精品解析：上海市复旦大学附属复兴中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

复兴中学2024-2025学年第二学期高一年级数学期末 2025.6 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知扇形的弧长和半径都是4，则扇形的面积为__________． 2. 1和9的等差中项为_________ 3. 已知向量，若，则___________. 4. 若复数满足，为虚数单位，则的实部为________． 5 已知，则______. 6. 已知向量，向量，则在上的数量投影为________ 7. 已知等差数列满足，则________． 8. 已知为虚数单位，则________． 9. 等比数列的前项和为，则___. 10. 已知复数满足，则的最小值为________． 11. 如图，由一个正方形与正三角形(点E在下方)组成一个“风筝骨架”，O为正方形的中心，点P是“风筝骨架”上一点，设(m，)，则的最大值是______. 12. 对任意闭区间，用表示函数在上的最小值．若正数满足，则正数的取值集合为________． 二、选择题（其中13~14题，每题4分，15~16题每题5分，共18分） 13. 是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 14. 已知数列是等比数列，、、为正整数，则“”是“”的（ ）. A 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 15. 已知向量，，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 16. 已知（是正整数）是直角三角形，是直角，内角、、所对的边分别为、、，面积为．若，，，．有下列两个命题：①既存在最小项又存在最大项；②既存在最小项又存在最大项．则（ ） A. ①真；②真 B. ①真；②假 C. ①假；②真 D. ①假；②假 三、解答题（14+14+14+18+18=78分） 17. 已知复数，为虚数单位． （1）求； （2）若复数是关于的方程的一个根，求实数m，n的值. 18. 设{an}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列． （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值． 19. 已知为单位向量，且与的夹角为60°. （1）求值； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 20. 我市某大型综合商场门前有条长120米，宽6米的道路（如图1所示的矩形），路的一侧划有24个长5米，宽2.5米的停车位（如矩形）．由于停车位不足，高峰期时段道路拥堵，该商场郭经理提出一个改造方案：在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边的绿化带及改变停车位的方向来增加停车位．记绿化带被压缩的宽度米，停车位相对道路倾斜的角度，其中． （1）若，求和的长； （2）求关于的函数表达式； （3）若，按照郭经理的方案，该路段改造后的停车位比改造前增加了多少个？ 21. 如图，已知与的夹角为，点是的外接圆优弧上的一个动点（含端点），记与的夹角为． （1）求外接圆的直径； （2）试将表示为函数； （3）设点满足，求最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 复兴中学2024-2025学年第二学期高一年级数学期末 2025.6 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知扇形的弧长和半径都是4，则扇形的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式，可得答案. 【详解】由题意可知，扇形面积为. 故答案为：. 2. 1和9的等差中项为_________ 【答案】5； 【解析】 【分析】由等差中项的定义可得，解之可得． 【详解】设1与9两数的等差中项为a， 则可得， 解得， 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，考查等差中项的定义和求法，属于容易题． 3. 已知向量，若，则___________. 【答案】3 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标运算求解. 【详解】向量，若，则，解得 故答案为：3. 4. 若复数满足，为虚数单位，则的实部为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，结合复数的概念可得出复数的实部. 【详解】因为，则，故复数的实部为. 故答案为：. 5. 已知，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据同角的三角函数关系，结合二倍角的正弦公式进行求解即可. 【详解】， 故答案为： 6. 已知向量，向量，则在上的数量投影为________ 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的坐标运算以及数量投影的概念可求得结果. 【详解】因为向量，向量， 由题意可知，在上的数量投影为. 故答案为：. 7. 已知等差数列满足，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由等差数列性质结合题意可得答案. 【详解】，则. 故答案为：4 8. 已知为虚数单位，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据虚数的性质，准确计算，即可求解. 【详解】由虚数的性质，可得， 可得. 故答案为： 9. 等比数列的前项和为，则___. 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列得前项和公式可得，即可求出结果. 【详解】因为等比数列得前项和为，又因为，所以，即， 故答案为：. 10. 已知复数满足，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的几何意义，复数在以为圆心，半径的圆上，又由表示负数在复平面内对应的点到点的距离，结合圆的性质，即可求解. 【详解】由复数的几何意义得，满足的复数在以为圆心，半径的圆上， 又由表示负数在复平面内对应的点到点的距离， 如图所示，可得， 所以的最小值为. 故答案为：. 11. 如图，由一个正方形与正三角形(点E在下方)组成一个“风筝骨架”，O为正方形的中心，点P是“风筝骨架”上一点，设(m，)，则的最大值是______. 【答案】 【解析】 【分析】如图所示建立直角坐标系，设正方形边长为，：，计算，得到答案. 【详解】如图所示建立直角坐标系，设正方形边长为，则，， 当在上时，：，，故设， 故，故， 当时等号成立， 同理可得在其他“风筝骨架”的最值，比较知当与点重合时最大为. 故答案为：. 【点睛】本题考查了向量运算，意在考查学生的计算能力，建立直角坐标系是解题的关键. 12. 对任意闭区间，用表示函数在上的最小值．若正数满足，则正数的取值集合为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，按取值情况分段讨论，并结合二倍角公式及余弦函数性质求解. 【详解】当时，为在上的减函数，则， 由，得，即，解得或，不合题意； 当时，，，由，则，则； 当时，，，不合题意； 当时，，，则； 当时，的区间长度不小于，，则， 所以正数的取值范围为． 故答案为： 二、选择题（其中13~14题，每题4分，15~16题每题5分，共18分） 13. 是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数几何意义直接判断. 【详解】复数在复平面内对应的点为，该点位于第一象限. 故选：A 14. 已知数列是等比数列，、、为正整数，则“”是“”的（ ）. A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合等比数列的性质判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即可判断出答案. 【详解】由题意知数列是等比数列，设其公比为q， 则，， 当时，显然成立； 当时，不妨取，此时，满足， 但不成立， 故“”是“”的充分非必要条件， 故选：A 15. 已知向量，，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算结合模长公式整理得，结合余弦函数的有界性分析求解. 【详解】因为，，则， 可得， 因为，则，可得， 所以的取值范围是. 故选：D. 16. 已知（是正整数）是直角三角形，是直角，内角、、所对的边分别为、、，面积为．若，，，．有下列两个命题：①既存在最小项又存在最大项；②既存在最小项又存在最大项．则（ ） A. ①真；②真 B. ①真；②假 C. ①假；②真 D. ①假；②假 【答案】C 【解析】 【分析】由题意推出，从而说明，利用三角形面积公式推出，构造数列从而求得，由此可判断①；由结合可求得、，对数列中的奇数项和偶数项构成的数列的单调性以及项的符号进行分析，确定数列的最大项和最小项，可判断②. 【详解】对于①，由题意知： ， 故，即，即， 所以，则， 故，， 由 得：， 即，所以， 则，而， 故 ，则， 因为，故， 由于 随的增大而减小，故随的增大而增大， 即数列是递增数列，故最小项为，无最大项，①为假命题； 对于②，又，由于，，且， 所以是首项为，公比为的等比数列，故， 所以，， 因，，故，， 所以，， 所以，，其中， ，其中， 因为数列随着的增大而减小， 数列随着的增大而增大， 故数列随着的增大而减小， 故为数列中所有正项中最大的， 同理可知数列随着的增大而增大， 故为数列中所有负项中最小的， 综上所述，数列的最大项为，最小项为，②为真命题. 故选：C. 三、解答题（14+14+14+18+18=78分） 17. 已知复数，为虚数单位． （1）求； （2）若复数是关于的方程的一个根，求实数m，n的值. 【答案】（1） （2）, 【解析】 【分析】（1）利用复数的运算法则以及复数模的定义求解； （2）利用复数相等的条件求解即可. 【小问1详解】 由已知得，则； 【小问2详解】 将代入方程得， 即， 则，解得,. 18. 设{an}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列． （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意首先求得数列的公差，然后利用等差数列通项公式可得的通项公式； (Ⅱ)首先求得的表达式，然后结合二次函数的性质可得其最小值. 【详解】（Ⅰ）设等差数列的公差为， 因为成等比数列，所以， 即，解得，所以. （Ⅱ）由（Ⅰ）知, 所以； 当或者时，取到最小值. 【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用. 19. 已知为单位向量，且与的夹角为60°. （1）求的值； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对于求向量的模长，可先对其平方，再利用向量数量积运算求解； （2）对于两向量夹角为锐角的问题，可根据向量数量积大于且两向量不同向共线来确定参数的取值范围. 【小问1详解】 对先平方可得： 展开得： 因为，为单位向量，所以，则，. 又因为与的夹角为，可得： 将，，代入可得： 所以. 【小问2详解】 因为向量与的夹角为锐角，所以且与不同向共线. 可得： 将，，代入上式可得： 整理得：，即，得：，解得. 若两向量同向共线，则存在实数，使得，即. 所以可得，将代入得，解得. 所以当两向量不同向共线时，. 综合以上两个条件，实数的取值范围是. 20. 我市某大型综合商场门前有条长120米，宽6米的道路（如图1所示的矩形），路的一侧划有24个长5米，宽2.5米的停车位（如矩形）．由于停车位不足，高峰期时段道路拥堵，该商场郭经理提出一个改造方案：在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边的绿化带及改变停车位的方向来增加停车位．记绿化带被压缩的宽度米，停车位相对道路倾斜的角度，其中． （1）若，求和的长； （2）求关于的函数表达式； （3）若，按照郭经理的方案，该路段改造后的停车位比改造前增加了多少个？ 【答案】（1）米，米． （2），． （3）13个． 【解析】 【分析】（1）由图，结合几何性质与三角函数可得答案； （2）由图可得，后由（1）可得答案； （3）由（2）及可得 .设改造后停车位数量最大值为，由图可得第个车位顶点到的距离，后结合可得，即可得答案. 【小问1详解】 由题意得米，米，， 则，即． 由，且，，可得，， 则米，米． 【小问2详解】 由（1）可得，， ， 故，． 【小问3详解】 由，可得，即． 设，则， 整理得，解得． 由，可得． 当时，解得，，不符合题意； 当时，解得，，符合题意． 设改造后停车位数量最大值为，如图，过停车位顶点作的垂线，垂足为， 则顶点到线段的距离为． 由图及题意可知，， 则． 因为， 所以，，， 则． 由题可知，即，解得，则取， 故该路段改造后的停车位比改造前增加了个． 【点睛】关键点睛：本题前两问需利用三角函数及几何知识，用已知量表示未知量；第三问，需将停车位数量与停车位顶点到停车场边界距离联系起来，再利用之前所得到的部分结论解决问题. 21. 如图，已知与的夹角为，点是的外接圆优弧上的一个动点（含端点），记与的夹角为． （1）求外接圆的直径； （2）试将表示为的函数； （3）设点满足，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在中，利用正、余弦定理运算求解； （2）在中，利用正弦定理结合三角恒等变换运算求解； （3）设，其中，根据数量积用表示，根据（2）中的关系，利用三角恒等变换结合正弦函数运算求解. 【小问1详解】 在中，由余弦定理 ， 所以， 由正弦定理可得. 【小问2详解】 连接，由题意可知， 在中，由正弦定理，则， 且为锐角，则， 可得 ， 由正弦定理， 可得， 所以表示为的函数为. 【小问3详解】 设，其中， 由题意可得， 则， ， 即，解得， 又，所以， 可得 ，其中， 构建 ，其中， 当，即时，取到最大值为， 所以的最大值为， 所以的最大值为. 【点睛】关键点点睛：第三问关键是设，其中，再结合（2）的结论用的式子表示出，最后再结合三角恒等变换公式及正弦函数的性质求出最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$