精品解析：浙江省杭州市上城区等5地2024-2025学年高二下学期6月期末教学质量检测数学试题

2024学年第二学期杭州市高二年级教学质量检测 数学试题卷 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，必须在答题卡指定位置上用黑笔填写学校名、姓名、试场号、座位号、准考证号，并用2B铅笔将准考证号所对应的数字涂黑． 3．答案必须写在答题卡相应的位置上，写在其他地方无效． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简集合，再根据交集的定义计算即可. 【详解】集合， 所以. 故选：A 2. 设数列的前项和为．若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据数列递推式，利用赋值法求值即可. 【详解】当时，， 当时，. 故选：D 3. 若是两条直线，是两个平面，且．设，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由线面平行的性质定理和判定定理结合充要条件的判定可得. 【详解】若，由线面平行的性质定理可得，充分性成立； 若，，由线面平行的判定定理可得，必要性成立. 所以是的充要条件. 故选：C 4. 的展开式中第4项的系数是（ ） A. 20 B. 15 C. 160 D. 120 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项式定理列式求得答案. 【详解】的展开式的第4项系数是. 故选：C 5. 若随机变量服从正态分布，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用正态分布曲线的对称性，逐项分析判断，即可求解. 【详解】由随机变量服从正态分布，可得正态分布的对称轴为， 对于A中，根据正态分布曲线的对称性，可得，所以A正确； 对于B中，根据正态分布曲线的对称性，可得，所以B不正确； 对于C中，根据正态分布曲线的对称性，可得， 且，其中， 所以，所以C不正确； 对于D中，由， 又由 因为， 所以，所以D错误. 故选：A 6. 如图，圆C和的两条边相切，射线OP绕点O从OA开始逆时针方向旋转至OB，设，在旋转过程中，OP扫过的圆内阴影部分的面积为S，则S关于θ的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据扇形及三角形面积公式求出，求导数利用三角函数的有界性可可得的单调递增区间，根据函数的单调性得函数在上的图象增加的越来越快，结合选项中的图象即可判断． 【详解】设圆C的半径为，由题意得， 则圆内阴影部分的面积为． 记，，则； ，故函数的单调递增区间为， 记，则，故函数在上单调递增， 所以函数在上的图象增加的越来越快， 即S在上的图象增加的越来越快，这4个图中只有B选项具有上述特点. 故选：B 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，两边同乘以，利用三角恒等变换的公式，得到，进而得到，即可求解. 【详解】由， 两边同乘以，可得， 因为， 可得， 即， 即， 可得，即. 故选：A. 8. 已知函数的定义域为，满足．当时，，则的最大值是（ ） A. 6 B. 3 C. 5 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得的图象对称性及周期性，利用对称性求得值后，结合函数的单调性得在单调递增，在单调递减，由函数的周期性求出一个周期的最大值，即可得解. 【详解】因为，所以的图象关于对称， 又，则的图象关于中心对称， 因为，所以， 所以，即． 所以，即，所以， 所以的周期为8， 由，得，当时，， 为了求的最大值，由周期性不妨求在上的最大值即可， 因为在单调递增，结合的图象关于中心对称， 所以在单调递增，即在单调递增， 则在上的最大值为， 又的图象关于对称且周期为8，所以的图象关于对称， 所以在单调递减，所以在上的最大值为， 根据周期函数的性质可知的最大值是6. 故选：A 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 设样本数据，若，则（ ） A. 的平均数等于的平均数 B. 的中位数小于的中位数 C. 的极差大于的极差 D. 的方差小于的方差 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，利用平均数，中位数，极差，以及方差的定义与计算，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A中，样本数据的平均数为， 样本数据的平均数为， 所以的平均数等于的平均数，所以A正确， 对于B中，由，可得数据的中位数为， 数据的中位数为，此时与不一定相等，所以B不正确； 对于C中，样本数据的极差为， 样本数据的极差为， 因为，可得，所以C正确， 对于D中，由于，且数据和的平均数相同， 所以，所以D错误. 故选：AC. 10. 已知函数，下列选项正确的有（ ） A. 若，则函数为奇函数 B. 若有极小值0，则 C. 若有极大值2，则 D. 可能在处有极大值 【答案】AC 【解析】 【分析】根据整式乘法公式求出函数解析式，根据函数奇偶性的定义，判断A的正误，再根据函数导数与函数极值之间的关系，判断B、C、D三个选项的正误. 【详解】当时，，则， 则，所以是奇函数，A正确. 由题意得， 令，解得或， 当，即时，在上，在上单调递增， 在上，在上单调递减， 在上，在上单调递增，可知在处取得极小值，极小值，所以B错误. 由B可知，当，即时，在处取得极大值，极大值，不符合题意， 当，即时，在上，在上单调递增，在上，在上单调递减， 在上，在上单调递增，可知在处取得极大值，极大值，当时，，所以C正确. 由B、C可知，当或都不在处取极大值， 当时，，易知在R上单调递增，无极大值，所以D错误. 故选：AC. 11. 如图，已知笛卡尔“鸡蛋”曲线过点，且曲线上任意一点到和的距离满足，则（ ） A. B. 曲线与单位圆有3个交点 C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，把代入可求，对于B，联立方程，解出方程即可判断；对于CD，根据曲线方程定义，中，，根据函数特性可确定取得最小值，结合可确定，再利用可得，结合即可确定的最值. 【详解】对于A，曲线过点，此时，故A正确； 对于B，曲线的方程为，联立单位圆， 即，平方得， 即，解得或， 由图可知时，曲线的点为，当时，曲线上有2个点， 所以曲线与单位圆有3个交点，故B正确； 设，则，， 在中，， ，即时，取得最小值， 又，所以，即， 是的中点，， ， ，所以的最小值为，最大值为， 即的最小值为，最大值为，故C错误，D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 从甲、乙、丙3人中选2人参加两项活动，有_______种不同的选法． 【答案】6 【解析】 【分析】根据排列计数方法，计算不同的选法数目. 【详解】从甲、乙、丙3人中选2人参加两项活动有种不同方法， 故答案为：6. 13. 准线方程为的抛物线的标准方程是_______． 【答案】 【解析】 【详解】抛物线的准线方程为，说明抛物线开口向左，且，所以抛物线的标准方程是． 14. 定义：平面点集中的每一点都有唯一的实数与之对应，则称为上的二元函数．若点的横、纵坐标均为整数，则称点为“整数点”．已知，则方程的“整数点”为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，化简得到，结合，即可求解. 【详解】由函数 ， 由，即，可得，解得， 即方程的“整数点”为. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求单调递增区间； （2）若函数的零点为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由降幂公式和辅助角公式化简，结合整体法可求的单调递增区间； （2）由题意知，再通过“配角”并运用诱导公式求解即可. 【小问1详解】 ， 令，解得， 所以的单调递增区间为. 小问2详解】 由（1）得， 因为函数的零点为，所以. 16. 已知函数． （1）求在点处的切线方程； （2）求函数的极值； （3）判断方程的解的个数． 【答案】（1） （2）极小值，无极大值 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，得到，结合导数的几何意义，即可求解； （2）由（1）知，进而求得函数的单调区间和极值； （3）由（2）中函数单调性与极值，结合时，；时，，得到函数的图象，把方程的解的个数转化为与的图象的交点个数，结合图象，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数，可得， 则，即切线的斜率，切点坐标为， 所以曲线在点处的切线方程. 【小问2详解】 解：由（1）知， 当时，；当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 当时，有极小值. 【小问3详解】 解：由（2）知，函数在递减，在递增，且有极小值， 又由时，；时，， 函数的图象如图所示， 又由方程的解的个数，即为与的图象的交点个数， 由图象可得：当时，没有公共点，此时方程无解； 当或时，两函数的图象只有一个公共点，此时方程有一解； 当时，两函数的图象有两个公共点，此时方程有两解． 17. 在平行四边形中，为中点，将沿直线翻折至．设是线段的中点，． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判断定理证明即可； （2）根据，结合三棱锥体积公式计算即可； （3）建立空间直角坐标系，根据线面角向量法求解即可. 【小问1详解】 因为为中点， 所以，， 即为等边三角形，所以， 在中，，所以， 因为，所以， 又，，平面， 所以平面； 【小问2详解】 由（1）可知，为三棱锥的高， ， 所以； 【小问3详解】 由（1）可知，，故以为原点，为轴，为，垂直平面的直线为轴，建立如图空间直角坐标系， ,,，,， 所以，，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，即， 设直线与平面所成角为， 故， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 18. 若无穷正项数列同时满足以下两个性质：①存在，使得；②为单调数列，则称数列具有性质． （1）若； （ⅰ）判断数列是否具有性质，并说明理由； （ⅱ）记为数列的前项和，判断数列是否具有性质，并说明理由； （2）某同学投篮命中率为，每次投篮相互独立，设随机变量为投篮次命中的次数，记，证明：数列具有性质． 【答案】（1）（ⅰ）不具有，具有，理由见解析；（ⅱ）具有，理由见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）根据题设证的新定义，结合，利用等差、等比数列的性质，即可求解； （ⅱ）数列具有性质，利用乘公比错位相减法，求得 ，结合数列的单调性，即可求解； （2）由因为，记是奇数时的概率和为，是偶数时的概率和为，分别求得和，得到，进而得到答案. 【小问1详解】 解：（ⅰ）假设存在，使得， 则有，因为，所以数列不具有性质； 因为，且为单调递减数列，所以数列具有性质； （ⅱ）数列具有性质， 两式作差得： ， 所以数列满足条件①； 因为， 所以为单调递增数列，满足条件②，所以数列具有性质； 【小问2详解】 解：因为， 记是奇数时的概率和为，是偶数时的概率和为， ， ， 可得，故随着的增大而增大， 所以数列具有性质． 19. 已知双曲线的两条渐近线为，且经过点． （1）求双曲线的方程； （2）分别是双曲线的左右焦点，过双曲线上一点作双曲线的切线（的方程为）交轴于点； （ⅰ）证明：四点共圆； （ⅱ）当时，过点作的垂线与的角平分线交于点，求点的轨迹方程． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，再由双曲线经过点，列出方程，求得的值，即可求解； （2）（ⅰ）根据题意，得到过点的切线方程为，即，得到过三点的圆的圆心为，根据，求得，即可证得四点共圆． （ⅱ）方法一：切线的垂线方程，得到切线交轴于点的角平分线交切线于点，由角平分线定理，求得，进而得到的角平分线方程，设点，联立方程组，求得，即可求得点的轨迹方程； 方法二：设切线的垂线即为的外角平分线，所以点为的旁心，设圆与延长线，点，求得，再由切线的垂线方程，代入求得，进而求得点的轨迹方程. 【小问1详解】 解：由双曲线的两条渐近线为，可得，即， 又由双曲线经过点，可得，解得， 所以双曲线的方程为． 【小问2详解】 解：（ⅰ）由题意得，过点的切线方程为，即， 又由，则过三点的圆的圆心为， 因为，即， 所以， 又， 即，所以四点共圆． （ⅱ）方法一：切线垂线方程为， 令切线交轴于点的角平分线交切线于点， 由角平分线定理得：， 所以，代入坐标得， 故的角平分线方程为， 设点，联立方程组 ，可得， 所以点轨迹方程为． 方法二：由双曲线的光学性质得：切线的垂线即为的外角平分线，所以点为的旁心， 设圆与延长线、延长线的切点分别为，点， 则 ，即， 又由切线的垂线方程为， 代入得，所以，所以点的轨迹方程为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第二学期杭州市高二年级教学质量检测 数学试题卷 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，必须在答题卡指定位置上用黑笔填写学校名、姓名、试场号、座位号、准考证号，并用2B铅笔将准考证号所对应的数字涂黑． 3．答案必须写在答题卡相应的位置上，写在其他地方无效． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设数列前项和为．若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 若是两条直线，是两个平面，且．设，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 的展开式中第4项的系数是（ ） A. 20 B. 15 C. 160 D. 120 5 若随机变量服从正态分布，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，圆C和的两条边相切，射线OP绕点O从OA开始逆时针方向旋转至OB，设，在旋转过程中，OP扫过的圆内阴影部分的面积为S，则S关于θ的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，满足．当时，，则的最大值是（ ） A 6 B. 3 C. 5 D. 8 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 设样本数据，若，则（ ） A. 的平均数等于的平均数 B. 的中位数小于的中位数 C. 的极差大于的极差 D. 的方差小于的方差 10. 已知函数，下列选项正确的有（ ） A. 若，则函数为奇函数 B. 若有极小值0，则 C. 若有极大值2，则 D. 可能在处有极大值 11. 如图，已知笛卡尔“鸡蛋”曲线过点，且曲线上任意一点到和的距离满足，则（ ） A. B. 曲线与单位圆有3个交点 C. 的最小值为 D. 的最大值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 从甲、乙、丙3人中选2人参加两项活动，有_______种不同的选法． 13. 准线方程为的抛物线的标准方程是_______． 14. 定义：平面点集中的每一点都有唯一的实数与之对应，则称为上的二元函数．若点的横、纵坐标均为整数，则称点为“整数点”．已知，则方程的“整数点”为_______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）若函数的零点为，求． 16. 已知函数． （1）求在点处的切线方程； （2）求函数的极值； （3）判断方程的解的个数． 17. 在平行四边形中，为中点，将沿直线翻折至．设是线段的中点，． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 若无穷正项数列同时满足以下两个性质：①存在，使得；②为单调数列，则称数列具有性质． （1）若； （ⅰ）判断数列是否具有性质，并说明理由； （ⅱ）记为数列的前项和，判断数列是否具有性质，并说明理由； （2）某同学投篮命中率为，每次投篮相互独立，设随机变量为投篮次命中次数，记，证明：数列具有性质． 19. 已知双曲线的两条渐近线为，且经过点． （1）求双曲线的方程； （2）分别是双曲线左右焦点，过双曲线上一点作双曲线的切线（的方程为）交轴于点； （ⅰ）证明：四点共圆； （ⅱ）当时，过点作的垂线与的角平分线交于点，求点的轨迹方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$