专题13 绝对值的几何意义-2025年小升初数学无忧衔接（苏科版）

专题13.绝对值的几何意义 预习目标……………………………………………………………………………………………………………..1 新知速通……………………………………………………………………………………………………………..2 题型探究……………………………………………………………………………………………………………..2 题型1、的最小值模型 2 题型2、的最小值和最大值模型 5 题型3、的最小值模型 7 题型4、系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 11 题型5、型或型最值模型 14 题型6、绝对值最值模型的实际应用 16 题型7、绝对值相关运算与最值问题 19 题型8、绝对值最值中的新定义问题 21 基础通关 24 拓展提优 32 最值问题一直都是七年级上册数学中代数部分的最难点之一，但也是高分的必须突破点，而绝对值中的最值模型是初中学生第一次接触最值类问题，该类最值模型主要依据绝对值的几何意义或代数意义，考查分类讨论和数形结合的数学思想。需要牢记绝对值中的最值情况规律，解题时能达到事半功倍的效果。本专题就绝对值中的八类最值模型进行梳理及对应试题分析，方便大家掌握。 ①绝对值具有非负性，即； ②绝对值的几何意义：表示数轴上的有理数a所对应的点到原点的距离； 表示数轴上的有理数x所对应的点到有理数a所对应的点的距离。 题型1、的最小值模型 【解题技巧】1.求的最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值。 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 （在点a的左侧） 的值大于 当时 （在点a、b之间） 的值为定值，即为 当 （在点b的左侧） 的值大于 结论：在时，取得最小值为。 另解：也可用绝对值的代数意义（即分类讨论思想）完成绝对值的最值问题。 例1．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）我们知道，式子的几何意义是数轴上表示数的点与表示数3的点之间的距离，则式子的最小值为 ． 【答案】7 【详解】解：由题意，得：表示数轴上表示数的点与表示数2的点之间的距离与表示的点之间的距离之和，∴当时，的值最小为：；故答案为：7． 例2．（2024·广东·七年级统考期末）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数-2的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数3的点的距离．当取得最小值时，的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【详解】解：如图， 当时，，， ； 当时，，，； 当时，，，； 综上所述，当时，取得最小值， 所以当取得最小值时，的取值范围是．故选：B． 例3．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）规定．如：．下列结论中：①若，则；②若，则；③当时，有最大值5；④式子的最小值是5，以上结论正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①若，则， ∴∴故①错误； ②若，则∴ ∴故②错误； ③∵，又，∴即：当时，有最大值5故③正确； 由绝对值的几何意义可知：表示数轴上对应的点到、对应的点之间的距离之和，故当时，有最小值，故④正确；选：B 例4．（24-25七年级上·江苏南通·期中）已知为互不相等的三个有理数，且，若式子的最小值为4，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：由绝对值的几何意义可知，表示的是数轴上表示数x的点到表示数a的点和到表示数b的点的距离的和， ∵，∴当时，有最小值，最小值为， ∵的最小值为4，∴，即，∴，故答案为：． 例5．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离． 发现问题：代数式的最小值是多少？ 探究问题：如图，点A、B、P分别表示的是、2、x，． ∵  的几何意义是线段与的长度之和， ∴  当点P在线段上时，； 当点P在点A的左侧或点B的右侧时，， ∴  的最小值是3． 解决问题：（1）表示数轴上x所对应的点与________所对应的点之间的距离； （2）的值是_________；（3）的最小值是_______； （4）当a为_______时，代数式的最小值是4． 【答案】（1）；（2）8；（3）6；（4）或7 【详解】（1）解：∵， ∴表示数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离，故答案为：； （2）解：由题意知，，故答案为：8； （3）解：∵， ∴的最小值为在数轴上表示数为的点，到数轴上表示数为和的点之间的距离， ∴的最小值为 ，故答案为：6； （4）解：∵， ∴的最小值为在数轴上表示数为的点，到数轴上表示数为和3的点之间的距离， ∴，解得，或，故答案为：或7． 题型2、的最小值和最大值模型 【解题技巧】求的最大值或最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的取最大值或最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 （在点a的左侧） 的值为定值，即为— 当时 （在点a、b之间） 当 （在点b的左侧） 的值为定值，即为 结论：在时，取得最小值为；在时，取得最大值。 例 1．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）当式子取得最大值时，x的最大整数值是 ． 【答案】 【详解】解：由绝对值的几何意义可知，表示的是数轴上表示x的数与表示3的数的距离，表示的是数轴上表示x的数与表示的数的距离， 当x在左边（包含）时，的值即为到3的距离，即为， 当x在3的右边（包含3）时，的值即为， 当x在和3之间时，的值一定小于8， 综上所述，当时，取得最大值，此时x的最大值为，故答案为：． 例2．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为　　　．(2)若，则　　　． (3)最大值为　　　 ，最小值为　　　． 【答案】(1)(2)1或(3)5， 【详解】（1）解：数轴上表示x和的两点之间的距离表示为．故答案为： （2）解： 或 或 故答案为： 1或 （3）解：∵式子可看作是数轴上表示x的点到3、两点的距离之差， ∴当时，有最大值； 当时，有最小值； 故答案为：5，． 例3．（2024·广西·七年级专题练习）我们知道，的几何意义是数轴上表示数a的点与原点的距离，一般地，点A，B在数轴上分别表示数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a-b|，请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题：（1）数轴上的数x与1所对应的点的距离为____，数x与-1所对应的点的距离为____； （2）求的最大值； （3）直接写出的最大值为______． 【答案】（1）|x-1|，|x+1|；（2）2；（3）20 【详解】（1）由题意得到：数轴上的数x与1所对应的点的距离为， 数x与-1所对应的点的距离为，故答案为：， ； （2）表示x到1之间的距离，表示x到-1之间的距离， ①当x≤-1时，=1-x，=-1-x，∴=（-1-x）-（1-x）=-2； ②当-1≤x≤1时，=1-x，=x+1，∴=（x+1）-（1-x）=2x≤2； ③当x≥1时，=x-1，=x+1，∴=（x+1）-（x-1）=2，∴的最大值为2 （3）由（2）知：的最大值为2，由此可得： 的最大值为4， 的最大值是6，的最大值是8， ∴的最大值是2+4+6+8=20 题型3、的最小值模型 【解题技巧】 ①当两个绝对值相加：若已知，的最小值为，且数的点在数，的点的中间； ②当三个绝对值相加：若已知，的最小值为，且此时=； ③当有（奇数）个绝对值相加： 且，则取中间数，即时，取得最小值； ④当有（偶数）个绝对值相加： ，且， 则取中间段，即当时，取得最小值为：。 总结：的最小值的分析： 找到上述式子中的‬零点，按从小到大‬排序（不妨假设）‬，借助数轴容易得到： ‬当n‬奇数‬时‬‬，则x取‬中间数‬时‬取得‬最小值‬； ‬当n‬‬偶数时‬，‬则‬x取‬中间‬段‬时‬取得‬最小值‬。 规律可总结为：“奇中点，偶中段” 例1．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：如图所示，点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为．请结合以上知识和数轴解决下列问题：    （1）若数轴上两点C、D表示的数为x、， ①C、D之间的距离可用含x的式子表示为 ；②若C、D两点之间的距离为2，那么x值为 ； （2）的最小值为 ；此时若x是整数，则x的值是 ； （3）当 时，的值最小，最小值是 ． 【答案】（1）①；或；（2）3；，0，1，2；（3）1，9 【详解】解：（1）①C、D之间的距离可用含x的式子表示为； ②依题意有，或，解得或，故x值为或1； 故答案为：①；②或1； （2）根据数轴上两点间的距离的定义可知：表示x与的距离与x与2的距离的和， 所以当x的取值为时，的值最小，最小值为3； 此时整数x的值是，2，1，2；故答案为：3；，0，1，2； （3）设x表示的数为A，B表示的数为，D表示的数为6， 根据数轴上两点间的距离的定义可知，当点A在点C时，的值最小， 当时，原式，故答案为：1，9． 例2．（24-25七年级上·福建漳州·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示1和4的两点之间的距离是_______；数轴上表示和2两点之间的距离是_______；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如数轴上表示数与数5两点之间的距离等于． (2)若数轴上的点表示的数，求的最小值； (3)若数轴上的点表示的数，当的最小值为10（为常数），求的值． 【答案】(1)，(2)6(3)或 【详解】（1）解：数轴上表示4和1的两点之间的距离是， 数轴上表示和2两点之间的距离是； （2）解：当数轴上表示数的点位于表示数与2两点之间时（包括这两点），的值为6； 当数轴上表示数的点在表示数2的点的右边时，的值大于6； 当数轴上表示数的点在表示数的点的左边时，的值大于6； 所以的最小值为6； （3）解：当时，的最小值为6，不合题意，舍去； 当时，要使的最小值为10，结合数轴可得； 当时，要使的最小值为10，结合数轴可得；综上所述或． 例3．（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于． (1)表示和2两点之间的距离是_______；(2)如果表示数a和的两点之间的距离是2，那么_______； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得，这些点表示的数的和是______． (4)当_____时，的值最小，最小值是______． (5)若x表示一个有理数，求的最小值并求出这时x的值． 【答案】(1)5(2)或0(3)12(4)1，8(5)，最小值为 【详解】（1）解：，∴表示和2两点之间的距离是．故答案为： （2）解：∵表示数a和的两点之间的距离是2，∴， ∴或，解得：或．故答案为：或0 （3）解：当时，原方程为，解得：（舍去）； 当时，原方程为，成立； 当时，原方程为，解得：（舍去）； 故满足的整数为：，，0，1，2，3，4，5， 这些数的和为．故答案为：12 （4）解：当时，原式； 当时，原式，这时； 当时，原式； 当时，原式； 故当时，的值最小，最小值是8，故答案为：1，8 （5）解：由（4）可得，当时，的值最小， ∴． ∴表示的有理数在时，有最小值． 例4．（24-25七年级上·江西·阶段练习）课本再现 课堂上，通过探究我们发现：在数轴上，若点A，B分别表示数a，b，则点A，B之间的距离等于． （1）的意义可理解为数轴上表示数x和_________这两点的距离． 继续探究：结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （2）数轴上表示x的点位于与2之间，则__________； （3）若数x满足，则__________；（4），则x的取值范围是__________； 结论：的最小值是__________，此时x的范围是__________． 拓展应用：（5）当__________时，的值最小，最小值是__________； （6）当x满足什么条件时，（其中且n为正整数）取得最小值？ 【答案】（1）；（2）7；（3）或3；（4）或；结论：7，；（5）1，7；（6）若n为偶数，当时，取得最小值；若n为奇数，当时，取得最小值． 【详解】解：（1），即、两点的距离等于，两数之差的绝对值， 的意义可理解为数轴上有理数和-5这两点的距离．故答案为：-5． （2）数轴上表示的点位于与2之间，， ，，．故答案为：7． （3）若，分三种情况：①当时， ，； ②当，，此时方程无解； ③当时，，．故答案为：或3． （4）表示数轴上-5与2的点的距离和大于7的数，或． 表示数轴上有理数和-5这两点的距离，表示数轴上有理数和2这两点的距离， 表示数轴上有理数的到-5及与2的距离之和， 当时，最小值为7．故答案为：或；结论：7，． （5）表示数轴上表示的点到-5，-2，1三点的距离之和， 当时，有最小值，最小值为7．故答案为：1，7． （6）当为奇数时，中间的点为，则当时，有最小值； 当为偶数时，中间点为和，则当或时，有最小值． 题型4、系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 【解题技巧】①绝对值系数不为“1”： 例如：｜x-1｜+2｜x-2｜+3｜x-3｜+4｜x-4｜+5｜x-5｜ 解题步骤：第1步：将x平铺展开；第2步：找到每个式子的零点，分别为：1、2、2、3、3、3、4、4、4、4、5、5、5、5、5、5共15个零点；第3步：根据“奇中点，偶中段”，在第八个数时，即x=4时，有最小值，带入x=4，最小值为15。 ②x系数不为“1”： 例如：求｜2x-4｜+｜5x+5｜的最小值。 解题步骤：第1步：x的系数不为1，所以首先‬第一步‬想办法把x的系数化为1，采用提取公因数的方法（或乘法分配律的逆用）；即：｜2x-4｜+｜5x+5｜=｜2（x-2）｜+｜5（x+1）｜=2｜x-2｜+5｜x+1｜。 第2步：进入①中的三个步骤即可。这时，x的系数已经变成了1，我们就可以展开‬，然后‬利用“奇中点‬，偶中段”来求了‬。解‬得‬当x=-1时‬取得‬最小值，最小值‬为‬6。 另解：上述两类问题也可以采用绝对值的代数意义（根据零点分区讨论）求解。 例1．（2024·江苏·七年级专题练习）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 例如，式子的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与-1所对应的点之间的距离． 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）若，则 ；的最小值是 ． （2）若，则的值为 ；若，则的值为 ． （3）是否存在使得取最小值，若存在，直接写出这个最小值及此时的取值情况；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）5或-1；5；（2）或4；或；（3）的最小值为17，此时 【详解】解：（1）∵，∴，∴，∴或； 设A点表示的数为-2，B点表示的数为3，P点表示的数为x， ∴表示的意义即为数轴上一点P到A的距离和到B的距离之和， 如图所示，当P在AB之间（包含A、B）时，； 当P在A点左侧时； 同理当P在B点右侧时； ∴的最小值为5，故答案为：5或-1；5； （2）设A点表示的数为-2，B点表示的数为3，P点表示的数为x， 由（1）可知当当P在AB之间（包含A、B）时，，当P在A点左侧时，当P在B点右侧时 ∵，∴当P在A点左侧时即，∴； 同理当P在B点右侧时即，∴；∴当时，或4； 当时，∵，∴，解得符合题意； 当时，∵，∴，解得符合题意； 当时∵，∴，解得不符合题意； 当时∵，∴，解得不符合题意； ∴综上所述，当，或；故答案为：或4；或； （3）当时，∴， 当时，∴， 当时∴， 当时∴， ∴此时∴综上所述，的最小值为17，此时． 例2．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：点，在数轴上分别对应的数为，，则，两点间的距离表示为． 根据以上知识解题：(1)若，则能取到的最小值是__________，最大值是__________． (2)的最小值为___．(3)已知，求的最大值和最小值． 【答案】(1)，3(2)(3)10， 【详解】（1）解：将化简为， 根据绝对值的几何意义可得，x到3的距离与x到的距离的和为4， ∵3到的距离为4，∴x位于3到，则能取到的最小值是，最大值是3； （2）解：可表示为x到的距离与x到的距离和， 则当时，最小值为2， ∵的占比为，的占比为，∴当越大时，越小． 则当时取得最大值，； （3）解：根据题意得，且， ∵，∴当，时，符合题意， 此时，的最小值为3，的最小值为9， ∴的最大值为：，的最小值为：． 例3．（2024七年级·江苏·培优）先阅读下面的材料，然后解答问题： 数轴上的个点表示的数分别是，且是数轴上一点，其表示的数为，对于代数式，由绝对值的几何意义可得：若为奇数，则时，的值最小；若为偶数，则时，的值最小． (1)求的最小值． (2)求的最小值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：一共123个数，当时，的值最小， 此时，； （2）解： 有2个，3个，5个，7个，9个，共个数， ，当取第13个数时，的值最小， 此时， ． 题型5、型或型最值模型 【解题技巧】类型1： 当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 类型2： 当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 例1．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）当 时，式子的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴当时，的最小值是， ∴当时，的最小值为，故答案为：，． 例2．（23-24七年级上·四川内江·期中）当 时，代数式有最大值为 ． 【答案】 1 3 【详解】解：，，， 当，即时，有最大值，最大值为3，故答案为：1，3． 例3．（2024·广东·七年级校考阶段练习）若a，b为有理数，下列判断正确的个数是（    ） （1）的最小值是2；（2）的最小值是0；（3）的最大值为5；（4）的最大值是2． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】∵，∴≥2，即的最小值是2，(1)正确； ∵， ，∴当即a=0时，，故最小值不是0； 当时，则ab=4，即，即，故最小值不是0；故（2）不正确； 的最小值为5，故（3）错误；的最大值是2，故（4）正确；．故选：B. 例4．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）当代数式取最小值时， ． 【答案】 【详解】解：∵，∴当时，有最小值， ∴，∴，∴，故答案为：． 题型6、绝对值最值模型的实际应用 【解题技巧】 1）‌理解绝对值的几何意义‌：绝对值表示一个数在数轴上与原点的距离。理解这一点对于解决绝对值最值问题至关重要。‌ 2）‌掌握绝对值的性质‌：绝对值具有非负性、对称性等性质。非负性意味着任何数的绝对值总是非负的；对称性表示正数与负数的绝对值相等‌。 3）‌灵活运用数形结合‌：将绝对值的几何意义与代数表达式结合，可以帮助直观地解决问题。 例1．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图1，在数轴上点表示的数为，点表示的数为1，点表示的数为3，则之间的距离表示为：之间的距离表示为：． 若点在数轴上表示的数为，则之间的距离表示为：之间的距离表示为：．    (1)如图1，①若，则的值__________；②若点在线段上，化简__________； ③由图可知，的最小值是__________． (2)请按照（1）问的方法思考：的最小值是__________． (3)如图2，在一条笔直的街道上有四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知四个小区各有2个，2个，3个，1个小朋友在同一所小学的同一班级上学，安全起见，这8个小朋友约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的小朋友们通过分析，发现在街道上的处汇合会使所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点的位置和所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值．    【答案】(1)①或；②3；③5；(2)5(3)见解析； 【详解】（1）解：①若点在点左侧，得， 若点在点右侧，得；故的值或． ②若点在线段上，得，，； ③由图1可知，       当时，的最小，原式，，故答案为：或；3；5； （2）的几何意义是表示数的点与，1，2三数对应的点的距离之和， 当数时，距离之和最小，最小值为，2对应两点间的距离， 的最小值为5；故答案为：5； （3）如图2，以其中一点为原点建立数轴，则点、、、四点分别表示，0，200，400，点表示的数为，则所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和表示为， 当满足时，该距离之和最小， ，，， 汇合地点的位置在之间时和所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小，最小值1400米． 例2．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）阅读下列材料并解决问题： 我们知道：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离，所以式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题：（1）若，则______；     （2）当x满足条件：_______时，式子有最小值，最小值是______； 应用：某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A、B、C、D，它们顺次有快递车16辆，8辆，4辆，12辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数． 【答案】（1）；（2），；（3）共有 5 种调配方案，辆． 【详解】解:（1）表示在数轴上x到和的距离相等，∴，故答案为： （2）∵线段上的点到线段的两端点的距离最小， ∴当时，式子有最小值，最小值是，故答案为：， 应用：根据题意，（辆），（辆），即共有40辆车，每个公司10辆， 共有 5 种调配方案，如下图所示： 由上可知，方案一的调出的车辆数为 辆． 方案二的调出的车辆数为 辆．方案三的调出的车辆数为 辆． 方案四的调出的车辆数为辆．方案五的调出的车辆数为 辆． ∴调出的最小车辆数为：辆． 例3．（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）【定义新知】我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数5 的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： （1）式子在数轴上的几何意义是 ，若，则x的值为 ； （2）当取最小值时，x可以取整数 ；（3）当x= 时，的值最小，最小值为 ； 【解决问题】（4）如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人．现因防疫需要，需要在该公路上建一个核酸检测实验室P，用于接收这3个小区的全员核酸样本．若核酸样本的运输和包装成本为每千米1 元/千份，那么实验室P建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？ 【答案】（1）数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离，或0；（2），，，0，1，2；（3），8；（4）实验室P建在点B处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是12元． 【详解】解：（1）由题意可知，式子在数轴上的几何意义是：数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离；表示数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离等于3，由数轴可知为：或0，故答案为：数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离，或0； （2）表示：数轴上表示有理数x的点到表示有理数的点的距离，与表示有理数x的点到表示有理数2的点的距离之和，所以x应该在表示有理数与2的点之两点间的线段上， 所以x可以取整数，，，0，1，2；故答案为，，，0，1，2； （3）表示数轴上x到、x到与x到2的距离之和，所以x应该在与2之间的线段上，且当时，x到、x到与x到2的距离之和最小， 最小值为到2的距离为8；故答案为：，8； （4）解：设市民广场O原点，建立数轴，实验室P所对应的数为x， A、B、C在数轴上分别表示，，1，3， 运输距离为：，其几何意义是数轴上表示有理数x的点分别与表示有理数的点、与表示有理数1的点和与表示有理数3的点之间的距离的和， 由（2）得，在之间才能取最小值， ∵A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人． ∴当时，取得最小值， 核酸样本的运输和包装成本为每千米1 元/千份，所以x在1时最小， 最小值为， ∴此时最低成本12元，实验室P建在点B，才能使总运输和包装成本最低，最低成本是12元． 题型7、绝对值相关运算与最值问题 例1．（24-25七年级上·广东汕头·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示6和2的两点之间的距离为＝　 　；表示和2两点之间的距离为＝　 　；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于，如果表示数a和的两点之间的距离是3，那么a＝　 　． (2)若数轴上表示数a的点位于与3之间(包括与3两点)，求的值； (3)当　 　时，的值最小，最小值为　 　． (4)当x，y满足时，的最大值为 　 　． 【答案】(1)4，3，2或(2)8(3)，8(4)11 【详解】（1）数轴上表示6和2的两点之间的距离为； 表示和2两点之间的距离为； ∵表示数a和的两点之间的距离是3，∴， ∴或，∴或，故答案为：4；3；2或； （2）表示数a到和3两点的距离之和， ∵表示数a的点位于与3之间，； （3）表示x到，，3三个点的距离之和， ∵当时，有最小值，且当时，有最小值， ∴当时，有最小值，最小值为，故答案为：，8； （4），∴， ∵，， ，∴当时有最大值，最大值为，故答案为：11． 例2．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知数轴上A、B两点表示的数分别为a，b，且a，b满足． （1）________，________，点A，点B之间的距离长为________；（直接写出来） （2）若点M以每秒3个单位的速度从点A出发向正方向运动，同时点N以每秒1个单位的速度从点B出发向正方向运动，经过多少秒，点M，点N之间的距离为2个单位？ （3）【问题背景】：已知可理解为数轴上表示数a、b的点之间的距离，可以理解为数轴上表示数a的点到表示数b，c的点的距离之和． 【解决问题】：①若点P在数轴上表示的数为x．则的最小值是________； 【问题拓展】：②若，则的最大值为________． 【答案】（1）；；；（2）4秒或6秒；（3）①；② 【详解】解：（1）∵，，∴， ∴，∴，∴，故答案为：；；； （2）设经过t秒，点M，点N之间的距离为2个单位，由题意得，， ∴，∴，∴或，解得或， ∴经过4秒或6秒，点M，点N之间的距离为2个单位； （3）①∵表示的是数轴上表示数x的点到表示数的点的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为，故答案为：； ②同理可得当时，有最小值，最小值为， ∵，，， ∴，，∴，， ∵，∴的最大值为7，故答案为：7． 题型8、绝对值最值中的新定义问题 例1．（24-25七年级上·北京·期中）已知一组整数，共有n个．从中任意选取两个整数，将这两个整数作差后取绝对值，记为第1次运算．接下来，再从这组整数中选取一个整数，将这个整数与第1次运算的结果作差后取绝对值，记为第2次运算．此后，每次从这组整数中选取的整数都与前次的运算结果作差后取绝对值（其中每个整数都要被选取，且只被选取一次），我们把第次运算的结果称为这组整数的一个“绝对d值”．(1)已知一组整数：5，6，7． ①若第1次运算选取的整数是5，6，则可以得到这组整数的一个“绝对d值”为 ； ②若第1次运算选取的整数是6，7，则可以得到这组整数的一个“绝对d值”为 ； (2)已知一组整数：，2，3，4，则这组整数的最大“绝对d值”为 ，最小“绝对d值”为 ； (3)已知一组三个互不相等的正整数：2，a，b．这组整数的最大“绝对d值”为10，求这组整数的最小“绝对d值”． 【答案】(1)①6，②4(2)4，0(3)6 【详解】（1）①根据题意得，∵第1次运算选取的整数是5，6， ∴，∴，∴这组整数的一个“绝对d值”为6； ②根据题意得，∵第1次运算选取的整数是6，7， ∴，∴，∴这组整数的一个“绝对d值”为4； （2）∵一组整数：，2，3，4，∴设选取的数为a，b，c ∴小于等于a，b中最大的一个，∴小于等于a，b，c中最大的一个， ∴“绝对d值”小于等于，2，3，4中最大的一个∴这组整数的最大“绝对d值”为4， ∵“绝对d值”大于等于0∴最小“绝对d值”为0； （3）设b为最大正整数， 当时， ， 解得（负数舍去），因此，得到最小“绝对d值”为， 当，且a为整数时，，则，即，则， 因此，得到最小“绝对d值”为．综上所述， 这组整数的最小“绝对d值”为6． 例2．（23-24七年级上·安徽滁州·阶段练习）对于有理数a，b，c，d，若，则称a和b关于n的“相对关系值”为d．例如：，则2和3关于1的“相对关系值”为3． （1）2和关于2的“相对关系值”为 ； （2）若m和n关于2的“相对关系值”为2，则的最大值为 ． 【答案】 7 6 【详解】解：（1）由题意得，．故答案为：7． （2）由题意得，．根据绝对值的几何意义：点到2的距离之和为2， 所以当所表示的数同为大于及等于2的时候，取最大值， 当，解得：，则，解得：或（舍去）的最大值为6．故答案为：6． 例3．（23-24七年级上·北京海淀·期中）设有理数a，b在数轴上所对应的点为A，B，记为，，将称为点A，B的对称指标，记为，即．对于定点A，若动点B在线段上，将的最大值称为线段关于点A的对称指标，记为． (1)点，，，在数轴上，①__________，__________． ②若，则__________． (2)点，，在数轴上，，，①当时，__________． ②当线段在数轴上运动时，直接写出的最小值及此时m的值． 【答案】(1)①0，2；②或(2)①4；②的最小值为2，此时或． 【详解】（1）①，故答案：0，2； ②∵，∴，即，∴，解得：或， ∴或，故答案为：或； （2）解：①∵，，，∴，解得：， 设B为上一点，记为，∴，∴， ∴当时，即时，有最大值4，∴， ②根据题意，得，当5位于线段的中点时，的值最小， 当时，，∴，∴； 当时，，，此时无法取最小值，故舍去； 当时，，∴，综上， 的最小值为2，此时或． 1．（23-24七年级上·广东汕头·期中）绝对值的几何意义：表示一个数在数轴上对应的点到原点的距离，表示x，y两数在数轴上对应两点之间的距离．则的最小值为(　  　)，的最大值为(　  　) A．1， B．1，5 C．5，5 D．1，1 【答案】C 【详解】解：∵表示表示x的点到表示3和的点之间的距离之和， ∴当表示x的点位于表示3的点和表示的点之间时，取得最小值，最小值为． ∵表示表示x的点到表示3和的点之间的距离之差， ∴当表示x的点位于表示3的点的左侧，或位于表示的点的右侧时，取得最大值，最大值为．故选：C 2．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知，求的最大值（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：当时，， ∵，∴，∵，∴，∴， ∵，∴，∴； 当时，， ∵，∴，∴， ∵，∴； 当时，， ∵，∴，∴； 当时，； ∵，即，∴，∴； 综上，的最大值，故选：B． 3．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）若为有理数，下列判断：①总是正数，②总是正数；③的最小值为9；④的最大值是1；其中错误的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①若，则，故①错误； ②，总是正数，故②正确； ③，，则的最小值为9，故③正确； ④，，则的最小值是1，故④错误； 错误的是①④，共2个故选：B． 4．（24-25七年级上·河北唐山·期中）设a是任意有理数，下列说法正确的是（    ） A．的值总是正的B．的值总是正的C．的值总是负的D．的值中，最大值是1 【答案】B 【详解】解：A. 的值总是非负的，不符合题意；B. 的值总是正的，符合题意； C. 的值总是非正的，不符合题意；D. 的值中，最小值是1，不符合题意；故选：B． 【点睛】本题考查了平方的非负性，解题关键是明确平方的非负性，准确进行判断解题． 5．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）若取最小值时，代数式的值是 ． 【答案】3 【详解】解：∵当取最小值时，∴，则． 故答案为：3． 6．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）规定：，，例如：，，下列结论中，①能使成立的的值为2或；②若，则；③若，则；④式子的最小值是4．正确的是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【详解】解：∵，∴或，解得：或，故①正确； ∵，，，∴，， ∴，故②正确； ∵，∴+=0，∴且，解得：，， ∴，故③不正确； ∵， ∴表示数轴上表示x的点到表示和表示的点的距离的和， ∵时，数轴上表示x的点到表示和表示的点的距离的和最小， ∴的最小值为，故④正确， 综上所述：正确的结论有①②④，故答案为：①②④． 7．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）若，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：由绝对值的几何意义得的最小值为3，的最小值为3，的最小值为6，∵， ∴，，，∴， ∴当时，，答案：． 8．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）如图，已知数轴上有A，B两个点，分别表示有理数－6，4．若x表示一个有理数． (1)数轴上点A到点B的距离为______；数轴上到点A、B的距离相等的点表示的有理数为______； (2)若，则______；(3)式子的最小值为______，此时x的取值范围是______； (4)式子有最大值么？若有，请直接写出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)6或2(3)8，(4) 【详解】（1）∵数轴上有两个点，分别表示有理数，∴数轴上点到点的距离为； ∴数轴上到点的距离相等的点的位置表示的有理数为；故答案为：； （2）根据题意， ；，解得：或故答案为：6或2 （3）∵表示数轴上x到3两点之间的距离，表示数轴上x到两点之间的距离， 由图可知，当或时，，当时， ∴式子的最小值为8，此时x的取值范围为；故答案为：8， （4）， 当式子的最小值为8时，有最大值； 此时的最大值为 9．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示和1两点之间的距离是______；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．(2)如果，那么______；(3)若，，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点，则A、B两点间的最大距离是__________． (4)若数轴上表示数的点位于与4之间，则____________ (5)当______时，的值最小，最小值是____________． 【答案】(1)3；(2)或；(3)14；(4)；(5)2，7． 【详解】（1）解：由数轴得：表示和两点之间的距离是：； ∴数轴上表示和1两点之间的距离是3；故答案： ； （2）解：∵，∴，∴或，∴或，故答案：或． （3）解：由，，得，，， 所以表示与的距离为，与的距离为，所以或，或， 当，时，则A、B两点间的最大距离是，故答案：． （4）解： 所以表示与的距离加上与的距离的和， 因为表示数的点位于与4之间，所以，故答案：． （5）解：， 所以表示与、、的距离之和， ①当时，  ； ②当时，  ； ③当时，   ④当时，； 综上所述：当时，的值最小，最小值为7．故答案：2，7． 10．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行变化应用： 应用一：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和6的两点之间的距离表示为__________；数轴上表示和的两点之间的距离表示为__________． (2)若表示一个有理数，则的最小值__________，满足条件的所有整数的和为__________． (3)请写出当__________时，有最小值为__________． (4)规律应用 工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件相应该放在工作__________处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是__________米． 【答案】(1)；(2)5，(3)，8(4)E，40 【详解】（1）解：数轴上表示和6的两点之间的距离表示为； 数轴上表示和的两点之间的距离表示为，故答案为：； （2）解：当时，取最小值，其最小值为：， 满足条件的整数x的和为故答案为：5，； （3）解：表示数轴上有理数x所对应的点到所对应的点的距离之和，∴当时，有最小值，最小值为8，故答案为：，8； （4）以E点为原点，2米为一个单位长度，A、B、C、D、E、F、G、H、I依次在数轴上排列， 则A点表示的数为，B点表示的数为，C点表示的数为，D点表示的数为，F点表示的数为2，G点表示的数为4，H点表示的数为6，I点表示数为8，设配件箱应该放在数轴上表示x的数的位置， 当有最小值时，工作台上的工作人员取配件所走的路程最短， ∴当时，有最小值40， ∴配件箱应该放在工作台E处，最短路程为40米，故答案为：E，40； 11．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）数学实验室： 阅读下面材料，回答问题：已知点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为．数轴上、两点的距离，如数轴上表示和的两点之间的距离是5，利用上述结论，回答以下问题：(1)数轴上表示2和6的两点之间的距离是____，数轴上表示1和的两点之间的距离是_____； (2)若表示数和的两点之间的距离是5，那么________； (3)若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为________； (4)若x表示一个有理数，且，则有理数的取值范围________； (5)若未知数x，y满足，求代数式的最小值和最大值． 解：对于代数式，数轴上，当在和之间时，表示的点到与的距离和最小，最小值为7，同理，对于，数轴上，当在和之间时，到和的距离和最小，最小值为4， 又∵，∴ x的取值范围是________；y的取值范围是________． ∴的最大值为________；的最小值为________． 【答案】(1)4，5(2)或(3)9(4)或(5)，，， 【详解】（1）解：由题意得，，故答案：，； （2）解：由题意得，或，解得：或；故答案：或； （3）解：数的点位于与之间，，，， ；故答案：； （4）解：由题意得 当时，， ∵，，，即：， 当时， ， 当时，， ∵，，，即：， 有理数x的取值范围是或；故答案：或； （5）解：对于代数式，数轴上，当在和之间时，表示的点到与的距离和最小，最小值为7，同理，对于，数轴上，当在和之间时，到和的距离和最小，最小值为4，又， 的取值范围是；y的取值范围是． 的最大值为；的最小值为． 故答案：，，，． 12．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）【阅读】：表示7与3差的绝对值，也可理解为7与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离：可以看作，表示7与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】：（1）如果，那么 ；（2）有最小值 ；（3）有最大值 ； 【应用】：（4）的最小值为 ； （5）的最大值为 ． 【答案】（1）0或；（2）1；（2）1；（4）；（5）1012． 【详解】（1）解：，∴或，解得或，故答案为：0或． （2）的意义即数轴上点x与1，2的距离和， 当时，距离和为；当时，距离和为；当时，距离和为； 故对于任何有理数，有最小值， 当时，即点x在1和2之间（包含1和2）时，最小值为1． （3）的意义即数轴上点x与1，2的距离差； 当时，；当时， ；当时， ； 故对于任何有理数，有最大值， 当时，即点x在2上或右边时，最大值为1． （4）表示数轴上点与1，2，……2024的距离和， 由（2）可知：当时，有最小值； 此时： =； （5）表示x到1的距离与x到2的距离的差、x到3距离与x到4距离的差 …x到2023距离与x到2024距离的差的和， 由（3）可知：当x在最大数右边（或最大数上）时有最大值； 即：时， ． 1．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）有一个四位数，它的个位上的数是a，十位上的数是b，百位上的数是c，千位上的数是d．且有，则式子的最大值是 ． 【答案】 【详解】解：∵，且， ∴， ∴当，时，式子取最大值为，故答案为：． 2．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果，那么 ．请你结合数轴与绝对值的知识求得的最小值为 ． 【答案】 或 【详解】解：∵，∴，∴或， ∵， ∴式子表示到的距离与到的距离与到的距离的倍的和， 可知，当在的位置时，距离之和最小，最小值为， 故答案为：或，． 3．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）已知指数轴上表示的点到表示点的距离，指数轴上表示的点到表示和6两个点的距离之和．（1）式子的最小值为 ．（2）已知，则的最大值是 ． 【答案】 9 7 【详解】解：（1）依题意，当时，则， 当时， 当时，则； 综上，的最小值为9；故答案为：9． （2） 又∵，， 即的最大值是7，故答案为：7． 4．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）【阅读】：表示7与3差的绝对值，也可理解为7与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离：可以看作，表示7与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】：（1）如果，那么 ；（2）有最小值 ；（3）有最大值 ； 【应用】：（4）的最小值为 ； （5）的最大值为 ． 【答案】（1）0或；（2）1；（2）1；（4）；（5）1012． 【详解】（1）解：，∴或，解得或，故答案为：0或． （2）的意义即数轴上点x与1，2的距离和， 当时，距离和为；当时，距离和为；当时，距离和为； 故对于任何有理数，有最小值， 当时，即点x在1和2之间（包含1和2）时，最小值为1． （3）的意义即数轴上点x与1，2的距离差； 当时，；当时， ；当时， ； 故对于任何有理数，有最大值， 当时，即点x在2上或右边时，最大值为1． （4）表示数轴上点与1，2，……2024的距离和， 由（2）可知：当时，有最小值； 此时： =； （5）表示x到1的距离与x到2的距离的差、x到3距离与x到4距离的差 …x到2023距离与x到2024距离的差的和， 由（3）可知：当x在最大数右边（或最大数上）时有最大值； 即：时， ． 5．（23-24七年级上·江苏南通·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：一般地，数轴上表示m和n的两点之间的距离为． (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离为______； (2)当______时，的值最小，最小值为______． (3)当a满足______时，的值最小，最小值为______． (4)已知：关于x的代数式的最小值为2，则a的值为______． 【答案】(1)3(2)1；9(3)；24(4)3或 【详解】（1）解：数轴上表示4和1的两点之间的距离为：；故答案为：3； （2）解：∵表示数轴上表示a的点到的距离，到1的距离，到4的距离之和， ∴当时，的值最小，且最小值为：；故答案为：1；9． （3）解：当时，， ∵，∴此时； 当时，， ∴此时的值为24； 当时，， ∵，∴此时； 当时，， ∵，∴此时；∴当时，的值最小，且最小值为24； 故答案为：；24． （4）解：∵表示在数轴上表示x的点到1的距离与到表示a的点的距离之和， ∴当表示x的点在1和表示a的点之间时，的值最小，且最小值为， ∴，解得：或．故答案为：3或． 6．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了，把数轴分为三段：和，经研究发现，当时，值最小为”． 小明说：“利用数形结合思想可以解决这个问题，若点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，则在数轴上、两点之间的距离．” 请你根据他们的解题解决下面的问题： (1)当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______． (2)已知，求的最大值和最小值及相应的的取值范围，并写出解答过程． (3)求为何值时，式子有最小值，并求出此最小值． 【答案】(1)，(2)当最大值为；当最小值为(3)，最小值为 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴式子取最小值时，相应的的取值范围是，最小值是． 故答案为；． （2）解：当时，； 当时，此时； 当时，； ∴当最大值为；当最小值为； （3）解：， 表示在数轴上的对应点与、、、……、所对应点的距离之和， 当时，有最小值，最小值为 ． 7．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）同学们都知道：表示与-之差的绝对值，实际上也可理解为与-两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：    (1)数轴上表示与-的两点之间的距离可以表示为 ． (2)同样的道理，表示数轴上有理数所对应的点到-和所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是 ． (3)根据数轴，若的最小值是，请直接写出的值． (4)由以上探索猜想是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并求出所有符合条件的整数的和；如果没有，说明理由． 【答案】(1)(2)，，，(3)或(4)有，最小值为，和为 【详解】（1）数轴上表示与的两点之间的距离可以表示为，故答案为； （2）表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，， 为到之间的整数，这样的整数有、、、，故答案为、、、； （3）∵的最小值是，即表示到的和为 由于与之间的距离为，小于最小值，则或； ①当时，即，则在到之间时，最小值为 ∴∴ ②当时，即，∴ 综上所述，或 （4）有最小值，理由是|理解为：在数轴上表示到、、和的距离之和，∴当在和之间时，取得最小值， ∴最小值为∴符合条件的整数为 ∴所有符合条件的整数的和为 8．（24-25七年级上·福建漳州·期中）阅读理解：我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离．举例：数轴上表示数和的两点和之间的距离是． 问题探究：参考阅读材料，解答下列问题．(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是______； (2)若数轴上表示数的点位于与5之间，求的值是______； (3)当取最小值时，相应的数的取值范围是______；(4)求的最小值是______． 实际应用：(5)问题：某一直线沿街一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，，，，，…，，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在______，才能使这2023户居民到点的距离总和最小．（填住户标记字母） 拓展提升：(6)若数满足，求的最小值为______． 【答案】(1)3(2)8(3)(4)2(5)(6) 【详解】（1）解：数轴上表示2和5的两点之间的距离为：，故答案为：3； （2）解：数轴上表示数a的点位于与5之间，， ，故答案为：8； （3）解：表示数a到点1与2的距离之和， 当时，取最小值，故答案为：； （4）解：表示数a到点1、2、3的距离之和， 当时，取得最小值，最小值为：，故答案为：2； （5）解：点，，，，，…，中，最中间的点是， 故点P选在紧靠居民家，才能使这2023户居民到点P的距离总和最小，故答案为：； （6）解：表示数a到点1与3的距离之和，当时，取得最小值； 表示数b到点4与的距离之和， 当时，取得最小值，此时， ∵a的最小值为1，b的最小值为，的最小值为：，故答案为：． 9．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）（1）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为， 当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，，    当A、B两点都不在原点时， ①如图2，点A、B都在原点的右边； ②如图3，点A、B都在原点的左边； ③如图4，点A、B在原点的两边，； 综上，数轴上A、B两点之间的距离． （2）回答下列问题： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______，数轴上表示1和的两点之间的距离是_______． ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是_______，如果，那么x为_______． （3）探索规律：①当有最_______（填“大”或“小”）值是_______； ②当有最小_______（填“大”或“小”）值是_______； ③当有最_______（填“大”或“小”）值是_______． （4）规律应用:工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件箱应该放在工作_____处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是__； （5）知识迁移:有最值（最大值或最小值）吗？如果有，请直接写出你的答案． 【答案】（2）①3；4；②；1或；（3）①小，1；②小，2；③小，4；（4）E；40；（5）有最大值9，最小值． 【详解】解：（2）①数轴上表示2和5的两点之间的距离是， 数轴上表示1和的两点之间的距离是，故答案为：3，4； ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是， ∵，∴，∴或，解得或3，故答案为：；1或； （3）①∵表示数轴上有理数x所对应的点到1和2所对应的点的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为1，故答案为：小，1； ②表示数轴上有理数x所对应的点到1、2和3所对应的点的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为2，故答案为：小，2； ③表示数轴上有理数x所对应的点到1、2、3和4所对应的点的距离之和， ∴当或时，有最小值4，故答案为：小，4； （4）以E点为原点，1米为一个单位长度，A、B、C、D、E、F、G、H、I依次在数轴上排列， 则A点表示的数为，B点表示的数为，C点表示的数为，D点表示的数为，F点表示的数为2，G点表示的数为4，H点表示的数为6，I点表示数为8， 设配件箱应该放在数轴上表示x的数的位置， 当有最小值时，工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，∴当时，有最小值40， ∴配件箱应该放在工作台E处，最短路程为40米，故答案为：E，40； （5）有最大值和最小值，理由如下：当时，， 当时，，当时，， ∴有最大值9，最小值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13.绝对值的几何意义 预习目标……………………………………………………………………………………………………………..1 新知速通……………………………………………………………………………………………………………..2 题型探究……………………………………………………………………………………………………………..2 题型1、的最小值模型 2 题型2、的最小值和最大值模型 5 题型3、的最小值模型 7 题型4、系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 11 题型5、型或型最值模型 14 题型6、绝对值最值模型的实际应用 16 题型7、绝对值相关运算与最值问题 19 题型8、绝对值最值中的新定义问题 21 基础通关 24 拓展提优 32 最值问题一直都是七年级上册数学中代数部分的最难点之一，但也是高分的必须突破点，而绝对值中的最值模型是初中学生第一次接触最值类问题，该类最值模型主要依据绝对值的几何意义或代数意义，考查分类讨论和数形结合的数学思想。需要牢记绝对值中的最值情况规律，解题时能达到事半功倍的效果。本专题就绝对值中的八类最值模型进行梳理及对应试题分析，方便大家掌握。 ①绝对值具有非负性，即； ②绝对值的几何意义：表示数轴上的有理数a所对应的点到原点的距离； 表示数轴上的有理数x所对应的点到有理数a所对应的点的距离。 题型1、的最小值模型 【解题技巧】1.求的最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值。 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 （在点a的左侧） 的值大于 当时 （在点a、b之间） 的值为定值，即为 当 （在点b的左侧） 的值大于 结论：在时，取得最小值为。 另解：也可用绝对值的代数意义（即分类讨论思想）完成绝对值的最值问题。 例1．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）我们知道，式子的几何意义是数轴上表示数的点与表示数3的点之间的距离，则式子的最小值为 ． 例2．（2024·广东·七年级统考期末）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数-2的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数3的点的距离．当取得最小值时，的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 例3．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）规定．如：．下列结论中：①若，则；②若，则；③当时，有最大值5；④式子的最小值是5，以上结论正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例4．（24-25七年级上·江苏南通·期中）已知为互不相等的三个有理数，且，若式子的最小值为4，则的值为 ． 例5．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离． 发现问题：代数式的最小值是多少？ 探究问题：如图，点A、B、P分别表示的是、2、x，． ∵  的几何意义是线段与的长度之和， ∴  当点P在线段上时，； 当点P在点A的左侧或点B的右侧时，， ∴  的最小值是3． 解决问题：（1）表示数轴上x所对应的点与________所对应的点之间的距离； （2）的值是_________；（3）的最小值是_______； （4）当a为_______时，代数式的最小值是4． 题型2、的最小值和最大值模型 【解题技巧】求的最大值或最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的取最大值或最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 （在点a的左侧） 的值为定值，即为— 当时 （在点a、b之间） 当 （在点b的左侧） 的值为定值，即为 结论：在时，取得最小值为；在时，取得最大值。 例 1．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）当式子取得最大值时，x的最大整数值是 ． 例2．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为　　　．(2)若，则　　　． (3)最大值为　　　 ，最小值为　　　． 例3．（2024·广西·七年级专题练习）我们知道，的几何意义是数轴上表示数a的点与原点的距离，一般地，点A，B在数轴上分别表示数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a-b|，请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题：（1）数轴上的数x与1所对应的点的距离为____，数x与-1所对应的点的距离为____； （2）求的最大值； （3）直接写出的最大值为______． 题型3、的最小值模型 【解题技巧】 ①当两个绝对值相加：若已知，的最小值为，且数的点在数，的点的中间； ②当三个绝对值相加：若已知，的最小值为，且此时=； ③当有（奇数）个绝对值相加： 且，则取中间数，即时，取得最小值； ④当有（偶数）个绝对值相加： ，且， 则取中间段，即当时，取得最小值为：。 总结：的最小值的分析： 找到上述式子中的‬零点，按从小到大‬排序（不妨假设）‬，借助数轴容易得到： ‬当n‬奇数‬时‬‬，则x取‬中间数‬时‬取得‬最小值‬； ‬当n‬‬偶数时‬，‬则‬x取‬中间‬段‬时‬取得‬最小值‬。 规律可总结为：“奇中点，偶中段” 例1．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：如图所示，点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为．请结合以上知识和数轴解决下列问题：    （1）若数轴上两点C、D表示的数为x、， ①C、D之间的距离可用含x的式子表示为 ；②若C、D两点之间的距离为2，那么x值为 ； （2）的最小值为 ；此时若x是整数，则x的值是 ； （3）当 时，的值最小，最小值是 ． 例2．（24-25七年级上·福建漳州·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示1和4的两点之间的距离是_______；数轴上表示和2两点之间的距离是_______；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如数轴上表示数与数5两点之间的距离等于． (2)若数轴上的点表示的数，求的最小值； (3)若数轴上的点表示的数，当的最小值为10（为常数），求的值． 例3．（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于． (1)表示和2两点之间的距离是_______；(2)如果表示数a和的两点之间的距离是2，那么_______； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得，这些点表示的数的和是______． (4)当_____时，的值最小，最小值是______． (5)若x表示一个有理数，求的最小值并求出这时x的值． 例4．（24-25七年级上·江西·阶段练习）课本再现 课堂上，通过探究我们发现：在数轴上，若点A，B分别表示数a，b，则点A，B之间的距离等于． （1）的意义可理解为数轴上表示数x和_________这两点的距离． 继续探究：结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （2）数轴上表示x的点位于与2之间，则__________； （3）若数x满足，则__________；（4），则x的取值范围是__________； 结论：的最小值是__________，此时x的范围是__________． 拓展应用：（5）当__________时，的值最小，最小值是__________； （6）当x满足什么条件时，（其中且n为正整数）取得最小值？ 题型4、系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 【解题技巧】①绝对值系数不为“1”： 例如：｜x-1｜+2｜x-2｜+3｜x-3｜+4｜x-4｜+5｜x-5｜ 解题步骤：第1步：将x平铺展开；第2步：找到每个式子的零点，分别为：1、2、2、3、3、3、4、4、4、4、5、5、5、5、5、5共15个零点；第3步：根据“奇中点，偶中段”，在第八个数时，即x=4时，有最小值，带入x=4，最小值为15。 ②x系数不为“1”： 例如：求｜2x-4｜+｜5x+5｜的最小值。 解题步骤：第1步：x的系数不为1，所以首先‬第一步‬想办法把x的系数化为1，采用提取公因数的方法（或乘法分配律的逆用）；即：｜2x-4｜+｜5x+5｜=｜2（x-2）｜+｜5（x+1）｜=2｜x-2｜+5｜x+1｜。 第2步：进入①中的三个步骤即可。这时，x的系数已经变成了1，我们就可以展开‬，然后‬利用“奇中点‬，偶中段”来求了‬。解‬得‬当x=-1时‬取得‬最小值，最小值‬为‬6。 另解：上述两类问题也可以采用绝对值的代数意义（根据零点分区讨论）求解。 例1．（2024·江苏·七年级专题练习）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 例如，式子的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与-1所对应的点之间的距离． 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）若，则 ；的最小值是 ． （2）若，则的值为 ；若，则的值为 ． （3）是否存在使得取最小值，若存在，直接写出这个最小值及此时的取值情况；若不存在，请说明理由． 例2．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：点，在数轴上分别对应的数为，，则，两点间的距离表示为． 根据以上知识解题：(1)若，则能取到的最小值是__________，最大值是__________． (2)的最小值为___．(3)已知，求的最大值和最小值． 例3．（2024七年级·江苏·培优）先阅读下面的材料，然后解答问题： 数轴上的个点表示的数分别是，且是数轴上一点，其表示的数为，对于代数式，由绝对值的几何意义可得：若为奇数，则时，的值最小；若为偶数，则时，的值最小． (1)求的最小值． (2)求的最小值． 题型5、型或型最值模型 【解题技巧】类型1： 当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 类型2： 当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 例1．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）当 时，式子的最小值为 ． 例2．（23-24七年级上·四川内江·期中）当 时，代数式有最大值为 ． 例3．（2024·广东·七年级校考阶段练习）若a，b为有理数，下列判断正确的个数是（    ） （1）的最小值是2；（2）的最小值是0；（3）的最大值为5；（4）的最大值是2． A．1 B．2 C．3 D．4 例4．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）当代数式取最小值时， ． 题型6、绝对值最值模型的实际应用 【解题技巧】 1）‌理解绝对值的几何意义‌：绝对值表示一个数在数轴上与原点的距离。理解这一点对于解决绝对值最值问题至关重要。‌ 2）‌掌握绝对值的性质‌：绝对值具有非负性、对称性等性质。非负性意味着任何数的绝对值总是非负的；对称性表示正数与负数的绝对值相等‌。 3）‌灵活运用数形结合‌：将绝对值的几何意义与代数表达式结合，可以帮助直观地解决问题。 例1．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图1，在数轴上点表示的数为，点表示的数为1，点表示的数为3，则之间的距离表示为：之间的距离表示为：． 若点在数轴上表示的数为，则之间的距离表示为：之间的距离表示为：．    (1)如图1，①若，则的值__________；②若点在线段上，化简__________； ③由图可知，的最小值是__________． (2)请按照（1）问的方法思考：的最小值是__________． (3)如图2，在一条笔直的街道上有四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知四个小区各有2个，2个，3个，1个小朋友在同一所小学的同一班级上学，安全起见，这8个小朋友约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的小朋友们通过分析，发现在街道上的处汇合会使所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点的位置和所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值．    例2．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）阅读下列材料并解决问题： 我们知道：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离，所以式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题：（1）若，则______；     （2）当x满足条件：_______时，式子有最小值，最小值是______； 应用：某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A、B、C、D，它们顺次有快递车16辆，8辆，4辆，12辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数． 例3．（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）【定义新知】我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数5 的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： （1）式子在数轴上的几何意义是 ，若，则x的值为 ； （2）当取最小值时，x可以取整数 ；（3）当x= 时，的值最小，最小值为 ； 【解决问题】（4）如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人．现因防疫需要，需要在该公路上建一个核酸检测实验室P，用于接收这3个小区的全员核酸样本．若核酸样本的运输和包装成本为每千米1 元/千份，那么实验室P建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？ 题型7、绝对值相关运算与最值问题 例1．（24-25七年级上·广东汕头·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示6和2的两点之间的距离为＝　 　；表示和2两点之间的距离为＝　 　；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于，如果表示数a和的两点之间的距离是3，那么a＝　 　． (2)若数轴上表示数a的点位于与3之间(包括与3两点)，求的值； (3)当　 　时，的值最小，最小值为　 　． (4)当x，y满足时，的最大值为 　 　． 例2．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知数轴上A、B两点表示的数分别为a，b，且a，b满足． （1）________，________，点A，点B之间的距离长为________；（直接写出来） （2）若点M以每秒3个单位的速度从点A出发向正方向运动，同时点N以每秒1个单位的速度从点B出发向正方向运动，经过多少秒，点M，点N之间的距离为2个单位？ （3）【问题背景】：已知可理解为数轴上表示数a、b的点之间的距离，可以理解为数轴上表示数a的点到表示数b，c的点的距离之和． 【解决问题】：①若点P在数轴上表示的数为x．则的最小值是________； 【问题拓展】：②若，则的最大值为________． 题型8、绝对值最值中的新定义问题 例1．（24-25七年级上·北京·期中）已知一组整数，共有n个．从中任意选取两个整数，将这两个整数作差后取绝对值，记为第1次运算．接下来，再从这组整数中选取一个整数，将这个整数与第1次运算的结果作差后取绝对值，记为第2次运算．此后，每次从这组整数中选取的整数都与前次的运算结果作差后取绝对值（其中每个整数都要被选取，且只被选取一次），我们把第次运算的结果称为这组整数的一个“绝对d值”．(1)已知一组整数：5，6，7． ①若第1次运算选取的整数是5，6，则可以得到这组整数的一个“绝对d值”为 ； ②若第1次运算选取的整数是6，7，则可以得到这组整数的一个“绝对d值”为 ； (2)已知一组整数：，2，3，4，则这组整数的最大“绝对d值”为 ，最小“绝对d值”为 ； (3)已知一组三个互不相等的正整数：2，a，b．这组整数的最大“绝对d值”为10，求这组整数的最小“绝对d值”． 例2．（23-24七年级上·安徽滁州·阶段练习）对于有理数a，b，c，d，若，则称a和b关于n的“相对关系值”为d．例如：，则2和3关于1的“相对关系值”为3． （1）2和关于2的“相对关系值”为 ； （2）若m和n关于2的“相对关系值”为2，则的最大值为 ． 例3．（23-24七年级上·北京海淀·期中）设有理数a，b在数轴上所对应的点为A，B，记为，，将称为点A，B的对称指标，记为，即．对于定点A，若动点B在线段上，将的最大值称为线段关于点A的对称指标，记为． (1)点，，，在数轴上，①__________，__________． ②若，则__________． (2)点，，在数轴上，，，①当时，__________． ②当线段在数轴上运动时，直接写出的最小值及此时m的值． 1．（23-24七年级上·广东汕头·期中）绝对值的几何意义：表示一个数在数轴上对应的点到原点的距离，表示x，y两数在数轴上对应两点之间的距离．则的最小值为(　  　)，的最大值为(　  　) A．1， B．1，5 C．5，5 D．1，1 2．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知，求的最大值（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）若为有理数，下列判断：①总是正数，②总是正数；③的最小值为9；④的最大值是1；其中错误的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25七年级上·河北唐山·期中）设a是任意有理数，下列说法正确的是（    ） A．的值总是正的B．的值总是正的C．的值总是负的D．的值中，最大值是1 5．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）若取最小值时，代数式的值是 ． 6．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）规定：，，例如：，，下列结论中，①能使成立的的值为2或；②若，则；③若，则；④式子的最小值是4．正确的是 ．（填序号） 7．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）若，则的最小值为 ． 8．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）如图，已知数轴上有A，B两个点，分别表示有理数－6，4．若x表示一个有理数． (1)数轴上点A到点B的距离为______；数轴上到点A、B的距离相等的点表示的有理数为______； (2)若，则______；(3)式子的最小值为______，此时x的取值范围是______； (4)式子有最大值么？若有，请直接写出最大值；若不存在，请说明理由． 9．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示和1两点之间的距离是______；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．(2)如果，那么______；(3)若，，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点，则A、B两点间的最大距离是__________． (4)若数轴上表示数的点位于与4之间，则____________ (5)当______时，的值最小，最小值是____________． 10．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行变化应用： 应用一：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和6的两点之间的距离表示为__________；数轴上表示和的两点之间的距离表示为__________． (2)若表示一个有理数，则的最小值__________，满足条件的所有整数的和为__________． (3)请写出当__________时，有最小值为__________． (4)规律应用 工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件相应该放在工作__________处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是__________米． 11．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）数学实验室： 阅读下面材料，回答问题：已知点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为．数轴上、两点的距离，如数轴上表示和的两点之间的距离是5，利用上述结论，回答以下问题：(1)数轴上表示2和6的两点之间的距离是____，数轴上表示1和的两点之间的距离是_____； (2)若表示数和的两点之间的距离是5，那么________； (3)若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为________； (4)若x表示一个有理数，且，则有理数的取值范围________； (5)若未知数x，y满足，求代数式的最小值和最大值． 解：对于代数式，数轴上，当在和之间时，表示的点到与的距离和最小，最小值为7，同理，对于，数轴上，当在和之间时，到和的距离和最小，最小值为4， 又∵，∴ x的取值范围是________；y的取值范围是________． ∴的最大值为________；的最小值为________． 12．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）【阅读】：表示7与3差的绝对值，也可理解为7与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离：可以看作，表示7与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】：（1）如果，那么 ；（2）有最小值 ；（3）有最大值 ； 【应用】：（4）的最小值为 ； （5）的最大值为 ． 1．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）有一个四位数，它的个位上的数是a，十位上的数是b，百位上的数是c，千位上的数是d．且有，则式子的最大值是 ． 2．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果，那么 ．请你结合数轴与绝对值的知识求得的最小值为 ． 3．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）已知指数轴上表示的点到表示点的距离，指数轴上表示的点到表示和6两个点的距离之和．（1）式子的最小值为 ．（2）已知，则的最大值是 ． 4．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）【阅读】：表示7与3差的绝对值，也可理解为7与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离：可以看作，表示7与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】：（1）如果，那么 ；（2）有最小值 ；（3）有最大值 ； 【应用】：（4）的最小值为 ； （5）的最大值为 ． 5．（23-24七年级上·江苏南通·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：一般地，数轴上表示m和n的两点之间的距离为． (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离为______； (2)当______时，的值最小，最小值为______． (3)当a满足______时，的值最小，最小值为______． (4)已知：关于x的代数式的最小值为2，则a的值为______． 6．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了，把数轴分为三段：和，经研究发现，当时，值最小为”． 小明说：“利用数形结合思想可以解决这个问题，若点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，则在数轴上、两点之间的距离．” 请你根据他们的解题解决下面的问题： (1)当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______． (2)已知，求的最大值和最小值及相应的的取值范围，并写出解答过程． (3)求为何值时，式子有最小值，并求出此最小值． 7．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）同学们都知道：表示与-之差的绝对值，实际上也可理解为与-两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：    (1)数轴上表示与-的两点之间的距离可以表示为 ． (2)同样的道理，表示数轴上有理数所对应的点到-和所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是 ． (3)根据数轴，若的最小值是，请直接写出的值． (4)由以上探索猜想是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并求出所有符合条件的整数的和；如果没有，说明理由． 8．（24-25七年级上·福建漳州·期中）阅读理解：我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离．举例：数轴上表示数和的两点和之间的距离是． 问题探究：参考阅读材料，解答下列问题．(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是______； (2)若数轴上表示数的点位于与5之间，求的值是______； (3)当取最小值时，相应的数的取值范围是______；(4)求的最小值是______． 实际应用：(5)问题：某一直线沿街一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，，，，，…，，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在______，才能使这2023户居民到点的距离总和最小．（填住户标记字母） 拓展提升：(6)若数满足，求的最小值为______． 9．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）（1）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为， 当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，，    当A、B两点都不在原点时， ①如图2，点A、B都在原点的右边； ②如图3，点A、B都在原点的左边； ③如图4，点A、B在原点的两边，； 综上，数轴上A、B两点之间的距离． （2）回答下列问题： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______，数轴上表示1和的两点之间的距离是_______． ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是_______，如果，那么x为_______． （3）探索规律：①当有最_______（填“大”或“小”）值是_______； ②当有最小_______（填“大”或“小”）值是_______； ③当有最_______（填“大”或“小”）值是_______． （4）规律应用:工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件箱应该放在工作_____处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是__； （5）知识迁移:有最值（最大值或最小值）吗？如果有，请直接写出你的答案． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$