精品解析：江苏省苏州市2024-2025学年高二下学期学业质量阳光指标调研数学试卷

苏州市2024~2025学年第二学期学业质量阳光指标调研卷 高二数学 2025.6 注意事项 学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求： 1．本卷共6页，包含单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第11题）、填空题（第12题~第14题）、解答题（第15题~第19题）．本卷满分150分，答题时间为120分钟．答题结束后，请将答题卡交回． 2．答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置． 3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔、请注意字体工整，笔迹清楚． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则的元素个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 命题的否定是（ ） A. B. C. D. 3. “”是“函数在区间上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 根据如下样本数据 x 3 4 5 6 7 8 y 可得到的回归方程为,则（ ） A. B. C. D. 5. 从0，1，2，3，4五个数字中任选3个数字，可组成无重复数字的三位数的个数为（ ） A. 48 B. 60 C. 72 D. 100 6. 已知，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 5 7. 满足，的有序实数组可以是（ ） A. B. C. D. 8. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．由于随机因素的干扰，发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．假设发送信号0和1是等可能的，则接收到0的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 设函数，则（ ） A. B. C. D. 11. 设随机变量，则（ ） A. B. C. D. 在上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则的值为______． 13. 函数的零点个数为______． 14. 如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，移动6次后质点对应的数为，则______，在有且仅有一次经过1的条件下，事件“”的概率是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设函数 （1）当时，求表达式的展开式中含有项的系数； （2）当时，求表达式的展开式中的常数项． 16. 为考察某种药物A对预防疾病B的效果，某研究团队随机抽取了400只动物进行试验，得到如下列联表： 疾病 药物 未患病 患病 未服用 100 90 服用 150 60 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为药物对预防疾病有效？ （2）现从参与试验且患病的150只动物中，按是否服用药物采用分层抽样的方法抽取5只动物，再从这5只动物中随机抽取2只动物进一步试验，记抽取的2只动物中服用药物的只数为，求的分布列及数学期望． 附：（其中）． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 17. 已知函数． （1）求的定义域； （2）解关于的方程； （3）若函数的图象关于直线对称，求实数的值． 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若是的极小值点，求实数的取值范围； （3）当时，若，求实数的最大值． 19. 信息熵是信息论中的一个重要概念，设随机变量所有可能的取值为、、、，且，，称为的信息熵，用来刻画随机变量蕴含的信息量的大小． （1）抛掷一枚质地均匀的警子（一种各个面上分别标有、、、、、个点的正方体玩具），记出现向上的点数为，求的值； （2）若，求的最大值； （3）求证；． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏州市2024~2025学年第二学期学业质量阳光指标调研卷 高二数学 2025.6 注意事项 学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求： 1．本卷共6页，包含单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第11题）、填空题（第12题~第14题）、解答题（第15题~第19题）．本卷满分150分，答题时间为120分钟．答题结束后，请将答题卡交回． 2．答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置． 3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔、请注意字体工整，笔迹清楚． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则的元素个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先求得集合B，再进行集合的交集即可． 【详解】因，， 所以，有2个元素． 故选：B． 2. 命题的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由全称量词命题的否定是存在量词命题. 【详解】由全称量词命题的否定是存在量词命题， 所以命题的否定是. 故选：A 3. “”是“函数在区间上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由幂函数性质分析充分性和必要性即可得解. 【详解】当时，幂函数单调递增，充分性成立； 幂函数在区间上单调递增，则，必要性成立. 综上，“”是“函数在区间上单调递增”的充要条件. 故选：C. 4. 根据如下样本数据 x 3 4 5 6 7 8 y 可得到的回归方程为,则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：依据样本数据描点连线可知图像为递减且在轴上的截距大于0，所以． 考点：1．散点图；2．线性回归方程； 5. 从0，1，2，3，4五个数字中任选3个数字，可组成无重复数字的三位数的个数为（ ） A. 48 B. 60 C. 72 D. 100 【答案】A 【解析】 【分析】由分步乘法计算原理可求. 【详解】根据题意，先选百位，百位有4个数字可选，剩余2位全排， 所以组成无重复数字的三位数的个数为. 故选：A. 6. 已知，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】通过条件将双变量转化为单变量，结合导函数来求解最小值即可． 【详解】， ，则， ， 设，其中， ， 令，解得：， 当时，；当时，； 当时，取到极小值，也是最小值为：， 故选：C． 7. 满足，的有序实数组可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数运算化简得，逐个选项分析即可判断. 【详解】记，则， 因为，所以，所以， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 8. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．由于随机因素的干扰，发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．假设发送信号0和1是等可能的，则接收到0的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题知接收到0有两种情况，发射0或发射1，再利用全概率公式求解即可. 【详解】根据题意接收到0有两种情况，发射0或发射1， 所以接收到0的概率为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用不等式性质判断A；举反例判断B；根据比较式子的结构构造函数，利用导数研究函数的单调性，利用单调性比较大小判断CD. 【详解】对于A，因为，所以，即，正确； 对于B，当时，，错误； 对于C，设， 因为和为上的增函数， 所以函数在上递增， 因为，所以，所以， 即，正确； 对于D，设，则， 所以函数在上单调递减， 因为，所以， 所以， 即，正确. 故选：ACD 10. 设函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】求导研究函数的单调性，利用单调性比较大小即可判断AB，举反例判断C，按照、和分类讨论的符号即可判断D. 【详解】设，则， 令，即，解得， 当时，，即函数单调递增， 当时，，即函数单调递减， 因为，所以，故A正确； 因为，所以，又， 且，所以，所以，故B正确； 当时，，故选项C错误； ，当时，， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上，，故D正确. 故选：ABD 11. 设随机变量，则（ ） A. B. C. D. 在上单调递增 【答案】BD 【解析】 【分析】由正态分布的性质判断ABC，结合函数单调性的定义判断D. 【详解】对于A，随机变量，则随机变量的方差为1，均值为0， 所以正态分布曲线关于轴对称，则，错误； 对于B，， ， 所以，即，正确； 对于C，， ，错误； 对于D，，且随机变量， 则函数在上是单调增函数，正确． 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则的值为______． 【答案】34 【解析】 【分析】先由组合数的性质求解，再由组合数的性质化简求解即可. 【详解】因为，所以或（舍去），解得， 所以 ． 故答案为：． 13. 函数的零点个数为______． 【答案】2 【解析】 【分析】当时，利用导数研究其单调性得，即函数只有一个零点1，当时，利用导数法得函数在上单调递增，由零点存在性定理可知有一个零点，即可得解. 【详解】， 当时，，则， 当时，，即函数单调递增， 当时，，即函数单调递减， 又，所以函数只有一个零点1， 当时，，则， 故函数在上单调递增，又，，所以由零点存在性定理可知，函数在上有一个零点， 所以函数的零点个数为2. 故答案为：2 14. 如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，移动6次后质点对应的数为，则______，在有且仅有一次经过1的条件下，事件“”的概率是______． 【答案】 ①. 6 ②. ##0.25 【解析】 【分析】第一个空，假设为向右的次数，因为服从二项分布，易得，根据和的关系，可得； 第二个空，假设“有且仅有一次经过1”事件，“质点仅在第1秒位于1”为事件，“质点仅在第3秒位于1”为事件，“质点仅在第5秒位于1”为事件，根据题干可得，由条件概率可得. 【详解】假设为向右的次数，则服从二项分布，故； 此时质点对应的数，所以. 假设“有且仅有一次经过1”为事件，“质点仅在第1秒位于1”为事件，“质点仅在第3秒位于1”为事件，“质点仅在第5秒位于1”为事件，则两两互斥，则， “质点仅在第1秒位于1”则质点的走法为（第六步不受影响），（第五六步不受影响），（第六步不受影响），（第五六步不受影响），； “质点仅在第3秒位于1” 则质点的走法为（第六步不受影响），（第六步不受影响），； “质点仅在第5秒位于1” 则质点的走法为（第六步不受影响），（第六步不受影响），； 则. 因为，所以，所以三种情况下, 事件“”的情况有：，，，，，则， 则. 故答案为：6；. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设函数 （1）当时，求表达式的展开式中含有项的系数； （2）当时，求表达式的展开式中的常数项． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出的通项，然后令即可求解项的系数； （2）先求出的通项，然后令即可求解常数项. 【小问1详解】 当时，， 其展开式通项为， 令，得， 所以展开式中含有项的系数为． 【小问2详解】 当时，， 的展开式通项为， 令，得， 所以展开式中的常数项为． 16. 为考察某种药物A对预防疾病B的效果，某研究团队随机抽取了400只动物进行试验，得到如下列联表： 疾病 药物 未患病 患病 未服用 100 90 服用 150 60 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为药物对预防疾病有效？ （2）现从参与试验且患病的150只动物中，按是否服用药物采用分层抽样的方法抽取5只动物，再从这5只动物中随机抽取2只动物进一步试验，记抽取的2只动物中服用药物的只数为，求的分布列及数学期望． 附：（其中）． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）认为该药物对预防疾病有效，此推断犯错误的概率不大于0.001 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据公式求出后，对照临界值即可求解. （2）先求得未服用药物的只数为3，服用药物的只数为2，的所有可能取值为0，1，2，求出对应的概率，写出分布列，从而求出数学期望. 【小问1详解】 零假设：患病与服用药物无关，即药物无效． 根据列联表可得． 因为当假设成立时，， 所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为该药物对预防疾病有效，此推断犯错误的概率不大于0.001． 【小问2详解】 从参与试验且患病的150只动物中按分层抽样方法随机取出5只， 其中未服用药物的只数为，服用药物的只数为， 则的所有可能取值为0，1，2， ， 所以的分布列为 0 1 2 故随机变量的数学期望为． 17. 已知函数． （1）求的定义域； （2）解关于的方程； （3）若函数的图象关于直线对称，求实数的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的真数大于零列不等式求解即可. （2）先利用复合函数的单调性法则得在和上为增函数，然后将方程转化为，记，利用函数的单调性及特殊值求解方程即可. （3）根据的图象的对称性求得，进而利用对称性得，化简即可求得. 【小问1详解】 由得或，所以的定义域为． 【小问2详解】 因为在和上单调递增， 又在定义域上单调递增， 由复合函数的单调性知在和上为增函数， 所以，所以，记， 结合指数函数的单调性可知为增函数，又，所以． 【小问3详解】 由（1）可知，的定义域为， 因为函数的图象关于直线对称，所以， 进一步根据，得， 即， 则有，即． 综上所述，． 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处切线方程； （2）若是的极小值点，求实数的取值范围； （3）当时，若，求实数的最大值． 【答案】（1） （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率即可求解. （2）求出导函数，按照、、和分类讨论研究函数的单调性，结合极小值点的概念求解即可. （3）按照和分类讨论研究函数的单调性，利用单调性求出函数值域即可求解. 【小问1详解】 当时，， 所以，故， 所以曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 因为，所以， 因为是的极小值点，所以，得， 所以， 当时，， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，故是的极小值点. 当时，由得或. 当时，，由得或；由得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极小值点. 当时，，不合题意. 当时，，由得或；由得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点，不合题意． 综上，实数的取值范围为． 【小问3详解】 当时，， 当时，因为（当且仅当时等号成立），所以， 所以在上单调递增，故，符合题意. 当时，令，解得， 因为，，所以，故， 所以当时，，故在上单调递减， 所以，不符合题意． 综上，实数的最大值为2． 19. 信息熵是信息论中的一个重要概念，设随机变量所有可能的取值为、、、，且，，称为的信息熵，用来刻画随机变量蕴含的信息量的大小． （1）抛掷一枚质地均匀的警子（一种各个面上分别标有、、、、、个点的正方体玩具），记出现向上的点数为，求的值； （2）若，求的最大值； （3）求证；． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求得，结合题中定义可求得的值； （2）当时，求得，令，利用导数求出函数的最大值，即为所求； （3）先证明出，然后利用作差法证明出，即可证得结论成立. 【小问1详解】 由题意可知，，则. 【小问2详解】 若，则， 记， 则， 当时，，；当时，，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故的最大值为． 【小问3详解】 下面先证：，构造函数，则， 由可得，由可得， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以，即． 因为 ， 当且仅当，即时取得等号，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $