（温故知新篇）专题01 因数和倍数（导图+技巧点拨+10个高频考点+真题强化 共50题）-2025年人教版数学五升六年级暑假衔接金牌培优讲义（学生版+教师版）

五年级/下册 小学数学 · 2025-2026学年数学五升六年级暑期学习金牌培优讲义【温故知新篇】 人教版 专题01 因数和倍数 专题01 因数和倍数 暑假衔接 导图+技巧点拨+考点讲练+真题强化 （共50题） 考点讲练练 浏览知识 知晓考点 真题强化 思维导图 技巧点拨 真题汇编 查漏补缺 重点难点 优选题型 知识梳理 方法提炼 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 同学，你好！该份讲义主要以复习五年级下学期内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，知识梳理，解题技巧点拨，高频考点真题讲练，优选题培优训练20题等5大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 高频考点讲练01：因数和倍数的认识 【典例精讲】（24-25五年级下·安徽黄山·期中）《西游记》是中国古典四大名著之一。小说中的孙悟空有七十二般变化，72的最小因数是( )，最小倍数是( )。 【演练1】（24-25五年级下·湖南永州·阶段练习）在算式14×5＝60，14和5是60的( )数；60是14和5的( )数。 【演练2】（2025五年级下·全国·专题练习）在不超过800的正整数中，有多少个数有奇数个因数？ 高频考点讲练02：找一个数的因数及因数的特征 【典例精讲】（23-24五年级下·江西吉安·期末）一个数既是51的因数，又是17的倍数，这个数最小是( )，最大是( )。 【演练1】（2025五年级下·全国·专题练习）彤彤和小伙伴们玩一个游戏，用边长1cm的小正方形拼一个大长方形（要求所选小正方形全部用完，中间没有空格），谁拼出的大长方形多，谁就获胜。现在可选的小正方形有三堆，分别有45，24，27个；彤彤想赢这场比赛，于是展开了探究活动。 (1)她以“45”为例，画图思考，拼成的大长方形如果每排摆9个小正方形，正好可以摆( )排；如果每排摆15个小正方形，可以摆( )排，这样就拼成两个不同的大长方形。 (2)发现：拼成大长方形每排用小正方形的个数和排数都是45的( )。 (3)要想赢比赛，应该选有( )个小正方形的那一堆；因为( )。 【演练2】．（22-23五年级下·湖北武汉·期末）一个自然数有四个因数，分别是A、3、5、B，这个自然数是( )。 高频考点讲练03：根据因数的特征解决问题 【典例精讲】（24-25五年级下·全国·单元测试）红树林是生长在海水中的森林，某座海脊（也称“海底山脉”）两边一共有m棵红树林，若m＝a×b×c（a、b、c是互不相同的质数），则m有（    ）个因数。 A．3 B．4 C．6 D．8 【演练1】（23-24五年级下·湖北十堰·期中）学校合唱团有48人准备排练“六一儿童节”节目，如果将这48人平均分成若干个小组，每组人数不少于4人，不多于10人。有几种分法？写出你的方法。 【演练2】（2007四年级·全国·竞赛）144个橘子平均分成若干份，使每份橘子的个数在10~100的范围内，有 种分法。 高频考点讲练04：找一个数的倍数及倍数的特征 【典例精讲】（24-25五年级下·内蒙古通辽·阶段练习）1的因数有( )个，9的因数有( )个，10的倍数有( )个。 【演练1】（24-25五年级下·宁夏银川·期中）2024年7月30日，我国选手王楚钦和孙颖莎一路“过关斩将”获得中国奥运会乒乓球混双首金。实验小学六（1）班热爱兵乓球的学生们在家观看了比赛，观看比赛的人数是8的倍数，且在60~70人之间。六（1）班观看比赛的学生有多少人？ 【演练2】（22-23五年级下·江西吉安·期末）一个非0自然数的最大因数和最小倍数的和是20，这个数是（    ）。 A．18 B．19 C．20 D．10 高频考点讲练05：根据倍数的特征解决问题 【典例精讲】（2025五年级下·全国·专题练习）小兵在文具店买了3本笔记本、1支钢笔、2支自动铅笔和4块橡皮。笔记本每本2元，钢笔每支5元，自动铅笔和橡皮的价格小兵记不清了售货员要小兵付18元，小兵马上说售货员把账算错了，你知道为什么吗？ 【演练1】（21-22五年级下·浙江温州·期中）小明的妈妈从批发市场买来90千克大枣，如果每15千克装一包，能正好装完吗？还可以怎么装？能装多少包？ 【演练2】（21-22五年级上·四川巴中·期末）小明、小军两人玩游戏，掷骰子定输赢，（骰子6个面的点数分别是1、2、3、4、5、6）。如果朝上的一面是2的倍数小军赢，朝上的一面是3的倍数小明赢。请你评判一下，这样的游戏规则公平吗？为什么？如果不公平请你设计一个公平的游戏规则。 高频考点讲练06：倍数和因数的综合应用 【典例精讲】（22-23五年级下·河南安阳·期中）一个数，它既是48的因数，又是8的倍数，这个数最大是（    ）。 A．8 B．24 C．48 D．96 【演练1】（22-23五年级上·湖北宜昌·期末）小明妈妈今年的年龄既是70的因数，又是5的倍数，她今年是（    ）岁。 A．20 B．35 C．45 D．50 【演练2】（18-19五年级下·全国·期中）请你按下面的要求为明明家设计一个四位数的门牌号。 （1）a，b，c，d代表的数字各不相同，并且分别代表6的一个因数。 （2）a，b组成的数ab既是3的倍数，又是7的倍数。 （3）4和9都是c，d组成的数cd的因数。 高频考点讲练07：奇数与偶数的认识 【典例精讲】（24-25五年级下·湖南怀化·期中）用3、5、9、1、0这五个数字组成符合要求的五位数。 (1)最小的偶数是( )； (2)最大的奇数是( )； (3)写出一个是5的倍数的数( )； (4)最大的2和5的倍数是( )。 【演练1】（23-24五年级上·河南商丘·期末）三张卡片上分别写着2、3、5，淘气和笑笑分别从中抽取一张，若两人抽取的卡片的数字之积是奇数，则淘气胜；若是偶数，则笑笑胜，这个游戏（    ）。 A．淘气胜的可能性大 B．笑笑胜的可能性大 C．两人胜的可能性一样大 D．无法判断 【演练2】（2014六年级·全国·竞赛）对自然数n进行如下操作：如果n是偶数，就把它除以2；如果n是奇数，就把它加上105。现在对123进行有限次操作，得到的结果不可能是（    ）。 A．57 B．99 C．100 D．114 高频考点讲练08：2、3、5的倍数特征综合 【典例精讲】（24-25五年级下·安徽黄山·期中）从0，4，5，6这四个数字中取出两个组成的两位数中，同时是2，3的倍数的最大两位数是( )，取出三个组成的三位数中，同时是2，3，5的倍数的最大三位数是( )。 【演练1】（24-25五年级下·湖南衡阳·期中）941至少增加( )是3的倍数，至少减少( )是5的倍数，至少增加( )同时是3和5的倍数。 【演练2】2025五年级下·全国·专题练习）一台电脑的锁屏密码是一个四位数“5口7口”，已知这个四位数既有因数2，又是3和5的倍数，要找到正确密码，最多需要输入（    ）。 A．4次 B．5次 C．6次 D．10次 高频考点讲练09：质数与合数的综合应用 【典例精讲】（23-24五年级下·山西晋中·期中）生命在于运动，有人说走路是最好的运动，妈妈每天坚持走路，今天她的运动步数是一个五位数，位居排行榜第一。这个数万位上的数既不是质数也不是合数，千位上的数是10以内最大的质数，百位上的数是最大的一位数，十位上的数是最小的偶数，个位上的数是最小的合数。这个五位数是( )。 【演练1】（24-25五年级下·全国·单元测试）某村大力发展苗木花卉种植业，兴建现代化温室大棚。 （1）其中一座用于花卉种植的温室大棚长度和跨度（宽）都是以米为单位的两位质数，且跨度不大于15米。大棚的底面周长为156米，则大棚的底面面积是多少？ （2）温室大棚产出花卉的量比自然种植要高，自然种植和大棚种植同一花卉的面积相同，自然种植每10平方米产出的花卉有91朵，大棚种植每10平方米产出的花卉朵数是自然种植产出花卉朵数的所有因数之和，那么大棚种植每10平方米产出的花卉有多少朵？ 【演练2】（20-21五年级下·福建漳州·期中）如果a×（b＋c）＝209，并且a、b、c是不同的质数（c＜b），那么a、b、c各代表多少？ 高频考点讲练10：运算性质（奇数和偶数） 【典例精讲】（2024五年级下·广东广州·专题练习）下列说法正确的是（    ）。 A．所有的质数都是奇数 B．一个数不是质数就是合数 C．两个奇数的差一定是奇数 D．是4的倍数的数一定是偶数 【演练1】（23-24五年级下·湖北襄阳·期末）围棋起源于中国，属琴棋书画四艺之一。一共有361枚棋子，分为黑、白两色。如果黑色棋子是奇数枚，那么白色棋子的枚数一定是（    ）。 A．偶数 B．奇数 C．质数 D．合数 【演练2】（21-22五年级下·全国·假期作业）a、b、c是100以内的3个质数，使得a＋b＝c成立的不同质数算式共有（    ）个。 A．6 B．7 C．8 D．9 1．（24-25五年级下·湖南岳阳·期中）下面说法错误的是（    ）。 A．所有的质数都是奇数 B．个位是0的数一定是2和5的倍数 C．两个质数的积一定是合数 2．（24-25五年级下·安徽黄山·期中）一个五位数28A3B是3的倍数，那么A＋B的和可能是（    ）。（A、B都是自然数） A．10 B．4 C．8 D．6 3．（24-25五年级下·广西河池·期中）一个数既是36的因数，同时又有因数2和9，这个数可能是（    ）。 A．9 B．36 C．2 4．（23-24六年级下·湖北武汉·开学考试）有101个不同的正整数，在这101个数中有100个数互相不成倍数，但任意两数的和是2的倍数，任意三个数的和是3的倍数，任意四个数的和是4的倍数，任意六个数的和是6的倍数，则这101个数平均数的最小值可能是（    ）。 A．505 B．600 C．601 D．606 5．（23-24五年级下·安徽黄山·期末）20以内的数中，最小的质数是( )，最大的质数是( )；两位数中最大的合数是( )。 6．（23-24五年级下·河北保定·期末）两位数8▲和◎8都既是2的倍数又是3的倍数，▲最小是( )，◎最大是( )。 7．（24-25五年级下·天津和平·期中）有四个数，其中每三个数的和分别是45、46、49、52，那么这四个数中最小的一个数是( )。 8．（2025五年级下·全国·专题练习）已知：A＝4×999＋5×99＋6×9＋（4＋5＋9），B＝2×999＋4×99＋8×9＋（2＋4＋8＋5），C＝2×1000＋2×100＋3×10＋6。那么A、B、C三个数中，( )是3的倍数。 9．（24-25五年级下·山东济宁·期中）在三位数4□0的方框里填入一个数字，使它同时是2、3、5的倍数，最多有2种填法。( )（判断对错） 10．（24-25五年级下·广西河池·期中）因为4÷0.8＝5，所以4是0.8和5的倍数，0.8和5是4的因数。( )（判断对错） 11．（24-25五年级下·山东济宁·期中）班长去商店给同学们购买圆珠笔，班长买了若干支，每支3元，最后结账时，收银员说一共236元，班长认为收银员算得不对。你同意班长的意见吗？为什么？ 12．（23-24五年级下·江西吉安·期末）一块长方形菜地的长和宽都是以米为单位的质数，周长是36m，这块长方形菜地的面积最大是多少平方米？ 13．（2025五年级下·全国·专题练习）判断以下6个数的整除性： 8875，198954，6512，93625，864，407。 （1）哪些数能被4整除？哪些数能被8整除？ （2）哪些数能被25整除？哪些数能被125整除？ 14．（2024五年级下·全国·专题练习）有三个自然数a、b、c（a、b、c均为质数），已知a×b＝35，b×c＝55，c×a＝77，求a、b、c三个数的乘积。 15．（20-21六年级下·浙江·期中）将两筐苹果分给甲、乙两个班，每班一筐。如果甲班每人分13个苹果，就有1人分得6个苹果；如果乙班每人分得10个，就有1人分得5个苹果。已知两筐苹果数相等，且每筐苹果数都在100个以上，200个以下。问甲、乙两班各有多少人？每筐苹果各有多少个？ 16．（2021三年级下·全国·竞赛）一圈小朋友玩报数拍手游戏，从1开始报起，凡是报到6的倍数的小朋友，要拍一次手；报到带6的数（比如26，65）的小朋友，要拍两次手；报到既是6的倍数又带6的数的小朋友，要拍3次手。那么他们报到100时，共拍了几次手？ 17．（24-25五年级下·全国·单元测试）数学老师买来一百多颗糖果和同学们做游戏，游戏规则如下：在游戏开始前，老师先从袋子里拿走10个以内的任意数量的糖果，再依次提问：袋子里的糖数是质数还是合数？答对可以拿走3颗糖，答错只能拿走1颗糖。32个同学全部回答合数，那么游戏结束，同学们拿走的糖果总数最少是多少颗？ 18．（2025五年级下·全国·专题练习）四个连续的自然数，它们从小到大依次是3的倍数，5的倍数，7的倍数，9的倍数。要使这四个自然数的和最小，这四个连续的自然数分别是多少？ 19．（19-20五年级下·全国·课后作业）五（1）班共有40名学生参加了暑期军训。教官要求学生排成一排从左到右报数，1、2、3、4…，然后教官让所有报数是4的倍数的同学向后转，接着又让所有报数是5的倍数的同学向后转。现在没有动过的学生有多少人？ 20．（18-19五年级下·全国·单元测试）用棱长是1cm的小正方体靠墙角摆成如图所示的几何体． （1）摆这个几何体一共用了多少个正方体？ （2）这个几何体露在外面的面积是多少平方厘米？ （3）从图中取走（    ）号小正方体后，从正面、上面、右面看到的形状都不变． $$五年级/下册 小学数学 · 2025-2026学年数学五升六年级暑期学习金牌培优讲义【温故知新篇】 人教版 专题01 因数和倍数 专题01 因数和倍数 暑假衔接 导图+技巧点拨+考点讲练+真题强化 （共50题） 考点讲练练 浏览知识 知晓考点 真题强化 思维导图 技巧点拨 真题汇编 查漏补缺 重点难点 优选题型 知识梳理 方法提炼 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 同学，你好！该份讲义主要以复习五年级下学期内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，知识梳理，解题技巧点拨，高频考点真题讲练，优选题培优训练20题等5大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 高频考点讲练01：因数和倍数的认识 【典例精讲】（24-25五年级下·安徽黄山·期中）《西游记》是中国古典四大名著之一。小说中的孙悟空有七十二般变化，72的最小因数是( )，最小倍数是( )。 【答案】 1 72 【思路引导】找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组的写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。进而求出72的最小因数；一个数的最小倍数是它本身，据此求出72的最小倍数，据此解答。 【规范解答】72＝1×72＝2×36＝3×24＝4×18＝6×12＝8×9 72的因数有：1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72；最小因数是1。 72的最小倍数是72。 《西游记》是中国古典四大名著之一。小说中的孙悟空有七十二般变化，72的最小因数是1，最小倍数是72。 【演练1】（24-25五年级下·湖南永州·阶段练习）在算式14×5＝60，14和5是60的( )数；60是14和5的( )数。 【答案】 因 倍 【思路引导】若a×b＝c（a、b、c都是非0自然数 ），那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数。 【规范解答】在整数乘法算式中，相乘的两个数就是积的因数，在14×5＝60这个算式里，根据因数的定义，14和5是60的因数；在整数乘法算式中，积就是两个乘数的倍数，在14×5＝60中，60是14与5相乘得到的积，所以60是14和5的倍数。 【演练2】（2025五年级下·全国·专题练习）在不超过800的正整数中，有多少个数有奇数个因数？ 【答案】28个 【思路引导】由因数的概念可知，有奇数个因数的数都是平方数，找出800以内的平方数即可确定800以内有多少个数有奇数个因数了。 【规范解答】12＝1，302＝900＞800，292＝841＞800，282＝784＜800。 所以在不超过800的正整数中，有28个数有奇数个因数。 【考点剖析】根据因数的概念和特征，确定有奇数个因数的都是平方数是解答本题的关键。 高频考点讲练02：找一个数的因数及因数的特征 【典例精讲】（23-24五年级下·江西吉安·期末）一个数既是51的因数，又是17的倍数，这个数最小是( )，最大是( )。 【答案】 17 51 【思路引导】求一个数的所有的因数的方法：有序地写出以这个数为积的所有整数乘法算式，算式中的每个因数都是该数的因数。 求一个数的倍数的求法：列乘法算式找，用这个数依次与正整数1，2，3，…相乘，所得的积就是这个数的倍数。 可分别写出51的因数和17的倍数，并在这些数字中找到符合题意的数字。 【规范解答】51＝1×51＝3×17 51的因数有：1，3，17，51； 17的倍数有：17，34，51，…； 一个数既是51的因数，又是17的倍数，这个数最小是17，最大是51。 【演练1】（2025五年级下·全国·专题练习）彤彤和小伙伴们玩一个游戏，用边长1cm的小正方形拼一个大长方形（要求所选小正方形全部用完，中间没有空格），谁拼出的大长方形多，谁就获胜。现在可选的小正方形有三堆，分别有45，24，27个；彤彤想赢这场比赛，于是展开了探究活动。 (1)她以“45”为例，画图思考，拼成的大长方形如果每排摆9个小正方形，正好可以摆( )排；如果每排摆15个小正方形，可以摆( )排，这样就拼成两个不同的大长方形。 (2)发现：拼成大长方形每排用小正方形的个数和排数都是45的( )。 (3)要想赢比赛，应该选有( )个小正方形的那一堆；因为( )。 【答案】(1) 5 3 (2)因数 (3) 24 24的因数对最多，能拼出4种不同的长方形 【思路引导】（1）每个小正方形都是边长为1cm的正方形，所以每个小正方形的面积是1cm2。当拼成大长方形时，长方形的面积就是所用小正方形的个数，而长和宽就是每排摆的数量和排数。所以，拼成的大长方形的面积等于小正方形的数量，即长×宽＝数量。根据长方形的面积＝长×宽，所以排数＝总数÷每排的数量。如果每排摆9个，排数就是（45÷9）；如果每排摆15个，排数就是（45÷15）。 （2）由（1）可知，9和5都是45的因数，15和3都是45的因数，因此每排的个数和排数都是45的因数。 （3）问彤彤应该选哪一堆小正方形才能赢比赛，也就是判断哪一堆小正方形能拼出更多不同的大长方形，所以需要比较三堆的数量45、24、27；列举出它们所有可能的因数，找出哪个数的因数对最多，也就是因数个数最多，这样能拼出的不同长宽组合就越多，就能赢得比赛。 【规范解答】（1）每排摆9个小正方形时，排数为： 45÷9＝5（排） 每排摆15个小正方形时，排数为： 45÷15＝3（排） 因此拼成的大长方形如果每排摆9个小正方形，正好可以摆5排。如果每排摆15个小正方形，可以摆3排，这样就拼成两个不同的大长方形。 （2）拼大长方形时，每排的个数和排数都是45的因数。 因此可以发现：拼成大长方形每排用小正方形的个数和排数都是45的因数。 （3）45的因数对有3种：1×45、3×15、5×9。 24的因数对有4种：1×24、2×12、3×8、4×6。 27的因数对有2种：1×27、3×9。 其中24的因数对最多，因此要想赢比赛，应该选有24个小正方形的那一堆。理由是：24的因数对最多，能拼出4种不同的长方形。 【演练2】．（22-23五年级下·湖北武汉·期末）一个自然数有四个因数，分别是A、3、5、B，这个自然数是( )。 【答案】15 【思路引导】 根据因数和倍数的定义可知，只在自然数（零除外）范围内研究倍数和因数。如果a×b＝c（a、b、c都是非0的自然数）那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数。一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。据此可知，一个自然数有四个因数，分别是A、3、5、B，这个自然数是（3×5＝15）。 【规范解答】根据分析可知， 3×5＝15 一个自然数有四个因数，分别是A、3、5、B，这个自然数是15。 【考点剖析】正确理解因数和倍数的意义，是解答此题的关键。 高频考点讲练03：根据因数的特征解决问题 【典例精讲】（24-25五年级下·全国·单元测试）红树林是生长在海水中的森林，某座海脊（也称“海底山脉”）两边一共有m棵红树林，若m＝a×b×c（a、b、c是互不相同的质数），则m有（    ）个因数。 A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【思路引导】因为m＝a×b×c（a、b、c是互不相同的质数），所以m的因数有：1、m、a、b、c，还有三个质数两两相乘的积，即a×b、a×c、b×c，共有8个因数。 【规范解答】据分析可知，红树林是生长在海水中的森林，某座海脊（也称“海底山脉”）两边一共有m棵红树林，若m＝a×b×c（a、b、c是互不相同的质数），则m有8个因数。 故答案为：D 【演练1】（23-24五年级下·湖北十堰·期中）学校合唱团有48人准备排练“六一儿童节”节目，如果将这48人平均分成若干个小组，每组人数不少于4人，不多于10人。有几种分法？写出你的方法。 【答案】3种；方法见详解 【思路引导】由题意可知，小组的个数应是48的因数，根据求一个数因数的方法，求出48的因数，再结合每组人数不得少于4人，不得多于10人，据此解答即可。 【规范解答】48的因数：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。 ①每组4人，分成12组； ②每组6人，分成8组； ③每组8人，分成6组 一共有3种分法。 答：共有3种分法。 【演练2】（2007四年级·全国·竞赛）144个橘子平均分成若干份，使每份橘子的个数在10~100的范围内，有 种分法。 【答案】7 【思路引导】根据题意可知，橘子的总数＝份数×每份的数量，因为份数和每份的数量都是整数，所以将144拆分为2个整数相乘，据此列举出所有可能，再找到符合10~100的范围内的数。 【规范解答】144＝1×144＝2×72＝3×48＝4×36＝6×24＝8×18＝9×16＝12×12 符合题意的有：72、48、36、24、18、16、12，共7种分法。 【考点剖析】解答本题的关键是每份橘子的个数是整数，然后一一列举出所有可能。 高频考点讲练04：找一个数的倍数及倍数的特征 【典例精讲】（24-25五年级下·内蒙古通辽·阶段练习）1的因数有( )个，9的因数有( )个，10的倍数有( )个。 【答案】 1 3 无数 【思路引导】1的因数只有1；9的因数有1、3、9，共3个；一个数的倍数的个数是无限的，则10的倍数有无数个。 【规范解答】通过分析可得：1的因数有1个，9的因数有3个，10的倍数有无数个。 【演练1】（24-25五年级下·宁夏银川·期中）2024年7月30日，我国选手王楚钦和孙颖莎一路“过关斩将”获得中国奥运会乒乓球混双首金。实验小学六（1）班热爱兵乓球的学生们在家观看了比赛，观看比赛的人数是8的倍数，且在60~70人之间。六（1）班观看比赛的学生有多少人？ 【答案】64人 【思路引导】列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。据此找到60~70之间8的倍数即可。 【规范解答】8×1＝8 8×2＝16 8×3＝24 8×4＝32 8×5＝40 8×6＝48 8×7＝56 8×8＝64 60~70之间8的倍数是64。 答：六（1）班观看比赛的学生有64人。 【演练2】（22-23五年级下·江西吉安·期末）一个非0自然数的最大因数和最小倍数的和是20，这个数是（    ）。 A．18 B．19 C．20 D．10 【答案】D 【思路引导】任何一个非0自然数的最大因数和最小倍数都是它本身，因此20应该是这个数的2倍，据此解答。 【规范解答】任何一个非0自然数的最大因数和最小倍数都是它本身。 20÷2＝10 这个数是10。 故答案为：D 【考点剖析】考查一个数因数和倍数的特征。一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 高频考点讲练05：根据倍数的特征解决问题 【典例精讲】（2025五年级下·全国·专题练习）小兵在文具店买了3本笔记本、1支钢笔、2支自动铅笔和4块橡皮。笔记本每本2元，钢笔每支5元，自动铅笔和橡皮的价格小兵记不清了售货员要小兵付18元，小兵马上说售货员把账算错了，你知道为什么吗？ 【答案】见详解 【思路引导】从题意可以知道，四种商品的数量已知，根据，笔记本和钢笔的价格能够算出来一共是11元，但是因为自动笔和橡皮的数量是双数，所以，不管买多少，它们的总价格也应该是双数，因为偶数乘偶数，偶数乘奇数积都是偶数，而11是奇数，根据奇数加偶数等于奇数，因此，要付款的钱数应是奇数，但是根据售货员算的价格是偶，所以判断是错误的。 【规范解答】 （元） 答：因为2支自动铅笔和4块橡皮的价格是偶数，而3本笔记本、1支钢笔的价格是奇数，根据奇数加偶数等于奇数可知，总价应该是奇数，而售货员算的是18元（偶数），所以账算错了。 【演练1】（21-22五年级下·浙江温州·期中）小明的妈妈从批发市场买来90千克大枣，如果每15千克装一包，能正好装完吗？还可以怎么装？能装多少包？ 【答案】能正好装完；还可以10千克一包，装9包 【思路引导】如果90能被15整除，则能正好装完，只要每包的千克数是90合适的因数即可正好分装完，据此解答。 【规范解答】90÷15＝6（包） 90的因数有1、2、3、5、6、9、10、15、18、30、45、90。 每包选择合适的千克数即可，可以10千克一包。 90÷10＝9（包） 答：如果每15千克装一包，能正好装完；还可以10千克一包，装9包。 【考点剖析】本题考查了因数和倍数的认识以及应用。 【演练2】（21-22五年级上·四川巴中·期末）小明、小军两人玩游戏，掷骰子定输赢，（骰子6个面的点数分别是1、2、3、4、5、6）。如果朝上的一面是2的倍数小军赢，朝上的一面是3的倍数小明赢。请你评判一下，这样的游戏规则公平吗？为什么？如果不公平请你设计一个公平的游戏规则。 【答案】见详解 【思路引导】根据可能性的大小与数量的多少有关，数量多则可能性就大，反之就小；2的倍数有2，4，6共三个数，3的倍数有3，6共两个数，所以小军的胜率比小明的胜率大，这个游戏不公平；1、2、3、4、5、6这6个数，分别有3个单数，有3个双数，要使游戏是公平，可以猜单双数。据此解答即可。 【规范解答】2的倍数有2，4，6共三个数，3的倍数有3，6共两个数，据此可知这个游戏不公平，因为2的倍数和3的倍数的个数不同，赢的可能性必然不同。设计一个公平的游戏规则如下：猜单数和双数，如果单数小明赢，双数小华赢。 【考点剖析】本题考查可能性，明确可能性的大小与数量的多少有关是解题的关键。 高频考点讲练06：倍数和因数的综合应用 【典例精讲】（22-23五年级下·河南安阳·期中）一个数，它既是48的因数，又是8的倍数，这个数最大是（    ）。 A．8 B．24 C．48 D．96 【答案】C 【思路引导】根据找一个数的因数的方法：一个数的因数是有限的，最大的因数是它本身，最小的因数是1；根据找一个数的倍数的方法，一个数的倍数是无限的，最小的一个倍数是它本身，可见一个数的本身既是其最大因数又是其最小倍数。据此解答。 【规范解答】一个数，它既是48的因数，又是8的倍数，这个数最大是48。 故答案为：C 【考点剖析】此题考查的目的是理解掌握找一个数的因数、倍数的方法及应用。 【演练1】（22-23五年级上·湖北宜昌·期末）小明妈妈今年的年龄既是70的因数，又是5的倍数，她今年是（    ）岁。 A．20 B．35 C．45 D．50 【答案】B 【思路引导】只在自然数（零除外）范围内研究倍数和因数。如果a×b＝c（a、b、c都是非0的自然数）那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数。据此找到既是70的因数，又是5的倍数的选项即可。 【规范解答】A．20不是70的因数，排除； B．35是70的因数，也是5的倍数，她今年35岁。 C．45不是70的因数，排除； D．50不是70的因数，排除。 故答案为：B 【考点剖析】关键是理解因数和倍数的含义，解决选择题的方法多种多样，排除法是常用的一种方法。 【演练2】（18-19五年级下·全国·期中）请你按下面的要求为明明家设计一个四位数的门牌号。 （1）a，b，c，d代表的数字各不相同，并且分别代表6的一个因数。 （2）a，b组成的数ab既是3的倍数，又是7的倍数。 （3）4和9都是c，d组成的数cd的因数。 【答案】2136 【思路引导】整数a除以整数b（b不为0）除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或b能整除a，a称为b的倍数，b称为a的因数。 【规范解答】6的因数有1、2、3、6，所以a、b、c、d代表1、2、3、6中的数字； a，b组成的数ab既是3的倍数，又是7的倍数，那么组成的数是21，说明a是2，b是1； 4和9都是c，d组成的数cd的因数，说明c是3，d是6。 所以门牌号是2136。 【考点剖析】本题考查因数与倍数，解答本题的关键是掌握因数与倍数的概念。 高频考点讲练07：奇数与偶数的认识 【典例精讲】（24-25五年级下·湖南怀化·期中）用3、5、9、1、0这五个数字组成符合要求的五位数。 (1)最小的偶数是( )； (2)最大的奇数是( )； (3)写出一个是5的倍数的数( )； (4)最大的2和5的倍数是( )。 【答案】(1)13590 (2)95301 (3)13905 (4)95310 【思路引导】（1）偶数：个位是2，4，6，8，0的数，据此先确定出这个五位数个位只能是0，再依次让万位、千位、百位、十位的数字最小即可； （2）奇数：不能被2整除的数，据此可知这个五位数个位不能是0，从最高位开始确定出每个数位上可以取的最大数字即可； （3）5的倍数：个位是0或5的数，据此解答； （4）2的倍数：个位是2，4，6，8，0的数，5的倍数：个位是0或5的数，据此可知这个数个位只能是0，再从最高位开始确定出每个数位上可以取的最大数字即可。 【规范解答】（1）最小的偶数个位只能是0，万位数字最小是1，千位数字最小是3，百位数字最小是5，十位数字只能是9，即这个最小的偶数是13590。 最小的偶数是13590。 （2）最大的奇数万位最大是9，千位最大是5，百位最大是3，个位只能是1，十位是0，即最大的奇数是95301。 最大的奇数是95301。 （3）5的倍数个位只能是0或5。 写出一个是5的倍数的数是13905。（答案不唯一） （4）既是2的倍数又是5的倍数，则这个数个位一定是0，万位数字最大是9，千位数字最大是5，百位数字最大是3，十位数字只能是1，即这个数是95310。 最大的2和5的倍数是95310。 【演练1】（23-24五年级上·河南商丘·期末）三张卡片上分别写着2、3、5，淘气和笑笑分别从中抽取一张，若两人抽取的卡片的数字之积是奇数，则淘气胜；若是偶数，则笑笑胜，这个游戏（    ）。 A．淘气胜的可能性大 B．笑笑胜的可能性大 C．两人胜的可能性一样大 D．无法判断 【答案】B 【思路引导】两人从三张卡片中抽取两张，卡片的数字之积可能是：2×3＝6，2×5＝10，3×5＝15。其中6和10是偶数，15是奇数。偶数的数量多，则两人抽取的卡片的数字之积是偶数的可能性大。据此解答。 【规范解答】通过分析可得：两人抽取的卡片的数字之积是偶数的可能性大，则这个游戏笑笑胜的可能性大。 故答案为：B 【演练2】（2014六年级·全国·竞赛）对自然数n进行如下操作：如果n是偶数，就把它除以2；如果n是奇数，就把它加上105。现在对123进行有限次操作，得到的结果不可能是（    ）。 A．57 B．99 C．100 D．114 【答案】C 【思路引导】123是奇数，123＋105＝228，228是偶数，228÷2＝114；依次类推，对123进行有限次操作，得到的结果228、114、57、162、81…… 228、114、57、162、81都是3的倍数，所以操作过程中产生的数都是3的倍数。据此判断每个数即可。 【规范解答】57、99、114是3的倍数，100不是3的倍数，所以得到的结果不可能是100。 故答案为：C 【考点剖析】本题需要从3的倍数特征进行考虑，掌握相应的特征是解答本题的关键。 高频考点讲练08：2、3、5的倍数特征综合 【典例精讲】（24-25五年级下·安徽黄山·期中）从0，4，5，6这四个数字中取出两个组成的两位数中，同时是2，3的倍数的最大两位数是( )，取出三个组成的三位数中，同时是2，3，5的倍数的最大三位数是( )。 【答案】 60 540 【思路引导】2的倍数特征：个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数。 3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 既是2的倍数又是3的倍数的特征：个位上的数字是0、2、4、6、8，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。据此求出两位是2，3的倍数的最大的两位数。 2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。据此解答。 【规范解答】两位数是2、3的倍数的数有：60。 同时是2，3，5的倍数的最大三位数是540。 从0，4，5，6这四个数字中取出两个组成的两位数中，同时是2，3的倍数的最大两位数是60，取出三个组成的三位数中，同时是2，3，5的倍数的最大三位数是540。 【演练1】（24-25五年级下·湖南衡阳·期中）941至少增加( )是3的倍数，至少减少( )是5的倍数，至少增加( )同时是3和5的倍数。 【答案】 1 1 4 【思路引导】一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。个位上的数字是0或5的数是5的倍数。既是3的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0或5，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 【规范解答】9＋4＋1＝14、15－14＝1 941－940＝1 9＋4＋5＝18、945－941＝4 941至少增加1是3的倍数，至少减少1是5的倍数，至少增加4同时是3和5的倍数。 【演练2】2025五年级下·全国·专题练习）一台电脑的锁屏密码是一个四位数“5口7口”，已知这个四位数既有因数2，又是3和5的倍数，要找到正确密码，最多需要输入（    ）。 A．4次 B．5次 C．6次 D．10次 【答案】A 【思路引导】2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 【规范解答】根据分析，个位数字一定是0，5＋7＝12，百位上符合的数字有0、3、6、9，这个四位数可能是5070、5370、5670、5970，要找到正确密码，最多需要输入4次。 故答案为：A 高频考点讲练09：质数与合数的综合应用 【典例精讲】（23-24五年级下·山西晋中·期中）生命在于运动，有人说走路是最好的运动，妈妈每天坚持走路，今天她的运动步数是一个五位数，位居排行榜第一。这个数万位上的数既不是质数也不是合数，千位上的数是10以内最大的质数，百位上的数是最大的一位数，十位上的数是最小的偶数，个位上的数是最小的合数。这个五位数是( )。 【答案】17904 【思路引导】除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。据此确定各数位上的数，写出这个五位数。 【规范解答】1既不是质数也不是合数；10以内最大的质数是7；最大的一位数是9；最小的偶数是0；最小的合数是4，这个五位数是17904。 【演练1】（24-25五年级下·全国·单元测试）某村大力发展苗木花卉种植业，兴建现代化温室大棚。 （1）其中一座用于花卉种植的温室大棚长度和跨度（宽）都是以米为单位的两位质数，且跨度不大于15米。大棚的底面周长为156米，则大棚的底面面积是多少？ （2）温室大棚产出花卉的量比自然种植要高，自然种植和大棚种植同一花卉的面积相同，自然种植每10平方米产出的花卉有91朵，大棚种植每10平方米产出的花卉朵数是自然种植产出花卉朵数的所有因数之和，那么大棚种植每10平方米产出的花卉有多少朵？ 【答案】（1）737平方米 （2）112朵 【思路引导】（1）长方形的周长＝（长＋宽）×2，已知大棚的底面周长为156米，则大棚的长＋宽＝156÷2＝78（米）。大棚的长和宽都是以米为单位的两位质数，且跨度不大于15米，据此把78分解成符合要求的两位质数相加的形式，根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算即可解答。 （2）根据题意，先求出91的所有因数，再把它们相加即可求出大棚种植每10平方米产出的花卉有多少朵。 可以列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是91的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是91的因数。据此解答。 【规范解答】（1）156÷2＝78（米） 小于15的两位质数有11和13，当跨度为11米时，长度为：78－11＝67（米） 67是质数，符合题意，此时面积为67×11＝737（平方米） 当跨度为13米时，长度为：78－13＝65（米） 67不是质数，不符合题意。 答：大棚的底面面积是737平方米。 （2）91＝1×91＝7×13 1＋91＋7＋13＝112（朵） 答：大棚种植每10平方米产出的花卉有112朵。 【演练2】（20-21五年级下·福建漳州·期中）如果a×（b＋c）＝209，并且a、b、c是不同的质数（c＜b），那么a、b、c各代表多少？ 【答案】11、17、2 【思路引导】一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能整除其他自然数的数， 即除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数。 【规范解答】209＝11×19 19＝17＋2 答：a、b、c各代表11、17、2。 【考点剖析】关键是掌握质数、合数的分类标准。 高频考点讲练10：运算性质（奇数和偶数） 【典例精讲】（2024五年级下·广东广州·专题练习）下列说法正确的是（    ）。 A．所有的质数都是奇数 B．一个数不是质数就是合数 C．两个奇数的差一定是奇数 D．是4的倍数的数一定是偶数 【答案】D 【思路引导】1既不是质数也不是合数，质数中只有2是偶数，其余都是奇数；两个奇数的差一定是偶数，4是2的倍数，是4的倍数的数一定偶数；据此解答。 【规范解答】A．质数2是偶数，原说法错误； B．1既不是质数也不是合数，原说法错误； C．奇数－奇数＝偶数，原说法错误； D．是4的倍数的数一定是2的倍数，则4的倍数都是偶数，原说法正确。 故答案为：D 【演练1】（23-24五年级下·湖北襄阳·期末）围棋起源于中国，属琴棋书画四艺之一。一共有361枚棋子，分为黑、白两色。如果黑色棋子是奇数枚，那么白色棋子的枚数一定是（    ）。 A．偶数 B．奇数 C．质数 D．合数 【答案】A 【思路引导】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。棋子总数－黑色棋子数＝白色棋子数，根据奇数－奇数＝偶数，进行分析。 【规范解答】361－黑色棋子数＝白色棋子数，361是奇数，如果黑色棋子是奇数枚，那么白色棋子的枚数一定是偶数。 故答案为：A 【演练2】（21-22五年级下·全国·假期作业）a、b、c是100以内的3个质数，使得a＋b＝c成立的不同质数算式共有（    ）个。 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【思路引导】2是质数中唯一的偶数，其它都是奇数；奇数＋奇数＝偶数；奇数＋偶数＝奇数；所以其中一个加数必是2；再找出两个质数的差是2的情况即可。 【规范解答】这样的算式有：2＋3＝5； 2＋5＝7； 2＋11＝13； 2＋17＝19； 2＋29＝31； 2＋41＝43； 2＋59＝61； 2＋71＝73； 一共有8组。 故答案为：C 【考点剖析】此题主要考查学生对质数的理解与灵活应用。 1．（24-25五年级下·湖南岳阳·期中）下面说法错误的是（    ）。 A．所有的质数都是奇数 B．个位是0的数一定是2和5的倍数 C．两个质数的积一定是合数 【答案】A 【思路引导】一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数；不能被2整除的整数叫做奇数。 个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数；个位上是0或5的数是5的倍数。 一个数除了能被1和它本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数叫做合数。 【规范解答】A．2是质数，因为它的因数只有1和2；但2能被2整除，是偶数不是奇数，所以“所有的质数都是奇数”说法错误。 B．个位是0的数，既满足2的倍数特征，又满足5的倍数特征，所以“个位是0的数一定是2和5的倍数”说法正确。 C．两个质数相乘所得的积，除了1和它本身以外，还有这两个质数作为因数。例如2和3是质数，它们的积6，因数有1、2、3、6，所以是合数，因此“两个质数的积一定是合数”说法正确。 故答案为：A 2．（24-25五年级下·安徽黄山·期中）一个五位数28A3B是3的倍数，那么A＋B的和可能是（    ）。（A、B都是自然数） A．10 B．4 C．8 D．6 【答案】C 【思路引导】根据3的倍数特征：如果一个数是3的倍数，那么各个数位上的数字相加的和是3的倍数；已知2＋8＋3＝13，要使这个五位数是3的倍数，因此（A＋B＋13）的和也是3的倍数，据此逐项进行分析，即可解答。 【规范解答】A．如果A＋B＝10，那么A＋B＋13＝10＋13＝23，23不是3的倍数，不符合题意； B．如果A＋B＝4，那么A＋B＋13＝4＋13＝17，17不是3的倍数，不符合题意； C．如果A＋B＝8，那么A＋B＋13＝8＋13＝21，21是3的倍数，符合题意； D．如果A＋B＝6，那么A＋B＋13＝6＋13＝19，19不是3的倍数，不符合题意。 故答案为：C 3．（24-25五年级下·广西河池·期中）一个数既是36的因数，同时又有因数2和9，这个数可能是（    ）。 A．9 B．36 C．2 【答案】B 【思路引导】根据找一个数的因数的方法，用列举法分别写成各选项中数的所有因数，找出满足条件的即可。 【规范解答】A．9的因数有：1，3，9，没有因数2，不符合题意； B．36的因数有：1，2，3，4，9，12，18，36，36既是36的因数，同时又有因数2和9，符合题意； C．2的因数有：1，2，没有因数9，不符合题意。 因此这个数可能是36。 故答案为：B 4．（23-24六年级下·湖北武汉·开学考试）有101个不同的正整数，在这101个数中有100个数互相不成倍数，但任意两数的和是2的倍数，任意三个数的和是3的倍数，任意四个数的和是4的倍数，任意六个数的和是6的倍数，则这101个数平均数的最小值可能是（    ）。 A．505 B．600 C．601 D．606 【答案】C 【思路引导】个位上是0，2，4，6，8的数是2的倍数；如果一个数的各个数位上的数的和是3的倍数，那么这个数就是3的倍数，根据题目条件逐步分析得出这 100个数的特征，进而判断平均数的特点； 除以2的余数情况：因为任意两个数的和是2的倍数，两个数相加和是2的倍数，说明这两个数要么都是偶数（即除以2余数为0），要么都是奇数（即除以2余数为1）。又因为这100个数互相不成倍数，所以不能都是偶数（如果都是偶数，必然存在倍数关系），所以这100个数除以2的余数都为1。 除以3的余数情况：由于任意三个数的和是3的倍数，设这三个数分别为a、b、c，a＋b＋c＝3k（k为整数）。根据余数的性质，a、b、c除以3的余数之和要是3的倍数。因为这100个数互相不成倍数，若有不同余数，就很难保证任意三个数和是3的倍数，所以这100个数除以3的余数都相同，又因为要满足和是3的倍数，所以余数只能为1（若余数为0，则这些数有倍数关系）。 除以4的余数情况：同理，任意四个数的和是4的倍数，设这四个数为m、n、p、q，m＋n＋p＋q＝4s（s为整数），根据余数性质，这100个数除以4的余数之和要是4的倍数。由于这100个数互相不成倍数，所以它们除以4的余数都相同，且为1（若余数为0或其他情况容易出现倍数关系不符合题意）。 除以6的余数情况：任意六个数的和是6的倍数，设这六个数为、、、、、，＋＋＋＋＋＝6t（t为整数），根据余数性质，这100个数除以6的余数之和要是6的倍数。因为这100个数互相不成倍数，所以它们除以6的余数都相同，且为1（若余数为0或其他情况，会出现倍数关系不符合要求）。 分析平均数：因为这100个数的平均数等于这100个数的总和除以100，而这100个数除以2、3、4、6余数都为1，那么它们的平均数除以2、3、4、6余数也都为1。 【规范解答】A．505÷2＝252……1，505÷3＝168……1，505÷4＝126……1，505÷6＝84……1，满足余数都为1； B．600÷2＝300，余数为0，不满足除以2余数为1，所以B选项错误； C．601÷2＝300……1，601÷3＝200……1、601÷4＝150……1、601÷6＝100……1，满足余数都为1； D．606÷2＝303，余数为0，不满足除以2余数为1，所以D选项错误。 比较505和601，505＜601，但题目问的是这101个数平均数的最小值，因为101个数中有100个数满足上述余数条件，当这100个数最小且满足余数条件时，平均数会最小，601比505更符合这101个数平均数最小的情况（因为505作为平均数时，可能无法满足101个数整体的条件，而601满足所有余数条件且能保证101个数整体的合理性）。 故答案为：C 【考点剖析】找出这100个数余数的特点，通过余数特点来判断平均数满足的条件是解题的关键。 5．（23-24五年级下·安徽黄山·期末）20以内的数中，最小的质数是( )，最大的质数是( )；两位数中最大的合数是( )。 【答案】 2 19 99 【思路引导】根据质数、合数的意义，一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数。一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。1既不是质数也不是合数。据此解答。 【规范解答】20以内的数中的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19 20以内的数中，最小的质数是2，最大的质数是19；两位数中最大的合数是99。 6．（23-24五年级下·河北保定·期末）两位数8▲和◎8都既是2的倍数又是3的倍数，▲最小是( )，◎最大是( )。 【答案】 4 7 【思路引导】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数；3的倍数特征：一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。两位数8▲，它是2的倍数，所以▲可能是0、2、4、6、8；同时它还是3的倍数，那就需要8＋▲的和是3的倍数，要找最小数字从0开始尝试分别计算出和来判断；两位数◎8，个位数字是8，所以它是2的倍数；同时它还是3的倍数，那就需要◎＋8的和是3的倍数，要找最大数字从9开始尝试分别计算出和来判断。 【规范解答】两位数8▲，它是2的倍数，所以▲可能是0、2、4、6、8： 当▲＝0时，8＋0＝8，8不是3的倍数； 当▲＝2时，8＋2＝10，10不是3的倍数； 当▲＝4时，8＋4＝12，12是3的倍数； 所以满足既是2的倍数又是3的倍数时，▲最小是4； 两位数◎8，个位数字是8，所以它是2的倍数： 当◎＝9时，9＋8＝17，17不是3的倍数； 当◎＝8时，8＋8＝16，16不是3的倍数； 当◎＝7时，7＋8＝15，15是3的倍数； 所以满足既是2的倍数又是3的倍数时，◎最大是7。 因此两位数8▲和◎8都既是2的倍数又是3的倍数，▲最小是4，◎最大是7。 7．（24-25五年级下·天津和平·期中）有四个数，其中每三个数的和分别是45、46、49、52，那么这四个数中最小的一个数是( )。 【答案】12 【思路引导】已知有四个数，设为a、b、c、d 。每三个数求和，会得到a＋b＋c、a＋b＋d、a＋c＋d、b＋c＋d这4个和，对应题目中的45、46、49、52 。 把这4个和相加，即（a＋b＋c）＋（a＋b＋d）＋（a＋c＋d）＋（b＋c＋d），整理后是3（a＋b＋c＋d） ，这说明4个和的总和是四个数总和的3倍。 所以先将4个和相加，再除以3，就能求出四个数的总和a＋b＋c＋d 。 要找最小的数，因为最大的“三个数的和”（52 ）是除最小数外其他三个数的和，所以用四个数的总和减去最大的三个数的和，结果就是最小数。 【规范解答】（45＋46＋49＋52）÷3 ＝192÷3 ＝64 64－52＝12 那么这四个数中最小的一个数是12。 【考点剖析】解题关键在于两点：一是发现 “四组每三个数的和相加，等于四个数总和的3倍”，以此求出四个数的总和；二是明确 “最大的三个数的和，对应的是除最小数外另外三个数的和”，用总和减去这个最大和，就能精准得到最小数，这两步逻辑紧密关联，是突破本题的核心思路。 8．（2025五年级下·全国·专题练习）已知：A＝4×999＋5×99＋6×9＋（4＋5＋9），B＝2×999＋4×99＋8×9＋（2＋4＋8＋5），C＝2×1000＋2×100＋3×10＋6。那么A、B、C三个数中，( )是3的倍数。 【答案】A 【思路引导】根据3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数；分别化简求出A、B、C三个数，判断它们各个数位上的数字之和是否是3的倍数，据此解答。 【规范解答】对于A： 因为999、99和9都是3的倍数，所以（4×999＋5×99＋6×9）也是3的倍数。 4＋5＋9＝18，18是3的倍数，因此A是3的倍数。 对于B： 因为999、99和9都是3的倍数，所以（2×999＋4×99＋8×9）也是3的倍数。 2＋4＋8＋5＝19，19不是3的倍数，因此B不是3的倍数。 对于C： C＝2×1000＋2×100＋3×10＋6＝2000＋200＋30＋6＝2236 2＋2＋3＋6＝13，13不是3的倍数，因此C不是3的倍数。 因此A、B、C三个数中，A是3的倍数。 【考点剖析】能够找到方法正确对A、B、C三个数分析以及知道3的倍数的特征是解决本题关键。 9．（24-25五年级下·山东济宁·期中）在三位数4□0的方框里填入一个数字，使它同时是2、3、5的倍数，最多有2种填法。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】三位数4□0的个位是0，满足同时是2、5的倍数。只需再满足3的倍数特征，即各数位上的数字之和（4＋□＋0）能被3整除，据此分别填入数字进行计算即可。 【规范解答】三位数4□0的个位是0，说明它已经是2和5的倍数。根据3的倍数特征，各位数字之和4＋□＋0＝4＋□必须能被3整除。 当□＝2时，4＋2＝6，能被3整除； 当□＝5时，4＋5＝9，能被3整除； 当□＝8时，4＋8＝12，能被3整除。 因此，□可以填2、5、8，共有3种填法。原题中“最多有2种填法”的说法错误。 故答案为：× 10．（24-25五年级下·广西河池·期中）因为4÷0.8＝5，所以4是0.8和5的倍数，0.8和5是4的因数。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】因数和倍数：如果a×b＝c（a、b、c是不为0的自然数），那么a、b是c的因数，c是a、b的倍数。如：4×9＝36，4和9是36的因数，36是4和9的倍数；据此可知倍数和因数只在非0自然数范围内讨论。 【规范解答】根据分析可知：倍数和因数只在非0自然数范围内讨论；而4÷0.8＝5中0.8是小数，所以原说法错误。 故答案为：× 11．（24-25五年级下·山东济宁·期中）班长去商店给同学们购买圆珠笔，班长买了若干支，每支3元，最后结账时，收银员说一共236元，班长认为收银员算得不对。你同意班长的意见吗？为什么？ 【答案】同意；因为236不是3的倍数 【思路引导】单价×数量＝总价，根据单价3元和总价236元的关系，总价应为3的整数倍。利用3的倍数特征：各数位之和能被3整除，可以判断236是否符合条件。计算236的各位数字之和：2＋3＋6＝11，11不是3的倍数，因此236不是3的倍数。据此解答。 【规范解答】通过分析可得： 我同意班长的意见。因为总价应是3的倍数，而2＋3＋6＝11，11不是3的倍数，则236不是3的倍数。所以收银员计算错误。 12．（23-24五年级下·江西吉安·期末）一块长方形菜地的长和宽都是以米为单位的质数，周长是36m，这块长方形菜地的面积最大是多少平方米？ 【答案】 77平方米 【思路引导】根据长方形的周长＝（长＋宽）×2可得，长＋宽＝周长÷2，即36÷2得18米，再结合长和宽都是以米为单位的质数，则可以将18拆成两个质数之和，再从中找出乘积最大的即可。 【规范解答】36÷2＝18（米） 18＝5＋13＝7＋11 13×5＝65（平方米） 11×7＝77（平方米） 77＞65 答：这块长方形菜地的面积最大是77平方米。 13．（2025五年级下·全国·专题练习）判断以下6个数的整除性： 8875，198954，6512，93625，864，407。 （1）哪些数能被4整除？哪些数能被8整除？ （2）哪些数能被25整除？哪些数能被125整除？ 【答案】（1）6512、864；6512、864 （2）8875、93625；8875、93625 【思路引导】（1）若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除；一个数的末三位是8的倍数，这个数就是8的倍数； （2）25的倍数特征：尾数是0或5，后两位数不是25、50、75就或是00；后三位数字如果是125的倍数，那么这个数就是125的倍数。 【规范解答】（1）12能被4整除，即6512能被4整除；64能被4整除，即864能被4整除。 512÷8＝64，即6512能被8整除；864÷8＝108，即864能被8整除。 答：能被4整除的数有：6512，864。能被8整除的数有：6512，864。 （2）8875、93625的后两位数是75、25，即8875、93625能被25整除。 875÷125＝7，即8875能被125整除；625÷125＝5，即93625能被125整除。 答：能被25整除的数有：8875、93625；能被125整除的有8875、93625。 【考点剖析】解答本题的关键是熟练掌握2、5的倍数的特征，在此基本上延伸出4、8、25及125的倍数的特征。 14．（2024五年级下·全国·专题练习）有三个自然数a、b、c（a、b、c均为质数），已知a×b＝35，b×c＝55，c×a＝77，求a、b、c三个数的乘积。 【答案】385 【思路引导】本题的三个式子中a，b，c都为因数并且都出现两次，则只需把三个式子两边相乘。左边为，右边的数拆分成质数相乘再变成一个数的平方即可。 【规范解答】（a×b）×（b×c）×（c×a）＝＝35×55×77 35×55×77 ＝5×7×5×11×7×11 ＝ 所以abc＝5×7×11＝385。 答：a、b、c三个数的乘积是385。 【考点剖析】掌握分解质因数的方法、乘方的意义是解题的关键。 15．（20-21六年级下·浙江·期中）将两筐苹果分给甲、乙两个班，每班一筐。如果甲班每人分13个苹果，就有1人分得6个苹果；如果乙班每人分得10个，就有1人分得5个苹果。已知两筐苹果数相等，且每筐苹果数都在100个以上，200个以下。问甲、乙两班各有多少人？每筐苹果各有多少个？ 【答案】14人；18人；175个 【思路引导】两筐的苹果数量相等，每班一筐，苹果的数量在100到200之间，甲班每人分13个苹果，就有1人分得6个，就是说这筐苹果个数减去6个，就是13的倍数；乙班每人分得10个就有1人分得5个苹果，就是说这筐苹果个数减去5个，就是10的倍数，这筐苹果苹果的数量被13除余6，被10除余5的数，余数是5，这个数的末尾数是5，算出苹果的数量再求甲、乙两班的人数，即可解答。 【规范解答】100到200之间，被13除余6的数有： 13×8＋6＝110 13×9＋6＝123 13×10＋6＝136 13×11＋6＝149 13×12＋6＝162 13×13＋6＝175 13×14＋6＝188 末尾数是5的数是175 175÷10＝17……5 符合题意的只有175，即两筐苹果分别有175个； 甲班人数13＋1＝14（人） 乙班人数有：175÷10＝17……5 17＋1＝18（人） 答：甲班有14人；乙班有18人；每筐苹果各有175个。 【考点剖析】本题是找出一个既是13的倍数余6，又是10的倍数余5，根据余数是5的特点，它的末尾数是5 ，找出对应的数，解答问题。 16．（2021三年级下·全国·竞赛）一圈小朋友玩报数拍手游戏，从1开始报起，凡是报到6的倍数的小朋友，要拍一次手；报到带6的数（比如26，65）的小朋友，要拍两次手；报到既是6的倍数又带6的数的小朋友，要拍3次手。那么他们报到100时，共拍了几次手？ 【答案】54次 【思路引导】6的倍数一共有16个，含6的数一共有19个，既是6的倍数，又含6的数有6，36，60，66，96，共5个。 【规范解答】6的倍数：6，12，18，24，30，36，42，48，54，60，66，72，78，84，90，96，共16个； 含6的数：6，16，26，36，46，56，60，61，62，63，64，65，66，67，68，69，76，86，96，共19个； 既是6的倍数，又含6的数：6，36，60，66，96，共5个； 6的倍数且不含6的数：（个） 含6且不是6的倍数：（个） （次） 答：共拍了54次手。 【考点剖析】在1~100这100个数里面，含2、3、4、5、6、7、8、9的数的个数是一样多的。 17．（24-25五年级下·全国·单元测试）数学老师买来一百多颗糖果和同学们做游戏，游戏规则如下：在游戏开始前，老师先从袋子里拿走10个以内的任意数量的糖果，再依次提问：袋子里的糖数是质数还是合数？答对可以拿走3颗糖，答错只能拿走1颗糖。32个同学全部回答合数，那么游戏结束，同学们拿走的糖果总数最少是多少颗？ 【答案】92颗 【思路引导】根据质数的意义，一个数如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数。假设老师拿走一些糖果后，袋子里的糖果颗数是质数a，大于2的质数均为奇数。第一个同学回答合数，只能拿走1颗糖，a－1＝偶数，此时袋子里剩余糖数是合数；第二个同学可以拿走3颗糖，a－4＝奇数。每3个连续的数中一定有一个是3的倍数，所以当a－4是3的倍数时，a－4以及后面的数都是合数，每个同学都能得到3颗糖果，同学们拿走的糖果总数为1＋31×3＝94（颗）；当a－4是质数时，可以拿走1颗糖果，剩余糖果数为a－5，a－5是偶数也是合数，可以拿走3颗糖果，剩余糖果数为a－8，a－8是3的倍数，是合数，后面均为3的倍数，那么同学们拿走的糖果总数为2×1＋30×3＝92（颗）。 【规范解答】假设老师拿走一些糖果后，袋子里的糖果颗数是质数。 情况一：1＋31×3 ＝1＋93 ＝94（颗） 情况二：2×1＋30×3 ＝2＋90 ＝92（颗） 92＜94 答：同学们拿走的糖果总数最少是92颗。 【考点剖析】此题主要理解质数、合数、奇数、偶数的定义，再根据奇数－奇数＝偶数，每3个连续的数中一定有一个是3的倍数，进行分析解答。 18．（2025五年级下·全国·专题练习）四个连续的自然数，它们从小到大依次是3的倍数，5的倍数，7的倍数，9的倍数。要使这四个自然数的和最小，这四个连续的自然数分别是多少？ 【答案】分别是159，160，161，162 【思路引导】一个自然数是5的倍数，则它的个位数就是0或5两个数字；所以第二个数的个位数是0或是5，前面一个数个位是9或者4，后面一个数个位是1或者6，最后一个数个位是2或者7，据此分类讨论。 【规范解答】四个连续自然数个位为： （1）9，0，1，2，而个位数是2的且是9的最小倍数只能是 8×9＝72，或者18×9＝162或者28×9＝252……，再比较前面的条件是3，5，7倍数，明显69，70，71，72不行，个位为9，0，1，2的四个连续自然数中最小的是159，160，161，162； （2）4、5、6、7，而个位数是7的且是9的最小倍数只能是 3×9＝27，或者13×9＝117或者23×9＝207……，再比较前面的条件是3，5，7倍数，明显24、25、26、 27；114、115、116、117和204、205、206、207；都不成立。 答：这四个连续自然数分别是159，160，161，162。 【考点剖析】解答此题的突破点在5的倍数上，找出了突破口再结合题意，分别求出各数，进而得出结论。 19．（19-20五年级下·全国·课后作业）五（1）班共有40名学生参加了暑期军训。教官要求学生排成一排从左到右报数，1、2、3、4…，然后教官让所有报数是4的倍数的同学向后转，接着又让所有报数是5的倍数的同学向后转。现在没有动过的学生有多少人？ 【答案】24人 【思路引导】40以内（含40）的自然数中，4的倍数有10个，5的倍数有8个，20的倍数有2个。 【规范解答】40－10－8＋2＝24（人） 20．（18-19五年级下·全国·单元测试）用棱长是1cm的小正方体靠墙角摆成如图所示的几何体． （1）摆这个几何体一共用了多少个正方体？ （2）这个几何体露在外面的面积是多少平方厘米？ （3）从图中取走（    ）号小正方体后，从正面、上面、右面看到的形状都不变． 【答案】（1）20个     （2）30cm2   （3）5号 【思路引导】（1）几何体从上到下用的小正方体的个数依次是1个、3个、6个和10个． （2）因为小正方体的棱长是1cm，所以一个面的面积是1 cm2.从正面、上面、右面看，都可以看到有10个小正方形露在外面，所以这个几何体露在外面的面积是30 cm2. （3）要使正面、上面、右面看到的形状不变，就要考虑取走从正面、上面、右面看都重叠的小正方体，由题目中的几何体可知，是5号小正方体． 【规范解答】（1）1+3+6+10=20（个） （2）1×1×（10+10+10）=30（cm2） （3）要使正面、上面、右面看到的形状不变，就要考虑取走从正面、上面、右面看都重叠的小正方体，由题目中的几何体可知，是5号小正方体． $$