精品解析：广西柳州市2026届高三摸底考试数学试题

广西柳州市2026届高三摸底考试数学试题 （考试时间 120分钟 满分 150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 设等差数列的前项和为，若，则的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 二项式的展开式中，含的项的系数是（ ） A. B. 10 C. D. 5 5. 已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 已知，则（ ） A. B. C. 2 D. 7. 已知函数，若方程的实数解恰有两个，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 已知椭圆的左右焦点分别为，上顶点为，过且垂直于的直线与交于B、C两点，则的周长为（ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某人工智能公司近5年的利润情况如下表所示： 第年 1 2 3 4 5 利润／亿元 2 3 4 5 7 已知变量与之间具有线性相关关系，设用最小二乘法建立的回归直线方程为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 变量与之间的线性相关系数 C. 预测该人工智能公司第6年的利润约为7.8亿元 D. 残差绝对值的最大值为0.4 10. 已知函数的部分图像如图所示，则（ ） A. B. C. 直线是函数图象的一条对称轴 D. 在的值域为 11. 如图所示，是定义在上的四个函数，其中满足性质：“对中任意的和，任意恒成立”的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知与的夹角，则______. 13. 直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为，则双曲线的离心率为______． 14. 在三棱锥中，，则这个三棱锥的外接球的半径等于_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的图象在点处的切线方程为. （1）求a，b的值； （2）求的单调区间与极值. 16. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面为BC中点，且. （1）求BC； （2）求二面角的正弦值． 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求； （2）若的面积为为BC上一点，AD为的平分线，求AD. 18. 为了研究某校高二年级学生的性别与身高是否大于170cm的关联性，调查了该校所有高二年级的学生，整理得到如下列联表一；然后从该校所有高二年级学生中随机抽取100名学生，对性别和身高是否大于170cm进行统计，得到如下列联表二，其中女生占，身高低于170cm的学生占． 表一： 性别 身高 合计 低于170cm 不低于170cm 女 360 90 450 男 100 450 550 合计 460 540 1000 表二： 性别 身高 合计 低于170cm 不低于170cm 女 25 男 合计 100 （1）从表一中随机抽取一人，分别用表示抽到男生、女生，用表示抽到学生身高不低于170cm，计算，并判断该校高二年级学生的性别和身高是否有关联？ （2）请完成列联表二，并依据的独立性检验，能否认为该校高二年级学生的性别与身高有关联？对比第一问的结论，请分析两种判断方式的可靠性.为了得到准确的结论，请提出可行性建议； （3）现在从表二中，抽取样本容量为10的样本，其中女生样本数据为：159、160、165、171（单位：cm），男生样本数据为：164、166、168、172、174、176（单位：cm），求出这个样本的第70百分位数，并从不大于第70百分位数的样本数据中抽取3人，记为抽到的女生人数，求的分布列及数学期望. 附：其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19. 圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴，轴分别交于，两个动点. （1）求点的轨迹的方程； （2）过点作互相垂直的两条直线与曲线相交于两点，与曲线相交于两点，线段的中点分别为M，N． （ⅰ）试问直线MN是否经过定点？若是，请求出该定点的坐标，若不是，请说明理由； （ⅱ）求面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广西柳州市2026届高三摸底考试数学试题 （考试时间 120分钟 满分 150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法结合复数的概念求解即可. 【详解】因为复数满足， 因此，复数的虚部为. 故选:D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数单调性解不等式计算得出集合B，应用交集定义计算求解. 【详解】集合， 则. 故选：B. 3. 设等差数列的前项和为，若，则的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列的性质结合可得，然后再求得后可得公差． 【详解】因为，所以，解得， 又，所以， 所以公差为. 故选：A． 4. 二项式的展开式中，含的项的系数是（ ） A. B. 10 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式即得. 【详解】的展开式的通项为， ， 则含的项的系数是. 故选：A. 5. 已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面展开图是一个半圆和圆锥的表面积建立方程，然后解出方程即可. 【详解】设圆锥的底面的半径为r，圆锥的母线为l， 则由，得， 而，即，所以，圆锥的底面直径为4. 故选：C. 6. 已知，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先应用两角和正切公式计算得出，再弦化切得出齐次式的值. 【详解】因为，所以， 所以，则. 故选：D. 7. 已知函数，若方程的实数解恰有两个，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】分析函数的性质并作出其图象，数形结合求出实数的取值范围. 【详解】当时，函数在上单调递减，函数值集合为， 在上单调递增，函数值集合为； 当时，在上递增，函数值集合为R， 在直角坐标系内作出函数的图象与直线， 由图象知，当或时，直线与函数的图象有两个交点， 即方程有两个实数解. 故选：C. 8. 已知椭圆的左右焦点分别为，上顶点为，过且垂直于的直线与交于B、C两点，则的周长为（ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件可得，然后根据椭圆的定义求解即可. 【详解】由椭圆，得， 过且垂直于的直线与椭圆交于B、C两点， 所以为线段的垂直平分线， 得， 则的周长为. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某人工智能公司近5年的利润情况如下表所示： 第年 1 2 3 4 5 利润／亿元 2 3 4 5 7 已知变量与之间具有线性相关关系，设用最小二乘法建立的回归直线方程为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 变量与之间的线性相关系数 C. 预测该人工智能公司第6年的利润约为7.8亿元 D. 残差绝对值的最大值为0.4 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先求出、，根据回归直线方程必过，即可求出，即可判断A；从而得到回归直线方程，根据与成正相关，即可得到相关系数，即可判断B；再令求出，即可预测第6年的利润，即可判断C，最后根据残差的定义求解判断D. 【详解】依题意，， 因为回归直线方程为必过样本中心点， 则，解得，故A正确； 回归直线方程为，则与成正相关，即相关系数，故B错误； 当时，，即该人工智能公司第6年的利润约为7.8亿元，故C正确； 当时，，残差绝对值为， 当时，，残差绝对值为， 当时，，残差绝对值为， 当时，，残差绝对值为， 当时，，残差绝对值为， 所以残差绝对值的最大值为0.4，故D正确； 故选：ACD. 10. 已知函数的部分图像如图所示，则（ ） A. B. C. 直线是函数图象的一条对称轴 D. 在的值域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数图象可确定的值，利用特殊点代入函数解析式确定，即可得到函数解析式，判断A，B；将代入验证，可判断C；利用正弦函数的值域可判断D. 【详解】由图象知 ， 解得 ，A正确； 将代入中得，则 ， 因为   ，B错误； 将代入中得，直线是函数图象的一条对称轴，C正确； 因为，所以， 即，D正确， 故选：ACD. 11. 如图所示，是定义在上的四个函数，其中满足性质：“对中任意的和，任意恒成立”的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】应用函数的凹凸函数的性质判断各个选项. 【详解】对中任意的和，任意恒成立”，所以函数是下凹函数， 令，则恒成立， 所以在时为下凹函数才能满足题意，所以排除B，D， 当等号成立时，选项C满足题意，因此满足题意的是A，C. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知与的夹角，则______. 【答案】6 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的定义及运算律求解即可. 【详解】由与的夹角， 则. 故答案为：6. 13. 直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为，则双曲线的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】设（），由对称性可知，由，两点的横坐标之积为解得点坐标，代入双曲线的方程，求得，进而求离心率即可. 【详解】由，两点在直线上，设（）， 由对称性可知，，两点关于原点对称，所以， 由，两点的横坐标之积为，得，解得， 所以，代入双曲线方程得，解得， 所以， 所以离心率为. 故答案为：. 14. 在三棱锥中，，则这个三棱锥的外接球的半径等于_______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，确定三棱锥外接球球心位置，求出球半径即得. 【详解】在三棱锥中，过作平面于，连接，显然， 同理，因此点为的外心，三棱锥的外接球球心在射线上， 在中，，则， 由正弦定理得，解得，， 设三棱锥的外接球半径为，则，由，解得， 所以三棱锥的外接球的半径等于. 故答案为： 【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的图象在点处的切线方程为. （1）求a，b的值； （2）求的单调区间与极值. 【答案】（1），. （2）递减区间为，递增区间为，有极小值，无极大值. 【解析】 【分析】（1）先根据导数的运算法则求出；再根据切点、切线和导数的几何意义之间的关系列出方程组即可求解. （2）令可求出函数的单调增区间，令可求出函数的单调减区间，进而可得到函数的极值. 【小问1详解】 由可得： ，， 则. 由直线方程可得：直线斜率为：. 因为函数的图象在点处的切线方程为， 所以，解得：. 故，. 【小问2详解】 由（1）可得，. 令，得； 令，得； 则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，函数有极小值. 故函数的递减区间为，递增区间为，有极小值，无极大值. 16. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面为BC中点，且. （1）求BC； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，利用向量垂直时数量积为的性质来求解的长度； （2）先求出平面与平面的法向量，再根据向量的夹角公式求出二面角的余弦值，最后根据三角函数关系求出正弦值. 【小问1详解】 以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系. 设，则各点坐标： 向量 由，得，解得，故 【小问2详解】 由(1)知，个点坐标： 向量 设平面的法向量为，由, 可得令得： 设平面的法向量为，由, 可得令得： 法向量夹角的余弦 则正弦值. 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求； （2）若的面积为为BC上一点，AD为的平分线，求AD. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，进而利用和差角公式化简可求； （2）由的面积为得，再由余弦定理得，从而可得，再由面积公式可得解. 【小问1详解】 根据题意， 则由正弦定理得， 即， 即， 化简得， 因为，所以， ∴，由于， 则； 【小问2详解】 根据题意，的面积为即， 则， 又根据余弦定理，，则， 所以，即， 又由的面积， 所以. 18. 为了研究某校高二年级学生的性别与身高是否大于170cm的关联性，调查了该校所有高二年级的学生，整理得到如下列联表一；然后从该校所有高二年级学生中随机抽取100名学生，对性别和身高是否大于170cm进行统计，得到如下列联表二，其中女生占，身高低于170cm的学生占． 表一： 性别 身高 合计 低于170cm 不低于170cm 女 360 90 450 男 100 450 550 合计 460 540 1000 表二： 性别 身高 合计 低于170cm 不低于170cm 女 25 男 合计 100 （1）从表一中随机抽取一人，分别用表示抽到男生、女生，用表示抽到学生身高不低于170cm，计算，并判断该校高二年级学生的性别和身高是否有关联？ （2）请完成列联表二，并依据的独立性检验，能否认为该校高二年级学生的性别与身高有关联？对比第一问的结论，请分析两种判断方式的可靠性.为了得到准确的结论，请提出可行性建议； （3）现在从表二中，抽取样本容量为10的样本，其中女生样本数据为：159、160、165、171（单位：cm），男生样本数据为：164、166、168、172、174、176（单位：cm），求出这个样本的第70百分位数，并从不大于第70百分位数的样本数据中抽取3人，记为抽到的女生人数，求的分布列及数学期望. 附：其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1），，该中学高二年级学生的性别和身高有关联 （2）由题意，女生人数为，身高低于170cm的学生人数为， 则列联表如下： 性别 身高 合计 低于170cm 不低于170cm 女 25 15 40 男 25 35 60 合计 50 50 100 零假设该中学高二年级学生的身高与性别无关， ， 依据的独立性检验，没有充分的证据说明不成立， 即该中学高二年级学生的身高与性别无关， 第一问的结论是有关，是利用全体数据得出的结论，数据更全面，更精确， 而第二问是抽取的部分样本，样本的抽取具有随机性， 因此，可能会得出错误的结论，为了提高准确的结论，应该增加样本量或者男女生分层抽样. （3）第70百分位数为171.5，分布列： 【解析】 【分析】（1）利用条件概率公式可求出、的值，即可作出判断； （2）提出零假设该中学高三年级学生的身高与性别无关，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论，结合实际情况可得出合理的建议； （3）根据百分位数的定义求出第70百分位数，进而分析可知，随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值. 【小问1详解】 由表格中的数据可得，， 所以该中学高二年级学生的性别和身高有关联. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 将样本数据从小到大排序为：， 因为，所以这个样本的第70百分位数为， 则不大于第70百分位数的样本数据中，共人，其中男生有3人，女生有4人， 所以随机变量的可能取值有、、、， ，， ，， 故的分布列如下表所示： 因此. 19. 圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴，轴分别交于，两个动点. （1）求点的轨迹的方程； （2）过点作互相垂直的两条直线与曲线相交于两点，与曲线相交于两点，线段的中点分别为M，N． （ⅰ）试问直线MN是否经过定点？若是，请求出该定点的坐标，若不是，请说明理由； （ⅱ）求面积的最小值. 【答案】（1）； （2）（i）是，定点为；（ii）. 【解析】 【分析】（1）设圆心为，则半径为，得圆的方程，令得，令得，消去参数即可求解； （2）（ⅰ）设直线的方程为，则直线的方程为，与抛物线方程联立得点的坐标，进而得直线的方程，即可得直线的定点； （ⅱ）利用两点间的距离公式求，求点到直线的距离公式，代入，最后利用均值不等式即可求解. 【小问1详解】 设圆心为，则半径为，所以圆的方程为：， 令得，令得或（舍去）， 所以，所以的方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）由题意有直线的斜率存在，设直线的方程为，则直线的方程为， 所以，所以， 设，所以，， 又，所以，同理得， 所以， 所以直线的方程为：， 化简整理有：，令，得，即， 所以直线过定点； （ⅱ）由（ⅰ）有，，直线的方程为， 所以， 点到直线的距离为， 所以面积为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $