3.1.2函数的表示方法（8个题型）讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2025年暑假新高一数学常考题型归纳 【3.1.2函数的表示方法】 总览 题型梳理 【知识点总览】 求函数解析式的常用方法 1. 待定系数法 适用场景：已知函数类型（如一次函数、二次函数、指数函数等）及部分条件（如顶点、图像上的点）。 方法要点：设出函数的一般形式，代入已知条件解方程组求系数。 例：已知二次函数图像过点 、、，求解析式。 设二次函数为 ，代入三点得： 解得 , , ，故 。 2. 换元法（整体代换法） 适用场景：已知 的形式，求 ，其中 为较复杂的表达式。 方法要点：令 ，解出 关于 的表达式，代入原式得 ，再替换为 。 例：已知 ，求 。 令 ，则 ，。 代入得：，故 。 3. 配凑法 适用场景：与换元法类似，但可通过代数变形直接将 凑成 的表达式。 方法要点：观察原式结构，将右侧表达式用 表示，无需显式换元。 例：已知 ，求 。 配凑：，故 。 注意：，故定义域为 。 4. 方程组法（消元法） 适用场景：已知 与 、 等的关系式，通过联立方程消去其他项。 方法要点：用 、 等替换原式中的 ，得到新方程，联立求解。 例：已知 ，求 。 用 替换 得：。 联立方程组： 消去 得：，故 。 5. 赋值法 适用场景：已知函数满足的抽象关系式（如 ），通过赋值求解析式。 方法要点：给自变量赋予特殊值（如 , , 等），推导函数性质。 例：已知 对任意实数 满足 ，且 ，求 。 令 ，得 ，可知 是公差为 2 的等差数列。 当 为整数时，；进一步可证对任意实数 ，。 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：待定系数法求函数解析式】 例题精选 【例题1】（24-25高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【例题2】多选题（22-23高一上·陕西商洛·期末）已知是一次函数，，且，函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【例题3】（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）已知二次函数满足，则函数的解析式为 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·全国·周测）求下列函数的解析式： (1)已知函数，求函数的解析式； (2)已知是二次函数，且满足，，求. 【相似题2】已知是一次函数．且．求函数的解析式． 【相似题3】（24-25高一上·湖北随州·阶段练习）已知是一次函数且，求的解析式． 【题型2：配凑法求函数解析式】 例题精选 【例题1】若函数，则（ ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高一上·山西·期中）已知，则（    ） A． B． C．1 D．7 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·甘肃·阶段练习）已知函数满足，则（   ） A． B． C． D． 【相似题2】已知函数满足，求函数的解析式． 【题型3：换元法求函数解析式】 例题精选 【例题1】（24-25高一上·吉林通化·期末）已知，则函数的解析式为（ ） A． B．（） C．（） D．（） 【例题2】（24-25高一上·云南昭通·期中）已知，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【例题3】（24-25高一上·云南文山·期中）已知函数，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（23-24高一上·河南商丘·期中）已知，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（23-24高一上·江苏盐城·期中）若函数，则 ． 【相似题3】（24-25高一上·福建泉州·期末）已知，则 ． 【题型4：方程组法求函数解析式】 例题精选 【例题1】（24-25高一上·广东·期中）的定义域为，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例题2】多选题（24-25高一上·河南·阶段练习）若函数满足关系式，则（    ） A． B． C． D． 【例题3】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数的定义域为R，且满足，则的解析式是 ． 相似练习 【相似题1】若函数满足，则 ． 【相似题2】（24-25高一上·云南文山·期中）已知定义在上的函数满足，则函数的解析式是 ． 【相似题3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数对于任意的都有，求的解析式. 【题型5：赋值法求函数解析式】 例题精选 【例题1】已知函数的定义域为，且满足，，若，则函数的解析式为 . 【例题2】（23-24高一·江苏·假期作业）设是R上的函数，，并且对于任意的实数都有，求. 【例题3】定义在R上的函数f(x)满足，并且对任意实数x，y都有，求的解析式. 相似练习 【相似题1】（22-23高一上·全国·课后作业）在①，②，③对任意实数x，y，均有这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答.已知函数满足　　　，求的解析式. 【相似题2】根据下列条件，求函数的解析式． (1)已知，则的解析式为__________． (2)已知满足，求的解析式． (3)已知，对任意的实数x，y都有，求的解析式． 【相似题3】（2022高一·全国·专题练习）已知，对于任意实数，等式，求的解析式. 【题型6：分段函数的解析式或者求值】 例题精选 【例题1】（24-25高一上·吉林通化·阶段练习）已知函数，则（    ） A．2 B．0 C．1 D．3 【例题2】多选题（23-24高一上·江苏徐州·期中）如图所示的图象表示的函数的解析式为（ ） A． B． C． D． 【例题3】（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）函数满足：且，则 . 相似练习 【相似题1】（23-24高一上·山东泰安·期中）设，则的值为 . 【相似题2】（23-24高一上·天津红桥·期中）已知函数，则当函数值时， . 【相似题3】（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）已知函数 (1)求； (2)若，求的值． 【题型7：求分段函数的值域或者最值】 例题精选 【例题1】（24-25高一上·上海虹口·期末）设，则（    ）. A．函数的最大值为3，最小值为1 B．函数的最大值为，无最小值 C．函数的最大值为，无最小值 D．函数的最大值为3，最小值为 【例题2】（24-25高一上·四川泸州·期中）定义，设函数，，记函数，且函数在区间的值域为，则的最大值为（） A．1 B． C． D．2 【例题3】已知函数，若当时，，则的最大值是 ． 相似练习 【相似题1】（24-25高一下·上海杨浦·开学考试）已知函数的最小值为，则的取值范围为 . 【相似题2】若，则实数的取值范围是 . 【相似题3】（24-25高一下·上海·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 【题型8：函数的作图】 例题精选 【例题1】（23-24高一上·云南昭通·期中）在图中，作出下列函数的图象. (1)，； (2)已知函数 【例题2】（24-25高一上·广东东莞·期中）已知函数 (1)求； (2)画出函数的图像； (3)若，求的取值范围． 【例题3】（24-25高一上·四川内江·期中）已知函数 (1)在如图给定的直角坐标系内画出的图象；    (2)求不等式的解集. 相似练习 【相似题1】（23-24高一上·江苏镇江·期中）已知函数. (1)画出的图像； (2)请根据的图像直接写出的解集（无需说明理由）. 【相似题2】（23-24高一上·辽宁大连·期中）已知函数 (1)求函数的解析式，并作出函数的图象；    (2)设在区间上的最小值为，求的解析式． 【课后强化练习】 一、单选题 1．若函数，满足，且，则（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（2024·江西上饶·一模）设，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知，则的解析式为（    ）. A． B． C． D． 4．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）若函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·四川遂宁·阶段练习）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·山西晋城·阶段练习）已知，则函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）若函数，则 . 8．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知函数，则 . 9．（24-25高一上·上海奉贤·阶段练习）已知函数，则 . 10．（24-25高一上·北京东城·阶段练习）已知函数 ①若，则x的值是 ②若且，则的取值范围是 三、解答题 11．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）已知函数满足. (1)求的解析式； (2)求函数在上的值域. 12．（24-25高一上·四川遂宁·阶段练习）已知函数 (1)求的值； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围． 13．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）已知二次函数满足，且： (1)求的解析式； (2)若在区间上，的值域为，求m的取值范围. 14．（24-25高一上·河北廊坊·阶段练习）（1）已知是二次函数，且满足，求解析式; （2）已知，求的解析式; （3）已知一次函数满足，求的解析式. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年暑假新高一数学常考题型归纳 【3.1.2函数的表示方法】 总览 题型梳理 【知识点总览】 求函数解析式的常用方法 1. 待定系数法 适用场景：已知函数类型（如一次函数、二次函数、指数函数等）及部分条件（如顶点、图像上的点）。 方法要点：设出函数的一般形式，代入已知条件解方程组求系数。 例：已知二次函数图像过点 、、，求解析式。 设二次函数为 ，代入三点得： 解得 , , ，故 。 2. 换元法（整体代换法） 适用场景：已知 的形式，求 ，其中 为较复杂的表达式。 方法要点：令 ，解出 关于 的表达式，代入原式得 ，再替换为 。 例：已知 ，求 。 令 ，则 ，。 代入得：，故 。 3. 配凑法 适用场景：与换元法类似，但可通过代数变形直接将 凑成 的表达式。 方法要点：观察原式结构，将右侧表达式用 表示，无需显式换元。 例：已知 ，求 。 配凑：，故 。 注意：，故定义域为 。 4. 方程组法（消元法） 适用场景：已知 与 、 等的关系式，通过联立方程消去其他项。 方法要点：用 、 等替换原式中的 ，得到新方程，联立求解。 例：已知 ，求 。 用 替换 得：。 联立方程组： 消去 得：，故 。 5. 赋值法 适用场景：已知函数满足的抽象关系式（如 ），通过赋值求解析式。 方法要点：给自变量赋予特殊值（如 , , 等），推导函数性质。 例：已知 对任意实数 满足 ，且 ，求 。 令 ，得 ，可知 是公差为 2 的等差数列。 当 为整数时，；进一步可证对任意实数 ，。 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：待定系数法求函数解析式】 例题精选 【例题1】（24-25高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案. 【详解】设（），由，则， 由，则， 整理可得，则，解得， 所以. 故选：B. 【例题2】多选题（22-23高一上·陕西商洛·期末）已知是一次函数，，且，函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用待定系数法设解方程组可得，再由换元法代入计算可得，可得出结论. 【详解】依题意可设， 由可得， 因此可得，解得或； 又因为，所以，即，即A正确，B错误； 又可得， 令，所以，因此， 所以，可得C正确，D错误. 故选：AC 【例题3】（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）已知二次函数满足，则函数的解析式为 【答案】 【分析】设，待定系数法求解. 【详解】设， 因为 ， 所以，解得， 所以. 故答案为： 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·全国·周测）求下列函数的解析式： (1)已知函数，求函数的解析式； (2)已知是二次函数，且满足，，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用换元法进行求解； （2）利用待定系数法求解. 【详解】（1）已知，， 令，，则，代入上式得， 即. （2）设， 由，得， 由， 得， 整理得， 所以，所以， 所以. 【相似题2】已知是一次函数．且．求函数的解析式． 【答案】 【分析】设函数解析式为，应用待定系数法计算求参即可求解. 【详解】设， 由，得， 即，所以且． 解得或， 当时，，故，所以， 当是，，无解， 综上，． 【相似题3】（24-25高一上·湖北随州·阶段练习）已知是一次函数且，求的解析式． 【答案】 【分析】由函数为一次函数可设，再结合条件列方程求，由此可得结论. 【详解】因为是一次函数， 可设， 因为， 所以， 即， 所以，解得， 所以的解析式是． 【题型2：配凑法求函数解析式】 例题精选 【例题1】若函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】变形得到，结合，得到解析式. 【详解】因为， 且，所以． 故选：D. 【例题2】（24-25高一上·山西·期中）已知，则（    ） A． B． C．1 D．7 【答案】B 【分析】利用配凑法求函数解析式，再代入求解即可. 【详解】由题意，得，则，故. 故选：B. 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·甘肃·阶段练习）已知函数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知结合配凑法即可求解函数解析式. 【详解】由，可得. 故选：D. 【相似题2】已知函数满足，求函数的解析式． 【答案】 【分析】利用配凑法可求得函数的解析式. 【详解】因为． 故． 【题型3：换元法求函数解析式】 例题精选 【例题1】（24-25高一上·吉林通化·期末）已知，则函数的解析式为（ ） A． B．（） C．（） D．（） 【答案】D 【分析】令，采用换元法求函数的解析式. 【详解】令，则， ， 所以. 故选：D. 【例题2】（24-25高一上·云南昭通·期中）已知，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法令，则，将函数化成关于的函数，再将自变量改为即得. 【详解】令，则，且， 代入原式得， 故的解析式为. 故选：C. 【例题3】（24-25高一上·云南文山·期中）已知函数，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用换元法求解即可. 【详解】令，则， 所以， 所以. 故选：D. 相似练习 【相似题1】（23-24高一上·河南商丘·期中）已知，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法求得函数解析式，进而求出函数的值域. 【详解】设，则，则， 因此，， 所以函数的值域为. 故选：C 【相似题2】（23-24高一上·江苏盐城·期中）若函数，则 ． 【答案】 【分析】由换元法，即可求解. 【详解】利用换元法即可得到答案． 令，则， ， ∴函数的解析式为． 故答案为：． 【相似题3】（24-25高一上·福建泉州·期末）已知，则 ． 【答案】3 【分折】利用换元法，结合题目的等量关系，求出解析式，即可求解． 【详解】令， ， ， ， ． 故答案为：3． 【题型4：方程组法求函数解析式】 例题精选 【例题1】（24-25高一上·广东·期中）的定义域为，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立方程组求出的解析式，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】由，得，联立消去，得， 而，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 故选：A 【例题2】多选题（24-25高一上·河南·阶段练习）若函数满足关系式，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】运用解方程组求出解析式，再赋值计算即可. 【详解】令为代入计算，得到， 结合，两式联立解得. 对于A，令，则，则A正确； 对于B，令，则，则B正确； 对于C，令，则，令，则.，则C错误； 对于D，令，代入原已知式子，则，即，则D正确. 故选：ABD. 【例题3】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数的定义域为R，且满足，则的解析式是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，用换建立方程组求解. 【详解】由，得， 联立两式消去，得，解得， 所以的解析式是. 故答案为： 相似练习 【相似题1】若函数满足，则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用方程组的方法求出函数解析式即得. 【详解】由，可得， 联立两式消去，可得． 故答案为：. 【相似题2】（24-25高一上·云南文山·期中）已知定义在上的函数满足，则函数的解析式是 ． 【答案】 【分析】利用方程组法求解即可. 【详解】由，① 得，② 由得， 所以. 故答案为：. 【相似题3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数对于任意的都有，求的解析式. 【答案】 【分析】利用方程组的方法求函数解析式. 【详解】在中，以代换，可得， 则消去，可得. 【题型5：赋值法求函数解析式】 例题精选 【例题1】已知函数的定义域为，且满足，，若，则函数的解析式为 . 【答案】 【分析】根据，令，得，依次可得，，，累加可得函数解析式. 【详解】函数的定义域为，且满足， 取，得，所以， ，，， 以上各式相加得． 故答案为：. 【例题2】（23-24高一·江苏·假期作业）设是R上的函数，，并且对于任意的实数都有，求. 【答案】 【分析】利用赋值法可求的解析式. 【详解】由已知条件得，又， 设，则， 所以即 ∴. 此时, 而, 符合题设要求，故. 【例题3】定义在R上的函数f(x)满足，并且对任意实数x，y都有，求的解析式. 【答案】 【分析】对进行赋值，解方程求得的解析式. 【详解】对任意实数，，， 令，得，即， 又，所以. 相似练习 【相似题1】（22-23高一上·全国·课后作业）在①，②，③对任意实数x，y，均有这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答.已知函数满足　　　，求的解析式. 【答案】. 【分析】选①，利用换元法即可求出函数的解析式； 选②，利用方程法即可求出函数的解析式； 选③，利用赋值法即可求出函数的解析式. 【详解】选①，令，则， 因为， 所以，        ， ， 即. 选②，因为， 所以， 得， 即. 选③，令， 则，即， 令，则， 所以. 【相似题2】根据下列条件，求函数的解析式． (1)已知，则的解析式为__________． (2)已知满足，求的解析式． (3)已知，对任意的实数x，y都有，求的解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)利用换元法或者配凑法求解析式； (2)构造方程组即可求解析式； (3)令即可求得解析式. 【详解】（1）方法一（换元法）：令，则，． 所以， 所以函数的解析式为． 方法二（配凑法）：． 因为，所以函数的解析式为． （2）将代入，得， 因此，解得． （3）令，得， 所以，即． 【相似题3】（2022高一·全国·专题练习）已知，对于任意实数，等式，求的解析式. 【答案】 【分析】对恒等式利用赋值法，赋值代入求出的解析式. 【详解】对于任意实数等式恒成立， 不妨令则有 再令得函数解析式为： 【题型6：分段函数的解析式或者求值】 例题精选 【例题1】（24-25高一上·吉林通化·阶段练习）已知函数，则（    ） A．2 B．0 C．1 D．3 【答案】A 【分析】根据分段函数特点逐步代入即可. 【详解】. 故选：A. 【例题2】多选题（23-24高一上·江苏徐州·期中）如图所示的图象表示的函数的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由分段函数图象利用待定系数法分段求解函数的解析式即可. 【详解】由图可知，当时，为一次函数，可设为， 代入得：； 当时，为一次函数，可设为， 代入，得：解得：，. 所以；所以. ，所以BD正确. 故选：BD. 【例题3】（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）函数满足：且，则 . 【答案】/2.5 【分析】结合题意可得、与的关系，即可得，即可得，结合与的关系计算即可得. 【详解】， 则， 所以． 故答案为：. 相似练习 【相似题1】（23-24高一上·山东泰安·期中）设，则的值为 . 【答案】11 【分析】代入分段函数，结合分段函数自变量范围，逐步求出函数值. 【详解】. 故答案为：. 【相似题2】（23-24高一上·天津红桥·期中）已知函数，则当函数值时， . 【答案】或或. 【分析】根据分段函数的特征，分，，求，得到的值. 【详解】当时，，， 所以， 当时，，，所以； 当时，，，所以， 综上，或或. 故答案为：或或. 【相似题3】（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）已知函数 (1)求； (2)若，求的值． 【答案】(1)2 (2)或 【分析】（1）由内向外代入求值即可； （2）通过，，分类讨论即可. 【详解】（1）所以， 因此， （2）当时，由，可得，舍去； 当时，由，可得； 当时，由，可得（舍）或． 综上所述，或． 【题型7：求分段函数的值域或者最值】 例题精选 【例题1】（24-25高一上·上海虹口·期末）设，则（    ）. A．函数的最大值为3，最小值为1 B．函数的最大值为，无最小值 C．函数的最大值为，无最小值 D．函数的最大值为3，最小值为 【答案】C 【分析】在同一坐标系中先画出与的图象，然后根据定义画出，就容易看出有最大值，无最小值，解出两个函数的交点，即可求得最大值． 【详解】在同一坐标系中先画出与的图象，由图像可知，当时，取得最大值， 所以由得（舍去）或， 即当时，函数有最大值，无最小值. 故选：C 【例题2】（24-25高一上·四川泸州·期中）定义，设函数，，记函数，且函数在区间的值域为，则的最大值为（） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据题意求出的解析式，结合图象即可求出的范围，进而可求. 【详解】令,即,解得, 令,即,解得或, 所以 又， 要使函数在区间的值域为, 当时,,当时,, 则当时的长度取得最大值2. 故选：D. 【例题3】已知函数，若当时，，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，按和两种情况求出不等式的解集的并集即可求解. 【详解】当时，由，得，解得，因此； 当时，由，得，解得，因此， 因此等价于，依题意，， 所以的最大值为. 故答案为： 相似练习 【相似题1】（24-25高一下·上海杨浦·开学考试）已知函数的最小值为，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据分段函数两段函数的单调性和最值，即可列式求解. 【详解】由题意可知，若，则时，单调递减，此时函数无最小值； 故需满足，得， 函数，，若函数的最小值为， 则且，解得： 综上可知，. 故答案为： 【相似题2】若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，分，与讨论，结合一次函数与二次函数的值域列出不等式，即可得到结果. 【详解】当时，， 当时，， 若， 则时，， 则在上单调递减，在上单调递增，则， 此时要满足函数的值域为，则，解得； 若，则当时，； 当时，，满足函数的值域为； 若，则时，， 则在上单调递增，则， 此时要满足函数的值域为，则，解得； 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为： 【相似题3】（24-25高一下·上海·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 【答案】; 【分析】根据时，，由值域为判断出，再求出时的范围，从而 ，解不等式即可. 【详解】当时，，因为值域为， 所以，即， 此时时，，即， 由值域为得：， 综上：， 故答案为：. 【题型8：函数的作图】 例题精选 【例题1】（23-24高一上·云南昭通·期中）在图中，作出下列函数的图象. (1)，； (2)已知函数 【答案】(1)图象见解析 (2)图象见解析 【分析】（1）由函数解析式即可直接作图； （2）由函数解析式即可直接作图； 【详解】（1） （2） 【例题2】（24-25高一上·广东东莞·期中）已知函数 (1)求； (2)画出函数的图像； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）代入计算，即可得到结果； （2）由分段函数的解析式，分别画出每一段的函数图像，即可得到结果； （3）根据题意，分，以及讨论，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1），. （2）函数的图像为： （3）当时，由可得，解得，所以； 当时，由可得，解得，所以； 当时，由可得，解得，所以； 综上所述，实数的取值范围为. 【例题3】（24-25高一上·四川内江·期中）已知函数 (1)在如图给定的直角坐标系内画出的图象；    (2)求不等式的解集. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据函数类型，采用描点法作图； （2）根据分段函数，采用分段解不等式，再求并集. 【详解】（1）当时： 0 1 2 2 3 2 -1 当： 2 5            图像如下：    （2）令则 当时，，           所以，解得，           所以；           当时，，           解得，所以；           综上，或        所以的解集为. 相似练习 【相似题1】（23-24高一上·江苏镇江·期中）已知函数. (1)画出的图像； (2)请根据的图像直接写出的解集（无需说明理由）. 【答案】(1)图象见解析 (2) 【分析】（1）利用零点分段法，得到分段函数，再画出函数的图象； （2）根据分段函数，分段解不等式即得. 【详解】（1）当时，； 当时，； 当时，； 故，函数图象如图所示： . （2）由题得，当时，，解得，则； 当时，，解得，则； 当时，，解得，则； 综上，的解集为. 【相似题2】（23-24高一上·辽宁大连·期中）已知函数 (1)求函数的解析式，并作出函数的图象；    (2)设在区间上的最小值为，求的解析式． 【答案】(1)，作图见解析 (2) 【分析】（1）利用换元法求的解析式，并根据绝对值的性质作出的图象； （2）结合（1）中的图象，分类讨论求最小值. 【详解】（1）令，则， 所以， 所以函数的解析式为． 可知图像如图：    （2）由（1）中函数图象可知： 当，即时，； 当，且时，即时，； 当时，； 综上所述：. 【课后强化练习】 一、单选题 1．若函数，满足，且，则（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（2024·江西上饶·一模）设，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知，则的解析式为（    ）. A． B． C． D． 4．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）若函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·四川遂宁·阶段练习）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·山西晋城·阶段练习）已知，则函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）若函数，则 . 8．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知函数，则 . 9．（24-25高一上·上海奉贤·阶段练习）已知函数，则 . 10．（24-25高一上·北京东城·阶段练习）已知函数 ①若，则x的值是 ②若且，则的取值范围是 三、解答题 11．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）已知函数满足. (1)求的解析式； (2)求函数在上的值域. 12．（24-25高一上·四川遂宁·阶段练习）已知函数 (1)求的值； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围． 13．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）已知二次函数满足，且： (1)求的解析式； (2)若在区间上，的值域为，求m的取值范围. 14．（24-25高一上·河北廊坊·阶段练习）（1）已知是二次函数，且满足，求解析式; （2）已知，求的解析式; （3）已知一次函数满足，求的解析式. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D C B B B D 1．D 【分析】应用赋值法及方程组法计算求解. 【详解】令可得，所以； 令可得； 令可得， 所以， 所以， 令可得，所以， 所以. 故选：D. 2．C 【分析】分和两种情况解方程即可求解. 【详解】由题意可知， 当时，，所以由得； 当时，，所以由得，无解. 综上，. 故选：C. 3．B 【分析】令，求得可得的解析式，再求即可. 【详解】令，解得 所以， 则， . 故选：B. 4．B 【分析】分两种情况分别解不等式即可. 【详解】当时，由，即所以，解得； 当时，由，即所以，解得； 综上，实数的取值范围是. 故选：B 5．B 【分析】利用给定的函数关系，利用配凑法求出解析式即可判断. 【详解】函数，所以. 故选：B. 6．D 【分析】利用换元法令可得，代入解析式可得结果. 【详解】令，则，所以， 所以. 故选：D. 7．/0.25 【分析】直接代入求值即可. 【详解】由题意. 故答案为：. 8． 【分析】利用函数解析式求法里的换元法即可求得结果. 【详解】函数 令， 那么函数转化为 函数 故答案为： 9． 【分析】采用换元法令，先求得的表达式，则可得. 【详解】令，则， 所以， 所以. 故答案为：. 10． 或 【分析】（1）根据函数值求自变量的值. （2）设，根据函数解析式，把转化成二次函数在给定区间上的值域问题求解. 【详解】（1）若，由； 若，由； 所以或； （2）设， 由题意：，； ，，； 所以，， 所以. 故答案为：或；. 11．(1) (2) 【分析】（1）利用构造方程组法求解析式，即可求解； （2）由（1）知，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）由可得： ， 通过消元可得. （2）由题意可得， 因为的图象的对称轴为，在上单调递增， 所以， ， 所以在上的值域为. 12．(1)，； (2)或； (3). 【分析】（1）根据的范围，分别将代入对应解析式即可求解. （2）对参数进行分类讨论，解方程求解即可. （3）对参数进行分类讨论，解不等式求解即可. 【详解】（1）依题意，，而, 所以. （2）当时，，解得，不合题意； 当时，，即，而，则； 当时，，解得，符合题意， 所以当时，或. （3）由，得或或， 解得或或或, 所以实数的取值范围是. 13．(1) (2) 【分析】（1）先设二次函数再应用待定系数法得出函数解析式； （2）结合二次函数性质及单调性根据已知值域列不等式组求参. 【详解】（1）设二次函数，由题意知： ， 整理得， 解得. ∴. （2）因为，所以其图象的对称轴为直线，当时. 因为当时，,由二次函数性质可知解得. 所以m的取值范围是. 14．（1），（2），（3） 【分析】利用待定系数法计算即可求解（1）（3）；利用换元法计算即可求解（2）. 【详解】（1）设， 因为，所以，则. 由题意可知:， 对照系数可得，解得. 所以. （2）令，则， 所以. 所以. （3）设， 因为，所以， 对照系数可得，解得， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$