精品解析：上海市浦东新区上海南汇中学2024-2025学年高一下学期6月期末考试数学试题

上海南汇中学2024学年第二学期期末考试 高一数学 满分：100分 完成时间：90分钟 一、填空题：（本大题共12小题，每小题3分，满分36分） 1. 复数（其中是虚数单位）的实部是___________. 【答案】## 【解析】 【分析】先化简复数，再确定复数的实部. 【详解】由题得， 所以复数的实部为. 故答案为：. 2. 已知，且是第四象限角，那么的值是___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合，即可求解. 【详解】由，且是第四象限角，可得， 所以. 故答案为：. 3. 已知向量，若，则的值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量的坐标运算先计算，最后根据共线向量的坐标运算即可求解. 【详解】由题意有，由有， 故答案为：. 4. 已知函数，则其最小正周期是___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简已知条件，再求得函数的最小正周期. 【详解】由于， 所以的最小正周期. 故答案为： 5. 已知，为单位向量，它们的夹角为，则在上的数量投影为_________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得在上的数量投影为，计算即可. 【详解】因为在上的数量投影为，且， 所以， 故答案为： 6. 已知直线和平面，若，，则与的位置关系是____________. 【答案】或 【解析】 【分析】由线面的位置关系判断求解即可. 【详解】若，，如图： ， ， 则或. 故答案为：或 7. 如图，斜二测画法的直观图是，的面积为，那么的面积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据直观图和原图的面积关系可得结果. 【详解】由直观图和原图的面积关系式，可得， . 故答案为：24 8. 如果复数满足，那么的最大值是___________. 【答案】 【解析】 【分析】首先将看作是点到两点距离之和为3，然后判断点的轨迹，然后将看作是点到点的距离，最后根据图象即可计算的最大值. 【详解】复数满足， 将其可以看作是点到两点距离之和为3. 因为，所以点的轨迹为线段. 而表示的是点到点的距离， 要求其距离的最大值，则根据图象可知点到点的距离最大， 即. 故答案为：. 9. 在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是_______. 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量的数量积，求出点，在计算结果即可. 【详解】建立平面直角坐标系如图所示： 由题意可知，，，，，， 设，则，， 由，可得， 所以，又，， 所以. 故答案为：. 10. 如图，正方体的棱长为1，点是线段的中点，点是正方形所在平面内一动点，若平面，则点轨迹在正方形内的长度为________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用面面平行的判定及性质得出结果. 【详解】如图，取的中点，连结， 因为，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面. 因为点是线段的中点，为的中点， 所以，，又 所以，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面. 又，又平面. 所以平面平面. 当点在线段上时，平面, 所以平面， 又点轨迹在正方形内，所以点在线段上， . 故答案为：. 11. 从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线，则所成角的余弦值的所有可能取值构成的集合是____________. 【答案】 【解析】 【分析】将所有直线分为正方体的棱，面对角线，体对角线三类，然后讨论不同情况的时候的直线的夹角的余弦值即可. 【详解】 利用直线的夹角范围为，故其余弦值范围为，可以分为以下几类： 两条直线都取两条棱所在的直线的时候，有与两种情况， 所成角的度数分别是0或，其余弦值为1或0； 两条直线一条取面对角线与一条取棱所在的直线时，有与两种情况， 所成角的度数分别是或，其余弦值为0或； 两条直线都取面对角线时，有与两种情况， 由为等边三角形，得； 所成角的度数分别是0或，其余弦值为0或； 两条直线一条取体对角线与一条取棱所在的直线时，有这一种情况， 设正方体的边长为1，在中， 可得, 故所成角的余弦值为； 两条直线一条取体对角线与一条取面对角线时，有与两种情况， 由面,可得,可得夹角得余弦值为0， 中，可得, 故夹角的余弦值为，故其余弦值分别是0或； 两条直线都取体对角线时，有这一种情况， 在中，,,, 故夹角的余弦为. 所以从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线， 则所成角的余弦值的所有可能取值构成的集合是. 故答案为： 12. 已知平面向量（为正整数）是平面内两两互不相等的向量，，且对任意的及，，则的最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】本题可通过设向量坐标，根据向量模长的条件列出方程，发现其为圆的方程，然后利用数形结合，通过分析交点个数来确定最值. 【详解】设，其中. 已知对任意的及；. 当时，； 所以或或. 当时，； 所以或或. 分析上述方程，分别表示以原点为圆心，半径为1，2，3的圆；以及为圆心，半径为1，2，3的圆. 画出图形，如图所示. 因为两两不同，且满足，所以的最大值为这6个圆的交点个数总和，通过观察图像可知共有10个交点. 所以的最大值为：10. 二、选择题 ：（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13. 已知复数，则“”是“复数为纯虚数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由题知“”，则，而复数为纯虚数，则，且，然后根据逻辑命题条件的判定即可. 【详解】设复数，则， ， 而复数为纯虚数，则，且， 所以“”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件. 故选：B. 14. 在棱长为的正方体中，为的中点，那么直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取的中点，连接，.易证四边形为平行四边形，所以，所以或其补角即为异面直线与所成角.在中，根据余弦定理即可求解. 【详解】如图所示，取的中点，连接，. ∵点为的中点，点为的中点，∴，， ∴四边形为平行四边形，∴， ∴或其补角即为异面直线与所成角. 在中，，，， 由余弦定理可知：， ∴异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D. 15. 已知平面、满足，若异面直线、满足，，则与、的位置关系是（ ） A. 至多与、中的一条相交 B. 至少与、中的一条相交 C. 至少与、中的一条异面 D. 至少与、中的一条平行 【答案】B 【解析】 【分析】根据异面直线的定义直接判断. 【详解】异面直线、满足，，， 则与平行或相交，与平行或相交， 但直线与，不能同时平行， 若直线与，同时平行，则与平行，与两直线异面矛盾， 所以至少与、中的一条相交， 故选：B. 16. 已知函数（），有下列结论：①若，则在上单调递增；②若，则正整数ω的最小值为2；③若，函数的图像向右平移个单位长度得到的图像.则为奇函数；④若在上有且仅有个零点，则.其中正确的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】①计算的范围，即可判断；②根据函数的对称轴，即可判断；③根据三角函数平移规律，即可判断；④计算的范围，结合正弦函数的零点，即可求解． 【详解】①当时，，因为，则， 此时不是单调递增函数，故①不正确； ②若，则函数关于对称， 则，得，且， 则正整数的最小值为1，故②不正确； ③若，的图象向右平移个单位长度后，得到， 所以是奇函数，故③正确； ④时，， 在上有且仅有个零点，则，得，故④不正确． 综上，正确的是③，个数为1个. 故选：A. 三、解答题： （第17题8分，第18题8分，第19题10分，第20题12分，第21题14分，共52分） 17. 已知向量. （1）若与的夹角为，求实数值； （2）若实数，向量与所成的角是锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的数量积的坐标公式来求解的值； （2）先求出的坐标，再根据向量夹角为锐角时数量积大于0且两向量不共线来确定的取值范围. 【小问1详解】 因为，所以， 所以，解得. 【小问2详解】 由条件，且与不平行. 当时，， ，解得，， 若，则，则， 所以的取值范围是. 18. 已知方程有两个根，. （1）若是此方程的一个虚根，分别求实数的值； （2）若且，求实数的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）将代入方程，由复数相等列出等式求解即可； （2）由韦达定理求解即可. 【小问1详解】 因为是方程的一个虚根， 所以， ， 所以， 解得. 【小问2详解】 方程两个根为， 因为， 所以， ，进而， 所以， 解得：或. 19. 如图，在空间几何体中，底面是正方形，分别是的中点. （1）证明：平面； （2）若平面经过点，且与棱交于点.请作图画出在棱上的位置，并求出的值. 【答案】（1）证明：取中点，连接，由是中点，且， 由是正方形，是中点，所以且， 从而且，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，不在平面内，所以平面. （2）作图： 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，结合已知可得四边形为平行四边形，可得，进而可得线面平行； （2）根据平行线可得共面，即可根据相似求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，过作直线与平行， 则，故共面. 延长与交于点，连接，与的交点即为点. 因为底面是正方形，是的中点， 所以，且， 因为是的中点，所以， 则，所以. 20. 设向量，，函数. （1）求的单调减区间； （2）在中，若角满足，且边，求周长的取值范围； （3）将图像向右平移个单位，向下平移个单位，再将所得图像的上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图像，若在区间上至少有个最大值，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由数量积的坐标表示及辅助角公式得到，再通过整体代入即可求解； （2）由（1）求得，再由余弦定理及基本不等式求得范围，即可求解； （3）由伸缩平移变换得到，结合正弦函数轴右侧及左侧第15个最大值点构造不等式求解即可. 【小问1详解】 ， 由， 解得， 所以的单调减区间为. 【小问2详解】 由，， 所以，， 所以， 所以 ， 根据余弦定理，，， 得，又，所以， 从而周长的取值范围是. 【小问3详解】 将图像向右平移个单位，向下平移个单位， 可得：，再将其图像的上各点的横坐标缩短到原来的倍 可得：， 因为，， 又在轴的右侧的第个最大值点为， 在轴的左侧的第个最大值点为， 所以，又， 解得：. 21. 已知定义域为的函数满足:对于任意的，都有，则称函数具有性质. （1）判断函数是否具有性质；（直接写出结论） （2）已知函数具有性质，且在区间上有且仅有个零点.求出的取值范围； （3）设函数具有性质，且在区间上的值域为，函数，满足，且在区间上有且只有一个零点.求证：. 【答案】（1）具有性质，不具有性质. （2） （3） 由函数具有性质及（2）可知， 由可知函数是以为周期的周期函数，则， 即，所以； 由，以及题设可知，函数在的值域为， 所以且； 当，及时，均有， 这与在区间上有且只有一个零点矛盾，因此或； 当时，，函数在的值域为， 此时函数的值域为. 而，于是函数在的值域为， 此时函数的值域为， 函数在当时和时的取值范围不同， 与函数是以为周期的周期函数矛盾，故， 即，命题得证． 【解析】 【分析】（1）利用定义直接判断即可； （2）因为函数具有性质,可求出,进而得到，再结合零点的意义可求的取值范围； （3）分析可知函数在的值域为,由在区间上有且仅有一个零点可知时不合题意，再求解当 时，与函数是以为周期的周期函数矛盾，由此可得,进而得证. 【小问1详解】 因为，则，又， 所以，故函数具有性质； 因为，则，又， 所以，故不具有性质. 【小问2详解】 因为函数具有性质，所以，即， 因为，所以，所以； 若，不妨设，由， 得（*）， 只要充分大时，将大于1，而的值域为， 故等式（*）不可能成立，所以必有成立，即， 因为，所以，所以，则， 此时，则， 而，即有成立，符合题意， 又在区间上有且仅有2个零点.，所以，所以， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海南汇中学2024学年第二学期期末考试 高一数学 满分：100分 完成时间：90分钟 一、填空题：（本大题共12小题，每小题3分，满分36分） 1. 复数（其中是虚数单位）的实部是___________. 2. 已知，且是第四象限角，那么的值是___________. 3. 已知向量，若，则的值为___________. 4. 已知函数，则其最小正周期是___________. 5. 已知，为单位向量，它们的夹角为，则在上的数量投影为_________. 6. 已知直线和平面，若，，则与的位置关系是____________. 7. 如图，斜二测画法的直观图是，的面积为，那么的面积为___________. 8. 如果复数满足，那么的最大值是___________. 9. 在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是_______. 10. 如图，正方体的棱长为1，点是线段的中点，点是正方形所在平面内一动点，若平面，则点轨迹在正方形内的长度为________. 11. 从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线，则所成角的余弦值的所有可能取值构成的集合是____________. 12. 已知平面向量（为正整数）是平面内两两互不相等的向量，，且对任意的及，，则的最大值为________. 二、选择题 ：（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13. 已知复数，则“”是“复数为纯虚数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 在棱长为的正方体中，为的中点，那么直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 15. 已知平面、满足，若异面直线、满足，，则与、的位置关系是（ ） A. 至多与、中的一条相交 B. 至少与、中的一条相交 C. 至少与、中的一条异面 D. 至少与、中的一条平行 16. 已知函数（），有下列结论：①若，则在上单调递增；②若，则正整数ω的最小值为2；③若，函数的图像向右平移个单位长度得到的图像.则为奇函数；④若在上有且仅有个零点，则.其中正确的个数为（ ） A. B. C. D. 三、解答题： （第17题8分，第18题8分，第19题10分，第20题12分，第21题14分，共52分） 17. 已知向量. （1）若与的夹角为，求实数值； （2）若实数，向量与所成的角是锐角，求实数的取值范围. 18. 已知方程有两个根，. （1）若是此方程的一个虚根，分别求实数的值； （2）若且，求实数的值. 19. 如图，在空间几何体中，底面是正方形，分别是的中点. （1）证明：平面； （2）若平面经过点，且与棱交于点.请作图画出在棱上的位置，并求出的值. 20. 设向量，，函数. （1）求的单调减区间； （2）在中，若角满足，且边，求周长的取值范围； （3）将图像向右平移个单位，向下平移个单位，再将所得图像的上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图像，若在区间上至少有个最大值，求实数a的取值范围. 21. 已知定义域为的函数满足:对于任意的，都有，则称函数具有性质. （1）判断函数是否具有性质；（直接写出结论） （2）已知函数具有性质，且在区间上有且仅有个零点.求出的取值范围； （3）设函数具有性质，且在区间上的值域为，函数，满足，且在区间上有且只有一个零点.求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $