第03讲 集合的基本运算—【暑假导航】2025年新高一数学暑假优学讲练（人教A版2019 必修第一册）

暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 1 - 模块一 新知归纳 【知识点 1】并集 1．并集的概念 自然语 言 一般地，由所有属于集合 A或属于集合 B的元素组成的集合称为 A与 B的并集，记作 A∪B，读 作“A并 B” 符号语 言 A∪B＝{x|x∈A或 x∈B} 图形语 言 2．并集的运算性质 性质 定义 A B B A  满足交换律 A A A 任何集合与其本身的并集等于这个集合本身 A A A    任何集合与空集的并集等于这个集合本身    A B C A B C    多个集合的并集满足结合律 ( )A A B  ， ( )B A B  任何集合都是该集合与另一个集合并集的子集 A B  A B B  任何集合与它子集的并集都是它本身，反之亦然 【知识点 2】交集 1．交集的概念 自然语 言 由所有属于集合 A且属于集合 B的元素组成的集合，称为集合 A与 B的交集，记作 A∩B，读作 “A交 B” 符号语 A∩B＝{x|x∈A且 x∈B} 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 2 - 言 图形语 言 2．交集的运算性质 性质 定义 A B B A   满足交换律 A    空集与任何集合的交集都是空集 A A A 集合与集合本身的交集仍为集合本身    A B C A B C    多个集合的交集满足结合律      A B C A C B C      多个集合的综合运算满足分配律      A B C A C B C     若 A B A ，则 A B 交集关系与子集关系的转化    ,A B A A B B   两个集合的交集是其中任一集合的子集 【知识点 3】全集与补集 1．全集的概念 自然语言 一般地，如果一个集合包含所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记 为 U. 符号语言 若 , , ,A U B U C U   ，则U为全集. 图形语言 2．补集的概念 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 3 - 自然语言 若集合 A是全集 U的一个子集，由全集 U中不属于集合 A的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U的补集，记作 ACU . 符号语言  U A x x U x A  且ð 图形语言 3．补集的运算性质 性质 定义  U A A U ð 任何集合与其补集的并集为全集  U A A ð 任何集合与其补集的交集为空集  ACC UU =A 任何集合补集的补集为集合本身 ,U UU U  痧 全集的补集为空集，空集的补集为全集 【知识点 4】容斥原理 1．容斥原理：在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用 Venn图表示两集合的交、 并、补.如果用 card表示有限集合元素的个数，即 card（A）表示有限集 A的元素个数，则有如下结论： （1）        card card card cardA B A B A B    （2）                card card card card card card card cardA B C A B C A B B C A C A B C             【知识点 5】区间及相关概念（为了更好的解决问题，提前讲解此部分内容） 1．一般区间的表示：设 a，b是两个实数，而且 a<b，我们规定：这里的实数 ,a b叫做区间的端点. 在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示. 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 4 - 定义 名称 符号 数轴表示  |  x a x b 闭区间 [ ]a b,  |x a x b  开区间  ,a b  |x a x b  半开半闭区间  ,a b  |x a x b  半开半闭区间  ,a b 2．实数集 R 可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”， “－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． 3．特殊区间的表示 定义 符号 数轴表示 x a ( , )a  x a  ,a  x b  ,b x b  ,b 模块二 考点讲解举一反三 考点 1：数集间的运算 【例 1】（24-25高二下·云南·阶段练习）已知集合  4,0,1,2,8A   ，  3|B x x x  ，则 A B  （ ） A． 0,1,2 B． 1,2,8 C． 3 8, D． 0,1 【例 2】（24-25高二下·河南平顶山·期末）已知集合  1 2A x x    ，  1 3B x x   ，则 A B  （ ） A． 1 2x x  B． 1 2x x  暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 5 - C． 1 3x x   D． 1 3x x   【例 3】（24-25高二下·辽宁·阶段练习）已知集合 { 2 5}A x x   ∣ ，  5, 4,3,6B    ，则  A B R Ið （ ） A． 5, 4  B． 5, 4,6  C． 3,6 D． 4,3 【变式 1】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知集合    4 24, 2, 1,0,1, 2, 4 , 12 0A B x x x       ∣ ，则 A B  （ ） A． 1,0,1 B． 0,1,2 C． 0,1,2,4 D． 2, 1,0,1, 2  【变式 2】已知集合  | 1 1A x x    ，  | 0 2B x x   ，则 A B  （ ） A．{ | 1 2}x x   B．{ | 1 2}x x   C．{ | 0 1}x x  D．{ | 0 2}x x  【变式 3】（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知集合 { 1,0,1, 2}A   ， { 1,0}B   ，则 AB ð （ ） A．{ 1,0} B．{0,1} C．{1,2} D．{ 1,1} 【变式 4】（24-25高三下·云南·期中）已知集合  1,0,1A   ，  2,0,2B   ，  1,2,3C  ，则  A B C   （ ） A． 1,2 B． 1,3 C． 2,3 D． 1,2,3 【变式 5】（2025·安徽蚌埠·三模）设集合  0,1,2,3,4U  ，  0,1,2,3P  ，  1,2,4Q  ，则  UP Q ð （ ） A． 0 B． 0,3 C． 3 D． 1,3 考点 2：点集间的运算 【例 4】已知集合 M＝{（x，y）|y＝2 1x  ，xy≤0}，N＝{（x，y）|y＝x2 4 }，则M N 中的元素个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．1或 2 【变式 1】已知集合    3( , ) 0 , ( , )M x y x y N x y y x     ，则M N 中元素的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 6 - 【变式 2】若集合 {( , ) 3 0}M x y x y  ∣ ，   2 2, }0{ |N x y x y   ，则（ ） A．M N M  B．M N M  C．M N N  D．M N  【变式 3】已知集合      2 2, | 1, , , { , | 2M x y x y x y N x y x y     ＝ ＝Z Z }，则集合M  N 中元素 的个数是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 考点 3：韦恩图在集合中的运用 【例 5】（2025·湖北武汉·模拟预测）设集合  3,4,5A  ，  2,3,4,8B  ，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A． 2,8 B． 3,4 C． 2,5,8 D． 3,4,5 【变式 1】（2024·山西太原·一模）已知全集U R ，集合  0,1,2,3A  ，  2, 1,0,1B    ，则图中阴影部分 表示的集合为（ ） A． 2, 1,0,1,2,3  B． 0,1 C． 2,3 D． 2, 1  【变式 2】（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知全集U  R ，集合  0,1,2,3,4,5A  ，  3 8B x x   N ，则 图中阴影部分所表示的集合为（ ） 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 7 - A． 0,1, 2 B． 1,2 C． 1,2,3 D． 0,1, 2,3 【变式 3】（24-25高二下·云南临沧·阶段练习）已知集合  1,2,4A  ，  2,4,5B  ，则图中阴影部分表示的 集合为（ ） A． 1 B． 2,4 C． 5 D． 1,2,4,5 考点 4：根据集合的运算求参数 【例 6】（24-25高二下·吉林延边·阶段练习）  2 5A x x    ，  1 2 1B x m x m     ，若 A B A ， 则实数m的取值范围是（ ） A．  ,3 B．  , 2 C． 3,3 D．  ,3 【例 7】设集合  | 0A x x m   ， { | 2 4}B x x    ，全集U  R ． （1）若  UA B  ð ，求实数m的取值范围； （2）若  UA B ð ，求实数m的取值范围； （3）若  UB A  Rð ，求实数m的取值范围． 【变式 1】（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）已知  | 1A x x   或 3x  ，  2 2|B x m x m     ，若 R( )A B ð ，则 m的取值范围是 . 【变式 2】已知集合 { 5 2}, { 2 3 1}A x x B x a x a        ∣ ∣ ． 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 8 - （1）若  23,4, 2 3 ,0 ( )C a a B C     ，求实数 a的值； （2）从条件①②③中选择一个作为已知条件，求实数 a的取值范围． 条件：① A B B ；②  RB A ð ；③  RA B  R ð ． 【变式 3】已知全集  2{1, 2,3, 4,5}, 5 4 0, ,U A x x qx q A U      R∣ . （1）若 UAð 中有四个元素，求 UAð 和 q的值； （2）若 U A Uð ，求实数 q的取值范围. 考点 5：集合运算在实际生活中的运用 【例 8】（24-25高一上·陕西榆林·阶段练习）为了丰富学生的课余生活，某校开设了篮球社团、AI社团、 围棋社团，高一某班学生共有 30人参加了学校社团，其中有 15人参加篮球社团，有 8人参加 AI社团，有 14人参加围棋社团，同时参加篮球社团和 AI社团的有 3人，同时参加篮球社团和围棋社团的有 3人，没有 人同时参加三个社团，只参加围棋社团的人数为( ). A．10 B．9 C．7 D．4 【变式 1】（2025·江苏·一模）我市某校共有 1500名学生在学校用午餐，每次午餐只能选择在楼上或楼下的 一个食堂用餐，经统计，当天在楼上食堂用午餐的学生中，有 0 010 的学生第二天会到楼下食堂用午餐：而 当天在楼下食堂用午餐的学生中，有 0 015 的学生第二天会到楼上食堂用楼午餐，则一学期后，在楼上食堂 用午餐的学生数大约为（ ） A．700 B．800 C．900 D．1000 【变式 2】二十大报告中提出加强青少年体育工作，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快建设体育强国 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 9 - 的要求.某校体育课开设“足球”、“篮球”两门选修课程，假设某班每位学生最少选修一门课程，其中有33位 学生选修了“足球”课程，有 26位学生选修了“篮球”课程，有10位学生同时选修了这两门课程，则该班学生 的人数为（ ） A．39 B．49 C．59 D．69 【变式 3】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）学校统计某班 30名学生参加音乐、科学、体育 3个兴趣小 组的情况，已知每人至少参加了 1个兴趣小组，其中参加音乐、科学、体育小组的人数分别为 19，19，18， 只同时参加了音乐和科学小组的人数为 4，只同时参加了音乐和体育小组的人数为 2，只同时参加了科学和 体育小组的人数为 4，则同时参加了 3个小组的人数为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 模块三 知识检测 考点 1：数集间的运算 1．（25-26高一·全国·假期作业）已知集合  | 2 0A x x    ，  | 1B x x  ，则 A B  （ ） A． | 1 1x x   B． | 2 0x x   C． | 1 0x x   D． | 2 1x x   2．（25-26高一·全国·假期作业）已知集合  1 2A x x    ，  1B x x A   ，则 A B  （ ） A． 0 3x x  B． 1 3x x   C． 0 2x x  D． 1 2x x   3．（25-26高一·全国·假期作业）已知集合    | 1 1 , | 0 2A x x B x x       ，则 A B  （ ） A． | 1 2x x   B． | 0 2x x  C． | 0 1x x  D． | 1 2x x   4．（24-25高一下·四川德阳·期末）已知全集 { 3 3}U x x   ∣ ，集合 { 0 1}A x x  ∣ ，则 U A ð （ ） A．{ 3 0x x  ∣ 或1 3}x  B．{ 3 0x x  ∣ 或1 3}x  C．{ 0 1}x x ∣ D．{ 0 1}x x ∣ 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 10 - 5．（2025·山东泰安·模拟预测）已知全集为R ，集合  1 2A x x   ，  4B x x  ，则（ ） A． A B A B． A B  R C．  B A BR ð D． ( )A B A Rð 6．（24-25高二下·浙江温州·阶段练习）已知全集  R, 0 1U A x x    ，则 U A ð （ ） A． 0x x  B． 1x x  C．{ 0x x  或 1}x  D．{ 0x x  或 1}x  7．（24-25 高一上·广东广州·阶段练习）已知全集 { | 4}U x x  ，集合 { | 2 3}A x x    ， { | 3 2}B x x    ， 求 A B ， ( )U A Bð . 8．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知集合  2 5A x x   ，集合  3 7B x x   ，集合  4C x x  ．求： (1)求 A B ， A B ； (2)求  A B C  ，  C A B  ． 考点 2：韦恩图在集合中的运用 9．已知表示集合 { 1,0,1}M = - 和 {0,1, 2,3}P 关系的 Venn图如图所示，则阴影部分表示的集合是（ ） A．{0,1} B．{0} C．{ 1,2,3} D．{ 1,0,1,2,3} 10．（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）如图所示的 Venn图中阴影部分所表示的集合为（ ） 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 11 - A． ( )U A Bð B． ( )U A Bð C．  U A Bð D．  UA B ð 11．（2025·安徽合肥·三模）已知集合 {0,1,2,3,4,5}, {0,2,4,6,8}A B  ，则图中阴影部分所示集合的元素个 数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 12．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合  0U x x m   ，  1 3M x x   ，  2 6N x x   ， (1)若 ( )M N U ，求 m的取值范围； (2)当 10m  时，求图示阴影部分对应的集合. 考点 3：根据集合的运算求参数 13．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知集合  1,0,1,2 , { 2}A B x a x    ∣ . 若  1A B  ，则 a的取值范 围为 . 14．（2025·湖南长沙·二模）已知集合    1, 2 , 1 0A B x mx     ，若 A B A ，则 m的可能取值组成的 集合为 ． 15．（2025高三·全国·专题练习）设 Rm ，集合   , 1, RA x y y x x    ,  2( , ) | 2 , Rx y y xB x m x     ． (1)若 34 m  ，求 A B ； (2)若 A B   ，求实数m的取值范围． 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 12 - 16．（24-25高一上·山东枣庄·阶段练习）已知集合 2{ | 15 0}A x x px    ， 2{ | 0}B x x ax b    ， {2,3,5}A B  ， {3}A B  . (1)求 p，a，b的值； (2)若 0}{ 2|C x mx   ，且C B ，求 m的值. 考点 4：集合运算在实际生活中的运用 17．（24-25高一上·四川眉山·期中）高三 1班有 12名同学读过《牡丹亭》，有 8名同学读过《醒世恒言》， 两者都读过的同学有 4名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有（ ） A．16人 B．18人 C．20人 D．24人 18．（24-25高一上·重庆·期中）求精中学为丰富学生们的课余生活，开展了多种多样的学生社团活动，其 中心理社，动漫社和地理社最受欢迎，高一某班有 35名学生参加了这三个社团，其中有 19人参加了心理 社，有 16人参加了地理社，有 15人参加了动漫社，有 6人参加了心理社和地理社，有 5人参加了地理社 和动漫社，已知每人至少都参加了一个社团，没有人同时参加三个社团，则只参加了一个社团的同学有（ ） 人 A．16 B．18 C．20 D．24 19．（24-25高一上·全国·课后作业）为弘扬红色文化、传承文化精神，某校在假期来临之际布置了一项红 色文化学习的社会实践活动作业，并在开学后随机抽查了 100名学生的完成情况（每个同学至少参加一项 活动），其中有 52人观看了红色电影，43人参观了烈士陵园，49人参观了红色教育基地，既观看红色电 影又参观烈士陵园的有 24人，既观看红色电影又参观红色教育基地的有 20人，既参观烈士陵园又参观红 色教育基地的有 17人，则三项活动都参加的人数为 ． 20．（24-25 高一上·河北石家庄·阶段练习）某校“田径运动会”上，共有 12名同学参加 100米、400米、1500 米三个项目，其中有 8人参加“100米比赛”，有 7人参加“400米比赛”，有 5人参加“1500米比赛”，“100米 和 400米”都参加的有 4人，“100米和 1500米”都参加的有 3人，“400米和 1500米”都参加的有 3人，则三 项比赛都参加的有 人. 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 13 - 1．（2025·天津南开·模拟预测）设全集  3, 2, 1,0,1,2,3U     ，集合  3,0,1S   ，  1,0,2T   ，则 Uð  S T 等于（ ）． A． B． 3, 1, 0,1, 2  C． 2, 1,2,3  D． 2,3 2．（2025·天津河北·模拟预测）已知全集  1,0,1,2,3,4,5U   ，集合  1,2A  ，  1,0,2,3B   ，则集合  U BA  ð （ ） A． 3 B． 1,0,3 C． 1,0,2,3,4,5 D． 2,3,4,5 3．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）设全集  1,2,3, ,10U   ，非空集合 ,A B满足以下条件： ① A B U  ， A B   ； ②若 x A ， y B ，则 x y A  且 xy B . 当5 A 时，1 B（填或），此时 B中元素个数为 ． 4．（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）高一某班共有 54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地 理、政治这六门课程中选择 3门进行学习.已知选择物理的有 32人，选择化学的有 24人，选择生物的有 22 人，其中选择了物理和化学的有 18人，选择了化学和生物的有 10人，选择了物理和生物的有 16人.那么班 上选择物理或者化学或者生物的学生最多有 人. 5．（23-24高一上·湖北宜昌·阶段练习）已知全集U  R，集合    1 2 , 0 3A x x B x x       ．求： (1) A B 及 A B ； (2)  U A Bð 及  BUA ð 6．（24-25高一上·甘肃·期中）设全集 RU  ，集合  1 5A x x   ，集合  1 2 2B x a x a      . (1)若 4a  ，求 A B ，  UA B ð ； (2)若 B A ，求实数 a的取值范围. 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 14 - 7．（24-25高一上·贵州·阶段练习）已知全集U为实数集，集合 { 2 3}, { 2 1 2}A x x B x m x m        ∣ ∣ . (1)若 1m   ，求图中阴影部分表示的集合 C； (2)若 A B B ，求实数m的取值范围. 8．（24-25高二下·江苏·阶段练习）已知  2 5A x x    ，  1 2 1B x a x a     . (1)若 3a  时，求 A B 、  A B Rð ； (2)若  B A Rð ，求 a的取值范围. 9．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合  | 2A x m x m   ， { | 5B x x   或 4}x  . (1)当 3m  时，求  A B Rð ； (2)在① A B Rð ；② A B   ；③  A B AR ð 这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并求解.若 ___________，求实数m的取值范围. 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 15 - 暑假优学 人教A版 必修第一册 第03讲 集合的基本运算 目录 模块一：新知归纳 模块二：考点讲解举一反三 考点1：数集间的运算 考点2：点集间的运算 考点3：韦恩图在集合中的运用 考点4：根据集合的运算求参数 考点5：集合运算在实际生活中的运用 模块四：过关检测 题型分组练 巩固提高综合练 模块一 新知归纳 【知识点1】并集 1．并集的概念 自然语言 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B” 符号语言 A∪B＝{x|x∈A或x∈B} 图形语言 2．