专题03函数（13题型）（山东专用）-【好题汇编】2025年中考数学二模试题分类汇编

专题03 函数 题型概览 题型01 平面直角坐标系 题型02 函数自变量的取值范围 题型03 一次函数图象与性质 题型04 反比例函数图象与性质 题型05 二次函数的图象与性质 题型06 函数与方程不等式的关系 题型07 二次函数图象与系数a，b，c的关系 题型08 反比例函数k的几何意义 题型09 一次函数与反比例函数综合 题型10 函数的规律问题 题型11 一次函数的实际问题 题型12 反比例函数的实际问题 题型13 二次函数的实际问题 01平面直角坐标系 1．（2025·山东青岛·二模）如图，在平面直角坐标系中，将线段先绕原点按逆时针方向旋转，再向下平移得到线段，若点的对应点的坐标是，则点的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由平移方式确定点的坐标、求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】本题考查了平面直角坐标系中图形的变化，掌握旋转，平移的性质是关键． 根据旋转，平移的性质，数形结合分析即可求解． 【详解】解：根据题意，， 如图所示， 将线段先绕原点按逆时针方向旋转，得到线段，点的对应点为，点的对应点为，再将线段向下平移得到线段，点的对应点为点，即点变换后的对应点的坐标是， ∴旋转后向下平移了4个单位， ∴， 故选：D ． 2．（2025·山东青岛·二模）如图，把图①中的经过一定变换得到图②中的，如果图①中上点的坐标为，那么这个点在图②中的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知图形的平移，求点的坐标 【分析】本题考查了已知图形的平移，求点的坐标，解题关键是确定平移的方向与距离． 根据平移的方向与距离，结合点的坐标求出的坐标． 【详解】解：∵把图①中的经过一定变换得到图②中的， ∴点的对应点为，先向右平移4个单位，再向上平移3个单位， ∵图①中上点的坐标为， ∴这个点在图②中的对应点的坐标为， 故选： C． 3．（2025·山东淄博·二模）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点，则点关于原点对称的点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】由平移方式确定点的坐标、求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题考查了坐标与图形变化－平移．利用点平移的坐标规律，把A点的横坐标加2，纵坐标加3即可得到点B的坐标，点B的坐标都取相反数即得． 【详解】解：∵点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点， ∴， ∴点关于原点对称的点的坐标为． 故答案为：． 4．（2025·山东淄博·二模）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，两点的坐标分别为，线段绕原点按顺时针方向旋转后得到线段．若点A的对应点的坐标为，则点B的对应点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】本题考查坐标与图形变化−−旋转，根据题意画出旋转后的线段即可解决问题，能根据题意画出旋转后的图形是解题的关键． 【详解】解：∵线段绕原点按顺时针方向旋转后，点的对应点是点， ∴线段绕原点按顺时针方向旋转后得到线段，如图所示： 根据图形可知：点的对应点的坐标是． 故答案为：． 02函数自变量的取值范围 5．（2025·山东菏泽·二模）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，根据分式有意义的条件可得，从而可得答案． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（2025·山东枣庄·二模）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据既在根号下，又在分母上，可得不等式，解不等式求出的取值范围即可． 【详解】解：式子在实数范围内有意义， ， 解得：． 故答案为：． 7．（2025·山东临沂·二模）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，根据分式分母不为0得出，求解即可． 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 8．（2025·山东济宁·二模）如果有意义，那么的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】求不等式组的解集、二次根式有意义的条件、分式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得，，， 解得，且， 故答案为：且． 9．（2025·山东潍坊·二模）在函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求自变量的取值范围 【分析】根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件得出，即可求解． 【详解】解：依题意， ∴且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，熟练掌握分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是解题的关键． 03一次函数的图象与性质 10．（2025·山东聊城·二模）一次函数的图象经过第二、三、四象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、求不等式组的解集 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，根据一次函数的图象在坐标平面内的位置关系得关于k的不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：由题意可得， 解得， 故选：C． 11．（2025·山东滨州·二模）请写出同时满足以下两个条件的一个函数 ．①y随x的增大而增大，②函数与y轴的负半轴相交． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数中的随着的增大而增大可得，再根据函数图象与轴负半轴相交可得，据此即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵随着的增大而增大， ∴一次函数的比例系数， 又∵函数图象与轴负半轴相交， ∴， ∴同时满足以下两个条件的一次函数可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 12．（2025·山东德州·二模）点在一次函数图象上，则该直线不经过第 象限． 【答案】三 【知识点】求一次函数解析式、根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题主要考查了一次函数点的坐标特点以及一次函数的图象， 以及一次函数经过的象限，把点代入，求出k的值，再根据，可得出该直线经过一，二，四象限即可得到答案． 【详解】解：把点代入， 得出：， 解得：， ∴一次函数的解析式为：， ∵，， ∴该直线经过一，二，四象限， ∴该直线不经过第三象限 故答案为：三． 13．（2025·山东日照·二模）若点是一次函数上的两点，对于任意，都有，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、根据一次函数增减性求参数 【分析】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，要根据函数的增减性进行推理，是一道基础题．根据一次函数的性质知，，进行解答即可． 【详解】解：∵点是一次函数上的两点，对于任意，都有， 该函数图象是随的增大而增大， ∴， 解得． 故答案为：． 14．（2025·山东枣庄·二模）如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，以为边在y轴右侧作等边，将点C向左平移，使其对应点恰好落在直线上，则点C平移的距离 ． 【答案】 【知识点】一次函数与几何综合、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查了一次函数图像上点的坐标特征，一次函数的性质，等边三角形的性质以及坐标与图形变化，熟练掌握一次函数的图像和性质是解题的关键．过点作轴的垂线，求出垂线的长，得到点的坐标，即可得到的横坐标，即可得到答案． 【详解】解：过点作轴的垂线，垂足为， 将代入得， ， ， 是等边三角形， ， ． ， 则， ． 将代入， 解得， 故的横坐标为， 则， ， 故答案为：． 04反比例函数的图象与性质 15．（2025·山东济南·二模）已知点都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查比较反比例函数的自变量的大小关系，根据反比例函数的图象和性质，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴双曲线过二，四象限，在每一个象限内，随着的增大而增大， ∵都在反比例函数的图象上， ∴在第四象限，在第二象限，且， ∴； 故选：C． 16．（2025·山东济南·二模）已知函数的图象经过点，，如果，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题主要考查了比较反比例函数函数值的大小，正确判断出反比例函数图象经过的象限是解题的关键． 先判断进而得到反比例函数的图象经过第二、四象限，由此即可得到答案． 【详解】解：∵， ， ∴反比例函数的图象经过第二、四象限， ， 故选：B． 17．（2025·山东日照·二模）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 . 【答案】0 【知识点】求反比例函数值 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，已知自变量求函数值，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 将点和代入，求得和，再相加即可． 【详解】解：∵函数的图象经过点和， ∴有， ∴， 故答案为：0． 18．（2025·山东东营·二模）如图，在边长为1的正方形网格上建立直角坐标系，x轴，y轴都在格线上，其中反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点M，N在格点上，则 ． 【答案】4 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，根据直角坐标系设点，则点，将两点代入反比例函数，可得出，进而求出，则可得出k的值． 【详解】解：设点，则点 将点，点代入反比例函数中， 得， 解得． 点， ． 故答案为：4 05二次函数的图象与性质 19．（2025·山东威海·二模）函数y=ax2+ax+a（a≠0）的图象可能是下列图象中的（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】根据二次函数图象与系数的关系：常数项决定抛物线与y轴交点位置，二次项系数与一次项系数决定对称轴位置，具体是左同右异. 【详解】当a＜0时，则该函数开口向下，顶点在y轴左侧，抛物线与y轴的负半轴相交，故选项D错误； 当a＞0时，则该函数开口向上，顶点在y轴左侧，抛物线与y轴的正半轴相交，故选项A、B错误；故选项C正确； 故选C． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系, 二次函数图象上点的坐标特征, 抛物线与x轴的交点，解答关键是熟练掌握以上内容. 20．（2025·山东滨州·二模）已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表： 0 1 2 3 3 0 m 3 ①抛物线开口向上；②抛物线的对称轴为直线；③m的值为；④图象经过一、二、四象限；⑤抛物线在y轴左侧的部分是上升的．上述结论中正确的是（    ） A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤ 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握抛物线与系数的关系，顶点坐标，对称轴，对称性，增减性，是解题的关键．根据抛物线的顶点坐标是，有最小值，判断①；根据抛物线的对称轴是直线，判断②；根据与对称，判断③；根据图象过原点，对称轴在原点右则，判断④；抛物线在直线右侧的部分是上升的．判断⑤． 【详解】解：由表格可知，抛物线的顶点坐标是，有最小值， ∴抛物线的开口向上， 故①符合题意； 抛物线的对称轴是直线， 故②符合题意； 当或时， ， 故m的值为0， 故③不符合题意； ∵图象过原点，对称轴为直线，抛物线的开口向上 ∴图象不过第三象限，图象经过一、二、四象限； 故④符合题意； ∵抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线在直线右侧的部分是上升的． 故⑤不符合题意． ∴符合题意的有①②④ 故选：A． 21．（2025·山东东营·二模）对于抛物线和抛物线，下列结论错误的是（    ） A．两条抛物线开口方向相反 B．两条抛物线对称轴相同 C．两条抛物线一定有两个不同的交点 D．两条抛物线关于直线对称 【答案】C 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查抛物线图像的性质，根据二次项系数即可判断A，根据对称轴公式即可判断B，联立两式求解即可判断C，根据轴对称的性质求解即可判断D； 【详解】解：∵与互为相反数， ∴两条抛物线开口方向相反，故A正确， ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线的对称轴为直线， ∴两条抛物线对称轴相同，故B正确， 联立两个抛物线得：， 整理得：， ∴， 当有两个相等的实数根，当有两个不相等的实数根，故C不正确， ∵抛物线和，开口方向相同，大小相同，两条抛物线交点为， ∴两条抛物线关于直线对称，故D正确， 故选：C． 22．（2025·山东聊城·二模）对于任意函数，定义当时，若函数值，称为此函数的不动点．例如函数，当时，则点为此函数的不动点．则二次函数的不动点为 ． 【答案】或 【知识点】已知二次函数的函数值求自变量的值 【分析】本题主要考查二次函数与方程的关系，解题的关键是理解并掌握不动点的概念． 根据题意得出，代入函数求解即可． 【详解】解：根据题意得：当时，若函数值，称为此函数的不动点， 即， ∴ ，整理得：， 解得：或， ∴二次函数的不动点为或， 故答案为：或． 23．（2025·山东青岛·二模）已知平面直角坐标系的原点为O，抛物线的顶点为C，该抛物线与x轴的正半轴交于点B，若为等腰直角三角形，则b的值为 ． 【答案】2 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、等腰三角形的性质和判定、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】考查了二次函数的图象和性质、等腰直角三角形的性质等知识．画出图象，抛物线的对称轴为直线，对称轴与x轴交于点D，开口向下，顶点坐标为，得到，进一步求出，由等腰直角三角形的性质得到，则，解方程并检验即可． 【详解】解：如图，抛物线的对称轴为直线，对称轴与x轴交于点D，开口向下，顶点坐标为， ∴， 当时，， 解得或， ∴点B的坐标为， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴ 解得，或， 经检验，或是方程的解， 当时，顶点为原点，不合题意； ∴， 故答案为： 06函数与方程不等式的关系 24．（2025·山东淄博·二模）如图，一次函数与（m，n为常数，）的图象相交于点，则关于x的不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了利用两直线交点求不等式解集，在数轴上表示解集，利用数形结合的思想是解题关键．根据两直线的交点，结合图象，得到不等式的解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解：一次函数与的图象相交于点， 不等式的解集为， 在数轴上表示如下： 故选：C． 25．（2025·山东滨州·二模）抛物线与直线相交于点和点.则当时，的取值范围是（  ） A． B． C． D．或 【答案】B 【知识点】根据交点确定不等式的解集 【分析】此题考查二次函数与不等式．先求得抛物线与直线的解析式，联立求得点的坐标，再根据时，即为抛物线在直线下方，根据图象得出取值范围即可． 【详解】解：∵直线经过点， ∴，解得， ∴直线， ∵抛物线经过点， ∴，解得， ∴抛物线， 联立得， 解得或， 当时，， ∴， ∴抛物线与直线相交于点和点两点， ∴当时，， 故选：B． 26．（2023·山东威海·二模）如图，在同一直角坐标系中抛物线与双曲线交于，，三点，则满足的自变量x的取值范围是（    ）    A．或 B．或 C．或或 D．或或 【答案】B 【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断、根据交点确定不等式的解集 【分析】观察函数图象，找到抛物线在双曲线下方时的自变量的取值范围即可求解． 【详解】解：观察函数图象，可知当时，或， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数与二次函数的图象的性质，数形结合是解题的关键． 27．（2025·山东淄博·二模）在平面直角坐标系中，函数与函数的图象相交于，两点，若点的坐标是，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、坐标系中的对称 【分析】本题主要考查了正比例函数和反比例函数的结合，交点坐标的关系等知识点，解题的关键是熟练掌握正比例函数和反比例函数的性质． 根据题意先求出点的坐标，再利用，两点关于原点对称，即可求解． 【详解】解：将点的坐标代入得， ， ∴点的坐标是， 由反比例函数图象和正比例函数的图象可知， ，两点关于原点对称， ∴点的坐标是， 故选：D． 28．（2025·山东青岛·二模）已知二次函数与一次函数的图象有交点，则k的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、根据二次函数的定义求参数、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题、二次函数的定义，学会联立函数解析式是解题的关键．根据二次函数定义可知，再将二次函数和一次函数联立方程组，再利用即可得出答案． 【详解】解：二次函数， ， 联立， 整理得：， 二次函数与一次函数的图象有交点， ， 解得：， k的取值范围是且． 故选：B． 07二次函数图象与系数a，b，c的关系 29．（2025·山东潍坊·二模）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且，图象的对称轴为直线．则下列结论正确的是（    ） A． B． C．点的坐标为 D．关于的一元二次方程无实数根 【答案】BC 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象与系数的关系、二次函数与轴的交点问题，由图象可得抛物线开口向上，对称轴是直线，与轴交于负半轴，推出，，，再逐项分析即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口向上，对称轴是直线，与轴交于负半轴， ∴，，， ∴， ∴，故A错误； 当时， ∴， ∵，则 ∴ 当时， 又∵ ∴，故B正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴的坐标为，故C正确； ∵当时，即抛物线顶点为， 当时，方程有两个相等的实数根，故D错误， 故选：BC． 30．（2025·山东潍坊·二模）（多选）二次函数的图像如图所示，顶点为，下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，且，则 D．关于的方程（为常数）有实数根 【答案】BCD 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，抛物线的对称轴，顶点坐标公式，二次函数和一元二次方程的关系等内容，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． 利用二次函数的图象和性质，抛物线的对称轴，顶点坐标公式，二次函数和一元二次方程的关系等性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A.根据抛物线图象可得，开口向下，所以，对称轴在轴的右侧，所以，抛物线交轴的正半轴，所以，所以，该选项错误，不符合题意； B.因为抛物线对称轴为直线，即，，所以3与是两个对称点的横坐标，当时，，即，该选项正确，符合题意； C. 若，且，所以是两个对称点的横坐标，根据对称轴为直线，则，即，该选项正确，符合题意； D. 方程，其判别式，二次函数顶点为，则，即，对进行变形： 把代入得，因为，所以，方程有实数根，该选项正确，符合题意； 故选：BCD． 31．（2025·山东淄博·二模）如图，二次函数的图象经过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若两点在该二次函数的图象上，则．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点问题；根据图象可知函数与轴y轴交点情况及对称轴，判断的情况，可判断①；由时，可判断②；结合对称轴为直线，由对称性可求该函数和轴的另一个交点为代入可判断③；由图象开口向上，得，即，得到两点在对称轴右侧的抛物线上，再根据点到对称轴的距离越大，函数值也越大，可判断④． 【详解】解：根据图象可知：图象开口向上，函数与y轴交点在负半轴上， ， 对称轴为直线，即， ， ，故①正确； 二次函数的图象经过点，对称轴为直线， 该函数和轴的另一个交点为，即， 时，，故②错误； 该函数和轴的另一个交点为， ， ， ， ，即， ， ， ，故③错误； ， ， 两点在对称轴右侧的抛物线上， 在对称轴右侧的抛物线上，y随x的增大而增大， ， ，即，故④正确． 故选：B． 32．（2025·山东菏泽·二模）知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：①；②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，，则，其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．②③④ C．②③⑤ D．②③④⑤ 【答案】D 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号 【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到b=2a＞0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＜0，则可对①进行判断；根据判别式的意义对②进行判断；利用x=1时得到a+b+c＞0，把b=2a代入得到3a+c＞0，然后利用a＞0可对③进行判断；利用二次函数当时有最小值可对④进行判断；由于二次函数y=ax2+bx+c与直线y=2的一个交点为，利用对称性得到另一个交点坐标，从而得到x1、x2的值，则可对⑤进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线的对称轴为直线， 即， ∴b=2a＞0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴c＜0， ∴abc＜0，所以①错误； ∵物线与x轴有2个交点， ∴，所以②正确； ∵x=1时，y＞0， ∴a+b+c＞0， 而b=2a， ∴3a+c＞0， ∵a＞0， ∴4a+c＞0，所以③正确； ∵时，y有最小值， ∴（t为任意实数）， 即，所以④正确； ∵图象经过点时，方程的两根为x1，x2（x1＜x2）， ∴二次函数y=ax2+bx+c与直线y=2的一个交点为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴二次函数y=ax2+bx+c与直线y=2的另一个交点为， 即x1=，x2=， ∴，所以⑤正确． 综上所述，正确的是：②③④⑤， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点． 33．（2025·山东淄博·二模）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若点，点，点在该函数图象上，则；⑤若方程的两根为和，且，则．其中正确结论的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系．二次函数图象上点的坐标特征．根据抛物线对称轴为直线可得a与b的关系，从而判断①；由时可判断②；由抛物线经过点及抛物线对称轴可求出b与a，c与a的关系从而判断③；由A，B，C三点到对称轴的距离大小判断④；将方程的解转化为抛物线与直线的交点问题，从而判断⑤． 【详解】解：抛物线对称轴为直线， ，即，①正确； 由图象可得时，， 即． ，②正确； 抛物线经过， ． ， ． ． 抛物线开口向下， ． ，③正确； ，则点B，点C，点A到抛物线对称轴距离依次增大， ，④错误； 抛物线经过点，对称轴为直线， 抛物线经过点． 抛物线解析式为． 方程的两根为抛物线与直线的交点的横坐标． 由图象可得，⑤正确． 综上，正确的有①②③⑤， 故选：C． 34．（2025·山东临沂·二模）如图，二次函数图象的一部分与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论： ； ； ； 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根； 若点，均在该二次函数图象上，则．其中正确结论的序号为 ．    【答案】 【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标、求抛物线与x轴的交点坐标、二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】根据图象特征可判断，根据对称轴可判断，根据抛物线与轴的交点即对称轴确定抛物线与轴的另一个交点后可判断，方程的解可看作与的交点可判断，点与关于直线对称可判断． 【详解】∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴在轴右侧， ∴ ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，故正确， ∵， ∴，故错误， ∵抛物线与轴的一个交点为，对称轴为， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴， ∵， ∴，故正确； 方程的解可看作与的交点， ∵， 当过抛物线顶点时，两函数只有一个交点，即方程有两个相等的实数根，故错误； ∵点与关于直线对称， ∴，故正确； 故答案为: ． 【点睛】此题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、根的判别式以及抛物线与轴的交点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 08反比例函数k的几何意义 35．（2025·山东威海·二模）如图，矩形，点的坐标为，点在轴上，．若反比例函数的图象过点，则的值为（   ） A． B． C．30 D．48 【答案】B 【知识点】反比例函数与几何综合、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合，相似三角形的判定与性质，过点作轴于点，证明，可求出从而可得，进一步得出． 【详解】解：如图，过点C作轴于点E，在矩形中，， ， ∵， ， ， ， ∵点的坐标为， ∴， ， ， ， ， ， ∴点的坐标为， ∵反比例函数的图象过点， 故选：B． 36．（2025·山东青岛·二模）如图，点，分别位于反比例函数与的图象上，连接，则有轴，为轴上一点，连接，，若，则 ． 【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】此题考查了反比例函数系kk的几何意义，关键是根据三角形的面积求出的值．连接，设与轴交于点，则，根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接，设与轴交于点， ∵轴， ∴轴， ∴ ∵， ∴ 解得：， 故答案为：． 37．（2025·山东淄博·二模）和为两块大小不同的含角的三角板，在平面直角坐标系内如图所示摆放（点A在y轴的正半轴上），，，反比例函数的图象恰好经过点C．若，则 ． 【答案】8 【知识点】反比例函数与几何综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质及解直角三角形，熟练掌握反比例函数的图象与性质及含直角三角形的性质是解题的关键． 过点作轴，垂足为，设，根据含直角三角形的性质，求得，同理求得，继而求得，即点坐标，进而可求值． 【详解】解：过点作轴，垂足为， ∵， 设， ， ，， ∴， ， 在中，， 在中，， ， ， 故答案为：8． 38．（2025·山东日照·二模）如图，已知点，点分别在轴和轴上；将线段绕点顺时针旋转至线段，连，将沿轴正方向平移至；当双曲线恰好同时经过点，时，的值等于 ． 【答案】6 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、利用平移的性质求解、根据旋转的性质求解 【分析】先求出点的坐标，再根据平移，用表示出，的坐标，然后根据双曲线恰好同时经过点，时，列出方程求解． 【详解】解：设平移了个单位， ∵将线段绕点顺时针旋转至线段，点，点， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点， ∵将沿轴正方向平移至， ∴，，，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 当双曲线恰好同时经过点，时，， 解得：，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用平移的性质求解，反比例函数与几何综合，求反比例函数解析式，根据旋转的性质求解，解题的关键是根据反比例函数图象上的横纵坐标的积为求解． 39．（2025·山东德州·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，BCx轴．AD与y轴交于点E，反比例函数 y＝（x＞0）的图象经过顶点 C、D．已知点C的横坐标为5，BE＝2DE，则k的值为 ． 【答案】/ 【知识点】反比例函数与几何综合、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】由已知可得菱形边长为5，设出点D坐标，即可用勾股定理构造方程，进而求出k值． 【详解】解：过点D作DF⊥BC于F， 由已知，BC＝5， ∵四边形ABCD是菱形， ∴DC＝5， ∵BE＝2DE， ∴设DE＝x，则BE＝2x， ∴DF＝2x，BF＝x，FC＝5﹣x， 在Rt△DFC中， DF2+FC2＝DC2， ∴（2x）2+（5﹣x）2＝52， 解得x1＝2，x2＝0（舍去）， ∴DE＝2，FD＝4， 设OB＝a， 则点D坐标为（2，a+4），点C坐标为（5，a）， ∵点D、C在双曲线上， ∴k＝2×（a+4）＝5a， ∴a＝， ∴k＝5×＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，勾股定理，求出DE的长度是本题的关键． 09一次函数与反比例函数综合 40．（2025·山东日照·二模）已知正比例函数与反比例函数的图象在第一象限交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)如图，将直线向上平移个单位后与的图象交于点和点， ①求的面积； ②直接写出不等式的解集． 【答案】(1)； (2)①；②不等式的解集为或． 【知识点】求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积等． （1）先根据一次函数求出点坐标，再代入反比例函数计算即可； （2）①先求出的点坐标，再代入平移后的一次函数解析式，再求出C、D两点的坐标，再根据，代入数据计算即可； ②根据函数图象即可写出不等式的解集． 【详解】（1）解：直线过点， ， 将代入中，得， 反比例函数的解析式为； （2）解：①由（1）知，反比例函数的解析式为， 点，在的图象上， ， ，， 由平移得，平移后直线的解析式为， 将代入中，得， ； 直线的解析式为， 令，得， ， ； ②∵，， ∴不等式的解集为或． 41．（2025·山东济南·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点A，与反比例函数交于点． (1)求b，k的值； (2)点C是x轴正半轴上一点，连接交反比例函数于点D，连接，若，求的面积； (3)在（2）的条件下，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，求点E的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、相似三角形的判定与性质综合、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、反比例函数与几何综合 【分析】（1）把点B坐标代入一次函数式中，即可求得b的值，从而得点B的值；把点B的坐标代入反比例函数式中即可求得k的值； （2）过点B作轴于点G，过点D作轴于点H，设交y轴于点K，证明，则由相似三角形的性质求得，从而求得点D的坐标；再求出的函数解析式，则可求得点K的坐标，利用即可求解； （3）过点D作轴，作于H，于G，证明，利用全等三角形的性质即可求得点坐标． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数交于点， ∴把代入中，得， 解得：， ∴； 把代入得：； 即，； （2）解：如图，过点B作轴于点G，过点D作轴于点H，设交y轴于点K， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知反比例函数的表达式为； 当时，，解得， ∴； 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过点D作轴，作于H，于G， 则， ∴， 由旋转得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是函数与几何的综合，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数交点，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，构造辅助线证明三角形相似与全等是解题的关键． 42．（2025·山东青岛·二模）如图，一次函数y＝kx+b(k≠0)和反比例函数y＝(x＞0)经过点A(4，m)． (1)求点A的坐标； (2)用等式表示k，b之间的关系(用含k的代数式表示b)； (3)连接OA，一次函数y＝kx+b(k≠0)与x轴交于点B，当△OAB是等腰三角形时，直接写出点B的坐标． 【答案】(1)A(4，3)；(2)b＝﹣4k+3；(3)B点的坐标为(﹣5，0)，(5，0)，(8，0)，(，0)． 【知识点】反比例函数与几何综合、反比例函数与一次函数的综合、等腰三角形的定义 【分析】(1)将点A(4，m)代入y＝，求得m的值即可； (2)把(4，3)代入一次函数y＝kx+b即可得到b＝﹣4k+3； (3)求得OA＝5，画出图形，根据等腰三角形的性质即可求得． 【详解】(1)∵反比例函数y＝(x＞0)经过点A(4，m)， ∴m＝＝3， ∴A(4，3)； (2)∵一次函数y＝kx+b(k≠0)经过点A(4，3)， ∴3＝4k+b， ∴b＝﹣4k+3； (3)∵A(4，3)， ∴OA＝＝5， ∵△AOB是等腰三角形，如图，过点A作AD⊥x轴，垂足为D，则有OD=4，AD=3， 当OA是腰时， ①若OA=AB1，则点B1(8，0)； ②若OA=OB，则点B2(5，0)，B3(-5，0)； 当OA为底时，则有AB4=OB4，设OB4= AB4=m，则DB4=4-m， 在Rt△ADB4中，AB42=B4D2+AD2， 即m2=(4-m)2+32， 解得：m=， ∴B4(，0)， 故B点的坐标为(﹣5，0)，(5，0)，(8，0)，(，0)． 【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，等腰三角形的性质，分类讨论思想的运用是解题的关键． 43．（2025·山东聊城·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)当时，直接写出的自变量x的取值范围； (3)如图2，将一次函数的图象沿y轴向上平移t个单位长度后，与反比例函数的图象交于点C，与y轴交于点D，若点C的纵坐标为，求t的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查一次函数图象和反比例函数图象的交点问题，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）直接根据图象，进行求解即可； （3）先求出点坐标，平移，求出直线的解析式，进而求出点坐标，求出的长即为的值． 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得， ∴一次函数的表达式为． 将点代入，得， ∴反比例函数的表达式为． （2）由图象可知，当时，直接写出的自变量x的取值范围为：． （3）将代入，得， ∴点C的坐标为． ∵， ∴设直线的表达式为． 将代入，得，解得， ∴点D的坐标为． 又∵， ∴， ∴． 10函数的规律问题 44．（2025·山东泰安·二模）在平面直角坐标系中,对于点,我们把点叫作点的“相伴点”．已知点的“相伴点”为,点的“相伴点”为,点的“相伴点”为,……,这样依次得到点,,,……,．若点的坐标为,则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题是对点的变化规律的考查,读懂题目信息,理解“和谐点”的定义并求出每4个点为一个循环组依次循环是解题的关键．根据“和谐点”的定义依次求出各点,不难发现,每4个点为一个循环组依次循环,用2025除以4,根据商和余数的情况确定点的坐标即可． 【详解】解：∵的坐标为, ∴, …, 依此类推,每4个点为一个循环组依次循环, ∵, ∴点的坐标与的坐标相同,为． 故答案为：． 45．（2025·山东威海·二模）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第次从原点运动到点，第次接着运动到点，第次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第次运动后，动点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题是平面直角坐标系下的坐标规律探究题，解答关键是利用数形结合解决问题．分析点的运动规律找到循环规律即可． 【详解】解：点坐标运动规律可以看做每运动四次一个循环，每个循环向右移动个单位， 因为 所以，前次循环运动点共向右运动个单位，剩余一次运动向右走个单位，且纵坐标为． 故点坐标为 故选：C． 46．（2025·山东枣庄·二模）如图，弹性小球从点出发，沿箭头方向不停地运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为，第2次碰到矩形的边时的点为，…，第n次碰到矩形的边时的点为，点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，根据题意画出小球的轨迹示意图，进而得到每6次碰撞为一个循环，小球的坐标依次为，，，，，，再求出2024除以6的余数即可得到答案． 【详解】解：根据题意可知小球的运动轨迹如下： 由图可知小球第一次碰到，第二次碰到，第三次碰到，第四次碰到，第五次碰到，第六次碰到， ∴每6次碰撞为一个循环，小球的坐标依次为，，，，，， ∵， ∴点的坐标是， 故答案为：． 47．（2025·山东淄博·二模）如图，，，，…，，（为正整数）都是斜边在轴上的等腰直角三角形，直角顶点，，，…，都在反比例函数的图象上，则的坐标是 ． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、一次函数的规律探究问题、公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点找出坐标之间的规律是解题的关键．过作轴于，根据等腰直角三角形的性质，可知是的中点，且，求出的坐标，进一步得出，同理，求出、、…的坐标，找到规律即可得到的坐标即可， 【详解】解：过作轴于，如图， 是等腰直角三角形， 是的中点，且， 设，则，代入反比例函数解析式， 得， 解得， ， ， 同理，过作轴于，则是的中点，， 设，则，代入反比例函数解析式， 得， 解得，（负值已经舍去） ， 同理可得，……，， ， 故答案为：． 11一次函数的实际问题 48．（2025·山东济南·二模）货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行．轿车出发后休息，直至与货车相遇后，以原速度继续行驶．设货车行驶时间为，货车、轿车与甲地的距离为，，图中的线段、折线分别表示，与之间的函数关系．两车出发后第二次相距时，货车的行驶时间为 ． 【答案】 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了，从函数图象获取信息，一次函数的应用，根据题意先分别求出解析式，解析式，再利用相距作减法列出一元一次方程，然后求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键， 【详解】解：设解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴解析式为， 当时，， ∴， ∵轿车出发后休息，直至与货车相遇后，以原速度继续行驶， ∴轿车行驶需要， ∴， 设解析式为， 将，代入得， ，解得：， ∴解析式为， ∵两车出发后第二次相距， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 49．（2025·山东淄博·二模）甲、乙两人在笔直的公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间t（分钟）之间的函数关系如图所示，下列说法中错误的是（   ） A．乙用12分钟追上甲 B．甲步行的速度为60米/分钟 C．乙步行的速度为80米/分钟 D．乙到达终点时，甲离终点还有600米 【答案】D 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了函数图象的识别，根据函数图象，计算出甲、乙的步行速度，即可判断BC，再计算出乙追上甲用的时间即可判断A，再列式计算出乙到达终点时甲离终点的距离即可判断D，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图可得： 甲的步行速度为：米/分钟，故B正确； 乙的步行速度为：米/分钟，故C正确； 乙追上甲用的时间为，故A正确； 乙到达终点时，甲离终点还有米，故D错误； 故选：D． 50．（2025·山东济南·二模）近年新能源汽车越来越受到人们的追捧．为了解某新能源汽车的充电速度，某校数学兴趣小组经调查研究发现：如图，用快速充电器时，汽车电池电量（单位：）与充电时间x（单位：h）的函数图象是折线：用普通充电器时，汽车电池电量（单位：）与充电时间（单位：h）的函数图象是线段．若该汽车电池电量从充至，则快速充电器比普通充电器少 h． 【答案】（或1.5） 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，分别利用待定系数法求出线段对应的函数关系式为，线段对应的函数关系式为，再结合题意求解即可，正确求出函数解析式是解此题的关键． 【详解】解：设线段对应的函数关系式为， 将和代入函数解析式可得， 解得：， ∴线段对应的函数关系式为， 设线段对应的函数关系式为， 将和代入函数解析式可得， 解得：， ∴线段对应的函数关系式为， 当时，， 解得， 当时，， 解得， ∵， ∴快速充电器比普通充电器少， 故答案为：． 51．（2025·山东青岛·二模）2025年4月27日，第20届中国电影华表奖在山东青岛市举行颁奖典礼．某文创店准备采购一批华表奖主题纪念品用于推广：已知“经典套装A型”的进价比“豪华套装B型”的进价低80元．如果文创店同样用6000元购进A型套装的数量是B型套装的数量的2倍． (1)求A型套装和B型套装的进价分别是多少元？ (2)文创店计划购买A型套装和B型套装共400件，且A型套装的数量不少于B型套装数量的3倍，将A型套装和B型套装分别按进价提高销售，如何购买这两种型号套装才能使全部售出后总利润最大？ 【答案】(1)A型套装的进价是80元，B型套装的进价是160元 (2)购买A型300件，B型100件，总利润最大 【知识点】分式方程的经济问题、最大利润问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，理解题意正确列出方程和不等式是解题的关键． （1）设A型套装的进价是元，则B型套装的进价是元，根据题意列出分式方程，解出的值即可解答； （2）设购买A型套装件，B型套装件，根据题意得到，解得，设总利润为元，列式可得，再利用一次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：设A型套装的进价是元，则B型套装的进价是元， 由题意得，， 解得：， 经检验，是方程的解且符合题意， 则， 答：A型套装的进价是80元，B型套装的进价是160元 （2）解：设购买A型套装件，B型套装件， 由题意得，， 解得：， 设总利润为元， 则 ， ， 随a增大而减小， 当时，W取最大值，此时400－300＝100（件）， 答：购买A型300件，B型100件，总利润最大． 52．（2025·山东聊城·二模）区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程（千米）与在此路段行驶的时间（时）之间的函数图象如图所示． (1)的值为________； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时） 【答案】(1) (2) (3)没有超速 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了一次函数的应用、一次函数的图像、求函数解析式等知识点，掌握待定系数法求函数关系式是解题的关键． （1）由题意可得：当以平均时速为行驶时，小时路程为千米，据此即可解答； （2）利用待定系数法求解即可； （3）求出先匀速行驶小时的速度，据此即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得：，解得：． 故答案为：． （2）解：设当时，y与x之间的函数关系式为， 则：，解得：， ∴． （3）解：当时，， ∴先匀速行驶小时的速度为：， ∵， ∴辆汽车减速前没有超速． 12反比例函数的实际问题 53．（2025·山东临沂·二模）如图①，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间段的平均行驶速度与行驶时间是反比例函数关系（如图②），已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过，最低车速不得低于，小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，解题的关键在于熟练掌握反比例函数的关系式和图像性质以及路程公式． 根据反比例函数的图像性质和路程与速度时间之间的关系，分别求出最高车速时的时间以及最低车速的时间，即可求出答案． 【详解】解：由题图②得，限速区间段的总路程为， ∵最高车速为， ∴在最高车速下的行驶时间， 同理可得，在最低车速下的行驶时间为， ∴通过段限速区间的行驶时间应该在之间． ， ∴选项符合题意． 故选：B． 54．（2025·山东临沂·二模）小影发现家里智能冰箱内的温度刚好为时，制冷启动，当温度降低到设定温度时，制冷停止，然后温度逐渐上升，当温度上升到时，制冷又启动，开始下一个周期的运行．她想知道按此规律运行，冰箱内的温度与时间之间存在怎样的关系，并且预测任意时刻冰箱内的温度．于是，小影记录了一个运行周期内部分温度y（单位：℃）及对应时间x（单位：min）的数据如表所示： x 0 2 3 4 6 8 9 12 18 24 y －2 －10 －14 －18 －12 －9 －8 －6 －4 －3 然后以x的数值为横坐标，y的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，如图所示，在坐标系中描出以表中的数对为坐标的点．请完成下列问题： (1)用平滑的曲线从左往右将这些点依次连接起来； (2)结合表格中的数据，观察（1）中作出的图象，求y与x的函数表达式； (3)冰箱的一个运行周期时长为 分钟； (4)当冰箱温度刚好达到－18℃时，继续运行120分钟，求此时冰箱内的温度． 【答案】(1)见解析 (2) (3)36 (4)冰箱内的温度是－4.5℃ 【知识点】用描点法画函数图象、其他问题(一次函数的实际应用)、实际问题与反比例函数 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的应用： （1）用平滑的曲线从左往右将这些点依次连接起来得函数图象； （2）根据函数图象猜想函数满足得函数关系，然后用待定系数法求出函数解析式即可； （3）令，求出x的值即可； （4）根据冰箱运行的周期求出124分钟为3个周期零16分钟，则求出时y的值即可． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：当时， 设y与a的函数解析式为． 把，代入上式得解得 ∴当时，y与x的函数解析式为． 当时，设y与x的函数解析式为． 把点的坐标代入得，解得， 当时，y与x的函数解析式为． ∴ （3）解：当时，， 解得：， ∴冰箱的一个运行周期时长为36分钟， 故答案为：36； （4）解：当冰箱温度刚好达到－18℃时，已运行了4min，继续运行120min，总共为124min．， 124min冰箱运行3个周期零16min，当时，． ∴冰箱内的温度是－4.5℃． 55．（2025·山东菏泽·二模）【综合实践】 如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力阻力臂动力动力臂，如图，即），受桔槔的启发，小杰组装了如图所示的装置．其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点O距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体A． (1)若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力为______． (2)为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物B的质量变化时，的长度随之变化．设重物B的质量为，的长度为．则①y关于x的函数解析式是______． ②完成下表： … 10 20 30 40 50 … … 8 a 2 b … ③在直角坐标系中画出该函数的图象． (3)在（2）的条件下，将函数图象向右平移4个单位长度，与原来的图像组成一个新的函数图象，记为L．若点A的坐标为，在L上存在点Q，使得．请直接写出所有满足条件的点Q的坐标． 【答案】(1) (2)①；②见解析；③见解析 (3)或 【知识点】判断（画）反比例函数图象、求反比例函数解析式、反比例函数与几何综合、实际问题与反比例函数 【分析】（1）根据公式进行计算即可； （2）①根据公式即可得到；②根据（2）①所求求出a、b的值即可；③先描点，再连线，画出函数图象即可； （3）先根据面积求出点Q的纵坐标，再根据反比例函数性质和平移的性质求出点Q的坐标即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴重物B所受拉力为， 故答案为：； （2）解：①∵， ∴，即， 故答案为：； ②由（2）①得， 填表如下： … 10 20 30 40 50 … … 8 4 2 … ③函数图象如下所示：    （3）解：∵点A的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，当时， ∴在函数上满足题意的Q的坐标为， ∵将函数图象向右平移4个单位长度，与原来的图像组成一个新的函数图象，记为L， ∴点，即也在L上，即满足题意的Q的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际运用，正确理解题意是解题的关键． 13二次函数的实际问题 56．（2025·山东济南·二模）湖西桥是济南大明湖景区一座抛物线形拱桥，按图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时水面宽为 ． 【答案】 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了实际问题与二次函数，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键，根据二次函数的图象可得当水位上升时，此时，进而可求得此时的的值，进而可求解． 【详解】解：依题意得： 当，， 当水位上升 时，则此时， 则：， 解得：或， ∴水面宽为：， 故答案为：． 57．（2025·山东青岛·二模）某商店购进一批单价为20元的日用品，如果按每件25元出售，那么每天可销售250件．经调查发现，这种日用品的销售单价每提高5元，其销售量就减少50件．设销售单价为（元），销售利润为（元），解答下列问题： (1)求销售利润与销售单价的关系式； (2)为了扩大利润，该商店决定开辟线上网店销售渠道，线上和线下售价保持一致．经过调研，线上每天所获销售利润（元）与销售单价（元）的关系可以近似地用二次函数来刻画，其图象如图所示．物价部门规定，售价不得高于40元，当售价为多少元时，线上和线下的利润之和最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当售价为40元时，线上和线下销售的利润之和最大，最大利润是8200元 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查二次函数的应用，能从实际问题中抽象出二次函数模型是解题的关键． （1）根据利润数量每件的利润建立与的关系式即可； （2）先用待定系数法求出的解析式，再建立与的函数解析式，由函数的性质和的最大值确定取值范围． 【详解】（1）解：根据题意得：， 故销售利润与销售单价的关系式为； （2）解：把代入， 得到：， 解得， ， 设线上线下利润之和为元， 则， ， 故当时，最大，最大值为． 故当售价为元时，线上和线下的利润之和最大，最大利润为． 58．（2025·山东烟台·二模）某企业研制出一种新型科技产品，每件产品的成本为2400元，在该产品试销期间，为促销，企业决定：商家一次性购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次性购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元；且商家一次性购买该产品不能超过60件． (1)商家一次性购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？ (2)设商家一次性购买这种产品件，该企业所获的利润为元．在企业规定范围内，商家购买多少件时，企业可获得最大利润？最大利润是多少？ (3)在（2）的条件下，若企业一次获利不低于11250元，请直接写出商家需一次性购买数量的范围． 【答案】(1)50件 (2)当商家购买35件时，企业可获得最大利润，最大利润是12250元 (3)或 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数，一次函数和一元一次不等式的实际应用，理解利润、售价、销售量之间的关系是解本题的关键． （1）设商家一次性购买这种产品x件时，销售单价恰好为2600元，据此列出方程即可求解； （2）根据：利润等于售价减成本，分，，三种情况考虑，列出y关于x的函数式，求出最大值即可； （3）分，两种情况考虑，解不等式、函数的图象与性质即可求解． 【详解】（1）解：设商家一次性购买这种产品x件时，销售单价恰好为2600元， 由题意得：， 解得：； 答：设商家一次性购买这种产品50件时，销售单价恰好为2600元； （2）解：当时，， 当时，y有最大值，最大值为； 当时，， 即； 由于，当时，y有最大值12250； 当时，， 当时，y有最大值，最大值为； 综上，当时，y有最大值12250； 答：当商家购买35件时，企业可获得最大利润，最大利润是12250元； （3）解：当时，最大值为6000，不符合题意； 当时，由题意知； 考虑二次函数，当时，解得， 由二次函数的图象与性质，当时，； 当时，， 解得：， 由于x为正整数，且不超过60件，则； 综上，或． 59．（2025·山东日照·二模）某商店出售一款商品，经市场调查反映，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，关于该商品的销售单价，日销售量，日销售利润的部分对应数据如表：[注：日销售利润＝日销售量×（销售单价﹣成本单价）] 销售单价x（元） 75 78 82 日销售量y（件） 150 120 80 日销售利润w（元） 5250 a 3360 (1)根据以上信息，求y关于x的函数关系式； (2)①填空：该产品的成本单价是 元，表中a的值是 ． ②求该商品日销售利润的最大值． (3)由于某种原因，该商品进价降低了m元/件，该商店在今后的销售中，商店规定该商品的销售单价不低于68元，日销售量与销售单价仍然满足（1）中的函数关系，若日销售最大利润是6600元，求m的值． 【答案】(1)一次函数解析式为； (2)①40，4560；②该商品日销售利润的最大值为6250元； (3)的值为2． 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是熟练销售问题的数量关系． （1）由题意商品的日销售量（件与销售单价（元之间满足一次函数关系，利用待定系数法求解即可； （2）①根据日销售利润日销售量（销售单价成本单价）即可求解； ②根据二次函数的顶点式即可求解； （3）根据日销售利润日销售量（销售单价成本单价），把销售的最大利润代入即可求解． 【详解】（1）解：设日销售量（件与销售单价（元之间满足的一次函数解析式为， 把，代入得：， 解得：， ∴一次函数解析式为； （2）解：①设该产品的成本单价是元， 根据题意，得， 解得， ． 故答案为：40，4560； ②根据题意，得， ， ∴当时，最大，最大值为6250， 答：该商品日销售利润的最大值为6250元； （3）解：设利润为元，根据题意可得： ， 销售单价不低于68元，即， ∴， 对称轴为， ， ∴，且开口向下， ∴随的增大而减小， ∴当时，有最大值为6600， ∴， ∴． 答：的值为2． 60．（2025·山东潍坊·二模）春节期间，《哪吒2》热映，某文创公司推出一款成本价为每卷3元的哪吒贴纸投放到市场，售价范围为4元至7元．经过一段时间销售发现：每天销售贴纸的数量y（卷）与每卷售价x（元）满足如图所示的函数关系．    (1)求与的函数表达式； (2)公司将该贴纸每卷售价定为多少元时，每天销售该贴纸的利润可达到1800元？ (3)当每卷售价为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？ 【答案】(1) (2)公司将该贴纸每卷售价定为5元时，每天销售该贴纸的利润可达到1800元 (3)当每卷售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2800元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、求一次函数解析式、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一元二次方程的应用，二次函数的应用，读懂题意得到等量关系列出方程是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）设定价为元，则每卷利润元，根据每卷利润乘以销售量等于总利润列出方程，解之即可得到答案； （3）设利润为元，则，然后根据二次函数的性质求得当时的最大值即可． 【详解】（1）解：根据题意设， 代入已知数据点和得 ， 解得：， 与的函数关系式为， （2）解：设定价为元，则每卷利润元， 由（1）知销售量为， 依题意，得， 解得：（舍去），， 答：公司将该贴纸每卷售价定为5元时，每天销售该贴纸的利润可达到1800元． （3）解：设利润为元，根据题意可得：， 整理得， ，对称轴为， 由于对称轴超出售价范围，在这个范围内函数值随增大而增大， 时，取得最大值，最大值为（元）， 答：当每卷售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2800元． 1．（2025·山东青岛·二模）二次函数的图象如图所示，则函数与在同一直角坐标系内的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质、反比例函数的图象和性质、一次函数的图象和性质等知识点，熟知函数的系数对函数图象是解题的关键． 先根据二次函数图象确定，，再分别函数与在同一直角坐标系内的大致图象即可解答． 【详解】解：由二次函数的图象可知，，， ∴， ∴反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数的图象经过第一，二，四象限，即选项B符合题意． 故选：B． 2．（2025·山东潍坊·二模）如图，在直角坐标系中，等边的顶点的坐标为，将等边绕点顺时针旋转，再沿轴向右平移1个单位长度，得到，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、已知图形的平移，求点的坐标、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，坐标与图形，过点作轴于点，根据旋转的性质以及含30度角的直角三角形的性质，得出，进而根据点的平移，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵等边的顶点的坐标为，将等边绕点顺时针旋转得到 ∴， ∴， ∴ ∵再沿轴向右平移1个单位长度得到 ∴的坐标是， 故选：D． 3．（2025·山东潍坊·二模）已知点，在一次函数的图象上，点，在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较一次函数值的大小、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的性质，根据一次函数的性质得出，进而根据反比例函数的性质得出，在第四象限，随的增大而增大，即可求解． 【详解】解：∵点，在一次函数的图象上，， ∴ 又∵点，在反比例函数的图象上， 又，则，在第四象限，随的增大而增大， ∴ 故选：D． 4．（2025·山东临沂·二模）甲乙两人骑自行车分别从，两地同时出发相向而行，甲匀速骑行到地，乙匀速骑行到地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止骑行．两人之间的距离米和骑行的时间秒之间的函数关系图象如图所示，现给出下列结论：①；②；③甲的速度为米秒；④当甲、乙相距米时，甲出发了秒或秒．其中正确的结论有(　　) A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了函数图象；根据函数图象中的数据，可以计算出甲和乙的速度，从而可以判断③；然后根据甲的速度可以计算出的值，即可判断①；根据乙的速度，可以计算出的值，可以判断②；根据甲和乙相遇前和相遇后相距米，可以计算出甲出发的时间，即可判断④． 【详解】解：由图可得， 甲的速度为：（米秒），故③错误，不符合题意； 乙的速度为：米秒， ，故①错误，不符合题意； ，故②正确，符合题意； 设当甲、乙相距米时，甲出发了秒， 两人相遇前：， 解得； 两人相遇后：， 解得；故④正确，符合题意； 故选：C． 5．（2025·山东菏泽·二模）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线且经过点.下列说法：①；②；③；④若，是抛物线上的两点，则；⑤（其中）其中正确的结论有（   ）个. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题 【分析】先根据抛物线开口向下、与轴的交点位于轴正半轴，再根据对称轴可得，由此可判断结论①；将点代入二次函数的解析式可判断结论②③；根据二次函数的对称轴可得其增减性，由此可判断结论④；利用二次函数的性质可求出其最大值，由此即可得判断结论⑤．本题主要考查了利用二次函数的图像判断式子的符号、二次函数的性质等知识点，从函数图像上得到相关信息是解题的关键． 【详解】解：抛物线的开口向下，与轴的交点位于轴正半轴， ， 抛物线的对称轴为， ， ，则结论①正确； 将点代入二次函数的解析式得：，结论③错误； 将代入得：，结论②正确； 抛物线的对称轴为， 和时的函数值相等，即都为， 又当时，随的增大而减小，且， ，结论④错误； 由函数图像可知，当时，取得最大值，最大值为， ， ，即，结论⑤正确； 综上，正确的结论有①②⑤． 故选：B 6．（2025·山东威海·二模）二次函数图象与轴有两个不同的交点和，对于下列说法：①若函数图象开口向下，则的取值范围为；②函数图象过点；③当时，函数图象与坐标轴的交点构成的三角形面积是；④当，且时，的最大值为．正确的是（   ） A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的最值、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．由函数图象开口向下，且与轴有两个不同的交点，利用开口方向与的关系和判别式即可判断①；把点代入函数即可判断②；当时，，然后求出此时与坐标轴的交点，计算面积即可判断③；当，且时，可知该函数的图象开口向上，且对称轴，从而得到当时，函数取得最大值，即可判断④． 【详解】解：①因为该函数图象开口向下，且与轴有两个不同的交点， 则，且， 解得，故①错误； ②当时，， 所以函数图象过点，故②正确； ③当时，， 此时当时，，即与轴的交点为和； 当时，，即与轴的交点为； 所以函数图象与坐标轴的交点构成的三角形面积为，故③正确； ④该函数图象的对称轴为直线， 所以当时，该函数的图象开口向上，且对称轴， 所以当时，函数在时取得最大值， 最大值为，故④正确； 综上所示，②③④正确． 故选：A． 7．（2025·山东烟台·二模）二次函数（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 1 … … 0 0 … 其中，．有下列结论：①；②；③；④当时，有最大值为，最小值为，此时的取值范围是．其中，正确结论的个数是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查二次函数的图象及性质．利用表格所给信息得出对称轴，由，，可判断对称轴右侧，随增大而增大，进而可知，，，进而可判断①②③；由对称轴可知最小值为，即时，当时，最大值在或时产生，根据当时，，当时，，即可判断的取值范围，进而可对④进行判断． 【详解】解：∵当时，，当时，， ∴函数的对称轴为：， 即：，即， ∵，且当时，，当时，， 又∵， ∴函数在对称轴右侧，随增大而增大， ∴，则， ∴，故②正确； 则，故③正确； 当时，，则， ∴，故①正确； 又∵函数的最小值为当时，， ∴当时，有最小值为，即能取， ∴， 又∵当时，，当时，， 由在对称轴左侧，随增大而减小，知：当时， ∴当时，最大值为， ∴；故④正确； 故选：D． 8．（2025·山东济南·二模）已知反比例函数，点和是反比例函数图象上的两点．若对于，，都有，则的取值范围是（　　） A．或 B．且， C．或 D．且， 【答案】D 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质．由题意得，反比例函数的图象在二、四象限或一、三象限，分两种情况讨论，即可求得的取值范围． 【详解】解：对于，未知，需分类讨论， 当时，反比例函数的图象在一、三象限，此时， ∴， ∵， ∴点和都在第一象限的图象上，且和都大于0， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 解得，即； 当时，反比例函数的图象在二、四象限，此时， 由图象可知，时，， ∴点在第四象限的图象上， 对于分类讨论， 当时，，此时点在第四象限的图象上，随的增大而增大， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，即； 当时，，此时点在第二象限的图象上， 则，， ∴，， ∵，， 取点关于原点的中心对称点，则点， ∵， ∴，此时点和点都在第二象限的图象上，随的增大而增大， ∵， ∴， ∴， 解得，即； 当时， ∴，此时点不在反比例函数的图象上，舍去， 综上，且，， 故选：D． 9．（2025·山东聊城·二模）若式子有意义，则的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】零指数幂、二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了二次根式有意义和零指数幂有意义，解本题的关键在熟练掌握其有意义的条件．二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零．零指数幂有意义的条件：底数不为零． 根据二次根式有意义的条件和零指数幂有意义的条件，列出不等式求解即可． 【详解】解：根据有意义，可得：， 解得：， 根据有意义，可得：， 解得：， 综上可得：的取值范围是且． 故答案为：且 10．（2025·山东烟台·二模）直线沿x轴向右平移3个单位长度经过点，则k的值是 ． 【答案】 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象平移问题 【分析】本题考查了一次函数的平移、一次函数的图像等知识，正确理解一次函数的平移规律是解题的关键．先求出沿x轴向右平移3个单位长度后所得直线的解析式，再将代入该解析式，即可求得答案． 【详解】解：依题意，设将直线沿x轴向右平移3个单位长度后的解析式为， 将代入， 可得， 解得：， 即的值是． 故答案为：． 11．（2025·山东临沂·二模）在直角坐标系中，点A的坐标是，点B在坐标轴上，点B绕点A顺时针旋转落在直线上，则点B的坐标是 ． 【答案】或 【知识点】根据一次函数的定义求参数、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，一次函数上点的坐标，分为点B在x轴上和点B在y轴上两种情况，画图证明，，求出点M的坐标，代入直线解析式即可解题． 【详解】解：令点B旋转后的对应点为 当点B在x轴上时， 令点B坐标为， 则 由旋转可知， ，， 所以点M坐标可表示为 将点M坐标代入得， ， 解得， 所以点B的坐标为， 当点B在y轴上时，过点M作x轴的垂线，垂足为N， 令点B坐标为， 由旋转可知， ， 所以， 所以 在和中， ， 所以， 所以， 因为点A坐标为，点B坐标为， 所以，， 所以， 则点M坐标为， 将点M坐标代入得， ， 解得， 所以点B的坐标为 综上所述：点B的坐标为或， 故答案为：或． 12．（2025·山东威海·二模）如图，将一个含30°角的三角尺ABC放在直角坐标系中，使直角顶点C与原点O重合，顶点A，B分别在反比例函数y＝﹣和y＝的图象上，则k的值为 ． 【答案】12． 【知识点】由反比例函数图象的对称性求点的坐标、相似三角形的判定与性质综合 【分析】过A作AE⊥y轴于E过B作BF⊥y轴于F，通过△AOE∽△BOF，得到，设，于是得到AE=-m，，从而得到，，于是求得结果． 【详解】解：过作轴于过作轴于， ，， ， ， ， ， ， 设， ，， ，， ， ． 故答案为12． 【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键在于作辅助线和利用三角函数进行解答. 13．（2025·山东淄博·二模）如图，在单位长为1的正方形网格纸上，，，，都是斜边在轴上，斜边长分别为，，，的等腰直角三角形，若三个顶点的坐标分别为，，，则依图中所示的规律，的坐标是 ． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，得出点的坐标变化规律是解此题的关键．观察图形得到规律：当脚码是2、6、时，横坐标为1，纵坐标为脚码的一半的相反数；当脚码是4、8、时，横坐标为2，纵坐标为脚码的一半，然后确定出第2024个点的坐标，即可进一步确定出第2025个点的坐标即可． 【详解】解：观察点的坐标发现： 当脚码为偶数是的点的坐标，得到规律：当脚码是2、6、时，横坐标为1，纵坐标为脚码的一半的相反数；当脚码是4、8、时，横坐标为2，纵坐标为脚码的一半， ，能被4整除， 的横坐标为2，纵坐标为， ， 因为是顺时针转动，且是等腰直角三角形，故第2025个点的纵坐标为0，横坐标为， ， 故答案为：． 14．（2025·山东淄博·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)若点是轴负半轴上一点，过点作轴，交反比例函数的图象于点，连接，．当时，求点的坐标； (3)当时，请直接写出不等式的解． 【答案】(1)反比例函数表达式为：；一次函数的解析式为 (2) (3)或 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断、求反比例函数解析式、求一次函数解析式 【分析】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了利用待定系数法求函数关系式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，求得函数的解析式是解决问题的关键． （1）先将代入，求出，再将代入求出m，再将A，B的坐标分别代入，即可求出，b； （2）利用点C坐标和三角形的面积公式列方程求解即可 （3）由题意可知反比例函数值大于等于一次函数值，由图像交点，两点，得解集∶ 或． 【详解】（1）解∶ 代入，得， ∴反比例函数为∶， 将将代入， 得 ．则 将，代入， 得解得 ∴一次函数为∶ （2）解：中，当时，， ． ∵，点在上且， ． 解得． ， ． 点的坐标． （3）解：由，则， 即反比例函数值大于等于一次函数值． 由图像交点，两点， 得解集∶ 或 15．（2025·山东济南·二模）某城市计划在滨河步道上方搭建一座抛物线型观景台．根据以下素材探索完成任务． 【素材1】如图，步道的宽为，观景台拱顶最高处距离地面为． 【素材2】如图，为保障结构稳定性，需在桥拱下方安置两个支撑柱进行支撑，为了美观，要求两个支撑柱关于桥拱对称轴对称．支撑柱． 【素材3】如图，在两个支撑柱上搭一个限高横杆，为提升景观效果，现要在横杆上方设置一个矩形宣传牌，要求宣传牌满足以下条件：①宣传牌在观景台内部，且一边落在上；②矩形长、宽均为整数；③宣传牌关于观景台的对称轴对称；④矩形面积为． (1)以步道的中点为原点，求出抛物线的解析式； (2)求两个支撑柱之间的距离（不考虑柱体厚度）； (3)设计宣传牌方案：给出符合要求的宣传牌尺寸，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)矩形宣传牌的长为，宽为，左上方顶点的坐标是，理由见解析 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）把代入（）所得函数解析式求出的值即可求解； （）设矩形宣传牌为矩形，且边落在上，拱桥的最高点到的距离为，且矩形长、宽均为整数，可得的值可以为，进而根据矩形的面积及的长可得，，据此解答即可求解； 本题考查了二次函数的应用，正确求出二次函数的解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设最高点为， 由题意得，， ， ， ， 设抛物线的解析式为，把和代入得， ， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：令，则， 解得，， ∴两个支撑柱之间的距离是； （3）解：如图，设矩形宣传牌为矩形，且边落在上， ∵拱桥的最高点到的距离为，且矩形长、宽均为整数， ∴ 的值可以为， 又∵矩形宣传牌的面积为， ∴有下列种初步的设计方案： ①，；②，； ， ∴方案①不合题意， ∴，，此时点到路面的距离为， ∵当时，， ∴此时宣传牌左上方顶点的坐标是，符合题意， 综上所述，矩形宣传牌的长为，宽为，左上方顶点的坐标是． 16．（2024·山东和菏泽·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点Q． (1)求a、k的值； (2)直线过点P，与反比例函数图象交于点A，与x轴交于点B，，连接． ①求的面积； ②点M在反比例函数的图象上，点N在x轴上，若以点M、N、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点M坐标． 【答案】(1)， (2)①；②， 【知识点】一次函数与反比例函数的其他综合应用、利用平行四边形的性质求解、求反比例函数解析式、反比例函数与几何综合 【分析】（1）将点坐标代入一次函数解析式可求出的值，再将坐标代入反比例函数解析式可求出的值； （2）过点A作轴，交PQ于点H，设B的坐标，点A的坐标为，根据的纵坐标，可以求出的值，进而求出点坐标，求出点坐标，根据可求出点坐标，进而求出的长，，在和中，为底边， 高分别是点、轴到的距离，根据点、点的横坐标即可求得，根据面积公式计算即可； （3）分两种情况，当MN和PQ为对角线时，可根据平行四边形的性质，以及平移来确定点纵坐标，进而求出的坐标；当MQ和NP为对角线时，以及平移来确定点纵坐标，进而求出对应点坐标，从而求解． 【详解】（1）解：（1）把点代入解得，， 把代入解得，； （2）∵， ∴反比例函数解析式为． ①设B的坐标，点A的坐标为， ∵，， ∴，把代入得：， ∴点， ∵一次函数的图象与y轴交于点Q． ∴Q的坐标为， 过点A作轴，交PQ于点H．则点H坐标， ∴， ∴， ②设点，， ∵，，点M、N、P、Q构成平行四边形； 当和为对角线时，如下图： 点可看做是将点先向右平移个单位，再向上平移个单位得到， 故点也是相应关系，即点向右平移个单位，再向上平移个单位，如下图： 故点的纵坐标为点纵坐标加：， 即， M的坐标为； 当和为对角线时， 如下图： 点可看做是将点先再向下平移个单位，向左平移个单位得到， 故点也是相应关系，即点是点再向下平移个单位，再向左平移个单位得到，如下图： 故点的纵坐标为，， ， 故此时点坐标为：； 综上，点的坐标为：，， 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合，待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，以及平行四边形的性质运用．并利用图像的平移找到点与点之间的关系，从而求解． 17．（2025·山东聊城·二模）学习函数时，我们经历了“利用描点法画出函数图象、利用函数图象分析函数特征、概括函数性质并解决问题”的学习过程．结合已有的学习经验，探究函数的图象性质． (1)列表：与的部分对应值如表，则_____，_____； ．．． ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 4 ．．． ．．． (2)描点、连线：根据上表中的数据，在平面直角坐标系中画出函数的图象； (3)根据函数图象，发现： ①该函数图象关于点_____（填写点的坐标）成中心对称； ②函数的图象可由的图象向_____平移_____个单位长度得到，想象函数的图象，直接写出时，的取值范围_____． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)①；②左，1，或 【知识点】平移综合题(几何变换)、由反比例函数图象的对称性求点的坐标、用描点法画函数图象、求自变量的值或函数值 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，描点法画函数图象，函数图象的平移规律，与不等式的关系等知识点． （1）将，分别代入，即可求解； （2）由函数图象平移规律可求解该函数图象的对称中心，以及函数平移的平移方式，的解集转化为的图象在直线下方时，对应的的取值范围，再结合函数图象即可求解． 【详解】（1）解：当时，； 当时，， 故答案为：，； （2）解：作图如下： （3）解：∵函数的图象可由的图象向左平移1个单位长度得到，而 的对称中心为， ∴平移后的函数图象的对称中心为， 如图： 当时，， 解得：， ∴， 即， ∴， ∴不等式的解集为函数的图象在直线下方时，对应的的取值范围， ∵对称中心为， ∴由函数图象可得：不等式的解集为或， ∴时，的取值范围或， 故答案为：①；②左，1，或． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 函数 题型概览 题型01 平面直角坐标系 题型02 函数自变量的取值范围 题型03 一次函数图象与性质 题型04 反比例函数图象与性质 题型05 二次函数的图象与性质 题型06 函数与方程不等式的关系 题型07 二次函数图象与系数a，b，c的关系 题型08 反比例函数k的几何意义 题型09 一次函数与反比例函数综合 题型10 函数的规律问题 题型11 一次函数的实际问题 题型12 反比例函数的实际问题 题型13 二次函数的实际问题 01平面直角坐标系 1．（2025·山东青岛·二模）如图，在平面直角坐标系中，将线段先绕原点按逆时针方向旋转，再向下平移得到线段，若点的对应点的坐标是，则点的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东青岛·二模）如图，把图①中的经过一定变换得到图②中的，如果图①中上点的坐标为，那么这个点在图②中的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山东淄博·二模）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点，则点关于原点对称的点的坐标为 ． 4．（2025·山东淄博·二模）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，两点的坐标分别为，线段绕原点按顺时针方向旋转后得到线段．若点A的对应点的坐标为，则点B的对应点的坐标为 ． 02函数自变量的取值范围 5．（2025·山东菏泽·二模）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 6．（2025·山东枣庄·二模）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 7．（2025·山东临沂·二模）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ． 8．（2025·山东济宁·二模）如果有意义，那么的取值范围是 ． 9．（2025·山东潍坊·二模）在函数中，自变量x的取值范围是 ． 03一次函数的图象与性质 10．（2025·山东聊城·二模）一次函数的图象经过第二、三、四象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．（2025·山东滨州·二模）请写出同时满足以下两个条件的一个函数 ．①y随x的增大而增大，②函数与y轴的负半轴相交． 12．（2025·山东德州·二模）点在一次函数图象上，则该直线不经过第 象限． 13．（2025·山东日照·二模）若点是一次函数上的两点，对于任意，都有，则的取值范围是 ． 14．（2025·山东枣庄·二模）如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，以为边在y轴右侧作等边，将点C向左平移，使其对应点恰好落在直线上，则点C平移的距离 ． 04反比例函数的图象与性质 15．（2025·山东济南·二模）已知点都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（　　） A． B． C． D． 16．（2025·山东济南·二模）已知函数的图象经过点，，如果，那么（    ） A． B． C． D． 17．（2025·山东日照·二模）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 . 18．（2025·山东东营·二模）如图，在边长为1的正方形网格上建立直角坐标系，x轴，y轴都在格线上，其中反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点M，N在格点上，则 ． 05二次函数的图象与性质 19．（2025·山东威海·二模）函数y=ax2+ax+a（a≠0）的图象可能是下列图象中的（　　） A． B． C． D． 20．（2025·山东滨州·二模）已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表： 0 1 2 3 3 0 m 3 ①抛物线开口向上；②抛物线的对称轴为直线；③m的值为；④图象经过一、二、四象限；⑤抛物线在y轴左侧的部分是上升的．上述结论中正确的是（    ） A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤ 21．（2025·山东东营·二模）对于抛物线和抛物线，下列结论错误的是（    ） A．两条抛物线开口方向相反 B．两条抛物线对称轴相同 C．两条抛物线一定有两个不同的交点 D．两条抛物线关于直线对称 22．（2025·山东聊城·二模）对于任意函数，定义当时，若函数值，称为此函数的不动点．例如函数，当时，则点为此函数的不动点．则二次函数的不动点为 ． 23．（2025·山东青岛·二模）已知平面直角坐标系的原点为O，抛物线的顶点为C，该抛物线与x轴的正半轴交于点B，若为等腰直角三角形，则b的值为 ． 06函数与方程不等式的关系 24．（2025·山东淄博·二模）如图，一次函数与（m，n为常数，）的图象相交于点，则关于x的不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 25．（2025·山东滨州·二模）抛物线与直线相交于点和点.则当时，的取值范围是（  ） A． B． C． D．或 26．（2023·山东威海·二模）如图，在同一直角坐标系中抛物线与双曲线交于，，三点，则满足的自变量x的取值范围是（    ）    A．或 B．或 C．或或 D．或或 27．（2025·山东淄博·二模）在平面直角坐标系中，函数与函数的图象相交于，两点，若点的坐标是，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 28．（2025·山东青岛·二模）已知二次函数与一次函数的图象有交点，则k的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 07二次函数图象与系数a，b，c的关系 29．（2025·山东潍坊·二模）（多选）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且，图象的对称轴为直线．则下列结论正确的是（    ） A． B． C．点的坐标为 D．关于的一元二次方程无实数根 30．（2025·山东潍坊·二模）（多选）二次函数的图像如图所示，顶点为，下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，且，则 D．关于的方程（为常数）有实数根 31．（2025·山东淄博·二模）如图，二次函数的图象经过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若两点在该二次函数的图象上，则．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 32．（2025·山东菏泽·二模）知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：①；②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，，则，其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．②③④ C．②③⑤ D．②③④⑤ 33．（2025·山东淄博·二模）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若点，点，点在该函数图象上，则；⑤若方程的两根为和，且，则．其中正确结论的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 34．（2025·山东临沂·二模）如图，二次函数图象的一部分与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论： ； ； ； 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根； 若点，均在该二次函数图象上，则．其中正确结论的序号为 ．    08反比例函数k的几何意义 35．（2025·山东威海·二模）如图，矩形，点的坐标为，点在轴上，．若反比例函数的图象过点，则的值为（   ） A． B． C．30 D．48 36．（2025·山东青岛·二模）如图，点，分别位于反比例函数与的图象上，连接，则有轴，为轴上一点，连接，，若，则 ． 37．（2025·山东淄博·二模）和为两块大小不同的含角的三角板，在平面直角坐标系内如图所示摆放（点A在y轴的正半轴上），，，反比例函数的图象恰好经过点C．若，则 ． 38．（2025·山东日照·二模）如图，已知点，点分别在轴和轴上；将线段绕点顺时针旋转至线段，连，将沿轴正方向平移至；当双曲线恰好同时经过点，时，的值等于 ． 39．（2025·山东德州·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，BCx轴．AD与y轴交于点E，反比例函数 y＝（x＞0）的图象经过顶点 C、D．已知点C的横坐标为5，BE＝2DE，则k的值为 ． 09一次函数与反比例函数综合 40．（2025·山东日照·二模）已知正比例函数与反比例函数的图象在第一象限交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)如图，将直线向上平移个单位后与的图象交于点和点， ①求的面积； ②直接写出不等式的解集． 41．（2025·山东济南·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点A，与反比例函数交于点． (1)求b，k的值； (2)点C是x轴正半轴上一点，连接交反比例函数于点D，连接，若，求的面积； (3)在（2）的条件下，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，求点E的坐标． 42．（2025·山东青岛·二模）如图，一次函数y＝kx+b(k≠0)和反比例函数y＝(x＞0)经过点A(4，m)． (1)求点A的坐标； (2)用等式表示k，b之间的关系(用含k的代数式表示b)； (3)连接OA，一次函数y＝kx+b(k≠0)与x轴交于点B，当△OAB是等腰三角形时，直接写出点B的坐标． 43．（2025·山东聊城·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)当时，直接写出的自变量x的取值范围； (3)如图2，将一次函数的图象沿y轴向上平移t个单位长度后，与反比例函数的图象交于点C，与y轴交于点D，若点C的纵坐标为，求t的值． 10函数的规律问题 44．（2025·山东泰安·二模）在平面直角坐标系中,对于点,我们把点叫作点的“相伴点”．已知点的“相伴点”为,点的“相伴点”为,点的“相伴点”为,……,这样依次得到点,,,……,．若点的坐标为,则点的坐标为 ． 45．（2025·山东威海·二模）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第次从原点运动到点，第次接着运动到点，第次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第次运动后，动点的坐标是（    ） A． B． C． D． 46．（2025·山东枣庄·二模）如图，弹性小球从点出发，沿箭头方向不停地运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为，第2次碰到矩形的边时的点为，…，第n次碰到矩形的边时的点为，点的坐标是 ． 47．（2025·山东淄博·二模）如图，，，，…，，（为正整数）都是斜边在轴上的等腰直角三角形，直角顶点，，，…，都在反比例函数的图象上，则的坐标是 ． 11一次函数的实际问题 48．（2025·山东济南·二模）货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行．轿车出发后休息，直至与货车相遇后，以原速度继续行驶．设货车行驶时间为，货车、轿车与甲地的距离为，，图中的线段、折线分别表示，与之间的函数关系．两车出发后第二次相距时，货车的行驶时间为 ． 49．（2025·山东淄博·二模）甲、乙两人在笔直的公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间t（分钟）之间的函数关系如图所示，下列说法中错误的是（   ） A．乙用12分钟追上甲 B．甲步行的速度为60米/分钟 C．乙步行的速度为80米/分钟 D．乙到达终点时，甲离终点还有600米 50．（2025·山东济南·二模）近年新能源汽车越来越受到人们的追捧．为了解某新能源汽车的充电速度，某校数学兴趣小组经调查研究发现：如图，用快速充电器时，汽车电池电量（单位：）与充电时间x（单位：h）的函数图象是折线：用普通充电器时，汽车电池电量（单位：）与充电时间（单位：h）的函数图象是线段．若该汽车电池电量从充至，则快速充电器比普通充电器少 h． 51．（2025·山东青岛·二模）2025年4月27日，第20届中国电影华表奖在山东青岛市举行颁奖典礼．某文创店准备采购一批华表奖主题纪念品用于推广：已知“经典套装A型”的进价比“豪华套装B型”的进价低80元．如果文创店同样用6000元购进A型套装的数量是B型套装的数量的2倍． (1)求A型套装和B型套装的进价分别是多少元？ (2)文创店计划购买A型套装和B型套装共400件，且A型套装的数量不少于B型套装数量的3倍，将A型套装和B型套装分别按进价提高销售，如何购买这两种型号套装才能使全部售出后总利润最大？ 52．（2025·山东聊城·二模）区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程（千米）与在此路段行驶的时间（时）之间的函数图象如图所示． (1)的值为________； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时） 12反比例函数的实际问题 53．（2025·山东临沂·二模）如图①，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间段的平均行驶速度与行驶时间是反比例函数关系（如图②），已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过，最低车速不得低于，小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间可能是（   ） A． B． C． D． 54．（2025·山东临沂·二模）小影发现家里智能冰箱内的温度刚好为时，制冷启动，当温度降低到设定温度时，制冷停止，然后温度逐渐上升，当温度上升到时，制冷又启动，开始下一个周期的运行．她想知道按此规律运行，冰箱内的温度与时间之间存在怎样的关系，并且预测任意时刻冰箱内的温度．于是，小影记录了一个运行周期内部分温度y（单位：℃）及对应时间x（单位：min）的数据如表所示： x 0 2 3 4 6 8 9 12 18 24 y －2 －10 －14 －18 －12 －9 －8 －6 －4 －3 然后以x的数值为横坐标，y的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，如图所示，在坐标系中描出以表中的数对为坐标的点．请完成下列问题： (1)用平滑的曲线从左往右将这些点依次连接起来； (2)结合表格中的数据，观察（1）中作出的图象，求y与x的函数表达式； (3)冰箱的一个运行周期时长为 分钟； (4)当冰箱温度刚好达到－18℃时，继续运行120分钟，求此时冰箱内的温度． 55．（2025·山东菏泽·二模）【综合实践】 如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力阻力臂动力动力臂，如图，即），受桔槔的启发，小杰组装了如图所示的装置．其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点O距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体A． (1)若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力为______． (2)为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物B的质量变化时，的长度随之变化．设重物B的质量为，的长度为．则①y关于x的函数解析式是______． ②完成下表： … 10 20 30 40 50 … … 8 a 2 b … ③在直角坐标系中画出该函数的图象． (3)在（2）的条件下，将函数图象向右平移4个单位长度，与原来的图像组成一个新的函数图象，记为L．若点A的坐标为，在L上存在点Q，使得．请直接写出所有满足条件的点Q的坐标． 13二次函数的实际问题 56．（2025·山东济南·二模）湖西桥是济南大明湖景区一座抛物线形拱桥，按图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时水面宽为 ． 57．（2025·山东青岛·二模）某商店购进一批单价为20元的日用品，如果按每件25元出售，那么每天可销售250件．经调查发现，这种日用品的销售单价每提高5元，其销售量就减少50件．设销售单价为（元），销售利润为（元），解答下列问题： (1)求销售利润与销售单价的关系式； (2)为了扩大利润，该商店决定开辟线上网店销售渠道，线上和线下售价保持一致．经过调研，线上每天所获销售利润（元）与销售单价（元）的关系可以近似地用二次函数来刻画，其图象如图所示．物价部门规定，售价不得高于40元，当售价为多少元时，线上和线下的利润之和最大？最大利润是多少？ 58．（2025·山东烟台·二模）某企业研制出一种新型科技产品，每件产品的成本为2400元，在该产品试销期间，为促销，企业决定：商家一次性购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次性购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元；且商家一次性购买该产品不能超过60件． (1)商家一次性购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？ (2)设商家一次性购买这种产品件，该企业所获的利润为元．在企业规定范围内，商家购买多少件时，企业可获得最大利润？最大利润是多少？ (3)在（2）的条件下，若企业一次获利不低于11250元，请直接写出商家需一次性购买数量的范围． 59．（2025·山东日照·二模）某商店出售一款商品，经市场调查反映，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，关于该商品的销售单价，日销售量，日销售利润的部分对应数据如表：[注：日销售利润＝日销售量×（销售单价﹣成本单价）] 销售单价x（元） 75 78 82 日销售量y（件） 150 120 80 日销售利润w（元） 5250 a 3360 (1)根据以上信息，求y关于x的函数关系式； (2)①填空：该产品的成本单价是 元，表中a的值是 ． ②求该商品日销售利润的最大值． (3)由于某种原因，该商品进价降低了m元/件，该商店在今后的销售中，商店规定该商品的销售单价不低于68元，日销售量与销售单价仍然满足（1）中的函数关系，若日销售最大利润是6600元，求m的值． 60．（2025·山东潍坊·二模）春节期间，《哪吒2》热映，某文创公司推出一款成本价为每卷3元的哪吒贴纸投放到市场，售价范围为4元至7元．经过一段时间销售发现：每天销售贴纸的数量y（卷）与每卷售价x（元）满足如图所示的函数关系．    (1)求与的函数表达式； (2)公司将该贴纸每卷售价定为多少元时，每天销售该贴纸的利润可达到1800元？ (3)当每卷售价为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？ 1．（2025·山东青岛·二模）二次函数的图象如图所示，则函数与在同一直角坐标系内的大致图象是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山东潍坊·二模）如图，在直角坐标系中，等边的顶点的坐标为，将等边绕点顺时针旋转，再沿轴向右平移1个单位长度，得到，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·山东潍坊·二模）已知点，在一次函数的图象上，点，在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·山东临沂·二模）甲乙两人骑自行车分别从，两地同时出发相向而行，甲匀速骑行到地，乙匀速骑行到地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止骑行．两人之间的距离米和骑行的时间秒之间的函数关系图象如图所示，现给出下列结论：①；②；③甲的速度为米秒；④当甲、乙相距米时，甲出发了秒或秒．其中正确的结论有(　　) A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 5．（2025·山东菏泽·二模）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线且经过点.下列说法：①；②；③；④若，是抛物线上的两点，则；⑤（其中）其中正确的结论有（   ）个. A．2 B．3 C．4 D．5 6．（2025·山东威海·二模）二次函数图象与轴有两个不同的交点和，对于下列说法：①若函数图象开口向下，则的取值范围为；②函数图象过点；③当时，函数图象与坐标轴的交点构成的三角形面积是；④当，且时，的最大值为．正确的是（   ） A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 7．（2025·山东烟台·二模）二次函数（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 1 … … 0 0 … 其中，．有下列结论：①；②；③；④当时，有最大值为，最小值为，此时的取值范围是．其中，正确结论的个数是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 8．（2025·山东济南·二模）已知反比例函数，点和是反比例函数图象上的两点．若对于，，都有，则的取值范围是（　　） A．或 B．且， C．或 D．且， 9．（2025·山东聊城·二模）若式子有意义，则的取值范围是 ． 10．（2025·山东烟台·二模）直线沿x轴向右平移3个单位长度经过点，则k的值是 ． 11．（2025·山东临沂·二模）在直角坐标系中，点A的坐标是，点B在坐标轴上，点B绕点A顺时针旋转落在直线上，则点B的坐标是 ． 12．（2025·山东威海·二模）如图，将一个含30°角的三角尺ABC放在直角坐标系中，使直角顶点C与原点O重合，顶点A，B分别在反比例函数y＝﹣和y＝的图象上，则k的值为 ． 13．（2025·山东淄博·二模）如图，在单位长为1的正方形网格纸上，，，，都是斜边在轴上，斜边长分别为，，，的等腰直角三角形，若三个顶点的坐标分别为，，，则依图中所示的规律，的坐标是 ． 14．（2025·山东淄博·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)若点是轴负半轴上一点，过点作轴，交反比例函数的图象于点，连接，．当时，求点的坐标； (3)当时，请直接写出不等式的解． 15．（2025·山东济南·二模）某城市计划在滨河步道上方搭建一座抛物线型观景台．根据以下素材探索完成任务． 【素材1】如图，步道的宽为，观景台拱顶最高处距离地面为． 【素材2】如图，为保障结构稳定性，需在桥拱下方安置两个支撑柱进行支撑，为了美观，要求两个支撑柱关于桥拱对称轴对称．支撑柱． 【素材3】如图，在两个支撑柱上搭一个限高横杆，为提升景观效果，现要在横杆上方设置一个矩形宣传牌，要求宣传牌满足以下条件：①宣传牌在观景台内部，且一边落在上；②矩形长、宽均为整数；③宣传牌关于观景台的对称轴对称；④矩形面积为． (1)以步道的中点为原点，求出抛物线的解析式； (2)求两个支撑柱之间的距离（不考虑柱体厚度）； (3)设计宣传牌方案：给出符合要求的宣传牌尺寸，并说明理由． 16．（2024·山东和菏泽·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点Q． (1)求a、k的值； (2)直线过点P，与反比例函数图象交于点A，与x轴交于点B，，连接． ①求的面积； ②点M在反比例函数的图象上，点N在x轴上，若以点M、N、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点M坐标． 17．（2025·山东聊城·二模）学习函数时，我们经历了“利用描点法画出函数图象、利用函数图象分析函数特征、概括函数性质并解决问题”的学习过程．结合已有的学习经验，探究函数的图象性质． (1)列表：与的部分对应值如表，则_____，_____； ．．． ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 4 ．．． ．．． (2)描点、连线：根据上表中的数据，在平面直角坐标系中画出函数的图象； (3)根据函数图象，发现： ①该函数图象关于点_____（填写点的坐标）成中心对称； ②函数的图象可由的图象向_____平移_____个单位长度得到，想象函数的图象，直接写出时，的取值范围_____． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$