第02章 有理数的运算 章节（14知识点回顾+34题型练习） 核心知识点与常见题型通关讲解练【暑假预习】2025-2026学年七年级上册数学（苏科版2024）

第02章 有理数的运算 章节（14知识点回顾+34题型练习） 题型汇聚 题型一 有理数加法运算 题型二 有理数加法中的符号问题 题型三 有理数加法在生活中的应用 题型四 有理数加法运算律 题型五 有理数的减法运算 题型六 有理数减法的实际应用 题型七 有理数的加减混合运算 题型八 有理数加减中的简便运算 题型九 有理数加减混合运算的应用 题型十 省略加法和括号的形式 题型十一 两个有理数的乘法运算 题型十二 多个有理数的乘法运算 题型十三 有理数乘法的实际应用 题型十四 倒数 题型十五 有理数乘法运算律 题型十六 有理数的除法运算 题型十七 有理数除法的应用 题型十八 有理数乘除混合运算 题型十九 有理数四则混合运算 题型二十 有理数四则混合运算的实际应用 题型二十一 根据点在数轴的位置判断式子的正负 题型二十二 有理数幂的概念理解 题型二十三 有理数的乘方运算 题型二十四 乘方运算的符号规律 题型二十五 乘方的应用 题型二十六 用科学记数法表示绝对值大于1的数 题型二十七 将用科学记数法表示的数变回原数 题型二十八 程序流程图与有理数计算 题型二十九 算“24”点 题型三十 含乘方的有理数混合运算 题型三十一 求一个数的近似数 题型三十二 求近似数的精确度 题型三十三 近似数推断取值范围 题型三十四 计算器——有理数 知识清单 知识点1．有理数的加法 （1）有理数加法法则： ①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加． ②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0． ③一个数同0相加，仍得这个数． （在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．） （2）相关运算律 交换律：a+b＝b+a； 结合律（a+b）+c＝a+（b+c）． 知识点2．有理数的减法 （1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a﹣b＝a+（﹣b） （2）方法指引： ①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号； ②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）； 【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律． 减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算． 知识点3．有理数的加减混合运算 （1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法． （2）方法指引： ①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式． ②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化． 知识点4．有理数的乘法 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0． （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． （4）方法指引： ①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘． ②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单． 知识点5．倒数 （1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a•＝1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． （2）方法指引： ①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【规律方法】求相反数、倒数的方法 求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可 求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一 求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置 注意：0没有倒数． 知识点6．有理数的除法 （1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a• （b≠0） （2）方法指引： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． （2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右． 知识点7．有理数的乘方 （1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．） （2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． （3）方法指引： ①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值； ②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减． 知识点8．非负数的性质：偶次方 偶次方具有非负性． 任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 知识点9．有理数的混合运算 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧 1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算． 2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解． 3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算． 4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便． 知识点10．近似数和有效数字 （1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字． （2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法． （3）规律方法总结： “精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些． 知识点11．科学记数法—表示较大的数 （1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】 （2）规律方法总结： ①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号． 知识点12．科学记数法—表示较小的数 用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律 x的取值范围 表示方法 a的取值 n的取值 |x|≥10 a×10n 1≤|a| ＜10 整数的位数﹣1 |x|＜1 a×10﹣n 第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0） 知识点13．科学记数法—原数 （1）科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．若科学记数法表示较小的数a×10﹣n，还原为原来的数，需要把a的小数点向左移动n位得到原数． （2）把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 知识点14．计算器—有理数 计算器包括标准型和科学型两种，其中科学型使用方法如下：　　 （1）键入数字时，按下相应的数字键，如果按错可用（DEL）键消去一次数值，再重新输入正确的数字．　　 （2）直接输入数字后，按下对应的功能键，进行第一功能相应的计算． （3）按下（﹣）键可输入负数，即先输入（﹣）号再输入数值． 　　　 （4）开方运算按用到乘方运算键x2的第二功能键”和的第二功能键“”． （5）对于开平方运算的按键顺序是：2ndfx2被开方数ENTE或直接按键，再输入数字后按“＝”即可． （6）对于开立方运算的按键顺序是：32ndf∧被开方数ENTE或直接按x3，再输入数字后按“＝”即可 注意：由于计算器的类型不一样操作方式也不尽相同，可以参考说明书进行操作． 题型练习 题型一 有理数加法运算 1．（24-25七年级上·浙江金华·期末）在古代数学名著里，记载了利用算筹实施“正负术”的方法．图1表示计算的过程，按照这种方法，图2的计算过程表示的算式为（   ） A． B． C． D． 2．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二 有理数加法中的符号问题 3．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 题型三 有理数加法在生活中的应用 4．（24-25七年级上·浙江·期中）在生产图纸上通常用来表示轴的加工要求，这里表示直径是，和是指直径在到之间的产品都属于合格产品，现加工一批轴，尺寸要求是，则下面产品不合格的是（    ） A． B． C． D． 题型四 有理数加法运算律 5．（24-25七年级上·浙江金华·期中）计算 (1) (2) 题型五 有理数的减法运算 6．（24-25七年级上·浙江·期末）下列各组实数的值，使得成立的是（　　） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在一条不完整的数轴上从左到右依次有A，B，C三个点，其中A到B的距离为3，B到C的距离为8． (1)若以B为原点，则数轴上点A所表示的数是______，点C所表示的数是______． (2)记A，B，C所对应的数的和为m，原点到B的距离为2，求m的值． 题型六 有理数减法的实际应用 8．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）已知甲地海拔为 120 米，乙地海拔为米，求甲地比乙地高多少米？下列列式中正确的是（    ） A． B． C． D． 题型七 有理数的加减混合运算 9．（24-25七年级上·浙江金华·期中）把改写成“省略加号的和”的形式为 题型八 有理数加减中的简便运算 10．（23-24七年级上·浙江衢州·期中）计算： (1)． (2)． 题型九 有理数加减混合运算的应用 11．（24-25七年级上·浙江温州·期中）某自行车厂计划一周生产700辆自行车，平均每天生产100辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入，下表是某周的生产情况（超产为正，减产为负，单位：辆）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少辆？ (2)该厂实行计件工资制度，每辆车80元，一周结束超额完成任务时，超出部分每辆车奖20元，少生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 题型十 省略加法和括号的形式 12．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）算式写成省略加号的和式，正确的是（   ） A． B． C． D． 题型十一 两个有理数的乘法运算 13．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）计算： ． 14．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 题型十二 多个有理数的乘法运算 15．（24-25七年级上·浙江温州·期中）已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 题型十三 有理数乘法的实际应用 16．（24-25七年级上·浙江绍兴·开学考试）甲乙两人环湖跑，甲从A点、乙从点同时出发反向而行，8分钟后两人在途中相遇．又经过6分钟甲到达点，又过10分钟两人再次相遇，甲环湖跑一圈需要多少分钟？ 题型十四 倒数 17．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）的相反数是 ，3的倒数是 ． 题型十五 有理数乘法运算律 18．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）计算： (1)； (2)． 题型十六 有理数的除法运算 19．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列说法中，正确的个数是（   ） ①若，则； ②若，则有是负数； ③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是、6、x，若相邻两点的距离相等，则； ④若，，则的值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型十七 有理数除法的应用 20．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）一只乌龟从M点出发，在一条水平直线上来回爬行．记向右爬行为正，向左爬行为负，爬行的路程依次为（单位：米） ，，，，，． (1)通过计算说明乌龟是否回到起点． (2)若乌龟爬行的速度为2米/分，则乌龟共爬行了多少时间？ 题型十八 有理数乘除混合运算 21．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）一辆无人驾驶快递车（名叫“小白”）从快递公司门口出发，在东西走向的道路上行驶．若规定向东为正，向西为负，“小白”的8段行驶里程（单位∶千米）分别是∶． (1)经过8段行驶里程，“小白”的位置在哪里？ (2)若每行驶100千米“小白”的耗电量是4度，则总耗电量是多少？ 题型十九 有理数四则混合运算 22．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）阅读下列材料并解决有关问题，我们知道，当时，，当时，，现在我们可以用这个结论来解决下面问题： (1)已知，是有理数，当，时，________； (2)已知，求的值； (3)已知，，是非零的有理数，且，则的值． 题型二十 有理数四则混合运算的实际应用 23．（24-25七年级上·浙江温州·期末）毛利率的计算公式为：毛利率，若商品每千克进价为元，售价为元，则商品每千克的毛利率为 ． 题型二十一 根据点在数轴的位置判断式子的正负 24．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）有理数，，在数轴上对应的点如图所示，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 题型二十二 有理数幂的概念理解 25．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）的底数是 ，值为 ；的底数是 ，值为 ． 题型二十三 有理数的乘方运算 26．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）下列各组数中，相等的一组是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型二十四 乘方运算的符号规律 27．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）下列各数：，，，0，在数轴上所对应的点在原点右边的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二十五 乘方的应用 28．（2024七年级上·浙江·专题练习）一根长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，这样剪下去，剪第2023次后剩下的绳子的长度为（　　） A．m B．m C．m D．m 题型二十六 用科学记数法表示绝对值大于1的数 29．（24-25七年级上·浙江温州·期末）基站是网络的核心设备，实现有线通信网络与无线终端之间的无线信号传输．截至2024年12月底，我国基站总数突破4110000个，数据4110000用科学记数法可表示为（  ） A． B． C． D． 题型二十七 将用科学记数法表示的数变回原数 30．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）下列说法正确的是（    ） A．近似数0.30精确到0.1； B．近似数1.6所表示数的范围是大于等于1.55小于1.64； C．有理数3928精确到百位是3900； D．近似数精确到千位 题型二十八 程序流程图与有理数计算 31．（24-25七年级上·浙江台州·期末）对正整数n反复进行下列两种运算：①若n是偶数，就除以2；②若n是奇数，就乘以3加1．例如：正整数6经过一次操作后的结果是3，经过两次操作后的结果是10．若某正整数m经过4次操作后的结果是2，则正整数m的值是 ． 32．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）如图所示的运算程序中，若开始输入的的值为，则第一次输出的结果为，第次输出的结果为，．．．，第次输出的结果为（ ） A． B． C． D． 题型二十九 算“24”点 33．（23-24七年级上·浙江湖州·期中）如图，有4张写着数字的卡片：，将这4个数字进行加、减、乘、除、乘方混合运算，结果为24（要求每个数字只能用一次，例如：），请写出另一个符合条件的算式： ． 34．（24-25七年级上·浙江温州·期中）有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 题型三十 含乘方的有理数混合运算 35．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）方方计算的过程如下： (1)以上计算过程中，方方开始出错的是第______步，圆圆开始出错的是第______步； (2)写出你的计算过程． 题型三十一 求一个数的近似数 36．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）用四舍五入法，把精确到百分位，取得的近似值是 ． 37．（24-25七年级上·浙江·期末）对1270.394取近似值，正确的是（　　） A．1270.40（精确到0.01） B．1270.39（精确到十分位） C．（精确到百位） D．（精确到十位） 题型三十二 求近似数的精确度 38．（七年级上·浙江·专题练习）下列问题中，哪些是近似数？哪些是精确数？ (1)地球半径是6371米； (2)一星期有7天； (3)光的速度是每秒30万千米； (4)我国古代的4大发明； (5)某学校有36个班级； (6)小明的体重是46.3公斤． 题型三十三 近似数推断取值范围 39．（2024七年级上·浙江·专题练习）近似数为的准确数的取值范围是（　　） A．且 B．且 C． D．且 题型三十四 计算器——有理数 40．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）用计算器，按下列按键顺序输入，则它表达的算式是（    ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02章 有理数的运算 章节（14知识点回顾+34题型练习） 题型汇聚 题型一 有理数加法运算 题型二 有理数加法中的符号问题 题型三 有理数加法在生活中的应用 题型四 有理数加法运算律 题型五 有理数的减法运算 题型六 有理数减法的实际应用 题型七 有理数的加减混合运算 题型八 有理数加减中的简便运算 题型九 有理数加减混合运算的应用 题型十 省略加法和括号的形式 题型十一 两个有理数的乘法运算 题型十二 多个有理数的乘法运算 题型十三 有理数乘法的实际应用 题型十四 倒数 题型十五 有理数乘法运算律 题型十六 有理数的除法运算 题型十七 有理数除法的应用 题型十八 有理数乘除混合运算 题型十九 有理数四则混合运算 题型二十 有理数四则混合运算的实际应用 题型二十一 根据点在数轴的位置判断式子的正负 题型二十二 有理数幂的概念理解 题型二十三 有理数的乘方运算 题型二十四 乘方运算的符号规律 题型二十五 乘方的应用 题型二十六 用科学记数法表示绝对值大于1的数 题型二十七 将用科学记数法表示的数变回原数 题型二十八 程序流程图与有理数计算 题型二十九 算“24”点 题型三十 含乘方的有理数混合运算 题型三十一 求一个数的近似数 题型三十二 求近似数的精确度 题型三十三 近似数推断取值范围 题型三十四 计算器——有理数 知识清单 知识点1．有理数的加法 （1）有理数加法法则： ①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加． ②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0． ③一个数同0相加，仍得这个数． （在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．） （2）相关运算律 交换律：a+b＝b+a； 结合律（a+b）+c＝a+（b+c）． 知识点2．有理数的减法 （1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a﹣b＝a+（﹣b） （2）方法指引： ①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号； ②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）； 【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律． 减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算． 知识点3．有理数的加减混合运算 （1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法． （2）方法指引： ①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式． ②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化． 知识点4．有理数的乘法 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0． （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． （4）方法指引： ①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘． ②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单． 知识点5．倒数 （1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a•＝1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． （2）方法指引： ①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【规律方法】求相反数、倒数的方法 求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可 求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一 求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置 注意：0没有倒数． 知识点6．有理数的除法 （1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a• （b≠0） （2）方法指引： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． （2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右． 知识点7．有理数的乘方 （1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．） （2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． （3）方法指引： ①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值； ②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减． 知识点8．非负数的性质：偶次方 偶次方具有非负性． 任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 知识点9．有理数的混合运算 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧 1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算． 2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解． 3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算． 4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便． 知识点10．近似数和有效数字 （1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字． （2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法． （3）规律方法总结： “精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些． 知识点11．科学记数法—表示较大的数 （1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】 （2）规律方法总结： ①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号． 知识点12．科学记数法—表示较小的数 用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律 x的取值范围 表示方法 a的取值 n的取值 |x|≥10 a×10n 1≤|a| ＜10 整数的位数﹣1 |x|＜1 a×10﹣n 第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0） 知识点13．科学记数法—原数 （1）科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．若科学记数法表示较小的数a×10﹣n，还原为原来的数，需要把a的小数点向左移动n位得到原数． （2）把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 知识点14．计算器—有理数 计算器包括标准型和科学型两种，其中科学型使用方法如下：　　 （1）键入数字时，按下相应的数字键，如果按错可用（DEL）键消去一次数值，再重新输入正确的数字．　　 （2）直接输入数字后，按下对应的功能键，进行第一功能相应的计算． （3）按下（﹣）键可输入负数，即先输入（﹣）号再输入数值． 　　　 （4）开方运算按用到乘方运算键x2的第二功能键”和的第二功能键“”． （5）对于开平方运算的按键顺序是：2ndfx2被开方数ENTE或直接按键，再输入数字后按“＝”即可． （6）对于开立方运算的按键顺序是：32ndf∧被开方数ENTE或直接按x3，再输入数字后按“＝”即可 注意：由于计算器的类型不一样操作方式也不尽相同，可以参考说明书进行操作． 题型练习 题型一 有理数加法运算 1．（24-25七年级上·浙江金华·期末）在古代数学名著里，记载了利用算筹实施“正负术”的方法．图1表示计算的过程，按照这种方法，图2的计算过程表示的算式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正负数的实际应用、有理数加法运算 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，由图1可以看出白色表示正数，黑色表示负数是解题的关键．先由图1可得白色表示正数，黑色表示负数，然后观察图2列式即可． 【详解】解：由图1知：白色表示正数，黑色表示负数， ∴图2表示的过程是在计算． 故选：A． 2．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题考查有理数的加法，解题的关键是掌握有理数的加法法则． （1）根据同号两个数的加法法则计算即可； （2）根据异号两个数的加法法则计算即可； （3）零加任何数等于这个数本身； （4）互为相反数的两个数相加为零． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型二 有理数加法中的符号问题 3．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数加法中的符号问题 【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，由于，，，则，，进而可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 题型三 有理数加法在生活中的应用 4．（24-25七年级上·浙江·期中）在生产图纸上通常用来表示轴的加工要求，这里表示直径是，和是指直径在到之间的产品都属于合格产品，现加工一批轴，尺寸要求是，则下面产品不合格的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数加法在生活中的应用、正负数的实际应用 【分析】本题考查了正数和负数，有理数加法的实际应用，先根据题意得出合格范围为：到，再判断求解即可． 【详解】解：由题意得，合格范围为：到， ∵，、、都在合格范围内， ∴D选项不合格． 故选：D． 题型四 有理数加法运算律 5．（24-25七年级上·浙江金华·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1)32 (2) 【知识点】有理数加法运算律、有理数加法运算 【分析】本题主要考查有理数的加法运算，熟练掌握有理数的加法运算是解题的关键； （1）根据有理数的加法法则可进行求解； （2）根据有理数的加法交换律和结合律可进行求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 题型五 有理数的减法运算 6．（24-25七年级上·浙江·期末）下列各组实数的值，使得成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】绝对值的几何意义、有理数的减法运算 【分析】本题考查绝对值，掌握绝对值的性质是解题的关键．根据绝对值的性质解答即可． 【详解】解：当时，，，，故A不符合题意； 当时，，，，故B不符合题意； 当时，，，，故C不符合题意； 当时，，，，故D符合题意； 故选：D． 7．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在一条不完整的数轴上从左到右依次有A，B，C三个点，其中A到B的距离为3，B到C的距离为8． (1)若以B为原点，则数轴上点A所表示的数是______，点C所表示的数是______． (2)记A，B，C所对应的数的和为m，原点到B的距离为2，求m的值． 【答案】(1)，8； (2)或11 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、有理数加法运算、有理数的减法运算 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离，有理数的加减法： （1）根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）分原点在点B右侧和左侧两种情况，分别求出点A，点B，点C表示的数，然后求和即可得到答案． 【详解】（1）解：∵A到B的距离为3，B到C的距离为8， ∴当以点B为原点，点A表示的数是，点C表示的数是； 故答案为：，8； （2）解：当原点在点B右侧时， ∵原点到点B的距离为2， ∴点B表示的数为， ∴点A表示的数是，点C表示的数是， ∴； 当原点在点B左侧时， ∵原点到点B的距离为2， ∴点B表示的数为， ∴点A表示的数是，点C表示的数是， ∴； 综上所述，m的值为或11． 题型六 有理数减法的实际应用 8．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）已知甲地海拔为 120 米，乙地海拔为米，求甲地比乙地高多少米？下列列式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】本题主要考查了有理数的减法及正数和负数，根据甲地的海拔高度减乙地的海拔高度，直接列式即可． 【详解】解：根据题意得，甲地比乙地高列式为， 故选：B． 题型七 有理数的加减混合运算 9．（24-25七年级上·浙江金华·期中）把改写成“省略加号的和”的形式为 【答案】 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了有理数加减混合运算，由有理数加减法则去括号，即可求解；理解有理数加减法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案：． 题型八 有理数加减中的简便运算 10．（23-24七年级上·浙江衢州·期中）计算： (1)． (2)． 【答案】(1)4 (2) 【知识点】有理数加法运算、有理数加减中的简便运算 【分析】本题主要考查有理数的加减运算，熟练掌握有理数的加减运算是解题的关键； （1）根据有理数的加法运算可进行求解； （2）根据有理数的加减运算可进行求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 题型九 有理数加减混合运算的应用 11．（24-25七年级上·浙江温州·期中）某自行车厂计划一周生产700辆自行车，平均每天生产100辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入，下表是某周的生产情况（超产为正，减产为负，单位：辆）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少辆？ (2)该厂实行计件工资制度，每辆车80元，一周结束超额完成任务时，超出部分每辆车奖20元，少生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【答案】(1)20辆 (2)56900元 【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查正数和负数及有理数运算的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）根据正数和负数的实际意义求得实际生产自行车的数量，然后根据已知条件列式计算即可． 【详解】（1）解：（辆， 即产量最多的一天比产量最少的一天多生产20辆； （2）解：（辆）， 那么这一周实际共生产自行车（辆， 则（元， 即该厂工人这一周的工资总额为56900元． 题型十 省略加法和括号的形式 12．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）算式写成省略加号的和式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】省略加法和括号的形式 【分析】本题考查了省略加法和括号的形式，熟练掌握去括号法则是解题的关键． 利用去括号法则省略括号后即可得出答案． 【详解】解：， 故选：D． 题型十一 两个有理数的乘法运算 13．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）计算： ． 【答案】 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算，熟练掌握有理数的乘法运算是解题的关键；因此此题可根据有理数的乘法可进行求解 【详解】解：； 故答案为． 14．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、根据点在数轴的位置判断式子的正负、有理数的减法运算、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的大小比较，代数式的符号的判定，绝对值的化简，有理数的加减运算及乘法运算的应用，掌握以上知识是解题的关键．由题意可知，再根据有理数的加减运算及乘法运算法则即可得到答案． 【详解】解：依题意，得， ， 故只有选项D符合题意， 故选：D． 题型十二 多个有理数的乘法运算 15．（24-25七年级上·浙江温州·期中）已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、有理数的减法运算、多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了根据数轴上点的位置判断式子符号，有理数乘法和有理数减法计算，正确得到是解题的关键．先根据数轴上点的位置得到，再根据有理数乘法和减法计算法则求解即可． 【详解】解：A．∵，∴，故不正确；     B．∵，∴，∴，故正确；     C．∵，∴ ，故不正确；     D．∵，∴，∴ ，故不正确； 故选B． 题型十三 有理数乘法的实际应用 16．（24-25七年级上·浙江绍兴·开学考试）甲乙两人环湖跑，甲从A点、乙从点同时出发反向而行，8分钟后两人在途中相遇．又经过6分钟甲到达点，又过10分钟两人再次相遇，甲环湖跑一圈需要多少分钟？ 【答案】28分钟 【知识点】有理数加法在生活中的应用、有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查环形相遇问题，首先理清两人共行的路程及所用时间，然后求解即可． 【详解】解：由题意，从第一次相遇到第二次相遇，两人共用时分钟，两人共行一圈， ∵甲从A点出发，8分钟后两人在途中第一次相遇， ∴两人共行半圈，则A、B两点相距半圈， ∵甲从A到B共用时分钟， ∴甲环湖跑一圈需要分钟． 题型十四 倒数 17．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）的相反数是 ，3的倒数是 ． 【答案】 4 【知识点】倒数、相反数的定义 【分析】本题考查了相反数、倒数，根据只有符号不同的两个数互为相反数以及倒数的定义求解即可． 【详解】解：的相反数是，3的倒数是， 故答案为：，． 题型十五 有理数乘法运算律 18．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2)27 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据有理数加减混合运算法则把原式变为省略加号和括号的形式计算即可； （2）利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） 题型十六 有理数的除法运算 19．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列说法中，正确的个数是（   ） ①若，则； ②若，则有是负数； ③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是、6、x，若相邻两点的距离相等，则； ④若，，则的值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、多个有理数的乘法运算、有理数的除法运算 【分析】①根据绝对值的性质可判定①；根据绝对值的意义得到或或或，然后分情况讨论即可判断②；③根据题意得到或或，然后分情况求解即可判断③；根据题意得到中有两个负数一个正数，然后不妨设，进而代入即可判断④． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ∵， ∴或或或 当时， ∴是正数； 当时， ∴是正数； 当时， ∴是正数； 当时， ∴是正数，故②错误； ∵A、B、C三点在数轴上对应的数分别是、6、x，若相邻两点的距离相等 ∴或或 ∴或或 解得：或或，故③错误； ∵， ∴中有两个负数一个正数 不妨设 则，故④错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了绝对值的化简、数轴上两点间的距离公式，有理数的运算等知识点．熟记相关结论是解题关键． 题型十七 有理数除法的应用 20．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）一只乌龟从M点出发，在一条水平直线上来回爬行．记向右爬行为正，向左爬行为负，爬行的路程依次为（单位：米） ，，，，，． (1)通过计算说明乌龟是否回到起点． (2)若乌龟爬行的速度为2米/分，则乌龟共爬行了多少时间？ 【答案】(1)可以回到起点，计算见解析 (2)22分钟 【知识点】正负数的实际应用、绝对值的几何意义、有理数加法在生活中的应用、有理数除法的应用 【分析】本题考查了正负数的实际应用及有理数加法及绝对值的应用，掌握相反意义的量及有理数加法的运算法则是解题的关键． （1）根据相反意义的量，利用有理数的加法运算法则即可； （2）根据速度、时间和路程之间的数量关系即可； 【详解】（1）解： ， 所以，乌龟可以回到起点． （2） （米）， （分）， 所以，乌龟共爬行了22分钟． 题型十八 有理数乘除混合运算 21．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）一辆无人驾驶快递车（名叫“小白”）从快递公司门口出发，在东西走向的道路上行驶．若规定向东为正，向西为负，“小白”的8段行驶里程（单位∶千米）分别是∶． (1)经过8段行驶里程，“小白”的位置在哪里？ (2)若每行驶100千米“小白”的耗电量是4度，则总耗电量是多少？ 【答案】(1)在快递公司西边6千米 (2)1.52度 【知识点】有理数乘除混合运算、有理数加法在生活中的应用、正负数的实际应用 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算、乘除法运算以及正负数的实际应用． （1）根据题意列出算式求出结果，再根据结果判断即可； （2）将题干中的数据的绝对值相加算出总的路程，再根据题意即可列出算式求解即可． 【详解】（1）解：， ∴“小白”的位置在快递公司西边6千米； （2）解：， ∴耗电：度， 答：总耗电量是1.52度． 题型十九 有理数四则混合运算 22．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）阅读下列材料并解决有关问题，我们知道，当时，，当时，，现在我们可以用这个结论来解决下面问题： (1)已知，是有理数，当，时，________； (2)已知，求的值； (3)已知，，是非零的有理数，且，则的值． 【答案】(1) (2) (3)3或 【知识点】有理数四则混合运算、多个有理数的乘法运算、有理数加法运算、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题主要考查了化简绝对值，有理数的混合计算： （1）先计算a、b的绝对值，再计算除法，最后计算加法即可； （2））根据，得出，或，，然后根据绝对值的意义化简绝对值即可； （3）先求出，再根据得到，则a、b、c中一负两正，再讨论a、b、c的符号，化简绝对值并计算求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：解：∵， ∴a、b异号， ∴，或，， 当，时，则 当，时，则 ∴当时，； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴a、b、c中一负两正， 当a为负，b、c为正时，则； 当b为负，a、c为正时，则； 当c为负，a、b为正时，则； 综上所述，的值为3或． 题型二十 有理数四则混合运算的实际应用 23．（24-25七年级上·浙江温州·期末）毛利率的计算公式为：毛利率，若商品每千克进价为元，售价为元，则商品每千克的毛利率为 ． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查有理数的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 根据题意列式计算即可． 【详解】解： ， 即商品每千克的毛利率为， 故答案为：． 题型二十一 根据点在数轴的位置判断式子的正负 24．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）有理数，，在数轴上对应的点如图所示，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题主要考查了在数轴上比较有理数的大小， 观察数轴可知，且，再逐项判断即可． 【详解】解：根据题意，得，且， 可知． 所以A，B，C不正确，D正确． 故选：D． 题型二十二 有理数幂的概念理解 25．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）的底数是 ，值为 ；的底数是 ，值为 ． 【答案】 1 1 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义以及运算法则是解题的关键． 在中，叫做底数，叫做指数，由此判断计算即可． 【详解】解：的底数是，值为； 的底数是，值为； 故答案为：，；，． 题型二十三 有理数的乘方运算 26．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）下列各组数中，相等的一组是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【知识点】有理数的乘方运算、化简多重符号、求一个数的绝对值 【分析】本题考查了有理数的乘方运算以及化简多重符号与绝对值，正确的计算是解题的关键，分别计算各数，即可求解． 【详解】解：A. 与，不相等，故该选项不符合题意；     B. 与，不相等，故该选项不符合题意；     C. 与，不相等，故该选项不符合题意；     D. 与，相等，故该选项符合题意；     故选：D． 题型二十四 乘方运算的符号规律 27．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）下列各数：，，，0，在数轴上所对应的点在原点右边的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】用数轴上的点表示有理数、有理数的乘方运算、乘方运算的符号规律 【分析】本题主要考查数轴上点的分布与数的正负性，幂的符号法则．在数轴上，原点右边的点表示的数是正数，原点左边的点表示的数是负数，原点为0．正数的任何次幂都是正数，负数的偶次幂为正数，负数的奇次幂是负数．熟练掌握幂的符号法则是解决本题的关键．确定题目中给出每个数的正负性即可回答此题． 【详解】解：，，， ∴在数轴上所对应的点一定在原点右边的数是，共1个， 故选：A． 题型二十五 乘方的应用 28．（2024七年级上·浙江·专题练习）一根长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，这样剪下去，剪第2023次后剩下的绳子的长度为（　　） A．m B．m C．m D．m 【答案】C 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查有理数的乘方，第一次后剩下原长的；第二次后剩下原长的；第三次后剩下原长的；……；第2023次后剩下原长的，这个数乘以绳子的原长即可． 【详解】解：第一次后剩下原长的； 第二次后剩下原长的； 第三次后剩下原长的； …… 第2023次后剩下原长的． ∴剪第2023次后剩下的绳子的长度为． 故选：C． 题型二十六 用科学记数法表示绝对值大于1的数 29．（24-25七年级上·浙江温州·期末）基站是网络的核心设备，实现有线通信网络与无线终端之间的无线信号传输．截至2024年12月底，我国基站总数突破4110000个，数据4110000用科学记数法可表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：． 故选：B． 题型二十七 将用科学记数法表示的数变回原数 30．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）下列说法正确的是（    ） A．近似数0.30精确到0.1； B．近似数1.6所表示数的范围是大于等于1.55小于1.64； C．有理数3928精确到百位是3900； D．近似数精确到千位 【答案】D 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数 【分析】本题考查了科学记数法与有效数字以及有理数大小比较，掌握近似数的定义是解答本题的关键．根据近似数的定义，科学记数法的表示方法以及有理数大小比较方法解答即可． 【详解】解：A．近似数0.30精确到0.01，故本选项不符合题意； B．近似数1.6所表示数的范围是大于等于1.55小于1.65，故本选项不符合题意； C．有理数3928精确到百位是，故本选项不符合题意； D．近似数精确到千位，故本选项符合题意； 故选：D． 题型二十八 程序流程图与有理数计算 31．（24-25七年级上·浙江台州·期末）对正整数n反复进行下列两种运算：①若n是偶数，就除以2；②若n是奇数，就乘以3加1．例如：正整数6经过一次操作后的结果是3，经过两次操作后的结果是10．若某正整数m经过4次操作后的结果是2，则正整数m的值是 ． 【答案】32或5/5或32 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，从最后一步向前进行计算：因为计算的结果应是奇数或偶数，所以分数不符合题意；根据题中的运算，计算的结果是奇数，应是乘以3加上1得到的，结果是偶数，则是除以2得到的，根据上述的要求来进行解答即可，解题的关键是根据题中的运算要求来进行解答． 【详解】解：第4步运算前的数：；（不符合题意）． 第3步运算前的数：；（不符合题意）． 第2步运算前的数：；（不符合题意）． 第1步运算前的数：；． 故正整数的值是32或5． 故答案为：32或5． 32．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）如图所示的运算程序中，若开始输入的的值为，则第一次输出的结果为，第次输出的结果为，．．．，第次输出的结果为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】程序流程图与有理数计算、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查有理数的混合运算，首先分别求出第次、第次、第次、第次、第次输出的结果，从而得出从第四次开始，每两次输出为一个循环，再由，即可得到答案．理解程序流程图是解题的关键． 【详解】解：第一次输出结果：把代入得：， 第二次输出结果：把代入得：， 第三次输出结果：把代入得：， 第四次输出结果：把代入得：， 第五次输出结果：把代入得：， 第六次输出结果：把代入得：， 第七次输出结果：把代入得：， ……， ∴从第四次开始，每两次输出为一个循环， ∵， ∴第次输出的结果为． 故选：C． 题型二十九 算“24”点 33．（23-24七年级上·浙江湖州·期中）如图，有4张写着数字的卡片：，将这4个数字进行加、减、乘、除、乘方混合运算，结果为24（要求每个数字只能用一次，例如：），请写出另一个符合条件的算式： ． 【答案】 【知识点】算“24”点 【分析】此题考查了含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．利用“”，再写出符合要求的式子即可． 【详解】解：由题意可得，符合要求的运算式子为：， 故答案为：. 34．（24-25七年级上·浙江温州·期中）有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】算“24”点、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则逐项计算可得答案． 【详解】解：A．，故符合题意； B．，故不符合题意； C．，故不符合题意；     D．，故不符合题意； 故选A． 题型三十 含乘方的有理数混合运算 35．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）方方计算的过程如下： (1)以上计算过程中，方方开始出错的是第______步，圆圆开始出错的是第______步； (2)写出你的计算过程． 【答案】(1)②；① (2)见解析 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）根据题意可直接进行求解； （2）根据含乘方的有理数混合运算可进行求解． 【详解】（1）解：以上计算过程中，方方开始出错的是第②步，圆圆开始出错的是第①步， 故答案为：②，①； （2）解：原式 ． 题型三十一 求一个数的近似数 36．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）用四舍五入法，把精确到百分位，取得的近似值是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的近似数 【分析】本题主要考查了求一个数的近似数，精确到百分位即对千分位上的数字4进行四舍五入，据此可得答案． 【详解】解：用四舍五入法，把精确到百分位，取得近似值为， 故答案为：． 37．（24-25七年级上·浙江·期末）对1270.394取近似值，正确的是（　　） A．1270.40（精确到0.01） B．1270.39（精确到十分位） C．（精确到百位） D．（精确到十位） 【答案】D 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数、求一个数的近似数 【分析】本题考查了科学记数法与有效数字，近似数，掌握精确到哪一位，就对这一位的下一位数字进行四舍五入是解题的关键． 精确到哪一位，就对这一位的下一位数字进行四舍五入即可． 【详解】解：A、1270.39（精确到0.01），原选项错误，不符合题意； B、1270.4（精确到十分位），原选项错误，不符合题意； C、（精确到百位），原选项错误，不符合题意； D、（精确到十位），原选项正确，符合题意； 故选：D． 题型三十二 求近似数的精确度 38．（七年级上·浙江·专题练习）下列问题中，哪些是近似数？哪些是精确数？ (1)地球半径是6371米； (2)一星期有7天； (3)光的速度是每秒30万千米； (4)我国古代的4大发明； (5)某学校有36个班级； (6)小明的体重是46.3公斤． 【答案】(1)近似数 (2)精确数 (3)近似数 (4)精确数 (5)精确数 (6)近似数 【知识点】求近似数的精确度 【分析】根据近似数和准确数的定义，逐项进行判断即可． 【详解】（1）解：地球半径是6371米，其中6371是近似数． （2）解：一星期有7天，其中7是准确数． （3）解：光的速度是每秒30万千米，其中30万是近似数． （4）解：我国古代的4大发明，其中4是准确数． （5）解：某学校有36个班级，其中36是准确数． （6）解：小明的体重是46.3公斤，其中46.3是近似数． 【点睛】本题主要考查对近似数和精确数的概念的理解，注意它们的区别，在生活中有一些事物的数量，有时用比较准确的数表示，我们称之为精确数，有时不用准确的数表示，而用一个与它比较接近的数来表示，这样的数就是近似数． 题型三十三 近似数推断取值范围 39．（2024七年级上·浙江·专题练习）近似数为的准确数的取值范围是（　　） A．且 B．且 C． D．且 【答案】A 【知识点】近似数推断取值范围 【分析】根据近似数通长用四舍五入的方法得到，精确到哪一位，只需对下一位数字进行四舍五入，即可得出答案． 本题考查近似数，解题的关键是掌握四舍五入的方法． 【详解】解：近似数精确到百分位，它是千分位上的数字四舍五入得到的，当百分位上的数为9时，千分位上的数字不小于5；当百分位上的数字为0时，千分位上的数字小于5，要特别注意，， ∴，且， 故选：A． 题型三十四 计算器——有理数 40．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）用计算器，按下列按键顺序输入，则它表达的算式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算器——有理数 【分析】本题主要考查了用计算器进行有理数运算，根据按键顺序，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：它表达的算式为， 故选：C． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$