1.2一元二次方程的解法（第3课时公式法）（教学课件）数学苏科版九年级上册

苏科版·九年级上册 1.2.3 一元二次方程的 解法——公式法 第一章 一元二次方程 章节导读 学 习 目 标 1 2 熟记求根公式，掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤 根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况 新知探究 思 考 1. 解方程：ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )。 解：∵a ≠ 0， ∴方程两边可同时除以a， ⇒ x2 + x + = 0， ⇒ x2 + x = ， ⇒ x2 + 2·x· + = + ， ⇒ = ， ∵a ≠ 0， ∴4a2 > 0， 接下来，我们要对的正负性进行判断 的正负取决于b2 - 4ac的正负 新知探究 思 考 ② 若b2 - 4ac < 0，则方程无实数根。 ① 若b2 - 4ac ≥ 0，则x + = ± = ± = ±， ⇒ x = ，∴x1 = ，x2 = ； 前面有“±”，可直接去掉a的绝对值符号 1. 解方程：ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )。 新知探究 思 考 2. 通过上面的解方程，你发现了什么？ 解：一元二次方程ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )的根是由a、b、c确定的， 若b2 - 4ac ≥ 0，则x = ； 若b2 -4ac < 0，则方程无实数根。 新知探究 求根公式： x = ( b2 - 4ac ≥ 0 )， 叫做一元二次方程ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )的求根公式。 公式法的定义： 解一元二次方程时，把各项系数的值直接代入求根公式， 若b2 - 4ac ≥ 0，就可以求得方程的根， 这种解一元二次方程的方法叫做公式法。 知识要点 典例分析 典例1 解方程：x2 + 3x + 1 = 0。 解：① 确定a、b、c的值：a = 1，b = 3，c = 1， ② 求出b2 - 4ac的值： b2 - 4ac = 32 - 4 × 1 × 1 = 5 > 0， ③ 套公式：x = = ， ∴x1 = ，x2 = 。 方法技巧 解题关键： 严格按照步骤计算。 典例分析 典例2 解方程：3x2 = 4x - 1。 解：① 把方程化成一般形式：3x2 - 4x + 1 = 0， ② 确定a、b、c的值：a = 3，b = -4，c = 1， ③ 求出b2 - 4ac的值：b2 - 4ac = ( - 4 )2 - 4 × 3 × 1 = 4 > 0， ④ 套公式：x = = = ，∴x1 = 1，x2 = 。 注意： 不是一般形式，不可以直接确定a、b、c的值 新知探究 用公式法解一元二次方程的一般步骤： ① 把方程化成一般形式 ( 建议二次项系数为正，且方程中无分数 )； ② 确定a、b、c的值 ( 注意符号 )； ③ 求出b2 - 4ac的值； ④ 若b2 - 4ac ≥ 0，则把a、b、c的值代入求根公式； 若b2 - 4ac < 0，则方程无实数根。 求根公式的前提条件：① a ≠ 0；② b2 - 4ac ≥ 0。 知识要点 典例分析 典例3 解方程：-x2 + 2x - 5 = 0。 解：①方程两边同时乘以-1：x2 - 2x + 5 = 0， ② 确定a、b、c的值：a = 1，b = -2，c = 5， ③ 求出b2 - 4ac的值：b2 - 4ac = ( -2 )2 - 4 × 1 × 5 = 0， ④ 套公式：x = = ，∴x1 = x2 = 。 二次项系数不为正，可先化为正 ：方程两边同时乘以-1 典例分析 典例4 解方程：x2 + 3x + 5 = 0。 方程中含有分数，可先去分母 ：方程两边同时乘以2 解：① 方程两边同时乘以2：x2 + 6x + 10 = 0， ② 确定a、b、c的值：a = 1，b = 6，c = 10， ③ 求出b2 - 4ac的值：b2 - 4ac = 62 - 4 × 1 × 10 = -4 < 0， ∴方程无实数根。 新知探究 探究活动 通过下列表格，对一元二次方程ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )的根的情况进行总结。 方程 b2 - 4ac 方程的根 x2 + 3x + 1 = 0 > 0 x1 = ，x2 = 3x2 = 4x - 1 > 0 x1 = 1，x2 = -x2 + 2x - 5 = 0 = 0 x1 = x2 = x2 + 3x + 5 = 0 < 0 无实数根 两个不相等 的实数根 两个相等 的实数根 无实数根 新知探究 根的判别式： 我们把Δ = b2 - 4ac叫做一元二次方程ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )的根的判别式。 一元二次方程ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )的根的情况： ① 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根； ② 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根； ③ 当Δ < 0时，方程无实数根。 知识要点 注意： 两个相等的实数根不是一个实数根哦！！！ 典例分析 典例5 判断下列一元二次方程的根的情况： ( 1 ) x2 + 2x - 5 = 0； ( 2 ) 2x2 - 5x + 6 = 0； ( 3 ) x2 + 1 = 2x； ( 4 ) x2 + kx + k - 1 = 0。 解：( 1 )∵a = 1，b = 2，c = -5， ∴Δ = b2 - 4ac = 22 - 4 × 1 × ( -5 ) = 24 > 0， ∴方程有两个不相等的实数根； ( 2 )∵a = 2，b = -5，c = 6， ∴Δ = b2 - 4ac = ( -5 )2- 4 × 2 × 6 = -23 < 0， ∴方程无实数根； 分析：先求出Δ的值， 再根据Δ的值的正负判断。 典例分析 ( 3 ) x2 - 2x + 1 = 0， ∵a = 1，b = -2，c = 1， ∴Δ = b2 - 4ac = ( - 2 )2 - 4 × 1 × 1 = 0， ∴方程有两个相等的实数根； ( 4 ) ∵a = 1，b = k，c = k - 1， ∴Δ = b2 - 4ac = k2 - 4 × 1 × ( k - 1) = ( k - 2 )2 ≥ 0， ∴方程有两个实数根。 典例5 判断下列一元二次方程的根的情况： ( 1 ) x2 + 2x - 5 = 0； ( 2 ) 2x2 - 5x + 6 = 0； ( 3 ) x2 + 1 = 2x； ( 4 ) x2 + kx + k - 1 = 0。 题型探究 【例1】解方程：3x2 - 6x - 2 = 0。 公式法解方程 题型一 解：a = 3，b = -6，c = -2， Δ = b2 - 4ac = ( -6 )2 - 4 × 3 × ( -2 ) = 60 > 0， x = = = ， ∴x1 = 1 + ，x2 = 1 - 。 题型探究 【例2】以x = 为根的一元二次方程可能是（　　） A．x2 - 4x - c = 0 B．x2 + 4x - c = 0 C．x2 - 4x + c = 0 D．x2 + 4x + c = 0 根据求根公式反推一元二次方程 题型二 解：四个选项的a都等于1，不妨设方程为x2 + bx + m = 0， 根据求根公式：x = = ， ∴b = -4，m = -c， ∴方程可能是x2 - 4x - c = 0。 A 题型探究 【例3】已知关于x的方程，x2 - ( k + 1 ) x + k = 0，则下列说法正确的是（　　） A．不存在k的值，使得方程有两个相等的实数解 B．至少存在一个k的值，使得方程没有实数解 C．无论k为何值，方程总有两个实数根 D．无论k为何值，方程有两个不相等的实数根 判别式法判断一元二次方程的根的情况 题型三 解：∵a = 1，b= - ( k + 1 )，c = k， ∴Δ = b2 - 4ac = [- ( k + 1 )]2 - 4k = ( k - 1 )2 ≥ 0， ∴方程有两个实数根。 C 题型探究 【例4】如果关于x的一元二次方程k2x2 - ( 2k + 1 ) x + 1 = 0有两个不相等的实数根，求k的取值范围。 根据一元二次方程的根的情况求参 题型四 解：∵一元二次方程k2x2 - ( 2k + 1 ) x + 1 = 0有两个不相等的实数根， a = k2 ≠ 0，b = - ( 2k + 1 )，c = 1， ∴Δ = b2 - 4ac > 0且k2 ≠ 0， ∴[ - ( 2k + 1 )]2 - 4k2 > 0且k2 ≠ 0，解得：k > 且k ≠ 0。 课堂小结 求根公式： x = ( b2 - 4ac ≥ 0 )，叫做一元二次方程ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )的求根公式。 公式法的定义： 解一元二次方程时，把各项系数的值直接代入求根公式， 若b2 - 4ac ≥ 0，就可以求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法。 课堂小结 用公式法解一元二次方程的一般步骤： ① 把方程化成一般形式 ( 建议二次项系数为正，且方程中无分数 )； ② 确定a、b、c的值 ( 注意符号 )； ③ 求出b2 - 4ac的值； ④ 若b2 - 4ac ≥ 0，则把a、b、c的值代入求根公式； 若b2 - 4ac < 0，则方程无实数根。 求根公式的前提条件：① a ≠ 0；② b2 - 4ac ≥ 0。 课堂小结 根的判别式： 我们把Δ = b2 - 4ac叫做一元二次方程ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )的根的判别式。 一元二次方程ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )的根的情况： ① 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根； ② 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根； ③ 当Δ < 0时，方程无实数根。 感谢聆听! $$