精品解析：上海市晋元高级中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题.

晋元高级中学2024学年第二学期期末考试 高一年级数学学科试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分. 1. 函数的最小正周期是，则_______． 2. 若，则___________. 3. 在二面角的一个面内有一个点，它到另一个面的距离是.则这个点到二面角的棱的距离为_________. 4. 如图，在正方体中的直线、、、中与直线异面的直线有_________条. 5. 已知实数、使得，则_______． 6. 若，且，则的值为_________． 7. 若复数满足，则_____． 8. 如图，在边长为的正方体中，为的中点，过 、、作正方体的截面，则截面面积为____________. 9. 已知两个向量、满足，，，且向量与的夹角为钝角．则实数的取值范围为___________． 10. 在△中，已知，，当有两解时，的取值范围为____． 11. 如图，自动卸货汽车采用液压机构．已知车厢的最大仰角为，油泵顶点与车厢支点之间的距离为，的长为，与过的水平线交于点，的长为.则与水平线之间的夹角的大小为______________.（以角度制表示，精确到） 12. 设表示不超过的最大整数，例如，.、、是平面上的三个单位向量，且，则的取值范围是_____. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13-14题每题4分，15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑. 13. 下列函数中，与函数的图象形状相同的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. . 14. 下列命题中，真命题为（ ） A. 若点为角终边上一点，则 B. 同时满足，的角有且只有一个 C. 如果角满足，那么角是第二象限的角 D. 的解集为 15. 下列4个命题正确的个数为（ ） ①若一个平面内的两条直线均平行于另一个平面，则这两个平面平行； ②若一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行； ③已知平面平面，平面上的任意一条直线都垂直于平面上的无数条直线； ④已知平面平面，过平面上任意一点作平面与交线的垂线，则. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 16. 如图，边长为1的正方体，则下列四个命题： ①点在线段上运动时，直线与直线所成角的大小不变 ②点在线段上运动时，直线与平面所成角的大小不变 ③点在线段上运动时，二面角的大小不变 ④点在线段上运动时，点到平面的距离最大值为1 其中的真命题是（ ） A. ①③ B. ③④ C. ①②④ D. ①③④ 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 已知，复数是实系数一元二次方程的一个根. （1）求和的值； （2）若，，为纯虚数，求的值. 18. 在中，角，，的对边分别为，，． （1）若，求的大小； （2）若，，，求的面积． 19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，为正方形的中心，平面. （1）求证：平面； （2）若点在棱上且不与、重合，平面交棱于点，求证：. 20. 如图所示，在△中，，，，，. （1）用、表示； （2）若，，是否存在实数使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. （3）若是△内一点，且满足（），求的最小值. 21. 设，函数满足． （1）当，时，若存在实数，对任意的（是函数的定义域的子集），都有，且存在，使得，则称为函数在区间上的最大值，称为最大值点， 求在上最大值点的个数； （2）若，函数的最小正周期，且函数的图像与直线在区间上有且仅有1个交点，求的取值范围. （3）当时，小明利用函数进行一个棋盘游戏：有一个的正方形棋盘，小明将一颗棋子开始时置于左下角（棋盘最左边的边界线与最下边的边界线的交点），每走一步移动1格，且在第步时，若，则将棋子向上前进一步，否则将棋子向右前进一步，棋子走到棋盘最右边的边界线或最上边的边界线时停止，若棋子停在棋盘最上边的边界线，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 晋元高级中学2024学年第二学期期末考试 高一年级数学学科试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分. 1. 函数的最小正周期是，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】由正弦型函数的周期公式可求得的值. 【详解】因为函数的最小正周期是，则. 故答案为：. 2. 若，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦的二倍角公式即可计算. 【详解】. 故答案为：. 3. 在二面角的一个面内有一个点，它到另一个面的距离是.则这个点到二面角的棱的距离为_________. 【答案】 【解析】 【分析】画出简图，结合二面角的定义及三角函数关系即可求解. 【详解】 如图所示：二面角为，点，点在平面内的射影点为，过点在平面内作，垂足为点，连接. 因为，，所以， 因为，，，平面，平面，所以平面. 因为平面，，所以即为二面角的平面角，所以. 在中，. 所以这个点到二面角的棱的距离为. 故答案为：. 4. 如图，在正方体中的直线、、、中与直线异面的直线有_________条. 【答案】3 【解析】 【分析】根据异面直线的定义，即可判断. 【详解】和是异面直线， 和是异面直线， 和是相交直线，不是异面直线， 和是异面直线，所以有3条. 故答案为：3 5. 已知实数、使得，则_______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据复数的运算公式，即可化简求值. 【详解】， 则，得. 故答案为：4 6. 若，且，则的值为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】首先利用平方关系求的值，再利用平方关系求的值. 【详解】，得， 则， 且，则，所以. 故答案为： 7. 若复数满足，则_____． 【答案】或 【解析】 【分析】首先设复数，再代入复数模的运算公式，即可求解. 【详解】设，，则，， 即，则，得， 即，解得：或， 所以或. 故答案为：0或 8. 如图，在边长为的正方体中，为的中点，过 、、作正方体的截面，则截面面积为____________. 【答案】## 【解析】 【分析】首先根据平行的性质，作出平面，再求面积. 【详解】如图，取的中点，连结，，，， 因为为的中点，所以，又， 所以，则平面为平面，且 四边形为截面四边形，为等腰梯形， ，，， 所以梯形的高， 所以梯形的面积. 故答案为： 9. 已知两个向量、满足，，，且向量与的夹角为钝角．则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件转化为数量积小于0，以及两向量不平行，列式求解. 【详解】若和的夹角为钝角，则，且不平行， 所以， 解得：， 若向量和平行，则，得， 综上可知，取值范围为. 故答案为： 10. 在△中，已知，，当有两解时，的取值范围为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理，结合，即可求解. 【详解】由正弦定理可知，，即， 若有两解，则，且，所以， 所以. 故答案为： 11. 如图，自动卸货汽车采用液压机构．已知车厢的最大仰角为，油泵顶点与车厢支点之间的距离为，的长为，与过的水平线交于点，的长为.则与水平线之间的夹角的大小为______________.（以角度制表示，精确到） 【答案】 【解析】 【分析】首先在中求和，再在中，根据正弦定理，即可求解. 【详解】中，根据余弦定理， ，则， 中，根据正弦定理，即，得， 则，所以. 故答案为： 12. 设表示不超过的最大整数，例如，.、、是平面上的三个单位向量，且，则的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】由条件确定三个向量的夹角的关系，再结合模长，代入向量模的计算公式，结合夹角的范围，即可求解. 【详解】由条件可知，不管是还是的范围都是， 因为，说明一个加数是0，一个加数是1， 不妨设，，则，， 所以， 因为，所以. 故答案为： 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13-14题每题4分，15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑. 13. 下列函数中，与函数的图象形状相同的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. . 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数图象形状相同的性质即可得解. 【详解】与函数的图象形状相同，则振幅和周期相同即可， 即； 对于A，中，振幅不相同，故A错误； 对于B，中，振幅不相同，故B错误； 对于C，中，周期不相同，故C错误； 对于D，中，相同，则图象相同，故D正确. 故选：D. 14. 下列命题中，真命题为（ ） A. 若点为角终边上一点，则 B. 同时满足，的角有且只有一个 C. 如果角满足，那么角是第二象限的角 D. 的解集为 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数正余弦的定义可判断选项A；根据角度的周期性可判断选项B，C，D. 【详解】若点为角终边上一点， 则当时，；当时，，选项A错误； 同时满足，的角有无数个，此时，选项B错误； 如果角满足，那么角是第三象限的角，选项C错误； 的解集为，选项D正确；故选D． 15. 下列4个命题正确的个数为（ ） ①若一个平面内的两条直线均平行于另一个平面，则这两个平面平行； ②若一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行； ③已知平面平面，平面上的任意一条直线都垂直于平面上的无数条直线； ④已知平面平面，过平面上任意一点作平面与交线的垂线，则. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据面面平行及面面垂直的性质定理等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】对于①，平面内的两条直线均平行于另一个平面，可能是两条平行线平行于另一个平面，这两个平面可能相交，故①错误. 对于②，如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，正确，故②正确. 对于③，平面平面，过平面上任意一点作平面与交线的垂线，则， 平面上的任意一条直线都垂直于平面上的无数条直线的平行线，故③正确. 对于④，平面平面，过平面上任意一点作平面与交线的垂线，则，故④正确. 故选：C. 16. 