1.2空间向量基本定理（题型专练）数学人教A版2019选择性必修第一册

1.2 空间向量基本定理 题型一：空间向量基底概念及辨析 1．思维辨析（对的写正确，错的写错误） （1）也可以作为基向量．( ) （2）空间的任意一个向量都可用三个给定向量表示．( ) （3）如果向量，与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有与共线．( ) （4）任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．( ) 【答案】 错误 错误 正确 错误 【分析】（1）（2）（3）（4）利用零向量的特殊性和空间基底向量的含义即可判断. 【详解】（1）错误．由于可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面， 所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是，所以不能是基向量． （2）错误．当三个向量不共面时，才可以表示空间中的任意一个向量． （3）正确．由空间向量基本定理可知只有不共面的三个向量才可以做基底． （4）错误．空间的基底是由三个不共面的向量组成的． 故答案为：错误；错误；正确；错误. 2．在三棱柱中，可以作为空间向量一组基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】根据三棱柱的性质和空间向量基底的定义逐个分析判断 【详解】对于A，因为向量，，是共面向量，∥，所以，，是共面向量，所以不能作为基底，所以A错误， 对于B，因为，，是共面向量，所以不能作为基底，所以B错误， 对于C，因为，，这三个向量不共面，所以能作为一组基底，所以C正确， 对于D，因为，，是共面向量，所以不能作为基底，所以D错误， 故选：C 3．已知为空间的一个基底，且，，，能否以作为空间的一组基底？ 【答案】能以作为空间的一组基底，理由见解析. 【分析】假设存在不全为的实数，，使得成立，则，通过此方程组的解即可判断出结论． 【详解】假设存在不全为的实数，，使得成立， 即， 所以，此方程组无解， 即不存在不全为的实数，，使得成立， 因此假设不成立．所以不共面， 所以能以作为空间的一组基底． 4．（多选）设且是空间的一个基底，则下列向量组中，可以作为空间一个基底的向量组有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】令，并以它们为邻边作平行六面体，再确定，对应的线段，判断线段是否共面，即可判断各组向量是否可作为基底. 【详解】如图所示，令，则，又， 由A、B1、C、D1四点不共面知：向量不共面， 同理和也不共面. 故选：BCD 5．若构成空间的一个基底，则下列向量可作为基底的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据基底的定义，结合空间向量的共面条件，可得答案. 【详解】因为，所以，，共面； 因为，所以，，共面； 因为，所以，，共面； 因为不存在x，y，使得，所以，，不共面，所以可以作为基底． 故选：D. 题型二：用空间基底表示向量 1．如图，空间四边形OABC中，，，，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量的线性运算求解. 【详解】， . 故选：C 2．如图，在平行六面体中，M为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的线性运算求解即可. 【详解】因为M为与的交点，所以M是与的中点， 所以. 故选：D. 3．如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，点在棱上，且满足，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用空间向量的加减法和题设条件，将所求向量用空间的基向量表示即得. 【详解】 如图，连接因点，分别是，的中点，点在棱上，且满足 则 即： 故选：C. 题型三：空间向量基本定理求参问题 1．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，若点F是侧面CD1的中心，且则m，n的值分别为(　　) A．，－ B．－，－ C．－， D．， 【答案】A 【分析】直接利用向量的线性运算化简得,比较系数得. 【详解】由于， 所以. 故选：A 2．是空间的一个基底，向量，是空间的另一个基底，向量，则 . 【答案】3 【分析】将转化成以为基底的向量，与联立，即可求出的值. 【详解】 ，且 . 故答案为：3 3．如图，已知平行六面体，设是底面的中心，N是侧面的对角线上的点，且．若，求的值．    【答案】，，． 【分析】借助空间向量的线性运算即可解答. 【详解】因为 ， 所以，，． 4．已知三棱锥，点P为平面ABC上的一点，且（m，n∈R）则m，n的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用点位于平面内的充要条件，建立关系即可判断作答. 【详解】因为点P为平面ABC上的一点，，则， 于是，即，显然选项BCD都不满足，A选项满足. 故选：A 5．已知空间四边形中，向量，且，则 ． 【答案】 【分析】根据向量的加法和减法即可求得. 【详解】因为，所以， 则， 所以． 故答案为：. 题型一：空间基底法解决长度问题 1．已知平行六面体，底面是正方形，，， ，，，设，，． (1)用、、表示，； (2)求的长度． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据空间向量线性运算法则计算可得； （2）首先用、、表示，再根据向量数量积的运算律计算可得； 【详解】（1）解： ； 即， （2）解：因为 ，，，，，， 所以 所以，即 2．如图，空间四边形中，，，，点分别在上，且，．    (1)以为一组基底表示向量； (2)求的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空间向量运算的几何表示及空间向量基本定理求解； （2）利用空间向量数量积的运算性质，由展开计算即可. 【详解】（1）， ．    （2）， 所以， 所以 ， 所以. 3．如图，在平行六面体中，两两夹角为60°，长度分别为2，3，1，点P在线段BC上，且，记. （1）试用表示； （2）求模. 【答案】（1）； （2）. 【分析】（1）利用空间向量的线性运算，即可用，，表示. （2）由（1）得，根据向量的模的运算及向量的数量积，即可得出答案. 【详解】（1）， . （2）因为AB，AD，两两夹角为60°，长度分别为2，3，1. 所以， . . 题型二：空间基底法证垂直问题 1．在正方体中，是上底面的中心，则与的位置关系是(　　) A．重合 B．垂直 C．平行 D．无法确定 【答案】B 【分析】用向量作空间向量的一组基底分别表示和，由数量积为0可得垂直. 【详解】由题意，用向量作空间向量的一组基底 则 设正方体的棱长为1，于是： 故，即与垂直 故选：B 2．已知在空间四边形中，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】选取基底，将已知直线垂直关系转换为数量积为0，得到相应的等量关系，进而证明即可. 【详解】如图所示：    不妨选空间的一组基底向量为， 由题意，， 所以有，即， 同理有，即， 因此， 从而，即. 3．已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，求证: 这个四面体相对的棱两两垂直. 已知：如图，四面体，分别为棱的中点，且求证 . 【答案】证明见解析 【分析】设，由空间向量的运算证明，. 【详解】证明：设 则 ， ， ， ， ， 又 ，同理可证， 这个四面体相对的棱两两垂直. 题型三：空间基底法解决夹角问题 1．已知平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，. 求异面直线与夹角的余弦值. 【答案】 【解析】用基向量求解向量的夹角即可，先计算向量的数量积，再求模长，代值计算即可. 【详解】设，， 由题可知：两两之间的夹角均为，且， 由，又 所以， 又 则 又异面直线夹角范围为 所以异面直线夹角的余弦值为. 2．如图，已知三棱锥中，，和都是边长为2的正三角形，点E，F分别是AB，CD的中点． (1)记用表示； (2)求异面直线AF和CE所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量加法和减法的运算法则进行求解即可； （2）根据空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）因为F是CD的中点， 所以， 因为点E是AB的中点． 所以； （2）因为和都是边长为2的正三角形 ， 因为， 所以， 因为，所以，即， 所以， 又， ， 所以设所求角为θ，则． 3．如图，在棱长为1的正四面体中，，分别是边，的中点，点在上，且，设，，． (1)试用向量，，表示向量； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量基底运算即可得到结果. （2）分别求出的值，再结合向量的夹角公式即可求得结果. 【详解】（1） （2）由题意知，，，， 则， ， 所以 1．在棱长为1的正方体中，P为正方体内一动点(包括表面)，若，且，则点P所有可能的位置所构成的几何体的体积是 ． 【答案】 【分析】根据向量加法的几何意义和空间向量基本定理得到点P在三棱锥内，进而利用锥体体积公式求出答案. 【详解】根据向量加法的几何意义和空间向量基本定理知， 满足的点P在三棱柱内， 满足的点P在三棱柱内， 故同时满足和的点P在这两个三棱柱的公共部分(如图)， 即三棱锥内，其中， 故其体积是． 故答案为： 2．如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于1，点，，分别是的中点． (1)计算：； (2)求证：； (3)求异面直线和所成角的余弦值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）设，，，则可得，，即可求出； （2）用表示，根据数量积的运算律及定义求出，即可得证； （3）利用向量计算可得，，即可求出，进而可求出异面直线与所成角的余弦值. 【详解】（1）设，，， 则，． ，， 则； （2）因为 所以 . 所以，即. （3），， ， ，， ， 由于异面直线所成角的范围是， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2 空间向量基本定理 题型一：空间向量基底概念及辨析 1．思维辨析（对的写正确，错的写错误） （1）也可以作为基向量．( ) （2）空间的任意一个向量都可用三个给定向量表示．( ) （3）如果向量，与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有与共线．( ) （4）任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．( ) 2．在三棱柱中，可以作为空间向量一组基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．已知为空间的一个基底，且，，，能否以作为空间的一组基底？ 4．（多选）设且是空间的一个基底，则下列向量组中，可以作为空间一个基底的向量组有（    ） A． B． C． D． 5．若构成空间的一个基底，则下列向量可作为基底的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 题型二：用空间基底表示向量 1．如图，空间四边形OABC中，，，，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平行六面体中，M为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，点在棱上，且满足，若，，，则（    ） A． B． C． D． 题型三：空间向量基本定理求参问题 1．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，若点F是侧面CD1的中心，且则m，n的值分别为(　　) A．，－ B．－，－ C．－， D．， 2．是空间的一个基底，向量，是空间的另一个基底，向量，则 . 3．如图，已知平行六面体，设是底面的中心，N是侧面的对角线上的点，且．若，求的值． 4．已知三棱锥，点P为平面ABC上的一点，且（m，n∈R）则m，n的值可能为（    ） A． B． C． D． 5．已知空间四边形中，向量，且，则 ． 题型一：空间基底法解决长度问题 1．已知平行六面体，底面是正方形，，， ，，，设，，． (1)用、、表示，； (2)求的长度． 2．如图，空间四边形中，，，，点分别在上，且，． (1)以为一组基底表示向量； (2)求的长度. 3．如图，在平行六面体中，两两夹角为60°，长度分别为2，3，1，点P在线段BC上，且，记. （1）试用表示； （2）求模. 题型二：空间基底法证垂直问题 1．在正方体中，是上底面的中心，则与的位置关系是(　　) A．重合 B．垂直 C．平行 D．无法确定 2．已知在空间四边形中，，，求证：． 3．已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，求证: 这个四面体相对的棱两两垂直. 已知：如图，四面体，分别为棱的中点，且求证 . 题型三：空间基底法解决夹角问题 1．已知平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，. 求异面直线与夹角的余弦值. 2．如图，已知三棱锥中，，和都是边长为2的正三角形，点E，F分别是AB，CD的中点． (1)记用表示； (2)求异面直线AF和CE所成角的余弦值． 3．如图，在棱长为1的正四面体中，，分别是边，的中点，点在上，且，设，，． (1)试用向量，，表示向量； (2)求． 1．在棱长为1的正方体中，P为正方体内一动点(包括表面)，若，且，则点P所有可能的位置所构成的几何体的体积是 ． 2．如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于1，点，，分别是的中点． (1)计算：； (2)求证：； (3)求异面直线和所成角的余弦值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$