2025年中考数学真题完全解读（陕西卷）（有变化）

2025年中考数学真题完全解读（陕西卷） 本套“2025年陕西省初中学业水平考试数学试卷”整体延续了近年来陕西中考的命题思路，试卷分为选择题和非选择题两大部分，共设置了 8 页、总分 120 分，考试时长 120 分钟，充分体现了对学生基础知识、基本技能和综合运用能力的考查。与往年本地区的中考真题相比，本卷在题型、题量与结构方面保持了一定的稳定性，总体题目数量不变，但填空题数量由5道增加到6道，解答题由13到减少到12道，并且解答压轴题分值由10分增加12分，题目数量适中，形式依然采用“单项选择 + 填空 + 解答题”的组合方式，但在情境创设和综合题设计方面更贴近生活实际，凸显了学科素养培养的要求。 从《义务教育数学课程标准》的视角看，本套试卷覆盖了代数、几何、统计与概率等主要知识模块，涵盖了 一次函数、二次函数、不等式、圆与相似三角形、统计图表解读等常见考点。试题分布合理，难易梯度设置相对平稳：前半部分的选择题注重基础知识与运算技能的检测，如对 、有理数加减以及基本几何概念的考查；中后段填空与解答题则侧重对学生数学思维品质的考核，如几何综合、函数应用、证明推理、图形变换与方程思想等。整卷中约有 60% 左右的基础或中档难度试题，20% 的试题有一定思维深度，余下 20% 为拓展性或综合性较强的题目，可以区分不同层次的学生，兼顾地区学情与不同校情下学生的整体水平。 本卷在命题时强调数学与生活的结合，设置了诸如“上马石”“砌墙图案设计”“草莓采摘”“家庭用水量调查”等真实场景问题，把数学知识与实际应用紧密联系。这样的情境可激发学生学习兴趣，培养实践意识和创新精神，也契合了新课标中关于提升学生数学核心素养的要求。同时，诸如函数综合应用、不等式与工程问题的结合、三角函数与测量等内容，都能检测学生对知识迁移、数学建模及运用数学语言表达的能力。 在逻辑思维与运算的考查方面，本卷对计算的要求保持在学生可接受范围内，没有出现过度繁琐的整数或分数运算，但对于 、 等常见数值的判断依然需要较好的估算或推理能力。几何证明和作图题围绕相似、圆心角定理、平行四边形与矩形性质展开，引导学生综合运用 、全等与相似三角形等基础知识。统计与概率题关注真实情境数据，要求学生对样本、总体、概率等核心概念有正确理解，也展现了对数据分析能力的考查。 总的来看，本试卷切实按照课程标准实行命题，注重结合地方特色与现实生活，使学生能在多角度情境中运用所学知识解决问题。整卷难度适中，兼顾了中等生的基本掌握与优等生的综合提升。对于教学而言，此套试题能有效检验学生的运算技能、几何推理、代数思维以及综合素养水平，为教师在复习与教学调整中提供了明确参考，也为学生后续学习打下良好基础。 与2024年题型结构对比 ❆题型数量未大幅变动 · 选择题仍为 8 小题，共 24 分； · 填空题由 2024 年的 5 小题增加到 6 小题，总分由 15 分增至 18 分； · 解答题数量由13道减少为12道，解答压轴题分值由10分增加到12分，试卷总分仍为 120 分。 ❆知识布局保持稳定，考查范围全面 · 仍涵盖数与代数、图形与几何、统计与概率等主干模块； · 同样突出基础运算、几何推理论证及函数应用等常考考点。 题型新变化 ❆填空题增设一道综合小题 · 由原先 5 小题增至 6 小题，部分题目融合不等式、函数或几何元素，情境更加开放，涉及文字叙述与数形结合。 · 要求学生在短小题目中快速提炼信息、熟练运用多模块知识。 ❆解答题综合度与情境设置更突出 · 部分大题情境真实度更高，可能融合统计、函数、几何判定等多知识点； · 对学生阅读理解与探究性思维提出更高要求。 对学生思维与能力要求的影响 ❆综合运用与灵活迁移 · 填空题考查深度略有提升，要求学生在短时间内调动多个知识点； · 解答题涉及实际应用情境，鼓励学生综合分析、探究与建模。 ❆信息提炼与表达能力提升 · 精炼的情境描述需要学生快速捕捉关键信息； · 保持明确的几何推理、代数运算和数形转换思路，书写过程简洁规范。 与2024年相比，2025年陕西中考数学试题的显著变化体现通过开放性问题（如“是否存在”“是否成立”）、探究性问题（如“规律总结”“方案设计”）和综合问题（如函数与几何结合），强化对逻辑推理、数学建模、创新思维等核心素养的考查。计算量与思维量平衡​​：减少机械性计算的题目数量（如复杂的代数式化简），增加需要分析、推理和策略选择的题目（如分类讨论问题、动态几何问题），更符合“双减”背景下“减负提质”的要求。基于此，建议学生关注跨章节知识的理解与联结，提升综合思维与解题速度，以适应题量与难度的稳中有变。 以下分析基于本套本试卷总分 120 分，分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两大部分。全卷共包含 26 道题目，题型包括“选择题”“填空题”“解答题”三种形式，具体结构如下： • 第一部分（选择题，共 24 分）：共 8 小题，每小题 3 分。 • 第二部分（非选择题，共 96 分）：包括填空题和解答题。 ❆填空题（6 小题，每小题 3 分，共 18 分） ❆解答题（12 小题，共 78 分） 下面通过表格形式对各题号的分值、题型、主要考查内容和难易程度进行展示和分析。 题号 分值 题型 考查内容 难易分析 1 3 选择题 有理数的加法运算 容易 2 3 选择题 三视图（俯视图的辨认） 容易 3 3 选择题 角平分线的性质 容易 4 3 选择题 单项式与单项式乘法运算 容易 5 3 选择题 直角三角形斜边中线、三角形内角和等 中等 6 3 选择题 一次函数平移 中等 7 3 选择题 正方形性质、相似三角形 中等 8 3 选择题 二次函数图象与性质 中等 9 3 填空题 无理数估算 容易 10 3 填空题 规律探究（图形递推） 容易 11 3 填空题 一次方程应用（采摘草莓问题） 容易 12 3 填空题 垂径定理、圆周角定理 中等 13 3 填空题 反比例函数与直线交点 中等 14 3 填空题 等边三角形的综合性质 偏难 15 5 解答题 二次根式的混合运算 容易 16 5 解答题 一元一次不等式组 容易 17 5 解答题 分式混合运算和简化 容易 18 5 解答题 尺规作图（作角平分或平行线等） 中等 19 5 填空题 全等三角形判定与几何推理 中等 20 5 填空题 概率与树状图列举 中等 21 6 填空题 直角三角形应用（仰角测量等） 中等 22 7 填空题 一次函数应用（气体体积与温度关系） 中等 23 7 填空题 统计与概率综合（扇形统计图、抽样调查） 中等 24 8 解答题 几何综合（圆切线、直径、三角形关系） 偏难 25 8 解答题 二次函数与抛物线应用 偏难 26 12 解答题 综合几何问题（圆周角、相似等） 难度较大 易：约占 中：约占 难：约占 ❆容易题（约 38%）：知识点较为单一，直接应用课本公式、定理或常考题型即可解答，运算和思考量较小。典型如第 1、2、3、4 题（选择题中的基础运算和识图），以及第 9、10、11 题（填空题的基本知识应用），解答题中的第 15、16、17 题。 ❆中等题（约 50%）：多考查几种知识点的综合，同时要求一定的计算或推理能力，但思路仍比较常规。如第 5、6、7、8 题（选择题中对几何与函数的考查），第 12、13、14 题（填空题中的几何、函数综合），以及第 18、19、20、21、22、23 题（解答题中有一定综合和推理要求）。 ❆偏难或较难题（约 12%）：往往融合多模块知识（如函数与几何、圆与三角形），需要较强的综合分析与几何构造能力，解答步骤多且需灵活运用定理。如第 24、25、26 题（解答题后几题多为综合性较强、步骤较多，需要在几何或函数方面做更深入推理）。 总体而言，本套试卷覆盖了初中阶段的主要知识点，对学生的基础掌握和综合运用能力都有较全面的考查，难易分布较合理，利于区分不同层次的学生表现。 面对本套 2025 年陕西省初中学业水平考试数学试卷，考生在接下来的复习过程中，需要从知识理解、题型突破、心理调适以及命题趋势等多方面进行系统规划。以下为具体建议。 1.数与代数： ❆关注有理数与无理数的混合运算，切记要熟练掌握正负数的加减法及倒数运算，如 等； ❆代数式变形与因式分解，尤其提公因式法、十字相乘法、平方差公式等要反复练习，牢记 ； ❆一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质是命题热点，要充分理解“平移”“对称”等操作下的函数解析式变化规律，并掌握顶点、对称轴、开口方向等重要特征。 2.空间与几何： ❆三视图、旋转体以及简单立体几何模型，是近年来中考考查的常见形式，应能辨析各视图及俯视图形状； ❆平行线、三角形平分线及全等、相似三角形的判定与性质，要在做题中灵活运用； ❆圆中垂径定理与切线性质，如“切线垂直于过切点的半径”“圆周角与圆心角的关系”等，都是重点中的重点； ❆直角三角形基本性质（如斜边中线等于斜边一半）及解直角三角形中的三角函数关系，要熟悉 的定义和简单计算。 3.统计与概率： ❆样本与总体的估算，需理解“用样本估算总体”时的思路与方法；频率与概率题型往往与列表法或树状图相结合； ❆注意采用科学合理的统计方法，如扇形图、条形图、折线图等基本统计图表的应用与判读。 1.选择题： ❆精准审题后，可采用排除法或特殊值代入法，特别是对于函数、几何类选项，可尝试关键位置或特别数值快速检验； ❆避免因粗心而漏看选项差异，若无十足把握，可多反思和检查运算细节，确保不被“相似选项”干扰。 2.填空题： ❆过程虽可省略，但思维一定清晰，不要因为草稿不完整导致漏算或算错； ❆若涉及几何求值，可先画简图并标注关键信息，再做运算；若遇到运用三角函数需化简的情况，可先细查角度是否能简化，如 等。 3.解答题： ❆答题顺序一般为“疫情”策略：先易后难，分步得分。遇到较难题目时，可先跳过再回头补充； ❆作图题要注意格式规范：先用铅笔构图，再用黑色签字笔描边，尺规作图保证操作的严格性； ❆几何证明题切忌点到为止，要写出充分的推导理由。如“因为 是切线，所以 ”要明示切线定义； ❆代数综合题要灵活使用方程或不等式组求解，并做必要的检验或讨论。 4.综合大题： ❆先识别考查的主干知识，如概率统计、函数与几何综合、解直角三角形等； ❆过程表述尽量规范，若有多个变量或几何辅助点，需在开始时对其定义清晰，并用字母统一标示。 ❆合理安排复习节奏： 建议将 120 分钟的考试时长在平时训练中合理分配，先做基础题、再做中档、最后攻克压轴题，模拟时练就把控时间的能力； ❆保持自信与专注： 平日做题要学会及时总结错因，与同学老师交流心得，形成及时反馈；遇到难题或小挫折时，调整心态，多关注解题思路与方法的积累； ❆戒除蒙题心理： 对自己熟悉的知识点形成“必拿分”意识，扎实掌握，争取不失分；对暂时没掌握的难点，勇于探索也要适度放下，跨过当下能迈的台阶。 ❆不断强化基础： 从试题可见，对整数、有理数、无理数之间的融合运算与基础几何定理的考法依然高频，不可忽略； ❆注重情境与应用： 近年命题常结合生活实际，如测量、工程、抽样调查等，考查学生综合运用数学工具、进行问题模型化的能力； ❆加大函数与几何综合： 函数平移、对称及其与图形性质相结合，是中考命题趋势；要加强对“数形结合”解题思想的培养； ❆关注探究创新题： 有的题可能设置新场景、新工具，需要学生具备从已学知识迁移到新情境的能力，复习时可多思考“知识间的融通”与“方法的迁移”。 总体而言，本套试卷整体难度分布合理，涵盖代数、几何、概率统计等丰富知识点，凸显了对运算能力、空间想象能力和综合应用能力的要求。建议考生在最后阶段既要重视真题与模拟训练的结合，也要注重精耕细作、查缺补漏，力争在基础上得到稳固提升，并适度关注高分冲刺题，逐步提高综合解题水平。祝大家在后续复习与考试中稳扎稳打，考出佳绩！ 2025年陕西省中考真题数学试题 第一部分（选择题，共24分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 计算：（ ） A. 1 B. C. 9 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查有理数的加法运算，根据有理数的加法运算法则进行计算，即可作答． 【详解】解：， 故选：B． 2. 上马石是古人上下马的工具，形状如图①．它可以看作图②所示的几何体，该几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三视图，考生解答本题需要熟悉三视图，会观察几何体的三视图．根据俯视图是从上方看到的解答即可． 【详解】解：该几何体的俯视图为： ， 故选：D． 3. 如图，点在直线上，平分．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，先根据平分，得，故，即可作答． 【详解】解：∵平分， ∴， ∴， 故选：A． 4. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查单项式与单项式的乘法运算，根据系数相乘，同底数幂相乘，进行计算，即可作答． 【详解】解：， 故选：D． 5. 如图，在中，，，为边上的中线，，则图中与互余的角共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，根据三角形内角和定理求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，根据等边对等角得出，再结合根据三角形内角和定理求出，最后根据余角的性质求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图中与互余的角是，共有4个， 故选：C． 6. 在平面直角坐标系中，过点，直线向上平移3个单位长度，平移后的直线经过的点的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的平移性质，求一次函数的解析式，先根据点，，求出这条直线的解析式为，结合平移的性质，得平移后的直线解析式为，再将每个选项进行验证，即可作答． 【详解】解：设过点，的直线解析式为， 把点，分别代入， 得， ∴， ∴， ∵过点，的直线向上平移3个单位长度， ∴平移后的直线解析式为， 当时，则， 即在直线上，故B选项符合题意，故A选项不符合题意； 当时，则， 即在直线上，故D选项不符合题意； 当时，则， 即在直线上，故C选项不符合题意； 故选：B 7. 如图，正方形的边长为4，点为的中点，点在上，，则的面积为（ ） A. 10 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，证明三角形相似是解题的关键． 根据四边形为正方形，得出，，勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质求出，即可求出的面积． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∵为中点， ， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ， ∴，即， ∴， ∴的面积． 故选：C． 8. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（ ） A. 图象的开口向下 B. 当时，的值随值的增大而增大 C. 函数的最小值小于 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，由二次函数图象与x轴有两个交点且位于y轴两侧，说明对应方程的两根异号，即常数项与二次项系数符号相反，结合开口方向、顶点坐标及特定点函数值分析选项即可. 【详解】解：由题意可得：方程的两根异号， ∴， 解得， ∴二次项系数，开口向上，故A不符合题意； ∵的对称轴为直线， ∴当时，y随x增大而增大，故B不符合题意； ∵当时，， ∴最小值为，故C不符合题意； 当时，， ∵， ∴此时，故D符合题意； 故选：D 第二部分（非选择题，共96分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 满足的整数可以是______（写出一个符合题意的数即可）． 【答案】3（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，先整理得，结合，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴整数可以是， 故答案为：3（答案不唯一） 10. 生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，……则第10个图案需要用矩形的个数为______． 【答案】21 【解析】 【分析】本题主要考查的是图案的变化，解题的关键是根据已知图案归纳出图案个数的变化规律．根据第1个图案中矩形的个数：；第2个图案中矩形的个数：；第3个图案中矩形的个数：；…第n个图案中矩形的个数：，算出第10个图案中矩形个数即可． 【详解】解：∵第1个图案中矩形的个数：； 第2个图案中矩形的个数：； 第3个图案中矩形的个数：； … 第n个图案中矩形的个数：， ∴则第10个图案中矩形的个数为：， 故答案为：21． 11. 草莓熟了，学校组织同学们参加劳动实践，帮助果农采摘草莓．小康和小悦采摘的时长相同，采摘结束后，小康采摘的草莓比小悦多．已知小康平均每小时采摘，小悦平均每小时采摘，小康采摘的时长是______小时． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据采摘的质量得出等式是解题关键．利用小康采摘的草莓比小悦多得出等式求出答案． 【详解】解：设两小组采摘了小时， 依题意：， 解得：， 因此，两小组采摘了小时． 故答案为：． 12. 如图，为的直径，，，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据为的直径，，则，再根据，即，代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵为的直径，， ∴， 即， ∵， ∴， 则， 故答案为：． 13. 如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，则的值为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，求反比例函数的解析式，关于原点对称的点的性质，先根据题意得出，，解得，，即，再把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点， ∴，两点关于原点对称， 即A的横坐标与B的横坐标互为相反数，A的纵坐标与B的纵坐标互为相反数， ∴，， ∴，， ∴， 把代入， 得， 解得， 故答案为：9． 14. 如图，在中，，，．动点，分别在边，上，且，以为边作等边，使点始终在的内部或边上．当的面积最大时，的长为______． 【答案】5 【解析】 【分析】如图，在中，得出，根据是等边三角形，得出，连接，证明，得出，则，作的平分线交于点，证明是等边三角形，得出，根据，得出直线和直线重合，确定点在上运动，根据的面积，得出最大时，的面积最大，当点与点重合时，的面积最大，此时，根据等边三角形的性质得，则，得出． 