1.5 全等三角形的判定（第3课时）（题型专练）数学浙教版2024八年级上册

1.5 全等三角形的判定（第三课时） 题型一：利用“ASA”或“AAS”作为判断依据 1．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，聪聪书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识很快就画了一个与书本上完全一样的三角形，那么聪聪画图的依据是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，，则的依据是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·河南许昌·阶段练习）如图，沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到D的过程中，通过隔离带的空隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，，相邻两平行线间的距离相等，相交于P，垂足为D．已知米．沛沛根据上述信息借助三角形的全等求出标语的长度为16米，全等的理由是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知，垂足分别为E，F，，且，那么的依据是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，点E在线段上，点F在线段上，．则的理论依据是（　　） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·甘肃平凉·阶段练习）如图，，，判定的依据是（   ） A． B． C． D． 题型二：破碎玻璃修复问题 1．（24-25八年级上·吉林长春·期末）小明不慎将一块三角形的玻璃片摔碎成如图所示的四块，要想重新获取一块与原来一样完整的玻璃片，带去加工厂的碎片应该是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 2．（24-25八年级上·湖南益阳·期中）如图所示，某同学把一块三角形的模具不小心打碎成了三块，现在要去商店配一块与原来一样的三角形模具，那么最省事的是带哪一块去（ ） A．① B．② C．③ D．①和② 3．（24-25八年级上·湖北咸宁·期末）周末，小谦和弟弟在游玩时不慎将一块三角形玻璃摔成四块（如图中标有①②③④的四块），小明学了全等三角形的知识后，决定拿第④块碎片去配一块与原来大小和形状都一样的三角形玻璃，依据是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图的四块，他带其中的一块去玻璃店，配了一块与原来一样大小的三角形玻璃．他带的是（   ） A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块 5．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成四块，他要带其中一块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他应该带去的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 6．（24-25八年级上·山东德州·期中）一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成了如图所示的四块，他需要去商店再配一块与原来大小和形状完全相同的模具．现只能拿能两块去配，其中可以配出符合要求的模具的是（   ） A．（1）和（3） B．（3）和（4） C．（1）和（4） D．（1）和（2） 7．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，一块三角形玻璃样板不慎被张宇同学碰破了，成为四块碎片．聪明的张宇经过仔细考虑认为，只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让工人师傅画一块与以前一样的玻璃样板．你认为下列选项中可行的是（   ） A．带1，2或2，3去就可以 B．带1，4或3，4去就可以 C．带1，4或2，3去就可以 D．带其中的任意两块去都可以 题型三：添加一个条件使得三角形全等（AAS或ASA） 1．（24-25七年级下·上海松江·阶段练习）如图，，若利用证明，需添加的条件是 ．（写出一种即可） 2．（24-25七年级下·江西赣州·阶段练习）如图，，相交于点O，，当添加条件 时，可由“角边角”判定． 3．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，与相交于点，，，不添加辅功线，判定的依据是 ． 4．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）如图，在与中，已知，在不添加任何辅助线的前提下，依据“”证明，需再添加一个条件是 ． 5．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，并且，，当 时，． 6．（24-25八年级上·北京·期中）如图，、交于点O，且，请添加一个条件，使得，则可以添加的条件是： ． 7．（23-24七年级下·江西景德镇·期末）如图， D， E是边上的两点，， 现要直接用“”定理来证明， 请你再添加一个条件： ． 题型四：利用“AAS或ASA”简单证明三角形全等（解答题） 1．（2025·云南昆明·二模）如图，，，，求证：． 2．（24-25七年级下·上海松江·阶段练习）如图．已知是边的中线．，、与直线的交点分别为点、，请说明与全等的理由． 3．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，点D是的边延长线上一点，且，过D作，且，连接交于点F，若，求证：． 4．（24-25九年级下·云南昆明·阶段练习）如图，，，，求证：． 5．（2025·云南昭通·二模）如图，，．求证：． 6．（2025·江苏南京·一模）如图，在四边形中，是边上一点，连接，，平分，．求证：． 7．（24-25九年级下·陕西汉中·阶段练习）将和如图放置．已知，，，求证：． 题型五：利用“AAS或ASA”证明三角形全等求角度 1．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，在三角形中，平分交于点，，过点作交于点，延长至点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，把两块大小相同的含的三角板和三角板如图所示摆放，点D在边上，点E在边上，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，平分，过点B作于点D，若，，则的度数为 ． 4．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，已知：四边形中，对角线平分，，，并且，那么的度数为 ． 题型六：利用“AAS或ASA”证明三角形全等求线段长度 1．（2025·湖南衡阳·二模）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，，，若，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．（2025·河南信阳·模拟预测）如图，在四边形中，，E为的中点，且，延长交的延长线于点F．若，，则的长为（       ） A．11 B．12 C．13 D．14 3．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图所示，是锐角的高，相交于点D，若，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（23-24八年级上·广西河池·期末）如图，点B，F，C，E在一条直线上，若，，，则m的值是（     ）    A．15 B．16 C．18 D．20 5．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）如图所示，在中，于D，于E，与交于点F，，则的长度为 ． 6．（24-25七年级下·上海·期中）如图，在中，是边的中点，是边上一点，过点作，交的延长线于点，如果，，那么的长为 ． 7．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，，线段交于点，垂足分别为D，E，且．若，则的长为 ． 8．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，点D在上，点E在上，与相交于点O，且，，若，则 ． 题型七：利用“AAS或ASA”证明三角形全等求面积 1．（24-25七年级下·上海青浦·期末）如图，点为内一点，平分，，连接，如果的面积为，那么的面积为 ．（用含的式子表示） 2．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，是的角平分线，，，，的面积是3，则的面积为 ． 3．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，中，，，，平分，且，则与的面积和是 ． 4．（24-25九年级上·四川南充·期中）如图，四边形中，，，，，则四边形的面积是 5．（24-25八年级上·湖北黄石·阶段练习）如图，的面积为，平分，于，则的面积为 ． 6．（24-25七年级下·上海·期中）在中，、是高，、相交于，，连接，，的面积为7．则的面积等于 ． 7．（23-24七年级下·广东深圳·期中）如图，在锐角三角形中，，，分别为的角平分线．，相交于点，平分，已知，，的面积，求的面积 ． 题型八：全等三角形的判定综合 1．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，已知：，，． (1)求证： (2)若，求的长． 2．（24-25七年级下·吉林·阶段练习）如图，是等腰直角三角形，，点是上一点（点不与点A、D重合），延长至点，使． (1)求证：； (2)求证：． 3．（2025·江苏无锡·三模）已知：如图，，，垂足分别为，，，相交于点，且．    (1)求证：； (2)已知，，求的长度． 4．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，点A、、、在同一条直线上，点、分别在直线的两侧，且，，． (1)求证： (2)求证： 5．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，在中，已知，平分，， (1)若的面积是，求的面积； (2)求证：． 6．（2025·海南·一模）如图，点E、C、D、A在同一条直线上，，，，线段与线段交于点G． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 7．（24-25七年级下·江西赣州·阶段练习）如图，点B，C，D在同一条直线上，，且． (1)试说明． (2)若，C是的中点，求的长． 8．（2025·内蒙古·二模）如图，在四边形中，，，平分，且，连接并延长，交的延长线于点． (1)求证：平分； (2)若的面积是，，求长． 题型九：全等三角形的判定实际应用 1．（24-25八年级下·重庆巫山·期中）如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B．最终荡到最高点C处，若，米，水平距离米，则点C与点B的高度差为 米． 2．（24-25七年级下·广东深圳·期中）小丽与爸爸、妈妈在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，小丽两脚在地面上用力一蹬，妈妈在处接住她后用力一堆，爸爸在处接住她．若点距离地面的高度为，点到的距离为，点距离地面的高度是，，则点到的距离为 米． 3．（24-25八年级上·甘肃武威·阶段练习）如图，小虎用块高度都是的相同长方体小木块垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），则两堵木墙之间的距离为 ． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在一个支架的横杆上点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，表示小球静止时的位置．当小华用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D；当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的点A，B，O，C在同一平面上），过点C作于点E．已知，细绳的长为，则的长为 ． 5．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，为了测量一幢高楼的高度，在木棍与高楼之间选定一点，在点处用测角仪测得木棍顶端的视线与地面的夹角，测得楼顶的视线与地面的夹角，量得点到楼底的距离与木棍高度相等，都等于，量得木棍与高楼之间的距离，则高楼的高度是 ． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，太阳光线与是平行的，表示一棵松树，表示一棵杨树，同一时刻两棵树的影长相等．已知杨树高，则松树高 ． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，小李为了测量河的宽度，他先站在河边的点C处，面向河对岸，压低帽檐使视线通过帽檐正好落在河对岸的点A处，然后保持姿势不变原地向后转，正好看见了他所在的岸上的一块石头B，并测得，则河宽为 ． 8．（24-25八年级上·河南漯河·期末）跷跷板是儿童游乐场里常见的等臂杠杆应用．小明与小敏到游乐场玩跷跷板游戏，如图，支点O是跷跷板的中点，两人分别坐在跷跷板两端．已知点O到地面的距离是，当小敏从水平位置下降时，小明离地面的高度是 ． 题型一：全等三角形中最值问题 1．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图所示，中，，M、N分别为、上动点，且，连、，当最小时，（　　）． A．2 B． C． D．1 2．（24-25八年级上·福建·期中）如图，在中，是的角平分线，于点．若点为动点，在点运动的过程中满足，则的最大值为（　　）    A．28 B．24 C．14 D．7 3．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，，D为中点，P为上的动点，连接，过点D作且，连接，则线段的最小值为 ． 4．（24-25八年级上·江西赣州·期中）如图，在四边形中，，连接，若P是边上一动点，连接，则长的最小值为 ． 5．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，中，，，垂直于的角平分线于点，为的中点，连接交于，则、的面积之差的最大值为 ． 题型二：全等三角形中动点问题 1．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，中，，，，，，，动点以的速度从点出发沿路径向终点运动；动点以的速度从点沿向终点点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为，则当 秒时，与全等． 2．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动 时，． 3．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，与相交于点C，，，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q同时从点D出发，沿方向以的速度运动，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为．当P，Q，C三点共线时，t的值为 ． 4．（24-25七年级下·河南·期中）如图，，与相交于点C，，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，同时点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，当点P回到点A时，P、Q两点同时停止运动．连接，当线段经过点C时，点P的运动时间为 s． 5．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）如图，在中，，为边上的高，，，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点．当点运动 s时，．    6．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动 时，． 题型三：全等三角形中多结论问题 1．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，点、、在同一直线上，在等腰中有，在等腰中有，连接和，且交于点，交于点，连接，延长至点使得，连接，交于点，交于点，且有，以下的结论中：①；②；③；④平分．其中正确结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级上·河北沧州·期末）如图所示，在中，，点为的中点，的延长线交于点，为上的一点，与垂直，交于点，则下面判断正确的有（　　） ①是 的平分线；②是的边上的中线；③是 的边上的高；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，在和中，与相交于点，与相交于点，与相交于，，，．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）已知如图，于点D，于点E，下列说法：①；②；③平分；④；⑤．其中一定正确的是（   ） A．①③⑤ B．①③④ C．①②④ D．②③⑤ 5．（24-25八年级上·北京石景山·期末）如图，在中，，，是内部的射线且，过点作于点，过点作于点．给出下面四个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 6．（23-24八年级上·河北张家口·期中）如图所示，已知，，，结论：①；②；③；④其中正确有（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 7．（24-25八年级上·北京门头沟·期末）如图，在中，，，平分交于点，延长到点，使，连接交的延长线于点．给出下面四个结论： ①；②；③；④的面积是的面积的2倍；上述结论中，所有正确结论的序号是（） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 题型四：全等三角形中解答题压轴 1．（24-25七年级下·四川成都·期中）（1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．设的面积为，的面积为，请猜想，大小关系，并说明理由． 2．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图①，在中，，，过点C在外作直线l，于点M，于点N． (1)试说明：； (2)如图②，将（1）中条件改为（），，请问（1）中的结论是否还成立？请说明理由. (3)如图③，在中，点D为上一点，，，，，请直接写出的长． 3．（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）如图1，在中，于点D． (1)求证：； (2)如图2，点E在上，连接交于点F，若，求证：平分； (3)如图3，在（2）的条件下，过A作，交的延长线于点G，交的延长线于点H．若的面积为40，且，求的值． 4．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）知识呈现： 如果一条直线（线段）把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线（线段）称为这个平面图形的一条面积等分线（段）．如三角形的一条中线就是三角形的一条面积等分线段． （1）如图1，在中，点D为中点，若，则_____； 知识迁移： （2）如图2，等腰中，，D、E分别是线段，的中点，连接，，于A，交延长线于F．试说明为四边形的面积等分线． （3）如图3，在中，，D、E分别是线段、上的点，且，是四边形的一条面积等分线，求的长． 5．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知：的顶点在的外部，点在直线上，且，，． (1)如图1，当点在线段的延长线上时，求证：； (2)如图2，当在线段上时，请写出线段之间的数量关系是_____； (3)如图3，当在线段的延长线上时，请写出线段之间的数量关系是_____． 1．（2025·河北张家口·二模）为测量校园内的旗杆的高度，嘉嘉设计的方案是：如图，在距旗杆底端水平距离为的处，使用测角仪测得，由于75°角不方便计算，淇淇提出了一种解决问题的方案：在的延长线上取一点，将一根木棒竖直立在地面上的点处，，此时测得，故淇淇得出结论，进而推得，则下列选项中淇淇证明全等用到的依据可能是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，垂直的平分线于点、为中点，连接，若的面积为4，则的面积为（    ）      A．1 B．2 C． D．3 3．（2025·山东聊城·二模）在中，作的平分线交于点D，作的垂直平分线分别交于点E，交于点F，连接，，得到四边形．若，则四边形的周长为（    ） A．16 B． C． D． 4．（2025·福建·一模）已知，在中，，点在边的延长线上，沿平移线段得到线段．已知点在边上，当时，是以为斜边的等腰直角三角形，则线段的长是（   ） A．1 B． C．2 D． 5．（24-25八年级上·安徽六安·期中）在中，，，，在上取一点，使，过点作交的延长线于点，若，则（   ）． A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·上海·期中）已知，在中，，，垂足为点H，平分，与相交于点D，过点D作，与边相交于点E，那么下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（2024·广东河源·一模）某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案： 甲方案 乙方案 如图1，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接，，并分别延长至，至，使，，最后测出的长即为A，B的距离． 如图2，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为A，B的距离． 下列说法正确的是（    ） A．甲的方案可行，乙的方案不可行 B．甲的方案不可行，乙的方案可行 C．甲、乙的方案均可行 D．甲、乙的方案均不可行 8．（24-25九年级上·山东德州·期末）如图，已知是的中线，是的中线，交的延长线于点E．若的面积为3，则的面积是（   ） A．3 B．6 C．12 D．24 9．（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·期末）如图，在中，，的角平分线，相交于点，过作交的延长于点，交于点，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（2025七年级下·河南郑州·专题练习）如图，，且，且，，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积是 ． 11．（24-25七年级下·陕西西安·期中）用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为12，小正方形地砖面积为4，虚线依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形，则正方形的面积为 ． 12．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，AD是中线，若，于点F，则的值是 ． 13．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在中，点M在边上，，垂足为N，平分，的周长为18，，则的周长为 ． 14．（24-25七年级下·上海青浦·期末）如图，在中，，过点作，且，过点作，垂足为点，求线段的长． 15．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，已知点C、E、F、B在同一直线上，，，，求证：．完成下面的说理过程（填空）． 证明：∵（已知） ∴（ ①） ∵（ ②） ∴ ③ ④ 即 ⑤ 在和中 ∴（ ⑧） ∴ ⑨（ ⑩） 16．