并集的运算性质 性质 定义 满足交换律 任何集合与其本身的并集等于这个集合本身 任何集合与空集的并集等于这个集合本身 多个集合的并集满足结合律 ， 任何集合都是该集合与另一个集合并集的子集 任何集合与它子集的并集都是它本身，反之亦然 【知识点2】交集 1．交集的概念 自然语言 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B” 符号语言 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} 图形语言 2．交集的运算性质 性质 定义 满足交换律 空集与任何集合的交集都是空集 集合与集合本身的交集仍为集合本身 多个集合的交集满足结合律 多个集合的综合运算满足分配律 若，则 交集关系与子集关系的转化 两个集合的交集是其中任一集合的子集 【知识点3】全集与补集 1．全集的概念 自然语言 一般地，如果一个集合包含所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记为U. 符号语言 若，则为全集. 图形语言 2．补集的概念 自然语言 若集合A是全集U的一个子集，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作. 符号语言 图形语言 3．补集的运算性质 性质 定义 任何集合与其补集的并集为全集 任何集合与其补集的交集为空集 =A 任何集合补集的补集为集合本身 全集的补集为空集，空集的补集为全集 【知识点4】容斥原理 1．容斥原理：在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn图表示两集合的交、并、补.如果用card表示有限集合元素的个数，即card（A）表示有限集A的元素个数，则有如下结论： （1） （2） 【知识点5】区间及相关概念（为了更好的解决问题，提前讲解此部分内容） 1．一般区间的表示：设a，b是两个实数，而且a<b，我们规定：这里的实数叫做区间的端点. 在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示. 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 2．实数集R 可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”， “－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． 3．特殊区间的表示 定义 符号 数轴表示 模块二 考点讲解举一反三 考点1：数集间的运算 【例1】（24-25高二下·云南·阶段练习）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二下·河南平顶山·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25高二下·辽宁·阶段练习）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25高三下·云南·期中）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5】（2025·安徽蚌埠·三模）设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 考点2：点集间的运算 【例4】已知集合M＝{（x，y）|y＝2，xy≤0}，N＝{（x，y）|y＝x2}，则中的元素个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【变式1】已知集合，则中元素的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】若集合，，则（ ） A． B． C． D． 【变式3】已知集合}，则集合中元素的个数是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 考点3：韦恩图在集合中的运用 【例5】（2025·湖北武汉·模拟预测）设集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·山西太原·一模）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二下·云南临沧·阶段练习）已知集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A． B． C． D． 考点4：根据集合的运算求参数 【例6】（24-25高二下·吉林延边·阶段练习），，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例7】设集合，，全集． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围． 【变式1】（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）已知或，，若，则m的取值范围是 . 【变式2】已知集合． （1）若，求实数a的值； （2）从条件①②③中选择一个作为已知条件，求实数a的取值范围． 条件：①；②；③． 【变式3】已知全集. （1）若中有四个元素，求和q的值； （2）若，求实数q的取值范围. 考点5：集合运算在实际生活中的运用 【例8】（24-25高一上·陕西榆林·阶段练习）为了丰富学生的课余生活，某校开设了篮球社团、AI社团、围棋社团，高一某班学生共有30人参加了学校社团，其中有15人参加篮球社团，有8人参加AI社团，有14人参加围棋社团，同时参加篮球社团和AI社团的有3人，同时参加篮球社团和围棋社团的有3人，没有人同时参加三个社团，只参加围棋社团的人数为(    ). A．10 B．9 C．7 D．4 【变式1】（2025·江苏·一模）我市某校共有1500名学生在学校用午餐，每次午餐只能选择在楼上或楼下的一个食堂用餐，经统计，当天在楼上食堂用午餐的学生中，有的学生第二天会到楼下食堂用午餐：而当天在楼下食堂用午餐的学生中，有的学生第二天会到楼上食堂用楼午餐，则一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为（    ） A．700 B．800 C．900 D．1000 【变式2】二十大报告中提出加强青少年体育工作，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快建设体育强国的要求.某校体育课开设“足球”、“篮球”两门选修课程，假设某班每位学生最少选修一门课程，其中有位学生选修了“足球”课程，有位学生选修了“篮球”课程，有位学生同时选修了这两门课程，则该班学生的人数为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）学校统计某班30名学生参加音乐、科学、体育3个兴趣小组的情况，已知每人至少参加了1个兴趣小组，其中参加音乐、科学、体育小组的人数分别为19，19，18，只同时参加了音乐和科学小组的人数为4，只同时参加了音乐和体育小组的人数为2，只同时参加了科学和体育小组的人数为4，则同时参加了3个小组的人数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 模块三 知识检测 考点1：数集间的运算 1．（25-26高一·全国·假期作业）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一·全国·假期作业）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一·全国·假期作业）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·四川德阳·期末）已知全集，集合，则（   ） A．或 B．或 C． D． 5．（2025·山东泰安·模拟预测）已知全集为，集合，，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·浙江温州·阶段练习）已知全集，则（   ） A． B． C．或 D．或 7．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知全集，集合，，求，. 8．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知集合，集合，集合．求： (1)求，； (2)求，． 考点2：韦恩图在集合中的运用 9．已知表示集合和关系的Venn图如图所示，则阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）如图所示的Venn图中阴影部分所表示的集合为（      ） A． B． C． D． 11．（2025·安徽合肥·三模）已知集合，则图中阴影部分所示集合的元素个数为（   ）    A．2 B．3 C．4 D．6 12．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合，，，    (1)若，求m的取值范围； (2)当时，求图示阴影部分对应的集合. 考点3：根据集合的运算求参数 13．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知集合. 若，则的取值范围为 . 14．（2025·湖南长沙·二模）已知集合，若，则m的可能取值组成的集合为 ． 15．（2025高三·全国·专题练习）设，集合,． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 16．（24-25高一上·山东枣庄·阶段练习）已知集合，，，. (1)求p，a，b的值； (2)若，且，求m的值. 考点4：集合运算在实际生活中的运用 17．（24-25高一上·四川眉山·期中）高三1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有（    ） A．16人 B．18人 C．20人 D．24人 18．（24-25高一上·重庆·期中）求精中学为丰富学生们的课余生活，开展了多种多样的学生社团活动，其中心理社，动漫社和地理社最受欢迎，高一某班有35名学生参加了这三个社团，其中有19人参加了心理社，有16人参加了地理社，有15人参加了动漫社，有6人参加了心理社和地理社，有5人参加了地理社和动漫社，已知每人至少都参加了一个社团，没有人同时参加三个社团，则只参加了一个社团的同学有（    ）人 A．16 B．18 C．20 D．24 19．（24-25高一上·全国·课后作业）为弘扬红色文化、传承文化精神，某校在假期来临之际布置了一项红色文化学习的社会实践活动作业，并在开学后随机抽查了100名学生的完成情况（每个同学至少参加一项活动），其中有52人观看了红色电影，43人参观了烈士陵园，49人参观了红色教育基地，既观看红色电影又参观烈士陵园的有24人，既观看红色电影又参观红色教育基地的有20人，既参观烈士陵园又参观红色教育基地的有17人，则三项活动都参加的人数为 ． 20．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）某校“田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则三项比赛都参加的有 人. 1．（2025·天津南开·模拟预测）设全集，集合，，则等于（   ）． A． B． C． D． 2．（2025·天津河北·模拟预测）已知全集，集合，，则集合（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）设全集，非空集合满足以下条件： ①，； ②若，，则且. 当时， （填或），此时中元素个数为 ． 4．（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习.已知选择物理的有32人，选择化学的有24人，选择生物的有22人，其中选择了物理和化学的有18人，选择了化学和生物的有10人，选择了物理和生物的有16人.那么班上选择物理或者化学或者生物的学生最多有 人. 5．（23-24高一上·湖北宜昌·阶段练习）已知全集，集合．求： (1)及； (2)及 6．（24-25高一上·甘肃·期中）设全集，集合，集合. (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围. 7．（24-25高一上·贵州·阶段练习）已知全集为实数集，集合. (1)若，求图中阴影部分表示的集合C； (2)若，求实数的取值范围. 8．（24-25高二下·江苏·阶段练习）已知，. (1)若时，求、； (2)若，求的取值范围. 9．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，或. (1)当时，求； (2)在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并求解.若___________，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$暑假优学 人教A版 必修第一册 第03讲 集合的基本运算 目录 模块一：新知归纳 模块二：考点讲解举一反三 考点1：数集间的运算 考点2：点集间的运算 考点3：韦恩图在集合中的运用 考点4：根据集合的运算求参数 考点5：集合运算在实际生活中的运用 模块四：过关检测 题型分组练 巩固提高综合练 模块一 新知归纳 【知识点1】并集 1．并集的概念 自然语言 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B” 符号语言 A∪B＝{x|x∈A或x∈B} 图形语言 2．并集的运算性质 性质 定义 满足交换律 任何集合与其本身的并集等于这个集合本身 任何集合与空集的并集等于这个集合本身 多个集合的并集满足结合律 ， 任何集合都是该集合与另一个集合并集的子集 任何集合与它子集的并集都是它本身，反之亦然 【知识点2】交集 1．交集的概念 自然语言 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B” 符号语言 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} 图形语言 2．交集的运算性质 性质 定义 满足交换律 空集与任何集合的交集都是空集 集合与集合本身的交集仍为集合本身 多个集合的交集满足结合律 多个集合的综合运算满足分配律 若，则 交集关系与子集关系的转化 两个集合的交集是其中任一集合的子集 【知识点3】全集与补集 1．全集的概念 自然语言 一般地，如果一个集合包含所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记为U. 符号语言 若，则为全集. 图形语言 2．补集的概念 自然语言 若集合A是全集U的一个子集，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作. 符号语言 图形语言 3．补集的运算性质 性质 定义 任何集合与其补集的并集为全集 任何集合与其补集的交集为空集 =A 任何集合补集的补集为集合本身 全集的补集为空集，空集的补集为全集 【知识点4】容斥原理 1．容斥原理：在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn图表示两集合的交、并、补.如果用card表示有限集合元素的个数，即card（A）表示有限集A的元素个数，则有如下结论： （1） （2） 【知识点5】区间及相关概念（为了更好的解决问题，提前讲解此部分内容） 1．一般区间的表示：设a，b是两个实数，而且a<b，我们规定：这里的实数叫做区间的端点. 在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示. 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 2．实数集R 可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”， “－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． 3．特殊区间的表示 定义 符号 数轴表示 模块二 考点讲解举一反三 考点1：数集间的运算 【例1】（24-25高二下·云南·阶段练习）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解方程求出集合后，根据集合的交集运算即可求解. 【详解】由，得，即，解得或或， 则. 又，则. 故选：D. 【例2】（24-25高二下·河南平顶山·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由并集的定义即可求出答案. 【详解】因为集合，所以. 故选：D. 【例3】（24-25高二下·辽宁·阶段练习）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用集合的补集和交集运算法则计算即可． 【详解】， 或}， 故， 故选：B． 【变式1】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求集合，根据交集运算即可求解. 【详解】由题意有， 所以，所以， 故选：A. 【变式2】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助并集定义计算即可得. 【详解】因为集合，，所以. 故选：B. 【变式3】（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由补集的概念即可求解. 【详解】由于集合中的元素只有1，，故． 故选：C． 【变式4】（24-25高三下·云南·期中）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件结合并集的定义求，再根据交集的定义求结论. 【详解】因为，， 所以，又， 所以， 故选：A． 【变式5】（2025·安徽蚌埠·三模）设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出可求. 【详解】,故， 故选：B. 考点2：点集间的运算 【例4】已知集合M＝{（x，y）|y＝2，xy≤0}，N＝{（x，y）|y＝x2}，则中的元素个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【答案】A 【解析】∵集合M＝{（x，y）|y＝2x﹣1，xy≤0}，N＝{（x，y）|y＝x2﹣4}， ∴M∩N＝{（x，y）|}＝．∴M∩N中的元素个数为0．故选：A． 【变式1】已知集合，则中元素的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】因为集合， 所以，所以中元素的个数为3，故选：D 【变式2】若集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵集合，， 因为∴，所以，故选：B. 【变式3】已知集合}，则集合中元素的个数是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【解析】由可得, ，即, N中的满足的整点有： ，共9个点， 其中只有(1,1)这一个点不满足，故中的元素个数为8个，故选：C. 考点3：韦恩图在集合中的运用 【例5】（2025·湖北武汉·模拟预测）设集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出集合的交集，然后求出集合的并集，最后求出阴影部分的元素组成. 【详解】因为， 所以， 所以阴影部分表示的集合为. 故选：C. 【变式1】（2024·山西太原·一模）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由阴影部分可知对应的集合为，即可得到结论. 【详解】阴影部分对应的集合为， ∵全集，集合， ∴. 故选：D. 【变式2】（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合的运算即可表示出阴影部分，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】，且， 则， 阴影部分表示的集合是在集合中去掉的元素， 则阴影部分表示的集合为. 故选：D 【变式3】（24-25高二下·云南临沧·阶段练习）已知集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据阴影部分所表示集合的意义得出结果． 【详解】由题意，阴影部分表示的集合为， 故选：B． 考点4：根据集合的运算求参数 【例6】（24-25高二下·吉林延边·阶段练习），，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知， ，分、两种情况讨论，在第一种情况下，可得出关于实数的不等式；在第二种情况下，可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】因为，，，则， 若，则，解得； 若且，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 【例7】设集合，，全集． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)． 【详解】解：（1）解法1  易知，所以．又，且，所以，解得，故实数的取值范围是． 解法2  由，知，又，，所以，解得，故实数的取值范围是． （2）因为，，，所以，解得，故实数的取值范围是． （3）因为，或，，所以，解得，故实数的取值范围是． 【变式1】（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）已知或，，若，则m的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出，由建立不等式即可得解. 【详解】由或，可得， 因为，， 所以且， 解得， 故答案为： 【变式2】已知集合． （1）若，求实数a的值； （2）从条件①②③中选择一个作为已知条件，求实数a的取值范围． 条件：①；②；③． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】解：（1）由于，所以解得． （2）若选①，由得． 当时，则，解得，满足条件； 当时，则解得． 综上，实数a的取值范围是． 若选②，． 当时，，解得，满足条件： 当时，或，则解得． 综上，实数a的取值范围是． 若选③，． 当时，，解得，满足条件； 当时，或，则解得． 综上，实数a的取值范围是． 【变式3】已知全集. （1）若中有四个元素，求和q的值； （2）若，求实数q的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据全集及条件可判断方程有相等实根即可得解； （2）转化为方程无实根，利用判别式求解即可. 【详解】（1）因为中有四个元素，所以A为单元素集合， 则方程有两个相等的实数解. 又由根与系数的关系知，这两个相等解的积为4， 所以只有，从而，所以. 所以. （2）由知，即方程无解， 所以，解得， 故实数q的取值范围是. 考点5：集合运算在实际生活中的运用 【例8】（24-25高一上·陕西榆林·阶段练习）为了丰富学生的课余生活，某校开设了篮球社团、AI社团、围棋社团，高一某班学生共有30人参加了学校社团，其中有15人参加篮球社团，有8人参加AI社团，有14人参加围棋社团，同时参加篮球社团和AI社团的有3人，同时参加篮球社团和围棋社团的有3人，没有人同时参加三个社团，只参加围棋社团的人数为(    ). A．10 B．9 C．7 D．4 【答案】A 【分析】由题意，根据容斥原理，结合集合的运算即可求解. 【详解】有15人参加篮球社团，同时参加篮球社团和AI社团的有3人，同时参加篮球社团和围棋 社团的有3人，没有人同时参加三个社团，所以只参加篮球社团的9人； 设同时参加AI社团和围棋社团有人，因为有8人参加AI社团， 同时参加篮球社团和AI社团的有3人，所以只参加AI社团的有人； 又因为有14人参加围棋社团，同时参加篮球社团和围棋社团的有3人， 所以只参加围棋社团的有人.综上所述，共有30人参加了学校社团， 所以，解得， 故只参加围棋社团的人数为人. 故选：A. 【变式1】（2025·江苏·一模）我市某校共有1500名学生在学校用午餐，每次午餐只能选择在楼上或楼下的一个食堂用餐，经统计，当天在楼上食堂用午餐的学生中，有的学生第二天会到楼下食堂用午餐：而当天在楼下食堂用午餐的学生中，有的学生第二天会到楼上食堂用楼午餐，则一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为（    ） A．700 B．800 C．900 D．1000 【答案】C 【分析】根据题意，列出方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】设一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为， 则楼下食堂用午餐的学生数大约为， 原本在楼上食堂且留下的学生：占比，即， 从楼下食堂转来的学生：楼下食堂人数的，即， 所以，解得. 所以一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为. 故选：C 【变式2】二十大报告中提出加强青少年体育工作，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快建设体育强国的要求.某校体育课开设“足球”、“篮球”两门选修课程，假设某班每位学生最少选修一门课程，其中有位学生选修了“足球”课程，有位学生选修了“篮球”课程，有位学生同时选修了这两门课程，则该班学生的人数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设选修“足球”课程的学生构成的集合为，选修“篮球”课程的学生构成的集合为，作出韦恩图，可得出该班学生人数. 【详解】设选修“足球”课程的学生构成的集合为，选修“篮球”课程的学生构成的集合为， 如下图所示： 由图可知，该班学生人数为. 故选：B. 【变式3】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）学校统计某班30名学生参加音乐、科学、体育3个兴趣小组的情况，已知每人至少参加了1个兴趣小组，其中参加音乐、科学、体育小组的人数分别为19，19，18，只同时参加了音乐和科学小组的人数为4，只同时参加了音乐和体育小组的人数为2，只同时参加了科学和体育小组的人数为4，则同时参加了3个小组的人数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】设同时参加了3个小组的人数为，然后结合题意用维恩图求解即可； 【详解】如图，设同时参加了3个小组的人数为x，则， 解得，即同时参加了3个小组的人数为8． 故选：D. 模块三 知识检测 考点1：数集间的运算 1．（25-26高一·全国·假期作业）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先解绝对值不等式，再求交集即可. 【详解】由， 则， 故选：C. 2．（25-26高一·全国·假期作业）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出集合B，再根据交集的运算求解即可. 【详解】因为，， 故． 故选：C． 3．（25-26高一·全国·假期作业）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合集合并集的概念与运算，即可求解. 【详解】由集合， 根据集合并集的运算，可得， 故选：D. 4．（24-25高一下·四川德阳·期末）已知全集，集合，则（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】利用补集的运算进行求解. 【详解】因为，集合， 则集合或. 故选：A. 5．（2025·山东泰安·模拟预测）已知全集为，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交集的运算判断A，根据并集的运算举反例判断B，根据补集和交集的运算判断C，根据补集和并集的运算判断D. 【详解】对于A选项，因为，，所以，故A不正确； 对于B选项，因为，但，得，故B不正确； 对于C选项，由，，则或， 所以，故C正确； 对于D选项，由，得， 又，所以，故D不正确. 故选：C. 6．（24-25高二下·浙江温州·阶段练习）已知全集，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据补集的定义求解即可. 【详解】因为全集， 所以或. 故选：C 7．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知全集，集合，，求，. 【答案】，或 【分析】直接利用集合交集的运算、集合补集与并集的运算求解即可. 【详解】因为集，集合，， 所以 或 或 8．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知集合，集合，集合．求： (1)求，； (2)求，． 【答案】(1)，； (2)，. 【分析】（1）根据集合的交集和并集的定义求解； （2）根据交集定义求，再求，再结合（1）结合并集定义求. 【详解】（1）因为，， 所以，， （2）因为，， 所以，又， 所以， 由（1），， 所以. 考点2：韦恩图在集合中的运用 9．已知表示集合和关系的Venn图如图所示，则阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先通过识别Venn图得知阴影部分表示的是集合，然后根据交集的内涵进行判断即可. 【详解】由题中Venn图得，阴影部分表示的集合是， 因为， 所以． 故选：A. 10．（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）如图所示的Venn图中阴影部分所表示的集合为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合交并补的含义即可得到答案. 【详解】由题意.图中阴影部分所表示的集合为. 故选：B. 11．（2025·安徽合肥·三模）已知集合，则图中阴影部分所示集合的元素个数为（   ）    A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据题意，得到阴影部分表示的集合为，结合集合运算法则，即可求解. 【详解】由题意得，图中阴影部分表示的集合为， 因为集合，可得， 所以阴影部分所示集合的元素个数为个. 故选：B． 12．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合，，，    (1)若，求m的取值范围； (2)当时，求图示阴影部分对应的集合. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出并集，再根据集合的包含关系求参； （2）先根据阴影部分确定对应集合关系,再应用交集补集定义求解. 【详解】（1）, 由，有：. 故m的取值范围为. （2）阴影部分即：, , 故：. 考点3：根据集合的运算求参数 13．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知集合. 若，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用给定的交集的结果，结合元素与集合的关系列式求解. 【详解】依题意，，则， 所以的取值范围为. 故答案为： 14．（2025·湖南长沙·二模）已知集合，若，则m的可能取值组成的集合为 ． 【答案】 【分析】由题意可得，利用子意的意求解即可. 【详解】，∴． ∴当时，；当时，；当时，， ∴m的值为0，1，，∴m的值为． 故答案为：. 15．（2025高三·全国·专题练习）设，集合,． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）转化成求与的交点问题，联立求解. （2）转化为与没有交点，联立，判别式，即可得到答案. 【详解】（1）由，得，解得， 所以. （2）由,得， 由已知方程的判别式， 从所以． 故实数的取值范围为． 16．（24-25高一上·山东枣庄·阶段练习）已知集合，，，. (1)求p，a，b的值； (2)若，且，求m的值. 【答案】(1)，； (2)或或. 【分析】（1）根据交集结果有求，再由并集结果有，结合根与系数关系求参数值； （2）由包含关系并讨论、求对应参数值，即可得. 【详解】（1）由，故，可得，则， 又，则，故； 所以，； （2）由， 若，即，满足题设， 若，即，则，或， 综上，或或. 考点4：集合运算在实际生活中的运用 17．（24-25高一上·四川眉山·期中）高三1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有（    ） A．16人 B．18人 C．20人 D．24人 【答案】A 【分析】根据集合的容斥原理即可求解. 【详解】设集合“高三1班读过《牡丹亭》的学生”，其元素个数记为； 集合“高三1班读过《醒世恒言》的学生”，其元素个数记为； 则， 则. 故该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有16人. 故选：A. 18．（24-25高一上·重庆·期中）求精中学为丰富学生们的课余生活，开展了多种多样的学生社团活动，其中心理社，动漫社和地理社最受欢迎，高一某班有35名学生参加了这三个社团，其中有19人参加了心理社，有16人参加了地理社，有15人参加了动漫社，有6人参加了心理社和地理社，有5人参加了地理社和动漫社，已知每人至少都参加了一个社团，没有人同时参加三个社团，则只参加了一个社团的同学有（    ）人 A．16 B．18 C．20 D．24 【答案】C 【分析】由题意，根据容斥原理，结合集合的运算即可求解. 【详解】设心理社为A，地理社为B，动漫社为C， 则， ， 得 即，得， 所以只参加一个社团的人数共有. 故选：C 19．（24-25高一上·全国·课后作业）为弘扬红色文化、传承文化精神，某校在假期来临之际布置了一项红色文化学习的社会实践活动作业，并在开学后随机抽查了100名学生的完成情况（每个同学至少参加一项活动），其中有52人观看了红色电影，43人参观了烈士陵园，49人参观了红色教育基地，既观看红色电影又参观烈士陵园的有24人，既观看红色电影又参观红色教育基地的有20人，既参观烈士陵园又参观红色教育基地的有17人，则三项活动都参加的人数为 ． 【答案】17 【分析】根据集合中元素个数求法以及容斥原理计算可得结果. 【详解】设集合，集合， 集合， 设三项活动都参加的人数为， 则， 则由题意可得， 即， 解得． 故答案为：17 20．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）某校“田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则三项比赛都参加的有 人. 【答案】2 【分析】根据容斥原理可分析出3项都参加的人数. 【详解】根据题意，设是参加100米的同学，是参加400米的同学，是参加1500米的同学， ， 则， 且， 则， 所以三项比赛都参加的有2人， 故答案为：2. 1．（2025·天津南开·模拟预测）设全集，集合，，则等于（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由并集、补集的概念即可得解. 【详解】集合，， 所以，， 故选：D. 2．（2025·天津河北·模拟预测）已知全集，集合，，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用集合的并补运算求集合. 【详解】由题设，又，则. 故选：C 3．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）设全集，非空集合满足以下条件： ①，； ②若，，则且. 当时， （填或），此时中元素个数为 ． 【答案】 【分析】先假设，推出与条件矛盾，得，根据题意知若，，则，，对每个元素进行排除，从而得到集合和集合. 【详解】因为，，所以和有且只有一个成立， 若，对于任一个，，与若，，则矛盾， 所以不成立，只有； 因为，，所以， 若，则与矛盾，所以， 由，，可得：， 若，因为，所以， 又，所以，与矛盾，所以， 则，，则， 若，因为，所以，，与矛盾，所以， 由，，可得：， 若，因为，，所以，，与矛盾， 所以， 所以，，因此中元素个数为个． 故答案为：，. 4．（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习.已知选择物理的有32人，选择化学的有24人，选择生物的有22人，其中选择了物理和化学的有18人，选择了化学和生物的有10人，选择了物理和生物的有16人.那么班上选择物理或者化学或者生物的学生最多有 人. 【答案】44 【分析】根据题意，设学生54人看成集合，选择物理的人组成集合，选择化学的人组成集合，选择生物的人组成集合，结合Venn图与容斥原理可知，当取最大值时最大，验证即可得. 【详解】把学生54人看成集合，选择物理的人组成集合，选择化学的人组成集合，选择生物的人组成集合. 由题意知， 且， 则，    由 ， 可得， 当且仅当时，即. 验证：此时各区域人数如图所示，满足题意所有条件.    故班上选择物理或者化学或者生物的学生最多有人. 故答案为：. 5．（23-24高一上·湖北宜昌·阶段练习）已知全集，集合．求： (1)及； (2)及 【答案】(1)， (2)或， 【分析】（1）由集合的交集、补集运算即可求解； （2）由交集、并集、补集运算即可求解； 【详解】（1）因为， 所以， （2）由（1）可得：或， 由，可得：或， 所以 6．（24-25高一上·甘肃·期中）设全集，集合，集合. (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1),; (2). 【分析】（1）根据并集与交集，补集的概念直接计算. （2）根据集合间的包含关系，列不等式，解不等式即可. 【详解】（1）因为，所以. 因为，所以. 因为，所以或，所以. （2）因为. ①当时，满足，此时，解得； ②当时，要满足，则解得. 综上所述，实数的取值范围是. 7．（24-25高一上·贵州·阶段练习）已知全集为实数集，集合. (1)若，求图中阴影部分表示的集合C； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据维恩图可知阴影部分为集合，根据补集、交集运算求解； （2）转化为，分类讨论，列出不等式，求解即可. 【详解】（1）图中阴影部分表示集合为， 当时，，又或， 所以； （2）因为，所以， 当时，，解得. 当时，若，则有， 解得， 综上所述，实数的取值范围是或. 8．（24-25高二下·江苏·阶段练习）已知，. (1)若时，求、； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）当时，求出集合，利用交集的定义可得出集合，利用补集和并集的定义可求得集合； （2）由题意可知，分、两种情况讨论，在第一种情况下，可得出关于实数的不等式；在第二种情况下，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，，则， 所以，则. （2）因为，则， 当时，，解得，合乎题意； 当时，即时，有，解得，即. 综上，，即实数的取值范围是. 9．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，或. (1)当时，求； (2)在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并求解.若___________，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）求，利用并集的概念求解即可得到结果. （2）若选①，分析和，利用子集的概念即可得到结果. 若选②，分析和，利用即可得到结果. 若选③：由可得，同①的分析可得结果. 【详解】（1）当时，， 因为或，所以， 故. （2）若选①：当时，，，成立. 当时，，由可得，解得，所以. 综上，的取值范围是. 若选②：当时，，，成立. 当时，， 由可得，解得，所以. 综上，的取值范围是. 若选③：由可得. 当时，，，成立. 当时，，由可得解得，所以. 综上，的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$