1.3.2 空间向量运算的坐标表示（教学课件）数学人教A版2019选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何1.3.2 空间向量运算的坐标表示 ·选择性必修第一册· 1 学习目标 2 会用坐标表示空间向量的线性运算及数量积运算. 会利用空间向量运算的坐标表示解决一些简单的立体几何问题. 01 问题导入 1.3 空间向量及其坐标运算 引入新知 回顾平面向量运算之加法与减法的坐标表示： 要求1：已知，类比以上方法，求的坐标 要求2：直接写出的坐标 引入新知 回顾平面向量运算之数乘运算的坐标表示： 要求3：已知类比以上方法，求的坐标 02 新课探究 1.3 空间向量及其坐标运算 新课探究 根据同学们刚刚的回顾与类比，即可完成下列表格 新课探究 设 设 加法运算 减法运算 平面向量坐标运算 空间向量坐标运算 数乘运算 数量积运算 有向线段的向量坐标表示 线性运算 新课探究 下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示. 设 为空间的一个单位正交基底， 则 所以 因为 所以 牛刀小试 解析 牛刀小试 解析 牛刀小试 解析 牛刀小试 解析 牛刀小试 解析 新课探究 我们知道平面向量的坐标运算，可以帮助我们解决平行、垂直等位置关系以及距离、夹角等度量问题. 探究2 空间向量的坐标运算是否也可以解决 空间中平行、垂直等位置关系以及距离、夹角等度量问题？ 新课探究 yOz平面 如何用平面向量的坐标运算刻画平面向量的平行和垂直？ 平面向量的特殊位置之平行 平面向量的特殊位置关系之平行 设 当 时， 当 时， 设 能否表示为 ？ ? 思考 当 时， 设 能否表示为 ？ ? 新课探究 至少一个不为0. 例如：当 与平面 平行时， .此时 无意义. 例如：当 与平面 平行时， .此时 无意义. 因此，只有 均不为0时， 特殊地， 与任意向量平行. 当 时， 新课探究 yOz平面 平面向量的特殊位置之垂直 空间向量的特殊位置之垂直 设 当 时， 当 时， 设 牛刀小试 解析 牛刀小试 解析 牛刀小试 解析 牛刀小试 解析 新课探究 yOz平面 如何用空间向量的坐标表示长度和夹角？ 平面向量的长度和夹角 空间向量的长度和夹角 你能证明空间两点间的距离公式吗？ 设 则 设 设 设 则 思考 新课探究 你能证明空间两点间的距离公式吗？ 设 ， 是空间中任意两点， 如图，建立空间直角坐标系， 于是 所以 这就是空间两点间的距离公式. 则 牛刀小试 解析 牛刀小试 解析 牛刀小试 解析 牛刀小试 解析 03 应用新知 1.3 空间向量及其坐标运算 应用新知 例2 证明 应用新知 O A B C x y 图1.3-9 D A1 B1 C1 D1 F1 M E1 z 例3 应用新知 解析 O A B C x y 图1.3-9 D A1 B1 C1 D1 F1 M E1 z 应用新知 解析 O A B C x y 图1.3-9 D A1 B1 C1 D1 F1 M E1 z 应用新知 规律方法 1．利用向量数量积的坐标公式求异面直线所成角的步骤 (1)根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系； (2)利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标； (3)利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角，并将它转化为异面直线所成的角． (1)建立适当的空间直角坐标系； (2)求出线段端点的坐标； (3)利用两点间的距离公式求出线段的长． 2．利用向量坐标求空间中线段的长度的一般步骤 04 重要题型 1.3 空间向量及其坐标运算 重要题型专练 题型一 空间向量的坐标运算之根据平行关系求参 例题 重要题型专练 题型一 空间向量的坐标运算之根据平行关系求参 解析 重要题型专练 题型一 空间向量的坐标运算之根据平行关系求参 解析 重要题型专练 方法总结 根据平行关系求参的步骤 重要题型专练 题型二 空间向量的坐标运算之根据垂直关系求参 例题 重要题型专练 题型二 空间向量的坐标运算之根据垂直关系求参 解析 重要题型专练 方法总结 根据垂直关系求参的步骤 05 真题感知 1.3 空间向量及其坐标运算 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 06 课堂笔记 1.3 空间向量及其坐标运算 课堂笔记 课堂笔记 课堂笔记 课堂笔记 07 小结及课后作业 1.3 空间向量及其坐标运算 课堂小结 yOz平面 空间向量及其运算的坐标表示 作业布置 巩固作业：教科书第21页练习第4、5题 教科书第22-23页习题第6、7、8题 作业答案 解析 作业答案 解析 作业答案 解析 作业答案 解析 作业答案 解析 ·选择性必修第一册· 本课结束 感谢您的聆听 练1：已知点，若向量，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 设，又，所以， 则，所以， 即. 故选：A 练2：若，，则（    ） A． B． C． D． 若，，则. 故选：D. 练3：若，，则（     ） A． B． C． D． 因为，所以 又，所以. 故选：A. 练4：已知，，则的值为（     ） A．4 B．0 C． D． 因为， . 故选：C. 练5：若，，则等于（     ） A． B． C．5 D．7 ①， ②， ①+②得：，即 所以 ，故选：A 练8：已知两个向量，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． ，，，，. 故选：C. 练9：已知向量，若，则（    ） A． B．4 C． D．5 由，可得， 又由，则得， 又，所以，解得. 故选：A. 练10：已知，若，则实数的值为（     ） A． B． C． D．2 由向量， 得， 若，则， 解得. 故选：C. 练11：已知空间向量，，其中，若，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 因为空间向量，，且， 所以，即. 