1.2空间向量基本定理（教学课件）数学人教A版2019选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何 1.2 空间向量基本定理 ·选择性必修第一册· 1 2 3 学习目标 了解空间向量基本定理及其意义，培养数学抽象的核心素养。 掌握空间向量的正交分解，培养数学抽象的核心素养。 掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法，提升逻辑推理的核心素养。 能根据问题背景恰当选择基底表示相关向量，能运用空间向量基本定理解决一些立体几何问题，并在此过程中，感悟联系的观点和类比的方法，体会转化与化归、数形结合等数学思想。 4 01 情景导入 1.2 空间向量基本定理 引入新知 复兴哥非常热爱天文学，通过他自制的天文望远镜发现了银河系中一个新的星系，并新星系给他反馈了一段位置代码： 新星系位置 现在复兴哥需要破解这串位置代码，以便进一步研究该星系. 复兴哥将该信星系命名为：复兴星. 思考： 复兴哥将如何破解复兴星的位置代码？ 02 新课探究 1.2 空间向量基本定理 新课探究 由平面向量基本定理可知： 平面内的任意一个向量 a 都可以用两个不共线的向量e1，e2来表示. 回顾 新课探究 那么任意一个空间向量量能否用任意三个不共面的向量来表示吗？ a b c 三个向量不共面 思考 新课探究 对于任意三个不共面的向量能否表示空间中任意向量，我们先从空间中三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况开始讨论. p i j k P Q O α 探究1 设 i，j，k是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O． 对于任意一个空间向量p ＝， 设为在 i，j所确定的平面上的投影向量， 则 又与k共线，由共线定理有zk ， 即zk 新课探究 p i j k P Q O α xi yj zk 我们称 xi，yj，zk 分别为向量 p 在 i，j，k 上的分向量． 如果 i，j，k是空间三个两两垂直的向量，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组 （z），使得 p ＝zk 对于任意三个不共面的向量能否表示空间中任意向量，我们先从空间中三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况开始讨论. 探究1 又， i，j共面，由平面向量基本定理可知： 因此zk 结论 新课探究 在空间中，如果用任意三个不共面的向量a，b，c代替两两垂直的向量i，j，k，你能得出类似的结论吗？ a b c p 思考 新课探究 a b c p O P c C A B Q a b yb xa zc 在空间中，如果用任意三个不共面的向量a，b，c代替两两垂直的向量i，j，k，用不共面向量a，b，c表示任一空间向量. 探究2 作 向量i，j所确定的平面上取一点Q，使得 由共线定理有z ， 由平面向量基本定理有 ， 对任意三个不共面的向量a，b，c，对任意一个空间向量 p， 存在唯一的有序实数组 （z），使得 p ＝. 新课探究 平面向量基本定理 如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2． 空间向量基本定理 请类比平面向量基本定理，写出空间向量基本定理。 如果三个向量 a，b，c 不共面， 那么对任意一个空间向量 p， 存在唯一的有序实数组 (x，y，z)， 使得 p＝xa＋yb＋zc． 新课探究 新课探究 由向量共线定理、平面向量基本定理及空间向量基本定理的一致性和连贯性，我们对比共线定理、平面向量基本定理和空间向量基本定理共同完成下表. 向量共线定理 平面向量基本定理 空间向量基本定理 表述形式 基向量个数 基向量要求 对于实数(对、组) 定理 分类 1 2 3 牛刀小试 解析 牛刀小试 解析 牛刀小试 解析 牛刀小试 解析 牛刀小试 解析 03 应用新知 1.2 空间向量基本定理 应用新知 解析 应用新知 反思感悟 用基底表示向量时： (1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律； (2)若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求. 应用新知 变式训练： 解析 应用新知 解析 变式训练： 应用新知 证明 应用新知 证明 应用新知 应用新知 证明 解析 应用新知 04 重要题型 1.2 空间向量基本定理 重要题型专练 例题 题型一 空间向量基底的概念辨析 重要题型专练 解析 题型一 空间向量基底的概念辨析 重要题型专练 解析 题型一 空间向量基底的概念辨析 重要题型专练 方法总结 小结：基底判断的基本思路及方法 (1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底； 重要题型专练 例题 题型二 利用空间向量解决立体几何问题 重要题型专练 题型二 利用空间向量解决立体几何问题 解析 重要题型专练 题型二 利用空间向量解决立体几何问题 解析 重要题型专练 题型二 利用空间向量解决立体几何问题 解析 重要题型专练 解析 题型二 利用空间向量解决立体几何问题 重要题型专练 题型二 利用空间向量解决立体几何问题 解析 重要题型专练 方法总结 小结：基向量法解决长度、垂直及夹角问题的步骤 05 真题感知 1.2 空间向量基本定理 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 06 课堂笔记 1.2 空间向量基本定理 课堂笔记 课堂笔记 07 小结与作业布置 1.2 空间向量基本定理 课堂小结 作业布置 巩固作业：教科书第15页习题第4、5、6、7、8题。  作业答案 解析 作业答案 解析 作业答案 证明 作业答案 证明 作业答案 证明 作业答案 解析 作业答案 证明 本课结束 感谢您的聆听 ·选择性必修第一册· 如果三个向量，，不共面，那么所有空间向量组成的集合就是．这个集合可看作由向量，，生成的，我们把叫做空间的一个基底(base)，，，都叫做基向量(base vectors)．空间任意三个不共面的向量都 可以构成空间的一个基底． 特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示．由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量，均可以分解为三个向量，，，使． 像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 练1：在长方体ABCD­A1B1C1D1中，若＝3i，＝2j， ＝5k，则＝(　 　) A．i＋j＋k B． i＋j＋k C．3i＋2j＋5k D．3i＋2j－5k 在长方体ABCD­A1B1C1D1中，有， 所以==， 答案选C． 练2：（多选）设，，是空间的一个基底，则下列说法不正确的是（     ） A．则，，两两共面，但，，不可能共面 B．若，，则 C．对空间任一向量，总存在有序实数组，使 D．，，不一定能构成空间的一个基底 对于A，显然，，两两共面，但，，不可能共面，否则不能构成空间的一个基底，故A正确； 对于B，由空间向量基底的定义可知，当，时，所以与所成角不一定为，故B错误； 对于C，根据空间向量基本定理得到总存在有序实数组，使，故C正确； 对于D，假设向量，，共面，则，化简得，因为，，不共面，所以，显然该方程组无解，所以，，不共面，一定能构成空间的一个基底，故D错误． 练3：（多选）若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 由已知，，不共面，则，，不共面，A选项正确； 设，即方程无解，所以不共面，B选项正确； 设，即，解得： ， 即，所以，，共面，C选项错误； 设，显然三个向量不共面，D选项正确； 练4：若是空间的一个基底，且向量，不能构成空间的一个基底，则实数 ． 由不能构成空间的一个基底，则存在，使得， 即， 所以，解得. 故答案为：. 练5：（多选）如图，在四面体中，点在棱上，且满足，点，分别是线段，的中点，则用向量，，表示向量中正确的为（     ） A． B． C． D． 连接，因为点，分别是线段，的中点，所以，化简可得，故B错误； 所以，故A正确； ，故C错误，D正确； 例1：如图1.2-2，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且，，用向量，，表示． 分析：，，是三个不共面的向量，它们构成空间的一个 基底，可以用基底表示出来． ． 1.在平行六面体中，设，，， 分别是的中点. (1)用向量表示；(2)若，求实数x，y，z的值. （1）在平行六面体中， ， 由分别是的中点， 得. （2） 而，且不共面， 所以. 1.在平行六面体中，设，，， 分别是的中点. (1)用向量表示；(2)若，求实数x，y，z的值. 例2：如图1.2-3，在平行六面体中，，，，，，，，分别为，的中点． 求证： ． 分析：要证，只需证明．由已知，可构成空间的一个基底．把和分别用基底表示，然后计算即可． 设，，这三个向量不共面， 构成空间的一个基底，我们用它们表示，，则 ， 例2：如图1.2-3，在平行六面体中，，，，，，，，分别为，的中点． 求证： ． 所以 所以． 例3: 如图1.2-4，正方体的棱长为1，分别为，，的中点． （1）求证：； （2）求与所成角的余弦值． 分析：（1）要证明，只需证明与共线．设 ，则构成空间的一个单位 正交基底，把和分别用基向量表示，作相应的运算证 明它们共线即可． （2）要求与所成角的余弦值，只需求所成角的余弦值即可． 例3: 如图1.2-4，正方体的棱长为1，分别为，，的中点． （1）求证：； （2）求与所成角的余弦值． 设， 则构成空间的一个单位正交基底． 所以，． 所以．所以． 例3: 如图1.2-4，正方体的棱长为1，分别为，，的中点． （1）求证：； （2）求与所成角的余弦值． 因为，， 所以 所以与所成角的余弦值为． 1． 设，且是空间的一个基底，给出下 列向量组：①，②，③，④． 其中可以作为空间一个基底的向量组有（    ）. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 如图所示，令，，， 则，，，， 由于四点不共面，可知向量也不共面， 同理四点不共面，可知向量不共面， 又四点不共面，可知向量也不共面， 而四点共面，所以向量共面， 又三个不共面的向量可作为空间向量的一组基底， 故有3个向量组可以作为空间的一个基底. 故选：C. (2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向 量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．②假设， 运用空间向量基本定理，建立的方程组，若有解，则共面，不能作 为基底；若无解，则不共面，能作为基底． 2.如图，已知平行六面体中，底面是 边长为的正方形，侧棱长为，．  (1)求的长； (2)证明：平面； (3)求直线与AC所成角的余弦值． （1）由空间向量的运算法则，可得， 所以 ， 所以，即的长为. （2）由向量的运算法则，可得， ，则 ， 所以，所以. 因为底面是边长为的正方形， 所以， 因为平面， 所以平面. （3）因为， 所以， ， 且 ， 所以， 所以直线与所成角的余弦值为. (1) 设出基向量． (2) 用基向量表示出直线的方向向量． (3) 用求长度，用，用求夹角． (4) 转化为线段长度，两直线垂直及夹角问题． 1.（24-25高二上·吉林长春·阶段练习） 下列可使非零向量构成空间的一组基底的条件是（    ） A．两两垂直 B． C． D． 对于A，因为非零向量两两垂直，所以非零向量不共面，可构成空间的一组基底，故A正确； 对于B，，则共线，又空间中任意两个向量是共面的，所以与共面，故B错误； 对于C，由共面定理可知非零向量共面，故C错误； 对于D，即，故由共面定理可知非零向量共面，故D错误. 2．（24-25高二上·山西·阶段练习） 已知{}为空间的一组基底，对下列向量也能作为空间的一组基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 对于A： ，不能构成基底，故A错误； 对于C：，不能构成基底，故C错误； 对于D：，不能构成基底，故D错误； 对于B：令，可得， 因为{}为空间的一组基底，所以不存在使得等式成立，故B正确 3．（24-25高二上·河北邢台·期中）（多选）给出下列命题，其中正确的有（    ） A．若非零空间向量，，满足，，则有 B．若三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，必定共面 C．若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线 D．已知是空间向量的一个基底，则也是空间向量的一个基底 易知正方体中，，，但，不平行于，故A错误； 三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则它们必共面，B正确； ，与任何一个向量都不能构成一个基底，即，与任何一个向量均共面，则，必共线，C正确； 若，，共面，则，可知，，共面，与为基底矛盾，故可以构成空间向量的一个基底，D正确， 4．（24-25高二上·河北保定·期末）在三棱柱中，，，，BC的中点为，则（     ） A． B． C． D． 易知 . 故选：B 5．（24-25高二上·重庆·阶段练习） 已知是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，用基底表示向量 . 设， 依题意，，而空间的基底， 则，解得， 所以． 1. 如果空间中的三个向量 ，那么对空间中的 向量，存在 有序实数组，使得 . 表达式一般称为向量的 或 . 2．基与基向量 如果三个向量 ，那么空间的每一个向量都可由向量线性表示．我们把称为空间的一组 ，叫作 ．向量都叫做 ． 3．空间向量的正交分解及其坐标表示 （1）单位正交基底: 如果空间的一个基底中的三个基向量 ，且长度都为 ，那么这个基底叫作单位正交基底，常用 表示. （2）正交分解: 把一个空间向量分解为 的向量，叫作把空间向量进行正交分解. 4．如图，在空间平移到，连接对应顶点．设，是的中点，是的中点，用基底表示向量，． ． ． 5．如图，在长方体中，是与的交点．若，，求的长． 设，，，则 ，的长为． ∵四边形为菱形，．又，设． 又．设，，，则， 又， ， 6. 如图，平行六面体的底面是菱形，且， ，求证：平面． ，．又， ，．又， 平面． 6. 如图，平行六面体的底面是菱形，且， ，求证：平面． 7． 如图，在棱长为1的正方体中，分别为，的中点， 点在上，且．(1)求证：； (2)求与所成角的余弦值． （1）设，则 ， ． ， ，． 7． 如图，在棱长为1的正方体中，分别为，的中点， 点在上，且．(1)求证：； (2)求与所成角的余弦值． (2) 由(1)知．． 又，， ．与所成角的余弦值为． 8．已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，求证：这个四面体相对的棱两两垂直． 如图，设，，， 则，，． 由，得 ． 展开得，所以．又因为，， 所以．同理可证，． $$