第02章 有理数及其运算 章节（25知识点回顾+56题型练习） 核心知识点与常见题型通关讲解练【暑假预习】2025-2026学年七年级上册数学（北师大版2024）

第02章 有理数及其运算 章节（25知识点回顾+56题型练习） 题型汇聚 题型一 正负数的定义 题型二 相反意义的量 题型三 正负数的实际应用 题型四 有理数的定义 题型五 0的意义 题型六 有理数的分类 题型七 带“非”字的有理数 题型八 数轴的三要素及其画法 题型九 用数轴上的点表示有理数 题型十 利用数轴比较有理数的大小 题型十一 数轴上两点之间的距离 题型十二 数轴上点的平移（动点问题） 题型十三 数轴上的规律探究 题型十四 相反数的定义 题型十五 化简多重符号 题型十六 相反数的应用 题型十七 绝对值的几何意义 题型十八 求一个数的绝对值 题型十九 绝对值非负性 题型二十 绝对值的其他应用 题型二十一 有理数大小比较 题型二十二 有理数大小比较的实际应用 题型二十三 有理数加法运算 题型二十四 有理数加法中的符号问题 题型二十五 有理数加法在生活中的应用 题型二十六 有理数加法运算律 题型二十七 有理数的减法运算 题型二十八 有理数减法的实际应用 题型二十九 有理数的加减混合运算 题型三十 有理数加减中的简便运算 题型三十一 有理数加减混合运算的应用 题型三十二 省略加法和括号的形式 题型三十三 根据点在数轴的位置判断式子的正负 题型三十四 两个有理数的乘法运算 题型三十五 多个有理数的乘法运算 题型三十六 有理数乘法的实际应用 题型三十七 倒数 题型三十八 有理数乘法运算律 题型三十九 有理数的除法运算 题型四十 有理数除法的应用 题型四十一 有理数乘除混合运算 题型四十二 有理数四则混合运算 题型四十三 有理数四则混合运算的实际应用 题型四十四 有理数幂的概念理解 题型四十五 有理数的乘方运算 题型四十六 有理数乘方逆运算 题型四十七 乘方的应用 题型四十八 用科学记数法表示绝对值大于1的数 题型四十九 将用科学记数法表示的数变回原数 题型五十 算“24”点 题型五十一 含乘方的有理数混合运算 题型五十二 程序流程图与有理数计算 题型五十三 计算器——有理数 题型五十四 求一个数的近似数 题型五十五 求近似数的精确度 题型五十六 近似数推断取值范围 知识清单 知识点1：正数、负数的定义 1.定义 正数：像 2%,4,3.5 这样大于0的数叫做正数.有时,为了明确表达意义,在正数的前面加上“+”(正)号.如 +2,+0.7。 负数:像 -3,-2.7%,-4.5 这样在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数 注意： 0 既不是正数，也不是负数 . 2. 数的符号  一个数前面的“ +”“－”号叫做它的符号，其中“ +”号可以省略不写，而“－”号不能省略不写 . 3. 符号“+”“－”的双重含义 (1) 作为运算符号是加减号； (2) 作为性质符号是正负号 . 特别解读 1. 正数的实质是大于 0的数，它可以带着“+” (正)号，也可以省略 “+”号. 2. 负数就是在正数的前面加上“-”号的数. 3. 正数与负数的特征： (1)不为0； (2)含“+”“－”号. 知识点2：有理数 1. 整数 正整数、0、负整数统称为整数,如-3,-2,0,1,2,3等 2.分数 正分数、负分数统称为分数,如+1-,0.18,-1.35,-分数都可以化为有限小数或无限循环小数的形式,同时有限小数和限循环小数 又都可以化为分数.无限不循环小数不能转化成分数. 3.有理数 整数和分数统称为有理数，“有理数都可以写成分数的形式， 4.几个常用数学名词的含义 (1)正整数:既是正数,又是整数的数 (2)负整数:既是负数,又是整数的数 (3)正分数:既是正数,又是分数的数 (4)负分数:既是负数,又是分数的数 (5)非负数:正数和 0. (6)非正数:负数和 0. (7)非负整数(也叫自然数):正整数和0. (8)非正整数:负整数和0. (9)正有理数:正整数和正分数 (10)负有理数:负整数和负分数 (11)非正有理数:0、负整数和负分数 (12)非负有理数:0、正整数和正分数 特别提醒 1. 非负整数是在整数范围内取非负数，包括正整数和 0. 2. 引入负数后，奇数和偶数的范围也相应地扩大了.奇数和偶数也可以是负数 . 3. 自然数包括 0 和正整数 . 知识点3：相反数 1.定义 只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0. 要点诠释： （1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同. （2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉. （3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数. （4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可. 2.相反数的性质 （1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）. （2）互为相反数的两数和为0. 知识点4：绝对值的意义 1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|. 要点分析： （1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有： （2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． （3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的． 知识点5：绝对值的性质 1.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 2.求法 （1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数． （2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等. （3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 知识点6：比较有理数的大小 两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0 要点分析： 利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小． 知识点7：数轴（重点） 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. 要点归纳： （1）原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可. （2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km、m、dm、cm等． （3）原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动． 知识点8：数轴上的点与有理数的关系（重点） 数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理教，还可以表示其他数，比如. 要点归纳： （1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示. （2）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 知识点9：数轴法比较有理数的大小 在数轴上表示出两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b． 知识点10．有理数的加法 （1）有理数加法法则： ①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加． ②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0． ③一个数同0相加，仍得这个数． （在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．） （2）相关运算律 交换律：a+b＝b+a； 结合律（a+b）+c＝a+（b+c）． 知识点11．有理数的减法 （1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a﹣b＝a+（﹣b） （2）方法指引： ①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号； ②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）； 【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律． 减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算． 知识点12．有理数的加减混合运算 （1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法． （2）方法指引： ①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式． ②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化． 知识点13．倒数 （1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a•＝1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． （2）方法指引： ①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【规律方法】求相反数、倒数的方法 求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可 求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一 求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置 注意：0没有倒数． 知识点14．有理数的乘法 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0． （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． （4）方法指引： ①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘． ②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单． 知识点15．有理数的除法 （1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a• （b≠0） （2）方法指引： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． （2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右． 知识点16．有理数的乘方 （1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．） （2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． （3）方法指引： ①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值； ②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减． 知识点17．非负数的性质：偶次方 偶次方具有非负性． 任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 知识点18．近似数和有效数字 （1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字． （2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法． （3）规律方法总结： “精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些． 知识点19．科学记数法—表示较大的数 （1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】 （2）规律方法总结： ①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号． 知识点20．科学记数法—表示较小的数 用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律 x的取值范围 表示方法 a的取值 n的取值 |x|≥10 a×10n 1≤|a| ＜10 整数的位数﹣1 |x|＜1 a×10﹣n 第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0） 知识点21．科学记数法—原数 （1）科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．若科学记数法表示较小的数a×10﹣n，还原为原来的数，需要把a的小数点向左移动n位得到原数． （2）把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 知识点22．科学记数法与有效数字 （1）用科学记数法a×10n（1≤a＜10，n是正整数）表示的数的有效数字应该由首数a来确定，首数a中的数字就是有效数字； （2）用科学记数法a×10n（1≤a＜10，n是正整数）表示的数的精确度的表示方法是：先把数还原，再看首数的最后一位数字所在的位数，即为精确到的位数． 例如：近似数4.10×105的有效数字是4，1，0；把数还原为410000后，再看首数4.10的最后一位数字0所在的位数是千位，即精确到千位． 知识点23．有理数的混合运算 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧 1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算． 2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解． 3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算． 4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便． 知识点24．计算器—基础知识 （1）计算器的面板是由键盘和显示器组成． （2）开机键和关机键各是AC/ON，OFF，在使用计算器时要按AC/ON键，停止使用时要按OFF键． （3）显示器是用来显示计算时输入的数据和计算结果的装置．键上的功能是第一功能，直接输入，下面对应的是第二功能，需要切换成才能使用． （4）开方运算按用到乘方运算键x2的第二功能键”和的第二功能键“”． （5）对于开平方运算的按键顺序是：2ndfx2被开方数ENTE． （6）对于开立方运算的按键顺序是：32ndf∧被开方数ENTE． （7）部分标准型具备数字存储功能，它包括四个按键：MRC、M﹣、M+、MU．键入数字后，按M+将数字读入内存，此后无论进行多少步运算，只要按一次MRC即可读取先前存储的数字，按下M﹣则把该数字从内存中删除，或者按二次MRC． 注意：由于计算器的类型不一样操作方式也不尽相同，可以参考说明书进行操作． 知识点25．计算器—有理数 计算器包括标准型和科学型两种，其中科学型使用方法如下：　　 （1）键入数字时，按下相应的数字键，如果按错可用（DEL）键消去一次数值，再重新输入正确的数字．　　 （2）直接输入数字后，按下对应的功能键，进行第一功能相应的计算． （3）按下（﹣）键可输入负数，即先输入（﹣）号再输入数值． 　　　 （4）开方运算按用到乘方运算键x2的第二功能键”和的第二功能键“”． （5）对于开平方运算的按键顺序是：2ndfx2被开方数ENTE或直接按键，再输入数字后按“＝”即可． （6）对于开立方运算的按键顺序是：32ndf∧被开方数ENTE或直接按x3，再输入数字后按“＝”即可 注意：由于计算器的类型不一样操作方式也不尽相同，可以参考说明书进行操作． 题型练习 题型一 正负数的定义 1．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）在下列四个数中，是负数的是（   ） A．0.1 B． C．0 D．2 题型二 相反意义的量 2．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）如果收入100元记为，那么支出80元记为 ． 题型三 正负数的实际应用 3．（24-25七年级上·青海西宁·期中）中国古代数学著作《九章算术》“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果水位上升3米记作米，那么水位下降8米记作（   ）米． A． B．11 C． D． 题型四 有理数的定义 4．（24-25七年级上·广东清远·期中）下列个数、、、、、每两个之间依次一个、，其中有理数有(   )个 A．3 B．4 C．5 D．6 题型五 0的意义 5．（24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）在下列说法中：如果，则有；既不是正数，也不是负数；一个有理数的绝对值是它本身，则这个数是正数；表示没有温度．正确的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型六 有理数的分类 6．（24-25七年级上·青海西宁·期中）将下列各数填入合适的集合内． ． 正数集合： 正有理数集合： 整数集合： 分数集合： 题型七 带“非”字的有理数 7．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）把下列各数填在相应的横线上 ，，，，0，， (1)整数：______________________； (2)负分数：____________________； (3)非负整数：________________． 题型八 数轴的三要素及其画法 8．（24-25七年级上·黑龙江佳木斯·期末）四位同学画数轴如下图所示，你认为正确的是（    ） A． B． C． D． 题型九 用数轴上的点表示有理数 9．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）在直线上表示下列各数：，2，，2.5，． 题型十 利用数轴比较有理数的大小 10．（24-25七年级上·广东惠州·期中）实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中绝对值最大的是（    ） A．a B．b C．c D．d 题型十一 数轴上两点之间的距离 11．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）数轴上表示－3的点与表示＋7的点之间的距离是4个单位长度．( ) 题型十二 数轴上点的平移（动点问题） 12．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知在数轴上有三个点，点A表示的数是，点B表示绝对值最小的数，点C表示的数是最大的负整数． (1)在数轴上把三点表示出来，并比较这三个点表示的数的大小；（用“＜”号连接） (2)直接写出如何移动点C，可以使它到点A和点B的距离相等． 题型十三 数轴上的规律探究 13．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）如图，正六边形（每条边长相等、每个角相等）在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为，．现将正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为1，像这样连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 题型十四 相反数的定义 14．（24-25七年级上·陕西安康·期末）如图是长方体的平面展开图，每个外表面都标注有字母．请回答下列问题： (1)如果在左面，在上面，则和分别在什么位置？ (2)如果该长方体中，相对的两个面上的字母表示的数互为相反数，且，，，求，，的值． 题型十五 化简多重符号 15．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）所有的正数组成正数集合，所有的负数组成负数集合，所有的正分数组成正分数集合，所有的非正整数组成非正整数集合．请把下列各数的序号分别填入相应的集合里： ①，②0，③，④，⑤2006，⑥，⑦． (1)正数集合： 　　； (2)负数集合 　　； (3)正分数集合： 　　； (4)非正整数集合： 　　． 题型十六 相反数的应用 16．（23-24七年级上·全国·课后作业）有理数，在数轴上的位置如图所示．    (1)在数轴上分别用，两点表示，； (2)若数与表示的点相距20个单位长度，则与表示的数分别是什么？ (3)在（2）的条件下，若数表示的点与数的相反数表示的点相距5个单位长度，则与表示的数是多少？ 题型十七 绝对值的几何意义 17．（24-25七年级上·广西南宁·期中）阅读下列材料： 经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时根据绝对值的几何意义，也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．可以表示5与之差的绝对值．也可以理解为5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)表示数轴上4与___________所对应的两点之间的距离． (2)表示数轴上有理数所对应的点到___________所对应的点之间的距离，表示数轴上有理数所对应的点到___________所对应的点之间的距离． (3)利用绝对值的几何意义，请找出有符合条件的整数，使得请直接写出这样的整数的值：_________________________________． (4)利用绝对值的几何意义，求出的最小值． 题型十八 求一个数的绝对值 18．（24-25七年级上·广东惠州·期中）把下列各数填在相应的大括号里： 整数：{     ……} 非负数：{     ……} 分数：{     ……} 负有理数：{     ……} 题型十九 绝对值非负性 19．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）若为有理数，下列判断：①总是正数，②总是正数；③的最小值为9；④的最大值是1；其中错误的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二十 绝对值的其他应用 20．（24-25七年级上·山西朔州·阶段练习）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准质量的是（） A．B． C． D． 题型二十一 有理数大小比较 21．（2025·广东揭阳·一模）下面哪个数最小（   ） A．0 B． C． D． 题型二十二 有理数大小比较的实际应用 22．（2025·河南南阳·二模）下列选项记录了我省四个城市某年一月份的平均气温，其中平均气温最低的是（　　） A．郑州 B．周口 C．南阳 D．开封 题型二十三 有理数加法运算 23．（24-25七年级上·广东广州·期中）计算： ；    ； ； ；        ；      ； ； ； ； ． 题型二十四 有理数加法中的符号问题 24．（七年级上·北京·期中）如果，，，则下列各式中大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二十五 有理数加法在生活中的应用 25．（24-25七年级上·广东云浮·期末）某地一天早晨的气温是，中午上升了，则这天中午的气温是（   ） A．℃ B．9 C． D．3 题型二十六 有理数加法运算律 26．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）小明同学在解题时，将式子变成后再进行计算，该同学运用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．乘法分配律 题型二十七 有理数的减法运算 27．（2025·安徽蚌埠·二模）与数5的和等于0的数是（    ） A． B． C． D．0 题型二十八 有理数减法的实际应用 28．（2025·内蒙古呼伦贝尔·一模）“玉兔号”是我国首辆月球车，能够耐受月球表面的最低温度是，最高温度是，则它能够耐受的温差是（    ） A． B． C． D． 题型二十九 有理数的加减混合运算 29．（22-23七年级上·广西河池·期中）计算： 题型三十 有理数加减中的简便运算 30．（24-25七年级上·福建莆田·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型三十一 有理数加减混合运算的应用 31．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）某快递驿站将收到的快件数记为正数，取走的快件数记为负数，其近三天的快件进出情况如表所示，表中星期四的数据被墨水污染了，请你算出星期四快件的进出数为（    ） 星期三 星期四 ■ 星期五 三天合计 A． B． C． D． 题型三十二 省略加法和括号的形式 32．（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）将式子写成省略加号的形式 ，读作： ． 题型三十三 根据点在数轴的位置判断式子的正负 33．（24-25七年级上·广东·期中）已知有理数，在数轴上的位置如图所示． (1)确定符号（用“、”填空）： ______，______； (2)化简：． 题型三十四 两个有理数的乘法运算 34．（22-23七年级上·广东韶关·期中）计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 题型三十五 多个有理数的乘法运算 35．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）几个不是的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正；负因数的个数是奇数时，积为负．( ) 题型三十六 有理数乘法的实际应用 36．（23-24·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一间多媒体教室长15米，宽8米，高4米，要粉刷这间教室的墙壁和天花板（门窗除外）．门窗的面积是23平方米，如果每平方米需花8元涂料费，粉刷这间教室需要涂料费多少钱？ 题型三十七 倒数 37．（24-25七年级上·广西南宁·期中）的倒数是（   ） A． B． C． D． 题型三十八 有理数乘法运算律 38．（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 题型三十九 有理数的除法运算 39．（24-25七年级上·山东聊城·期末）已知两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论： ①；②；③；④；⑤，正确的是 （只填序号）． 题型四十 有理数除法的应用 40．（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）年在上海举办了第十四届国际数学教育大会（简称），大会的标识如图所示，其中蕴含着丰富的数学文化元素，体现了中国传统文化的博大精深．图案中右下方的图形是用中国古代的计数符号表示的八进制数，它代表着大会召开的年份，请写出这个八进制数 ． 题型四十一 有理数乘除混合运算 41．（24-25七年级上·北京·期中）计算： 题型四十二 有理数四则混合运算 42．（24-25七年级上·广西柳州·期中）小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，她借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，运算规则为：．如： (1)求的值； (2)求的值． 题型四十三 有理数四则混合运算的实际应用 43．（24-25七年级上·上海·阶段练习）甲乙二人分别从、两地同时出发，相向而行．出发时他们的速度比是，他们第一次相遇后，甲的速度提高了，乙的速度提高了，这样，当甲到达地时，乙离地还有14千米，那么、两地间的距离是多少千米？ 44．（24-25七年级上·辽宁锦州·期末）如图，数轴上的点，对应的有理数为，；下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 题型四十四 有理数幂的概念理解 45．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）计算：（    ） A． B． C． D． 题型四十五 有理数的乘方运算 46．（24-25七年级上·广东江门·期中）我们根据乘方运算：得出了一种新的运算，例如所对应的新运算分别为，；根据上述规律， ． 题型四十六 有理数乘方逆运算 47．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）已知，，，其中、、均为正整数， (1)根据题意，可求得 ， ， ； (2)计算的值； 题型四十七 乘方的应用 48．（24-25七年级上·江西赣州·期末）易经八卦中阴爻用中断线“--”表示或数字“0”表示，阳爻用连线“—”表示或数字“1”表示，这样八卦就可以用二进制来解释．二进制又可以转化成十进制，例如：： ．八卦与二进制的关系图如表所示． 卦名 乾 巽 离 艮 兑 坎 震 坤 符号 对应二进制数 表中“坎”用十进制表示的数是 ． 题型四十八 用科学记数法表示绝对值大于1的数 49．（24-25七年级上·河南郑州·期末）我国运算速度最快的超级计算机是神威太湖之光，其运算速度每秒约次运算，那么它工作一分钟可达到的运算次数用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 题型四十九 将用科学记数法表示的数变回原数 50．（2024七年级上·全国·专题练习）下列是用科学记数法表示的数，把原数填在横线上： ； ． 题型五十 算“24”点 51．（24-25七年级上·福建宁德·期中）“24点”游戏规则如下：将四个数用“加、减、乘、除”进行混合运算，（每个数必须且只用一次，可以添加括号），使其运算结果等于24．如3，8，8，9进行“24点”游戏的算式是或．现有，3，4，10，则列出一个求“24点”的算式是 （写出一种即可）． 题型五十一 含乘方的有理数混合运算 52．（22-23七年级上·四川南充·期中）计算： (1)； (2) 题型五十二 程序流程图与有理数计算 53．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）根据流程图中的程序，若输入x的值为，则输出y的值为 ． 题型五十三 计算器——有理数 54．（24-25七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）计算： ． 题型五十四 求一个数的近似数 55．（24-25七年级上·青海西宁·期中）用四舍五入法给取近似值，精确到的结果是 ． 题型五十五 求近似数的精确度 56．（23-24七年级上·四川乐山·期末）精确到 位，万精确到 位． 题型五十六 近似数推断取值范围 57．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）由四舍五入得到的近似数万精确到 位．由四舍五入得到的近似数精确到 位，它表示大于或等于 ，而小于 的数. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02章 有理数及其运算 章节（25知识点回顾+56题型练习） 题型汇聚 题型一 正负数的定义 题型二 相反意义的量 题型三 正负数的实际应用 题型四 有理数的定义 题型五 0的意义 题型六 有理数的分类 题型七 带“非”字的有理数 题型八 数轴的三要素及其画法 题型九 用数轴上的点表示有理数 题型十 利用数轴比较有理数的大小 题型十一 数轴上两点之间的距离 题型十二 数轴上点的平移（动点问题） 题型十三 数轴上的规律探究 题型十四 相反数的定义 题型十五 化简多重符号 题型十六 相反数的应用 题型十七 绝对值的几何意义 题型十八 求一个数的绝对值 题型十九 绝对值非负性 题型二十 绝对值的其他应用 题型二十一 有理数大小比较 题型二十二 有理数大小比较的实际应用 题型二十三 有理数加法运算 题型二十四 有理数加法中的符号问题 题型二十五 有理数加法在生活中的应用 题型二十六 有理数加法运算律 题型二十七 有理数的减法运算 题型二十八 有理数减法的实际应用 题型二十九 有理数的加减混合运算 题型三十 有理数加减中的简便运算 题型三十一 有理数加减混合运算的应用 题型三十二 省略加法和括号的形式 题型三十三 根据点在数轴的位置判断式子的正负 题型三十四 两个有理数的乘法运算 题型三十五 多个有理数的乘法运算 题型三十六 有理数乘法的实际应用 题型三十七 倒数 题型三十八 有理数乘法运算律 题型三十九 有理数的除法运算 题型四十 有理数除法的应用 题型四十一 有理数乘除混合运算 题型四十二 有理数四则混合运算 题型四十三 有理数四则混合运算的实际应用 题型四十四 有理数幂的概念理解 题型四十五 有理数的乘方运算 题型四十六 有理数乘方逆运算 题型四十七 乘方的应用 题型四十八 用科学记数法表示绝对值大于1的数 题型四十九 将用科学记数法表示的数变回原数 题型五十 算“24”点 题型五十一 含乘方的有理数混合运算 题型五十二 程序流程图与有理数计算 题型五十三 计算器——有理数 题型五十四 求一个数的近似数 题型五十五 求近似数的精确度 题型五十六 近似数推断取值范围 知识清单 知识点1：正数、负数的定义 1.定义 正数：像 2%,4,3.5 这样大于0的数叫做正数.有时,为了明确表达意义,在正数的前面加上“+”(正)号.如 +2,+0.7。 负数:像 -3,-2.7%,-4.5 这样在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数 注意： 0 既不是正数，也不是负数 . 2. 数的符号  一个数前面的“ +”“－”号叫做它的符号，其中“ +”号可以省略不写，而“－”号不能省略不写 . 3. 符号“+”“－”的双重含义 (1) 作为运算符号是加减号； (2) 作为性质符号是正负号 . 特别解读 1. 正数的实质是大于 0的数，它可以带着“+” (正)号，也可以省略 “+”号. 2. 负数就是在正数的前面加上“-”号的数. 3. 正数与负数的特征： (1)不为0； (2)含“+”“－”号. 知识点2：有理数 1. 整数 正整数、0、负整数统称为整数,如-3,-2,0,1,2,3等 2.分数 正分数、负分数统称为分数,如+1-,0.18,-1.35,-分数都可以化为有限小数或无限循环小数的形式,同时有限小数和限循环小数 又都可以化为分数.无限不循环小数不能转化成分数. 3.有理数 整数和分数统称为有理数，“有理数都可以写成分数的形式， 4.几个常用数学名词的含义 (1)正整数:既是正数,又是整数的数 (2)负整数:既是负数,又是整数的数 (3)正分数:既是正数,又是分数的数 (4)负分数:既是负数,又是分数的数 (5)非负数:正数和 0. (6)非正数:负数和 0. (7)非负整数(也叫自然数):正整数和0. (8)非正整数:负整数和0. (9)正有理数:正整数和正分数 (10)负有理数:负整数和负分数 (11)非正有理数:0、负整数和负分数 (12)非负有理数:0、正整数和正分数 特别提醒 1. 非负整数是在整数范围内取非负数，包括正整数和 0. 2. 引入负数后，奇数和偶数的范围也相应地扩大了.奇数和偶数也可以是负数 . 3. 自然数包括 0 和正整数 . 知识点3：相反数 1.定义 只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0. 要点诠释： （1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同. （2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉. （3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数. （4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可. 2.相反数的性质 （1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）. （2）互为相反数的两数和为0. 知识点4：绝对值的意义 1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|. 要点分析： （1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有： （2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． （3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的． 知识点5：绝对值的性质 1.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 2.求法 （1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数． （2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等. （3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 知识点6：比较有理数的大小 两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0 要点分析： 利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小． 知识点7：数轴（重点） 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. 要点归纳： （1）原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可. （2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km、m、dm、cm等． （3）原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动． 知识点8：数轴上的点与有理数的关系（重点） 数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理教，还可以表示其他数，比如. 要点归纳： （1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示. （2）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 知识点9：数轴法比较有理数的大小 在数轴上表示出两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b． 知识点10．有理数的加法 （1）有理数加法法则： ①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加． ②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0． ③一个数同0相加，仍得这个数． （在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．） （2）相关运算律 交换律：a+b＝b+a； 结合律（a+b）+c＝a+（b+c）． 知识点11．有理数的减法 （1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a﹣b＝a+（﹣b） （2）方法指引： ①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号； ②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）； 【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律． 减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算． 知识点12．有理数的加减混合运算 （1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法． （2）方法指引： ①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式． ②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化． 知识点13．倒数 （1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a•＝1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． （2）方法指引： ①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【规律方法】求相反数、倒数的方法 求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可 求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一 求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置 注意：0没有倒数． 知识点14．有理数的乘法 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0． （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． （4）方法指引： ①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘． ②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单． 知识点15．有理数的除法 （1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a• （b≠0） （2）方法指引： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． （2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右． 知识点16．有理数的乘方 （1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．） （2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． （3）方法指引： ①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值； ②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减． 知识点17．非负数的性质：偶次方 偶次方具有非负性． 任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 知识点18．近似数和有效数字 （1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字． （2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法． （3）规律方法总结： “精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些． 知识点19．科学记数法—表示较大的数 （1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】 （2）规律方法总结： ①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号． 知识点20．科学记数法—表示较小的数 用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律 x的取值范围 表示方法 a的取值 n的取值 |x|≥10 a×10n 1≤|a| ＜10 整数的位数﹣1 |x|＜1 a×10﹣n 第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0） 知识点21．科学记数法—原数 （1）科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．若科学记数法表示较小的数a×10﹣n，还原为原来的数，需要把a的小数点向左移动n位得到原数． （2）把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 知识点22．科学记数法与有效数字 （1）用科学记数法a×10n（1≤a＜10，n是正整数）表示的数的有效数字应该由首数a来确定，首数a中的数字就是有效数字； （2）用科学记数法a×10n（1≤a＜10，n是正整数）表示的数的精确度的表示方法是：先把数还原，再看首数的最后一位数字所在的位数，即为精确到的位数． 例如：近似数4.10×105的有效数字是4，1，0；把数还原为410000后，再看首数4.10的最后一位数字0所在的位数是千位，即精确到千位． 知识点23．有理数的混合运算 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧 1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算． 2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解． 3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算． 4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便． 知识点24．计算器—基础知识 （1）计算器的面板是由键盘和显示器组成． （2）开机键和关机键各是AC/ON，OFF，在使用计算器时要按AC/ON键，停止使用时要按OFF键． （3）显示器是用来显示计算时输入的数据和计算结果的装置．键上的功能是第一功能，直接输入，下面对应的是第二功能，需要切换成才能使用． （4）开方运算按用到乘方运算键x2的第二功能键”和的第二功能键“”． （5）对于开平方运算的按键顺序是：2ndfx2被开方数ENTE． （6）对于开立方运算的按键顺序是：32ndf∧被开方数ENTE． （7）部分标准型具备数字存储功能，它包括四个按键：MRC、M﹣、M+、MU．键入数字后，按M+将数字读入内存，此后无论进行多少步运算，只要按一次MRC即可读取先前存储的数字，按下M﹣则把该数字从内存中删除，或者按二次MRC． 注意：由于计算器的类型不一样操作方式也不尽相同，可以参考说明书进行操作． 知识点25．计算器—有理数 计算器包括标准型和科学型两种，其中科学型使用方法如下：　　 （1）键入数字时，按下相应的数字键，如果按错可用（DEL）键消去一次数值，再重新输入正确的数字．　　 （2）直接输入数字后，按下对应的功能键，进行第一功能相应的计算． （3）按下（﹣）键可输入负数，即先输入（﹣）号再输入数值． 　　　 （4）开方运算按用到乘方运算键x2的第二功能键”和的第二功能键“”． （5）对于开平方运算的按键顺序是：2ndfx2被开方数ENTE或直接按键，再输入数字后按“＝”即可． （6）对于开立方运算的按键顺序是：32ndf∧被开方数ENTE或直接按x3，再输入数字后按“＝”即可 注意：由于计算器的类型不一样操作方式也不尽相同，可以参考说明书进行操作． 题型练习 题型一 正负数的定义 1．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）在下列四个数中，是负数的是（   ） A．0.1 B． C．0 D．2 【答案】B 【知识点】正负数的定义 【分析】本题考查了正数和负数，掌握在正数前面加负号叫做负数是解题的关键．根据负数的定义即可得出答案． 【详解】解：是负数，0既不是正数也不是负数，和是正数， 故选：B． 题型二 相反意义的量 2．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）如果收入100元记为，那么支出80元记为 ． 【答案】 【知识点】相反意义的量 【分析】本题主要考查了正负数的意义，正负数是一对具有相反意义的量，若收入用“”表示，那么支出就用“”表示，据此求解即可． 【详解】解；如果收入100元记为，那么支出80元记为， 故答案为：． 题型三 正负数的实际应用 3．（24-25七年级上·青海西宁·期中）中国古代数学著作《九章算术》“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果水位上升3米记作米，那么水位下降8米记作（   ）米． A． B．11 C． D． 【答案】C 【知识点】正负数的实际应用 【分析】本题考查正负数的实际应用，结合题中所给的信息解答是解答的关键． 根据题意向上为正，下降为负结合负数的定义解答即可． 【详解】解：由题意，水位上升3米记作+3米，则水位下降应记为负数． 下降8米即与上升方向相反，数值为8米， 故记作米． 故选C． 题型四 有理数的定义 4．（24-25七年级上·广东清远·期中）下列个数、、、、、每两个之间依次一个、，其中有理数有(   )个 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】有理数的定义 【分析】根据整数和分数统称有理数，有限小数和无限循环小数都能化成分数，对各个数进行判断即可． 【详解】解：、、、、、每两个之间依次一个、， 其中有理数为、、、、，共5个， 故选：C． 题型五 0的意义 5．（24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）在下列说法中：如果，则有；既不是正数，也不是负数；一个有理数的绝对值是它本身，则这个数是正数；表示没有温度．正确的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【知识点】0的意义、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了绝对值的定义，的意义，解题的关键是熟练掌握有关概念和性质． 根据绝对值的定义，的意义逐一判断即可． 【详解】解：如果，则有，故原说法错误； 既不是正数，也不是负数，故原说法正确； 一个有理数的绝对值是它本身，则这个数是正数或，故原说法错误； 有温度，温度为度，温度可以为负数（零下）也可以为正数（零上），故原说法错误； 综上可得：正确，共个， 故选：． 题型六 有理数的分类 6．（24-25七年级上·青海西宁·期中）将下列各数填入合适的集合内． ． 正数集合： 正有理数集合： 整数集合： 分数集合： 【答案】；；； 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查了实数的分类，解决本题的关键是熟记有理数的分类． 根据正数、正有理数、整数、分数的定义即可解答． 【详解】解：正数集合： 正有理数集合： 整数集合： 分数集合： 题型七 带“非”字的有理数 7．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）把下列各数填在相应的横线上 ，，，，0，， (1)整数：______________________； (2)负分数：____________________； (3)非负整数：________________． 【答案】(1)，，0 (2)， (3)，0 【知识点】有理数的分类、求一个数的绝对值、带“非”字的有理数 【分析】本题考查了有理数和绝对值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据整数的定义进行解答即可； （2）根据负分数的定义进行解答即可； （3）根据非负分数的定义进行解答即可． 【详解】（1）解：整数：，，0； （2）负分数：，； （3）非负整数：，0． 题型八 数轴的三要素及其画法 8．（24-25七年级上·黑龙江佳木斯·期末）四位同学画数轴如下图所示，你认为正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数轴的三要素及其画法 【分析】本题考查了数轴的三要素及其画法，熟练掌握数轴的三要素及其画法是解题的关键：1、数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线；2、数轴的三要素：原点、正方向、单位长度；3、数轴的画法：①都是正数时，原点适当靠左；都是负数时，原点适当靠右；②既有正数又有负数时，如果所表示的正数离原点较远，则原点适当靠左；如果所表示的负数离原点较远，则原点适当靠右；4、注意事项：画数轴时，原点、正方向和单位长度缺一不可，且左边的数要比右边的小；单位长度的大小可以根据不同的需要选择． 根据数轴的三要素及其画法逐项分析判断即可． 【详解】 解：A. ，没有原点，故错误，选项不符合题意； B. ，数字大小写错了（应在左边），故错误，选项不符合题意； C. ，具备数轴的三要素，故正确，选项符合题意； D. ，没有正方向，故错误，选项不符合题意； 故选：． 题型九 用数轴上的点表示有理数 9．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）在直线上表示下列各数：，2，，2.5，． 【答案】见解析 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了用数轴表示出有理数，画出数轴在数轴上表示出各数即可．熟练掌握用数轴表示有理数的方法是解题关键． 【详解】解：画出数轴并在数轴上表示出各数如图所示： 题型十 利用数轴比较有理数的大小 10．（24-25七年级上·广东惠州·期中）实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中绝对值最大的是（    ） A．a B．b C．c D．d 【答案】D 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、绝对值的几何意义 【分析】此题主要考查了实数大小比较，正确理解绝对值的意义是解题关键． 直接利用绝对值的意义进而得出答案． 【详解】如图所示：实数a，b，c，d在数轴上的对应点，只有d距离原点的距离最远，故这四个数中，绝对值最大的是D， 故答案为：D． 题型十一 数轴上两点之间的距离 11．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）数轴上表示－3的点与表示＋7的点之间的距离是4个单位长度．( ) 【答案】错误 【知识点】数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查数轴上两点间距离的计算，解题的关键是掌握数轴上两点间距离的计算方法． 明确数轴上两点间距离的计算方法，计算两点间的距离并判断对错． 【详解】数轴上两点间距离计算方法：在数轴上，两点间的距离等于右边的点所表示的数减去左边的点所表示的数（也可以用来计算，a，b为两点所表示的数）． 表示的点与表示+7的点之间的距离为个单位长度，而不是4个单位长度，所以原说法错误． 故答案为：错误． 题型十二 数轴上点的平移（动点问题） 12．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知在数轴上有三个点，点A表示的数是，点B表示绝对值最小的数，点C表示的数是最大的负整数． (1)在数轴上把三点表示出来，并比较这三个点表示的数的大小；（用“＜”号连接） (2)直接写出如何移动点C，可以使它到点A和点B的距离相等． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小、数轴上两点之间的距离、数轴上点的平移（动点问题） 【分析】本题考查了绝对值的意义，数轴上表示有理数，数轴上两点间的距离，运用数轴比较有理数的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得出点B表示的数是0，点C表示的数是再在表示数轴表示各个数，最后比较大小，即可作答． （2）依题意，点C向左移动1个单位长度后，即移动后点C表示的数是即可满足到点A和点B的距离相等． 【详解】（1）解：∵点B表示绝对值最小的数，点C表示的数是最大的负整数， ∴点B表示的数是0，点C表示的数是 ∵点A表示的数是， 则三点在数轴上表示如图所示． 根据数轴上左边的数小于右边的数可知，． （2）解：∵点B表示的数是0，点C表示的数是点A表示的数是 ∴点C向左移动1个单位长度后，即移动后点C表示的数是可以使它到点A和点B的距离相等． 题型十三 数轴上的规律探究 13．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）如图，正六边形（每条边长相等、每个角相等）在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为，．现将正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为1，像这样连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【知识点】数轴上的规律探究 【分析】本题考查了数轴，以及图形类规律探究，根据题意找出规律进行求解是解决本题的关键． 根据题意可得，翻转后数轴上点1，3，5，7，9，11的对应的点分别是A，B，C，D，E，F，根据规律进行判定即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得，翻转后数轴上点1对应的是A， 数轴上点3对应的是B， 数轴上点5对应的是C， 数轴上点7对应的是D， 数轴上点9对应的是E， 数轴上点11对应的是F， …… 则， 所以连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是E． 故选：C． 题型十四 相反数的定义 14．（24-25七年级上·陕西安康·期末）如图是长方体的平面展开图，每个外表面都标注有字母．请回答下列问题： (1)如果在左面，在上面，则和分别在什么位置？ (2)如果该长方体中，相对的两个面上的字母表示的数互为相反数，且，，，求，，的值． 【答案】(1)在右面，在下面 (2)，， 【知识点】几何体展开图的认识、相反数的定义 【分析】本题主要考查了长方体的展开图，相反数定义，解题的关键是熟练掌握长方体展开图中相对面上的字． （1）根据E所在的面与C所在的面相对，A所在的面与D所在的面相对，即可得出答案； （2）根据相对的两个面上的字母表示的数互为相反数，结合相反数定义，得出答案即可． 【详解】（1）解：∵E所在的面与C所在的面相对，A所在的面与D所在的面相对，在左面，在上面， ∴E在右面，A在下面； （2）解：∵E所在的面与C所在的面相对，A所在的面与D所在的面相对，B所在的面与F所在的面相对， 又∵，，， ∴，，． 题型十五 化简多重符号 15．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）所有的正数组成正数集合，所有的负数组成负数集合，所有的正分数组成正分数集合，所有的非正整数组成非正整数集合．请把下列各数的序号分别填入相应的集合里： ①，②0，③，④，⑤2006，⑥，⑦． (1)正数集合： 　　； (2)负数集合 　　； (3)正分数集合： 　　； (4)非正整数集合： 　　． 【答案】(1)③⑤⑦ (2)①④⑥ (3)③⑦ (4)①②⑥ 【知识点】化简多重符号、有理数的分类 【分析】】本题考查有理数，熟练掌握其分类及定义是解题的关键．根据有理数的分类及定义即可求得答案． （1）正数包含正整数和正分数，据此求解即可； （2）负数包含负整数和负分数，据此求解即可； （3）正分数既是正数又是分数，据此求解即可； （4）非正整数包含负整数和0，据此求解即可；． 【详解】（1）解：正数集合：③，⑤2006，⑦， 故答案为：③⑤⑦； （2）解：负数集合：①，④，⑥， 故答案为：①④⑥； （3）解：正分数集合：③，⑦， 故答案为：③⑦； （4）解：非正整数集合：①，②0，⑥， 故答案为：①②⑥． 题型十六 相反数的应用 16．（23-24七年级上·全国·课后作业）有理数，在数轴上的位置如图所示．    (1)在数轴上分别用，两点表示，； (2)若数与表示的点相距20个单位长度，则与表示的数分别是什么？ (3)在（2）的条件下，若数表示的点与数的相反数表示的点相距5个单位长度，则与表示的数是多少？ 【答案】(1)见解析 (2)表示的数是，表示的数是10 (3)表示的数是5，表示的数是 【知识点】相反数的应用、相反数的定义、用数轴上的点表示有理数 【分析】（1）根据题意作图即可； （2）互为相反数的两个数到原点的距离相等，据此求出表示的点到原点的距离为，结合数轴即可作答； （3）结合（1）的图形，可得，先求出表示的点到原点的距离为，问题随之得解． 【详解】（1）如图，    （2）数与其相反数相距20个单位长度， 则表示的点到原点的距离为， ∴结合数轴，表示的数是， 即表示的数是； （3）如图，    即有， ∵表示的点到原点的距离为10，而数表示的点与数的相反数表示的点相距5个单位长度， ∴表示的点到原点的距离为， ∴表示的数是5，表示的数是． 【点睛】本题考查的是相反数的定义等知识，熟知以上知识是解答此题的关键． 题型十七 绝对值的几何意义 17．（24-25七年级上·广西南宁·期中）阅读下列材料： 经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时根据绝对值的几何意义，也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．可以表示5与之差的绝对值．也可以理解为5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)表示数轴上4与___________所对应的两点之间的距离． (2)表示数轴上有理数所对应的点到___________所对应的点之间的距离，表示数轴上有理数所对应的点到___________所对应的点之间的距离． (3)利用绝对值的几何意义，请找出有符合条件的整数，使得请直接写出这样的整数的值：_________________________________． (4)利用绝对值的几何意义，求出的最小值． 【答案】(1)1 (2)5， (3)，，0，1 (4)5 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的性质，掌握以上知识是解题的关键； （1）根据数轴上的两点距离可直接判断； （2）根据数轴上的两点距离可直接进行求解； （3）根据绝对值的几何意义，得出该式表示数轴上有理数所对应的点到的距离和到1的距离的和为3，进而求解； （4）利用绝对值的几何意义，写出的最小值； 【详解】（1）解：由题意得：表示数轴上4与1所对应的两点之间的距离； 故答案为：1； （2）解：表示数轴上有理数所对应的点到5所对应点之间的距离；表示数轴上有理数到所对应点之间的距离． 故答案为：5，； （3）解：由题意得：表示数轴上有理数所对应的点到的距离和到1的距离的和为3， 又∵， ∴， 又∵为整数， ∴表示的数为：，，0，1． 故答案为：，，0，1． （4）解：由题意得：当时，有最小值，最小值为：． 题型十八 求一个数的绝对值 18．（24-25七年级上·广东惠州·期中）把下列各数填在相应的大括号里： 整数：{     ……} 非负数：{     ……} 分数：{     ……} 负有理数：{     ……} 【答案】整数：； 非负数：； 分数： 负有理数： 【知识点】有理数的分类、求一个数的绝对值 【分析】本题考查了有理数的分类，解题的关键是明确整数，非负数，分数，负有理数的定义，再根据定义对所给的数进行分类． 先分别明确各类数的定义，再逐一判断所给的数属于哪一类，最后填入相应的大括号． 【详解】整数包括正整数，0，负整数，， 所以整数有； 非负数是指正数和0．正数有，还有0和． 所以非负数有； 分数包括有限小数和无限循环小数．都属于分数， 所以分数有； 负有理数：负有理数是指负整数和负分数． 所以负有理数有． 题型十九 绝对值非负性 19．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）若为有理数，下列判断：①总是正数，②总是正数；③的最小值为9；④的最大值是1；其中错误的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题考查绝对值的非负性，熟练掌握该知识点是解题关键，直接利用绝对值的非负性，分别分析即可得出答案． 【详解】解：①若，则，故①错误； ②， 总是正数，故②正确； ③， ，则的最小值为9，故③正确； ④， ，则的最小值是1，故④错误； 错误的是①④，共2个 故选：B． 题型二十 绝对值的其他应用 20．（24-25七年级上·山西朔州·阶段练习）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准质量的是（） A．B． C． D． 【答案】B 【知识点】绝对值的其他应用 【分析】本题考查了绝对值的知识点，解题的关键是理解绝对值的大小表示与标准质量偏差的大小，绝对值越小越接近标准质量． 分别求出四个足球质量与标准质量差值的绝对值，比较绝对值大小，绝对值最小的即为最接近标准质量的． 【详解】A、选项足球超过标准质量，其与标准质量差值的绝对值； B、选项足球不足标准质量，其与标准质量差值的绝对值； C、选项足球不足标准质量，其与标准质量差值的绝对值； D、选项足球超过标准质量，其与标准质量差值的绝对值． 比较，，，的大小，可得，B选项的绝对值最小，所以从轻重的角度看，B选项的足球最接近标准质量． 故选：C． 题型二十一 有理数大小比较 21．（2025·广东揭阳·一模）下面哪个数最小（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题主要考查了有理数比较大小．根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大，其值越小进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴最小的数是， 故选：B． 题型二十二 有理数大小比较的实际应用 22．（2025·河南南阳·二模）下列选项记录了我省四个城市某年一月份的平均气温，其中平均气温最低的是（　　） A．郑州 B．周口 C．南阳 D．开封 【答案】C 【知识点】有理数大小比较的实际应用 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，理解并掌握有理数比较大小的方法是解题关键．正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大，其值越小．比较出四个城市气温的大小即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴平均气温最低的是南阳． 故选：C． 题型二十三 有理数加法运算 23．（24-25七年级上·广东广州·期中）计算： ；    ； ； ；        ；      ； ； ； ； ． 【答案】；；；；；；；；； 【知识点】有理数加法运算、有理数的减法运算 【分析】本题考查了有理数的加减运算，运用有理数的加法法则和减法法则进行计算即可求解． 【详解】解：； ； ； ； ； ； ； ； ； ， 故答案为：；；；；；；；；；． 题型二十四 有理数加法中的符号问题 24．（七年级上·北京·期中）如果，，，则下列各式中大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、有理数加法中的符号问题 【分析】本题考查有理数与数轴，有理数的大小比较，先根据a，b的正负，结合判断出b比a的绝对值大，进而在数轴上表示出各数，利用数轴比较大小即可． 【详解】解：，， a为正数，b为负数， ， b比a的绝对值大， a，b，，在数轴上的位置如图所示： 由数轴可知，， 故选D． 题型二十五 有理数加法在生活中的应用 25．（24-25七年级上·广东云浮·期末）某地一天早晨的气温是，中午上升了，则这天中午的气温是（   ） A．℃ B．9 C． D．3 【答案】B 【知识点】有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查有理数的加法，正数和负数，根据题意列式计算即可． 【详解】解：， 即这天中午的气温是， 故选：B． 题型二十六 有理数加法运算律 26．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）小明同学在解题时，将式子变成后再进行计算，该同学运用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．乘法分配律 【答案】C 【知识点】有理数加法运算律 【分析】本题考查了加法的交换律和结合律，熟练掌握相关定义是关键．根据加法的结合律和交换律的定义解答即可．加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；加法的结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变． 【详解】解：根据小明的解题过程，应用了加法交换律和结合律． 故选：． 题型二十七 有理数的减法运算 27．（2025·安徽蚌埠·二模）与数5的和等于0的数是（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【知识点】有理数的减法运算 【分析】本题考查了有理数的减法运算，依题意列式，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴与数5的和等于0的数是， 故选：B 题型二十八 有理数减法的实际应用 28．（2025·内蒙古呼伦贝尔·一模）“玉兔号”是我国首辆月球车，能够耐受月球表面的最低温度是，最高温度是，则它能够耐受的温差是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】本题考查有理数减法的实际应用，用最高温度减去最低温度进行计算即可． 【详解】解：； 故选D． 题型二十九 有理数的加减混合运算 29．（22-23七年级上·广西河池·期中）计算： 【答案】 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的加减运算法则是解题的关键，根据有理数的加减运算进行计算即可求解． 【详解】解：原式 题型三十 有理数加减中的简便运算 30．（24-25七年级上·福建莆田·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3 (2) (3) (4)1 【知识点】有理数加减中的简便运算、有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了有理数的加减运算，解题的关键是∶ （1）根据有理数加法运算法则进行计算； （2）将减法统一为加法运算，然后利用加法交换律和结合律进行简便计算； （3）将减法统一为加法运算，然后利用加法交换律和结合律进行简便计算； （4）将减法统一为加法运算，然后利用加法交换律和结合律进行简便计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型三十一 有理数加减混合运算的应用 31．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）某快递驿站将收到的快件数记为正数，取走的快件数记为负数，其近三天的快件进出情况如表所示，表中星期四的数据被墨水污染了，请你算出星期四快件的进出数为（    ） 星期三 星期四 ■ 星期五 三天合计 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【分析】本题主要考查有理数加减运算的应用，解题的关键是理解题意；根据表格可得算式，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：； 故选D． 题型三十二 省略加法和括号的形式 32．（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）将式子写成省略加号的形式 ，读作： ． 【答案】 负、、负、、负的和(或负加减加减) 【知识点】省略加法和括号的形式 【分析】此题考查了有理数的加减混合运算，根据有理数去括号法则直接计算即可得到结果，熟练掌握去括号法则是解题的关键． 【详解】解： ， 读作：、、、、的和或加减加减， 故答案为：；负、、负、、负的和(或负加减加减） 题型三十三 根据点在数轴的位置判断式子的正负 33．（24-25七年级上·广东·期中）已知有理数，在数轴上的位置如图所示． (1)确定符号（用“、”填空）： ______，______； (2)化简：． 【答案】(1)， (2) 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数的加减混合运算、根据点在数轴的位置判断式子的正负、有理数加法中的符号问题 【分析】本题考查了数轴，绝对值以及有理数的加减法运算，熟练利用有理数的加法和减法法则判断两个有理数的和或差的符号是解决问题的关键． （1）利用有理数的加法和减法法则判断即可； （2）先化简每一个绝对值，然后再进行计算． 【详解】（1）解：由，在数轴上的位置，可知，且， 根据有理数加法法则得， 根据有理数减法法则得， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴ ． 题型三十四 两个有理数的乘法运算 34．（22-23七年级上·广东韶关·期中）计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法，根据有理数的乘法运算法则计算即可，掌握有理数的乘法运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 题型三十五 多个有理数的乘法运算 35．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）几个不是的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正；负因数的个数是奇数时，积为负．( ) 【答案】 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了多个有理数相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据多个有理数相乘的法则：几个不等于的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．几个数相乘，有一个因数为，积就为． 【详解】解：几个不是的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正；负因数的个数是奇数时，积为负，原说法正确， 故答案为：． 题型三十六 有理数乘法的实际应用 36．（23-24·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一间多媒体教室长15米，宽8米，高4米，要粉刷这间教室的墙壁和天花板（门窗除外）．门窗的面积是23平方米，如果每平方米需花8元涂料费，粉刷这间教室需要涂料费多少钱？ 【答案】粉刷这间教室需要涂料费2248元钱 【知识点】有理数乘法的实际应用 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，根据题意列出计算式是解题的关键． 根据题意可知教室需要粉刷的总面积为平方米，在乘以每平方米需花8元的涂料费，解答即可． 【详解】解： （元） ∴粉刷这间教室需要涂料费2248元钱． 题型三十七 倒数 37．（24-25七年级上·广西南宁·期中）的倒数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】倒数 【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，乘积为1的两个数互为倒数，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴的倒数是， 故选：D． 题型三十八 有理数乘法运算律 38．（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)0 (2) (3) (4) 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． （1）根据有理数的加减法可以解答本题； （2）根据有理数的加减法可以解答本题； （3）根据乘法分配律可以解答本题； （4）根据乘法分配律可以解答本题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型三十九 有理数的除法运算 39．（24-25七年级上·山东聊城·期末）已知两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论： ①；②；③；④；⑤，正确的是 （只填序号）． 【答案】①⑤ 【知识点】有理数的除法运算、两个有理数的乘法运算、有理数加法运算、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题考查数轴，有理数的四则运算，掌握相关运算法则是解题关键．由数轴可知，，①两数相除异号得负可判断；②两数相乘异号得负可判断；③同号两数相加取相同的符号可判断；④a的绝对值小于b的绝对值可判断；⑤，可判断． 【详解】解：①∵由数轴可知，， ∴， ∴①对； ②由数轴可知，， ∴， ∴②错； ③，， ∴， ∴③错； ④由数轴可知，， ∵a的绝对值小于b的绝对值， ∴， ∴④错； ⑤∵，， ∴， ∴⑤对． 故答案为：①⑤． 题型四十 有理数除法的应用 40．（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）年在上海举办了第十四届国际数学教育大会（简称），大会的标识如图所示，其中蕴含着丰富的数学文化元素，体现了中国传统文化的博大精深．图案中右下方的图形是用中国古代的计数符号表示的八进制数，它代表着大会召开的年份，请写出这个八进制数 ． 【答案】 【知识点】有理数除法的应用 【分析】本题考查八进制数与十进制数的相互转化，读懂题意，得到这个八进制数对应的十进制数是，再由辗转相除法倒序取余数即可得到答案，熟练掌握十进制数转化为八进制数的方法是解决问题的关键． 【详解】解：年在上海举办了第十四届国际数学教育大会（简称），且图案中右下方的图形是用中国古代的计数符号表示的八进制数，它代表着大会召开的年份， 这个八进制数对应的十进制数是， 由辗转相除法得到： 这个八进制数是， 故答案为：． 题型四十一 有理数乘除混合运算 41．（24-25七年级上·北京·期中）计算： 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，解题的关键是将带分数化为假分数，再根据有理数乘除法运算法则，从左到右依次进行计算． 将带分数化为假分数，按照从左到右的顺序进行乘除运算． 【详解】解：原式 ． 题型四十二 有理数四则混合运算 42．（24-25七年级上·广西柳州·期中）小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，她借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，运算规则为：．如： (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，新定义，正确根据新定义列出对应的算式是解题的关键． （1）根据题意可得，据此计算求解即可； （2）先根据新定义计算出，再计算出的结果即可得到答案． 【详解】（1）解；由题意得，； （2）解：， ∴ ． 题型四十三 有理数四则混合运算的实际应用 43．（24-25七年级上·上海·阶段练习）甲乙二人分别从、两地同时出发，相向而行．出发时他们的速度比是，他们第一次相遇后，甲的速度提高了，乙的速度提高了，这样，当甲到达地时，乙离地还有14千米，那么、两地间的距离是多少千米？ 【答案】甲到达地时，乙离地还有14千米，那么、两地间的距离是千米． 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，根据题意，列出算式，再根据有理数的运算法则计算即可求解，根据题意，正确列出算式是解题的关键． 【详解】解：相遇时，甲行了全程的，乙行了全程的， 提速后，甲速乙速， 则两地相距为：千米， 答：甲到达地时，乙离地还有14千米，那么、两地间的距离是千米． 44．（24-25七年级上·辽宁锦州·期末）如图，数轴上的点，对应的有理数为，；下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、绝对值的几何意义、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查数轴，绝对值，由，两数在数轴上表示点的位置，可以得出，的符号和绝对值的大小，进而逐项进行判断即可． 【详解】解：由，两数在数轴上表示点的位置，可知， ，且， ∴，因此选项A错误，不符合题意； ，因此选项B错误，不符合题意； ，因此选项C错误，不符合题意； ，因此选项D正确，符合题意； 故选：D． 题型四十四 有理数幂的概念理解 45．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】本题考查了乘法和乘方的意义，一般地，n个相同的因数a相乘，即计作，根据乘法和乘方的意义解答即可． 【详解】解：． 故选D． 题型四十五 有理数的乘方运算 46．（24-25七年级上·广东江门·期中）我们根据乘方运算：得出了一种新的运算，例如所对应的新运算分别为，；根据上述规律， ． 【答案】4 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查定义新运算，根据题意，得到，则：，根据，即可得出结果． 【详解】解：由题意，得：则：， ∵， ∴； 故答案为：4． 题型四十六 有理数乘方逆运算 47．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）已知，，，其中、、均为正整数， (1)根据题意，可求得 ， ， ； (2)计算的值； 【答案】(1)3，2，1 (2)216 【知识点】有理数的乘方运算、有理数乘方逆运算 【分析】本题主要考查了有理数乘方的运算，熟知乘方运算法则是正确解决本题的关键． （1）先根据，可得，即可求出n，a； （2）将数值代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵，即， ∴． ∵，即，且a为正整数， ∴． 故答案为：3，2，1； （2）解：原式． 题型四十七 乘方的应用 48．（24-25七年级上·江西赣州·期末）易经八卦中阴爻用中断线“--”表示或数字“0”表示，阳爻用连线“—”表示或数字“1”表示，这样八卦就可以用二进制来解释．二进制又可以转化成十进制，例如：： ．八卦与二进制的关系图如表所示． 卦名 乾 巽 离 艮 兑 坎 震 坤 符号 对应二进制数 表中“坎”用十进制表示的数是 ． 【答案】2 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握二进制数转化为十进制数的方法是解答本题的关键． 根据二进制数转化为十进制数的方法，可以将表中“坎”用十进制数表示． 【详解】解：由题意可得， ， 故答案为： 2． 题型四十八 用科学记数法表示绝对值大于1的数 49．（24-25七年级上·河南郑州·期末）我国运算速度最快的超级计算机是神威太湖之光，其运算速度每秒约次运算，那么它工作一分钟可达到的运算次数用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值和的值是解题的关键．根据科学记数法的表示形式即可解答． 【详解】解：由题意得，工作一分钟可达到的运算次数为． 故选：C． 题型四十九 将用科学记数法表示的数变回原数 50．（2024七年级上·全国·专题练习）下列是用科学记数法表示的数，把原数填在横线上： ； ． 【答案】 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数 【分析】本题考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．科学记数法的形式为，其中，为整数，当时，原数等于把小数点向右移动位，据此解答． 【详解】解：； ． 故答案为：；． 题型五十 算“24”点 51．（24-25七年级上·福建宁德·期中）“24点”游戏规则如下：将四个数用“加、减、乘、除”进行混合运算，（每个数必须且只用一次，可以添加括号），使其运算结果等于24．如3，8，8，9进行“24点”游戏的算式是或．现有，3，4，10，则列出一个求“24点”的算式是 （写出一种即可）． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】算“24”点 【分析】本题考查了有理数的加减乘除法，熟练掌握运算法则是解题关键．根据、利用有理数的加法与乘法列出算式即可得． 【详解】解：可列出算式是， 故答案为：． 题型五十一 含乘方的有理数混合运算 52．（22-23七年级上·四川南充·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数乘法运算律、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）先利用乘法分配律化简，再进行计算即可； （2）利用含乘方的有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型五十二 程序流程图与有理数计算 53．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）根据流程图中的程序，若输入x的值为，则输出y的值为 ． 【答案】7 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，代数式求值，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． 先根据流程图的程序列出算式，再计算出结果，根据输出的条件得出结论即可． 【详解】解：把代入，得， 再把代入，得， ∴输出y的值为7． 故答案为：7． 题型五十三 计算器——有理数 54．（24-25七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）计算： ． 【答案】 【知识点】计算器——有理数 【分析】本题考查二进制的计算，根据二进制满二进一运算求解，即可解题． 【详解】解：， 故答案为：． 题型五十四 求一个数的近似数 55．（24-25七年级上·青海西宁·期中）用四舍五入法给取近似值，精确到的结果是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的近似数 【分析】本题考查近似数，精确到时，需观察小数点后第3位上的数，四舍五入即可． 【详解】解：． 故答案为． 题型五十五 求近似数的精确度 56．（23-24七年级上·四川乐山·期末）精确到 位，万精确到 位． 【答案】 百分 百 【知识点】求近似数的精确度 【分析】本题考查近似数的精确度，近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位．根据近似数的精确度求解． 【详解】解：精确到百分位，万精确到百位． 故答案为：百分，百． 题型五十六 近似数推断取值范围 57．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）由四舍五入得到的近似数万精确到 位．由四舍五入得到的近似数精确到 位，它表示大于或等于 ，而小于 的数． 【答案】 百 十分 【知识点】求近似数的精确度、近似数推断取值范围 【分析】本题考查了近似数与精确度问题，由近似数精确到最后一位结合该位在原数中的位置可得前面的答案，看一个近似数的真值范围要多看一位，再结合四舍五入可得真值的范围． 【详解】解：由四舍五入得到的近似数万精确到百位， 由四舍五入得到的近似数精确到十分位， 它表示大于或等于，而小于的数． 故答案为：百，十分，，. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$