专题15 探究与表达规律-2025年小升初数学无忧衔接（苏科版）

专题15.探究与表达规律 预习目标……………………………………………………………………………………………………………..1 新知速通…………………………………………………………………………………………………………….2 题型探究……………………………………………………………………………………………………………..2 题型1、 数列的规律 2 题型2、数（图）表的规律 4 题型3、算式的规律 6 题型4、图形的规律（一次类） 8 题型5、图形的规律（二次类） 10 题型6、图形的规律（指数类） 11 题型7、循环规律类问题 13 基础通关 16 拓展提优 23 1. 通过具体的问题情境，经历在实际问题中探索规律的过程； 2. 能归纳具体问题中蕴含的规律，用代数式表示， 并通过计算验证； 3. 在解决问题过程中体验类比、转化等数学思想，培优良好的思维品质。 1.规律探索型问题解题技巧 1）抓住条件中的变与不变：找数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量.所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律. 所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键.而这些变量通常按照一定的顺序给出，揭示的规律，常常包含着事物的序列号. 2）化繁为简，形转化为数：有些题目看上去很大、图形很复杂，实际上，关键性的内容并不多.对题目做一番认真地分析，去粗取精，取伪存真，把其中主要的、关键的内容抽出来，题目的难度就会大幅度降低，问题也就容易解决了. 3）要进行计算尝试：找规律，当然是找数学规律.而数学规律，多数是函数的解析式.函数的解析式里常常包含着数学运算.因此，找规律，在很大程度上是在找能够反映已知量的数学运算式子.所以，从运算入手，尝试着做一些计算，也是解答找规律题的好途径. 4）寻找事物的循环节：有些题目包含着事物的循环规律，找到事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解. 2、规律探索型问题常见类型 1）数式规律：通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法，考查了学生的分析、归纳、抽象、概括能力.一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。 2）图形规律：根据一组相关图形的变化，从中总结图形变化所反映的规律.解决这类图形规律问题的方法有两种，一种是数图形，将图形转化成数字规律，再用数字规律的解决问题，一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律。 3）数表规律：解决本题的方法一般是先看行（或列）的规律，再以列（或行）为单位用数列找规律方法找规律.有时也需要看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差等.有时还需要先局部看，再整体找规律。 题型1、 数列的规律 【解题技巧】数列的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号之间的关系。 速记口诀‌：‌一验差值、二联序号、三拆因式、四建函数‌。 验证规律完整性‌：至少验证3项是否符合推导公式，避免片面规律。 例1．（2025·云南昆明·校考模拟预测）观察下列按一定规律排列的数：，1，9，1，，1，18，1，…，则第15个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，1，9，1，，1，81，1，…， ∴偶数位置上的数都是1，奇数位置上的数分别是，9，，81，…， ∴第k个奇数为，∴第15个数是第8个奇数，为．故选C． 例2．（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）观察下列式子的规律：、、、、…，则第个式子为 ． 【答案】 【详解】解：、、、、…， 系数依次是，字母的指数依次是， ∴第个式子为，故答案为： ． 变式1．（2024·湖北孝感·模拟预测）观察下面两行数： 1，5，11，19，29，…； 1，3，6，10，15，…． 取每行数的第8个数，计算这两个数的和是（    ） A．147 B．126 C．107 D．92 【答案】C 【详解】解：设第一行第个数为，第二行第个数为， 观察第二行可知第个数为：， ∴第二行可知第个数为：， ∵第一行的第个数为第2行第个数的2倍减1，即， ∴第一行的第8个数为：， ∵，∴取每行数的第8个数，计算这两个数的和是，故选：C． 变式2．（24-25七年级上·北京·期中）填空： （1）按一定规律排列的一列数依次为：，按此规律排列下去，这列数中第个数是 ，第个数（为正整数）是 ． （2）按一定规律排列的一列数依次为：，按此规律排列下去，这列数中第个数是 ，第个数（为正整数）是 ． 【答案】 28 【详解】解：（1）观察可知：奇数位置的符号为负，偶数位置的符号为正，且：， ∴第个数是，第个数（为正整数）是；故答案为：，； （2）观察可知，奇数位置的符号为正，偶数位置的符号为负，且：， ∴第个数是； 第个数（为正整数）是；故答案为：28，． 变式3．（2025·四川成都·一模）1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，…，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2025个数中，奇数的个数为 ． 【答案】 【详解】解：这一列数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，… 可以发现每3个数为一组，每一组前2个数为奇数，第3个数为偶数． 由于，即前2025个数共有组，∴奇数有个．故答案为：． 题型2、数（图）表的规律 【解题技巧】 数（图）表的规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号之间的关系。 口诀速记‌：‌图形数一数，增减看清楚；表格分行列，验证第一步！ 例1．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）“杨辉三角”是中国古代数学重要的成就之一，最早出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中．如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数字之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．若在“杨辉三角”中从第2行左边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：，，，，，，，，则的值是（   ） A．1222 B．1223 C．1224 D．