因为，所以，即， 当且仅当，即时取等号. 所以的最大值是. 故选：D 练12：设，，则 ； ． ； . 练13：已知向量，，，则 . ，由，解得， 则有，又，则. 故答案为：. 练14：已知，，为原点，则与的夹角是（    ） A．0 B． C． D． 因为， 且，， 所以； 因为，所以，即． 故选：B. 练15：若向量且与的夹角余弦为，则等于（     ） A．2 B． C．或 D． ，显然， 两边平方后化简得，解得，正值舍去. 故选：D 分析：要证明，只要证明，即证． 我们只要用坐标表示，，并进行数量积运算即可． 如图1.3-8，在正方体中，E，F分别是，的中点． 求证：． 不妨设正方体的棱长为1，建立如图1.3-8所示的空间直角坐标系， 则，，所以． 又，，所以． 所以． 所以，即． （1）建立如图1.3-9所示的空间直角坐标系， 则点A的坐标为，点M的坐标为． 于是． （2）由已知，得，，，， 所以，， ，． 所以． 所以. 所以，与所成角的余弦值是． 1.已知空间三点，，，设，． （1）若，，求； （2）若向量与平行，求． （1）点，，，∴， 由，设，且， ∴，解得， ∴或； （2）向量，， 由向量与平行，则， 解得或. (1)向量化：将空间中的平行关系转化为向量的平行关系； (2)向量关系代数化：写出向量的坐标； (3)对于a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，根据x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)或eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)＝eq \f(z1,z2)(x2，y2，z2都不为0) 建立关于参数的方程（组）． (4)解方程(组)即可得解． 2.已知空间三点，，，设，． 若与互相垂直，求； ，， 若与互相垂直，则， ∴， 即， 化简得，解得或； (1)向量化：将空间中的垂直关系转化为向量的垂直关系； (2)向量关系代数化：写出向量的坐标； (3)对于a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，根据x1x2＋y1y2＋z1z2=0 建立关于参数的方程（组）． (4)解方程(组)即可得解． 1．（21-22高二下·江苏南通·期中）设、，向量，，且，，则（       ） A． B． C． D． 因为，则，解得，则， 因为，则，解得，即， 所以，，因此，. 故选：D. 2．（24-25高二下·甘肃白银·期末）（多选）已知向量，点，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 因为，所以，故A错误，B正确； 若，则，得，故C正确； 若，则，得，故D正确． 故选：BCD. 3．（24-25高二下·福建龙岩·期中）已知向量，，则向量在向量上的投影向量的模为 . 因为向量，， 所以向量在向量上的投影向量， 其模为. 故答案为： 4．（24-25高二下·甘肃白银·期末）已知空间中有两个动点，．则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．3 D．6 因为，， 所以， 所以，当且仅当时取等号. 故选：A 5．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知向量，，且． (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值． （1）因为向量，，且，则，解得， 所以，，则， 故. 5．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知向量，，且． (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值． （2），所以 又由（1）知 ， 所以，. 因此，向量与夹角的余弦值为. 1．空间向量的坐标运算 已知空间向量，其坐标形式为， 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 减法 数乘 ， 1．空间向量的坐标运算 已知空间向量，其坐标形式为， 向量运算 向量表示 坐标表示 数量积 夹角余弦值 模长 2． 空间任意两点与， 两点之间的距离 ． 特别地，点与原点间的距离公式为 ． 3．空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直：设， （1）平行：当的每一个坐标分量都不为0时， . （2）垂直： . P21-4.如图，正方体的棱长为a、点N，M分别在AC，上，，，求MN的长． 因为正方体的棱长为a、点N， M分别在AC，上，，， 所以， 所以. P21-5.如图，在正方体中，M是AB的中点，求与CM所成角的余弦值． 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图， 设正方体的棱长为，则，，，， ，， 设直线与直线所成角为，则， 所以直线与直线所成角的余弦值为. P22-6求证：以A（4，1，9），B（10，–1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形． A（4，1，9），B（10，–1，6），C（2，4，3）， AB==7， AC==7， BC==7， ∴AB 2+AC 2=BC 2，AB=AC， ∴△ABC为等腰直角三角形． P22-7. 已知，，求，，线段AB的中点坐标及线段AB的长． 因为，， 所以， 线段AB的中点坐标为， 线段AB的长为 P23-8 如图，在正方体中，M，N分别为棱和的中点，求CM和所成角的余弦值． 以D为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，不妨设正方体边长为2，则 所以, 设CM和所成角为，则, 所以CM和所成角的余弦值为. $$