精品解析：上海市松江区2024-2025学年高二下学期期末质量监控数学试卷

松江区 2024 学年度第二学期期末质量监控试卷 高二数学 (满分 150 分， 完卷时间 120 分钟) 2025.06 考生注意: 1. 本考试设试卷和答题纸两部分， 试卷包括试题与答题要求， 所有答题必须涂(选择题)或写(非选择题)在答题纸上，做在试卷上一律不得分. 2. 答题前，务必在答题纸上填写姓名和考号. 3. 答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位. 一、填空题(本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1~6 题每题 4 分，第 7~12 题每题 5 分)考生 应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 直线 的倾斜角是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线斜率和倾斜角的关系，求得的倾斜角，即可得答案. 【详解】由，设斜率为，倾斜角为， 因为直线斜率为，则，又因直线的倾斜角， 所以. 故答案为： 2. 抛物线的焦点到准线的距离是_________________. 【答案】2 【解析】 【详解】焦点（1，0），准线方程，∴焦点到准线的距离是2. 3. 函数，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据导数的定义结合求导公式计算即可. 【详解】， 则. 故答案为：. 4. 一组数据70，72，78，79，80，81，84，86，88，94的第 70 百分位数是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用数据的百分位数的概念与计算方法，即可求解. 【详解】由70，72，78，79，80，81，84，86，88，94，共有10个数据，可得， 所以数据的第 70 百分位数是. 故答案为：. 5. 若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据方程表示焦点在轴上的椭圆建立不等式，并解出不等式即可 【详解】由题意可知：方程表示焦点在轴上的椭圆 则有： 解得： 故答案为：. 6. 双曲线的两条渐近线的夹角大小是__________ . 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得双曲线的渐近线方程，结合正切的倍角公式，即可求解. 【详解】由双曲线，可得其渐近线的方程为， 则渐近线与轴的夹角， 设渐近线与轴的夹角为，则， 所以两条渐近线的夹角为，且，则， 所以两条渐近线的夹角为. 故答案为：. 7. 5 名篮球队员甲、乙、丙、丁、戊，排成一排. 若甲不能站在排头，乙不能站在排尾，则不同的排法有_____种. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，分为两类：甲在排尾和甲不在排尾，两种情况讨论，结合排列数、组合数的公式，进行计算，即可求解. 【详解】甲不能站在排头，乙不能站在排尾，可分为两类： （1）甲在排尾，其他任意排列，共有种不同的排法； （2）甲不在排尾，甲有种，此时乙有种，其他任意排列有种， 所以甲不能站在排头，乙不能站在排尾，共有种不同的排法. 故答案为：. 8. 若的二项展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和的比为 64，则二项展开式中项的系数是__________ . 【答案】 【解析】 【分析】令，求得展开式的所有项的系数之和为，再由二项式系数之和为，根据题意，列出方程，求得，进而求得展开式中项的系数. 【详解】令，可得二项式的展开式的所有项的系数之和为， 又由二项式的展开式的二项式系数之和为， 可得，即，解得，即二项式为， 则二项式的展开式中项的系数为. 故答案为：. 9. 动圆M与圆外切，与圆内切，则动圆圆心M的轨迹方程是__________. 【答案】 【解析】 【分析】 首先根据圆与圆的位置关系确定出该动圆是椭圆，然后根据相关的两求出椭圆的方程． 【详解】解：设动圆的圆心为：，半径为， 动圆与圆外切，与圆内切， ， ， 因此该动圆是以原点为中心，焦点在轴上的椭圆，且，， 解得， ∴， 椭圆的方程为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查椭圆方程及圆与圆的位置关系，属于中档题． 10. 