1225 【答案】C 【详解】解：由图可得，第偶数项对应的数是一些连续的自然数，从2开始， 第奇数项对应的数是一些连续的整数相加，从1开始， 故选：C． 变式1．（24-25七年级上·广东广州·期中）将正整数1，2，3，4，5，6，…按如表数阵排列，用数对表示该数阵中从上到下、从左到右第m行第n个数字，如表示14，则2024用数对表示为 ． 1 2 3 4 9 8 7 6 5 10 11 12 13 14 15 16 25 24 23 22 21 20 19 18 17 …… 【答案】 【详解】解：观察可知从上到下，每一列的数是从1开始的连续的奇数，其中奇数行的数字按照从左到右按照从大到小的顺序排列，偶数行从左到右按照从小到大排列， ∵，，且，∴2024在第45行， ∵45为奇数，∴第45行左边起第一个数为2025，第二个数为2024， ∴2024用数对表示为，故答案为：． 变式2．（2025·山东泰安·校考二模）数学家莱布尼茨在研究中发现了下面的“单位分数三角形”，根据前五行的规律，可以知道第六行第三个数是_________． 第一行                   第二行                   第三行                    第四行                    第五行                    【答案】 【详解】解：根据题目中给出数的特点，第n行第1个数表示为，第n行第2个数表示为， ∴第6行第1个数为，第6行第2个数为 ， ∴第六行第三个数表示的是．故答案为：． 变式3．（24-25·浙江杭州·七年级校考期中）已知：在数轴上有两个点A 、B，A点表示有理数－4，B点表示有理数6，点P在原点左侧，表示有理数x，且点P到A、B两点的距离和是16，观察下面每个图形中的四个数都是按相同的规律填写的，根据此规律确定y的值是________．     【答案】50 【详解】解：∵点P到A、B两点的距离和是16，且点P在原点左侧， ∴点P在点A左侧，∴(-4-x)+(6-x)=16，解得：x=-7， 观察图形中的四个数，左上角的数是右上角的数的绝对值少1，左下角的数比左上角的数多2，从第2个图形开始，右下角的数是左上角的数与左下角的数的积再加2， ∴m===6，n=m+2=8，∴y=mn+2=48+2=50，故答案为：50． 题型3、算式的规律 【解题技巧】‌口诀速记‌：‌符号增减看指数，分项拆解再重组；递推关系抓前项，验证三步防错误！ 算式的规律：用含有字母的算式总结规律，注意此代数式与序号之间的关系。 例1．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）观察下列几个算式：；；；，……，结合你观察到的规律判断：的计算结果的末位数字为 ． 【答案】 【详解】解：根据题意可知：， ，， ，，，，，， 的乘方运算，其末位数字分别为，，，，每个为一组，依次循环， ，的末位数字为，的末位数字为， 即的计算结果的末位数字为，故答案为：． 变式1．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）观察下列等式： ； ； ； …… 根据上述规律，请判断下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：；；；…… 观察上述等式，可得规律为， ∴，故选：A． 变式2．（24-25七年级上·黑龙江·阶段练习）“数形结合”是一种重要的数学思维，观察下面的图形和算式： 请用上面得到的规律计算： ． 【答案】100 【详解】解：，，， ，， 故．故答案为：． 变式3．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）观察下列各式： ；；；；… 回答下面的问题：(1)猜想______； (2)利用你得到的（1）中的结论，计算的值； 【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）解：，， ，，， 由上述规律可得：，故答案为：； （2）解：根据（1）中的规律可得： ，故答案为：． 题型4、图形的规律（一次类） 【解题技巧】图形的规律（一次型）特点‌：每步增加相同数量的元素；观察前项（前3-4项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论。 口诀速记‌：‌图形拆解是根基，固定递变看差异（若图形拆解不易，也可以观察图形数量的变化规律）；三项验证防陷阱！ 例1．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）美术课上，老师请同学们用黑色棋子设计有规律的图案，小华这组出色地完成了这个设计，摆出的图案不仅具有艺术美感，还存在数学规律，如图，观察他们的设计，按此规律，则第⑥个图案需要棋子的个数是（   ） A．28 B．29 C．30 D．31 【答案】B 【详解】解：根据分析可得：（个）所以，第6个图形中棋子的个数为29个，故选：B． 变式1．（24-25七年级上·山西阳泉·期中）如图是一组有规律的图案，第1个图案中有4个基础图形，第2个图案中有7个基础图形，第12个图案中的基础图形个数为（　　）    A．35 B．36 C．37 D．38 【答案】C 【详解】解：第1个图案中有个基础图形，第2个图案中有个基础图形， 第3个图案中有个基础图形，第4个图案中有个基础图形，……， 以此类推，可知第n个图案中有个基础图形， ∴第12个图案中的基础图形个数为，故选：C． 变式2．（24-25七年级上·江苏·期中）用小棒按照如下方式摆图形摆第10个图形需要 根小棒． 【答案】71 【详解】解：摆第1个图形需要8根小棒，摆第2个图形需要根小棒， 摆第3个图形需要根小棒，……，以此类推可知，摆第n个图形需要根小棒， ∴摆第10个图形需要根小棒，故答案为；71． 变式3．（24-25七年级上·江苏·期中）如图，用五角星按一定的规律摆成下列图形，依照此规律，第n个图形中五角星的个数是 个 【答案】 【详解】解：第个图形有五角星：（个）；第个图形有五角星：（个）； 第个图形有五角星：（个）；第个图形有五角星：（个）；； 第个图形有五角星：（个）； 题型5、图形的规律（二次类） 【解题技巧】1）递变累加型‌‌特点‌：增量本身成等差（二阶等差）。公式‌：总数 = an² + bn + c。 2）分区域累加型‌‌特点‌：图形由多个独立部分构成。‌步骤‌：拆解区域→各部分分别列式→求和。 例1．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，图①中有5个小圆点，图②中有8个小圆点，图③中有13个小圆点，…根据这个规律，图⑨中小圆点有 个． 【答案】 【详解】解：图①中有个小圆点，图②中有个小圆点，图③中有个小圆点， ……，以此类推，可知图n中小圆点有个，∴图⑨中小圆点有，故答案为：． 变式1．（2024七年级上·河南郑州·专题练习）把3，6，10，15，…这些数叫做三角形数，这是因为用这些数目的点可以排成正三角形，如图所示，则第6个三角形数是 ． 【答案】28 【详解】解：由图可知：第1个图有个点，第2个图有个点，第3个图有个点，第4个图有个点，…..；∴第n个图有个点， ∴第6个三角形数是；故答案为28． 变式2．（24-25七年级上·海南·期末）如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆…按此规律排列下去，第9个图形中圆的个数是 个．第n个图形中圆的个数是 个． 【答案】 92 【详解】解：第个图形中一共有个圆，第个图形中一共有个圆， 第个图形中一共有个圆，第个图形中一共有个圆； 可得第个图形中圆的个数是；∴时，一共有个圆； 故答案分别为：；． 题型6、图形的规律（指数类） 【解题技巧】口诀‌：‌几何倍增看比值，首项定位是根基；补形转化破复杂，两级验算防陷阱！ 图形规律：观察前项（前3-4项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论。 例1．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）观察下列图形．将边长为1的正方形纸片按图1所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为，第2次对折后得到的图形面积为，第次对折后得到的图形面积为．    (1)继续观察图形填空：设，计算___________，并在上面某个图中将表示的区域涂成阴影； (2)请根据上面图形计算：___________（直接写出结果） (3)观察图形并探索（　　）中各式的规律：试写出第个等式___________，并说明第个等式成立． 【答案】(1) (2) (3)，详见解析 【详解】（1）解：画图如下，，故答案为：；    （2）解：由图知，      第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为 ； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，…； 第2025次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分； 所有阴影部分的面积之和为 ， 最后空白部分的面积是 ，∴，故答案为：； （3）解：由图知，，，， ，，∴第个等式，故答案为：． 变式1．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）探索下列式子的规律：，，，…，请计算： ． 【答案】 【详解】解：∵，，， ∴可推导一般性规律为：， ∴，，，…… ，，将等式左右同时相加得，， ∴， 解得，，故答案为：． 变式2．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）有许多非常复杂的几何图形可以由简单的数学规则创造出来．比如谢尔宾斯基三角形，它的构造方法是：以一个等边三角形为初始图形，每次将等边三角形分割成4个边长为原来一半的小三角形，并去掉其中间的小三角形，将这个过程反复进行下去，就可以得到无限细节的谢尔宾斯基三角形，如下图所示，按此规律，第n个图形中剩余的三角形（黑色三角形）的个数为 ． 【答案】 【详解】解：第1个图中三角形的个数为； 第2个图中三角形的个数为；第3个图中三角形的个数为； 可以发现，第几个图形中三角形的个数就是3的几次方， 按照这个规律，第个图形中共有三角形的个数为．故答案为：． 题型7、循环规律类问题 【解题技巧】有些题目包含着事物的循环规律，找到事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解。 固定周期重复‌：数字、图形或坐标序列每间隔‌固定项数重复出现。 口诀速记‌：‌周期长度看重复，余数定位是核心；起始项序要验证，两级循环需分层！ 例1．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为1）上，A，B，C三点将圆三等分，将点A与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点B与数轴上表示2的点重合，点C与数轴上表示3的点重合，点A与数轴上表示4的点重合，…，若当圆停止运动时点B正好落到数轴上，则点B对应的数轴上的数可能为（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2020 【答案】A 【详解】解：由题意得：圆沿着数轴正方向滚动一次按A，B，C的顺序 排列： ，所以此时点A正好落在数轴上；，所以此时点B正好落在数轴上； ，所以此时点C正好落在数轴上；，所以此时点A正好落在数轴上． 观察四个选项，选项A符合题意，故选：A． 变式1．（23-24七年级·江苏·假期作业）计算：，…，归纳各计算结果中的个位数字的规律，猜测的个位数是 ． 【答案】4 【详解】解：∵，…， ∴计算结果中的个位数字按4、0、8、2依次循环． ∵余1，∴的个位数字与的个位数字相同．故答案为：4． 变式2．（2023·江苏扬州·统考二模）现有一列数，，，，，，，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于左右两个数的和，如果，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：任意相邻的三个数，都有中间的数等于左右两个数的和，， ，，，，，. 每6个数为一循环，且6个数的和为0， .故选：B. 变式3．（24-25七年级上·陕西渭南·期中）在如图所示的运算程序中，若开始输入的值是2，第1次输出的结果是，第2次输出的结果是1，依次继续下去，第1000次输出的结果是（   ） A．4 B． C．1 D． 【答案】A 【详解】解：第1次输出的结果为，第2次输出的结果为1，第3次输出的结果为， 第4次输出的结果为，第5次输出的结果为，第6次输出的结果为，……， 由此可知，从第2次输出开始，每三次输出为一个循环，输出的结果依次为， ∵，∴第1000次输出的结果为4，故选：A． 1．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）把有理数a代入得到，称为第一次操作，再将作为a的值代入得到，称为第二次操作，…，若，经过第2025次操作后得到的是（   ） A．8 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】解：由题知，因为，则第1次操作后得到的是：； 第2次操作后得到的是：；第3次操作后得到的是：； 第4次操作后得到的是：；第5次操作后得到的是：； 第6次操作后得到的是：；…， 由此可见，从第4次操作所得结果开始，后面的第偶数次操作的结果为，第奇数次操作的结果为， 所以第2025次操作的结果为.故选：D. 2．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）定义一种关于整数n的“X”运算： （1）当n是奇数时，结果为； （2）当n是偶数时，结果是（其中k是使是奇数的正整数），并且运算重复进行． 例如：取，第一次经X运算是29，第二次经X运算是92，第三次经X运算是23，第四次经X运算是74，…；若，则第2025次X运算结果是（　） A．1 B．2 C．7 D．