标； (3)对于a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，根据x1x2＋y1y2＋z1z2=0 建立关于参数的方程（组）． (4)解方程(组)即可得解． 1．（高二下·江苏南通·期中）设、，向量，，且，，则（       ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·甘肃白银·期末）（多选）已知向量，点，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 3．（24-25高二下·福建龙岩·期中）已知向量，，则向量在向量上的投影向量的模为 . 4．（24-25高二下·甘肃白银·期末）已知空间中有两个动点，．则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．3 D．6 5．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知向量，，且． (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值． 1．空间向量的坐标运算 已知空间向量，其坐标形式为， 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 减法 数乘 ， 2．空间向量的坐标运算 已知空间向量，其坐标形式为， 向量运算 向量表示 坐标表示 数量积 夹角余弦值 模长 3．空间任意两点与， 两点之间的距离 ． 特别地，点与原点间的距离公式为 ． 4．空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直：设， （1）平行：当的每一个坐标分量都不为0时， . （2）垂直： . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3.2 空间向量运算的坐标表示 导学案 （1）会用坐标表示空间向量的线性运算及数量积运算. （2）会利用空间向量运算的坐标表示解决一些简单的立体几何问题. 第一环节 问题引入 回顾平面向量运算之加法与减法的坐标表示： 要求1：已知，类比以上方法，求的坐标 预设： 要求2：直接写出的坐标 预设： 要求3：已知类比以上方法，求的坐标 预设： 第二环节 合作探究 探究1：根据同学们刚刚的回顾与类比，即可完成下列表格 平面向量坐标运算 空间向量的坐标运算 线性运算 加法 减法 数乘 数量积运算 直线方向向量 ， 则 要求：下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示. 预设：设为空间的一个单位正交基底，则，， 所以． 利用向量数量积的分配律以及，， 得． 牛刀小试： 练1：已知点，若向量，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 解析：设，又，所以， 则，所以， 即. 故选：A 练2：若，，则（    ） A． B． C． D． 解析：若，，则. 故选：D. 练3：若，，则（     ） A． B． C． D． 解析：因为，所以 又，所以. 故选：A. 练4：已知，，则的值为（     ） A．4 B．0 C． D． 解析：因为， . 故选：C. 练5：若，，则等于（     ） A． B． C．5 D．7 解析： ①， ②， ①+②得：，即 所以 ，故选：A 探究2：我们知道平面向量的坐标运算，可以帮助我们解决平行、垂直等位置关系以及距离、夹角等度量问题.那么，空间向量的坐标运算是否也可以解决空间中平行、垂直等位置关系以及距离、夹角等度量问题？ 思考：如何用平面向量的坐标运算刻画平面向量的平行和垂直？类比平面向量，完成下列表格： 平面向量的特殊位置之平行 空间向量的特殊位置之平行 思考：设，当时：能否表示为？ 预设：至少一个不为0. 因此，只有均不为0时，特殊地，与任意向量平行. 例如：当与平面平行时，.此时无意义. 思考：如何用平面向量的坐标运算刻画平面向量的平行和垂直？类比平面向量，完成下列表格： 平面向量的特殊位置之垂直 空间向量的特殊位置之垂直 牛刀小试： 练8：已知两个向量，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 解析：，，，，. 故选：C. 练9：已知向量，若，则（    ） A． B．4 C． D．5 解析：由，可得， 又由，则得， 又，所以，解得. 故选：A. 练10：已知，若，则实数的值为（     ） A． B． C． D．2 解析：由向量， 得， 若，则， 解得. 故选：C. 练11：已知空间向量，，其中，若，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 解析：因为空间向量，，且， 所以，即. 当且仅当，即时取等号. 所以的最大值是. 故选：D 思考：如何用空间向量的坐标表示长度和夹角？ 平面向量的长度和夹角 空间向量的长度和夹角 ， 思考：你能证明空间两点间的距离公式吗？ 预设：如图1.3-7建立空间直角坐标系，设，是空间中任意两点，则 ． 于是 所以 ． 这就是空间两点间的距离公式． 牛刀小试： 练12：设，，则 ； ． 解析：； . 练13：已知向量，，，则 . 解析：，由，解得， 则有，又，则. 故答案为：. 练14：已知，，为原点，则与的夹角是（    ） A．0 B． C． D． 解析：因为， 且，， 所以； 因为，所以，即． 故选：B. 练15：若向量且与的夹角余弦为，则等于（     ） A．2 B． C．或 D． 解析：，显然， 两边平方后化简得，解得，正值舍去. 故选：D 例2： 如图1.3-8，在正方体中，，分别是，的中点．求证． 分析：要证明，只要证明，即证．我们只要用坐标表示，，并进行数量积即可．证明垂直和利用空间向量的坐标运算求夹角的问题，并通过向量及其坐标的运算求解问题. 证明：不妨设正方体的棱长为1，建立如图1.3-8所示的空间直角坐标系，则 ，，所以． 又，，所以． 所以．所以，即． 例3：如图1.3-9，在棱长为1的正方体中，为的中点，，分别在棱，上，，． （1）求的长． （2）求与所成角的余弦值． 分析：（1）利用条件建立适当的空间直角坐标系，写出点，的坐标，利用空间两点间的距离公式求出的长．（2）与所成的角就是，所成的角或它的补角．因此，可以通过，的坐标运算得到结果．根据条件建立适当的空间直角坐标系,用向量表示相关元素，并通过向量及其坐标的运算求解问题. 解析：（1）建立如图1.3-9所示的空间直角坐标系，则点的坐标为，点的坐标为．于是． （2）由已知，得，，，， 所以，， ，． 所以， 所以． 所以，与所成角的余弦值为． 方法总结： 1．利用向量数量积的坐标公式求异面直线所成角的步骤 (1)根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系； (2)利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标； (3)利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角，并将它转化为异面直线所成的角． 2．利用向量坐标求空间中线段的长度的一般步骤 (1)建立适当的空间直角坐标系； (2)求出线段端点的坐标； (3)利用两点间的距离公式求出线段的长． 题型一：空间向量的坐标运算之根据平行关系求参 1. 已知空间三点，，，设，． （1）若，，求； （2）若向量与平行，求． 解析：（1）点，，，∴， 由，设，且， ∴，解得， ∴或； （2）向量，， 由向量与平行，则， 解得或. 方法小结：根据平行关系求参的步骤 (1)向量化：将空间中的平行关系转化为向量的平行关系； (2)向量关系代数化：写出向量的坐标； (3)对于a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，根据x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)或＝＝(x2，y2，z2都不为0) 建立关于参数的方程（组）． (4)解方程(组)即可得解． 题型二：空间向量的坐标运算之根据垂直关系求参 2.已知空间三点，，，设，． 若与互相垂直，求； 解析：，， 若与互相垂直，则， ∴， 即， 化简得，解得或； 小结：根据垂直关系求参的步骤 (1)向量化：将空间中的垂直关系转化为向量的垂直关系； (2)向量关系代数化：写出向量的坐标； (3)对于a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，根据x1x2＋y1y2＋z1z2=0 建立关于参数的方程（组）． (4)解方程(组)即可得解． 1．（高二下·江苏南通·期中）设、，向量，，且，，则（       ） A． B． C． D． 解析：因为，则，解得，则， 因为，则，解得，即， 所以，，因此，. 故选：D. 2．（24-25高二下·甘肃白银·期末）（多选）已知向量，点，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 解析：因为，所以，故A错误，B正确； 若，则，得，故C正确； 若，则，得，故D正确． 故选：BCD. 3．（24-25高二下·福建龙岩·期中）已知向量，，则向量在向量上的投影向量的模为 . 解析：因为向量，， 所以向量在向量上的投影向量， 其模为. 故答案为： 4．（24-25高二下·甘肃白银·期末）已知空间中有两个动点，．则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．3 D．6 解析： 因为，， 所以， 所以，当且仅当时取等号. 故选：A 5．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知向量，，且． (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值． 解析：（1）因为向量，，且，则，解得， 所以，，则， 故. （2），所以 又由（1）知 ， 所以，. 因此，向量与夹角的余弦值为. 1．空间向量的坐标运算 已知空间向量，其坐标形式为， 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 减法 数乘 ， 答案： 2．空间向量的坐标运算 已知空间向量，其坐标形式为， 向量运算 向量表示 坐标表示 数量积 夹角余弦值 模长 答案： 3．空间任意两点与， 两点之间的距离 ． 特别地，点与原点间的距离公式为 ． 答案： 4．空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直：设， （1）平行：当的每一个坐标分量都不为0时， . （2）垂直： . 答案： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$