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）某中学几名同学想利用所学知识测量某段渭河的宽度（宽度一定），测量方案：寻找对岸河边一棵树的位置记作点A，在该岸边寻找点，使垂直于河岸，因河边不安全，几名同学在该岸同侧平地上取点，使三点在同一直线上，且，测得，再在的延长线上取一点，使，这时测得的长就是该段渭河的宽度．你认为这几名同学的测量方案可行吗？请说明理由． 17．（2025·河北沧州·模拟预测）【发现】如图1，线段，，相交于点，为的中点．求证： ； 【应用】如图2，有一块不规则的土地，，点，分别在和上，以为分割线，把土地分给了甲、乙二人，现经甲、乙二人协商，想把分割线变为最短，且保证甲、乙二人的土地面积不变，请给出你的方案，并证明方案的正确性． 18．（24-25七年级下·四川成都·期中）在中，，，点为射线上一动点（点不与点重合），连接，以为直角边在的右侧作等腰直角，． (1)如图1，当点在线段上时，过点作于，求的长度； (2)连接，交直线于点， ①如图2，当点运动到的延长线上时，求证：； ②点在运动过程中，若，请直接写出的长． 1 / 83 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.5 全等三角形的判定（第三课时） 题型一：利用“ASA”或“AAS”作为判断依据 1．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定； 根据即可解答． 【详解】解：有图形可以看到这个三角形还能明显看到的条件为两个角和一条边，且是两角及其夹边，因此符合． 故选D． 2．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，聪聪书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识很快就画了一个与书本上完全一样的三角形，那么聪聪画图的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定的实际运用，熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键． 根据图象，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出． 【详解】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形． 故选：C． 3．（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，，则的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，平行线的判定和性质，根据全等三角形的判定定理判断是解题的关键． 根据题中的条件推理出全等三角形的判定依据，即可求解； 【详解】解：， ， 在和中， ， ； 则的依据是； 故选：D 4．（24-25八年级上·河南许昌·阶段练习）如图，沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到D的过程中，通过隔离带的空隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，，相邻两平行线间的距离相等，相交于P，垂足为D．已知米．沛沛根据上述信息借助三角形的全等求出标语的长度为16米，全等的理由是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各定理是解答此题的关键．由，利用平行线的性质可得，利用定理可得，，由全等三角形的性质可得结果，可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵，相邻两平行线间的距离相等， ∴， 在与中， ∴， ∴（米）， 故选：A． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知，垂足分别为E，F，，且，那么的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定定理，先由得到，然后由、得到，再结合即可得到的理由，解题的关键是熟知平行线的性质和全等三角形的判定定理． 【详解】解：， ， ，， ， ， 的理由为， 故选：D． 6．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，点E在线段上，点F在线段上，．则的理论依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 由于，加上为公共角，所以根据全等三角形的判定方法可对各选项进行判断． 【详解】解：在和中， ， ∴． 故选：C． 7．（24-25八年级上·甘肃平凉·阶段练习）如图，，，判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，发现隐含条件是解题的关键． 由已知条件可得、，再结合隐含条件即可解答． 【详解】解：在和中， 已知，，， 所以运用判定． 故选：D． 题型二：破碎玻璃修复问题 1．（24-25八年级上·吉林长春·期末）小明不慎将一块三角形的玻璃片摔碎成如图所示的四块，要想重新获取一块与原来一样完整的玻璃片，带去加工厂的碎片应该是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查三角形全等的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：．根据三角形全等判定的条件可直接选出答案． 【详解】②、③、④块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，只有第①块有完整的两角及夹边，符合，满足题目要求的条件，是符合题意的． 故选：A 2．（24-25八年级上·湖南益阳·期中）如图所示，某同学把一块三角形的模具不小心打碎成了三块，现在要去商店配一块与原来一样的三角形模具，那么最省事的是带哪一块去（ ） A．① B．② C．③ D．①和② 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，③中有两个完整的角和它们的夹边，利用可以得到唯一三角形，故最省事的是带③去； 故选C． 3．（24-25八年级上·湖北咸宁·期末）周末，小谦和弟弟在游玩时不慎将一块三角形玻璃摔成四块（如图中标有①②③④的四块），小明学了全等三角形的知识后，决定拿第④块碎片去配一块与原来大小和形状都一样的三角形玻璃，依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，判定两个三角形全等的一般方法有：，，，，做题时要根据已知条件进行选择运用． 【详解】解：④号玻璃，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，符合全等三角形判定． 故选：C． 4．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图的四块，他带其中的一块去玻璃店，配了一块与原来一样大小的三角形玻璃．他带的是（   ） A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块 【答案】B 【分析】此题考查全等三角形的应用，解题关键在于掌握判定定理．本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证． 【详解】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去， 只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的. 故选：B． 5．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成四块，他要带其中一块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他应该带去的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法，结合实际情况分析即可求解． 根据题意，运用边角边判定①，结合边长无法确定得出结论；根据②③的特点，无法得到一块与原来一样的三角形模具，由角边角判定④，即可求解． 【详解】解：∵可以运用边角边判定三角形全等，但①中角的两边可以无限延长，无法判定边长， 故A选项不符合题意； ②③不具备边角的关系，无法得到与原来一样的三角形，故B、C选项不符合题意； 可以运用角边角的方法判定三角形全等，④中的两边延长可以交于一点，得到三角形， 故他要带碎片④到商店去配一块与原来一样的三角形模具， 故选：D ． 6．（24-25八年级上·山东德州·期中）一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成了如图所示的四块，他需要去商店再配一块与原来大小和形状完全相同的模具．现只能拿能两块去配，其中可以配出符合要求的模具的是（   ） A．（1）和（3） B．（3）和（4） C．（1）和（4） D．（1）和（2） 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据，可以确定唯一三角形，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：（1）和（2）或（2）和（4）可以组成两个完整的角和两个角的夹边，根据，可以确定唯一三角形，符合题意；其他组合均不能得到唯一三角形， 故选D． 7．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，一块三角形玻璃样板不慎被张宇同学碰破了，成为四块碎片．聪明的张宇经过仔细考虑认为，只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让工人师傅画一块与以前一样的玻璃样板．你认为下列选项中可行的是（   ） A．带1，2或2，3去就可以 B．带1，4或3，4去就可以 C．带1，4或2，3去就可以 D．带其中的任意两块去都可以 【答案】B 【分析】本题考查三角形全等的判定定理解决实际问题，读懂题意，由题中图形，恰当选择三角形全等的判定定理即可得到答案，熟练掌握两个三角形全等的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 由三角形全等判定定理可知，当选择和时，知道、边和，只要按照，工人师傅能画一块与以前一样的玻璃样板； 同理，选择和也行； 综上所述，带1，4或3，4去就可以， 故选：B． 题型三：添加一个条件使得三角形全等（AAS或ASA） 1．（24-25七年级下·上海松江·阶段练习）如图，，若利用证明，需添加的条件是 ．（写出一种即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．利用可得出，（答案不唯一）进而证明，即可得出答案． 【详解】解：在和中， ， ， 利用证明，需添加的条件是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 2．（24-25七年级下·江西赣州·阶段练习）如图，，相交于点O，，当添加条件 时，可由“角边角”判定． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形全等的判定，理解“角边角”定理是解题的关键． “角边角”是指两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等．我们已知，因为对顶角相等，所以．根据“角边角”判定定理，要使，还需要与的夹边和与的夹边相等，即． 【详解】解∶ ，， 由“角边角”判定，需要添加条件是∶． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，与相交于点，，，不添加辅功线，判定的依据是 ． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的判定，由题意可知，，，，即可证明． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为： 4．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）如图，在与中，已知，在不添加任何辅助线的前提下，依据“”证明，需再添加一个条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了三角形全等的判定方法，由于，加上为公共边，所以当添加时，依据“”可判断， 【详解】解：∵，， ∴当添加时，． 也可添加，则可证明，得到， 故答案为：（答案不唯一）． 5．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，并且，，当 时，． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的几判定方法是解题的关键；本题已知两个角相等，根据全等三角形判定条件，当时，即可通过角边角求证； 【详解】解：当时， 在和中， ， ∴， ∴当时，可证， 故答案为：； 6．（24-25八年级上·北京·期中）如图，、交于点O，且，请添加一个条件，使得，则可以添加的条件是： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法．添加条件：，再由已知条件和公共角可利用定理证明． 【详解】解：添加条件：， 在和中， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 7．（23-24七年级下·江西景德镇·期末）如图， D， E是边上的两点，， 现要直接用“”定理来证明， 请你再添加一个条件： ． 【答案】 【分析】在与中，已知，，即已知一角及角的一边对应相等，根据“”的判定方法，可以添加已知边的对角对应相等即可．本题考查了全等三角形的判定定理：：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键． 【详解】解：可添加一个条件：，使． 理由： 在与中， ， ． 故答案为 题型四：利用“AAS或ASA”简单证明三角形全等（解答题） 1．（2025·云南昆明·二模）如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查全等三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．利用两直线平行同位角相等得到，由此根据证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中 ， ∴． 2．（24-25七年级下·上海松江·阶段练习）如图．已知是边的中线．，、与直线的交点分别为点、，请说明与全等的理由． 【答案】理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键：中线得到，平行得到，利用，即可得证． 【详解】解：与全等的理由如下： ∵是边的中线， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，点D是的边延长线上一点，且，过D作，且，连接交于点F，若，求证：． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键；由题意易得，，则有，然后问题可求证． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（24-25九年级下·云南昆明·阶段练习）如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，解答的关键是熟记全等三角形的判定定理并灵活运用．由题意可求得，利用即可判定． 【详解】证明：， ， ． 在与中， ， ． 5．（2025·云南昭通·二模）如图，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，先证明，再利用即可证明． 【详解】证明：，， ，即． 在和中， ， ． 6．（2025·江苏南京·一模）如图，在四边形中，是边上一点，连接，，平分，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判断，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 由题得，根据等腰三角形的性质得到，推出，即可得到结论． 【详解】证明：， ． ． ， ． 平分， ． ． 在和中，， ． 7．（24-25九年级下·陕西汉中·阶段练习）将和如图放置．已知，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质和全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 根据“”判定即可． 【详解】证明：， ，， ， ， 在和中， ， ． 题型五：利用“AAS或ASA”证明三角形全等求角度 1．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，在三角形中，平分交于点，，过点作交于点，延长至点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，平行线的性质，关键要掌握全等三角形的性质与判定．根据题意证明得出，根据邻补角互补得出,根据三角形内角和定理得出，进而根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵平分 ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ 故选：B． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，把两块大小相同的含的三角板和三角板如图所示摆放，点D在边上，点E在边上，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形内角和定理、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 作交于，证明即可解决问题． 【详解】作交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴, ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， 故选：D． 3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，平分，过点B作于点D，若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，三角形的外角的性质，延长交于，证明，得，再结合三角形的外角的性质即可求解，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 【详解】解：延长交于， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，已知：四边形中，对角线平分，，，并且，那么的度数为 ． 【答案】/31度 【分析】延长和，过点作于点，过点作于点，根据是的平分线可得出，故，过点作于点，可得出，从而，进而得出为的平分线，得出，再根据即可得出结论． 本题考查了角平分线的性质和判定，以及三角形的全等和三角形的内角和定理，注意知识点的综合运用． 【详解】解：延长和，过点作于点，过点作于点， 是的平分线， 在与中， ， ， ， 又， ， ， 为的平分线， 过点作于点， ∵， ． ∴， 为的平分线， ∵， ， 在中，，， ， ， ， ． 故答案为：． 题型六：利用“AAS或ASA”证明三角形全等求线段长度 1．（2025·湖南衡阳·二模）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，，，若，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先题意得到，再证明得到，据此根据线段的和差关系可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．（2025·河南信阳·模拟预测）如图，在四边形中，，E为的中点，且，延长交的延长线于点F．若，，则的长为（       ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定与性质，准确推导出全等三角形并理解线段垂直平分线的性质是解题关键．由“”可证，可得，，由线段垂直平分线的性质可得． 【详解】解：为的中点， ， ， ，， 在与中， ， ， ，， ， ，， ， 故选：C． 3．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图所示，是锐角的高，相交于点D，若，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． 根据题意得出，再根据同角的余角相等得出，根据AAS证明，最后根据全等三角形的性质及线段的差与和即可得出答案． 【详解】是锐角的高 , 故选C． 4．（23-24八年级上·广西河池·期末）如图，点B，F，C，E在一条直线上，若，，，则m的值是（     ）    A．15 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定和性质，由平行线的性质可得，进而根据“”推出，根据全等三角形的性质得到，进而求出，再由计算即可得到答案． 【详解】解：，， ， 又， ， ， ，即， ，， ∴， ， ． 故选：C． 5．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）如图所示，在中，于D，于E，与交于点F，，则的长度为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，根据推出，根据全等得出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 6．（24-25七年级下·上海·期中）如图，在中，是边的中点，是边上一点，过点作，交的延长线于点，如果，，那么的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质，由题意可得，由平行线的性质可得，，证明，得出，即可得解． 【详解】解：∵是边的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，，线段交于点，垂足分别为D，E，且．若，则的长为 ． 【答案】3.2 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，根据证明得，从而可求出的长． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴, 故答案为：3.2 8．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，点D在上，点E在上，与相交于点O，且，，若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握两三角形全等的判定定理． 根据证明，于是得到，结合题干条件即可求出的长． 【详解】解：∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为4． 题型七：利用“AAS或ASA”证明三角形全等求面积 1．（24-25七年级下·上海青浦·期末）如图，点为内一点，平分，，连接，如果的面积为，那么的面积为 ．（用含的式子表示） 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质；延长交于点，证明得出，进而根据三角形中线的性质，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ ∵的面积为， ∴的面积为 故答案为：． 2．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，是的角平分线，，，，的面积是3，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，有关三角形中线的三角形面积；延长交于，由可判定，由全等三角形的性质得，，由三角形的中线得，即可求解；掌握全等三角形的判定及性质，有关三角形中线的三角形面积的求法是解题的关键． 【详解】解：延长交于， 是的角平分线，， ， ， ， （）， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，中，，，，平分，且，则与的面积和是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形中线的性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．延长交于点，证明，由全等三角形的性质可得，，进而可知，即可获得答案． 【详解】解：如下图，延长交于点， ∵，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：3． 4．（24-25九年级上·四川南充·期中）如图，四边形中，，，，，则四边形的面积是 【答案】6 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，过D作于E，证明，得出，然后根据求解即可． 【详解】解∶过D作于E，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：6． 5．（24-25八年级上·湖北黄石·阶段练习）如图，的面积为，平分，于，则的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查角平分线的性质及全等三角形的判定与性质、三角形的中线性质，熟知三角形的中线将该三角形分为两个面积相等的三角形是解答的关键．延长交于，证明得到，再利用三角形的中线性质求解即可． 【详解】解：延长交于， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的面积为， ． 故答案为：． 6．（24-25七年级下·上海·期中）在中，、是高，、相交于，，连接，，的面积为7．则的面积等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形面积计算，先证明得到；根据，得到，由此求解即可． 【详解】解：∵在中，、是高， ∴， ∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（23-24七年级下·广东深圳·期中）如图，在锐角三角形中，，，分别为的角平分线．，相交于点，平分，已知，，的面积，求的面积 ． 【答案】4 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，过点作于点，于点，根据角平分线性质定理求出，结合三角形内角和定理、邻补角定义、角平分线定义求出，利用证明，，则，，，根据三角形面积公式求出，，再根据的面积求解即可，熟练运用全等三角形的判定与性质、三角形面积公式是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点，于点， ，、为三角形的角平分线， ，， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， 同理可得， ， ， ，， ， 的面积， ， ， ， ， 的面积， 故答案为：4． 题型八：全等三角形的判定综合 1．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，已知：，，． (1)求证： (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先由平行线的性质得到，再证明，据此可利用证明； （2）由全等三角形的性质可得，再求出的长即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 2．（24-25七年级下·吉林·阶段练习）如图，是等腰直角三角形，，点是上一点（点不与点A、D重合），延长至点，使． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）等腰直角三角形，得到，进而得到，再根据，即可得证； （2）根据全等三角形的对应角相等，得到，进而得到，得到，即可得证． 【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形，， ∴，， 又∵， ∴； （2）由（1）知：， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（2025·江苏无锡·三模）已知：如图，，，垂足分别为，，，相交于点，且．    (1)求证：； (2)已知，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质． （1）由条件可求得，利用可证明； （2）根据全等三角形的性质得，，则，然后再根据即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 4．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，点A、、、在同一条直线上，点、分别在直线的两侧，且，，． (1)求证： (2)求证： 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）由平行线的性质得到，根据即可证明，即可得出结论； （2）由，得到，根据即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 5．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，在中，已知，平分，， (1)若的面积是，求的面积； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（）延长交于点，可证，可得，进而由中线性质可得，，即得，即可求解； （）过点作于，过点作的延长线于，可证，可得，又由（）得，即可得，即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中线的性质，角平分线的定义，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：延长交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：过点作于，过点作的延长线于，则， ∵，平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴． 6．（2025·海南·一模）如图，点E、C、D、A在同一条直线上，，，，线段与线段交于点G． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． （1）先证明，再根据全等三角形的判定可证得结论； （2）先平行线的性质得到，再根据三角形的内角和定理求出，最后根据全等三角形的性质即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 7．（24-25七年级下·江西赣州·阶段练习）如图，点B，C，D在同一条直线上，，且． (1)试说明． (2)若，C是的中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，解题的关键是： （1）根据平行线的性质、垂直的定义，余角的性质可得出，然后根据证明，最后根据全等三角形的性质即可得证； （2）根据全等三角形的性质和线段中点的定义求解即可． 【详解】（1）证明：， ， 又， ， ， 在中，， ∵， ∴， ， 又，， ， ； （2）解：由（1）得， ，， 又点是的中点， ， ． 8．（2025·内蒙古·二模）如图，在四边形中，，，平分，且，连接并延长，交的延长线于点． (1)求证：平分； (2)若的面积是，，求长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）过点作于点，由， 平分，得到，，推出，即可得到结论； （2）由（1）知，得到，证明，得到，推出，求出． 【详解】（1）证明：过点作于点， ，垂足为，且平分， ，， ， ， ， ，即， 平分； （2）解：由（1）知， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 题型九：全等三角形的判定实际应用 1．（24-25八年级下·重庆巫山·期中）如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B．最终荡到最高点C处，若，米，水平距离米，则点C与点B的高度差为 米． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质. 作于F，于G，根据可证，根据全等三角形的性质可得米，根据线段的和差关系和等量关系可求点C与点B的高度差． 【详解】解：作于F，于G， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴（）， ∴米， 则（米）． 故答案为：． 2．（24-25七年级下·广东深圳·期中）小丽与爸爸、妈妈在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，小丽两脚在地面上用力一蹬，妈妈在处接住她后用力一堆，爸爸在处接住她．若点距离地面的高度为，点到的距离为，点距离地面的高度是，，则点到的距离为 米． 【答案】1.8 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质的应用，由证明得出，即可推出结果． 【详解】解：点距离地面的高度为，点距离地面的高度是， 点距离地面的高度为，点距离地面的高度是， ， ， ， ， 又由题意可知，， ， ，， ， 点到的距离为， 故答案为：1.8． 3．（24-25八年级上·甘肃武威·阶段练习）如图，小虎用块高度都是的相同长方体小木块垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），则两堵木墙之间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，由题意得，，由余角性质得，进而可得，即得，，再根据线段的和差关系即可求解，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在一个支架的横杆上点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，表示小球静止时的位置．当小华用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D；当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的点A，B，O，C在同一平面上），过点C作于点E．已知，细绳的长为，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 证明，结合，，得，得，即得． 【详解】解：由条件可知， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：2． 5．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，为了测量一幢高楼的高度，在木棍与高楼之间选定一点，在点处用测角仪测得木棍顶端的视线与地面的夹角，测得楼顶的视线与地面的夹角，量得点到楼底的距离与木棍高度相等，都等于，量得木棍与高楼之间的距离，则高楼的高度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意可证明，得到，即可得到答案． 【详解】解：，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，太阳光线与是平行的，表示一棵松树，表示一棵杨树，同一时刻两棵树的影长相等．已知杨树高，则松树高 ． 【答案】/5米 【分析】本题考查全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 用证明，由全等三角形的性质得出答案． 【详解】解：由题意，得，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，小李为了测量河的宽度，他先站在河边的点C处，面向河对岸，压低帽檐使视线通过帽檐正好落在河对岸的点A处，然后保持姿势不变原地向后转，正好看见了他所在的岸上的一块石头B，并测得，则河宽为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形应用，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 由题意得， 然后用证明，由全等三角形的性质，即可求解． 【详解】解：由题意得， ， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·河南漯河·期末）跷跷板是儿童游乐场里常见的等臂杠杆应用．小明与小敏到游乐场玩跷跷板游戏，如图，支点O是跷跷板的中点，两人分别坐在跷跷板两端．已知点O到地面的距离是，当小敏从水平位置下降时，小明离地面的高度是 ． 【答案】90 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．根据证明，可得，即可求解． 【详解】解：由题意可知，， ∴， ∴， ∵当小敏从水平位置下降，即， ∴， 又∵点O至地面的距离是， ∴这时小明离地面的高度是， 故答案为：． 题型一：全等三角形中最值问题 1．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图所示，中，，M、N分别为、上动点，且，连、，当最小时，（　　）． A．2 B． C． D．1 【答案】D 【分析】过B点在下方作，且，链接，，先证明，即有，则，当A、M、H三点共线时，值最小，再证明，问题随之得解． 【详解】如图，过B点在下方作，且，链接，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当A、M、H三点共线时，值最小， 如图， 此时∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 2．（24-25八年级上·福建·期中）如图，在中，是的角平分线，于点．若点为动点，在点运动的过程中满足，则的最大值为（　　）    A．28 B．24 C．14 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义；延长和相交于点，构造出，从而求出的值；，根据当时，有最大值求解即可； 【详解】解：延长和相交于点，如图：    ∵ 是 的角平分线 ∴ ∵ ∴ ， 当时， 有最大值； 故选：D． 3．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，，D为中点，P为上的动点，连接，过点D作且，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了全等三角形判定与性质的综合应用，解决问题的关键是由题意证出． 先过作于，根据，可得，再根据当时，，即点与点重合，即可得出线段的最小值为 2 ． 【详解】解：∵点是中点，， ∴， 如图所示，过作于，则， ∵， ， ， ， ， ∴当时，， 即点与点重合，此时， ∴线段的最小值为 2 ． 故答案为：2． 4．（24-25八年级上·江西赣州·期中）如图，在四边形中，，连接，若P是边上一动点，连接，则长的最小值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理和垂线段最短等知识点．过点D作于点E，根据垂线段最短得出当时，最小，求出，可证明，从而得到得出，即可得出选项． 【详解】解：如图，过点D作于点E，则当时，最小， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴在和中 ， ∵，， ∴， ∴， 即的最小值为5． 故答案为：5． 5．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，中，，，垂直于的角平分线于点，为的中点，连接交于，则、的面积之差的最大值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中线求面积等知识，正确的作出辅助线是解题关键．延长、交于点，证明，得到，，进而得出，根据三角形中线推出 ，再根据当时，的面积有最大值，即可求解． 【详解】解：如图，延长、交于点， ∵垂直于的角平分线于点， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ， ，为的中点， ，， ，， ， ∵当时，的面积有最大值，为， 、的面积之差的最大值为6， 故答案为：6． 题型二：全等三角形中动点问题 1．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，中，，，，，，，动点以的速度从点出发沿路径向终点运动；动点以的速度从点沿向终点点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为，则当 秒时，与全等． 【答案】6或或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，可证明得到，，则可推出只存在这种情况，则由，再分，和，三种情况分别用含t的式子表示出的长，然后建立方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴ ∴，， ∵， ∴； ∵与全等， ∴只存在这种情况， ∴， 当时，点在线段上，点在线段上， ∴ ∴， ∴（不合题意，舍去）； ②当时，点在线段上，点在线段上， ∴ ∴， ∴； 当时，点在线段上，点在线段上， ∴ ∴， ∴； 当时，点在线段上，点在线段上， ∴ ∴， ∴； 综上所述，t的值为6或或， 故答案为：6或或． 2．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动 时，． 【答案】6或3 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练正确全等三角形的判定和性质是解题的关键． 先证明，得出，①当点E在射线上移动时，，即可求出E移动了；②当点E在射线上移动时，，即可求出E移动了． 【详解】解：∵， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵过点E作的垂线交直线于点F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ①如图，当点E在射线上移动时，， ∵点E从点B出发，在直线上以的速度移动， ∴E移动了：； ②当点E在射线上移动时，， ∵点E从点B出发，在直线上以的速度移动， ∴E移动了：； 综上所述，当点E在射线上移动或时，； 故答案为：6或3． 3．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，与相交于点C，，，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q同时从点D出发，沿方向以的速度运动，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为．当P，Q，C三点共线时，t的值为 ． 【答案】8或 【分析】本题主要考查代数式和全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，解题的关键是分类讨论思想． 根据题意即可利用证明， 得，，由三点共线得，即可证明，有，利用分类讨论当时，当时，列方程求解即可． 【详解】解：∵ ∴，， 在和中， ， ， ； 如图， ∵P，Q，C三点共线， ， 在和中， ， ， ， ∵点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q同时从点D出发，沿方向以的速度运动， ∴当时，，则， ， ， 当时，，， ， 解得：， ∴综上所述，当P、C、Q三点共线时，t的值为8或． 4．（24-25七年级下·河南·期中）如图，，与相交于点C，，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，同时点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，当点P回到点A时，P、Q两点同时停止运动．连接，当线段经过点C时，点P的运动时间为 s． 【答案】2或4 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是注意分情况讨论． 先证，可得；当线段经过点C时，证明，推出，分点P沿方向运动和沿方向运动两种情况，分别列式求解． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ， ， 当线段经过点C时，如下图所示： 在和中， ， ， ， 当点P沿方向运动时，，， ， ， 解得； 当点P沿方向运动时，，， ， ， 解得 综上可知，t的值为或， 故答案为：2或4． 5．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）如图，在中，，为边上的高，，，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点．当点运动 s时，．    【答案】3或7 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，注意分类讨论．分两种情况：当点F在射线上时，当点F在射线上时，分别画出图形求出结果即可． 【详解】解：当点F在射线上时，如图所示：    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴此时点F运动时间为． 当点F在射线上时，如图所示：    ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴此时点F运动时间为． 综上分析可知：点运动或时，． 故答案为：3或7． 6．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动 时，． 【答案】4或10 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、分类讨论数学思想的运用等知识与方法．设点E运动的时间为，分两种情况讨论，一是点E从点B出发沿射线方向运动，可证明，则，而，且，所以，求得；二是点E从点B出发沿射线方向运动，可证明，则，此时，所以，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设点E运动的时间为， 如图1，点E从点B出发沿射线方向运动， ∵为边上的高， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，且， ∴， 解得； 如图2，点E从点B出发沿射线方向运动，则，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，且， ∴， 解得， 综上所述，当点E运动或时，， 故答案为：4或10． 题型三：全等三角形中多结论问题 1．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，点、、在同一直线上，在等腰中有，在等腰中有，连接和，且交于点，交于点，连接，延长至点使得，连接，交于点，交于点，且有，以下的结论中：①；②；③；④平分．其中正确结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．证明，得出，即可判断①正确；根据证明，即可判定②正确；根据全等三角形的性质可以证明，但，即，即可判定③错误；与不一定全等，，点C到、的距离不一定相等，即可判断④错误． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，故①正确； ∵，，， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与不一定相等， ∴， ∴， ∴与不一定全等， ∴， ∴， ∴，故③不正确； ∵与不一定全等，， ∴点C到、的距离不一定相等， ∴不一定平分，故④不正确； 综上分析可知：正确的有2个． 故选：B． 2．（24-25八年级上·河北沧州·期末）如图所示，在中，，点为的中点，的延长线交于点，为上的一点，与垂直，交于点，则下面判断正确的有（　　） ①是 的平分线；②是的边上的中线；③是 的边上的高；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线，中线，高，全等三角形等知识点，解题的关键是熟练掌握各定义和性质．利用三角形的角平分线，中线，高以及全等三角形可逐一进行判断． 【详解】解： ∴是 的平分线，故①正确； 无法证明点为的中点, 所以不是的边上的中线，故②错误； ∵与垂直， ∴是 的边上的高，故③正确； ∵与垂直， ∴, 又，（公共边） ,故④正确， 故选：C． 3．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，在和中，与相交于点，与相交于点，与相交于，，，．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确识图，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． ①根据得，由此可依据“”判定和全等，然后根据全等三角形的性质可对结论①进行判断； ②根据与相交于点得，再根据和全等得，则，由此可对结论②进行判断； ③根据和全等得，由此可对结论③进行判断； ④根据和全等得，，由此可依据“”判定和全等，据此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①， ， ， 在和中， ， ， ， 故结论①正确； ②与相交于点， ， ， ， ， 故结论②不正确； ③， ， 故结论③正确； ④， ，， 在和中， ， ． 故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①③④． 故选：A． 4．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）已知如图，于点D，于点E，下列说法：①；②；③平分；④；⑤．其中一定正确的是（   ） A．①③⑤ B．①③④ C．①②④ D．②③⑤ 【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，证明，即可得到一定正确的结论． 【详解】∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴；故①，②都正确； ∴，故④正确； 无法证明平分，．故③⑤不正确， 故选：C． 5．（24-25八年级上·北京石景山·期末）如图，在中，，，是内部的射线且，过点作于点，过点作于点．给出下面四个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题重点考查平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，由于点E，于点F，证明，则，可判断①正确；再证明，得，，由，可判断③正确，由，，推导出，可判断②错误；于是得到问题的答案． 【详解】解：于点E，于点F， ，， ，故①正确； ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，故③正确， ，， ，故②错误； 故选：B． 6．（23-24八年级上·河北张家口·期中）如图所示，已知，，，结论：①；②；③；④其中正确有（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】B 【分析】由，，利用“”得到与全等，根据全等三角形的对应边相等且对应角相等即可得到与相等，与相等，与相等，然后在等式两边都减去，得到与相等，得到选项③正确，然后再由，，，利用“”得到与全等，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等得到选项①正确；然后再，利用“”得到与全等，故选项④正确；若选项②正确，得到与相等，且都为，而不一定为，故②错误．此题考查了全等三角形的性质与判别，考查了学生根据图形分析问题，解决问题的能力．其中全等三角形的判别方法有：及．学生应根据图形及已知的条件选择合适的证明全等的方法． 【详解】解：在和中， ∴， ∴， ∴， 即，故选项③正确； 在和中， ∴ ∴，， 故选项①正确； 在和中， ， ∴，故选项④正确； 若 则， 而不一定为，故②错误， 则正确的选项有：①③④， 故选：B． 7．（24-25八年级上·北京门头沟·期末）如图，在中，，，平分交于点，延长到点，使，连接交的延长线于点．给出下面四个结论： ①；②；③；④的面积是的面积的2倍；上述结论中，所有正确结论的序号是（） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．根据全等三角形的判定与性质、三角形面积公式判断求解即可． 【详解】解：， ， 在和中， ， ， ，， 故①正确，符合题意； ，， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， 故②正确，符合题意； ，，， ； 故③正确，符合题意； 根据三角形面积公式得，只有时，的面积是的面积的2倍， 故④错误，不符合题意； 故选：B． 题型四：全等三角形中解答题压轴 1．（24-25七年级下·四川成都·期中）（1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．设的面积为，的面积为，请猜想，大小关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析  （2）；证明见解析  （3）；理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据不同图形条件，准确找到全等三角形的对应角和对应边，利用 AAS 等判定定理证明全等，进而推导边的关系和面积关系。 （1）根据垂直定义得，则，再根据得，由此得，进而可依据判定和全等； （2）根据三角形外角性质得，再根据得，进而可依据判定和全等得，，由此可得出，，的数量关系； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，则，进而得，再根据得，由此得，进而可依据判定和全等，则，同理可证明得，则，然后再根据三角形的面积公式即可得出，大小关系． 【详解】（1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：，，的数量关系是：，证明如下： ∵是的外角， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3），大小关系是：，理由如下： 过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ∵，， ∴． 2．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图①，在中，，，过点C在外作直线l，于点M，于点N． (1)试说明：； (2)如图②，将（1）中条件改为（），，请问（1）中的结论是否还成立？请说明理由. (3)如图③，在中，点D为上一点，，，，，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)成立，见解析 (3)8 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，一线三等角模型证明全等，解题关键是熟悉一线三等角模型． （1）先证明，再根据全等三角形的性质得出，，从而根据，可得； （2）先判定成立，再说理由，先证明，再根据全等三角形的性质得出，，结合，可得； （3）先证明，再根据全等三角形的性质得出，，根据，，，可求得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∴， 又， ， ，， ， ； （2）成立， 理由：，， ， 又∵，， ， ，， 又， ； （3），，， ， 又，， ， ，， ，，， ． 3．（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）如图1，在中，于点D． (1)求证：； (2)如图2，点E在上，连接交于点F，若，求证：平分； (3)如图3，在（2）的条件下，过A作，交的延长线于点G，交的延长线于点H．若的面积为40，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据同角的余角相等进行解答即可； （2）根据同角的余角相等得出，根据三角形外角的性质得出，根据等式性质得出，即可证明结论； （3）证明，得出，根据三角形面积公式得出，即可得出，根据，利用完全平方公式变形得出，根据，得出即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵，，且， ∴， ∴， ∴平分； （3）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵的面积为40， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴． 4．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）知识呈现： 如果一条直线（线段）把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线（线段）称为这个平面图形的一条面积等分线（段）．如三角形的一条中线就是三角形的一条面积等分线段． （1）如图1，在中，点D为中点，若，则_____； 知识迁移： （2）如图2，等腰中，，D、E分别是线段，的中点，连接，，于A，交延长线于F．试说明为四边形的面积等分线． （3）如图3，在中，，D、E分别是线段、上的点，且，是四边形的一条面积等分线，求的长． 【答案】（1）3.5；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中线的性质，平行线的性质，解题的关键是： （1）根据三角形中线的性质求解即可； （2）根据三线合一的性质得出，则可证，根据证明，得出，进而得出，根据三角形中线的性质得出，即可得证； （3）延长CB至点H，使，连接EH，证明，，可得，由是四边形的一条等分线，可得，即可得出，从而求解． 【详解】解：（1）∵点D为中点， ∴， ∴， ∵， ∴ 故答案为：5 （2）是线段的中点， ， 又，且是线段的中点， ， ， ，， ， ， ， 又是线段的中点 ， 为四边形的面积等分线； （3）如图3，延长至点H，使，连接， ， ，， ， ， ， ，且， ， ，， ， ，，，， ， ， ， ，且，， ， ， ， ， 是四边形的一条面积等分线， ， ． 5．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知：的顶点在的外部，点在直线上，且，，． (1)如图1，当点在线段的延长线上时，求证：； (2)如图2，当在线段上时，请写出线段之间的数量关系是_____； (3)如图3，当在线段的延长线上时，请写出线段之间的数量关系是_____． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，证明是关键． （1）证明，则，等量代换即可得到结论； （2）证明，则，等量代换即可得到结论； （3）证明，则，等量代换即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴ ∵， ∴ （2）线段之间的数量关系为：． ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴； （3）线段之间的数量关系为：． ∵，， ∴， ∴ ∵ ∵ 1．（2025·河北张家口·二模）为测量校园内的旗杆的高度，嘉嘉设计的方案是：如图，在距旗杆底端水平距离为的处，使用测角仪测得，由于75°角不方便计算，淇淇提出了一种解决问题的方案：在的延长线上取一点，将一根木棒竖直立在地面上的点处，，此时测得，故淇淇得出结论，进而推得，则下列选项中淇淇证明全等用到的依据可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．由全等三角形的判定定理或均可证得图中两个三角形全等，从而可得答案． 【详解】解：由题意可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴淇淇证明全等用到的依据可能是， 故选：B 2．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，垂直的平分线于点、为中点，连接，若的面积为4，则的面积为（    ）      A．1 B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的判定与性质，三角形中线的性质，延长交于点N，根据条件证明，可得，进而得到，再根据为中点，即可求解． 【详解】解：延长交于点N，如图，   ∵平分，垂直的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， 故选：A． 3．（2025·山东聊城·二模）在中，作的平分线交于点D，作的垂直平分线分别交于点E，交于点F，连接，，得到四边形．若，则四边形的周长为（    ） A．16 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查角平分线、垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质；解题关键是利用上述性质得出线段相等关系，进而求出四边形的周长． 先利用角平分线性质得，再由垂直平分线性质推出， ，通过证明得到，最后根据的值求出四边形各边长度，进而算出周长． 【详解】解：设与交点为 ∵平分， ∴． ∵是的垂直平分线， ∴， ，且． 在和中， ， ． ∴． ∵， ∴ ． ∴四边形的周长为． 故选：A． 4．（2025·福建·一模）已知，在中，，点在边的延长线上，沿平移线段得到线段．已知点在边上，当时，是以为斜边的等腰直角三角形，则线段的长是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平移的性质，全等三角形的性质与判定，由平移的性质可得，，则可证明，再证明，得到，则． 【详解】解：由平移的性质可得，， ∴， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5．（24-25八年级上·安徽六安·期中）在中，，，，在上取一点，使，过点作交的延长线于点，若，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂直的定义，全等三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握全等三角形性质和判定，结合垂直的定义证明，再利用全等是性质得到，，最后根据求解，即可解题． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， 故选：C． 6．（24-25八年级上·上海·期中）已知，在中，，，垂足为点H，平分，与相交于点D，过点D作，与边相交于点E，那么下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，先导角证明，再证明，可得，则D选项结论正确；根据现有条件无法证明A、B、C三个选项中的结论，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故D结论正确，符合题意； 根据现有条件无法证明A、B、C中的结论， 故选：D． 7．（2024·广东河源·一模）某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案： 甲方案 乙方案 如图1，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接，，并分别延长至，至，使，，最后测出的长即为A，B的距离． 如图2，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为A，B的距离． 下列说法正确的是（    ） A．甲的方案可行，乙的方案不可行 B．甲的方案不可行，乙的方案可行 C．甲、乙的方案均可行 D．甲、乙的方案均不可行 【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的应用．甲方案利用“”方法，证明，测出的长即为，的距离；乙方案利用“”方法，证明，测出的长即为，的距离． 【详解】解：甲方案：在和中， ， ∴， ∴， 乙方案：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∴甲、乙的方案均可行． 故选：C． 8．（24-25九年级上·山东德州·期末）如图，已知是的中线，是的中线，交的延长线于点E．若的面积为3，则的面积是（   ） A．3 B．6 C．12 D．24 【答案】C 【分析】本题主要考查全了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形中线的性质等知识点，根据平行线的性质得出，利用证明，再利用三角形的中线的性质得出面积关系，解答即可，关键是根据平行线的性质得出，利用证明． 【详解】解：， ， ∵是的中线， ， 在与中 ， ， ∴的面积的面积， ∵是的中线， ∴的面积， ∵是的中线， ∴的面积， 故选：C． 9．（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·期末）如图，在中，，的角平分线，相交于点，过作交的延长于点，交于点，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的面积等知识，利用三角形的内角和定理和角平分线的定义可判断①；证明，推出，再证明，推出即可判定②；可以证明，据此即可判定③；根据③中的可判断④． 【详解】解：①在中，， ∴， 又∵分别平分， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ②∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ③∵， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ，故③不正确； ④∵， ∴，即，故④正确； 所以，正确的结论有3个， 故选：C． 10．（2025七年级下·河南郑州·专题练习）如图，，且，且，，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积是 ． 【答案】50 【分析】题主要考查全等三角形的判定与性质、三角形面积，解答本题的关键是根据三角形全等求出的长，本题比较简单，但是计算时要细心． 由，可以得到，而，由此可以证明，所以；同理证得，进而求出FH，然后利用面积的割补法和梯形、三角形面积公式即可求出图形的面积． 【详解】因为， 所以，，所以， 因为， 所以， 所以． 同理证得， 所以， 所以， 所以． 11．（24-25七年级下·陕西西安·期中）用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为12，小正方形地砖面积为4，虚线依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形，则正方形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，连接，先证明，再根据正方形的对称性可得，据此证明，得到，则大正方形的面积，由此可得答案。 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴大正方形的面积， ∴正方形的面积 ． 故答案为：16． 12．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，AD是中线，若，于点F，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键．过点B作于H，延长至E，使，连接，利用AAS证明，，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可． 【详解】解：过点B作于H，延长至E，使，连接， ， ，， ， 是中线， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 13．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在中，点M在边上，，垂足为N，平分，的周长为18，，则的周长为 ． 【答案】24 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据角平分线和垂直证明，然后利用全等三角形的性质可得，，从而利用等量代换进行计算即可解答． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵的周长为18， ∴， ∴， ∴的周长， 故答案为：24． 14．（24-25七年级下·上海青浦·期末）如图，在中，，过点作，且，过点作，垂足为点，求线段的长． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，证明，得出，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 15．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，已知点C、E、F、B在同一直线上，，，，求证：．完成下面的说理过程（填空）． 证明：∵（已知） ∴（ ①） ∵（ ②） ∴ ③ ④ 即 ⑤ 在和中 ∴（ ⑧） ∴ ⑨（ ⑩） 【答案】①两直线平行，内错角相等；②已知；③；④；⑤；；；⑧；⑨；⑩全等三角形的对应边相等 【分析】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定和性质，由可得，结合已知条件，利用可证，由全等三角形的对应边相等，可得． 【详解】解：完整说理过程如下： 证明：∵（已知） ∴（两直线平行，内错角相等①） ∵（已知②） ∴③④ 即⑤ 在和中 ∴（⑧） ∴⑨（全等三角形的对应边相等⑩）， 故答案为：①两直线平行，内错角相等；②已知；③；④；⑤；；；⑧；⑨；⑩全等三角形的对应边相等． 16．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）某中学几名同学想利用所学知识测量某段渭河的宽度（宽度一定），测量方案：寻找对岸河边一棵树的位置记作点A，在该岸边寻找点，使垂直于河岸，因河边不安全，几名同学在该岸同侧平地上取点，使三点在同一直线上，且，测得，再在的延长线上取一点，使，这时测得的长就是该段渭河的宽度．你认为这几名同学的测量方案可行吗？请说明理由． 【答案】可行，见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、线段的和差等知识点，掌握三角形的判定与性质成为解题的关键． 由三角形内角和定理可得，即，再证明可得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：可行．理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴．即测得的长就是该段渭河的宽度． ∴这几名同学的测量方案可行． 17．（2025·河北沧州·模拟预测）【发现】如图1，线段，，相交于点，为的中点．求证： ； 【应用】如图2，有一块不规则的土地，，点，分别在和上，以为分割线，把土地分给了甲、乙二人，现经甲、乙二人协商，想把分割线变为最短，且保证甲、乙二人的土地面积不变，请给出你的方案，并证明方案的正确性． 【答案】[发现]见解析；[应用]见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的各种判定方法是解题关键． [发现]由中点定义得，由平行线的性质得、，根据即可证得； [应用] 取的中点，过点作于点，延长交于点，线段为新的分割线．利用两条平行线间垂线段最短，则此时分割线为最短，根据即可证得，可得，从而证明方案的正确． 【详解】[发现] 证明：∵为中点， ∴， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴． [应用] 解：如图，取的中点，过点作于点，延长交于点， 线段为新的分割线， 证明：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴根据两条平行线间垂线段最短，此时分割线为最短， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴甲分割出去的土地的面积等于补还给甲的土地的面积，甲和乙的土地面积没有发生改变． 18．（24-25七年级下·四川成都·期中）在中，，，点为射线上一动点（点不与点重合），连接，以为直角边在的右侧作等腰直角，． (1)如图1，当点在线段上时，过点作于，求的长度； (2)连接，交直线于点， ①如图2，当点运动到的延长线上时，求证：； ②点在运动过程中，若，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)①见解析②或 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）证明，即可得到； （2）①作，交的延长线于点，先证明，得到，再证明，即可得到结论； ②当在线段上时，由①得，，得到，求出，得到；当点在延长线上时，作于点,求出，得到． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， 等腰直角， 在和中， ， ； （2）①证明：如图，作，交的延长线于点， ， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； ②解：当在线段上时， 由①得，， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 当点在延长线上时， 如图，作于点,同①得,, ,,, , , ,即, , , , , ; 综上所述的长为或． 1 / 83 学科网（北京）股份有限公司 $$