在抽象函数形式下研究函数性质1教学设计——2025届高三数学一轮复习

在抽象函数形式下研究函数性质 2024年10月 学科网（北京）股份有限公司 在抽象函数形式下研究函数性质 一、教学内容解析 教学内容概况 本内容是在学生学习了基本初等函数及一些具有重要性质的函数之后，推广为“不给出函数解析式，只给出具有某些特殊条件或特征的函数”即“抽象函数”，从更为一般的视角研究函数的性质.本内容设计为微专题课，总共2个课时.第一课时是从代数视角研究函数性质,解决相关问题，第二课时则是从数形结合的视角. 本节课是第一课时. 本节课主要在抽象函数的形式下研究函数性质，研究解决抽象函数问题的一般方法. 研究抽象函数问题即是使用赋值、代数运算、逻辑推理、递推、找特例函数等方法，研究函数具有的单调性、奇偶性、对称性、周期性等性质，进而解决有关问题. 高考主要通过抽象函数问题考查学生对函数概念、数学符号语言、函数性质的理解，以及对特殊与一般、转化与化归等思想的运用. 知识结构 与 发生发展过程 对于求抽象函数函数值的问题，首先观察方程的结构，寻找题设与选项之间的联系，通过恰当赋值求解；也可通过恰当赋值求出递推公式. 对于证明函数性质的问题，首先观察方程结构，寻找抽象函数方程和具体函数性质之间的联系，通过赋值、代数变换、逻辑推理证明性质. 两类问题都可以找到特例函数对性质进行证伪. 如果是双变量或双函数的抽象函数问题，可以通过赋值和消元转化为单变量或单函数问题. 如下图所示. 作为函数学习的暗线，抽象函数渗透在函数概念和基本性质的定义中，如偶函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为，如果，都有，那么函数f(x)就叫做偶函数.所以研究抽象函数问题需从教材出发，回归到具体的函数性质或运算性质. 教学重点 求抽象函数的函数值，研究抽象函数的性质，总结一般方法 二、教学目标设置 课程目标 让学生在掌握有关抽象函数必备知识的过程中，发展“四基”、“四能”，发展数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学学科核心素养. 通过教学发展学生获取知识的能力（符号理解能力、阅读理解能力、信息搜索能力）、实践操作的能力（信息转化能力）、思维认知能力（抽象思维能力、归纳概括能力、逻辑推理能力）. 课时教学目标 1. 经历赋值法求函数值并归纳函数性质的过程，理解赋值的算理，体会特殊与一般、归纳与类比的数学思想，发展数学运算的核心素养； 2. 经历猜想并证明抽象函数性质的过程，学会理性思考，发展逻辑推理与数学抽象的核心素养，实现学科育人； 3. 经历构造特例函数解决问题的过程，能用特例函数求值或证伪，体会具体与抽象的转化，发展数学建模的核心素养. 三、学生学情分析 认知基础 本节课是在复习完函数性质、基本初等函数之后的微专题课. 学生通过高三前期的复习，已经达到了对函数符号表达的充分理解，对基本初等函数及其性质理解深刻，能较为熟练地研究函数性质.对于抽象函数，大部分学生能够通过观察题目恰当赋值求函数值. 认知困难 从能力上来说，学生发现问题和提出问题的能力、逻辑推理能力、思维的深刻性、严谨性、灵活性还较弱. 从知识上来看，学生遇到解题困难的根本原因是对基本知识和基础概念的掌握不牢. 其次学生对抽象函数相关的知识没有整体的认知框架，导致解题时缺少思路. 第三，学生在解题时不能灵活选用合适的解题方法. 由于本内容具有较高的抽象性，学生倾向于使用特值特例，但是此方法有局限性. 教学难点 抽象函数性质的证明和特例函数的构造. 四、教学策略分析 教法设计 1.教法学法:问题引导，启发教学; 独立静思，小组讨论，合作交流. 通过教师的提问引导，学生较容易掌握赋值法，这一部分可交给学生自行探究.而发现函数性质、证明函数性质、特例函数的构造则比较困难，学生容易产生畏难情绪. 小组合作探究的学习模式可以提升学生的学习兴趣，激发求知欲，有助于营造良好的学习氛围，化解学生的畏难情绪.所以首先需要教师的提问做铺垫，然后利用学生合作研究来调动学习积极性，促进创新，突破难点. 所以本节课采用“问题引导，启发教学;独立静思，小组讨论，合作交流”的课堂教学模式. 2.媒体工具 借助黑板上板书，体现主干，强调核心，引领示范. 适时采用多媒体辅助教学，再现学生的探究过程，暴露思维漏洞. 教学流程 课题引入 例题研究 诊断反馈 凝练升华 应用拓展 五、教学过程设计 教学环节 教学内容 设计意图 课题引入 师:同学们，在之前的学习中，我们认识了一些具体函数，如指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等等. 他们满足一些运算性质. 如指数函数满足，抽象为函数方程可得.类似的，我们也可以从对数函数和幂函数满足的运算性质中抽象出函数方程. 这三个方程，分别是这三个函数满足的特殊条件和特征. 反之，若没有给出函数解析式，只给了函数满足的一些特殊条件或特征，请问这个函数的解析式一定能求出吗？这种情况下我们能求出函数的某些函数值或研究的性质吗？ 这便是值得我们思考与探究的课题，为便于表述，我们把“没有给出函数解析式，只给了函数满足的一些特殊条件或特征的函数”称为抽象函数，今天我们探讨的主题便是“在抽象函数的形式下研究函数性质”. 基于维果斯基的“最近发展区”理论，所以我们从基本初等函数入手，利用基本初等函数构造出抽象函数方程，揭示抽象函数的产生过程. 同时引出研究主题，揭示在抽象函数的形式下研究函数性质的价值. 培养学生发现问题、提出问题的能力. 例题研究 例题研究 例题研究 例题研究 师：我们从一道高考真题出发.请大家仔细阅读例题，思考问题1，问题2，并在学案上书写解题过程. 例题(单选)．【2022新高考全国Ⅱ卷】已知函数的定义域为R， 且，则（    ） A. B． C．0 D．1 问题1：你能从题设中得到关于函数的什么信息？ 问题2：如何建立题设与所求之间的联系？ 【师生活动1】学生自主尝试分析问题、解决问题，教师巡视学生问题解决情况. 师：请一位同学展示你的解答方法. 预设生1：函数的定义域为R，给了这个函数满足的一个函数方程，还给出了一个函数值. 从求和这个目标可以猜测，这个函数可能是一个周期函数. 所以我尝试令为一些特殊值，求出至，由于，与，相同，且求后面的函数值依据的公式与前面依据的公式相同. 进而归纳出该函数周期为6.每个周期内函数值之和为0，所以.选A. 师：这位同学采用了赋值法，求出了一些特殊函数值，归纳得出了此函数的周期性.这是研究抽象函数性质的方法之一，很好！大家掌声鼓励！ 追问：同学们对他的运算过程有何评价？ 预设生2：该同学的运算过程不够简洁，我的做法是： 设得，即，通过这个公式得出其他函数值. 师：对比两位同学的求值方法，显然第二位同学的算法更简洁.数学是一门训练思维的学科，高考考察的是同学们的思维能力，因此同学们在今后的学习中，要不断强化解题后的反思，反思解法是否是最优的，是否还有其它解法，以进一步提升自已思维能力. 总结两位同学的做法，这种研究性质的路径称作：赋值归纳性质，从一些特殊函数值归纳得到一般的函数性质，体现了特殊与一般的转化思想. 爱因斯坦说：“兴趣是最好的老师”，高考题是最能引发学生兴趣的试题，所以我选择这道高考题作为例题. 问题1让学生对题干条件分析和思考，发展阅读理解能力和信息搜索能力. 问题2引导学生对题干条件与目标关系进行分析，明确此题的解决方向，发展学生的信息转化能力. 通过一些特殊函数值归纳得出函数的周期性，让学生体会特殊与一般的转化. 设置学生互评环节，令学生更加积极地参与到讨论的各个环节,能够提升学生语言表达能力以及思维判断能力.让学生学会质疑，学会反思. 展示不同学生对同一题目的不同解法：对两个变量赋值求得具体函数值或者通过对其中一个变量赋值得到递推公式.让学生感受不同方法之间的计算量和难易度的差别，学会反思并优化解题方法，提高思维量，降低运算难度和时间，符合高考试题加强思维考查的指向. 师：但是同学们，这种由有限个函数值归纳性质的方法是一种不完全归纳法，所得结论不可靠. 我们应该用函数周期性的定义对函数的周期为6进行严格证明. 请一位同学来说一说周期性的定义. 预设生3：一般的，设函数的定义域为D，如果存在一个非零常数，使得对每一个D都有D且，则就是函数的一个周期. 