3.3幂函数【6个题型】讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2025年暑假新高一数学常考题型归纳 【3.3幂函数】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：由幂函数的解析式求参数】 【知识点分析】 由幂函数的解析式求解参数 【知识点的认识】 幂函数的定义：一般地，函数y＝xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．对于幂函数，我们只研究a＝1，2，3，，﹣1时的图像与性质． 【解题方法点拨】 ﹣分析幂函数的解析式，代入已知条件，求解参数值． ﹣验证求解结果的正确性，结合实际问题分析幂函数及其应用． 【命题方向】 题目包括通过幂函数的解析式求解参数，结合实际问题分析幂函数及其应用． 若函数是幂函数且为奇函数，则m的值为_____． 解：∵函数是幂函数且为奇函数， ∴m2﹣6m+9＝1，且m2﹣3m+1为奇数， 求得m＝4或m＝2， 故答案为：4或2． 例题精选 【例题1】若函数是幂函数，则实数的值是（   ） A．1或 B． C．2 D．或2 【例题2】“”是“为幂函数”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件 【例题3】已知幂函数的图象经过点，则 ． 相似练习 【相似题1】已知幂函数的图象经过点，则 ． 【相似题2】已知幂函数的图象过点，则 . 【相似题3】已知幂函数，则 . 【题型2：幂函数型复合函数的定义域】 【知识点分析】 幂函数型复合函数的定义域 【知识点的认识】 幂函数的定义：一般地，函数y＝xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．对于幂函数，我们只研究a＝1，2，3，，﹣1时的图像与性质． 幂函数的定义域是指自变量x取值的范围，对于幂函数y＝xa，定义域与指数a的取值有关． 幂函数型复合函数的定义域是指自变量取值的范围，涉及复合函数的内外层函数． 【解题方法点拨】 ﹣当a为正整数时，定义域为全体实数，即x∈（﹣∞，+∞）． ﹣当a为负整数时，定义域为x≠0的全体实数，即x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）． ﹣当a为分数时，若分母为偶数，则定义域为x≥0；若分母为奇数，则定义域为x∈（﹣∞，+∞）． ﹣分析内层函数的定义域，确保内层函数有意义． ﹣分析外层幂函数的定义域，确保整个复合函数有意义． ﹣结合内外层函数的定义域，确定复合函数的定义域． 例题精选 【例题1】若幂函数的图象过点，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【例题2】幂函数图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【例题3】函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】请写出一个幂函数满足以下两个条件：①定义域为；②为减函数，则 . 【相似题2】已知幂函数的定义域是，则 ． 【相似题3】已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【题型3：幂函数型复合函数的值域】 【知识点分析】 幂函数型复合函数的值域 【知识点的认识】 幂函数的定义：一般地，函数y＝xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．对于幂函数，我们只研究a＝1，2，3，，﹣1时的图像与性质． 幂函数的值域是指函数输出值的范围，幂函数的值域与指数a有关． 幂函数型复合函数的值域是指函数输出值的范围，涉及复合函数的内外层函数． 【解题方法点拨】 ﹣当n为正整数时，值域为全体实数y∈（﹣∞，+∞）． ﹣当n为负整数时，值域为正实数y∈（0，+∞）． ﹣当n为正分数时，若分母为偶数，值域为非负实数y∈[0，+∞）；若分母为奇数，值域为全体实数． ﹣确定内层函数的值域． ﹣将内层函数的值域代入外层幂函数，分析外层函数的值域． ﹣结合内外层函数的值域，确定复合函数的值域． 例题精选 【例题1】若函数的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例题2】已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域是 ． 【例题3】已知函数  其中 ．那么 的零点是 ；若 的值域是 ，则c的取值范围是 ． 相似练习 【相似题1】已知，则使函数的值域为R，且为奇函数的所有α的值为 . 【相似题2】已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 【相似题3】已知函数，且． (1)求的解析式； (2)求函数在上的值域． 【题型4：幂函数图象特征与幂指数的关系】 【知识点分析】 幂函数的图象 【知识点的认识】 幂函数图象特征与幂指数的关系 【知识点的认识】 幂函数的定义：一般地，函数y＝xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．对于幂函数，我们只研究a＝1，2，3，，﹣1时的图像与性质． 幂函数的图象特征与其幂指数a密切相关，不同幂指数的幂函数图象有不同的形态． 【解题方法点拨】 ﹣当a为正整数时，图象在第一、三象限呈对称分布． ﹣当a为负整数时，图象在第二、四象限呈对称分布，且x越大，y越小． ﹣当a为正分数时，图象在第一象限，开口向右上方． ﹣当a为负分数时，图象在第一、二象限，开口向左下方． 例题精选 【例题1】如图所示的曲线是幂函数在第一象限的图象，已知n取四个值，则相对应的曲线的n值依次为（   ） A．2， B．，2 C．，2 D．，2 【例题2】若幂函数与在第一象限内的图象如图所示，则与的取值情况为（   ）    A． B． C． D． 【例题3】若直线与幂函数的图象依次交于不同的三点，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．以上说法都不正确 相似练习 【相似题1】若直线与幂函数，，的图象从左到右依次交于不同的三点，，，则（   ） A． B． C． D． 【相似题2】函数的大致图象为（   ）． A． B． C． D． 【相似题3】如图，①②③④对应四个幂函数的图象，则①对应的幂函数可以是（   ） A． B． C． D． 【题型5：由幂函数的单调性求解参数】 【知识点分析】 由幂函数的单调性求解参数 【知识点的认识】 通过已知幂函数的单调性，反向求解函数的参数值，要求学生理解单调性与参数的关系． 五个常用幂函数的图象和性质 （1）y＝x； （2）y＝x2； （3）y＝x3； （4）y； （5）y＝x﹣1 y＝x y＝x2 y＝x3 y y＝x﹣1 定义域 R R R [0，+∞） {x|x≠0} 值域 R [0，+∞） R [0，+∞） {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 x∈[0，+∞）时，增 x∈（﹣∞，0]时，减 增 增 x∈（0，+∞）时，减 x∈（﹣∞，0）时，减 公共点 （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1） 例题精选 【例题1】下列函数中，既是奇函数又在单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【例题2】已知函数，则不等式的解集是 . 【例题3】已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递增，则满足的a的取值范围是 ． 相似练习 【相似题1】已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，求满足的的取值范围． 【相似题2】已知函数是偶函数，则 ，函数的单调递增区间为 ． 【相似题3】函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【题型6：求解幂函数的奇偶性】 【知识点分析】 求解幂函数的奇偶性 【知识点的认识】 幂函数的奇偶性反映了函数的对称性，幂函数的奇偶性与指数a有关． 五个常用幂函数的图象和性质 （1）y＝x； （2）y＝x2； （3）y＝x3； （4）y； （5）y＝x﹣1 y＝x y＝x2 y＝x3 y y＝x﹣1 定义域 R R R [0，+∞） {x|x≠0} 值域 R [0，+∞） R [0，+∞） {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 x∈[0，+∞）时，增 x∈（﹣∞，0]时，减 增 增 x∈（0，+∞）时，减 x∈（﹣∞，0）时，减 公共点 （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1） ﹣ 【解题方法点拨】 ﹣若f（﹣x）＝f（x），则幂函数为偶函数，幂指数n为偶数． ﹣若f（﹣x）＝﹣f（x），则幂函数为奇函数，幂指数n为奇数． ﹣分析函数的解析式，确定其奇偶性． 例题精选 【例题1】已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例题2】已知幂函数的定义域为，其图象关于原点对称，且在上单调递增，则的值可以是 .（写出一个即可） 【例题3】已知函数是幂函数，且是奇函数，则 ． 相似练习 【相似题1】写出同时满足下列条件的一个函数的解析式 . ①为幂函数； ②为偶函数； ③在区间上单调递减. 【相似题2】已知幂函数的图象关于轴对称，且，则 ；若，则实数的取值范围是 ． 【相似题3】已知幂函数是偶函数. (1)求的解析式； (2)设是定义在上的奇函数，当时，，求函数的解析式. 【课后强化练习】 一、单选题 1．已知幂函数的图像经过点，则（    ） A．的定义域为 B．为奇函数 C．为减函数 D．的值域为 2．“”是“为幂函数”的（    ）条件． A．充要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充分不必要 3．（24-25高一下·广东湛江·阶段练习）已知幂函数在定义域内单调递增，则（   ） A． B． C． D．2 4．（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）已知函数，且，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·湖北·阶段练习）幂函数都有成立，则下列说法正确的是（    ） A． B．或 C．是偶函数 D．是奇函数 6．（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知幂函数的图象经过点，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 8．（24-25高一上·湖南永州·阶段练习）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上是减函数.m的值为 9．（24-25高一下·湖北·阶段练习）已知幂函数是偶函数，则不等式的解集为 ． 10．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）已知幂函数的图像关于轴对称，且在上是减函数，实数a满足，则a的取值范围是 . 11．（24-25高一上·江苏泰州·阶段练习）已知幂函数的图象过点，则该函数的单调递减区间为 ． 12．（24-25高一上·天津河西·阶段练习）已知幂函数的图象经过点，则函数是 函数（奇偶性），若，则实数的取值范围是 . 13．（24-25高一上·上海奉贤·阶段练习）如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为 . 四、解答题 14．（24-25高一上·山东日照·期末）已知幂函数的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 15．（24-25高一上·云南保山·阶段练习）已知幂函数为奇函数. (1)求函数的解析式； (2)若，求a的取值范围. 16．（24-25高一上·福建龙岩·阶段练习）已知幂函数是奇函数，且在上单调递增. (1)解不等式； (2)若实数满足，求的最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年暑假新高一数学常考题型归纳 【3.3幂函数】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：由幂函数的解析式求参数】 【知识点分析】 由幂函数的解析式求解参数 【知识点的认识】 幂函数的定义：一般地，函数y＝xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．对于幂函数，我们只研究a＝1，2，3，，﹣1时的图像与性质． 【解题方法点拨】 ﹣分析幂函数的解析式，代入已知条件，求解参数值． ﹣验证求解结果的正确性，结合实际问题分析幂函数及其应用． 【命题方向】 题目包括通过幂函数的解析式求解参数，结合实际问题分析幂函数及其应用． 若函数是幂函数且为奇函数，则m的值为_____． 解：∵函数是幂函数且为奇函数， ∴m2﹣6m+9＝1，且m2﹣3m+1为奇数， 求得m＝4或m＝2， 故答案为：4或2． 例题精选 【例题1】若函数是幂函数，则实数的值是（   ） A．1或 B． C．2 D．或2 【答案】D 【详解】由幂函数的定义知，解得或． 【例题2】“”是“为幂函数”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件 【答案】D 【分析】由幂函数的定义求解出的值，由充分必要条件的定义判断即可. 【详解】是幂函数， 则，即，解得或， 所以是为幂函数的充分不必要条件， 故选：D 【例题3】已知幂函数的图象经过点，则 ． 【答案】 【分析】根据函数所过点可得解析式，代入即可求得结果. 【详解】，，，. 故答案为：. 相似练习 【相似题1】已知幂函数的图象经过点，则 ． 【答案】/ 【分析】由待定系数法即可代入求解. 【详解】设，则，故，则， 故答案为： 【相似题2】已知幂函数的图象过点，则 . 【答案】27 【分析】将点代入幂函数解析式（含参），求得参数值，即得函数表达式，由此即可求解. 【详解】设，将点代入得，解得， 所以. 故答案为：27 【相似题3】已知幂函数，则 . 【答案】 【分析】由幂函数定义可得，然后可得答案. 【详解】由幂函数定义可得，则， 则. 故答案为： 【题型2：幂函数型复合函数的定义域】 【知识点分析】 幂函数型复合函数的定义域 【知识点的认识】 幂函数的定义：一般地，函数y＝xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．对于幂函数，我们只研究a＝1，2，3，，﹣1时的图像与性质． 幂函数的定义域是指自变量x取值的范围，对于幂函数y＝xa，定义域与指数a的取值有关． 幂函数型复合函数的定义域是指自变量取值的范围，涉及复合函数的内外层函数． 【解题方法点拨】 ﹣当a为正整数时，定义域为全体实数，即x∈（﹣∞，+∞）． ﹣当a为负整数时，定义域为x≠0的全体实数，即x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）． ﹣当a为分数时，若分母为偶数，则定义域为x≥0；若分母为奇数，则定义域为x∈（﹣∞，+∞）． ﹣分析内层函数的定义域，确保内层函数有意义． ﹣分析外层幂函数的定义域，确保整个复合函数有意义． ﹣结合内外层函数的定义域，确定复合函数的定义域． 例题精选 【例题1】若幂函数的图象过点，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据幂函数的图象过点求出的值，即可求出的定义域，再根据抽象函数的定义域计算规则得到，解得即可. 【详解】设，依题意可得，解得，所以， 所以的定义域为，值域为，且， 对于函数，则，解得， 即函数的定义域是. 故选：B 【例题2】幂函数图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出幂函数，代入点坐标得到函数解析式，确定函数定义域，得到，解得答案. 【详解】设幂函数为，则，故，， 则的定义域为， 故满足，解得. 故选：A 【例题3】函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数解析式有意义可得出关于实数的不等式组，由此可解得函数的定义域. 【详解】因为， 则有，解得且，因此的定义域是． 故选：B. 相似练习 【相似题1】请写出一个幂函数满足以下两个条件：①定义域为；②为减函数，则 . 【答案】（答案不唯一）. 【分析】举例，再分析其定义域与单调性即可. 【详解】举例，其定义域为定义域为，且为减函数， 故答案为：（答案不唯一）. 【相似题2】已知幂函数的定义域是，则 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的系数为，求出的值，再结合幂函数的定义域进行检验即可. 【详解】因为函数为幂函数，则，即， 解得或， 当时，函数的定义域为，合乎题意； 当时，函数的定义域为，舍去. 综上所述，. 【相似题3】已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据题意设出解析式，求出解析式后求解具体函数定义域即可. 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，解得，故，则， 故，解得 故选：B 【题型3：幂函数型复合函数的值域】 【知识点分析】 幂函数型复合函数的值域 【知识点的认识】 幂函数的定义：一般地，函数y＝xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．对于幂函数，我们只研究a＝1，2，3，，﹣1时的图像与性质． 幂函数的值域是指函数输出值的范围，幂函数的值域与指数a有关． 幂函数型复合函数的值域是指函数输出值的范围，涉及复合函数的内外层函数． 【解题方法点拨】 ﹣当n为正整数时，值域为全体实数y∈（﹣∞，+∞）． ﹣当n为负整数时，值域为正实数y∈（0，+∞）． ﹣当n为正分数时，若分母为偶数，值域为非负实数y∈[0，+∞）；若分母为奇数，值域为全体实数． ﹣确定内层函数的值域． ﹣将内层函数的值域代入外层幂函数，分析外层函数的值域． ﹣结合内外层函数的值域，确定复合函数的值域． 例题精选 【例题1】若函数的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，根据复合函数的值域得函数的最小值要小于等于，进而结合二次函数性质求解即可． 【详解】解：由题意：函数是一个复合函数，要使值域为， 则函数的值域要包括，即最小值要小于等于． 当时，显然不成立， 所以，当时，则有，解得， 所以的取值范围是. 故选：B． 【例题2】已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域是 ． 【答案】 【分析】根据幂函数定义代入点可得，即可得函数值域. 【详解】设幂函数， 代入点可得，即， 可得， 因为，可得，所以该幂函数的值域是. 故答案为：. 【例题3】已知函数  其中 ．那么 的零点是 ；若 的值域是 ，则c的取值范围是 ． 【答案】 0,-1 . 【分析】作图，根据函数图像以及相应的计算可以求解. 【详解】依题意作下图： 令 ，得x=0，令 ，得x=0或x=-1， ∴ 的零点为x=0，x=-1； 由于当时，， 所以当时，是增函数，所以其值域为， 由题意可知： ； 故答案为：0，-1， . 相似练习 【相似题1】已知，则使函数的值域为R，且为奇函数的所有α的值为 . 【答案】1，3 【分析】根据幂函数的性质分析可得. 【详解】当时，，为奇函数，但值域为，不满足条件； 当时，为奇函数，值域为R，满足条件； 当时，为偶函数，值域为，不满足条件； 当时，为奇函数，值域为R，满足条件. 故答案为：1，3 【相似题2】已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】判断单调递增，讨论或，根据分段函数的值域可得且，解不等式即可求解. 【详解】由函数单调递增， ①当时，若，有， 而，此时函数的值域不是； ②当时，若，有，而， 若函数的值域为，必有，可得． 则实数的取值范围为． 故答案为： 【相似题3】已知函数，且． (1)求的解析式； (2)求函数在上的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题目条件代入即可求得，从而求出，即可求出的解析式. （2）由（1）可知，，由二次函数求值域即可求出函数在上的值域. 【详解】（1）因为，所以， 整理得，即或（舍去）， 则，故． （2）由（1）可知，． 因为，所以，，所以． 故在上的值域为． 【题型4：幂函数图象特征与幂指数的关系】 【知识点分析】 幂函数的图象 【知识点的认识】 幂函数图象特征与幂指数的关系 【知识点的认识】 幂函数的定义：一般地，函数y＝xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．对于幂函数，我们只研究a＝1，2，3，，﹣1时的图像与性质． 幂函数的图象特征与其幂指数a密切相关，不同幂指数的幂函数图象有不同的形态． 【解题方法点拨】 ﹣当a为正整数时，图象在第一、三象限呈对称分布． ﹣当a为负整数时，图象在第二、四象限呈对称分布，且x越大，y越小． ﹣当a为正分数时，图象在第一象限，开口向右上方． ﹣当a为负分数时，图象在第一、二象限，开口向左下方． 例题精选 【例题1】如图所示的曲线是幂函数在第一象限的图象，已知n取四个值，则相对应的曲线的n值依次为（   ） A．2， B．，2 C．，2 D．，2 【答案】A 【详解】可在直线的右侧作一条垂直于x轴的直线，如．观察直线与各图象的交点，交点越高，其幂函数的n值越大． 【例题2】若幂函数与在第一象限内的图象如图所示，则与的取值情况为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的图像性质，逐项分析判断即可求解. 【详解】当时，幂函数在上单调递增，且时，图象上凸，． 当时，幂函数在上单调递减．不妨令，由图象得，则． 综上可知，． 故选择：D. 【例题3】若直线与幂函数的图象依次交于不同的三点，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．以上说法都不正确 【答案】D 【分析】根据题给条件写出三点的坐标，计算的长度逐一判断即可. 【详解】 因为，由得；得；得. 则. 因为，所以是关于的减函数. 因为，所以，则. 故以上选项都不对. 故选：D. 相似练习 【相似题1】若直线与幂函数，，的图象从左到右依次交于不同的三点，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得交点的横坐标，比较大小可求. 【详解】当时，由，得；由，得；由，得. 因为，所以是关于的减函数. 又，所以，所以. 故选：A. 【相似题2】函数的大致图象为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的图象与性质，结合选项即可求解. 【详解】根据幂函数的图象与性质知，图象在第一象限单调递增，且当时，, 且，所以为偶函数，图象关于轴对称. 故选：B 【相似题3】如图，①②③④对应四个幂函数的图象，则①对应的幂函数可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图象及幂函数的性质判断即可. 【详解】由图可知，①对应的幂函数：函数的定义域为，在第一象限内单调递增， 且图象呈现上凸趋势，则指数的值满足，排除选项AD； 又的定义域为R，的定义域为， 故符合题意. 故选：C 【题型5：由幂函数的单调性求解参数】 【知识点分析】 由幂函数的单调性求解参数 【知识点的认识】 通过已知幂函数的单调性，反向求解函数的参数值，要求学生理解单调性与参数的关系． 五个常用幂函数的图象和性质 （1）y＝x； （2）y＝x2； （3）y＝x3； （4）y； （5）y＝x﹣1 y＝x y＝x2 y＝x3 y y＝x﹣1 定义域 R R R [0，+∞） {x|x≠0} 值域 R [0，+∞） R [0，+∞） {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 x∈[0，+∞）时，增 x∈（﹣∞，0]时，减 增 增 x∈（0，+∞）时，减 x∈（﹣∞，0）时，减 公共点 （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1） 例题精选 【例题1】下列函数中，既是奇函数又在单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇偶性及单调性逐项判断即可. 【详解】对于A，函数是奇函数，在上单调递增，A是； 对于B，函数是偶函数，不是奇函数，B不是； 对于C，函数是偶函数，不是奇函数，C不是； 对于D，函数是偶函数，不是奇函数，D不是. 故选：A 【例题2】已知函数，则不等式的解集是 . 【答案】 【分析】根据解析式判断函数的单调性和奇偶性，再应用单调性和奇偶性解不等式即可. 【详解】由，在R上都单调递减，且都是奇函数， 所以是单调递减的奇函数， 故，则，即， 所以不等式的解集为. 故答案为： 【例题3】已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递增，则满足的a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递增，所以为正偶数，所以，则不等式，即．因为函数在上单调递减，所以或或解得或，所以满足的a的取值范围是． 相似练习 【相似题1】已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，求满足的的取值范围． 【答案】或 【分析】根据函数单调性及奇偶性得出参数，再结合幂函数的单调区间列不等式组计算求解. 【详解】因为函数在上单调递减，所以，解得，又，所以． 因为函数的图象关于轴对称，所以为偶数，故， 则原不等式可化为， 因为在，上单调递减， 所以或或， 解得或． 【相似题2】已知函数是偶函数，则 ，函数的单调递增区间为 ． 【答案】 （区间开闭均可） 【分析】根据偶函数的性质求出的值，再求出函数的定义域，由复合函数的单调性求出的单调递增区间. 【详解】因为函数是偶函数， 则，即，所以恒成立， 所以； 所以，则定义域为，又在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为. 故答案为：；（区间开闭均可） 【相似题3】函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，可得的定义域，利用复合函数的单调性可求得的单调递减区间. 【详解】由，可得，解得或， 所以函数的定义域为， 又，所以在上单调递减，在上单调递增， 又在上单调递增， 所以由复合函数的单调性可得在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为. 故选：A. 【题型6：求解幂函数的奇偶性】 【知识点分析】 求解幂函数的奇偶性 【知识点的认识】 幂函数的奇偶性反映了函数的对称性，幂函数的奇偶性与指数a有关． 五个常用幂函数的图象和性质 （1）y＝x； （2）y＝x2； （3）y＝x3； （4）y； （5）y＝x﹣1 y＝x y＝x2 y＝x3 y y＝x﹣1 定义域 R R R [0，+∞） {x|x≠0} 值域 R [0，+∞） R [0，+∞） {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 x∈[0，+∞）时，增 x∈（﹣∞，0]时，减 增 增 x∈（0，+∞）时，减 x∈（﹣∞，0）时，减 公共点 （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1） ﹣ 【解题方法点拨】 ﹣若f（﹣x）＝f（x），则幂函数为偶函数，幂指数n为偶数． ﹣若f（﹣x）＝﹣f（x），则幂函数为奇函数，幂指数n为奇数． ﹣分析函数的解析式，确定其奇偶性． 例题精选 【例题1】已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的性质得到，则，其对称轴方程为，根据单调性得到不等式，求出答案. 【详解】因为幂函数是上的偶函数， 则，解得或， 当时，，该函数是奇函数，不合乎题意； 当时，，该函数是定义域为的偶函数，合乎题意，所以， 则，其对称轴方程为， 因为在区间上单调递减，则. 故选：A. 【例题2】已知幂函数的定义域为，其图象关于原点对称，且在上单调递增，则的值可以是 .（写出一个即可） 【答案】3（答案不唯一） 【分析】根据幂函数的性质确定出值作答. 【详解】举例，即，其定义域为R， 又，所以为奇函数，其图象关于原点对称， 且在上单调递增，所以满足题意. 故答案为：3.（答案不唯一） 【例题3】已知函数是幂函数，且是奇函数，则 ． 【答案】 【分析】由幂函数由求参数值，再由幂函数为奇函数确定参数m即可. 【详解】由题设，可得，则或， 当，则为奇函数，满足题设； 当，则为偶函数，不满足题设. 所以. 故答案为： 相似练习 【相似题1】写出同时满足下列条件的一个函数的解析式 . ①为幂函数； ②为偶函数； ③在区间上单调递减. 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据幂函数、偶函数、函数的单调性等知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，是幂函数，偶函数，且在区间上单调递减， 所以中，是偶数且为负数， 所以符合题意. 故答案为：（答案不唯一） 【相似题2】已知幂函数的图象关于轴对称，且，则 ；若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 2 或 【详解】由题意知函数在区间上单调递增，所以，解得，由得．又的图象关于轴对称，所以为偶数，所以，所以．不等式等价于，解得或． 【相似题3】已知幂函数是偶函数. (1)求的解析式； (2)设是定义在上的奇函数，当时，，求函数的解析式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义得到方程，求出的值，再代入检验即可； （2）首先得到当时的解析式，再根据奇函数的性质求出时的解析式，即可得解. 【详解】（1）因为为幂函数，所以， 解得或， 当时，为非奇非偶函数，不符合题意； 当时，为偶函数，符合题意； 综上可得； （2）由（1）可知当时，， 设，则，所以， 又是定义在上的奇函数，所以， 所以当时，， 综上可得. 【课后强化练习】 一、单选题 1．已知幂函数的图像经过点，则（    ） A．的定义域为 B．为奇函数 C．为减函数 D．的值域为 2．“”是“为幂函数”的（    ）条件． A．充要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充分不必要 3．（24-25高一下·广东湛江·阶段练习）已知幂函数在定义域内单调递增，则（   ） A． B． C． D．2 4．（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）已知函数，且，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·湖北·阶段练习）幂函数都有成立，则下列说法正确的是（    ） A． B．或 C．是偶函数 D．是奇函数 6．（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知幂函数的图象经过点，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 8．（24-25高一上·湖南永州·阶段练习）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上是减函数.m的值为 9．（24-25高一下·湖北·阶段练习）已知幂函数是偶函数，则不等式的解集为 ． 10．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）已知幂函数的图像关于轴对称，且在上是减函数，实数a满足，则a的取值范围是 . 11．（24-25高一上·江苏泰州·阶段练习）已知幂函数的图象过点，则该函数的单调递减区间为 ． 12．（24-25高一上·天津河西·阶段练习）已知幂函数的图象经过点，则函数是 函数（奇偶性），若，则实数的取值范围是 . 13．（24-25高一上·上海奉贤·阶段练习）如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为 . 四、解答题 14．（24-25高一上·山东日照·期末）已知幂函数的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 15．（24-25高一上·云南保山·阶段练习）已知幂函数为奇函数. (1)求函数的解析式； (2)若，求a的取值范围. 16．（24-25高一上·福建龙岩·阶段练习）已知幂函数是奇函数，且在上单调递增. (1)解不等式； (2)若实数满足，求的最小值. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 D D C A D C AC 1．D 【分析】根据图象过点求出函数解析式，再由解析式判断定义域、单调性、奇偶性、值域得解. 【详解】设， 由函数的图像经过点，则，解得， 所以，故函数的定义域为，故A错误； 由定义域关于原点对称及可知函数为偶函数，故B错误； 由在上无单调性，故C错误； 因为，故的值域为，故D正确. 故选：D 2．D 【分析】分别验证其充分性以及必要性，即可得到结果. 【详解】当时，，符合幂函数的形式，故充分性满足； 当为幂函数可得，解得或， 故必要性不满足， 所以“”是“为幂函数”的充分不必要条件. 故选：D 3．C 【分析】根据幂函数的定义与性质得到方程（不等式）组，解得即可. 【详解】因为为幂函数，且在定义域内单调递增， 所以，解得. 故选：C 4．A 【分析】确定函数的奇偶性和单调性，再利用性质求解不等式. 【详解】函数的定义域为R，， 函数是奇函数，又函数都是R上的增函数，则在R上单调递增， 不等式， 则，即，解得或， 所以m的取值范围是. 故选：A 5．D 【分析】根据幂函数的特征以及函数的单调性得到的值，再根据奇偶性定义可得到结果. 【详解】解：因为是幂函数，所以，解得或， 因为，都有成立，所以该函数在是减函数， 所以，故A，B错误； ，定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以是奇函数，故D正确，C错误. 故选：D. 6．C 【分析】由幂函数的单调性、奇偶性即可求解； 【详解】设，则，得， 则为增函数，且为奇函数， 则由，得，解得或. 故选：C 7．AC 【分析】利用偶函数的定义结合二次函数与幂函数的性质判断A，C，利用一次函数的性质判断B，利用对勾函数的性质判断D即可. 【详解】对于A，令，而定义域为， 则，得到，即是偶函数， 由二次函数性质得在区间上单调递增，故A正确， 对于B，当时，， 由一次函数性质得在区间上单调递减，故B错误， 对于C，令，而定义域为， 则，得到是偶函数， 当时，， 由幂函数性质得在区间上单调递增，故C正确， 对于D，由对勾函数性质得在上单调递减，故D错误. 故选：AC 8．1 【分析】根据幂函数定义和函数单调性列出关于参数m的不等式和方程即可求解. 【详解】因为幂函数y=在上是减函数， 所以，所以，因为，所以或2， 又因为函数图象关于y轴对称，所以是偶数，所以. 故答案为：1 9． 【分析】根据幂函数的定义，结合是偶函数，可得，再根据单调性解不等式即可. 【详解】幂函数是偶函数， ，解得或， 当时，为奇函数，不符合题意， 当时，为偶函数，符合题意， ,在内单调递增，且为偶函数， 可化为， 两边取平方可得：， 整理的，解得， 的解集为. 故答案为：. 10． 【分析】运用幂函数定义和性质求出p，再根据单调性解不等式. 【详解】因为幂函数在上是减函数， 所以，即， 解得.又因为，所以或. 当时，，，为偶函数， 图象关于轴对称，且满足题意. 原不等式为，由于在R上单调递增， 则不等式化为，解得. 当时，，，为奇函数，不满足图象关于轴对称，舍弃. 综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 11． 【分析】先由题设求出幂函数解析式，从而由幂函数在上的单调性和函数奇偶性即可得解. 【详解】由题可得，所以幂函数为， 所以时，函数单调递减， 又函数定义域为为关于原点对称，且， 所以幂函数为偶函数， 所以当时，函数单调递增， 故该幂函数的单调递减区间为. 故答案为：. 12． 非奇非偶 【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，根据奇偶性的定义判断函数的奇偶性；再利用函数定义域和单调性求不等式的解集. 【详解】设幂函数，其图象过点，则，解得； 所以，函数定义域为， 因为定义域不关于原点对称，函数是非奇非偶函数； 又因为，所以函数在上单调递增， 不等式等价于，解得； 则实数的取值范围是. 故答案为：非奇非偶；. 13． 【分析】根据幂函数的图象和性质之间的关系进行判断即可. 【详解】当时，突函数在上单调递减， 当时，幂函数在上单调递增， 并且在直线的右侧，图象自下而上所对应的函数的幂指数依次增大 故与曲线相应的依次为. 故答案为： 14．(1) (2) 【分析】（1）将点代入解析式求出，得解； （2）问题转化为恒成立，令，求出的最小值得解. 【详解】（1）由题意可得，，. （2）由（1）可得，恒成立，， 令，，， 实数的取值范围为. 15．(1). (2). 【分析】（1）根据题意得出，求得或，代入解析式，结合为奇函数，确定结论； （2）由（1）得到在上为增函数，不等式转化为，即可求解. 【详解】（1）由题意，幂函数， 可得，     即，解得或，     当时，函数为奇函数，     当时，为非奇非偶函数，     因为为奇函数，所以. （2）由（1）知，可得在上为增函数， 因为，所以，     解得，     所以a的取值范围为. 16．(1) (2) 【分析】（1）由幂函数的定义，奇函数的性质求解即可； （2）由基本不等式的乘“1”法计算即可； 【详解】（1），， 在上单调递增，为奇函数，即， ， ，，     不等式解集为. （2）由题可知，.        当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$