精品解析：上海师范大学附属虹口中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

虹口中学2024-2025学年第二学期高一年级数学期末 2025.6 一、填空题（每题4分，共40分） 1. 是第____________象限角. 2. 函数的最小正周期为__________________. 3. （文）若纯虚数（为虚数单位），，则__________． 4. 已知向量，满足，则______. 5. 如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设，，若＝2，则＝________(用和表示). 6. 已知，，，，则___________. 7. 已知，向量，，当取到最大值时，的值是______． 8. 若是方程解，其中，则的取值集合是__________. 9. 如果复数满足，那么的最大值是______. 10. 如图，是线段外一点，，，是线段垂直平分线上的动点，则的值为______． 二、单选题（每题4分，共16分） 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则与的长度相等且方向相同或相反； B. 若，且与的方向相同，则 C. 平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上； D. 若，则与方向相同或相反 12. 设 ､为复数，则是的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 13. 当时，化简的结果是（ ） A. B. C. D. 14. 设函数，若对于任意实数，在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 三、解答题 15. 已知向量，； （1）求，的夹角； （2）若，求实数的值. 16. 已知复数满足，的虚部为2． （1）求复数； （2）当复数的虚部大于零，设复数、、在复平面上对应的点分别为、、，求的值． 17. 已知函数，其中. （1）若，求函数的最小正周期以及函数图象的对称中心； （2）若在闭区间上是严格增函数，求正实数的取值范围. 18. 已知的周长为，且， （1）求边长的值； （2）若，求角大小， 19. 已知平面上不共线的三点，且，是的中点. （1）若，求余弦值； （2）若是线段上任意一点，且，求的最小值； （3）若是内一点，且，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 虹口中学2024-2025学年第二学期高一年级数学期末 2025.6 一、填空题（每题4分，共40分） 1. 是第____________象限角. 【答案】三 【解析】 【分析】根据终边相同的角判断象限角. 【详解】因为，而终边在第三象限， 所以是第三象限角. 故答案为：三. 2. 函数的最小正周期为__________________. 【答案】 【解析】 【分析】根据将正切型三角函数的最小正周期的求法，求得函数的最小正周期. 【详解】由于，所以函数的最小正周期为. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查正切型三角函数最小正周期的求法，属于基础题. 3. （文）若为纯虚数（为虚数单位），，则__________． 【答案】3 【解析】 【分析】由题可知，复数的实部为0，虚部不为0，求出实数即可，然后再求复数的模． 【详解】解：若复数满足为虚数单位）为纯虚数，其中， 则，解得：则，得， 所以． 故答案为：3. 【点睛】本题考查复数的模以及对纯虚数的定义的理解． 4. 已知向量，满足，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标运算公式进行计算即可. 【详解】因为向量，满足， 所以，解得. 故答案为： 5. 如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设，，若＝2，则＝________(用和表示). 【答案】 【解析】 【分析】由，以为基底，表示，再由D，O，B三点共线求解. 【详解】设， 则， 因为D，O，B三点共线， 所以， 解得， 所以， 故答案为： 6 已知，，，，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用已知条件和同角三角函数的基本关系求出，然后利用两角和的余弦公式求解. 【详解】因为，，，， 所以，， 所以 . 故答案为： 7. 已知，向量，，当取到最大值时，的值是______． 【答案】（或或） 【解析】 【分析】由向量数量积的坐标表示、辅助角公式得且，由取到最大值有，，结合的范围即可求的值. 【详解】由，且， ∴当取到最大值时，有，即，. ∵， ∴时，. 故答案为：（或或） 8. 若是方程的解，其中，则的取值集合是__________. 【答案】 【解析】 【分析】得到，结合，从而列出方程，求出答案. 【详解】由题意得， 因为，所以， 故或，解得或. 故答案为： 9. 如果复数满足，那么的最大值是______. 【答案】6 【解析】 【分析】满足的复数在复平面内对应的点在以为圆心，以为半径的圆上，结合图形与圆的性质即可求解. 【详解】根据复数的几何意义可知， 满足的复数在复平面内对应的点在以为圆心， 以为半径的圆上， 的几何意义为圆上的动点 到的距离，如图： 当 三点共线时，且在圆心的两侧时，距离最大， 最大距离为， 故答案为： 10. 如图，是线段外一点，，，是线段的垂直平分线上的动点，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量加法的几何意义，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】设线段的中点为， ，因为是线段的垂直平分线上的动点，所以， 所以， 故答案为： 二、单选题（每题4分，共16分） 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则与的长度相等且方向相同或相反； B. 若，且与的方向相同，则 C. 平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上； D. 若，则与方向相同或相反 【答案】B 【解析】 【分析】对于A，利用向量的模的定义即可判断；对于B，利用向量相等的定义判断即可；对于C，考虑向量的起点位置判断即可；对于D，考虑特殊向量即可判断. 【详解】对于A，由只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系，故A错误； 对于B，因为，且 与同向，由两向量相等的条件，可得 =，故B正确； 对于C，只有平面上所有单位向量的起点移到同一个点时，其终点才会在同一个圆上，故C错误； 对于D，依据规定：与任意向量平行，故当时，与的方向不一定相同或相反，故D错误. 故选：B. 12. 设 ､为复数，则是的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分别判断充分性与必要性即可. 详解】若，，则成立且不成立， 而若，则成立， 故是的必要不充分条件. 故选：C. 13. 当时，化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案. 【详解】由于，所以， . 故选：B 14. 设函数，若对于任意实数，在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】，只需要研究的根的情况，借助于和的图像，根据交点情况，列不等式组，解出的取值范围. 【详解】令，则 令，则 则问题转化为在区间上至少有两个，至多有三个t，使得，求的取值范围. 作出和的图像，观察交点个数， 可知使得的最短区间长度为2π，最长长度为， 由题意列不等式的： 解得：. 故选：B 【点睛】研究y=Asin(ωx+φ)+B的性质通常用换元法（令），转化为研究的图像和性质较为方便. 三、解答题 15. 已知向量，； （1）求，夹角； （2）若，求实数的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由，再由向量坐标求解数量积和模长代入求解即可； （2）由，可得，进而由坐标运算可得解 【详解】（1）设与的夹角为，因为向量，， 所以，， ，又，所以. 所以，的夹角为； （2）因为，，又，所以， 所以，解得. 16. 已知复数满足，的虚部为2． （1）求复数； （2）当复数的虚部大于零，设复数、、在复平面上对应的点分别为、、，求的值． 【答案】（1）i或i；（2）． 【解析】 【分析】（1）设出复数的代数形式的式子，根据所给的模长和的虚部为2．得到关于复数实部和虚部的方程组，解方程组即可． （2）写出所给的三个复数的表示式，根据代数形式的表示式写出复数对应的点的坐标，再根据向量的数量积即可求出 【详解】（1）设i， 由复数满足，的虚部为2． 可得，解得或， 故i或i； （2）当i时，i，i， 所以，，， 所以. 17. 已知函数，其中. （1）若，求函数的最小正周期以及函数图象的对称中心； （2）若在闭区间上是严格增函数，求正实数的取值范围. 【答案】（1）,,Z; （2） 【解析】 【分析】（1）利用正切函数的周期性和对称性求解； （2）利用正切函数的单调性求出的范围. 【小问1详解】 ∵，∴函数的最小正周期为, 令,Z,解得，Z, ∴函数图象的对称中心为,Z. 【小问2详解】 ∵在闭区间上是严格增函数， ∴， ∴，且ω为正实数，解得 18. 已知的周长为，且， （1）求边长的值； （2）若，求角的大小， 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理的边角变换与的周长得到关于的关系式，解之即可； （2）利用三角形面积公式得到，结合（1）中结论得到，从而利用余弦定理即可得解. 【小问1详解】 因为，则由正弦定理得， 又周长为，则， 将代入上式，解得， 所以边长. 【小问2详解】 ，，则， 又（1）知， ， 因此所求角的大小是. 19. 已知平面上不共线的三点，且，是的中点. （1）若，求的余弦值； （2）若是线段上任意一点，且，求的最小值； （3）若是内一点，且，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立平面直角坐标系，分别写出点的坐标，再根据平面向量内积的定义即可求解. （2）先求解的坐标表示，再结合二次函数的最值求解的最小值. （3）先求解的坐标表示，再结合基本不等式求解的最小值. 【小问1详解】 依题意，以点为坐标原点，所在的直线为轴，向量的方向与轴正方向相同， 所在的直线为轴，向量的方向与轴正方向相同，建立平面直角坐标系，如图所示： 令，则，，，所以，， ，， ，， ， 所以. 【小问2详解】 依题意，以点为坐标原点，所在的直线为轴，向量的方向与轴正方向相同， 所在的直线为轴，向量的方向与轴正方向相同，建立平面直角坐标系，如图所示： 因为，所以，，， 因为直线的斜率为， 所以直线的方程为， 因为是线段上任意一点， 所以设，， ，， ， 因为， 所以当且仅当时，的最小值为. 【小问3详解】 设，则，如图所示： 因为， 所以，得， 因为， 所以，得， 所以 ， 当且仅当， 即时，取得最小值36， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$