师：请大家观察已知条件中的方程式与这个方程的区别与联系，尝试证明周期. 【师生活动2】学生自主尝试分析问题、解决问题，教师巡视学生问题解决情况. 学生展示做题过程. 预设生4：令得，， 把替换为得，， 相减得，，将替换为得 ，再将替换为得， 所以，. 师：你如何从自变量和函数值关系的角度理解这个方程？ 生：如果自变量相差三个单位，那么它们对应的函数值互为相反数. 所以可以通过逻辑推理得到，所以函数的一个周期为． 师：这位同学使用了赋值法、消元法，对函数方程进行了代数变换，通过逻辑推理得到了函数的周期为6.首先猜测函数具有某种性质，确定证明目标，再逐步将题设条件往要证的方程转化，证明函数具备某种性质，是研究抽象函数性质的第二条路径，猜想证明性质. 至此我们对此函数的周期性不再存疑. 我希望同学们在今后的学生活中，都要保持这种严谨思考的态度，学会理性思维，对事物作出客观的判断. 问题3：函数还有什么性质，如何证明？ 【师生活动3】学生进行小组讨论，教师巡视并与学生交流，引导通过数形结合等方法发现性质，类比周期性的证明方法证明其他性质. 学生展示证明过程. 预设生5：令可得，即，所以函数为偶函数.，即，函数关于中心对称. 师：函数的对称轴或者对称中心只有这一个吗？ 预设生6：又周期为6，则，函数关于中心对称. ，，，函数关于轴对称. 师：至此，我们研究了周期性、奇偶性、对称性等函数性质. 至于单调性等的研究则留到课后作业，大家课后再来思考. 让学生秉持严谨求实的学习态度，对猜想进行理性论证. 很多学生在学习函数图像对称性的代数表达式时常常浮于表面，未对代数式进行结构分析，并且回归对称性、周期性的定义，而是机械套用结论.通过对该函数周期性的严格证明，能帮助学生回忆基本概念，让学生学会观察已知条件和要证目标之间的区别和联系，使用赋值和消元法对方程式结构进行变换，逐渐向目标靠近. 再引导学生从自变量与函数值的关系的角度理解函数方程，加深学生对抽象符号表示的理解，培养学生的逻辑推理与抽象思维能力. 依据学科特点，培养学生严谨求实的精神，努力做新时代既教书又育人的教师. 学生互相讨论激发创新能力，教师下台与学生充分交流，引导学生深入思考，使教师主导性与学生主体性相统一.积极落实课程标准，倡导“自主、合作、探究”的学习模式，培养学生合作学习的习惯与能力. 学生对该函数有无数个对称轴和对称中心有感性的认识，但无法理性表达. 为此进一步引导学生进一步探究. 让学生类比研究周期性的方法，研究该函数的其他性质，渗透类比的数学思想. 师：让我们回到例题本身.此题还有其他解法吗？抽象函数方程是由具体函数的性质抽象而来，反之，可否通过观察方程结构猜测一个符合条件的具体函数？ 问题4：是否存在一个具体的函数符合题干条件？ 【师生活动4】学生讨论问题、解决问题，教师巡视学生问题解决情况. 预设生7：由于这个函数具有周期性，我可以找一个满足该方程的三角函数. 观察方程的结构，可以联想到和差化积公式. 但是比较式子结构上的差异没有系数2. 所以猜测函数的解析式应该符合模型：. 代入方程得: 由于时为常值函数，不符合题意， 再利用求出，则符合该模型的一个函数为.这样就可以算出结果. 师：这位同学的方法非常巧妙！掌声鼓励！ 师：这是研究抽象函数的方法三：构造特例函数. 我们用一个具体的函数研究一个抽象问题，体现了从抽象到具体的转化. 实现了抽象与具体的转化.其实赋值法的本质也是将抽象函数的特征往具体函数值或函数值关系去转化. 我们带着这些思想方法再来看一道变式题. 让学生学会关注方程结构，回归函数基本运算性质，通过对比方程结构来寻找特例函数. 发展学生分析问题、解决问题的能力. 积极评价，抓住时机正向激励，强化学生学习的成就感，培养学生学习数学的兴趣、热情. 变式(单选).【2024新课标全国1卷】已知函数定义域为R，，且当时，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 预设生8：依次赋值可验证A错误.对于C、D选项，我认为从题干条件中只能得到函数值大于某数，不能得到小于关系. 所以排除法得到选B. 师：很好，回答正确. 这位同学通过直觉判断了C、D选项错误. 问题5：如何（用具体案例）说明C、D选项错误？ 【师生活动5】学生讨论问题、解决问题，教师巡视学生问题解决情况. 学生展示讨论结果. 预设生9：可以构造一个分段函数，当时，,当时，，此分段函数满足，且，C、D都错误. 师：这种方法是构造特例函数证伪的方法，也体现了抽象与具体的转化. 要证明一个命题错误，只需要找到一个反例，而要说明一个命题正确，就要进行一般性的证明. 题目本身比较简单，通过排除A、C、D即可快速得到答案.肯定学生通过排除法判断选项的做法，但是也要引导学生解题结束后对选项进行深入思考，坚决摈弃不求甚解的做法. 通过此题让学生体会举反例证伪的方法.对构造特例函数的方法进行巩固，并强调证明和证伪的区别. 诊断反馈 练习(多选). 已知函数定义域为R，，，，则下列选项正确的是（ ） A. B.函数是奇函数 C.是偶函数 D. 【师生活动6】学生自主尝试分析问题、解决问题，教师巡视学生问题解决情况. 学生展示做题过程. 预设生10：令得，. 令得，. 令得，， 为奇函数. 令得 不恒为0，所以，函数的一个对称轴为. ，函数的一个周期为4. . 由奇函数和对称轴可推得是对称轴. D选项错误. 为及时诊断和反馈学生的学习情况，并结合高考综合改革背景下的新题型，选择了一个抽象函数形式下的多选题. 对学生知识掌握程度与教学效果进行检测. 凝练升华 问题6：在抽象函数的形式下研究函数性质的一般路径是什么？ （1） 用赋值法计算函数值并归纳得到函数性质. （2） 合理猜想，通过赋值、消元等方法证明函数性质. （3） 观察函数方程结构，构造特例函数，巧妙求值或证伪. 问题7：解决抽象函数问题的方法有哪些？ 赋值法、递推法、归纳法、消元法、特殊函数法. 问题8：这些方法背后体现了哪些数学思想？ （1） 特殊与一般的转化 （2） 具体与抽象的转化 （3） 转化与化归思想 对解题思路，解题方法、思想方法进行总结，形成结构化知识体系，回归基本方法和基本思想. 板书设计 在抽象函数的形式下研究函数性质 1、 研究路径例题解答过程 ①赋值归纳性质 ②猜测证明性质 ③构造特例证伪 二、数学思想 ①特殊与一般的转化 ②具体与抽象的转化 ③转化与化归思想 板书设计旨在体现主干，强调核心，起到引领示范的作用. 六、课堂教学评价与作业设计 课堂教学评价 整个课堂教学任务安排合理，充分地体现了课堂教学中“以学生为主体，教师为主导”的课堂教学理念。学生通过自主探究与小组合作，培养了发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力. 教学中以高考真题为载体，让学生体会这类题目的情境创设、条件构造、设问方式的特点，培养了学生勇于尝试、不怕出错的学习品质. 通过赋值探究规律，通过逻辑推理进行证明，或通过举反例进行证伪，归纳出研究抽象函数性质的一般路径、方法与思想.学生经历感性认识到理性证明的过程，培养了求真务实的治学态度. 作业设计 （一）复习巩固 1.已知函数满足R，都有且则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数的定义域为R，，则（ ） A. B. C.是偶函数 D.是函数的极小值点 （二）综合运用 3. 已知函数的定义域为R，且若的图像关于直线对称，，则（    ） A.-21 B.-22 C.-23 D.-24 4. 已知对一切满足且当时，，求证： （1）时，； （2）在R上为减函数. （三）拓广探究 5.已知函数的定义为N*，,且当时，求证. 6.结合课堂例题、课后作业，查阅网络资料，整理出有关抽象函数问题解决的思维导图. 作业采用分层设计，复习巩固部分为简单题，检测课堂教学效果和学生的掌握程度. 综合运用部分设计综合题目，检验学生知识的理解和运用. 设计探究抽象函数单调性的题目，让学生学会类比迁移. 该题改编自03版人教必修五，旨在让学生感受数列是特殊的函数，将函数问题转换成研究数列问题. 设置知识总结型作业，通过整理、对学生有效组建知识结构有着重要作用. 学科网（北京）股份有限公司 $$