3.2.2函数的奇偶性【5个题型】讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2025年暑假新高一数学常考题型归纳 【3.2.2函数的奇偶性】 总览 题型梳理 【知识点总览】 一、函数奇偶性的定义与核心条件 1. 奇函数的定义 若函数 的定义域关于原点对称，且对定义域内任意 ，都有 ，则 为奇函数。 几何特征：函数图像关于原点对称。 2. 偶函数的定义 若函数 的定义域关于原点对称，且对定义域内任意 ，都有 ，则 为偶函数。 几何特征：函数图像关于 轴对称。 3. 核心前提：定义域关于原点对称 若定义域不关于原点对称（如 ），则函数既不是奇函数也不是偶函数。 二、奇偶性的判断方法与步骤 1. 判断步骤 1. 先确定函数的定义域是否关于原点对称； 2. 若定义域对称，再验证 与 的关系： 若 ，则为奇函数； 若 ，则为偶函数； 若两者都不满足，则为非奇非偶函数。 2. 典型例子 奇函数： ：； ：； （定义域 ，关于原点对称）：。 偶函数： ：； ：； ：。 三、奇偶函数的常用性质与结论 1. 函数图像性质 奇函数图像关于原点对称，若 在 处有定义，则 （因为 ）。 偶函数图像关于 轴对称， 在 和 处的函数值相等。 2. 奇偶函数的运算性质 | 运算类型 | 奇函数（） | 偶函数（） | |----------------|------------------|------------------| | 和/差（） | 奇±奇=奇 | 偶±偶=偶 | | | 奇±偶=非奇非偶 | 偶±奇=非奇非偶 | | 积/商（, ） | 奇×奇=偶 | 偶×偶=偶 | | | 奇×偶=奇 | 偶×奇=奇 | 例： （奇）与 （偶）的积为 （奇）； （奇）与 （奇）的和为 （奇）。 3. 复合函数的奇偶性 若 是奇函数， 是奇函数，则 是奇函数； 若 是偶函数， 是任意函数（定义域对称），则 是偶函数； 若 是奇函数， 是偶函数，则 是偶函数。 例： （奇），（偶），则 （偶）。 4. 奇偶性与单调性的结合（拓展） 奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同：若 在 上递增，则在 上也递增； 偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反：若 在 上递增，则在 上递减。 四、常见非奇非偶函数的例子 定义域不关于原点对称，如 （定义域 ）； 满足 且 ，如 （ 且 ）。 五、解题注意事项 1. 优先检查定义域：定义域不对称时，直接判定为非奇非偶函数； 2. 代入计算时符号处理：注意 的表达式变形，避免符号错误； 3. 利用 简化判断：若奇函数在 处有定义，可先验证 ，但需注意 不是奇函数的充分条件（如 满足 ，但为偶函数）。 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：函数的奇偶性定义及判断】 例题精选 【例题1】判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)偶函数 (2)奇函数 (3)奇函数 【分析】（1）（2）（3）求得定义域，利用奇偶性的定义判断即可；. 【详解】（1）因为的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为偶函数． （2）因为的定义域为，它关于原点对称， 又， 所以为奇函数． （3）由题设得：，所以函数定义域为，关于原点对称， 且，所以， 所以， 所以， 所以是奇函数． 【例题2】判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)偶函数 (2)既是奇函数又是偶函数 (3)非奇非偶函数 【分析】（1）（2）（3）根据函数奇偶性的定义与性质逐项分析判断. 【详解】（1）因为的定义域为， 且，所以函数为偶函数. （2）因为，所以，则有，解得， 则函数定义域为，且，所以和同时成立， 故既是奇函数又是偶函数. （3），其定义域为，其定义域不关于原点对称， 所以是非奇非偶函数． 【例题3】判断下列函数的奇偶性： (1)； (2). 【答案】(1)偶函数 (2)奇函数 【分析】（1）分、两种情况讨论与的关系，可得出结论； （2）分、、三种情况讨论与的关系，可得出结论. 【详解】（1）解：由题意知的定义域为，定义域关于原点对称. 当时，，所以； 当时，，所以. 综上所述，知对于任意，都有， 所以，函数为偶函数. （2）解：函数的定义域为，关于原点对称. 当时，，所以； 当时，，所以 ； 当时，，所以，. 综上可知，当时，都有，所以是奇函数. 相似练习 【相似题1】判断下列函数的奇偶性． (1)； (2)； (3) 【答案】(1)非奇非偶函数 (2)奇函数 (3)偶函数 【分析】判断函数的奇偶性，先分析函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则为非奇非偶函数；若关于原点对称，且该函数符合则为偶函数；若关于原点对称，且该函数符合则为奇函数. 【详解】（1）函数f(x)的定义域为，不关于原点对称，所以是非奇非偶函数． （2）f(x)的定义域为，关于原点对称． ， 所以为奇函数． （3）的定义域为，且关于原点对称， 当时，，则； 当时，，则， 故是偶函数． 【相似题2】判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)，； (3) 【答案】(1)不是奇函数也不是偶函数 (2)偶函数 (3)奇函数 【分析】根据奇偶性的定义逐一判断即可 【详解】（1）因为 所以，所以的定义域为，不关于原点对称， 所以不是奇函数也不是偶函数； （2）函数的定义域为，关于原点对称． 又∵，∴是偶函数． （3）当时，，则， 当时，，则． 综上，对，都有． ∴为奇函数. 【相似题3】判断下列函数的奇偶性，并加以证明： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8). 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)非奇非偶函数，证明见解析 (3)非奇非偶函数，证明见解析 (4)奇函数，证明见解析 (5)偶函数，证明见解析 (6)奇函数，证明见解析 (7)偶函数，证明见解析 (8)奇函数，证明见解析 【分析】先求出各个函数的定义域，若定义域不关于原点对称，则为非奇非偶函数；若关于原点对称，求出，与比较，即可得出答案. 【详解】（1）为奇函数 定义域为R，关于原点对称， 且， 所以为奇函数. （2）为非奇非偶函数， 定义域为R，关于原点对称， ，且， 所以，为非奇非偶函数. （3）为非奇非偶函数， 定义域为，不关于原点对称， 所以，为非奇非偶函数. （4）为奇函数， 定义域为，关于原点对称， ， 所以为奇函数. （5）为偶函数， 定义域为，关于原点对称， ， 所以为偶函数. （6）为奇函数， 定义域为，关于原点对称， ， 所以为奇函数. （7）为偶函数， 定义域为R，关于原点对称. 对于，都有，且. 对于，， 有，. 同理可推得，，. 综上所述，，都有， 所以为偶函数. （8）为奇函数， 定义域为R，关于原点对称. 对于，都有，且. 对于，， 有，. 同理可推得，，. 综上所述，，都有， 所以为奇函数. 【题型2：函数的奇偶性求参数】 例题精选 【例题1】（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数为定义在区间上的奇函数，则（   ） A． B．3 C．8 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质求解即可. 【详解】奇函数的定义域关于原点对称，，． 故选：C. 【例题2】（24-25高一上·重庆·期中）设是偶函数，且定义域为，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇偶性可得，，，解出，进而得出答案． 【详解】由偶函数的定义域是关于原点对称的，所以， 显然，，所以． 故选：B． 【例题3】（24-25高一下·云南昭通·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，那么的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的奇偶性求出的值，再根据函数单调性求最值即可. 【详解】是定义在上的偶函数， ，. 又，，. 所以，，. 故选：C. 相似练习 【相似题1】已知定义域为的奇函数，则的值为 ． 【答案】0 【详解】因为函数的定义域为，所以，得．因为，即，得，所以，所以． 【相似题2】（24-25高二下·浙江金华·期中）已知是定义在上的偶函数，则 . 【答案】 【分析】由偶函数的定义域关于原点对称求出a的值，由偶函数的定义求出b的值，从而可得的值． 【详解】∵函数是定义在上的偶函数， ∴定义域关于原点对称，得，即， ∴，又函数是偶函数， ∴，即，即，可得． 故 故答案为：． 【相似题3】（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）已知是偶函数，则实数的值为 . 【答案】3 【分析】由偶函数的性质有、求参数，即可得. 【详解】由题设，则，得恒成立，故， 由偶函数的定义域关于原点对称，则，可得， 所以. 故答案为：3 【题型3：函数的奇偶性求解析式】 例题精选 【例题1】（24-25高二下·陕西·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由偶函数的性质即可求解. 【详解】当时，， 因为函数是定义在上的偶函数， 所以， 故选：C 【例题2】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数奇偶性求对称区域解析式，再利用绝对值的意义，把分段函数又写成含绝对值的函数即可. 【详解】当时，，即有， 再由是定义在上的奇函数，所以， 即有， 所以当时，， 当时，， 综上可得：， 故选：C. 【例题3】（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知函数是奇函数，当时，，则当时， . 【答案】 【分析】当时，，根据奇函数的定义求对称区间上的解析式. 【详解】设，则， 所以， 又函数为奇函数， 所以， 即时，， 故答案为：； 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）设函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则函数在时的解析式为 ． 【答案】 【分析】根据奇函数的性质即可求解. 【详解】设，则，故， 由于是定义在R上的奇函数，故， 故答案为： 【相似题2】（24-25高一上·福建南平·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时， . 【答案】 【分析】取，可得，利用偶函数的定义可求得函数在时的解析式. 【详解】当时，，且函数为偶函数， 故. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 【相似题3】（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知函数是偶函数，是奇函数，且，则 . 【答案】 【分析】利用函数的奇偶性，可得，再和，两式相加即可求得. 【详解】因为函数是偶函数，是奇函数， 所以，， 因为①， 所以， 即②， 则①②两式相加可得， 即. 故答案为：. 【题型4：抽象函数的奇偶性】 例题精选 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，对任意都有，且，判断的奇偶性． 【答案】偶函数 【分析】通过赋值找到与的关系，从而确定奇偶性. 【详解】令，则，即， ∵，解得． 再令，则，移项可得， ∴是偶函数． 【例题2】（2024高三·全国·专题练习）若对于任意实数，，函数都有．求证：为偶函数． 【答案】证明见解析 【分析】分别令、，两式对比并结合函数奇偶性的定义可得出结论. 【详解】令，，得． 令，，得． 由上述两式得，即， 所以，函数是偶函数． 【例题3】（2024高一·全国·专题练习）定义在上的函数是单调函数，满足，且，. (1)求，； (2)判断的奇偶性，并证明； 【答案】(1)，； (2)奇函数，证明见解析； 【分析】（1）利用赋值法即求； （2）由题可得，即证； 【详解】（1）取，得，即， 所以，因为， 又，得，可得； （2）因为函数是定义在上的函数，定义域关于原点对称， 取，得，移项得， 所以函数是奇函数. 相似练习 【相似题1】（23-24高一上·广东珠海·期末）已知定义在上的函数满足，，且. (1)求的值； (2)判断的奇偶性，并证明. 【答案】(1) (2)为偶函数，证明见解析 【分析】（1）利用赋值法结合已知条件可求解； （2）令，结合条件和函数奇偶性定义判断. 【详解】（1）令，得， 令，得， 因为，所以，， 令，得，即， 因为，所以，所以. （2）为偶函数. 证明如下：令，得， 由（1）得， 即，又的定义域为，所以为偶函数. 【相似题2】（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知定义在上的函数满足，，，且． (1)求，，的值； (2)判断的奇偶性，并证明． 【答案】(1)，， (2)偶函数，证明见解析 【分析】（1）令，求得，令，求得，令，求得， （2）令，再结合（1）的结果和奇偶性的定义可得结论. 【详解】（1）令，得， 因为，所以． 令，得， 因为，所以． 令，得， 即， 因为，所以，所以． （2）为偶函数． 证明如下：令，得， 由（1）得， 即，又的定义域为，所以为偶函数． 【相似题3】（22-23高一上·云南昆明·期中）定义在上的函数满足． (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性并证明. 【答案】(1)； (2)是偶函数；证明见解析. 【分析】（1）分别令和，即可得结果； （2）令结合偶函数的定义即可得结果. 【详解】（1）令，则． 再令，可得， ∴． （2）是偶函数； 证明：令可得， ∴是偶函数． 【题型5：函数的奇偶性与单调性解不等式】 例题精选 【例题1】（24-25高一上·全国·课前预习）函数是定义在上的奇函数，且． (1)确定函数的解析式； (2)用定义证明在上是增函数； (3)解不等式． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）由奇函数的性质及已知函数值，列方程求参数值即可； （2）应用单调性定义求证函数的区间单调性即可； （3）根据奇偶性和单调性解不等式. 【详解】（1）是定义在上的奇函数， ，即， ，则， ， ， 函数解析式为． （2）任取，且， ， ，则，，， ，即， 是上的增函数． （3）， ， 是上的奇函数， ， ， 为上的增函数， ，解得， 不等式的解集为． 【例题2】（24-25高一下·贵州·阶段练习）已知函数是定义在区间上的函数． (1)判断的奇偶性； (2)证明在区间上是增函数，并求不等式的解集． 【答案】(1)函数为奇函数； (2) 【分析】（1）通过证明来证得为奇函数. （2）利用单调性的定义来证得在上为增函数，根据所奇函数及单调性解不等式即可. 【详解】（1）由已知，函数的定义域为． ，都有， ． 所以函数为奇函数． （2）任取，且，则， 那么 因为 ， 所以 ，，， 所以 ， 所以 ， 所以 在上是增函数． 因为，所以，且在上是增函数． 所以，所以， 所以不等式的解集 【例题3】（2025高三·全国·专题练习）设函数的定义域为，且满足，，又当时，． (1)判断的奇偶性； (2)证明在上是增函数； (3)解不等式． 【答案】(1)奇函数 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）对于奇偶性，利用赋值法找到与关系； （2）证明单调性根据定义设，，比较与大小； （3）解不等式先利用已知求出，再结合函数单调性求解. 【详解】（1）令，得，． 令，则， 即， ， 即函数是奇函数； （2）设，，， 在上是增函数； （3），， ， 由单调性得，解得．故不等式解集为 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·河北保定·阶段练习）已知函数是奇函数. (1)求的值. (2)判断函数在上的单调性并说明理由，并求的最值； (3)若函数满足不等式，求出的范围. 【答案】(1) (2)增函数，理由见解析，最大值为，最小值为 (3) 【分析】（1）根据奇函数的定义可求得的值； （2）判断出函数是区间上的增函数，然后任取、且，作差，因式分解后判断差值的符号，结合函数单调性的定义可得出结论； （3）由变形得出，结合函数的定义域、单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）因为在是奇函数，则， 即，可得，解得，故. （2）是区间上的增函数，理由如下： 任取、且， 则 ， 因为所以，，， 所以，即， 所以是区间上的增函数， 所以函数的最小值为，最大值为. （3）因为是区间上的增函数，且是奇函数， 由可得， 所以，解得，故实数的取值范围是. 【相似题2】（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知函数是定义在上的增函数，并且满足，． (1)求和的值； (2)判断函数的奇偶性； (3)解关于的不等式 【答案】(1)， (2)奇函数 (3) 【分析】（1）通过赋值法来确定函数的特殊值； （2）根据奇偶性的定义判断函数的奇偶性； （3）运用函数奇偶性，结合函数的单调性求解不等式即可. 【详解】（1）令，得，解得． ，； （2）因为函数的定义域为R，， 令，则有，，即， ∴函数为奇函数； （3）因为，所以， 又因为， 即由，则， 即， 又因为为增函数，所以，解得， 故x的取值范围为． 【相似题3】（24-25高一上·四川眉山·期末）（1）已知奇函数是定义在上的减函数，且，求实数t的取值范围； （2）已知偶函数在区间单调递增，求不等式的解集 【答案】(1) ；(2) 【分析】（1）根据奇函数的定义可得，结合单调性列式求解即可； （2）根据偶函数的定义可得，结合单调性列式求解即可. 【详解】（1）因为奇函数是定义在上的减函数， 若，则， 可得，解得， 所以实数t的取值范围为； （2）因为为偶函数，则，即为， 又因为函数在区间单调递增，且， 则，解得， 所以不等式的解集为. 【课后强化练习】 一、单选题 1．（24-25高二下·浙江温州·阶段练习）已知是定义在R上的偶函数，且，则（   ） A．1 B．2 C．0 D．4 2．（24-25高一下·山西大同·阶段练习）下列函数中是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·广东湛江·二模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·浙江杭州·二模）设函数是奇函数.若函数，，则（   ） A．27 B．28 C．29 D．30 5．（24-25高一下·陕西西安·阶段练习）若函数是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C．3 D．1 6．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数是上单调递增的奇函数．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则下列选项正确的是（   ） A．图象过定点 B．值域为 C．在定义域上单调 D．函数一定存在单调增区间 三、填空题 8．（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知函数是奇函数，则实数 ． 9．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）若函数为奇函数，且当时，，则当时，的解析式为 . 10．（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）已知定义在R上的奇函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是 . 11．（23-24高一下·江苏南通·期中）已知是上的偶函数，且在上是单调减函数，则满足不等式的所有整数的值为 . 12．（24-25高一上·湖南邵阳·阶段练习）已知和是定义在R上的奇函数和偶函数，且满足，则 四、解答题 13．（24-25高一下·福建·期中）已知是定义在R上的偶函数，当时，. (1)求函数在R上的解析式； (2)若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围. 14．（24-25高一下·江西宜春·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 15．（23-24高三上·福建龙岩·阶段练习）定义在上的函数对任意都有（为常数）. (1)判断为何值时，为奇函数，并证明； (2)设，是上的增函数，且，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B C B B B D ABD 1．B 【分析】由可知函数关于点对称，再结合偶函数的性质依次赋值可得. 【详解】由可知函数关于点对称， 取代入可得， 又函数是定义在R上的偶函数，所以， 所以， 即，三式相加即， 又函数关于点对称，且， 所以， 所以. 故选：B. 2．C 【分析】利用函数的奇偶性的定义依次判断即可. 【详解】对A，函数定义域为，关于原点对称，，不满足，故A不符合题意； 对B，函数定义域为，关于原点对称，，不满足，故B不符合题意； 对C，函数定义域为，关于原点对称，，满足，故C符合题意； 对D，函数定义域为，关于原点对称，，不满足，故D不符合题意. 故选：C. 3．B 【分析】利用奇函数、函数的单调性以及函数的零点转化待求不等式，求解即得. 【详解】因为， 所以在上单调递增，且． 因为是定义在上的奇函数，所以在上单调递增，且． 由，可得或，解得或． 即的解集为. 故选：B. 4．B 【分析】根据奇函数定义可得，再利用赋值法由代入计算可得结果. 【详解】由函数是奇函数可知， 因此可得； 又，因此； 两式相加可得； 又，因此. 故选：B 5．B 【分析】由偶函数的性质定义域关于原点对称和可得. 【详解】由题意可得， 又, 则， 所以. 故选：B 6．D 【分析】由奇函数的性质结合单调性解抽象不等式可得. 【详解】将不等式变形可得， 因为函数是上单调递增的奇函数，所以不等式等价于， 所以，即的取值范围为. 故选：D 7．ABD 【分析】对于A，由奇函数性质即可判断；对于B，只需求得时，值域，结合奇函数性质即可判断；对于C，D，由二次函数性质即可判断. 【详解】选项A：是定义域为的奇函数，所以，图象过，A正确； 选项B：时，时，值域为；时，值域为，又，值域为． 时，时，值域为；时，值域为，又，值域也为，B正确． 选项C：当时，在上单调递减，在上单调递增，在定义域上不单调，C错误； 选项D：当时，是单调递增区间；当时，是单调递增区间，D正确． 故选：ABD． 8． 【分析】根据题意，得到，不妨设，列出方程，即可求解. 【详解】因为函数是奇函数，则满足， 不妨设，则，可得，即，所以. 故答案为：. 9． 【分析】由奇函数的性质求解即可. 【详解】因为为奇函数，且当时，， 所以当时，时， 所以，即， 所以. 故答案为： 10． 【分析】由奇偶性单调性得到，求解即可. 【详解】由题意， 等价于， 又奇函数在上单调递增， 可知在R单调递增， 所以可得：， 解得：， 所以实数的取值范围是， 故答案为： 11． 【分析】利用函数的奇偶性和单调性，不等式转化为，求解即可. 【详解】已知是R上的偶函数，且在上是单调减函数， 所以在上是单调增函数， 由，得，即， 解得，则符合题意的整数有. 故答案为： 12．5 【分析】根据奇偶性可得，结合已知解析式求函数值. 【详解】由题设. 故答案为：5 13．(1) (2) 【分析】（1）根据函数是偶函数结合分段函数解析式求解； （2）根据函数单调性列不等式计算求参. 【详解】（1）由题意知是定义在R上的偶函数，当时，. 故当时，， 故函数在R上的解析式为； （2）作出函数的图象如图： 结合图象可得，若函数在区间上单调递增， 需满足，即. 14．(1)； (2). 【分析】（1）利用奇函数的性质求时的对应解析式，即可得； （2）根据函数的定义域及单调性得，即可求参数范围. 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，当时，， 任取，则，所以， 因为函数是定义在上的奇函数， 所以，， 综上，； （2）当时，，所以在上单调递增； 因为函数是定义在上的奇函数，所以函数在上单调递增， 所以可化为： 即，解得：，即实数的取值范围是. 15．(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）先利用奇函数的性质，求出值，再利用奇函数的定义，即可证明； （2）利用题设得对任意恒成立，再分和两种情况讨论，即可求解. 【详解】（1）时，是奇函数，证明如下， 若在上为奇函数，则， 令，则，所以， 当时，由题有，令，， 则， 又，则有，即对任意成立， 所以是奇函数. （2）因为，所以， 所以对任意恒成立. 又是上的增函数，所以对任意恒成立， 即对任意恒成立， 当时，显然成立； 当时，由，得， 所以实数的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年暑假新高一数学常考题型归纳 【3.2.2函数的奇偶性】 总览 题型梳理 【知识点总览】 一、函数奇偶性的定义与核心条件 1. 奇函数的定义 若函数 的定义域关于原点对称，且对定义域内任意 ，都有 ，则 为奇函数。 几何特征：函数图像关于原点对称。 2. 偶函数的定义 若函数 的定义域关于原点对称，且对定义域内任意 ，都有 ，则 为偶函数。 几何特征：函数图像关于 轴对称。 3. 核心前提：定义域关于原点对称 若定义域不关于原点对称（如 ），则函数既不是奇函数也不是偶函数。 二、奇偶性的判断方法与步骤 1. 判断步骤 1. 先确定函数的定义域是否关于原点对称； 2. 若定义域对称，再验证 与 的关系： 若 ，则为奇函数； 若 ，则为偶函数； 若两者都不满足，则为非奇非偶函数。 2. 典型例子 奇函数： ：； ：； （定义域 ，关于原点对称）：。 偶函数： ：； ：； ：。 三、奇偶函数的常用性质与结论 1. 函数图像性质 奇函数图像关于原点对称，若 在 处有定义，则 （因为 ）。 偶函数图像关于 轴对称， 在 和 处的函数值相等。 2. 奇偶函数的运算性质 | 运算类型 | 奇函数（） | 偶函数（） | |----------------|------------------|------------------| | 和/差（） | 奇±奇=奇 | 偶±偶=偶 | | | 奇±偶=非奇非偶 | 偶±奇=非奇非偶 | | 积/商（, ） | 奇×奇=偶 | 偶×偶=偶 | | | 奇×偶=奇 | 偶×奇=奇 | 例： （奇）与 （偶）的积为 （奇）； （奇）与 （奇）的和为 （奇）。 3. 复合函数的奇偶性 若 是奇函数， 是奇函数，则 是奇函数； 若 是偶函数， 是任意函数（定义域对称），则 是偶函数； 若 是奇函数， 是偶函数，则 是偶函数。 例： （奇），（偶），则 （偶）。 4. 奇偶性与单调性的结合（拓展） 奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同：若 在 上递增，则在 上也递增； 偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反：若 在 上递增，则在 上递减。 四、常见非奇非偶函数的例子 定义域不关于原点对称，如 （定义域 ）； 满足 且 ，如 （ 且 ）。 五、解题注意事项 1. 优先检查定义域：定义域不对称时，直接判定为非奇非偶函数； 2. 代入计算时符号处理：注意 的表达式变形，避免符号错误； 3. 利用 简化判断：若奇函数在 处有定义，可先验证 ，但需注意 不是奇函数的充分条件（如 满足 ，但为偶函数）。 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：函数的奇偶性定义及判断】 例题精选 【例题1】判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)． 【例题2】判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)． 【例题3】判断下列函数的奇偶性： (1)； (2). 相似练习 【相似题1】判断下列函数的奇偶性． (1)； (2)； (3) 【相似题2】判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)，； (3) 【相似题3】判断下列函数的奇偶性，并加以证明： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8). 【题型2：函数的奇偶性求参数】 例题精选 【例题1】（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数为定义在区间上的奇函数，则（   ） A． B．3 C．8 D．无法确定 【例题2】（24-25高一上·重庆·期中）设是偶函数，且定义域为，，则 （    ） A． B． C． D． 【例题3】（24-25高一下·云南昭通·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，那么的最大值是（   ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】已知定义域为的奇函数，则的值为 ． 【相似题2】（24-25高二下·浙江金华·期中）已知是定义在上的偶函数，则 . 【相似题3】（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）已知是偶函数，则实数的值为 . 【题型3：函数的奇偶性求解析式】 例题精选 【例题1】（24-25高二下·陕西·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为（    ） A． B． C． D． 【例题3】（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知函数是奇函数，当时，，则当时， . 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）设函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则函数在时的解析式为 ． 【相似题2】（24-25高一上·福建南平·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时， . 【相似题3】（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知函数是偶函数，是奇函数，且，则 . 【题型4：抽象函数的奇偶性】 例题精选 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，对任意都有，且，判断的奇偶性． 【例题2】（2024高三·全国·专题练习）若对于任意实数，，函数都有．求证：为偶函数． 【例题3】（2024高一·全国·专题练习）定义在上的函数是单调函数，满足，且，. (1)求，； (2)判断的奇偶性，并证明； 相似练习 【相似题1】（23-24高一上·广东珠海·期末）已知定义在上的函数满足，，且. (1)求的值； (2)判断的奇偶性，并证明. 【相似题2】（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知定义在上的函数满足，，，且． (1)求，，的值； (2)判断的奇偶性，并证明． 【相似题3】（22-23高一上·云南昆明·期中）定义在上的函数满足． (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性并证明. 【题型5：函数的奇偶性与单调性解不等式】 例题精选 【例题1】（24-25高一上·全国·课前预习）函数是定义在上的奇函数，且． (1)确定函数的解析式； (2)用定义证明在上是增函数； (3)解不等式． 【例题2】（24-25高一下·贵州·阶段练习）已知函数是定义在区间上的函数． (1)判断的奇偶性； (2)证明在区间上是增函数，并求不等式的解集． 【例题3】（2025高三·全国·专题练习）设函数的定义域为，且满足，，又当时，． (1)判断的奇偶性； (2)证明在上是增函数； (3)解不等式． 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·河北保定·阶段练习）已知函数是奇函数. (1)求的值. (2)判断函数在上的单调性并说明理由，并求的最值； (3)若函数满足不等式，求出的范围. 【相似题2】（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知函数是定义在上的增函数，并且满足，． (1)求和的值； (2)判断函数的奇偶性； (3)解关于的不等式 【相似题3】（24-25高一上·四川眉山·期末）（1）已知奇函数是定义在上的减函数，且，求实数t的取值范围； （2）已知偶函数在区间单调递增，求不等式的解集 【课后强化练习】 一、单选题 1．（24-25高二下·浙江温州·阶段练习）已知是定义在R上的偶函数，且，则（   ） A．1 B．2 C．0 D．4 2．（24-25高一下·山西大同·阶段练习）下列函数中是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·广东湛江·二模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·浙江杭州·二模）设函数是奇函数.若函数，，则（   ） A．27 B．28 C．29 D．30 5．（24-25高一下·陕西西安·阶段练习）若函数是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C．3 D．1 6．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数是上单调递增的奇函数．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则下列选项正确的是（   ） A．图象过定点 B．值域为 C．在定义域上单调 D．函数一定存在单调增区间 三、填空题 8．（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知函数是奇函数，则实数 ． 9．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）若函数为奇函数，且当时，，则当时，的解析式为 . 10．（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）已知定义在R上的奇函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是 . 11．（23-24高一下·江苏南通·期中）已知是上的偶函数，且在上是单调减函数，则满足不等式的所有整数的值为 . 12．（24-25高一上·湖南邵阳·阶段练习）已知和是定义在R上的奇函数和偶函数，且满足，则 四、解答题 13．（24-25高一下·福建·期中）已知是定义在R上的偶函数，当时，. (1)求函数在R上的解析式； (2)若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围. 14．（24-25高一下·江西宜春·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 15．（23-24高三上·福建龙岩·阶段练习）定义在上的函数对任意都有（为常数）. (1)判断为何值时，为奇函数，并证明； (2)设，是上的增函数，且，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$