精品解析：四川省广安中学2024-2025学年高二下学期第三次月考数学试题

高2023级高二下期第三次月考 数学试卷 第一部分（选择题共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 30 B. 40 C. 60 D. 120 2. 已知函数，则（ ） A. B. 2 C. D. 3. 若正项数列是等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知随机变量的分布列如下表： 0 1 2 若，则（ ） A. B. 5 C. 7 D. 21 5. 在的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则其展开式中的常数项为（ ） A. - 60 B. - 20 C. 20 D. 60 6. 今天是星期五，天以后是星期（ ） A. 一 B. 日 C. 五 D. 六 7. 已知，比较三个数大小，则有（ ） A. B. C. D. 8. 若把单词“error"的字母顺序写错了，则可能出现的错误写法的种数为（ ） A. 17 B. 18 C. 19 D. 20 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）． 9. 若数列满足：，已知，则（ ） A 14 B. 15 C. 17 D. 18 10. 已知一个袋子中放有5个不同的红球和3个不同的黄球，则下列说法正确的是（ ） A. 若将袋子中的球全部随机分到两个不同的盒子中，每个盒子不空，则共有256种分配方法 B. 若从袋子中不放回地摸出4个球（1次1个），记为摸出的球中红球的个数，则 C. 若从袋子中有放回地依次摸球4次（1次1个），记为摸出红球个数，则 D. 若从袋子中有放回地依次摸球6次（1次1个）且记录每一次结果，则摸出3个红球3个黄球的可能性最大 11. 设定义在上的函数的导函数为，若满足，且，则下列结论正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 不等式的解集为 C. 若恒成立，则 D. 若，则 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）． 12. 已知随机变量X服从正态分布，且，则________. 13. 已知函数为偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为___． 14. 甲、乙、丙、丁、戊、已6名同学相互做传接球训练，球从甲手中开始，等可能地随机传向另外5人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外5人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能被接住．记第次传球之后球在乙手中的概率为．则______，______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 15. 设数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）若数列的前项和为，求. 16. 某机器人商店出售的机器人中，甲品牌的占，合格率为；乙品牌的占，合格率为；丙品牌的占，合格率为，在该商店随机买一台机器人． （1）求该机器人是甲品牌合格品的概率； （2）求该机器人是合格品的概率； （3）若该机器人是不合格品，求它是丙品牌概率． 17. 已知,其中. （1）若在处取得极值，求实数的值. （2）若在上单调递增，求实数的取值范围. 18. 郑州市某中学的一个研究性学习小组为了了解郑州市市民2023年旅游支出情况（单位：千元），对随机选取的100名郑州市民2023年旅游支出进行问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布表： 组别（支出费用） 频数 3 4 8 11 41 20 8 5 （1）从这100位市民中随机抽取两人，求这两人2023年旅游支出费用均不低于10000元的概率； （2）若郑州市市民2023年旅游支出费用近似服从正态分布近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题： （i）假定郑州市2023年常住人口为1000万人，试估计郑州市有多少市民2023年旅游支出费用在15000元以上； （ii）若在郑州市随机抽取3位市民，设其中2023年旅游支出费用在9000元以上人数为，求随机变量的分布列和数学期望. 附：若，则，. 19. 若函数在上存在，使得，，则称是上的“双中值函数”，其中称为在上的中值点. （1）判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由； （2）已知函数，存在，使得，且是上的“双中值函数”，是在上的中值点. ①求t的取值范围； ②证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高2023级高二下期第三次月考 数学试卷 第一部分（选择题共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 30 B. 40 C. 60 D. 120 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的性质可求. 【详解】因为等差数列，故， 故选：C. 2. 已知函数，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导得，令即可求解. 【详解】对求导得，， 令，得，解得. 故选：A. 3. 若正项数列是等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列性质，结合充分必要条件的判断，即可求解. 【详解】因为正项数列是等比数列，所以， 当时，，解得， 所以数列为递增数列，满足充分性； 当数列为递增数列时，，满足必要性， 所以“”是“数列为递增数列”的充要条件. 故选：C 4. 已知随机变量的分布列如下表： 0 1 2 若，则（ ） A. B. 5 C. 7 D. 21 【答案】D 【解析】 【分析】先根据分布列的性质与确定的值，计算，再根据求值. 【详解】由题意：. 所以. 所以. 故选：D 5. 在的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则其展开式中的常数项为（ ） A. - 60 B. - 20 C. 20 D. 60 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项式系数的最大性求出，进而求出展开式常数项. 【详解】在的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则， 因此展开式中的常数项为. 故选：D 6. 今天是星期五，天以后是星期（ ） A. 一 B. 日 C. 五 D. 六 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项展开式求出除以7的余数为1可得所求结果. 【详解】因为 故除以7的余数为1，故今天是星期五，天以后是星期六. 故选：D. 7. 已知，比较三个数的大小，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别构造函数，，利用导数求导，得单调性求解． 【详解】设，则， 所以在上单调递增，故时，恒成立，即， 所以有，故； 设，则， 所以在上单调递减，故时，恒成立，即，所以有，，得， 综上：， 故选：A． 8. 若把单词“error"的字母顺序写错了，则可能出现的错误写法的种数为（ ） A. 17 B. 18 C. 19 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】结合排列组合的知识，利用分步乘法计数原理求得5个字母排成一排所有可能的写法的种数，则可确定错误写法的种数. 【详解】解：将5个字母排成一排，可分三步进行： 第一步：排e,o，共有种排法； 第二步：排三个r，共有种排法； 将5个字母排成一排共有种排法， 可能出现错误写法的种数为种； 故选：C. 【点睛】本题考查排列组合综合应用问题，关键是能够采用分步的方式，确定所有可能的结果的种数. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）． 9. 若数列满足：，已知，则（ ） A. 14 B. 15 C. 17 D. 18 【答案】ABD 【解析】 【分析】本题考查数列的递推关系，由数列的递推式求出数列的前4项，再求和即可． 【详解】解：由题意可知，当为偶数时，；当为奇数时，， 因为，所以，则或， 若，则或， 所以或； 当时，则，所以， 综上所述，的所有可能取值为14，15，18． 故选：ABD． 10. 已知一个袋子中放有5个不同的红球和3个不同的黄球，则下列说法正确的是（ ） A. 若将袋子中的球全部随机分到两个不同的盒子中，每个盒子不空，则共有256种分配方法 B. 若从袋子中不放回地摸出4个球（1次1个），记为摸出球中红球的个数，则 C. 若从袋子中有放回地依次摸球4次（1次1个），记为摸出的红球个数，则 D. 若从袋子中有放回地依次摸球6次（1次1个）且记录每一次结果，则摸出3个红球3个黄球的可能性最大 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，共有种分配方法，可判定A错误；记为摸出的球中红球的个数，则的可能取值为，求得相应的概率，结合期望的计算公式，可判定B正确；由为摸出的红球个数，得到，求得的值，可判定C正确；设摸出黄球的个数为，得到，结合独立重复试验的概率计算公式，列出不等式组，求得的值，可判定D错误. 【详解】对于A中，若将袋子中的球全部随机分到两个不同的盒子中，每个盒子不空， 则共有种不同的分配方法，所以A错误； 对于B中，若从袋子中不放回地摸出4个球（1次1个），记为摸出的球中红球的个数， 则的可能取值为， 可得，，，， 所以期望为，所以B正确； 对于C中，若从袋子中有放回地依次摸球4次（1次1个），记为摸出的红球个数， 则，所以，所以C正确； 对于D中，设摸出黄球的个数为，则的可能取值为，且， 则，其中， 设摸出次时，摸出黄球可能性最大， 则，其中且，解得， 所以摸出4个红球和2个黄球的可能性最大，所以D错误. 故选：BC. 11. 设定义在上的函数的导函数为，若满足，且，则下列结论正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 不等式的解集为 C. 若恒成立，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】构造函数，根据条件计算得，利用导数研究其单调性可判定A、B；分离参数结合函数的单调性与最值可判定C；由题意得出，结合的单调性得出，计算后即可判定D. 【详解】由可得， 设，则，所以（为常数）， 所以因为，所以，即 对于A，因为，所以时，，单调递减； 时，，单调递增，所以在上单调递增.故A正确； 对于B，当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，且由A可知，在单调递增. 所以，解得，故B不正确； 对于C，若即，当时，恒成立； 当时，等价于，即， 设，则， 所以在上单调递增，在上单调递减，， 所以，故C正确； 对于D，，即， 因为当时，，当时，在单调递增，且， 所以，且，则， 又因为，所以，即，故D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）． 12. 已知随机变量X服从正态分布，且，则________. 【答案】0.2## 【解析】 【分析】根据正态分布的性质结合已知概率计算求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为： 13. 已知函数为偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为___． 【答案】 【解析】 【分析】由偶函数求时的解析式，并写出导函数，进而求、，写出切线方程即可. 【详解】若，则，由是偶函数，得， ∴时，，而此时的，即， ∴曲线在处的切线方程为，即. 故答案为：. 14. 甲、乙、丙、丁、戊、已6名同学相互做传接球训练，球从甲手中开始，等可能地随机传向另外5人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外5人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能被接住．记第次传球之后球在乙手中的概率为．则______，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据传球规则可求出之间的递推公式，再结合等比数列定义即可得出是等比数列，求出其通项公式即可得出结果. 【详解】依题意可知， 第次传球之后球在乙手中，则当时，第次传球之后球不在乙手中的概率为， 第次传球有的可能传给乙，因此， 于是，而， 则是以为首项，公比为的等比数列； 所以，即， 时，适合上式，故. 当时，可得. 故答案为：，. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 15. 设数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）若数列的前项和为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件及用累加法即可求出数列的通项公式； （2）根据（1）的结论及用裂项相消法即可求出数列的前项和. 【小问1详解】 由，有，又， 所以时， . 当时，也满足， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知, ,所以， 所以 . 所以数列的前项和为. 16. 某机器人商店出售的机器人中，甲品牌的占，合格率为；乙品牌的占，合格率为；丙品牌的占，合格率为，在该商店随机买一台机器人． （1）求该机器人是甲品牌合格品的概率； （2）求该机器人是合格品的概率； （3）若该机器人是不合格品，求它是丙品牌的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）应用条件概率公式计算求解即可； （2）结合应用条件概率公式及全概率公式计算求解； （3）根据对立事件概率及条件概率公式计算求解. 【小问1详解】 用表示机器人是甲品牌，用表示机器人是合格品，则， 所以该机器人是甲品牌合格品的概率． 【小问2详解】 用表示机器人是乙品牌，用表示机器人是丙品牌， 【小问3详解】 由（2）知，该机器人是不合格品的概率， 若该机器人是不合格品，它是丙品牌的概率． 17. 已知,其中. （1）若在处取得极值，求实数的值. （2）若在上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】（1）1； （2）. 【解析】 【分析】(1)求导数,由,求出a的值,再验证结论即可; (2) 由题意可得在上恒成立,即,利用三角函数的性质求出在上的最小值即可. 【小问1详解】 由题意得由在处取得极值，可得， 即得； 经检验，时，，当时，， 即；当时，，即， 则在处取得极小值，满足题意，故； 【小问2详解】 函数在单调递增， 在上恒成立. 即在上恒成立，即； =， 则，故， . 检验，时，= ，仅在处取得， 所以满足题意， . 【点睛】本题考查了导数与函数的极值的关系以及根据函数的单调性求参数，涉及到三角函数的性质的应用，有一定综合性，解答时要注意函数极值与导数之间的关系，解答的关键是解决函数单调性时，要将恒成立问题转化为函数最值问题求解. 18. 郑州市某中学的一个研究性学习小组为了了解郑州市市民2023年旅游支出情况（单位：千元），对随机选取的100名郑州市民2023年旅游支出进行问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布表： 组别（支出费用） 频数 3 4 8 11 41 20 8 5 （1）从这100位市民中随机抽取两人，求这两人2023年旅游支出费用均不低于10000元的概率； （2）若郑州市市民2023年旅游支出费用近似服从正态分布近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题： （i）假定郑州市2023年常住人口为1000万人，试估计郑州市有多少市民2023年旅游支出费用在15000元以上； （ii）若在郑州市随机抽取3位市民，设其中2023年旅游支出费用在9000元以上的人数为，求随机变量的分布列和数学期望. 附：若，则，. 【答案】（1） （2）（i）22.75万；；（ii）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）先求出旅游支出不低于10000元的有33人，再结合组合数利用古典概型概率公式求解即可； （2）（i）根据题目数据求得，根据正态分布的特殊区间求得概率，即可求解； （ii）根据题意求出的所有可能取值，结合二项分布概率公式求得分布列和数学期望. 【小问1详解】 样本中总共100人，其中旅游支出不低于10000元的有33人， 所以两人旅游支出均不低于10000元的概率为； 【小问2详解】 （i）， 所以服从正态分布， ， 万， 估计郑州市有22.75万市民2023年旅游费用支出在15000元以上； （ii）由（i）知，，则， 的所有可能取值为. ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 期望为. 19. 若函数在上存在，使得，，则称是上的“双中值函数”，其中称为在上的中值点. （1）判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由； （2）已知函数，存在，使得，且是上的“双中值函数”，是在上的中值点. ①求t的取值范围； ②证明： 【答案】（1）是上的"双中值函数"，理由见详解 （2）①；②证明见详解. 【解析】 【分析】（1）利用定义结合导数直接计算解方程即可; （2）①根据定义知，利用导数研究导函数的单调性及最值计算范围即可；②根据条件先转化问题为,构造差函数，利用多次求导判定其单调性去函数符号即可证明. 小问1详解】 函数是上的"双中值函数". 理由如下： 因为，所以. 因为，所以, 令，得，即，解得. 因为, 所以是上的"双中值函数". 【小问2详解】 ①因为，所以。 因为是上的"双中值函数"，所以 由题意可得. 设，则. 当时，，则为减函数，即为减函数； 当时，，则为增函数，即为增函数. 故. 因为，所以，所以， 即的取值范围为； ②不妨设， 则， 即. 要证，即证. 设, 则. 设，则 所以在上单调递增，所以， 所以则在上单调递减. 因为，所以，即. 因为，所以. 因为，所以 因为，所以. 由（1）可知在上单调递增， 所以,即得证. 点睛: 思路点睛：新定义问题审清题意，转化为已有经验、知识处理即可，本题第二问第一小问，可转化为存在导函数两个零点求参问题，利用导数研究其单调吽与最值即可：第一小问.可利用等量关系消元转化证明,类似极值点偏移，构造差函数研究其单调性即可证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$