某学校为了获得该校全体高中学生的体育锻炼情况， 按男、女学生的比例分别抽样调查了 48 名男生和 27 名女生的每周锻炼时间. 通过计算得到男生每周锻炼时间的平均数为 7.6 小时， 方差为 7.3， 女生每周锻炼时间的平均数为 6.4 小时， 方差为 8， 则所有样本数据的方差是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据所有样本数据的方差公式进行求解即可. 【详解】设所有样本数据的平均数为， 所以所有样本数据的方差为， 故答案为： 11. 已知椭圆与双曲线具有相同的焦点，，点P为椭圆A与双曲线B位于第一象限的交点，且（O为坐标原点）．设椭圆A与双曲线B的离心率分别为，，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】法一：由题意可得焦点三角形为直角三角形，根据椭圆的定义、双曲线的定义与勾股定理，建立方程组，利用基本不等式的“1”的妙用，可得答案；法二：由题意可得焦点三角形为直角三角形，根据椭圆与双曲线焦点三角形面积的二级结论，建立方程，利用基本不等式的“1”的妙用，可得答案. 【详解】 法一：因为，所以． 设，（不妨设），， 依题意有，，， 所以， 当且仅当时等号成立，所以， 所以的最小值为． 法二：因为，所以． 对于焦点三角形，根据椭圆的性质可得其面积， 根据双曲线的性质可得，所以， 所以，整理可得． 所以， 当且仅当时等号成立，所以， 所以最小值为． 故答案为：. 12. 在探究 展开式的二项式系数性质时，我们把二项式系数写成一张表，借助它发现二项式系数的一些规律， 我们称这个表为杨辉三角 (如图 1). 现进行类比探究， 将 的展开式按 的升幂排列，将各项系数列表如下(如图 2): 1 1 图 1 图 2 图 2 表中第 行的第 个数用 表示，即 展开式中 的系数为 ，以下四个结论: ① ; ② ; ③ ; ④ ，正确的有__________. 【答案】②③ 【解析】 【分析】由图2得到，可直接判断①②③，对于④，运用赋值法分析计算即可判断； 【详解】依据题意结合图②可知图②中每一行的每一个数等于其上一行头顶和左、右肩上共三个数的和（没有的用0代替）， 如：第四行的第三个数10，等于上一行头顶上的数3加上左、右肩上的数1和6， 第三行中的第二个数3，等于上一行头顶上的数1加上左、右肩上的数0（左肩上没有数，故用0代替）和2， 所以， 对于①项，由上可得，故①项错误； 对于②项，由图可知， 依此类推可得，故②项正确； 对于③项，由上可知，，故③项正确； 对于④项，已知. 令，则， 即. 又因为. 由，展开式中的系数为. 而 ， 其展开式中的系数为，故④项错误. 故答案为：②③. 二、选择题(本大题共有 4 题，满分 18 分，第 13、14 题每题 4 分，第 15、16 题每题 5 分)每 题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 已知是正整数，“ ”是 “ ” 的（ ） A. 充要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】首先判断充分性是否成立，即讨论在的条件下，是否成立；随后判断必要性是否成立，即讨论在的条件下，是否成立. 【详解】充分性证明：当时，，， 故，充分性成立； 必要性证明：当时，可得或， 解得或，故必要性不成立. 综上，“ ”是 “ ” 的充分不必要条件. 故选：B. 14. 若事件 、 满足 ，则 与 的关系是（ ） A. 互斥 B. 互为对立 C. 相互独立 D. 互斥且相互独立 【答案】C 【解析】 【分析】利用独立事件，互斥事件和对立事件的定义判断即可 【详解】因为，. 又因为 ，所以有 ， 所以事件 与 相互独立，不互斥也不对立. 故选：B. 15. 过点作圆：的切线，直线：与直线平行，则直线与的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断点在圆上，求出切线的方程以及的值，利用两平行直线间的距离公式即可求解． 【详解】因为满足圆的方程， 所以点在圆上，又，所以， 因，则，解得， 故切线：，即. 因为切线与直线平行，所以，解得， 故直线：， 则平行直线与间的距离为. 故选：A. 16. 在平面直角坐标系中，若 ，则称 “ ” 是 两点的 “曼哈顿距离”. 若动点 到两定点 的 “曼哈顿距离” 之和为定值 ，则称点 的轨迹是 “曼哈顿椭圆”.若点 是该 “曼哈顿椭圆” 上一点，关于命题: ① 面积的最大值是 ；②该 “曼哈顿椭圆” 的周长是 ， 下列说法正确的是（ ） A. ①②都是真命题 B. ①是真命题②是假命题 C. ①是假命题②是真命题 D. ①②都是假命题 【答案】A 【解析】 【分析】根据“曼哈顿距离”的定义，把“曼哈顿距离”表示出来，根据对称性研究第一象限及轴和轴非负半轴上点的轨迹，直接去绝对值符号画图象即可逐项判断求解. 【详解】设，则两点“曼哈顿距离”，两点的“曼哈顿距离”， 则， 易得“曼哈顿”椭圆关于坐标原点及对称轴对称， 研究第一象限及轴和轴非负半轴上点的轨迹， ， 作曲线， 根据对称性可作出如图“曼哈顿圆”， 则，，， 对于①，当点与重合时面积最大为，故①是真命题， 对于②，， 所以该“曼哈顿椭圆”周长为，故②是真命题. 故选：A. 三、解答题(本大题满分 78 分)本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤. 17. 已知的三个顶点分别为，，，直线经过点． （1）求外接圆的方程； （2）若直线与圆相交于两点，且，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）先判断三角形的形状为等腰直角三角形，则圆心为斜边的中点，半径为斜边的一半可以得到圆的方程； （2）先根据弦长求出弦心距，再考虑直线斜率是否存在，分别判断直线是否符合要求，最后得到两条直线方程. 【小问1详解】 因为，，， 所以，，所以，所以， 又因为，所以是等腰直角三角形， 所以的圆心是的中点，即圆心，半径， 所以的方程为； 【小问2详解】 因为圆的半径为2，当直线截圆的弦长为时，圆心到直线的距离为， ①当直线与轴垂直时，此时直线斜率不存在，直线为，与圆心的距离为1，满足条件； ②当直线的斜率存在时，设，即， 则圆心到直线的距离为，解得， 此时直线的方程为，即， 综上可知，直线的方程为或． 18. 为增强学生的数学应用能力，学校举行了一次 “数学应用能力竞赛” . 为了解参加本次竞赛学生的成绩情况， 从中抽取了部分学生的成绩( 得分取正整数， 满分100分 )作为样本 (样本容量为)进行统计，按照的分组作出频率分布直方图，并作出部分样本分数的茎叶图(茎叶图中仅列出了得分在的数据)， 如图所示. （1）求样本容量和频率分布直方图中的值，并估测本次竞赛学生成绩的平均数；(备注:当没有提供每个数据的精确值，只提供了它们所在的区间时，为计算平均数，可用区间的中点值给区间内的每个数据赋值.) （2）在内按分层抽样的方法抽取8名学生的成绩，从这8名学生中随机抽取2人，求至少1名学生的成绩在的概率. 【答案】（1），7046 （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件的频率分布直方图及茎叶图求出，再估算平均数. （2）利用分层抽样求出给定3个区间内的人数，再利用对立事件的概率公式求出概率. 【小问1详解】 由茎叶图知，得分在的频数分别为， 由频率分布直方图知，得分在的频率为，因此， ，由，得， 所以； 各组的平均数分别是54.5，65，75，85，93.5，相应的频率分别是0.16，0.3，0.4，0.1，0.04， 所以估测本次竞赛学生成绩的平均数. 【小问2详解】 设在内的人数分别是，抽取的人数分别是 ， 由，解得； 由，解得， 所以从这8名学生的成绩中随机抽取2名，至少1名学生的成绩在的概率是. 19. 为丰富学生的业余生活， 学校开展了一系列文体活动， 其中有一项是 3 对 3 篮球对抗赛. 现有甲、乙两队进行比赛，假设每局比赛结果相互独立且无平局，每局比赛甲队获胜的概率为 ，乙队获胜的概率为 . （1）若采用三局两胜制(即先胜两局者赢得比赛，同时比赛结束)进行比赛，求甲队获胜的概率; （2）若比赛有三局两胜制(即先胜两局者赢得比赛，同时比赛结束)和五局三胜制(即先胜三局者赢得比赛， 同时比赛结束)两种选择， 从概率角度考虑， 甲队如何选择对自己更有利? 请说明理由. 【答案】（1） （2）选择五局三胜制对甲队更有利，理由见解析 【解析】 【分析】（1）用表示事件 “第局甲队胜” ， 表示事件 “第局乙队胜” ，设表示事件“三局两胜制下甲队获胜”，得到，结合相互独立事件和互斥事件的概率公式，即可求解； （2）用表示事件 “ 局赛完，甲队胜” ，设 表示事件“五局三胜制下甲队获胜”，根据相互独立事件的概率公式，求得，即可求解. 【小问1详解】 解：用表示事件 “第局甲队胜” ， 表示事件 “第局乙队胜” ( )， 则 ， 设表示事件“三局两胜制下甲队获胜”，则 ， 由各局比赛结果相互独立，且事件互斥， 所以. 【小问2详解】 解：用表示事件 “ 局赛完，甲队胜” ， 则 ， 设 表示事件“五局三胜制下甲队获胜”，则， 由各局比赛结果相互独立，且事件 互斥， 所以， 因为，所以选择五局三胜制对甲队更有利. 20. 如图，已知椭圆的离心率为，该椭圆的左右焦点 恰好是双曲线的左右顶点，是双曲线上异于顶点的任意一点，直线和与椭圆的交点分别是 和. （1）求椭圆的方程； （2）设直线的斜率分别是，求证: ； （3）是否存在常数，使得 恒成立？若存在，求的值；若不存在， 请说明理由. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）设椭圆的焦距为，根据题意，得到，由离心率，得到，进而求得椭圆的方程； （2）设点，可得，结合，即可求解； （3）设直线的方程为，则直线方程为 ，联立方程组，结合弦长公式，求得和，根据题目条件得，即可证得结论. 【小问1详解】 设椭圆的焦距为， 因为椭圆焦点恰好是双曲线的左右顶点， 所以 ，故， 因为离心率，所以， 因为，所以 ，所以椭圆的方程是 . 【小问2详解】 设点，则 ， 因为点在双曲线上，所以，可得， 所以. 【小问3详解】 由 (2) 知 ， 设直线的方程为，则直线方程为 ， 联立方程组 ，整理得， 记，则， 所以 ，同理可得， 所以 ， 即 ， 所以存在，使成立. 21. 若定义域为的函数和分别存在导函数和，且对任意实数，都存在常，使得成立，则称函数是函数的 “ 导控函数”，称为导控系数. （1）判断函数是否是的 “ 2 导控函数”，并说明理由； （2）若函数是函数的“导控函数”，求导控系数的取值范围; （3）若 ，函数是函数 的“ 1 导控函数”， 求证: “” 的充要条件是 “存在常数，使得恒成立”. 【答案】（1）是，理由见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求得，得到，即，即可得到答案； （2）求得，转化为成立，令，求得，得出的单调性，的得到，即可求解； （3）若存在常数，使得恒成立，得到，求得，证得充分性成立；若，则，由函数是函数的 “ 1 相关函数”，得到，再由，转化为，进而得到，证得必要性成立，即可得证. 小问1详解】 解：由函数是否是，可得， 因为对 ，所以 ， 即对任意实数 成立， 所以函数是函数的 “ 2 导控函数” . 【小问2详解】 解：由函数，且， 可得， 对任意实数，都存在常数，使得 成立， 设，则， 由， 当时，；当 时， . 即在上严格减，在上严格增， 所以， 即对任意实数，成立， 所以导控系数的取值范围是 . 【小问3详解】 证明：充分性：若存在常数，使得恒成立， 因为，所以， 即， 即对任意实数成立，所以. 必要性：若，则， 因为函数是函数的 “ 1 导控函数”， 所以对任意实数 ①， 由，得函数是函数的 “ 1 导控函数”， 所以对任意实数 ，即， 用代换，得对任意实数 ②， 由①②可知:对任意实数 ，即， 所以存在常数，使得恒成立， 综上可得: “” 的充要条件是 “存在常数，使得恒成立”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 松江区 2024 学年度第二学期期末质量监控试卷 高二数学 (满分 150 分， 完卷时间 120 分钟) 2025.06 考生注意: 1. 本考试设试卷和答题纸两部分， 试卷包括试题与答题要求， 所有答题必须涂(选择题)或写(非选择题)在答题纸上，做在试卷上一律不得分. 2. 答题前，务必在答题纸上填写姓名和考号. 3. 答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位. 一、填空题(本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1~6 题每题 4 分，第 7~12 题每题 5 分)考生 应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 直线 的倾斜角是__________. 2. 抛物线的焦点到准线的距离是_________________. 3. 函数，则______． 4. 一组数据70，72，78，79，80，81，84，86，88，94的第 70 百分位数是__________. 5. 若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是__________ 6. 双曲线的两条渐近线的夹角大小是__________ . 7. 5 名篮球队员甲、乙、丙、丁、戊，排成一排. 若甲不能站在排头，乙不能站在排尾，则不同排法有_____种. 8. 若的二项展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和的比为 64，则二项展开式中项的系数是__________ . 9. 动圆M与圆外切，与圆内切，则动圆圆心M的轨迹方程是__________. 10. 某学校为了获得该校全体高中学生体育锻炼情况， 按男、女学生的比例分别抽样调查了 48 名男生和 27 名女生的每周锻炼时间. 通过计算得到男生每周锻炼时间的平均数为 7.6 小时， 方差为 7.3， 女生每周锻炼时间的平均数为 6.4 小时， 方差为 8， 则所有样本数据的方差是__________. 11. 已知椭圆与双曲线具有相同的焦点，，点P为椭圆A与双曲线B位于第一象限的交点，且（O为坐标原点）．设椭圆A与双曲线B的离心率分别为，，则的最小值为__________． 12. 在探究 展开式的二项式系数性质时，我们把二项式系数写成一张表，借助它发现二项式系数的一些规律， 我们称这个表为杨辉三角 (如图 1). 现进行类比探究， 将 的展开式按 的升幂排列，将各项系数列表如下(如图 2): 1 1 图 1 图 2 图 2 表中第 行第 个数用 表示，即 展开式中 的系数为 ，以下四个结论: ① ; ② ; ③ ; ④ ，正确有__________. 二、选择题(本大题共有 4 题，满分 18 分，第 13、14 题每题 4 分，第 15、16 题每题 5 分)每 题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 已知是正整数，“ ”是 “ ” 的（ ） A. 充要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 既非充分又非必要条件 14. 若事件 、 满足 ，则 与 的关系是（ ） A. 互斥 B. 互为对立 C. 相互独立 D. 互斥且相互独立 15. 过点作圆：的切线，直线：与直线平行，则直线与的距离为（ ） A B. C. D. 16. 在平面直角坐标系中，若 ，则称 “ ” 是 两点的 “曼哈顿距离”. 若动点 到两定点 的 “曼哈顿距离” 之和为定值 ，则称点 的轨迹是 “曼哈顿椭圆”.若点 是该 “曼哈顿椭圆” 上一点，关于命题: ① 面积的最大值是 ；②该 “曼哈顿椭圆” 的周长是 ， 下列说法正确的是（ ） A. ①②都是真命题 B. ①是真命题②是假命题 C. ①是假命题②是真命题 D. ①②都是假命题 三、解答题(本大题满分 78 分)本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤. 17. 已知的三个顶点分别为，，，直线经过点． （1）求外接圆的方程； （2）若直线与圆相交于两点，且，求直线的方程． 18. 为增强学生的数学应用能力，学校举行了一次 “数学应用能力竞赛” . 为了解参加本次竞赛学生的成绩情况， 从中抽取了部分学生的成绩( 得分取正整数， 满分100分 )作为样本 (样本容量为)进行统计，按照的分组作出频率分布直方图，并作出部分样本分数的茎叶图(茎叶图中仅列出了得分在的数据)， 如图所示. （1）求样本容量和频率分布直方图中的值，并估测本次竞赛学生成绩的平均数；(备注:当没有提供每个数据的精确值，只提供了它们所在的区间时，为计算平均数，可用区间的中点值给区间内的每个数据赋值.) （2）在内按分层抽样的方法抽取8名学生的成绩，从这8名学生中随机抽取2人，求至少1名学生的成绩在的概率. 19. 为丰富学生的业余生活， 学校开展了一系列文体活动， 其中有一项是 3 对 3 篮球对抗赛. 现有甲、乙两队进行比赛，假设每局比赛结果相互独立且无平局，每局比赛甲队获胜的概率为 ，乙队获胜的概率为 . （1）若采用三局两胜制(即先胜两局者赢得比赛，同时比赛结束)进行比赛，求甲队获胜的概率; （2）若比赛有三局两胜制(即先胜两局者赢得比赛，同时比赛结束)和五局三胜制(即先胜三局者赢得比赛， 同时比赛结束)两种选择， 从概率角度考虑， 甲队如何选择对自己更有利? 请说明理由. 20. 如图，已知椭圆的离心率为，该椭圆的左右焦点 恰好是双曲线的左右顶点，是双曲线上异于顶点的任意一点，直线和与椭圆的交点分别是 和. （1）求椭圆的方程； （2）设直线的斜率分别是，求证: ； （3）是否存在常数，使得 恒成立？若存在，求的值；若不存在， 请说明理由. 21. 若定义域为的函数和分别存在导函数和，且对任意实数，都存在常，使得成立，则称函数是函数的 “ 导控函数”，称为导控系数. （1）判断函数是否是的 “ 2 导控函数”，并说明理由； （2）若函数是函数的“导控函数”，求导控系数的取值范围; （3）若 ，函数是函数 的“ 1 导控函数”， 求证: “” 的充要条件是 “存在常数，使得恒成立”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $