专题05：三角形-2025年四升五年级数学暑假专项提升（人教版）（解析版+学生版）

2025年四升五年级数学暑假专项提升（人教版） 专题05：三角形 知识点01：三角形的特性 1、三角形的定义：由3条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。 2、三角形的各部分的名称：三角形有3条边，3个顶点，3个角。 3、三角形的表示方法：为了表达方便，可以用字母A、B、C分别表示三角形的3个顶点。下面的三角形可以表示成三角形ABC。 4、三角形的高 （1）定义：从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。这条对边叫做三角形的底。 （2）一个三角形有3条高，画哪条边上的高，垂足就在那条边上（或那条边的延长线上），底和高是一一对应的。画高要用虚线表示，标上垂直符号。 （3）高的画法：高有3个要素：边、对面端点、垂线。 ①找到题目中要求画高的底边。 ②找到底边对面的顶点。 ③过已经找到的顶点向底边垂线。（记得标上垂直符号！） 5、三角形的特性：三角形具有稳定性。 6、三角形三边关系 （1）三角形任意两边之和大于第三边。 （2）任意两边之差小于第三边。 7、两点间的所有连线中线段最短。 知识点02：三角形的分类 1、按角分： 2、按边分： （1）等腰三角形 相等的两条边叫做三角形的腰。 两腰与底边的夹角叫做底角。 等腰三角形的两腰相等。 等腰三角形的两个底角也相等。 （2）等边三角形 等边三角形也叫做正三角形。 等边三角形3条边都相等。 等边三角形3个角也相等，都是60°。 等边三角形是特殊的等腰三角形。 （3）不等边三角形 不等边三角形的三条边互不相等。 知识点03：三角形的内角和 1、三角形的内角和 （1）三角形的内角和是180°。 （2）三角形内角和的应用：在一个三角形中，已知两个角的度数，可以根据“三角形的内角和是180°”，求出第三个角的度数。 2、探究多边形的内角和 （1）四边形的内角和是360°。 （2）多边形的内角和：多边形的内角和＝（边数－2）×180°。 1．一个三角形的两条边长分别是和，第三条边长可能是（    ）。 A． B． C． 2．下面每一组都有3根小棒，其中能围成三角形的是第（    ）组。 A．4cm、3cm、7cm B．9cm、15cm、7cm C．9cm、12cm、2cm 3．屋顶的屋架做成三角形，是利用三角形（    ）的特征。 A．内角和是 B．稳定性 C．容易变形 4．如图中的三角形被挡住了两个角，那么它（    ）。 A．一定是锐角三角形 B．不可能是钝角三角形 C．可能是等腰三角形 5．下面是用一副三角尺拼成的角，拼出的角是105一组是（    ）。 A．   B．   C．   6．根据三角形的内角和是180°推导下边两个图形的内角和。梯形内角和是（ ）°，五边形的内角和是（ ）°。 7．一个等腰三角形，它的一个底角是55°，它的顶角是（ ）°。 8．如下图，一张三角形纸片被撕去了一个角，撕去的这个角是（ ）度；按角分类，这是一个（ ）三角形。 9．一个三角形中一条边长是3cm，另一条边长是5cm，若第三条边是整厘米数，则第三条边最大是（ ）cm，最小是（ ）cm。 10．已知等腰三角形中有一个角是50°。如果这个角是等腰三角形的顶角，那么它的一个底角是（ ）°；如果这个角是等腰三角形的底角，那么它的顶角是（ ）°。 11．△ABC的一个内角是，剪去这个角，剩下图形的内角和是（ ）度。 12．算一算。 等腰三角形，AC＝AB，∠A＝ （ ），∠B＝（ ）。 ∠1＝（ ），∠2＝（ ）。 ∠1＝（ ）。 13．求的度数。 14．画出下面图形给定底边上的高。 15．如图，流动红旗是等腰三角形，已知底角是顶角的2倍，顶角是（    ）度。 A．54° B．36° C．72° 16．已知如图中的三角形是等腰三角形，那么是（    ）。 A． B． C． 17．一个不可伸缩的软绳圈和A、B、C三颗钉子钉成了一个三角形（如图），如果将这个三角形的两个顶点不动，移动第三个顶点处的钉子后，再加一颗钉子把它钉成一个长方形，那么这个长方形的面积最大是（    ）cm2（绳粗忽略不计）。    A．135 B．70 C．72 18．如图1，把正方形剪成一个特殊的三角形。 （1）图中∠1＝（ ），∠2＝（ ）。 （2）如果正方形的边长是5厘米，那么三角形的周长是（ ）厘米。 （3）如果把这个特殊的三角形沿虚线剪去∠1（如图2），在剩下的四边形中：∠3＋∠4＝（ ），∠5＋∠6＝（ ）。 19．如图，已知∠5＝110°，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝（ ）°。 20．一根铁丝可以围成一个边长8厘米的等边三角形，如果改围成一个正方形，那么正方形的边长是多少厘米？ 21．下图中，已知∠1＝∠B，那么∠2一定等于∠C。请有理有据地说明∠2＝∠C的理由。 22．一个三角形它有两个角都是60°，它的一条边长是16cm。另一个等腰三角形的周长与它相等，已知这个等腰三角形的底边长22cm，它的腰长是多少cm？ 23．如图：已知一个三角形，，求和的度数。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年四升五年级数学暑假专项提升（人教版） 专题05：三角形 知识点01：三角形的特性 1、三角形的定义：由3条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。 2、三角形的各部分的名称：三角形有3条边，3个顶点，3个角。 3、三角形的表示方法：为了表达方便，可以用字母A、B、C分别表示三角形的3个顶点。下面的三角形可以表示成三角形ABC。 4、三角形的高 （1）定义：从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。这条对边叫做三角形的底。 （2）一个三角形有3条高，画哪条边上的高，垂足就在那条边上（或那条边的延长线上），底和高是一一对应的。画高要用虚线表示，标上垂直符号。 （3）高的画法：高有3个要素：边、对面端点、垂线。 ①找到题目中要求画高的底边。 ②找到底边对面的顶点。 ③过已经找到的顶点向底边垂线。（记得标上垂直符号！） 5、三角形的特性：三角形具有稳定性。 6、三角形三边关系 （1）三角形任意两边之和大于第三边。 （2）任意两边之差小于第三边。 7、两点间的所有连线中线段最短。 知识点02：三角形的分类 1、按角分： 2、按边分： （1）等腰三角形 相等的两条边叫做三角形的腰。 两腰与底边的夹角叫做底角。 等腰三角形的两腰相等。 等腰三角形的两个底角也相等。 （2）等边三角形 等边三角形也叫做正三角形。 等边三角形3条边都相等。 等边三角形3个角也相等，都是60°。 等边三角形是特殊的等腰三角形。 （3）不等边三角形 不等边三角形的三条边互不相等。 知识点03：三角形的内角和 1、三角形的内角和 （1）三角形的内角和是180°。 （2）三角形内角和的应用：在一个三角形中，已知两个角的度数，可以根据“三角形的内角和是180°”，求出第三个角的度数。 2、探究多边形的内角和 （1）四边形的内角和是360°。 （2）多边形的内角和：多边形的内角和＝（边数－2）×180°。 1．一个三角形的两条边长分别是和，第三条边长可能是（    ）。 A． B． C． 【答案】C 【分析】根据三角形三边关系判断：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边。 【详解】A．8＋10＝18（厘米），18＝18，不能组成三角形 B．10－8＝2（厘米），2＝2，不能组成三角形 C．6＋8＞10（厘米），10－8＝2（厘米），2＜6，能组成三角形 故答案为：C 2．下面每一组都有3根小棒，其中能围成三角形的是第（    ）组。 A．4cm、3cm、7cm B．9cm、15cm、7cm C．9cm、12cm、2cm 【答案】B 【分析】根据三角形两边之和必然大于第三边，逐项分析即可。 【详解】A．3＋4＝7，所以不能围成三角形； B．9＋7＞15，所以能围成三角形； C．2＋9＜12，所以不能围成三角形。 故答案为：B 3．屋顶的屋架做成三角形，是利用三角形（    ）的特征。 A．内角和是 B．稳定性 C．容易变形 【答案】B 【分析】三角形具有稳定性，不容易变形，据此解答。 【详解】根据分析：屋顶的屋架做成三角形，是利用三角形稳定性的特征。 故答案为：B 4．如图中的三角形被挡住了两个角，那么它（    ）。 A．一定是锐角三角形 B．不可能是钝角三角形 C．可能是等腰三角形 【答案】C 【分析】根据图示，露出的角是一个60°的锐角，挡住的两个角可能有一个直角，或一个钝角或两个锐角，据此解答。 【详解】三角形被挡住了两个角，那么它可能是锐角三角形、直角三角形及钝角三角形，也可能是等腰三角形。 故答案为：C 5．下面是用一副三角尺拼成的角，拼出的角是105一组是（    ）。 A．   B．   C．   【答案】B 【分析】根据三角尺上各角的度数特点，结合选项，完成题目。 【详解】A．45°＋30°＝75°，不符合题意 B．45°＋60°＝105°，符合题意。 C．90°＋30°＝120°，不符合题意。 故答案为：B。 6．根据三角形的内角和是180°推导下边两个图形的内角和。梯形内角和是（ ）°，五边形的内角和是（ ）°。 【答案】 360 540 【分析】从多边形的一个顶点出发，向与它不相邻的顶点画虚线段，看多边形分成了几个三角形，三角形的内角和是180°，用分成的三角形个数乘180°即是多边形的内角和。 【详解】 180°×2＝360° 180°×3＝540° 根据三角形的内角和是180°，推导出下边两个图形的内角和。梯形的内角和是360°，五边形的内角和是540°。 7．一个等腰三角形，它的一个底角是55°，它的顶角是（ ）°。 【答案】70 【分析】三角形的内角和为180°。在等腰三角形中，两个底角相等。一个底角为55°，那么另一个底角也为55°，直接用180°减两个底角的度数即可算出顶角的度数。 【详解】180°－55°－55° ＝125°－55° ＝70° 故一个等腰三角形，它的一个底角是55°，它的顶角是70°。 8．如下图，一张三角形纸片被撕去了一个角，撕去的这个角是（ ）度；按角分类，这是一个（ ）三角形。 【答案】 38 锐角 【分析】三角形内角和是180°，因此，用180°减去已知两个角的度数，即可求出撕去的角的度数； 大于0°小于90°的角是锐角，等于90°的角是直角，大于90°小于180°的角是钝角，根据三角形的分类，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，据此解答即可。 【详解】180°－60°－82° ＝120°－82° ＝38° 82°、60°、38°都是锐角，所以这个三角形是锐角三角形。 一张三角形纸片被撕去了一个角，撕去的这个角是38度；按角分类，这是一个锐角三角形。 9．一个三角形中一条边长是3cm，另一条边长是5cm，若第三条边是整厘米数，则第三条边最大是（ ）cm，最小是（ ）cm。 【答案】 7 3 【分析】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；进行解答即可。 【详解】因为5－3＜第三边＜5＋3， 所以2＜第三边＜8， 即第三边的取值在2～8cm（不包括2cm和8cm）， 因为第三条边是整厘米数，所以第三条边最大是8－1＝7（cm），最小是2＋1＝3（cm）。 10．已知等腰三角形中有一个角是50°。如果这个角是等腰三角形的顶角，那么它的一个底角是（ ）°；如果这个角是等腰三角形的底角，那么它的顶角是（ ）°。 【答案】 65 80 【分析】因为三角形的内角和是180°，用“180°－50°＝130°”求出两个底角的度数，又因为等腰三角形的两个底角相等，用“130°÷2”求出一个底角的度数；已知等腰三角形的一个底角是50°，利用等腰三角形的性质得另一个底角也是50°，根据三角形的内角和是180°，用“180°－50°－50°”求出顶角的度数。 【详解】（180°－50°）÷2 ＝130°÷2 ＝65° 180°－50°－50°＝80° 即如果这个角是等腰三角形的顶角，那么它的一个底角是65°；如果这个角是等腰三角形的底角，那么它的顶角是80°。 11．△ABC的一个内角是，剪去这个角，剩下图形的内角和是（ ）度。 【答案】360 【分析】由图示可知，剩下的图形是一个四边形，四边形的内角和＝（四边形的边数－2）×180°，依此计算并填空。 【详解】（4－2）×180° ＝2×180° ＝360° 剩下图形的内角和是360度。 12．算一算。 等腰三角形，AC＝AB，∠A＝ （ ），∠B＝（ ）。 ∠1＝（ ），∠2＝（ ）。 ∠1＝（ ）。 【答案】 54°/54度 63°/63度 20°/20度 20°/20度 25°/25度 【分析】（1）先根据等腰三角形的两个底角相等，求出∠B＝63°，然后三角形的内角和等于180°，用180°－63°－63°即可求出∠A的度数； （2）根据三角形的内角和是180°，已知两个角，用180°分别减去这两个角即可求出另外一个角； （3）先用180°减去65°求出和65°相邻的这个角，然后根据三角形的内角和是180°，用180°分别减去这两个角即可求出另外一个角，由此解答即可。 【详解】180°－63°－63° ＝117°－63° ＝54° 等腰三角形，AC＝AB，∠A＝63°，因为等腰三角形的两个底角相等，所以∠B＝63°。 90°－70°＝20° 180°－90°－70° ＝90°－70° ＝20° ∠1＝20°，∠2＝20°。 180°－65°＝115° 180°－40°－115° ＝140°－115° ＝25° ∠1＝25°。 13．求的度数。 【答案】65° 【分析】，从图可知：∠2＋110°＝180°，因此∠2＝180°－110°；三角形的内角和为180°，因此∠1＝180°－∠2－45°；据此解答。 【详解】∠2＝180°－110°＝70° ∠1＝180°－70°－45° ＝110°－45° ＝65° 14．画出下面图形给定底边上的高。 【答案】见详解 【分析】从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。 从三角形一个顶点向它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高，垂足所在的边叫做三角形的底。 【详解】如图： 15．如图，流动红旗是等腰三角形，已知底角是顶角的2倍，顶角是（    ）度。 A．54° B．36° C．72° 【答案】B 【分析】根据三角形的内角和等于180°和等腰三角形的两个底角相等，已知底角是顶角的2倍，顶角是1份，则一个底角是这样的2份，总共是2＋2＋1＝5份对应180°，解答此题即可。 【详解】180°÷（2＋2＋1） ＝180°÷5 ＝36° 顶角是36°。 故答案为：B 16．已知如图中的三角形是等腰三角形，那么是（    ）。 A． B． C． 【答案】C 【分析】三角形的内角和是180°，图中的三角形是一个等腰三角形，利用180°减去130°除以2即可求出底角；∠1与35°和三角形的底角组成了一个平角，利用平角减去已知的角就是∠1的度数。 【详解】 因为，所以。 故答案为：C 17．一个不可伸缩的软绳圈和A、B、C三颗钉子钉成了一个三角形（如图），如果将这个三角形的两个顶点不动，移动第三个顶点处的钉子后，再加一颗钉子把它钉成一个长方形，那么这个长方形的面积最大是（    ）cm2（绳粗忽略不计）。    A．135 B．70 C．72 【答案】C 【分析】根据题意，分三种情况讨论，分别去掉A、B、C三颗钉子，先确定长方形的一条边，再根据长方形的周长求出长方形的另一条边；然后根据长方形的面积＝长×宽，求出三种情况下的长方形的面积，进行比较，得出结论。 【详解】情况一：若去掉A处的钉子，则长方形的一边为9cm，另一边为： （15＋10－9）÷2 ＝16÷2 ＝8（cm） 长方形的面积：9×8＝72（cm2） 情况二：若去掉B处的钉子，则长方形的一边为15cm，另一边为： （10＋9－15）÷2 ＝4÷2 ＝2（cm） 长方形的面积：15×2＝30（cm2） 情况三：若去掉C处的钉子，则长方形的一边为10cm，另一边为： （15＋9－10）÷2 ＝14÷2 ＝7（cm） 长方形的面积：10×7＝70（cm2） 72＞70＞30 综上所述，这个长方形的面积最大是72cm2。 故答案为：C 18．如图1，把正方形剪成一个特殊的三角形。 （1）图中∠1＝（ ），∠2＝（ ）。 （2）如果正方形的边长是5厘米，那么三角形的周长是（ ）厘米。 （3）如果把这个特殊的三角形沿虚线剪去∠1（如图2），在剩下的四边形中：∠3＋∠4＝（ ），∠5＋∠6＝（ ）。 【答案】（1） 60 30 （2）15 （3） 120 240 【分析】（1）斜折上去的那条边就是正方形下面那条边，因为是对折，所以得到的三角形三边相等，等边三角形三个角都是60°，而2个∠2＝∠1，所以∠2是∠1度数的一半；据此解答。 （2）因为正方形的边长等于三角形边长，而三角形为等边三角形，三角形的周长为三边之和；据此解答。 （3）等边三角形三个角都是60°，所以∠3＋∠4＝60°＋60°＝120°四边形的内角和为360°，所以∠5＋∠6＝360°－60°－60°＝240°；据此解答。 【详解】（1）因为∠1为等边三角形的一个角，所以∠1＝60°； 60°÷2＝30°，所以∠2＝30°，。 （2）5＋5＋5＝15（厘米），那么得到的三角形的周长是15厘米。 （3）∠3＋∠4＝60°＋60°＝120°； ∠5＋∠6＝360°－60°－60°＝240° 19．如图，已知∠5＝110°，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝（ ）°。 【答案】220 【分析】如图：，根据平角的认识，可知∠6＝∠7＝180°－∠5，据此求出∠6和∠7是70°，根据三角形的内角和，可知∠1＋∠2＝180°－∠6，∠3＋∠4＝180°－∠7，据此求出∠1＋∠2＋∠3＋∠4的结果。 【详解】180°－110°＝70° ∠6和∠7是70°， ∠1＋∠2 ＝180°－70° ＝110° ∠3＋∠4 ＝180°－70° ＝110° ∠1＋∠2＋∠3＋∠4 ＝110°＋110° ＝220° 已知∠5＝110°，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝220°。 20．一根铁丝可以围成一个边长8厘米的等边三角形，如果改围成一个正方形，那么正方形的边长是多少厘米？ 【答案】6厘米；6 【分析】用的是同一根铁丝，因此等边三角形的周长会等于正方形的周长，先根据等边三角形的周长＝边长×3算出铁丝长度，再根据正方形的边长＝周长÷4求解即可。 【详解】8×3÷4 ＝24÷4 ＝6（厘米） 答：正方形的边长是6厘米。 21．下图中，已知∠1＝∠B，那么∠2一定等于∠C。请有理有据地说明∠2＝∠C的理由。 【答案】见详解 【分析】三角形内角和等于180°，分别计算出∠2和∠C，带入已知∠1＝∠B即可。 【详解】∠2＝180°－∠1－∠A ∠C＝180°－∠B－∠A ∠1＝∠B 所以∠2＝180°－∠B－∠A＝∠C 22．一个三角形它有两个角都是60°，它的一条边长是16cm。另一个等腰三角形的周长与它相等，已知这个等腰三角形的底边长22cm，它的腰长是多少cm？ 【答案】13cm 【分析】根据一个三角形它有两个角都是60°，可知这个三角形的第三个角也是60°，这是个等边三角形，等边三角形的三条边都相等，据此即可求出这个等边三角形的周长，也就是等腰三角形的周长，再根据等腰三角形的特征，即可求出等腰三角形的腰长。 【详解】180°－60°－60° ＝120°－60° ＝60° 这是个等边三角形； 16×3＝48（cm） （48－22）÷2 ＝26÷2 ＝13（cm） 答：它的腰长是13cm。 23．如图：已知一个三角形，，求和的度数。 【答案】50° 【分析】根据三角形的内角和等于180度解答此题即可。 【详解】 ∠1＝∠2＝（180°－80°）÷2 ＝100°÷2 ＝50° 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$