1.1.2 空间向量的数量积运算（分层作业）数学人教A版2019选择性必修第一册

1．1．2 空间向量的数量积运算 1．（2025·高二·江苏泰州·期末）在棱长为的正方体中，是棱上任意一点，则在平面上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 2．已知四面体，所有棱长均为2，点分别为棱的中点，则（   ） A．1 B． C．2 D． 3．如图，在长方体中，设，则（   ） A．1 B．2 C．3 D． 4．（2025·高二·天津滨海新·期末）如图，已知三棱锥的每条棱的长度都等于1，点，，分别是，，的中点，则（    ） A． B． C． D．1 5．（2025·高二·四川内江·期末）如图，已知三棱锥的每条棱长都为2，则（    ） A． B． C．2 D．0 6．（2025·高二·广东汕尾·期末）两位游客来到汕尾·保利金町湾的“鲸湾生活馆”外的楼梯上拍照留念，此时正好一人站在地面上（B点处），一人站在楼梯斜坡上（A点处），如图所示．现将楼梯斜坡近似看作斜面，斜面与地面的交线记作直线l，通过测量得到以下数据：斜面与地面所成的坡度角为60°，A点在地面上的投影与B点恰好在直线l的两侧，A点到直线l的距离为AD，测得，B点到直线l的距离为BC，测得，且测得，则A，B两点间的距离为（   ） A． B． C． D． 7．已知空间向量满足，，则与的夹角为（　　） A．30° B．45° C．60° D．以上都不对 8．如图，在长方体中，是棱上一动点，，则等于（    ） A．1 B． C．4 D． 9．（2025·高二·新疆博尔塔拉·期末）如图，在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则（   ） A．4 B．5 C．6 D． 10．（2025·高二·湖南株洲·期末）在正四棱台中，，，，则（    ） A． B．2 C． D． 11．（2025·高二·江苏淮安·期中）已知正方体的棱长为1，则的值为 ． 12．在平行六面体中，底面是边长为正方形，侧棱的长为，且，则的长为 . 13．（2025·高二·河北保定·开学考试）在棱长为6的正四面体中，点M在OA上，且，则 ． 14．（2025·高二·陕西渭南·期末）在棱长为1的正四面体中，是的中点，则 . 15．（2025·高二·安徽·期末）已知空间向量，，两两夹角均为，其模均为1，则 . 16．如图，在三棱锥中，平面，则 ． 1．已知平面，，，与平面成角，，则与之间的距离可能是（ ） A． B． C．5 D． 2．（多选题）三棱锥中，两两垂直，且，下列命题中错误的是（   ） A． B． C．三棱锥的体积为 D．和的夹角为 3．（2025·高二·上海嘉定·期末）如图，在棱长为1的正方体中，点P是对角线上的动点（点P与点A、不重合），则直线与所成角的取值范围是 ． 4．（2025·高二·上海宝山·期末）在平面上有如下命题：“若为直线外一点，则点在直线上的充要条件是：存在实数，满足，且.”将该命题类比到空间中，并解决以下问题：正四面体的棱长为1，为底面内一点，且满足，其中为实数，则 .    5．如图，在正四面体中，点、、、、、分别是所在棱的中点，空间中的点满足且，当取到最小值时，记此时的点为，则当、且时，数量积的不同取值的个数是 ． 6．（2025·高二·福建·期中）在等腰直角三角形中，，将三角形沿直角边上的中线折成平面角为的二面角，则空间中线段的长为 ． 1．（2025·江西·二模）已知正方体的棱长为1，点在正方体内（包含表面）运动，若，则动点的轨迹所形成区域的面积是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽安庆·模拟预测）在直棱柱中，，且，N是棱上的一点，且满足，则的最小值为（    ） A． B．6 C．3 D． 3．（多选题）如图，在平行六面体中，向量，，的模长均为2，且它们彼此的夹角都是动点在棱上，则（   ） A． B．直线BD与直线AP所成角为90° C．平面与平面ABCD的夹角为60° D．多面体的外接球体积为 4．（多选题）（2025·河北·模拟预测）如图，在正八面体中，所有棱长均为，为正八面体内切球球面上的任意一点，则（   ） A．正八面体内切球的表面积为 B．正八面体的体积为 C．的取值范围是 D．的最大值为 5．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．在堑堵中，是的中点，，分别在棱上，且，，平面与交于点，则 ， ． 6．如图，已知正四面体，点，，，，，分别是所在棱中点，点满足且，记，则当，且时，数量积的不同取值的个数是 个. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．1．2 空间向量的数量积运算 1．（2025·高二·江苏泰州·期末）在棱长为的正方体中，是棱上任意一点，则在平面上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如下图所示： 因为平面，是棱上任意一点， 所以在平面上的投影向量为. 故选：A. 2．已知四面体，所有棱长均为2，点分别为棱的中点，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【解析】因为点分别为棱的中点，且四面体所有棱长均为2， 则， 所以 . 故选：D 3．如图，在长方体中，设，则（   ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】A 【解析】由长方体的性质知，，，，， 所以． 故选：A 4．（2025·高二·天津滨海新·期末）如图，已知三棱锥的每条棱的长度都等于1，点，，分别是，，的中点，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】分别为的中点，则， 由已知三棱锥为正三棱锥，取中点为，连接， 由已知和为正三角形，则， 又，且平面，则平面，又平面 则，即， 则. 故选：. 5．（2025·高二·四川内江·期末）如图，已知三棱锥的每条棱长都为2，则（    ） A． B． C．2 D．0 【答案】D 【解析】 故选：D 6．（2025·高二·广东汕尾·期末）两位游客来到汕尾·保利金町湾的“鲸湾生活馆”外的楼梯上拍照留念，此时正好一人站在地面上（B点处），一人站在楼梯斜坡上（A点处），如图所示．现将楼梯斜坡近似看作斜面，斜面与地面的交线记作直线l，通过测量得到以下数据：斜面与地面所成的坡度角为60°，A点在地面上的投影与B点恰好在直线l的两侧，A点到直线l的距离为AD，测得，B点到直线l的距离为BC，测得，且测得，则A，B两点间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于,, 由于斜面与地面所成的坡度角为60°，故 故, 故 ， 因此, 故选：A 7．已知空间向量满足，，则与的夹角为（　　） A．30° B．45° C．60° D．以上都不对 【答案】D 【解析】由题意，设与的夹角为，则， 即，解得. 故选：D 8．如图，在长方体中，是棱上一动点，，则等于（    ） A．1 B． C．4 D． 【答案】C 【解析】长方体中平面，平面，所以， 则，又， 所以， 故选：C. 9．（2025·高二·新疆博尔塔拉·期末）如图，在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则（   ） A．4 B．5 C．6 D． 【答案】B 【解析】 . 故选：B. 10．（2025·高二·湖南株洲·期末）在正四棱台中，，，，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【解析】在正四棱台中，过点向作垂线，垂足为点， 则，所以， . 故选：A 11．（2025·高二·江苏淮安·期中）已知正方体的棱长为1，则的值为 ． 【答案】1 【解析】因为， 又，，所以， 所以. 故答案为： 12．在平行六面体中，底面是边长为正方形，侧棱的长为，且，则的长为 . 【答案】 【解析】 ， 所以. 故答案为： 13．（2025·高二·河北保定·开学考试）在棱长为6的正四面体中，点M在OA上，且，则 ． 【答案】 【解析】因为， 所以， ． 故答案为：-12 14．（2025·高二·陕西渭南·期末）在棱长为1的正四面体中，是的中点，则 . 【答案】/ 【解析】由题意可得 . 故答案为：. 15．（2025·高二·安徽·期末）已知空间向量，，两两夹角均为，其模均为1，则 . 【答案】 【解析】 . 故答案为：. 16．如图，在三棱锥中，平面，则 ． 【答案】 【解析】因为平面，面， 所以，所以， 又，所以， . 故答案为：. 1．已知平面，，，与平面成角，，则与之间的距离可能是（ ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【解析】如图，因为，，所以． 作，垂足为，连接， 则或． 易知 . 因为， 所以原式. 若，则， 若，则， 故选：A 2．（多选题）三棱锥中，两两垂直，且，下列命题中错误的是（   ） A． B． C．三棱锥的体积为 D．和的夹角为 【答案】ABD 【解析】对于A，易知， 因为两两垂直，所以，而， 所以，即A正确； 对于B，易知， 因为两两垂直，所以，所以，即B正确； 对于C，易知， 显然，所以， 因此， 又，，所以， 所以， 因为两两垂直，且， 所以三棱锥的体积为，即C错误； 对于D，因为， 又，所以， ， 同理， 设和的夹角为， 可得，可得，即D正确. 故选：ABD 3．（2025·高二·上海嘉定·期末）如图，在棱长为1的正方体中，点P是对角线上的动点（点P与点A、不重合），则直线与所成角的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为点P是对角线上的动点，所以， 所以， 所以 设直线与所成角为， ， 设，单调递增，所以，所以， 所以，所以， 故答案为：. 4．（2025·高二·上海宝山·期末）在平面上有如下命题：“若为直线外一点，则点在直线上的充要条件是：存在实数，满足，且.”将该命题类比到空间中，并解决以下问题：正四面体的棱长为1，为底面内一点，且满足，其中为实数，则 .    【答案】 【解析】将该命题类比到空间中，有“若为平面外一点，则点在平面上的充要条件是：存在实数，满足，且.” 正四面体的棱长为1，为底面内一点，且满足，其中为实数，则，解得， 则. 故答案为：. 5．如图，在正四面体中，点、、、、、分别是所在棱的中点，空间中的点满足且，当取到最小值时，记此时的点为，则当、且时，数量积的不同取值的个数是 ． 【答案】5 【解析】因为点满足且，所以点在平面上， 因为，所以为平面的中心，此时平面， 由数量积的几何意义可知在的投影有5种情况：0，，， 所以数量积的不同取值的个数是5. 故答案为：5 6．（2025·高二·福建·期中）在等腰直角三角形中，，将三角形沿直角边上的中线折成平面角为的二面角，则空间中线段的长为 ． 【答案】 【解析】设点在直线上的投影分别为， 因为，则， 由的面积可得， 则，， 且为边的中点，可得，， 由二面角的平面角为，可得， 因为 ， 即，所以空间中线段的长为. 故答案为：. 1．（2025·江西·二模）已知正方体的棱长为1，点在正方体内（包含表面）运动，若，则动点的轨迹所形成区域的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在棱长为1的正方体中， ， 则，而，由数量积的几何意义知，在上投影的数量为， 因此点在与垂直的平面内，且点到该平面的距离为， 在正方体中易证平面，点到平面的距离为， 取的中点，易得平面平面， 则平面，且点到平面的距离为， 所以点的轨迹所形成区域为等边，面积为. 故选：B 2．（2025·安徽安庆·模拟预测）在直棱柱中，，且，N是棱上的一点，且满足，则的最小值为（    ） A． B．6 C．3 D． 【答案】B 【解析】 设，，， 则，， 由， 因，，则， 代入整理得，，显然，故， 因，故当时，取得最大值， 此时取得最小值为36，故的最小值为为6. 故选：B. 3．（多选题）如图，在平行六面体中，向量，，的模长均为2，且它们彼此的夹角都是动点在棱上，则（   ） A． B．直线BD与直线AP所成角为90° C．平面与平面ABCD的夹角为60° D．多面体的外接球体积为 【答案】ABD 【解析】在平行六面体中， ， 向量，，的模长均为2，且它们彼此的夹角都是 所以 ， 即，故A正确； 对于B，连接AC交BD于O，连接， 由题知，，所以为等边三角形，四边形为菱形， ， 同理可得，也为等边三角形，即也为等边三角形，， 又，平面，平面，即平面， 平面，，故B正确； 对于C，连接交于，连接，， 平面，平面，， 又，平面平面， 所以就是平面与平面ABCD的夹角， 在平行六面体中，， ，为等边三角形， ，， ，故C错误； 对于D，连接交于，为、中点， 又，，所以四边形为正方形， ，又， 所以， 即， 所以多面体外接球球心在中点处， 半径，体积，故D正确； 故选：ABD. 4．（多选题）（2025·河北·模拟预测）如图，在正八面体中，所有棱长均为，为正八面体内切球球面上的任意一点，则（   ） A．正八面体内切球的表面积为 B．正八面体的体积为 C．的取值范围是 D．的最大值为 【答案】ACD 【解析】对于A选项，由题意得，可以只分析正四棱锥，易得正四棱锥的高为， 侧面正三角形的高为，设内切球的半径为，则由面积法可得，解得， 所以表面积为，故A正确； 对于B选项，正八面体的体积为两个正四棱锥的体积之和，， 因此，故B错误； 对于C选项，取中点， ， 而点到的距离为， 因此的最小值为，最大值为， ， 代入数据可得的范围是，故C正确； 对于D选项，设球心为， 由球的几何性质可知，当与球相切时，最大， 此时为锐角，如下图所示： 易知，，， 则， 所以，D对. 故选：ACD. 5．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．在堑堵中，是的中点，，分别在棱上，且，，平面与交于点，则 ， ． 【答案】 6 【解析】如图，延长，交的延长线于，连接， 显然平面，平面， 因此平面与的交点即为与的交点， 在堑堵中，，则，即， 又，则，而，于是得， 所以， 因为平面，平面，所以，， 所以 ． 故答案为：； 6．如图，已知正四面体，点，，，，，分别是所在棱中点，点满足且，记，则当，且时，数量积的不同取值的个数是 个. 【答案】5 【解析】因为点满足且， 所以点在平面上， 因为， 所以为平面的中心，此时平面， 由数量积的几何意义可知在的投影有5种情况：0，，， 所以数量积的不同取值的个数是5. 故答案为：5 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$