如图，边长为1的正方体，则下列四个命题： ①点在线段上运动时，直线与直线所成角的大小不变 ②点在线段上运动时，直线与平面所成角的大小不变 ③点在线段上运动时，二面角的大小不变 ④点在线段上运动时，点到平面的距离最大值为1 其中的真命题是（ ） A. ①③ B. ③④ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】利用正方体的线面垂直关系可证得，可判断①；利用等体积法分别求得到平面的距离，可计算出直线与平面所成角的正弦值，由此可判断②；根据二面角的大小等于平面与平面所成角的大小，可判断③；分析出当点在点或点的位置时，到平面的距离最大，可计算出最大距离判断④. 【详解】①如图，连接， 因为是正方体，所以平面， 因为平面，所以， 又平面，平面，所以平面. 因为点在线段上运动，所以平面，则. 所以，直线与直线所成角为直角，大小不变，故①正确； ②设到平面的距离分别为， 因为正方体的棱长为1，所以，，则， 因为，即，所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 同理，因为，即，所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 显然，所以直线与平面所成角的大小在变化，故②错误； ③因为点在线段上运动时，二面角的大小等于平面与平面所成角的大小，所以其大小不变，故③正确； ④如图，连接，则点到平面的距离即点到平面的距离， 则当点在点或点的位置时，距离最大. 因为，且平面， 所以平面，则点或点到平面的距离为，故④错误. 综上，①③正确. 故选：A. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 已知，复数是实系数一元二次方程的一个根. （1）求和的值； （2）若，，为纯虚数，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据实系数一元二次方程根的特征结合韦达定理计算求参； （2）应用复数乘法计算结合纯虚数定义计算求参. 【小问1详解】 由复数是实系数一元二次方程的一个根， 得该方程的另一个实根为，因此， 所以. 【小问2详解】 依题意，， 由为纯虚数，得，解得 18. 在中，角，，的对边分别为，，． （1）若，求的大小； （2）若，，，求的面积． 【答案】（1）或 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，边化角，即可求解； （2）解法1：首先根据正弦定理求角，再求角，最后代入面积公式，即可求解；解法2：首先根据余弦定理求，再代入面积公式，即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理可得， ，，或； 【小问2详解】 解法1：由正弦定理可得，，或 当时，，故， 当时，，故. 解法2：由余弦定理可得：，即，或. 当时，，， 当时， . 19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，为正方形的中心，平面. （1）求证：平面； （2）若点在棱上且不与、重合，平面交棱于点，求证：. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判断定理，转化为证明线线垂直，即可证明，； （2）根据线面平行的性质定理，即可证明线线平行，即先证明平面. 【小问1详解】 平面，且平面 又，，平面，故平面. 【小问2详解】 且平面，不在平面上，平面， 又平面，平面平面， ，且，. 20. 如图所示，在△中，，，，，. （1）用、表示； （2）若，，是否存在实数使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. （3）若是△内一点，且满足（），求的最小值. 【答案】（1） （2）存在， （3） 【解析】 【分析】（1）结合条件，根据向量的线性关系，即可求解； （2）利用基底表示向量和，再结合垂直关系的向量运算，即可求解； （3）首先由向量的线性运算关系推出点三点共线，，再结合基本不等式求最值，并化简，求最值. 【小问1详解】 ， 【小问2详解】 设， ， ， ，， 解得， ∴存在点，使得 【小问3详解】 ， ∴， ， ， ， ，，三点共线， ， 当且仅当时，即为中点时等号成立， 而， 所以的最小值为. 21. 设，函数满足． （1）当，时，若存在实数，对任意的（是函数的定义域的子集），都有，且存在，使得，则称为函数在区间上的最大值，称为最大值点， 求在上最大值点的个数； （2）若，函数的最小正周期，且函数的图像与直线在区间上有且仅有1个交点，求的取值范围. （3）当时，小明利用函数进行一个棋盘游戏：有一个的正方形棋盘，小明将一颗棋子开始时置于左下角（棋盘最左边的边界线与最下边的边界线的交点），每走一步移动1格，且在第步时，若，则将棋子向上前进一步，否则将棋子向右前进一步，棋子走到棋盘最右边的边界线或最上边的边界线时停止，若棋子停在棋盘最上边的边界线，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先求的范围，再根据正弦函数的图象和性质，即可求解； （2）首先利用代入法求在区间的范围，结合函数的周期公式，以及范围内的最大值点，以及求的取值范围； （3）首先根据，确定棋子的移动周期，并根据函数性质判断，结合函数的周期，并结合游戏规则，确定中大于或等于得到个数，即可求解. 【小问1详解】 ，则， 当时，在上有两个最大值点，， 故在上有2个最大值点； 【小问2详解】 曲线与直线在上有且仅有1个交点， 即方程在上有且仅有1个根， 由，可知， 又因为，即， 所以，故， 则只需令，解得， 即的取值范围为． 【小问3详解】 ，棋子移动的周期为4， 因为，， 由正弦函数的单调性得， 若，中至少三个大于或等于，满足题意，即： ，则; 若，中只有二个大于或等于，棋子落在棋盘右上角亦满足题意，即：，则； 故的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $