第02讲 集合间的关系—【暑假导航】2025年新高一数学暑假优学讲练（人教A版2019 必修第一册）

暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 1 - 模块一 新知归纳 【知识点 1】子集与真子集 1．韦恩图：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为 Venn图． （1）表示集合的 Venn图边界是封闭曲线，它可以是圆、椭圆、矩形，也可以是其他封闭曲线． （2）用 Venn图表示集合的方法叫图示法，其有点是能直观地表示出集合间的关系，缺点是集合元素的共 同特征不明显． 2．子集 定义 一般地，对于两个集合A、 B，如果集合 A中任意一个元素都是集合 B中的元素，就称集合A为 集合 B的子集． 记法与 读法 记作A ⊆ B（或 B⊇A），读作“A包含于 B ”（或“ B包含A ”） 图示 性质 （1）任意一个集合都是它本身的子集，即集合的子集也包括它本身，记作 A A ；（2）传递性： 对于集合 , ,A B C ，如果 A B ， B C ，则 A C ． 【注意】 （1）“A是 B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合 B的元素，即由任意 x A ，能推出 x B ． （2）如果集合A中存在着不是集合 B的元素，那么A不包含于 B，或 B不包含A． 3．真子集 定义 如果集合 A是集合 B的子集，但存在元素 x∈B，且 x A ，就称集合 A是集合 B的真子集． 记法与读法 记作 A B或（B A），读作“A真包含于 B”（或“B真包含 A”） 图示 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 2 - 性质 （1）任意集合都不是它本身的真子集． （2）传递性：对于集合 , ,A B C ，如果 A B，B C，则 A C． 【注意】 （1）真子集也可以叙述为：若集合 A B ，存在元素 x B 且 x A ，则称集合A是集合 B的真子集． （2）如果集合A是集合 B的真子集，那么集合A一定是集合 B的子集，反之不成立． 【知识点 2】集合相等 1．集合相等的概念 定义 一般地，如果集合 A的任何一个元素都是 B的元素，同时集合 B的任何一个元素都是集合 A的 元素，那么集合 A与集合 B相等． 记法与 读法 记作 A B ，读作“A等于 B ” 图示 【注意】 （1）若两个集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关.如    1,2,3 3,2,1 ． （2）如果 A B ，B A ，则 A B ；反之 A B ，则 A B 且 B A .这就给出了我们证明两个集合相等的 方法，欲证 A B ，只需证明 A B 与 B A 都成立即可． 2．判断两个集合是否相等的方法：重点是要把握住两个原则： （1）对于元素较少的有限集，可用列举法将元素一一列举出来，看两个集合中的元素是否完全相同； （2）若两个集合是无限集，则从“互为子集”入手进行判断． 【知识点 3】空集 1．空集的定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集． 2．0，{0}，，  的关系 与 0 与{0} 与  相同 点 都表示无的意思 都是集合 都是集合 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 3 - 不同 点 是集合；0是实 数 中不含任何元素；{0}含一个元 素 0 不含任何元素；  含一个元素，该元 素是 关系 0  0 ∅ {∅ }或∅ ∈{∅ } 【注意】 空集是任何集合的子集，因此在解 A⊆B（B≠∅ ）的含参数的 问题时，要注意讨论 A＝∅ 和 A≠∅ 两种 情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面． 【知识点 4】集合间的关系 1．韦恩图表示集合间关系 2．集合间的关系与实数大小的关系类比 实数 集合 定义 a b 包含两层含义： a b 或 a b A B 包含两层含义： A B 或 A B 相等 若 a b 且b a ，则 a b 若 A B ， B A ，则 A B 传递性 若 a b ，b c ，则 a c 若 A B ， B C ，则 A C ． 若 a b ，b c ，则 a c 若 A B，B C，则 A C 3．有限集的子集个数确定 如果集合 A中含有 n个元素，则有 （1）A的子集的个数有 2n个． （2）A的非空子集的个数有 2n－1个． （3）A的真子集的个数有 2n－1个． （4）A的非空真子集的个数有 2n－2个． 模块二 考点讲解举一反三 考点 1：集合关系的辨析 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 4 - 【例 1】（24-25 高一上·广东广州·阶段练习）给出下列关系：① π R ；② 2{2024,1} { 2025 2024 0}x x    ； ③ {0}  ；④ 2{(1, 2)} {( , ) | 2}x y y x x     ，其中正确的个数为（ ） A．1 B． 2 C．3 D． 4 【变式 1】（24-25高一上·广东·期末）若  , ,M x y z ，则以下正确的是（ ） A． x M B． x M C．  ,M y z D． z M 【变式 2】已知集合    1, 2,3, 4 , 1,P Q y y x x P     ，那么集合 {3, 4,5}M  与 Q的关系是（ ） A．M Q B．M Q C．Q M D．Q M 【变式 3】已知集合 { |A x x 是平行四边形}， { |B x x 是矩形}， { |C x x 是正方形}， { |D x x 是 菱形}，则 A． A B B．C B C．D C D． A D 考点 2：子集与真子集的个数 【例 2】（23-24高一上·四川成都·阶段练习）集合 1,0 的子集共有（ ） A．1个 B． 2个 C．3个 D． 4个 【例 3】（23-24高一上·甘肃白银·期中）已知集合 {2,4,6,8}P  ，则集合 P真子集的个数（ ） A．13 B．14 C．15 D．16 【变式 1】（24-25高三下·云南昆明·阶段练习）集合  | 3, ZM x x x   ，则M 的子集个数为（ ） A．3 B．4 C．8 D．16 【变式 2】（25-26高一上·全国·课后作业）集合  012M  ,, 的子集为（ ） A．     0 , 1 , 2 B．       0 , 1 , 2 , 1,2 C．     0 , 1 , 2 , D．             0 , 1 , 2 , 1,2 , 0,1 , 0,2 , 0,1,2 , 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 5 - 考点 3：相等集合的判断 【例 4】（2025高二下·湖南郴州·学业考试）下列各组集合中表示同一集合的是（ ） A．    2,1 , 1, 2A B  B．      3, 2 , 2,3A B    C．     2, 3 , 2, 3A B    D． {( , ) | 1}, { | 1}A x y x y B y x y      【变式 1】在下列集合的表示中，集合 P与集合Q表示同一集合的是（ ） A．  2,3P  ，  23Q  B．   , | 1P x y x y   ，  | 1Q y x y   C． { | 1}P x x  ， { | 1}Q y y  D．   1,2P  ，   2,1Q  【变式 2】（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）下列每组集合是相等集合的是（ ） A．  N 2A x x   ，  Z | 2B x x   B．   , |A x y y x  ，  |B x y x  C．  |A x y x  ， 2xB x y x         D．  | 0A x x  ，  | 0B y y  【变式 3】（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）若集合 A x x N 是2n与3n的公倍数， n N ，  6 ,B x x n n   N ，则下列选项正确的是（ ） A． A B B． A B C． A B D．以上选项均不正确 考点 4：空集的概念及性质 【例 5】已知集合   ,A    ，下列选项中为A的元素的是（ ） ①  ②    ③ ④   ,  A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 6 - 【变式 1】（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）下列六个关系式：①   a b b a， ， ；②    1 2 1 2， ， ； ③ 0  ；④  0 0 ；⑤  0 ；⑥Ü 0 ；其中正确的个数为（ ） A．6个 B．5个 C．4个 D．少于 4个 【变式 2】下列四个集合中是空集的是（ ） A．{ } B． 2{ }R | 1 0x x   C． |1 2x x  D． 2 }2{ | 1 0x x x   【变式 3】（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）关于 x的方程 2 1 1 3 3 x k x x      的解集为空集，则 k的值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 考点 5：根据集合的关系求参数 【例 6】（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）已知 , Rm n ，且   2 6 9 0x mx x n    ，则 n （ ） A．0 B． 3 2 C．0或 3 D． 3 2 或 3 【例 7】已知集合  2 1P x x  ，  1Q x ax  ，若Q P ，则 a的值是（ ） A．1 B． 1 C．1或 1 D．0，1或 1 【变式 1】（24-25高一上·北京·期中）若集合  2 2 0A x ax ax     ，则实数 a的取值范围是 . 【变式 2】（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）设集合  1, 2A   ，  | 1 0,B x ax a   R ，若 B A ，则 a的值为 ． 【变式 3】（23-24高一上·湖南衡阳·阶段练习）    , R, 1, , 1,a b P a Q b   设 ，若 P Q ，则 2022a + 2022b = . 【变式 4】（25-26高一上·全国·课后作业）设集合  2R | 4 0A x x x    ，   2 2R | 2 1 1 0, RB x x a x a a        ． （1）若集合 B有且仅有两个子集，求实数 a的取值范围； 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 7 - （2）若 B A ，求实数 a的取值范围． 模块三 知识检测 考点 1：集合关系的辨析 1．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）能正确表示集合 { R | 0 2}M x x    和集合  0,1N  的关系的韦 恩图的是（ ） A． B． C． D． 2．（2025·山东青岛·三模）若集合 , Z 2 kA x x k       ， , Z 4 kB x x k       ，则（ ） A． A B B．B A C． A B D． A B   3．（多选）下列四个关系中错误的是（ ） A．  1 1,2,3 B．   1 1,2,3 C．   1,2 3 1,2 3, , D．空集  1 4．指出下列各组集合之间的关系： （1）  1,2,3A  ，    | 1 2 0B x x x    ； （2） { | }A x x 是长方形 ， { | }B x x 是两条对角线相等的平行四边形 ； （3）  *| 2 1,M x x n n   N ，  *| 2 1,N x x n n   N ； （4） 1 6{ | }A x x   ， { | 1 8}B x x   ． 考点 2：子集与真子集的个数 5．（24-25高一上·全国·课前预习）集合  2 6, N, NA x x y x y      的真子集的个数为（ ） A．9 B．8 C．7 D．6 6．（24-25高二下·河北承德·期中）若集合 { , , , , }M a b c d e 的子集中，不含元素 a的非空子集共有（ ） 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 8 - A．15个 B．16个 C．31个 D．32个 7．（24-25高一上·广东湛江·期中）已知集合  1,3,6A  ，则集合 A的真子集个数为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知集合A ⫋  3,4,5 ，且A中至少有一个奇数，则这样的集合有 （ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 9．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）若 x A ，则 x A  ，就称 A是伙伴关系集合，集合 { 2, 1,0,1, 2,3}M    的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（ ） A．31 B．7 C．3 D．1 考点 3：相等集合的判断 10．（25-26高一上·全国·课后作业）下列各项中两个集合不是同一个集合的是（ ） A．{2,3},{3,2} B．{ 1},{ 1}x x y y x y   ∣ ∣ C．{ 1},{ 1}x x y y ∣ ∣ D．{(1,2)},{(2,1)} 11．（25-26高一上·全国·课后作业）下列选项正确的是（ ） A．{2,3} {3, 2} B．{( , ) 1} { 1}x y x y y x y    ∣ ∣ C．{ 1} { 1}x x y y  ∣ ∣ D．{(1, 2)} {(2,1)} 12．（24-25高一上·安徽阜阳·期中）下列集合中表示同一集合的是（ ） A．   3,2M  ，   2,3N  B．  4,5M  ，  5,4N  C．   , 1M x y x y   ，  1N y x y   D．  1,2M  ，   1,2N  13．（多选）（24-25高一上·广东阳江·期中）下列各组中 M，N表示不同集合的是（ ） A．  4, 3M   ，   4, 3N   B．   3,2M  ，   2,3N  C．  2, 2M y y x x    ，   , 2, 2N x y y x x    暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 9 - D．  2 1, ZM y y k k    ，  2 1, ZN y y k k    考点 4：空集的概念及性质 14．（2025·福建漳州·模拟预测）下列集合中表示空集的是（ ） A．  B． 0 C． 2 1 0x x x   R D． 2 1 0x x x   R 15．（25-26高一上·全国·课后作业）下列结论正确的是（ ） A．任何集合都有子集 B．任何集合都有真子集 C．{ }  D．{0} 16．（多选）（24-25高一上·陕西宝鸡·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．  1 1, 2, 3, 4, 5 B．   3 1, 2, 3, 4, 5 C．   2, 4 1, 2, 3, 4, 5 D．  1,2,3,4,5 17．（多选）（24-25高一上·河南南阳·期中）下列表述正确的有（ ） A．  ,a a b B．  ,a a b C．  0  D．  0 18．（多选）（24-25高一上·山西大同·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．  0 B．  0 0 C．  0,1, 2  D．    1,2 1,2 19．（多选）（23-24高一上·贵州黔东南·期中）下列关系式正确的为（ ） A． 0   B．  0 0 C．    D．    考点 5：根据集合的关系求参数 20．（24-25高二上·浙江杭州·期末）设集合 {0, }, { 2,3 4}A a B a a    ，若 B A ，则 a （ ） A．2 B．1 C． 4 3 D． 2 21．（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）已知集合    24, 4 , 4,A m B m   ，且 A B ，则m的值为 ． 22．（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合  2 1P x x  ，集合  1Q x ax  ，若Q P ，那么 a的取值 是 ． 23．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知：集合  2 2 0, RA x x x a x     ，  2 4 6 0, RB x x x a x      . (1)若 A B ，求实数 a的取值范围； 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 10 - (2)若 A和 B有且只有一个是，求实数 a的取值范围. 24．（24-25高一上·河北衡水·期中）已知关于 x的一元二次方程 2 2 6 0x x m    有实根对应m的取值构成 集合A，集合  2 1 3 1B x a x a     . (1)求集合A； (2)若 B A ，求 a的取值范围. 1．（24-25高一上·四川眉山·期末）已知集合  21, 2, 2 5A a a a   ，且 3 A  . (1)求 a的值； (2)写出集合A的所有真子集. 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）集合A中的元素为 a、b，集合 B中的元素为 0、 2a ，且集合 A B ，求 a b 的值． 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 11 - 3．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）已知    2 24 5 0 , 2 1 0A x x x B x ax x        . (1)若 B中只有一个元素，求实数 a的值，并用列举法表示集合 B； (2)若 B A ，求实数 a的取值范围. 4．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知集合    2 6 3 0 , 1 0A x ax x B x bx       . (1)若 A ，求实数 a的取值集合. (2)若A的子集有两个，求实数 a的取值集合. (3)若1 A 且 B A ，求实数b的取值集合. 5．（24-25高一上·云南·期中）已知集合  1,2A  ，   2 22 1 5 0B x x a x a     ∣ . (1)若  2A B  ，求 a的值； (2)若 B A ，求 a的取值范围. 6．（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）设集合    1 1 4 , 1 2 1A x x B x m x m         ∣ ∣ ． (1)当 x N 时，求 A的非空真子集的个数； (2)若 A B ，求实数 m的取值范围． 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 12 - 7．（24-25高一上·河南驻马店·阶段练习）已知集合  1 2A x x   ，  1 , 1B x x a a    . (1)若A是 B的真子集，求 a的取值范围； (2)若 B是A的子集，求 a的取值范围； (3)若 A B ，求 a的值. 暑假优学 人教A版 必修第一册 第02讲 集合间的关系 目录 模块一：新知归纳 模块二：考点讲解举一反三 考点1：集合关系的辨析 考点2：子集与真子集的个数 考点3：相等集合的判断 考点4：空集的概念及性质 考点5：根据集合的关系求参数 模块四：过关检测 题型分组练 巩固提高综合练 模块一 新知归纳 【知识点1】子集与真子集 1．韦恩图：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． （1）表示集合的Venn图边界是封闭曲线，它可以是圆、椭圆、矩形，也可以是其他封闭曲线． （2）用Venn图表示集合的方法叫图示法，其有点是能直观地表示出集合间的关系，缺点是集合元素的共同特征不明显． 2．子集 定义 一般地，对于两个集合、，如果集合A中任意一个元素都是集合中的元素，就称集合为集合的子集． 记法与读法 记作⊆（或⊇），读作“包含于”（或“包含”） 图示 性质 （1）任意一个集合都是它本身的子集，即集合的子集也包括它本身，记作；（2）传递性：对于集合，如果，，则． 【注意】 （1）“是的子集”的含义：集合中的任何一个元素都是集合的元素，即由任意，能推出． （2）如果集合中存在着不是集合的元素，那么不包含于，或不包含． 3．真子集 定义 如果集合A是集合的子集，但存在元素x∈B，且，就称集合A是集合的真子集． 记法与读法 记作AB或（BA），读作“A真包含于B”（或“B真包含A”） 图示 性质 （1）任意集合都不是它本身的真子集． （2）传递性：对于集合，如果AB，BC，则AC． 【注意】 （1）真子集也可以叙述为：若集合，存在元素且，则称集合是集合的真子集． （2）如果集合是集合的真子集，那么集合一定是集合的子集，反之不成立． 【知识点2】集合相等 1．集合相等的概念 定义 一般地，如果集合A的任何一个元素都是B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等． 记法与读法 记作，读作“等于” 图示 【注意】 （1）若两个集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关.如． （2）如果，，则；反之，则且.这就给出了我们证明两个集合相等的方法，欲证，只需证明与都成立即可． 2．判断两个集合是否相等的方法：重点是要把握住两个原则： （1）对于元素较少的有限集，可用列举法将元素一一列举出来，看两个集合中的元素是否完全相同； （2）若两个集合是无限集，则从“互为子集”入手进行判断． 【知识点3】空集 1．空集的定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集． 2．0，{0}，，的关系 与0 与{0} 与 相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合 不同点 是集合；0是实数 中不含任何元素；{0}含一个元素0 不含任何元素；含一个元素，该元素是 关系 ∅{∅}或∅∈{∅} 【注意】 空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B（B≠∅）的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面． 【知识点4】集合间的关系 1．韦恩图表示集合间关系 2．集合间的关系与实数大小的关系类比 实数 集合 定义 包含两层含义：或 包含两层含义：或 相等 若且，则 若，，则 传递性 若，，则 若，，则． 若，，则 若，，则 3．有限集的子集个数确定 如果集合A中含有n个元素，则有 （1）A的子集的个数有2n个． （2）A的非空子集的个数有2n－1个． （3）A的真子集的个数有2n－1个． （4）A的非空真子集的个数有2n－2个． 模块二 考点讲解举一反三 考点1：集合关系的辨析 【例1】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由元素与集合关系，集合与集合关系逐个判断即可. 【详解】显然，，①③正确； ，②正确 在中，当时， 即有 因此，④正确 正确命题的个数是 故选：D 【变式1】（24-25高一上·广东·期末）若，则以下正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据元素与集合、集合与集合间的关系判断即可 【详解】对于A，为元素，为集合，所以，故A错误； 对于B，为集合，为集合，且，所以，故B正确； 对于C，为集合，是有序数对，故C错误； 对于D，为集合，为集合，且，故，故D错误. 故选：B 【变式2】已知集合，那么集合与Q的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得出集合，再根据集合的基本关系得出. 【详解】由题意可得，故集合是集合的真子集． 故选：B 【变式3】已知集合是平行四边形，是矩形，是正方形，是菱形，则 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为菱形是平行四边形的特殊情形，所以D⊂A，矩形与正方形是平行四边形的特殊情形，所以B⊂A，C⊂A，正方形是矩形，所以C⊆B．故选B． 考点2：子集与真子集的个数 【例2】（23-24高一上·四川成都·阶段练习）集合的子集共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】由子集的定义即可得出答案. 【详解】集合的子集有：，有4个. 故选：D. 【例3】（23-24高一上·甘肃白银·期中）已知集合，则集合真子集的个数（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【分析】根据真子集个数计算公式即可得到答案. 【详解】由题意得集合真子集的个数为. 故选：C. 【变式1】（24-25高三下·云南昆明·阶段练习）集合，则的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】根据中元素的性质可得，从而可求其子集个数. 【详解】因为， 故子集个数为， 故选：C. 【变式2】（25-26高一上·全国·课后作业）集合的子集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合子集的定义，即可求解. 【详解】由集合， 根据集合子集的定义，可得， 故选：D. 【变式3】（24-25高二下·上海·阶段练习）设集合，则A的非空子集的个数为 . 【答案】15 【分析】根据非空子集个数公式计算. 【详解】集合，则A的子集的个数为， 所以A的非空子集的个数为. 故答案为：15. 考点3：相等集合的判断 【例4】（2025高二下·湖南郴州·学业考试）下列各组集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的表示方法，以及集合相等的概念，逐项分析判定，即可求解. 【详解】对于A中，集合与集合中的元素完全相同，所以，所以A正确； 对于B中，集合表示由点作为元素，构成的单元素集合， 集合表示由点作为元素，构成的单元素集合， 所以集合与集合不相等，所以B不符合题意； 对于C中，集合表示由两个元素构成的数集； 集合表示由点作为元素，构成的单元素数集， 所以集合与集合不相等，所以B不符合题意； 对于D中，集合表示直线的点作为元素构成的无限点集， 集合表示直线的点的纵坐标作为元素构成的无限数集， 所以集合与集合不相等，所以B不符合题意； 故选：A. 【变式1】在下列集合的表示中，集合与集合表示同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由集合相同概念逐个判断即可. 【详解】选项A中的两个集合不是同一个集合，集合中有两个元素，集合中只有一个元素，故A错误； 选项B中集合是点集，集合是数集，不是同一个集合，故B错误； 选项C中的两个集合都是数集，描述的都是大于1的数，故C正确； 选项D中的两个集合都是点集，但是在平面直角坐标系中，点与点是不同的，故D错误． 故选：C 【变式2】（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）下列每组集合是相等集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据集合相等的概念判断四个选项即可. 【详解】对于A，，，故，所以A错误； 对于B，为点集，为数集，故，所以B错误； 对于C，，，故，所以C错误； 对于D，数集和数集元素一样，故，所以D正确， 故选：D. 【变式3】（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）若集合是与的公倍数，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．以上选项均不正确 【答案】C 【分析】根据是的倍数，，即可求解. 【详解】由于是与的公倍数,， 故是的倍数,， ,故， 故选：C 考点4：空集的概念及性质 【例5】已知集合，下列选项中为的元素的是（    ） ①    ②    ③    ④ A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】由集合即可直接判断； 【详解】集合有两个元素：和. 故选：B 【变式1】（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥Ü；其中正确的个数为（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．少于4个 【答案】D 【分析】利用子集的概念及性质可判断①，利用相等集合的概念可判断②，利用空集的定义可判断③、⑥，利用元素与集合的关系进行判断④，利用集合与集合间的关系可判断⑤． 【详解】根据任意集合是自身的子集，可知①正确； 根据集合的元素及相等集合的概念可知②不正确； 因集合中含有1个元素，故不是空集，可知③不正确； 根据元素与集合之间可知④正确； 根据集合与集合间没有属于关系可知⑤不正确； 根据空集是任何集合的子集可知⑥正确． 所以①④⑥正确 故选：D. 【变式2】下列四个集合中是空集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空集的定义，结合选项即可求解. 【详解】对于A,集合中有一个元素，故不是空集， 对于B,方程无实数解，∴集合为空集， 对于C，是无限集，所以不是空集， 对于D, ，不是空集. 故选：B． 【变式3】（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）关于x的方程的解集为空集，则k的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】先对方程进行整理，然后根据方程的解为增根即可求解.． 【详解】方程整理得， 则有，解得且， 由方程的解集为空集，所以，即. 故选：D. 考点5：根据集合的关系求参数 【例6】（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）已知，且，则（   ） A．0 B． C．0或3 D．或3 【答案】D 【分析】分，两种情况解方程，可求的值. 【详解】由题意知n为方程的根，当时，； 当时，一元二次方程有两个相同的根，则，解得， 此时，即． 综上所述：或． 故选：D． 【例7】已知集合，，若，则a的值是（   ） A．1 B． C．1或 D．0，1或 【答案】D 【分析】按照Q为空集和Q不是空集分类讨论，利用集合关系及方程的解列式求解即可. 【详解】，， 由题意，当Q为空集时，，满足； 当Q不是空集时，， 由得或，解得或． 综上，a的值是0，1或. 故选：D 【变式1】（24-25高一上·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用空集的意义，结合方程根的情况列式求解即得. 【详解】当时，不成立，即，则； 当时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【变式2】（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）设集合，，若，则的值为 ． 【答案】0或1或 【分析】由，按集合的可能情况分类讨论求解可得． 【详解】由， 方程至多1个解，故. ， 或或， ①若，则； ②若，则； ③若，则，解得； 综上可得，或1或. 故答案为：0或1或. 【变式3】（23-24高一上·湖南衡阳·阶段练习），若，则+= . 【答案】 【分析】根据集合相等求出的值，计算即得结果. 【详解】∵集合， ∴ ∴+=+=2. 故答案为：. 【变式4】（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，． （1）若集合有且仅有两个子集，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】(1)． (2)或． 【分析】（1）由集合有且仅有两个子集，所以集合只有一个元素，结合，求得的值，即可得到答案； （2）先求得，根据，所以集合可能是，，，，分情况讨论，结合二次函数的性质，列出方程组，即可求解. 【详解】（1）解：由集合， 因为集合有且仅有两个子集，所以集合只有一个元素， 故，所以， 所以实数的取值范围是． （2）解：由，解得或，所以， 因为，所以集合可能是，，，； 当时，即方程无实数根， 则，解得； 当时，即方程有且只有一个根0， ，解得； 当时，即方程有且只有一个根， 则，方程组无解； 当时，方程有两根和， 则，解得， 综上所述，实数的取值范围是或． 模块三 知识检测 考点1：集合关系的辨析 1．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）能正确表示集合和集合的关系的韦恩图的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由子集的定义即可得出答案. 【详解】因为，， 所以. 故选：B. 2．（2025·山东青岛·三模）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过分析两个集合的元素形式来判断两个集合的关系. 【详解】因为集合,，则 . 故选：B 3．（多选）下列四个关系中错误的是（   ） A． B． C． D．空集 【答案】AB 【分析】利用元素与集合的关系，集合与集合的关系判断即可. 【详解】对于A，应该为，对于B，应该为，故A、B错误． 对于C，，故C正确．对于D，空集，故D正确． 故选：AB. 4．指出下列各组集合之间的关系： （1），； （2），； （3），； （4），． 【答案】 是的真子集 是的真子集 是的真子集 【分析】根据集合的表示方法，求得集合或，结合集合间的包含关系，即可求解. 【详解】（1）由集合和，所以是的真子集． （2）因为两个集合都表示长方形构成的集合，所以． （3）由集合与集合都表示正奇数组成的集合，但，所以，且，所以是的真子集． （4）由集合和，所以是的真子集． 故答案为：是的真子集；；是的真子集；是的真子集． 考点2：子集与真子集的个数 5．（24-25高一上·全国·课前预习）集合的真子集的个数为（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用列举法表示集合，进而求出真子集个数. 【详解】依题意，，即，而，因此，， 所以集合的真子集个数为. 故选：C 6．（24-25高二下·河北承德·期中）若集合的子集中，不含元素的非空子集共有（    ） A．15个 B．16个 C．31个 D．32个 【答案】A 【分析】依题意，即是求集合的非空子集的个数. 【详解】集合的不含有元素的子集个数就是集合的子集个数，共有个， 故不含元素的非空子集共有15个. 故选：A. 7．（24-25高一上·广东湛江·期中）已知集合，则集合A的真子集个数为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据集合个数，结合集合真子集公式，即可求解. 【详解】集合，则集合的子集个数. 除去集合本身，还有个真子集. 故选：C. 8．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知集合⫋，且中至少有一个奇数，则这样的集合有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】分集合含有一个元素及两个元素分别求解即可. 【详解】当集合A中含一个元素时，或； 当集合A中含两个元素时，或或， 所以这样的集合共有个. 故选：D. 9．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）若，则，就称A是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（   ） A．31 B．7 C．3 D．1 【答案】B 【分析】根据条件确定构成伙伴关系的元素，利用集合关系进行判断即可 【详解】若，则， 若，则， 若，则， 则为伙伴关系集合， 共7个 故选：B 考点3：相等集合的判断 10．（25-26高一上·全国·课后作业）下列各项中两个集合不是同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合中的元素是否相同，即可结合选项逐一求解. 【详解】集合中的元素具有无序性，选项A中两个集合是同一个集合，故A不符题意； 选项B中两个集合都是数集，且范围都是全体实数，故是同一个集合，故B不符题意； 选项C中两个集合都是数集，描述的都是大于1的数，故是同一个集合，故C不符题意； 选项D中两个集合都是点集，在平面直角坐标系中，点与点是不同的， 故两集合不是同一个集合，故D正确． 故选：D 11．（25-26高一上·全国·课后作业）下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合元素的特征和属性进行判断. 【详解】A选项：，故A错误； B选项：中的元素为点中的元素为实数，故B错误； C选项：,，故C选项正确； D选项：中的元素为点，而中的元素为点，故D错误． 故选：C. 12．（24-25高一上·安徽阜阳·期中）下列集合中表示同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据集合相等的概念逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，； 对于B选项，； 对于C选项，为点集，为数集，则； 对于D选项，为数集，为点集，则. 故选：B. 13．（多选）（24-25高一上·广东阳江·期中）下列各组中M，N表示不同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABC 【分析】由两集合相等定义可判断集合是否相同. 【详解】A选项，为数集，为点集，则两集合不同，故A正确； B选项，为点集，为数集，则两集合不同，故B正确； C选项，为数集，表示射线上的点，则两集合不同，故C正确； D选项，两集合均表示全体奇数，故两集合相同，故D错误. 故选：ABC 考点4：空集的概念及性质 14．（2025·福建漳州·模拟预测）下列集合中表示空集的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空集的定义，逐项判别，可得答案. 【详解】对于A，集合存在一个元素为，故A不符合题意； 对于B，集合存在一个元素为，故B不符合题意； 对于C，由，则，即该方程存在两个不相等的实数根， 所以集合存在两个元素，故C不符合题意； 对于D，由，则，即该方程不存在实数根， 所以集合无元素，故D符合题意. 故选：D. 15．（25-26高一上·全国·课后作业）下列结论正确的是（   ） A．任何集合都有子集 B．任何集合都有真子集 C． D． 【答案】A 【分析】根据集合、子集的含义及集合间的关系判断. 【详解】对于A，任何集合都有子集，A正确； 对于B，没有真子集，B错误； 对于C，表示没有任何元素的集合，表示集合中有这一元素，C错误； 对于D，集合有一元素0，不为空集，故，D错误. 故选：A 16．（多选）（24-25高一上·陕西宝鸡·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用元素与集合、集合与集合的关系逐项判断即得. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD 17．（多选）（24-25高一上·河南南阳·期中）下列表述正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据元素与集合的关系，以及空集的定义和性质即可求解. 【详解】，故A错误，B正确 空集是不含任何元素的集合，且空集是任何集合的子集，故C错误，D正确， 故选：BD 18．（多选）（24-25高一上·山西大同·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】运用元素与集合的关系，集合与集合关系，结合空集概念解题即可 【详解】因为不是中的元素，故错误; 元素与集合之间的关系是属于关系,则正确; 空集是没有元素的集合.空集是任何集合子集，则正确; 集合相等是元素一样,则错误. 故选:BC. 19．（多选）（23-24高一上·贵州黔东南·期中）下列关系式正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据空集的定义和元素与集合、集合与集合的关系判断即可. 【详解】因为，故A错误； 是指元素为0的集合，所以，故B正确； 是指元素为的集合，所以，故C正确； 是任何集合的子集，所以，故D正确． 故选：BCD． 考点5：根据集合的关系求参数 20．（24-25高二上·浙江杭州·期末）设集合，若，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】利用集合相等列式求值并验证得解. 【详解】集合，由，得或，解得或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意， 所以. 故选：A 21．（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）已知集合，且，则的值为 ． 【答案】0或 【分析】根据两个集合的元素相同列方程，即可求解. 【详解】因为，所以，得或， 当时，，当时，，都成立， 所以的值为0或. 故答案为：0或 22．（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合，集合，若，那么a的取值是 ． 【答案】0或 【分析】由，，，三种情况分别讨论即可. 【详解】， 因为， 所以的所有可能为， 当，可得， 当，可得， 当，可得， 故答案为：0或 23．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用空集的意义，结合一元二次方程判别式列出不等式组并求解即得. 【详解】（1）由，得，解得， 所以实数a的取值范围是. （2）由A和B有且只有一个是，得且或且， 则有或，解得或， 所以实数a的取值范围是或. 24．（24-25高一上·河北衡水·期中）已知关于的一元二次方程有实根对应的取值构成集合，集合. (1)求集合； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据判别式求解出结果； （2）分类讨论和，列出不等式组求解出的取值范围. 【详解】（1）因为有实根， 所以，解得， 所以. （2）因为， 当时，满足，此时，解得； 当时，因为，所以，解得， 综上所述，的取值范围是或. 1．（24-25高一上·四川眉山·期末）已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 【答案】(1) (2)，，，，，，. 【分析】（1）由，求得或，结合元素的特征，即可求解； （2）由（1）知集合，根据集合子集的概念，即可求解. 【详解】（1）当时，，不满足集合元素的互异性，不合题意； 当时，解得或，不合题意， 当时，，符合题意； 综上，； （2）由（1）可得，故集合A的所有真子集为： ，，，，，，. 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）集合中的元素为、，集合中的元素为0、，且集合，求的值． 【答案】 【分析】由集合相等，得到方程，求出相应的，检验后得到答案. 【详解】由集合相等的定义得 或， 当时，，此时与元素的互异性矛盾，舍去； 当时，或（舍去）， 当，时，满足元素的互异性， 综上所述，． 3．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）已知. (1)若中只有一个元素，求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，分类讨论与两种情况，结合一次方程与二次方程的解法即可得解； （2）先解二次方程化简集合，再由分类讨论集合的各种情况，结合二次方程的解法即可得解. 【详解】（1）因为只有一个元素，， 当时，； 当时，对于，有，解得， 把代入集合，得； 综上，或，对应的集合或. （2）因为，， 当时，对于，有，解得； 当时，将代入，得，则， 此时（舍去）； 当，将代入，得，则， 此时（舍去）； 当，则有，方程无解析，此时不存在满足条件； 综上，的取值范围为. 4．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据，可得，再分和两种情况讨论即可； （2）由题意可得集合中只有一个元素，再分和两种情况讨论即可； （3）先根据求出，进而求出集合，再分和两种情况讨论即可. 【详解】（1）因为，所以， 当时，则，与题意矛盾， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （2）因为的子集有两个，所以集合中只有一个元素， 当时，则，符合题意， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （3）因为， 所以，解得， 所以， 当时，， 当时，， 因为，所以或，解得或， 综上所述，实数的取值集合为. 5．（24-25高一上·云南·期中）已知集合，. (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)的值为或 (2) 【分析】（1）由条件可得，代入计算，然后检验，即可得到结果； （2）化简集合，分，以及讨论，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为，所以，将代入中的方程， 得，解得或， 当时，，满足条件； 当时，，满足条件， 综上，的值为或. （2）对于集合，. 当，即时，，此时； 当，即时，，此时； 当，即时，要想使，则， 此时，该方程组无解， 综上的取值范围是. 6．（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）设集合． (1)当时，求A的非空真子集的个数； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2){或} 【分析】（1）先解不等式确定集合A，再由元素个数计算非空真子集即可； （2）根据集合间的基本关系，分类讨论B是否为空集计算即可. 【详解】（1）由知，且可得， 所以A的非空真子集的个数为； （2）因为，若，则，可得； 若，则，解之得； 综上所述：实数m的取值范围为{或}. 7．（24-25高一上·河南驻马店·阶段练习）已知集合，. (1)若是的真子集，求的取值范围； (2)若是的子集，求的取值范围； (3)若，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由真子集的定义，确定的取值范围； （2）由子集的定义，确定的取值范围； （3）由集合相等求出的值. 【详解】（1）   若是的真子集，则由图知，， 故的取值范围为. （2）   若是的子集，已知，则， 则由图知，， 故的取值范围为. （3）若，则. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$暑假优学 人教A版 必修第一册 第02讲 集合间的关系 目录 模块一：新知归纳 模块二：考点讲解举一反三 考点1：集合关系的辨析 考点2：子集与真子集的个数 考点3：相等集合的判断 考点4：空集的概念及性质 考点5：根据集合的关系求参数 模块四：过关检测 题型分组练 巩固提高综合练 模块一 新知归纳 【知识点1】子集与真子集 1．韦恩图：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． （1）表示集合的Venn图边界是封闭曲线，它可以是圆、椭圆、矩形，也可以是其他封闭曲线． （2）用Venn图表示集合的方法叫图示法，其有点是能直观地表示出集合间的关系，缺点是集合元素的共同特征不明显． 2．子集 定义 一般地，对于两个集合、，如果集合A中任意一个元素都是集合中的元素，就称集合为集合的子集． 记法与读法 记作⊆（或⊇），读作“包含于”（或“包含”） 图示 性质 （1）任意一个集合都是它本身的子集，即集合的子集也包括它本身，记作；（2）传递性：对于集合，如果，，则． 【注意】 （1）“是的子集”的含义：集合中的任何一个元素都是集合的元素，即由任意，能推出． （2）如果集合中存在着不是集合的元素，那么不包含于，或不包含． 3．真子集 定义 如果集合A是集合的子集，但存在元素x∈B，且，就称集合A是集合的真子集． 记法与读法 记作AB或（BA），读作“A真包含于B”（或“B真包含A”） 图示 性质 （1）任意集合都不是它本身的真子集． （2）传递性：对于集合，如果AB，BC，则AC． 【注意】 （1）真子集也可以叙述为：若集合，存在元素且，则称集合是集合的真子集． （2）如果集合是集合的真子集，那么集合一定是集合的子集，反之不成立． 【知识点2】集合相等 1．集合相等的概念 定义 一般地，如果集合A的任何一个元素都是B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等． 记法与读法 记作，读作“等于” 图示 【注意】 （1）若两个集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关.如． （2）如果，，则；反之，则且.这就给出了我们证明两个集合相等的方法，欲证，只需证明与都成立即可． 2．判断两个集合是否相等的方法：重点是要把握住两个原则： （1）对于元素较少的有限集，可用列举法将元素一一列举出来，看两个集合中的元素是否完全相同； （2）若两个集合是无限集，则从“互为子集”入手进行判断． 【知识点3】空集 1．空集的定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集． 2．0，{0}，，的关系 与0 与{0} 与 相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合 不同点 是集合；0是实数 中不含任何元素；{0}含一个元素0 不含任何元素；含一个元素，该元素是 关系 ∅{∅}或∅∈{∅} 【注意】 空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B（B≠∅）的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面． 【知识点4】集合间的关系 1．韦恩图表示集合间关系 2．集合间的关系与实数大小的关系类比 实数 集合 定义 包含两层含义：或 包含两层含义：或 相等 若且，则 若，，则 传递性 若，，则 若，，则． 若，，则 若，，则 3．有限集的子集个数确定 如果集合A中含有n个元素，则有 （1）A的子集的个数有2n个． （2）A的非空子集的个数有2n－1个． （3）A的真子集的个数有2n－1个． （4）A的非空真子集的个数有2n－2个． 模块二 考点讲解举一反三 考点1：集合关系的辨析 【例1】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·广东·期末）若，则以下正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知集合，那么集合与Q的关系是（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知集合是平行四边形，是矩形，是正方形，是菱形，则 A． B． C． D． 考点2：子集与真子集的个数 【例2】（23-24高一上·四川成都·阶段练习）集合的子集共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【例3】（23-24高一上·甘肃白银·期中）已知集合，则集合真子集的个数（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【变式1】（24-25高三下·云南昆明·阶段练习）集合，则的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．16 【变式2】（25-26高一上·全国·课后作业）集合的子集为（   ） A． B． C． D． 考点3：相等集合的判断 【例4】（2025高二下·湖南郴州·学业考试）下列各组集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】在下列集合的表示中，集合与集合表示同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）下列每组集合是相等集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式3】（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）若集合是与的公倍数，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．以上选项均不正确 考点4：空集的概念及性质 【例5】已知集合，下列选项中为的元素的是（    ） ①    ②    ③    ④ A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【变式1】（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥Ü；其中正确的个数为（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．少于4个 【变式2】下列四个集合中是空集的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）关于x的方程的解集为空集，则k的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 考点5：根据集合的关系求参数 【例6】（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）已知，且，则（   ） A．0 B． C．0或3 D．或3 【例7】已知集合，，若，则a的值是（   ） A．1 B． C．1或 D．0，1或 【变式1】（24-25高一上·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是 . 【变式2】（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）设集合，，若，则的值为 ． 【变式3】（23-24高一上·湖南衡阳·阶段练习），若，则+= . 【变式4】（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，． （1）若集合有且仅有两个子集，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 模块三 知识检测 考点1：集合关系的辨析 1．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）能正确表示集合和集合的关系的韦恩图的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山东青岛·三模）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（多选）下列四个关系中错误的是（   ） A． B． C． D．空集 4．指出下列各组集合之间的关系： （1），； （2），； （3），； （4），． 考点2：子集与真子集的个数 5．（24-25高一上·全国·课前预习）集合的真子集的个数为（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 6．（24-25高二下·河北承德·期中）若集合的子集中，不含元素的非空子集共有（    ） A．15个 B．16个 C．31个 D．32个 7．（24-25高一上·广东湛江·期中）已知集合，则集合A的真子集个数为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知集合⫋，且中至少有一个奇数，则这样的集合有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 9．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）若，则，就称A是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（   ） A．31 B．7 C．3 D．1 考点3：相等集合的判断 10．（25-26高一上·全国·课后作业）下列各项中两个集合不是同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·全国·课后作业）下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高一上·安徽阜阳·期中）下列集合中表示同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 13．（多选）（24-25高一上·广东阳江·期中）下列各组中M，N表示不同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 考点4：空集的概念及性质 14．（2025·福建漳州·模拟预测）下列集合中表示空集的是（   ） A． B． C． D． 15．（25-26高一上·全国·课后作业）下列结论正确的是（   ） A．任何集合都有子集 B．任何集合都有真子集 C． D． 16．（多选）（24-25高一上·陕西宝鸡·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 17．（多选）（24-25高一上·河南南阳·期中）下列表述正确的有（   ） A． B． C． D． 18．（多选）（24-25高一上·山西大同·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 19．（多选）（23-24高一上·贵州黔东南·期中）下列关系式正确的为（    ） A． B． C． D． 考点5：根据集合的关系求参数 20．（24-25高二上·浙江杭州·期末）设集合，若，则（    ） A．2 B．1 C． D． 21．（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）已知集合，且，则的值为 ． 22．（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合，集合，若，那么a的取值是 ． 23．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 24．（24-25高一上·河北衡水·期中）已知关于的一元二次方程有实根对应的取值构成集合，集合. (1)求集合； (2)若，求的取值范围. 1．（24-25高一上·四川眉山·期末）已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）集合中的元素为、，集合中的元素为0、，且集合，求的值． 3．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）已知. (1)若中只有一个元素，求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若，求实数a的取值范围. 4．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. 5．（24-25高一上·云南·期中）已知集合，. (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围. 6．（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）设集合． (1)当时，求A的非空真子集的个数； (2)若，求实数m的取值范围． 7．（24-25高一上·河南驻马店·阶段练习）已知集合，. (1)若是的真子集，求的取值范围； (2)若是的子集，求的取值范围； (3)若，求的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$