【详解】解：如图，在中，，，， 则， ∵是等边三角形， ∴， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 作的平分线交于点， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴直线和直线重合， 即点在上运动， ∵的面积， 则最大时，的面积最大， 根据题意可得当点与点重合时，最大，即的面积最大， 此时，如图， 则， ∴， ∴， 故答案为：5． 【点睛】该题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质，解直角三角形等知识点，确定点的轨迹是解题的关键． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 先计算二次根式的乘法、化简二次根式、化简绝对值、零次幂，再合并即可． 【详解】解： ． 16. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 由①得，； 由②得，， ∴原不等式组的解集为：． 17. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先进行括号内分式的减法运算，再将除法化为乘法计算． 【详解】解： ． 18. 如图，已知，点在边上．请用尺规作图法，在的内部求作一点，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】作图见解析 【解析】 【分析】本题考查尺规基本作图—作角的平分线，作一角等于已知角，平行线的性质，熟练掌握尺规基本作图是解题的关键．先作的平分线，再在同侧作，使 ，交于P即可． 【详解】解：如图，点即为所求； 理由如下： 由作图可知：是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴点即为所求． 19. 如图，点是的边延长线上一点，，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先根据平行得到，再证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 20. 某班开展主题为“我爱陕西”的综合实践活动，班委会决定设置“山水”“历史”“文学”“艺术”“科技”（分别记作，，，，）共五个研究方向，并采取小组合作的研究方式．同学们在五张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同． （1）将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为______； （2）各小组从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究方向．将这五张卡片背面朝上洗匀后，小秦代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小博代表第二小组从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求这两个小组研究方向不同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了用列表或画树状图求概率，概率公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，得一共有五张卡片，卡片内容是“科技”的有一张，运用概率公式进行计算，即可作答． （2）先理解题意，再画树状图，得到一共有种等可能的结果，其中这两个小组研究方向不同的等可能结果有种，运用概率公式进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，一共有五张卡片，卡片内容是“科技”的有一张， ∴将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为， 故答案：． 【小问2详解】 解：依题意，画树状图如下所示： ∴一共有种等可能的结果，其中这两个小组研究方向不同的等可能结果有种， ∴这两个小组研究方向不同的概率． 21. 小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度．在征得家长同意后，他们带着工具前往测量．测量示意图如图所示，他们在坡面上的点处安装测角仪，测得信号杆顶端的仰角为，与坡面的夹角为，又测得点与信号杆底端之间的距离为．已知，点，，在同一条直线上，，均与水平线垂直．求信号杆的高．（参考数据：，，） 【答案】信号杆的高为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，三角形内角和性质，矩形的判定与性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，得出，再在中，运用，，代入数值进行计算，得出的值，然后证明四边形是矩形，故，根据，，得，，把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：过点E作于点，过点D作于点，如图所示： ∵，均与水平线垂直． ∴ ∴， ∵ ∴ 在中，， 则， 在中，， 则， ∵过点E作于点，过点D作于点， ∴， ∴四边形是矩形 ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 信号杆高为． 22. 研究表明，一定质量的气体，在压强不变的条件下，气体体积与气体温度成一次函数关系．某实验室在压强不变的条件下，对一定质量的某种气体进行加热，测得的部分数据如下表： 气体温度 … 25 30 35 … 气体体积 … 596 606 616 … （1）求与的函数关系式； （2）为满足下一步的实验需求，本次实验要求气体体积达到时停止加热．求停止加热时的气体温度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】该题考查了一次函数的应用，解题的关键是理解题意． （1）根据待定系数法求解即可； （2）令，求解即可． 【小问1详解】 解：设与的函数关系式为， 则，解得， 故与的函数关系式为． 【小问2详解】 解：令， 则，解得：， 答：停止加热时的气体温度为． 23. 为了让同学们了解我国航天事业取得的成就并普及航天知识，某校在“中国航天日”当天开展了研学活动，随后采取自愿报名的方式，组织了航天知识竞赛．竞赛结束后，从竞赛成绩（单位：分 满分100分 均不低于60分）中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，并进行整理，绘制了如下统计图： 其中B组共有15个成绩，从高到低分别为：89，88，88，86，85，85，85，85，84，83，81，81，80，80，80． 根据以上信息，解答下列问题： （1）B组15个成绩的平均数为______分； （2）本次被抽取的所有成绩的个数为______，本次被抽取的所有成绩的中位数为______分； （3）学校决定对本次竞赛成绩90分及以上的学生进行奖励，该校共有500名学生参加竞赛，请估计本次竞赛的获奖人数． 【答案】（1） （2）， （3）人 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图、用样本估算总体，平均数，中位数的含义． （1）直接利用平均数公式计算即可； （2）由B组人数除以其百分比即可得到总数据的个数，再利用中位数的含义求解中位数即可； （3）由总人数乘以本次竞赛成绩90分及以上的学生的百分比即可得到答案. 【小问1详解】 解：B组15个成绩的平均数为： ； 【小问2详解】 解：∵， ∴本次被抽取的所有成绩的个数为， ∵，而， 所抽取的50个成绩分数排序后排在第个，第个分数落在B组， 而B组成绩排序后为： 从高到低分别为：89，88，88，86，85，85，85，85，84，83，81，81，80，80，80． ∴第个，第个分数， 本次被抽取的所有成绩的中位数为分； 小问3详解】 解：学校决定对本次竞赛成绩90分及以上的学生进行奖励，该校共有500名学生参加竞赛，则本次竞赛的获奖人数为（人）. 24. 如图，点在的边上，以为半径的⊙与相切于点，与相交于点，为⊙的直径，与相交于点，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）如图，连接，证明，，即，可得，进一步证明，可得； （2）求解，设的半径为，结合，可得，可得：，，求解，证明，可得，进一步可得答案. 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵以为半径的⊙与相切于点， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 设的半径为， ∴，，而，， ∴， 解得：， ∴，，， ∵，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，切线的性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 25. 某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部，左、右门洞，均呈抛物线型，水平横梁，的最高点到的距离，，关于所在直线对称．，，为框架，点，在上，点，分别在，上，，，．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知抛物线的函数表达式为，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的解析式，因式分解法进行解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，先设抛物线的函数表达式为，结合二次函数的对称性得，再代入进行求解，即可作答． （2）理解题意，得出，再结合抛物线，的函数表达式分别为，，代入，整理得，再解方程，可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， ∵， ∴结合二次函数的对称性得， 将代入， 得 则， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得抛物线的函数表达式， ∵，，．，且抛物线的函数表达式为， ∴， 整理得， ∴， ∴， 解得， ∴． 26. 问题探究 （1）如图①，在中，请画出一个，使得点，，分别在边，，上； （2）如图②，在矩形中，，，为矩形内一点，且满足，周长的最小值； 问题解决 （3）为了进一步提升游客的体验感，某公园管理部门准备在花海边沿与游客服务中心之间的草地上选址修建一条笔直的步道及一个观景台．如图③所示，区域为草地，线段为花海边沿，点为游客服务中心，线段为步道，点和点为步道口，点为观景台．按照设计要求，点，分别在边，上，且满足，为的中点，为保证观赏花海的最佳效果，还需使最大．已知，，请你帮助公园管理部门确定观景台的位置（在图中画出符合条件的点），并计算此时步道口与游客服务中心之间的距离．（步道的宽及步道口、观景台、游客服务中心的大小均忽略不计） 【答案】（1）见详解（2）（3） 【解析】 【分析】（1）先作，交于点，得出，再以点B为圆心，以的长为半径画弧，交线段于一点，连接，则，故四边形是平行四边形，即可作答． （2）过点作于点，解得，故在线段上运动的，整理，经过分析当有最小值时，则的周长有最小值，即作点关于的对称点，当三点共线时，有最小值，即的长，结合矩形的性质以及勾股定理列式计算，得，即可作答． （3）取的中点，取的中点，连接，得是的中位线，再过点作，证明，整理，故，再证明四边形是平行四边形，因为是的中点，得，11 、证明，，理解题意，得为定值，则点在的中位线上运动，作的外接圆，当且仅当与相切时，的值最大，先得出，，运用三角函数得，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：（1）依题意， 先作，交于点，得出，再以点B为圆心，以的长为半径画弧，交线段于一点，连接， 则， ∵ ∴四边形是平行四边形， 即如图所示： （2）如图，过点作于点， ∵， ∴， 解得， 过点作且分别与，交于， 即在线段上运动的， 则， 当有最小值时，则的周长有最小值， 作点关于的对称点 ∴，， ∴， 当三点共线时，有最小值，即的长， 即的周长有最小值， ∵ 四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， 此时的周长； （3）如图，取的中点，取的中点，连接， ∴是的中位线， 过点作， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 连接 ∵是的中点，且四边形是平行四边形， ∴， ∴是的中点 过点作于点，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，过点作于点， ∴为定值， ∴为定值， 则点在的中位线上运动， 作的外接圆，当且仅当与相切时，的值最大， ， 故， 如图，连接，作于点，于点，连接 ∵与相切于点 ∴， ∵于点， ∴， ∵， ∴， 故三点共线， ∴， 则， ∴， ∵，是的中点， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴， ∵点是的中点，是的中点 ∴是三角形的中位线， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形的相关运算，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，中位线的判定与性质，矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，综合性强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 9 学科网（北京）股份有限公司 $$