精品解析：福建省莆田市仙游县 郊尾枫亭盖尾初中教研小片区2024-2025学年八年级下学期5月期中数学试题

2025 年春季郊尾、枫亭、盖尾初中教研小片区 期中考试八年级数学科试卷 （总分：150分，考试时间：120分钟） 友情提示：本试卷分为“试题”和“答题卡”两部分，答题时，请按答题卡中的“注意事项”认真作答，答案写在答题卡上的相应位置． 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 2. 若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为（　　） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，根据同类二次根式的定义得出，即可求出a得值． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故选：D． 3. 下列算式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式运算，熟练掌握相关运算法则求解即可．根据二次根式运算法则逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 与不是同类二次根式，不能合并，故本选项运算错误，不符合题意； B. ，本选项运算正确，符合题意； C. ，故选项运算错误，不符合题意； D. ，故选项运算错误，不符合题意． 故选：B． 4. 如图，长方形中，，，在数轴上，若以点为圆心，的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴、勾股定理，由题意可得，，，再由勾股定理求出，即可得解． 【详解】解：由题意可得：，，， ∵， ∴， ∴点表示的数为， 故选：B． 5. 如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，若AB＝6，EF＝2，则BC的长为(　　) A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：根据平行四边形的性质可知AB=CD，AD∥BC，AD=BC，然后根据平行线的性质和角平分线的性质可知AB=AF，DE=CD，因此可知AF+DE=AD+EF=2AB=12，解得AD=BC=12-2=10. 故选B. 点睛：此题主要考查了平行四边形的性质和等腰三角形的性质，解题关键是把所求线段转化为题目中已知的线段，根据等量代换可求解. 6. 如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，由折叠的性质可得，设，则，利用勾股定理可得方程，解方程求出，再利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得， 设，则， 由长方形的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， 故选：C． 7. 中：①；②；③；④三边长分别为，，，其中，直角三角形的有（ ）个 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查直角三角形的判定，熟练掌握勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，逐一判定即可． 【详解】解：①∵中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴直角三角形； ②∵中，， ∴设，则， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； ③∵中，， ∴设，则， ∴， ∴是直角三角形； ④∵中，三边长分别为 ∴ ∴不是直角三角形； 故选：C． 8. 如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点连接AF，BF，∠AFB =90°，且AB=8，BC= 14，则EF的长是 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质得到DF=4，根据BC= 14，由三角形中位线定理得到DE=7，解答即可． 【详解】解：∵∠AFB=90°，点D是AB的中点， ∴DF= AB=4， ∵BC= 14，D、E分别是AB，AC的中点， ∴DE=BC=7， ∴EF=DE-DF=3， 故选：B 【点睛】本题考查了直角三角形的性质和中位线性质，掌握定理是解题的关键． 9. 如图，菱形 的对角线 相交于点 ，点 为 边上一动点（不与点 重合），于点 点 ，若 ，，则 的最小值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理及垂线段最短，掌握菱形，矩形的性质是解题的关键．连接，证明四边形是矩形得，当时，的值最小，即的值最小，再根据等面积法即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是菱形， ∴，，， 在中，， ∵于点E，于点F， ∴四边形是矩形， ∴， 当时，的值最小，即的值最小， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故选：C． 10. 已知：正方形的边长为8，点、分别在、上，，与相交于点，点为的中点，连接，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的四条边都相等可得，每一个角都是直角可得，然后利用“”证明得，进一步得，从而知，利用勾股定理求出的长即可得出答案．本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余等知识，掌握三角形全等的判定方法与正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：四边形为正方形， ，， ，， ， ， ， ， ， 点为的中点， ， ， 故选：D． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 要使代数式有意义，则x的取值范围为 __． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件， 根据题意可知，再求出解即可． 详解】解：根据题意，得， 解得． 故答案为：． 12. 若菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的面积为________． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求解即可． 【详解】解：该菱形的面积为：． 故答案：24． 13. 若为的小数部分，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据无理数的估算，表示出，代入代数式求值即可得到答案． 【详解】解：， 若为的小数部分，则， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查代数式求值，涉及无理数估算、二次根式混合运算，熟练掌握二次根式混合运算法则是解决问题的关键． 14. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，且，过点O作交于点E，若的周长为，则平行四边形的周长为______． 【答案】26 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，垂直平分线的性质，根据平行四边形的性质得，，可得直线是线段的垂直平分线，则，根据的周长为，平行四边形的周长为，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，对角线，相交于点O， ∴， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴即， ∵平行四边形的周长为， ∴平行四边形的周长为， 故答案为：26． 15. 如图，在中，，，．如果，分别为，上的动点，那么的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】延长到点F，使得，则直线是线段的垂直平分线，连接，于是得到，，于是就变成了，根据点到直线的距离以垂线段最短原理，得到的最小值就是的高，过点F作于点G，求即可． 此题考查了轴对称最短路径问题，垂线段的性质，勾股定理，根据三角形的面积求高等，熟练掌握以上性质是解本题的关键． 【详解】解：延长到点F，使得， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， 连接， ∴，， ∴就变成了， 根据点到直线的距离以垂线段最短原理，得到的最小值就是的高， 过点F作于点G， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 如图，矩形中，，点E为射线上的一个动点，将沿折叠得到，连接，当为直角三角形时，的长为___________． 【答案】1或9##9或1 【解析】 【分析】本题考查了翻折的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，掌握翻折的性质，分类探讨的思想方法是解决问题的关键，有一定难度． 分两种情况：①当E点在线段上时，②当E点在线段的延长线上时，利用全等三角形的判定和性质进行解答即可． 【详解】解：根据题意得：当为直角三角形时，， ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质得：，， 分两种情况讨论： 当点E在边上时，如图：    此时， ∴B、、E三点共线， ∵，， ∴， ∵， ∴； 如图，当E点在线段的延长线上，且经过点B时，满足条件，此时 ，， ， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所知，的长为1或9， 故答案为：1或9 三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是关键． 运用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 18. 已知，，求下列各式值： （1）； （2）． 【答案】（1）4 （2）13 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，正确求出的值是解题的关键． （1）先把x、y分母有理化得到，，则可求出的值，再由计算求解即可； （2）根据计算求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得，， ∴ ． 19. 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．求证： （1）△ABE≌△CDF； （2）四边形AECF是平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，根据平行线的性质可得，结合已知条件根据SAS即可证明； （2）根据可得，根据邻补角的意义可得，可得，根据一组对边平行且相等即可得出． 【小问1详解】 证明：解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又， ∴（SAS）； 【小问2详解】 证明：∵， ∴ ∴， ∴四边形AECF是平行四边形 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 20. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，以格点A为顶点按下列要求作图（无尺规作图不需要写画法）． （1）在图中画一个△ABC，使其边长分别为AB＝，BC＝，AC＝5； （2）在（1）的条件下，求边AC上的高． 【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）利用数形结合的思想作出图形即可； （2）证明△ACB是直角三角形，再根据等面积法即可得结论． 【详解】解：（1）如图，△ABC即为所求： （2）∵AB＝，BC＝，AC＝5， ∴BC 2+AB2＝AC2， ∴∠CAB＝90°， 设AC边上的高为 则，即 解得 ∴AC边上的高为． 【点睛】此题考查了勾股定理及逆定理，涉及了等面积法求解线段长度，熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键． 21. 如图，小区A与公路l的距离米，小区B与公路l的距离米，已知米． （1）政府准备在公路边建造一座公交站台Q，使Q到A、B两小区的路程相等，求的长； （2）现要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B两小区的路程之和最短，求的最小值，求出此最小值． 【答案】（1）475米 （2）1000米 【解析】 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，坐标与图形的性质，勾股定理，确定出Q、P的位置是本题的关键． （1）设，则，根据利用勾股定理即可得出结果． （2）作A关于l的对称点，连接，交l于P，由对称性得的最小值为线段的长，作于点E，在中，根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：如图1， 根据题意得：， 设，则， ， 解得， 即的长为475米； 【小问2详解】 如图，作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点P． 则， ， 的最小值为， 如图，作于点E， 在中， 米，米， 米， 的最小值为1000米． 22. 如图，矩形中，垂直平分对角线，． （1）求证：四边形是菱形， （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】（1）由，得，由垂直平分对角线，得，即可证明，得，而，可证明，即可证明四边形是菱形； （2）连接，由垂直平分，得，而，，则，即可根据勾股定理得，求得． 【小问1详解】 解：证明：四边形是矩形， ， ， 垂直平分对角线， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 【小问2详解】 连接， 垂直平分， ， ，， ， ， ， ， ， 的长是5． 【点睛】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明及是解题的关键． 23. 综合与实践：某校开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如表： 课题 测量学校旗杆的高度 工具 绳子、皮尺等 测量示意图 说明：如图1，第一次绳子沿旗杆下垂到点，测量多出的绳子长度．如图2，第二次绳子斜拉直后至末端点位置，测量点到地面的距离，以及点到旗杆的距离． 测量数据 测量项目 数值 图1中的长度 2米 图2中的长度 1米 图2中的长度 米 （1）根据以上测量结果，请求学校旗杆的高度； （2）若，，请用关于的代数式表示学校旗杆的高度． 【答案】（1）旗杆的高度为米 （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及列代数式，根据勾股定理列出方程是解题的关键． （1）设旗杆的高度为米，则绳子为米，由题意可知米，米，米，然后在中，由勾股定理列出方程，解方程即可； （2）设旗杆高度为x米，根据题意得，，，在中，由勾股定理列出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设旗杆的高度为米，则绳子为米， 由题意可知，米，米，米， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：旗杆的高度为米． 【小问2详解】 解：设旗杆的高度为x米，根据题意得 ，， 在中，由勾股定理得： ，即 解得： 旗杆的高度为． 24. 如图1，已知正方形，点，分别在，上，且． （1）求证：． （2）如图2，点在的延长线上，且． ①求的度数； ②求证：． 【答案】（1）见解析 （2）①，②见解析 【解析】 【分析】（1）由“”可证，可得； （2）①延长至，使，连接，可得，进而可得为等腰直角三角形，由此可得； ②由，可得，结合为等腰直角三角形，即可求解． 【小问1详解】 证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 ①解：如图3，延长至，使，连接， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 又，， ， ，， ，， ， ②，， ， 又， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 25. 请阅读下列材料：已知：如图（1）在中，，点D、E分别为线段上两动点，若．探究线段三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把绕点A顺时针旋转，得到，连接，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题： （1）猜想三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想； （2）当动点E在线段上，动点D运动在线段延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明； （3）已知：如图（3），等边三角形中，点D、E在边上，且，请你找出一个条件，使线段能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数． 【答案】（1） （2）不变，见解析 （3）， 【解析】 【分析】（1）将绕A顺时针旋转后成，根据题意证明，故，因为中，，所以，从而可得，在中，由勾股定理得线段之间的等量关系式； （2）解法一：将沿直线对折，得，连接，根据全等三角形的性质得到，，然后进一步证明，然后根据全等三角形的性质求解即可； 解法二：将绕点A顺时针旋转得到．连接，根据题意证明，进而求解即可； （3）与（2）类似，以为一边，作，在上截取，证明出，然后根据等腰三角形的概念求解即可． 【小问1详解】 ，证明如下： 将绕A顺时针旋转后成，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 关系式仍然成立． 证明：将沿直线对折，得，连接 ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴， ∴在中，， 即； 解法二：将绕点A顺时针旋转得到．连接． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴； 【小问3详解】 当时，线段能构成一个等腰三角形． 如图，与（2）类似，以为一边，作，在上截取， 可得． ∴． ∴． 若使为等腰三角形，只需， 即， ∴当时，线段能构成一个等腰三角形，且顶角为． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，解题的关键是通过旋转变换构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025 年春季郊尾、枫亭、盖尾初中教研小片区 期中考试八年级数学科试卷 （总分：150分，考试时间：120分钟） 友情提示：本试卷分为“试题”和“答题卡”两部分，答题时，请按答题卡中的“注意事项”认真作答，答案写在答题卡上的相应位置． 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为（　　） A. B. C. D. 2 3. 下列算式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，长方形中，，，在数轴上，若以点为圆心，的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，若AB＝6，EF＝2，则BC的长为(　　) A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 6. 如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则面积为（    ） A. B. C. D. 7. 中：①；②；③；④三边长分别为，，，其中，直角三角形的有（ ）个 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点连接AF，BF，∠AFB =90°，且AB=8，BC= 14，则EF的长是 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 如图，菱形 的对角线 相交于点 ，点 为 边上一动点（不与点 重合），于点 点 ，若 ，，则 的最小值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 10. 已知：正方形的边长为8，点、分别在、上，，与相交于点，点为的中点，连接，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 5 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 要使代数式有意义，则x的取值范围为 __． 12. 若菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的面积为________． 13. 若为的小数部分，则的值为__________． 14. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，且，过点O作交于点E，若的周长为，则平行四边形的周长为______． 15. 如图，在中，，，．如果，分别为，上的动点，那么的最小值是______． 16. 如图，矩形中，，点E为射线上的一个动点，将沿折叠得到，连接，当为直角三角形时，的长为___________． 三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 已知，，求下列各式值： （1）； （2）． 19. 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．求证： （1）△ABE≌△CDF； （2）四边形AECF是平行四边形． 20. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，以格点A为顶点按下列要求作图（无尺规作图不需要写画法）． （1）在图中画一个△ABC，使其边长分别为AB＝，BC＝，AC＝5； （2）在（1）条件下，求边AC上的高． 21. 如图，小区A与公路l的距离米，小区B与公路l的距离米，已知米． （1）政府准备在公路边建造一座公交站台Q，使Q到A、B两小区的路程相等，求的长； （2）现要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B两小区路程之和最短，求的最小值，求出此最小值． 22. 如图，矩形中，垂直平分对角线，． （1）求证：四边形是菱形， （2）若，，求的长． 23. 综合与实践：某校开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如表： 课题 测量学校旗杆的高度 工具 绳子、皮尺等 测量示意图 说明：如图1，第一次绳子沿旗杆下垂到点，测量多出的绳子长度．如图2，第二次绳子斜拉直后至末端点位置，测量点到地面的距离，以及点到旗杆的距离． 测量数据 测量项目 数值 图1中的长度 2米 图2中的长度 1米 图2中的长度 米 （1）根据以上测量结果，请求学校旗杆的高度； （2）若，，请用关于的代数式表示学校旗杆的高度． 24. 如图1，已知正方形，点，分别在，上，且． （1）求证：． （2）如图2，点在的延长线上，且． ①求的度数； ②求证：． 25. 请阅读下列材料：已知：如图（1）在中，，点D、E分别为线段上两动点，若．探究线段三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把绕点A顺时针旋转，得到，连接，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题： （1）猜想三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想； （2）当动点E在线段上，动点D运动在线段延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明； （3）已知：如图（3），等边三角形中，点D、E在边上，且，请你找出一个条件，使线段能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$