8 【答案】D 【详解】解：，第一次经X运算是，第二次经X运算是，第三次经X运算是，第四次经X运算是，第五次经X运算是，…； 由此可得，从第二次开始，出现，循环，偶数次是，奇数次是， ∴第2025次X运算结果是8，故选：D． 3.（24-25·广东七年级月考）有一组数：，它们是按一定规律排列的，这一组数的第n个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：一组数为∴这组数据第1个数为：， 第2个数为：，第3个数为：… ∴第n个数为：故选：C 4．（2024·陕西西安·模拟预测）苯是一种有机化合物，是组成结构最简单的芳香烃，可以合成一系列衍生物．如图是某小组用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第1个图形需要9根小木棒，第2个图形需要16根小木棒，第3个图形需要23根小木棒……按此规律，第n个图形需要（    ）根小木棒． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】：∵第个图形中木棒的根数为：，第个图形中木棒的根数为：， 第个图形中木棒的根数为：，…，∴第n图形中木棒的根数为：，故选：D． 5．（24-25·江西鹰潭·七年级统考期中）某树苗原始高度为，下图是该树苗的高度与生长的月数的有关数据示意图，假设以后一段时间内，该树苗高度的变化与月数保持此关系，用式子表示生长n个月时，它的高度（单位：cm）应为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵第1个月的高度为：，第2个月的高度为：， 第3个月的高度为：，…，∴第n个月的高度为：，故选D． 6．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）如图，用棋子摆出一组图形，如果按照这种规律摆下去，那么第100个图形里棋子的个数为（    ） A．302 B．303 C．304 D．305 【答案】A 【详解】解：第一个图形有5个棋子， 第二个图形有8个棋子， 第三个图形有11个棋子， 那么第个图形一共有个棋子 当时，个 故选：A． 7．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）平移小平行四边形◇可以得到美丽的“中国结”图案，下面四个图案是由小平行四边形◇平移后得到的类似“中国结”的图案，按图中规律，在第n个图案中，小平行四边形◇的个数是 个． 【答案】 【详解】解：第一个图形有个小菱形；第二个图形有个小菱形； 第三个图形有个小菱形；…第n个图形有个小菱形；故答案为：． 8．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）小明制定了一种密码规则，这种规则在数字和字母之间建立了一种对应关系，其中数字为密文，字母为明文，如图，例如20 38 42 63翻译成明文为“”则密码32 37 67 14 59翻译成明文为 ． 【答案】 【详解】解：由题意得，密码32 37 67 14 59翻译成明文为，故答案为：． 9．（2024·山东临沂·二模）把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组： 第组：，； 第组：，，，； 第组：，，，，，； 第组：，，，，，，，； 现用表示第组从左往右数第个数，则表示的数是 ． 【答案】 【详解】依题意得：第组中奇数的个数有个， ∴第组最后一个奇数为：， ∴当时，第组最后一个奇数为：， 当时，第组从左往右奇数依次是为：，，，，，， 则表示的数是，故答案为：． 10．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）下图是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律完成此题： 图形标号 第一个 第二个 第三个 第四个 涂有阴影的小正方形的个数 5 a 13 b (1)________，________； (2)第n个图形中涂有阴影的小正方形的个数为________个；（用含n的代数式来表示） (3)按照这种规律下去，求第400个图形中涂有阴影的小正方形的个数． 【答案】(1)9；17(2)(3)1601 【详解】（1）解：第2个图形涂有阴影的小正方形的个数为个，即， 第4个图形涂有阴影的小正方形的个数为7个，即故答案为：9，17； （2）观察图形规律，可知：第1个图形涂有阴影的小正方形的个数为个，， 第2个图形涂有阴影的小正方形的个数为个， 第3个图形涂有阴影的小正方形的个数为个，， 第4个图形涂有阴影的小正方形的个数为7个以此类推， 第n个图形涂有阴影的小正方形的个数为个，故答案为：； （3）解：将代入中得： 即第400个图形中涂有阴影的小正方形的个数为根． 11．（24-25·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）观察下面三行数： 0    1    4    9    16……① 0    3    8    15   24……②     3    11   23   39……③ (1)求①中的第11个数是______(2)用含有n的式子表示②中的第n个数是________ (3)在（1）、（2）条件下，计算③中的第21个数是多少？ 【答案】(1)100(2)(3)839 【详解】（1）第2个数是，第3个数是， 第4个数是，第5个数是，…，∴第n个数是； ∴第11个数是，故荅案为：100； （2）第2个数是，第3个数是，第4个数是， 第5个数是，…，∴第n个数是，故荅案为：； （3）∵③中的第2个数为，第3个数为， 第4个数为，第5个数为，…， ∴第n个数为①的第n个数加上②的第n个数再减1， ∴①第21个数为，②第21个数为， ∴③中的第21个数是． 12．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）观察下列各式： ； ； ； ；…． (1)根据规律计算的值为______；(2)计算的值． 【答案】(1)55 (2) 【详解】（1）解：∵；；；； ∴；故答案为：55； （2）解：由（1）得，， ∴ ． 13．（24-25七年级上·江西抚州·期中）下列图案是某大院窗格的一部分，其中“”代表窗纸上所贴的剪纸，求： (1)第1个图中所贴剪纸“”的个数为 个；第2个图中所贴剪纸“”的个数为 个；第3个图中所贴剪纸“”的个数为 个；(2)第n个图中所贴剪纸“”的个数为 个； (3)如果所贴剪纸“”的个数为2024个时，那么它是第几个图？ 【答案】(1)，，(2)(3)第674个图 【详解】（1）解：第1个图中所贴剪纸“”的个数为； 第2个图中所贴剪纸“”的个数为； 第3个图中所贴剪纸“”的个数为；故答案为： ，，； （2）由（1）得：第个图案所贴剪纸“”数为个； （3）令，则   ，因此是第个 1．（24-25·广东深圳·七年级统考期末）如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个图形，图形①面积是正方形纸片面积的，图形②面积是图形①面积的2倍的，图形③面积是图形②面积的2倍的，……，图形⑥面积是图形⑤面积的2倍的，图形⑦面积是图形⑥面积的2倍．计算的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意得：图形①面积是，图形②面积是，图形③面积是， 图形④面积是图形⑤面积是，图形⑥面积是， 图形⑦面积是．∴的面积等于①②③④⑤⑥的面积之和， ∴．故选：A 2．（24-25七年级上·重庆·期中）将一些五角星按照如图所示的规律进行排列，按照这个规律，第7个图形中有（   ）五角星 A．31 B．43 C．57 D．61 【答案】B 【详解】解：由所给图形可知：第1个图形中五角星的个数为：； 第2个图形中五角星的个数为：；第3个图形中五角星的个数为：； 所以第n个图形中五角星的个数： 当时，（个）， 即第7个图形中五角星的个数为43个故选：B． 3．（2024·重庆·二模）下列图形都是由边长相等且面积为1的等边三角形按一定的规律组成，其中，第①个图形面积为1，第②个图形面积为4，第③个图形面积为9，…，则第⑩个图形中三角形的个数是（　　） A．81 B．100 C．99 D．101 【答案】B 【详解】解：第①个图有个三角形， 第②个图形有个三角形， 第③个图形有个三角形， … 第⑩个图形有个三角形．故选B． 4．（2024·江苏扬州·中考真题）1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数为（    ） A．676 B．674 C．1348 D．1350 【答案】D 【详解】这一列数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，… 可以发现每3个数为一组，每一组前2个数为奇数，第3个数为偶数． 由于，即前2024个数共有674组，且余2个数， ∴奇数有个．故选：D 5．（2024·辽宁锦州·二模）如图，下列各圆中三个扇形上标记的数字之间都有相同的规律，则根据此规律，可以得出图中b的值为(    ) A．143 B．140 C．123 D．120 【答案】A 【详解】解：，，，，， 第个圆中规律为：， 当时，，故选：A． 6．（2024·四川成都·中考真题）在综合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数中，任取两数之和大于的取法种数进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得；……．若，则的值为 ；若，则的值为 ． 【答案】 9 144 【详解】解：当时，只有一种取法，则； 当时，有和两种取法，则； 当时，有，，，四种取法，则； 故当时，有，，，，，六种取法，则； 当时，有，，，，，，，，九种取法，则； 依次类推，当n为偶数时，， 故当时，，故答案为：9，144． 7．（2024·黑龙江大庆·三模）如图的数字三角形被称为“杨辉三角”，图中两条平行线之间的一列数：，，，，，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…第个数记为，则 ． 【答案】 【详解】解：由题意得，，，， ，，第个数记为， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·山西大同·期末）如图，将形状大小完全相同的梅花按以下规律进行摆放，其中第1个图形中有5朵梅花，第2个图形中有8朵梅花，第3个图形中有13朵梅花，第4个图形中有20朵梅花……依此规律，第n个图形中含有的梅花朵数是 ．（用含n的代数式表示） 【答案】/ 【详解】解：∵第1个图形有朵梅花，第2个图形有朵梅花， 第3个图形有朵梅花，第4个图形有朵梅花， ∴第个图形有朵梅花，故答案为：． 9．（2024·山西晋城·三模）阅读下列材料，并完成相应的任务． 公元1202年，意大利数学家斐波那契在所著的《算法之术》中提出了一个饶有趣味的问题：假定一对刚出生的小兔子（雌雄各一只）一个月后就能长成大兔子，再过一个月便能生下一对小兔子，每产一对兔子必为一雄一雌，并且此后每个月都生一对小兔子，一年内没有发生死亡．问一对刚出生的兔子（雌雄各一只），一年内能繁殖多少对兔子？ 第一个月是一对未成熟的兔子，第二个月是一对成熟的兔子，第三个月是两对兔子，第四个月是三对兔子，第五个月是五对兔子，如此不断繁殖……于是便得到数列①：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……即斐波那契数列． 若将该数列每个数平方后得到数列②：1，1，4，9，25，64，169，441，1156，3025，7921，…… 若将数列②中相邻的两个数相加：，，，，……得到的数仍旧是斐波那契数列中的数． 任务：(1)根据材料中的数列①和数列②，我们得到：；；，类比前三个算式，请写出下一个算式_________． (2)如图，表示算式“”，请你用同样的画法画出表示（1）中你写出算式的图形并标记相应的数字． 1 1 3 2 【答案】(1)(2)见解析 【详解】（1）解：根据材料中的数列①和数列②，我们得到： ；；， 类比前三个算式，； （2）， 下图表示（1）中算式： 1 1 3 8 2 5 10．（2025·安徽宣城·一模）如图，将形状，大小完全相同的“●”和线段按照一定的规律摆成下列图形，第1个图案中“●”的个数为3，第2个图案中“●”的个数为8，第3个图案中“●”的个数为15，…，以此类推． (1)第5个图案中“●”的个数是________．(2)请用含n的代数式表示第n个图案中“●”的个数． (3)请用含n的代数式表示第n个图案中最长的线段上“●”的个数． 【答案】(1)35(2)或个(3)个 【详解】（1）解：观察图形： 第1个图案中“●”的个数是个， 第2个图案中“●”的个数是个， 第3个图案中“●”的个数是个， 第4个图案中“●”的个数是个， ∴第5个图案中“●”的个数是个，故答案为：35； （2）解：，，，，…… 由上规律知，第n个图案中“●”的个数为或； （3）解：第1个图案中最长的线段上“●”的个数为2， 第2个图案中最长的线段上“●”的个数为3， 第3个图案中最长的线段上“●”的个数为4，…， ∴第n个图案中最长的线段上“●”的个数为． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15.探究与表达规律 预习目标……………………………………………………………………………………………………………..1 新知速通…………………………………………………………………………………………………………….2 题型探究……………………………………………………………………………………………………………..2 题型1、 数列的规律 2 题型2、数（图）表的规律 4 题型3、算式的规律 6 题型4、图形的规律（一次类） 8 题型5、图形的规律（二次类） 10 题型6、图形的规律（指数类） 11 题型7、循环规律类问题 13 基础通关 16 拓展提优 23 1. 通过具体的问题情境，经历在实际问题中探索规律的过程； 2. 能归纳具体问题中蕴含的规律，用代数式表示， 并通过计算验证； 3. 在解决问题过程中体验类比、转化等数学思想，培优良好的思维品质。 1.规律探索型问题解题技巧 1）抓住条件中的变与不变：找数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量.所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律. 所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键.而这些变量通常按照一定的顺序给出，揭示的规律，常常包含着事物的序列号. 2）化繁为简，形转化为数：有些题目看上去很大、图形很复杂，实际上，关键性的内容并不多.对题目做一番认真地分析，去粗取精，取伪存真，把其中主要的、关键的内容抽出来，题目的难度就会大幅度降低，问题也就容易解决了. 3）要进行计算尝试：找规律，当然是找数学规律.而数学规律，多数是函数的解析式.函数的解析式里常常包含着数学运算.因此，找规律，在很大程度上是在找能够反映已知量的数学运算式子.所以，从运算入手，尝试着做一些计算，也是解答找规律题的好途径. 4）寻找事物的循环节：有些题目包含着事物的循环规律，找到事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解. 2、规律探索型问题常见类型 1）数式规律：通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法，考查了学生的分析、归纳、抽象、概括能力.一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。 2）图形规律：根据一组相关图形的变化，从中总结图形变化所反映的规律.解决这类图形规律问题的方法有两种，一种是数图形，将图形转化成数字规律，再用数字规律的解决问题，一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律。 3）数表规律：解决本题的方法一般是先看行（或列）的规律，再以列（或行）为单位用数列找规律方法找规律.有时也需要看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差等.有时还需要先局部看，再整体找规律。 题型1、 数列的规律 【解题技巧】数列的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号之间的关系。 速记口诀‌：‌一验差值、二联序号、三拆因式、四建函数‌。 验证规律完整性‌：至少验证3项是否符合推导公式，避免片面规律。 例1．（2025·云南昆明·校考模拟预测）观察下列按一定规律排列的数：，1，9，1，，1，18，1，…，则第15个数为（    ） A． B． C． D． 例2．（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）观察下列式子的规律：、、、、…，则第个式子为 ． 变式1．（2024·湖北孝感·模拟预测）观察下面两行数： 1，5，11，19，29，…； 1，3，6，10，15，…． 取每行数的第8个数，计算这两个数的和是（    ） A．147 B．126 C．107 D．92 变式2．（24-25七年级上·北京·期中）填空： （1）按一定规律排列的一列数依次为：，按此规律排列下去，这列数中第个数是 ，第个数（为正整数）是 ． （2）按一定规律排列的一列数依次为：，按此规律排列下去，这列数中第个数是 ，第个数（为正整数）是 ． 变式3．（2025·四川成都·一模）1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，…，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2025个数中，奇数的个数为 ． 题型2、数（图）表的规律 【解题技巧】 数（图）表的规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号之间的关系。 口诀速记‌：‌图形数一数，增减看清楚；表格分行列，验证第一步！ 例1．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）“杨辉三角”是中国古代数学重要的成就之一，最早出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中．如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数字之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．若在“杨辉三角”中从第2行左边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：，，，，，，，，则的值是（   ） A．1222 B．1223 C．1224 D．1225 变式1．（24-25七年级上·广东广州·期中）将正整数1，2，3，4，5，6，…按如表数阵排列，用数对表示该数阵中从上到下、从左到右第m行第n个数字，如表示14，则2024用数对表示为 ． 1 2 3 4 9 8 7 6 5 10 11 12 13 14 15 16 25 24 23 22 21 20 19 18 17 …… 变式2．（2025·山东泰安·校考二模）数学家莱布尼茨在研究中发现了下面的“单位分数三角形”，根据前五行的规律，可以知道第六行第三个数是_________． 第一行                   第二行                   第三行                    第四行                    第五行                    变式3．（24-25·浙江杭州·七年级校考期中）已知：在数轴上有两个点A 、B，A点表示有理数－4，B点表示有理数6，点P在原点左侧，表示有理数x，且点P到A、B两点的距离和是16，观察下面每个图形中的四个数都是按相同的规律填写的，根据此规律确定y的值是________．     题型3、算式的规律 【解题技巧】‌口诀速记‌：‌符号增减看指数，分项拆解再重组；递推关系抓前项，验证三步防错误！ 算式的规律：用含有字母的算式总结规律，注意此代数式与序号之间的关系。 例1．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）观察下列几个算式：；；；，……，结合你观察到的规律判断：的计算结果的末位数字为 ． 变式1．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）观察下列等式： ； ； ； …… 根据上述规律，请判断下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级上·黑龙江·阶段练习）“数形结合”是一种重要的数学思维，观察下面的图形和算式： 请用上面得到的规律计算： ． 变式3．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）观察下列各式： ；；；；… 回答下面的问题：(1)猜想______； (2)利用你得到的（1）中的结论，计算的值； 题型4、图形的规律（一次类） 【解题技巧】图形的规律（一次型）特点‌：每步增加相同数量的元素；观察前项（前3-4项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论。 口诀速记‌：‌图形拆解是根基，固定递变看差异（若图形拆解不易，也可以观察图形数量的变化规律）；三项验证防陷阱！ 例1．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）美术课上，老师请同学们用黑色棋子设计有规律的图案，小华这组出色地完成了这个设计，摆出的图案不仅具有艺术美感，还存在数学规律，如图，观察他们的设计，按此规律，则第⑥个图案需要棋子的个数是（   ） A．28 B．29 C．30 D．31 变式1．（24-25七年级上·山西阳泉·期中）如图是一组有规律的图案，第1个图案中有4个基础图形，第2个图案中有7个基础图形，第12个图案中的基础图形个数为（　　）    A．35 B．36 C．37 D．38 变式2．（24-25七年级上·江苏·期中）用小棒按照如下方式摆图形摆第10个图形需要 根小棒． 变式3．（24-25七年级上·江苏·期中）如图，用五角星按一定的规律摆成下列图形，依照此规律，第n个图形中五角星的个数是 个 题型5、图形的规律（二次类） 【解题技巧】1）递变累加型‌‌特点‌：增量本身成等差（二阶等差）。公式‌：总数 = an² + bn + c。 2）分区域累加型‌‌特点‌：图形由多个独立部分构成。‌步骤‌：拆解区域→各部分分别列式→求和。 例1．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，图①中有5个小圆点，图②中有8个小圆点，图③中有13个小圆点，…根据这个规律，图⑨中小圆点有 个． 变式1．（2024七年级上·河南郑州·专题练习）把3，6，10，15，…这些数叫做三角形数，这是因为用这些数目的点可以排成正三角形，如图所示，则第6个三角形数是 ． 变式2．（24-25七年级上·海南·期末）如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆…按此规律排列下去，第9个图形中圆的个数是 个．第n个图形中圆的个数是 个． 题型6、图形的规律（指数类） 【解题技巧】口诀‌：‌几何倍增看比值，首项定位是根基；补形转化破复杂，两级验算防陷阱！ 图形规律：观察前项（前3-4项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论。 例1．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）观察下列图形．将边长为1的正方形纸片按图1所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为，第2次对折后得到的图形面积为，第次对折后得到的图形面积为．    (1)继续观察图形填空：设，计算___________，并在上面某个图中将表示的区域涂成阴影； (2)请根据上面图形计算：___________（直接写出结果） (3)观察图形并探索（　　）中各式的规律：试写出第个等式___________，并说明第个等式成立． 变式1．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）探索下列式子的规律：，，，…，请计算： ． 变式2．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）有许多非常复杂的几何图形可以由简单的数学规则创造出来．比如谢尔宾斯基三角形，它的构造方法是：以一个等边三角形为初始图形，每次将等边三角形分割成4个边长为原来一半的小三角形，并去掉其中间的小三角形，将这个过程反复进行下去，就可以得到无限细节的谢尔宾斯基三角形，如下图所示，按此规律，第n个图形中剩余的三角形（黑色三角形）的个数为 ． 题型7、循环规律类问题 【解题技巧】有些题目包含着事物的循环规律，找到事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解。 固定周期重复‌：数字、图形或坐标序列每间隔‌固定项数重复出现。 口诀速记‌：‌周期长度看重复，余数定位是核心；起始项序要验证，两级循环需分层！ 例1．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为1）上，A，B，C三点将圆三等分，将点A与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点B与数轴上表示2的点重合，点C与数轴上表示3的点重合，点A与数轴上表示4的点重合，…，若当圆停止运动时点B正好落到数轴上，则点B对应的数轴上的数可能为（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2020 变式1．（23-24七年级·江苏·假期作业）计算：，…，归纳各计算结果中的个位数字的规律，猜测的个位数是 ． 变式2．（2023·江苏扬州·统考二模）现有一列数，，，，，，，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于左右两个数的和，如果，，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式3．（24-25七年级上·陕西渭南·期中）在如图所示的运算程序中，若开始输入的值是2，第1次输出的结果是，第2次输出的结果是1，依次继续下去，第1000次输出的结果是（   ） A．4 B． C．1 D． 1．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）把有理数a代入得到，称为第一次操作，再将作为a的值代入得到，称为第二次操作，…，若，经过第2025次操作后得到的是（   ） A．8 B．2 C． D． 2．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）定义一种关于整数n的“X”运算： （1）当n是奇数时，结果为； （2）当n是偶数时，结果是（其中k是使是奇数的正整数），并且运算重复进行． 例如：取，第一次经X运算是29，第二次经X运算是92，第三次经X运算是23，第四次经X运算是74，…；若，则第2025次X运算结果是（　） A．1 B．2 C．7 D．8 3.（24-25·广东七年级月考）有一组数：，它们是按一定规律排列的，这一组数的第n个数是（ ） A． B． C． D． 4．（2024·陕西西安·模拟预测）苯是一种有机化合物，是组成结构最简单的芳香烃，可以合成一系列衍生物．如图是某小组用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第1个图形需要9根小木棒，第2个图形需要16根小木棒，第3个图形需要23根小木棒……按此规律，第n个图形需要（    ）根小木棒． A． B． C． D． 5．（24-25·江西鹰潭·七年级统考期中）某树苗原始高度为，下图是该树苗的高度与生长的月数的有关数据示意图，假设以后一段时间内，该树苗高度的变化与月数保持此关系，用式子表示生长n个月时，它的高度（单位：cm）应为（　　） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）如图，用棋子摆出一组图形，如果按照这种规律摆下去，那么第100个图形里棋子的个数为（    ） A．302 B．303 C．304 D．305 7．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）平移小平行四边形◇可以得到美丽的“中国结”图案，下面四个图案是由小平行四边形◇平移后得到的类似“中国结”的图案，按图中规律，在第n个图案中，小平行四边形◇的个数是 个． 8．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）小明制定了一种密码规则，这种规则在数字和字母之间建立了一种对应关系，其中数字为密文，字母为明文，如图，例如20 38 42 63翻译成明文为“”则密码32 37 67 14 59翻译成明文为 ． 9．（2024·山东临沂·二模）把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组： 第组：，； 第组：，，，； 第组：，，，，，； 第组：，，，，，，，； 现用表示第组从左往右数第个数，则表示的数是 ． 10．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）下图是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律完成此题： 图形标号 第一个 第二个 第三个 第四个 涂有阴影的小正方形的个数 5 a 13 b (1)________，________； (2)第n个图形中涂有阴影的小正方形的个数为________个；（用含n的代数式来表示） (3)按照这种规律下去，求第400个图形中涂有阴影的小正方形的个数． 11．（24-25·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）观察下面三行数： 0    1    4    9    16……① 0    3    8    15   24……②     3    11   23   39……③ (1)求①中的第11个数是______(2)用含有n的式子表示②中的第n个数是________ (3)在（1）、（2）条件下，计算③中的第21个数是多少？ 12．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）观察下列各式： ； ； ； ；…． (1)根据规律计算的值为______；(2)计算的值． 13．（24-25七年级上·江西抚州·期中）下列图案是某大院窗格的一部分，其中“”代表窗纸上所贴的剪纸，求： (1)第1个图中所贴剪纸“”的个数为 个；第2个图中所贴剪纸“”的个数为 个；第3个图中所贴剪纸“”的个数为 个；(2)第n个图中所贴剪纸“”的个数为 个； (3)如果所贴剪纸“”的个数为2024个时，那么它是第几个图？ 1．（24-25·广东深圳·七年级统考期末）如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个图形，图形①面积是正方形纸片面积的，图形②面积是图形①面积的2倍的，图形③面积是图形②面积的2倍的，……，图形⑥面积是图形⑤面积的2倍的，图形⑦面积是图形⑥面积的2倍．计算的值为（  ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·重庆·期中）将一些五角星按照如图所示的规律进行排列，按照这个规律，第7个图形中有（   ）五角星 A．31 B．43 C．57 D．61 3．（2024·重庆·二模）下列图形都是由边长相等且面积为1的等边三角形按一定的规律组成，其中，第①个图形面积为1，第②个图形面积为4，第③个图形面积为9，…，则第⑩个图形中三角形的个数是（　　） A．81 B．100 C．99 D．101 4．（2024·江苏扬州·中考真题）1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数为（    ） A．676 B．674 C．1348 D．1350 5．（2024·辽宁锦州·二模）如图，下列各圆中三个扇形上标记的数字之间都有相同的规律，则根据此规律，可以得出图中b的值为(    ) A．143 B．140 C．123 D．120 6．（2024·四川成都·中考真题）在综合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数中，任取两数之和大于的取法种数进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得；……．若，则的值为 ；若，则的值为 ． 7．（2024·黑龙江大庆·三模）如图的数字三角形被称为“杨辉三角”，图中两条平行线之间的一列数：，，，，，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…第个数记为，则 ． 8．（24-25七年级上·山西大同·期末）如图，将形状大小完全相同的梅花按以下规律进行摆放，其中第1个图形中有5朵梅花，第2个图形中有8朵梅花，第3个图形中有13朵梅花，第4个图形中有20朵梅花……依此规律，第n个图形中含有的梅花朵数是 ．（用含n的代数式表示） 9．（2024·山西晋城·三模）阅读下列材料，并完成相应的任务． 公元1202年，意大利数学家斐波那契在所著的《算法之术》中提出了一个饶有趣味的问题：假定一对刚出生的小兔子（雌雄各一只）一个月后就能长成大兔子，再过一个月便能生下一对小兔子，每产一对兔子必为一雄一雌，并且此后每个月都生一对小兔子，一年内没有发生死亡．问一对刚出生的兔子（雌雄各一只），一年内能繁殖多少对兔子？ 第一个月是一对未成熟的兔子，第二个月是一对成熟的兔子，第三个月是两对兔子，第四个月是三对兔子，第五个月是五对兔子，如此不断繁殖……于是便得到数列①：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……即斐波那契数列． 若将该数列每个数平方后得到数列②：1，1，4，9，25，64，169，441，1156，3025，7921，…… 若将数列②中相邻的两个数相加：，，，，……得到的数仍旧是斐波那契数列中的数． 任务：(1)根据材料中的数列①和数列②，我们得到：；；，类比前三个算式，请写出下一个算式_________． (2)如图，表示算式“”，请你用同样的画法画出表示（1）中你写出算式的图形并标记相应的数字． 1 1 3 2 10．（2025·安徽宣城·一模）如图，将形状，大小完全相同的“●”和线段按照一定的规律摆成下列图形，第1个图案中“●”的个数为3，第2个图案中“●”的个数为8，第3个图案中“●”的个数为15，…，以此类推． (1)第5个图案中“●”的个数是________．(2)请用含n的代数式表示第n个图案中“●”的个数． (3)请用含n的代数式表示第n个图案中最长的线段上“●”的个数． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$