精品解析：上海市嘉定区2024-2025学年高二下学期期末质量调研数学试卷

2024学年第二学期高二年级质量调研 数学试卷 考生注意： 1．本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页． 2．作答前，考生在答题纸正面填写姓名、学校、班级，粘贴考生本人条形码．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷胚号对应的区域，不得错位．在草稿纸、试上作答一律不得分． 3．用2B铅笔作答选择题，用黑色笔迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 两个球体积之比为8 ：27，则这两个球的表面积之比为________． 2. 圆上有10个不同的点，以其中任意3个点为顶点，可以组成______个不同的三角形． 3. 某高中二年级共有学生425名，其中男生204名，女生221名，为了解该校高二年级学生的身高情况，从中抽取50名学生测量身高，若采用分层随机抽样的方法，则要抽取男生的人数为______． 4. 在正四面体中，N是面的中心，设，，，则用、、的线性组合可表示为______． 5. 已知等比数列的前项和为，则__________. 6. 某个品种的小麦麦穗长度（单位：cm）的样本数据在7~12cm之间，其茎叶图如图所示（整数部分作为茎，小数部分作为叶），则该样本数据的第75百分位数是______． 7. 在的二项展开式中，系数最大的项是______． 8. 已知抛物线上的一点P到焦点的距离为9．且点P在第一象限内，则点P的坐标为______． 9. 函数​的最小值为_____. 10. 在相距2000m两个观察站A、B先后听到远处传来的爆炸声，已知A站听到的时间比B站早4s，声速是340m/s，根据以上信息，爆炸点位于以A、B为焦点的双曲线上，该双曲线的离心率是______． 11. 如图，在棱长为1的正方体中，点P是对角线上的动点（点P与点A、不重合），则直线与所成角的取值范围是______． 12. 甲抛掷2枚硬币，乙抛掷3枚硬币，则甲得到的正面数比乙得到的正面数少的概率是______． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 平面截正方体所得的截面不可能是（ ） A 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形 14. 命题p：从一副去掉大小王的52张克牌中随机抽取1张牌，事件A表示“取得的牌面数是10”，事件B表示“取得的牌的花色是红桃”，事件是独立的． 命题q：掷一颗骰子，事件A表示“结果是偶数”，事件B表示“结果是奇数”，事件是独立的．以下判断正确的是（ ） A. p、q都是真命题 B. p是真命题，q是假命题 C. p是假命题，q是真命题 D. p、q都是假命题 15. 图是某市3月1日至14日空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，则空气质量指数方差最大的连续三天是（ ） A. 3日、4日、5日 B. 4日、5日、6日 C. 5日、6日、7日 D. 6日、7日、8日 16. 对任意正整数n有，且为严格增数列的的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 无穷多 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 如图，在正四棱锥中，O为底面的中心，，，为的中点． （1）求证：； （2）求二面角的大小． 18. 一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有1、2、3、4．现从盒子中随机抽取卡片． （1）若一次抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和小于8的概率； （2）若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，再放回后再抽取1张卡片，求这三次抽取的卡片上的数字的极差大于2的概率． 19. 某数学兴趣小组对某饮料生产商的某种易拉罐通过数学建模进行研究． （1）基于以下假设： ①易拉罐近似看成一个圆柱体，体积一定（记为V）； ②罐体各部分所用材料相同： ③易拉罐接口处的所用材料忽略不计； ④易拉罐的上、下罐顶厚度是其它部分的2倍，其余部分厚度均相同，厚度远小于易拉罐的高或底面半径； ⑤假设易拉罐本身（不含饮料）的质量与材料成本成正比； ⑥在满足体积要求的情况下，饮料生产商希望包装材料的成本最低，也就是易拉罐本身的质量最小． 求易拉罐的高与底边直径的比． （2）设易拉罐的中心纵断面（经过易拉罐上、下罐顶的圆心，且与上、下罐顶所在圆面垂直的截面）如图所示，即上面部分是一个圆台，下面部分是一个圆柱体．尺寸如表中如示： 圆台 上底半径 r 下底半径 R 高度 h 圆柱 半径 R 高度 H 推导圆台的体积公式，并求该易拉罐的体积． 20. 如图，直线与椭圆交于A、B两点，记的面积为S． （1）当，时，求S； （2）当，时，求直线AB的方程； （3）求S最大值． 21. “绣曲线”指的是由多条线段构成的看似曲线的图案．如：在一个角的两边各取一些点（如图1），将这些点两两连成线段（如图2），就得到由线段构成的“绣曲线”． “绣曲线”与直线族及其包络有关，直线族是指具有某种共同性质的直线的全体．如：方程，当k取定时，表示一条直线；当k变化时，表示过点的直线（除y轴外）的直线族．直线族的包络被定义为这样一条曲线：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上每一点处的切线都是该直线族中的某条直线． 已知：在直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是．当实数a变化时，动直线AB组成的直线族记为． （1）判断点是否在中的某条直线上，并说明理由； （2）点不在中的任意一条直线上，求的取值范围； （3）写出的包络的方程，并给出证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期高二年级质量调研 数学试卷 考生注意： 1．本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页． 2．作答前，考生在答题纸正面填写姓名、学校、班级，粘贴考生本人条形码．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷胚号对应的区域，不得错位．在草稿纸、试上作答一律不得分． 3．用2B铅笔作答选择题，用黑色笔迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 两个球的体积之比为8 ：27，则这两个球的表面积之比为________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：设两球半径分别为，由可得，所以．即两球的表面积之比为． 考点：球的表面积，体积公式． 2. 圆上有10个不同的点，以其中任意3个点为顶点，可以组成______个不同的三角形． 【答案】120 【解析】 【分析】根据圆周上任意三点不会共线，任选三点用组合数公式计算即可. 【详解】因为三点在圆周上，所以三点是不会共线的， 所以从十个点中任选三个点即可构成三角形， 所以可以组成不同的三角形的个数为. 故答案为：120. 3. 某高中二年级共有学生425名，其中男生204名，女生221名，为了解该校高二年级学生的身高情况，从中抽取50名学生测量身高，若采用分层随机抽样的方法，则要抽取男生的人数为______． 【答案】 【解析】 【分析】应用分层抽样的等比例关系求样本中要抽取男生的人数. 【详解】由分层抽样的等比例性质，要抽取男生为人. 故答案为： 4. 在正四面体中，N是面的中心，设，，，则用、、的线性组合可表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据N是面的中心得出，再结合向量的减法计算求解. 【详解】 因为N是面的中心，所以延长交于，是中点，且， . 故答案为：. 5. 已知等比数列前项和为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由求出，检验首项即得参数值. 【详解】由，当时，；当时，， 因是等比数列，故时，，解得,此时，，符合题意. 故答案为：. 6. 某个品种的小麦麦穗长度（单位：cm）的样本数据在7~12cm之间，其茎叶图如图所示（整数部分作为茎，小数部分作为叶），则该样本数据的第75百分位数是______． 【答案】10.2 【解析】 【分析】根据茎叶图得出从小到大的数据，利用百分位数定义直接求解即可. 【详解】由题知，样本数据有， 共个，则， 则这组数据的第百分位数为. 故答案为： 7. 在的二项展开式中，系数最大的项是______． 【答案】 【解析】 【分析】二项式展开式列出系数不等式组计算求解即可得答案. 【详解】令第项的系数最大，则，解得， 因为，所以时，二项展开式中系数最大， 则二项展开式中系数最大的项为. 故答案为：. 8. 已知抛物线上的一点P到焦点的距离为9．且点P在第一象限内，则点P的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】设点，其中，根据抛物线的焦半径公式，求得，进而求得，即可的得到答案. 【详解】由抛物线，可得焦点坐标为，准线方程为， 因为点在第一象限，可设点，其中， 又因为点到焦点距离为，可得，解得， 则，可得，所以点的坐标为. 故答案为：. 9. 函数​的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】求导后，根据正负可确定单调性，由此可得最值点，从而求得最值. 【详解】的定义域为，， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， . 故答案为：. 10. 在相距2000m的两个观察站A、B先后听到远处传来的爆炸声，已知A站听到的时间比B站早4s，声速是340m/s，根据以上信息，爆炸点位于以A、B为焦点的双曲线上，该双曲线的离心率是______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意结合双曲线的定义与方程求解离心率即可. 【详解】如图，以的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，则，    设爆炸点为， 由题意可得：， 所以爆炸点在以为焦点的双曲线上（左半支）， 设双曲线的焦距为，实轴长为，虚轴长为， 可得，所以双曲线的离心率是. 故答案为：. 11. 如图，在棱长为1的正方体中，点P是对角线上的动点（点P与点A、不重合），则直线与所成角的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据，得到数量积及模长，再根据夹角公式结合值域计算，最后应用角的范围求解即可. 【详解】因为点P是对角线上的动点，所以， 所以， 所以 设直线与所成角为， ， 设，单调递增，所以，所以， 所以，所以， 故答案为：. 12. 甲抛掷2枚硬币，乙抛掷3枚硬币，则甲得到的正面数比乙得到的正面数少的概率是______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】设事件表示正面个数，，事件表示正面个数，，计算，设事件表示甲得到的正面数比乙得到的正面数少，即，代入计算即可. 【详解】设事件表示正面个数，，事件表示正面个数，， 所以，， 设事件表示甲得到的正面数比乙得到的正面数少， 所以， 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 平面截正方体所得的截面不可能是（ ） A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形 【答案】D 【解析】 【分析】通过分析平面去截正方体时，平面与正方体各面相交的情况，来判断可能得到的截面形状，从而确定不可能出现的截面形状. 【详解】当平面与正方体的三个面相交时，可以得到三角形截面；  当平面与正方体的四个面相交时，能够得到四边形截面； 当平面与正方体的五个面相交时，会形成五边形截面；  当平面与正方体的六个面都相交时，就得到六边形截面；  由于正方体只有六个面，所以平面与其六个面相交最多得六边形，不可能得到七边形或多于七边的图形. 故选：. 14. 命题p：从一副去掉大小王的52张克牌中随机抽取1张牌，事件A表示“取得的牌面数是10”，事件B表示“取得的牌的花色是红桃”，事件是独立的． 命题q：掷一颗骰子，事件A表示“结果是偶数”，事件B表示“结果是奇数”，事件是独立的．以下判断正确的是（ ） A. p、q都是真命题 B. p是真命题，q是假命题 C. p假命题，q是真命题 D. p、q都是假命题 【答案】B 【解析】 【分析】由题意求，验证即可求解. 【详解】由题意有命题， 所以事件是独立的，故命题是真命题； 命题， 所以事件不是独立的，故命题是假命题. 故选：B. 15. 图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，则空气质量指数方差最大的连续三天是（ ） A. 3日、4日、5日 B. 4日、5日、6日 C. 5日、6日、7日 D. 6日、7日、8日 【答案】C 【解析】 【分析】结合方差越大，说明数据的波动性越大，然后根据图表即可判断. 【详解】因为方差越大，说明三天的空气质量指数越不稳定，即波动越大， 由图可知从5日开始连续5，6，7三天的空气质量指数方差最大. 故选：C. 16. 对任意正整数n有，且为严格增数列的的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 无穷多 【答案】B 【解析】 【分析】构造数列可得为等比数列，进而可得的通项公式，结合，恒成立，求解的值即可. 【详解】因为，所以， 所以为等比数列，首项为，公比为， 所以，即， 因为为严格递增数列，所以，恒成立， 即，恒成立， 所以当为奇数时，恒成立，且当为偶数时，恒成立， 当为奇数时，恒成立， 因为随的增大而减小，所以，故， 当为偶数时，恒成立， 因为随的增大而增大，所以，故， 所以，故， 所以满足条件的数列的个数为个. 故选：B. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 如图，在正四棱锥中，O为底面的中心，，，为的中点． （1）求证：； （2）求二面角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得； （2）连接，证得和，得到是二面角的平面角，再证得平面，得到，在等腰直角中，即可求解. 小问1详解】 证明：由四棱锥为正棱锥，且O为底面的中心，可得底面， 因为底面，所以， 又因为四边形为正方形，可得， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以． 【小问2详解】 解：连接，因为平面，平面，所以， 又因为，所以是二面角的平面角， 由，可得，为的中点，可得， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 在直角中，为的中点，可得， 在等腰直角中，可得，所以二面角的大小为. 18. 一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有1、2、3、4．现从盒子中随机抽取卡片． （1）若一次抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和小于8的概率； （2）若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，再放回后再抽取1张卡片，求这三次抽取的卡片上的数字的极差大于2的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）列出符合题意的基本事件，再由古典概型的概率公式计算可得； （2）列出符合题意的基本事件，再由古典概型的概率公式计算可得. 【小问1详解】 一次抽取3张卡片所得的样本空间是，共有4个样本点，它们是等可能的， 其中样本点、的数字之和小于8， 则3张卡片上数字之和小于8的概率是． 【小问2详解】 这三次抽取的卡片上的数字的总的结果有种情况，每一种情况是等可能的． 极差大于2的情况，一定有1、4，、各有3种，、各有6种，共18种， 则概率为． 因此，这三次抽取的卡片上的数字的极差大于2的概率是． 19. 某数学兴趣小组对某饮料生产商的某种易拉罐通过数学建模进行研究． （1）基于以下假设： ①易拉罐近似看成一个圆柱体，体积一定（记为V）； ②罐体各部分所用材料相同： ③易拉罐接口处的所用材料忽略不计； ④易拉罐的上、下罐顶厚度是其它部分的2倍，其余部分厚度均相同，厚度远小于易拉罐的高或底面半径； ⑤假设易拉罐本身（不含饮料）的质量与材料成本成正比； ⑥在满足体积要求的情况下，饮料生产商希望包装材料的成本最低，也就是易拉罐本身的质量最小． 求易拉罐的高与底边直径的比． （2）设易拉罐的中心纵断面（经过易拉罐上、下罐顶的圆心，且与上、下罐顶所在圆面垂直的截面）如图所示，即上面部分是一个圆台，下面部分是一个圆柱体．尺寸如表中如示： 圆台 上底半径 r 下底半径 R 高度 h 圆柱 半径 R 高度 H 推导圆台的体积公式，并求该易拉罐的体积． 【答案】（1）2 （2）， 【解析】 【分析】（1）由题意整理易拉罐本身的质量的函数解析式，利用导数研究其单调性，从而求其最值，可得答案； （2）根据圆锥的体积公式，可得答案. 【小问1详解】 设易拉罐的高为h与底边半径为r，则． 依题意，即求当取最小值时的值． ， 令，求导可得， 令，解得，由得，由得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故，即时取最小值． 因此，易拉罐的高与底边直径的比是2． 【小问2详解】 圆台的体积可看成是两个圆锥的体积的差，当圆台的上底面半径为r，下底面半径是R，高为h时， 设小圆锥的高为x，则有，解得． 因此圆台的体积为：． 该易拉罐的体积为． 20. 如图，直线与椭圆交于A、B两点，记的面积为S． （1）当，时，求S； （2）当，时，求直线AB的方程； （3）求S的最大值． 【答案】（1） （2） （3）最大值是1 【解析】 【分析】（1）设出交点坐标，联立方程，求得交点坐标，根据三角形面积公式，可得答案； （2）联立方程，写出韦达定理，根据三角形面积公式与弦长公式，化简方程，可得答案； （3）由（2）可知弦长表达式，根据基本不等式，可得答案. 【小问1详解】 设，．由得，解得，， 可得下图： 则．因此． 小问2详解】 由得． 由， 可得，， 由，得． 又， 代入，得，解得，． 直线AB的方程是． 【小问3详解】 ． 由基本不等式得， 当且仅当，等号成立． 由第（2）小题的结论知，S可以取到1，因此S的最大值是1． 21. “绣曲线”指的是由多条线段构成的看似曲线的图案．如：在一个角的两边各取一些点（如图1），将这些点两两连成线段（如图2），就得到由线段构成的“绣曲线”． “绣曲线”与直线族及其包络有关，直线族是指具有某种共同性质的直线的全体．如：方程，当k取定时，表示一条直线；当k变化时，表示过点的直线（除y轴外）的直线族．直线族的包络被定义为这样一条曲线：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上每一点处的切线都是该直线族中的某条直线． 已知：在直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是．当实数a变化时，动直线AB组成的直线族记为． （1）判断点是否在中的某条直线上，并说明理由； （2）点不在中的任意一条直线上，求的取值范围； （3）写出的包络的方程，并给出证明． 【答案】（1）在，理由见解析 （2） （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）由两点坐标，则可得直线方程，代入已知点，根据一元二次方程的性质，可得答案； （2）由（1）所得直线方程，代入已知点，根据一元二次方程无解的情况，建立不等式，可得答案； （3）由题意写出曲线方程，利用导数的几何意义，求得任意一点的切线方程，整理可得答案. 【小问1详解】 由，，则直线的斜率， 所以直线AB的方程为 将的坐标代入AB的方程，得到关于a的方程， 即，因为，所以此方程有实数解， 因此点在中的某条直线上． 【小问2详解】 点不在中的任意一条直线上， 所以关于a的方程无实数解，即无实数解． 因此，解得． 因此，的取值范围是． 【小问3详解】 的包络是抛物线． 证明如下： 过点和的直线的方程是， 该直线与抛物线切于点． 设为抛物线上任意一点，由函数求导可得， 在处的切线方程是， 将代入整理得，． 取，该切线方程为， 整理得，是过点和的直线． 因此，抛物线是的包络． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $